（概率论与数理统计专业论文）复合马尔可夫二项风险模型中几个量的讨论.pdf

摘要 本篇文章考虑了复合马尔可夫二项风险模型下的几个量，这个模型首先 被c o s s e t t ee ta j ( 2 0 0 3 ) 提出，是复合二项风险模型的推广。在本篇文章中，第 三章给出了复合马尔可夫二项风险模型下，马氏链初始状态为1 时，g e r b e r - s h i u 罚金函数的更新方程，由此得到破产时赤字的概率母函数。在本部分 写作过程中，得知k m d m e ny u e n ，j u n y ig u o 刚他们得到了g e r b e r - s h i u 折扣 罚金函数的更新方程。本文使用了不同的方法，并且利用了其中处理问题技 巧。还用不同的方法得出初值为零时罚金函数的显式，由此得到初值为零 时，破产前盈余和破产时赤字的分布以及它们的联合分布。第四章给出了 破产前索赔次数( 包括破产时发生的索赔) 的概率母函数和给定破产的条 件下，破产后盈余过程恢复到非负值的索赔次数分布的递推表达式，并且 在”= o ( 见文中定义) 的特殊情况下，即在复合二项模型下，得到了破产前 索赔次数( 包括破产时发生的索赔) 的概率母函数和破产后盈余过程恢复 到非负值的索赔次数分布的表达式。 关键词：g e r b e r s h i u 罚金函数，破产前盈余，破产时赤字，破产时索赔 次数，破产后恢复到非负值的索赔次数。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，吧m a i n l yc o n s i d e rt h ec o m p o u dm a r k o vb i n o m i a lm o d e lw h i c h w a sa r s t l yp r o p o s e db yc o s s e t t ee t 甜( 2 0 0 3 ) ，w h i c hi sa ne x t e n s i o no ft h ec o r 印o u n d b i n o m i a lm o d e lp r o p o s e db yg e r b e r ( 1 9 8 8 a 山) i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ep r e 8 e n t e dr e n e w a lf o r m u l a so ft h eg c r b e r s h i up c n a l 够f u n c t i o nw h e nt h em a r k o vc h a i ns t a r t s 硒t h1 w h e nih a v eb e e nc o n s i d e r i n gt h ep r o b l e m ，ik n o wk a n l 一d l u e ny u e n ，j u n y i g u o ( 2 0 0 4 ) h a v ea n a l y e dt h eg e r b e r - s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t y 劬c t i o n n o wis t u d yi t w i t ht h ed i b r e n tm e t h o d ，a n dh a su t i l i z e dt h es l 【i uo fh a n d l i n gp r o b k m 啦o n gt h c m a l a ot h ee ) 中r e 8 8 i o no fp e n a n yf l l n d i o ni sg i v e nw h e nt h ei n i t i 出s u r p l u si sz e r ow i t h t h ed i f f e r e n tm e t h o d t h o u g h ti t ，t h ej o i n td i s t r i b u t i o no ft h es u r p l u sb e f o r er u i na n d d e n c i ta tr u i ni ss 七u d l e d 血t h ef o u r t hc h 印t e r ，、) i 7 ec o n 8 i d e rt h ep r o b a b i l i t yg e n c r a t i l l g f u n c t i o no ft h en u m b e ro fc l a i m sw h e nr u i no c c u r sa n dt h e ( c o n d i t i o n a l ) p r o b a b i l i t y f u n c t i o no ft h en u m b e ro fc l a i m sb e f o r et h es u r p l u sp r o c e s sr e c o v e r st on o n n e g a t i v e v a l u e 8a n da r e rt h cp r o c e s sh a sb e e nr u i n e d ，g i v c nt h a tr u i nh a so c c u r r e d 丘d mi n i t i a l s u r p l u s a n dw e 西v c 既p r e s s i o no fp r o b a b i l i t yg c e r a t i n gf l l n c t i o n so ft h en u 皿l b e ro f c l a i 工r l sb e f o r er u i no nc o n d i t i o nt h a tr u i o c e u r r e da n dt h en u m b c ro fc l a i 蛐b e f o r c r e c o v e r yi nt h ec o m p o u n db i n o m i 出m o d e l k e yw o r d s ： g e r b c r _ s h i up c n a h yf u n c t i o n ，t h es u r p l u sb e f o r er u i n ，d e 丘c i ta t r u i n ，t h en u m b e ro fc 1 越m sw h e nr u i no c c u r r e d ，t h e 岫b e ro fc l a i 1 sb e f o r e 七h es u r p l u s p r o c e s sr c c a v e r st on o n n e g a t i v e 、r a l u e s i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：孑更豸 ) ，椰箩年箩只db 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下 内部5 年( 晟长5 年，可少于5 年) i 秘密1 0 年( 最长1 0 年， ；机密2 0 年( 最k2 0 年， 可少于l o 年) 可少于2 0 年) 采强帮镬勿垒文公兹 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 孑裳芳 油譬辱譬a 犯 第一章引言 保险是一种重要的风险融资方法。风险理论产生于承包项目的可行陛研究，它的发 展经历了很长时期，较为系统的理论形成始于l u n d b e r g ( 1 9 0 3 a ，1 9 0 3 b ，1 9 2 6 ) ，c r a m e r ( 1 9 - 3 0 ，1 9 4 5 ，1 9 5 5 ) ，g e r b e r ( 1 9 7 3 ，1 9 7 9 ) ，他们建立了风险理论和随机过程之间的联系。保险风 险理论主要研究来自保险商业的各种风险模型，对经典风险模型的研究已经取得了丰 硕的成果，其结论广见于文献。 对于复合二项风险模型，许多文献进行了研究，它首先被g e r b e r ( 1 9 8 8 ) 【5 】提出并 给出了破产概率的公式之后，s h i u l 8 】引入了不同的破产概率定义并推导出最终破产 概率；w m m o t ( 1 9 9 3 ) 【1 l 】也得到了该模型下的最终破产概率；d i 吐s o n ( 1 9 9 4 ) 【4 也推导出 该模型下的一些量c h e n gs x ，g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 0 ) 【1 研究了带折扣因子的复合二项模型 的破产概率；y u a nk c ，g u oj y ( 2 0 0 1 ) 【1 2 | 将此模型推广为有时间相依索赔的复合二项模 型并求出破产概率；在我国，c h e n ga n dm l ( 1 9 9 9 ) 【1 8 】研究了生存到固定时刻n ，在此时 刻n 恰好发生第次索赔，并且在此时刻n 的盈余为某数z 扛o ) 的概率龚日朝和 杨向群还研究了有限时间的生存概率，破产时刻的赤字以及破产时为止索赔次数的概 率分布。 c 0 8 s t t ee ta 1 ( 2 0 0 3 ) 【2 】将复合二项模型推广为复合马尔可夫二项风险模型，他们在文 章求出了此模型下破产概率的递推公式以及破产概率的l u n d b e r g 指数界，之后，c o s s e t t e e ta 1 ( 2 0 0 4 ) 【q 得出无限时间的破产概率是复合几何尾分布，并由此得出破产概率的上 界以及逼近式，也给出了几种特殊索赔分布下的破产概率的确切表达式在本文写作 过程中，得知k a m _ d m e ny u e n ，j u n y i g u o 鲫他们也给出了g e r b e r s h i u 折扣罚金函数的 表达，本文使用了不同的方法。 在连续经典模型中，a l 丘e d od e g f d i od 。sr e i s ( 2 0 0 2 ) 【l 】曾经利用拉普拉斯变换给 出古典风险模型下破产前索赔次数分布和在给定破产发生的条件下，破产后恢复到非 负值的索赔次数分布。在本文中，我们将使用他们的方法，利用概率函数的母函数研 究在复合马尔可夫二项模型中这两个随机变量分布的表达 本文共分为四章。第二章是预备知识，介绍了复合二项模型和复合马尔可夫二项 模型及相关结论；第三章研究了复合马尔可夫二项风险模型下的g e r b e r s h i u 罚金函 数，以及初值为零时，破产前盈余和破产时赤字的联合分布；第四章我们得出此模型 破产前索赔次数的概率母函数和在破产发生的条件下，破产后恢复到非负值的索赔次 数分布的递推表达式，并且在”= o ( 见文中定义) 的特殊情况下，即在复合二项模型 下，得到了破产前索赔次数( 包括破产时发生的索赔) 的概率母函数和破产后盈余过 程恢复到非负值的索赔次数分布的表达式 2 第二章预备知识 2 1 模型描述 2 1 1 复合二项模型 经典风险模型通常表述如下：给定保险公司一定的初始资本，允许它承包某种统 计分布的风险，并允许它根据风险的特点连续地( 或者离散地) 收取相应保费。对于连 续模型已有很多研究，而对于离散模型研究得较少，且大都停留在完全离散的复合二 项模型中，下面对此模型进行一下描述： 设u ，c 1 ，2 ，) ，在某概率空间( n ，f p ) 上给定 ( 1 ) 取值于+ 的独立同分布随机变量序列 墨，b1 ，2 ) ，分布为p = j ) = 6 ( 0 ( 2 ) 具有参数p 的二项随机序列= ( n ) ，n = o ，1 ，2 即具有零初值、平稳独立增 量，第n 项服从二项分布b p ) 的随机序列 ( 3 ) = ( n ) ，n = o ，l ，2 ) 与 墨，i = 1 ，2 ) 独立 令 f n l u ( n ) = u + m f 拖( 2 1 ) k = 1 则称 u ( n ) ) 为完全离散复合二项风险模型。 该模型的实际背景：在保险公司事务中，我们假定： ( 1 ) 在连续时间段 一1 ，州中进行的赔付以及收取的保费均视为在时刻n 进行，且每 次赔付只有一份 ( 2 ) 保险公司在时刻n = o ，有初始资本u ( 0 o ) ，而且只通过收取保费获得收入。假定 每单位的保费为c ，仅有的支出是投保人发生事故后公司对其赔付的款项。 ( 3 ) 记第i 次赔付量为墨 ( 4 ) u ( n ) 表示保险公司在时刻n 的盈余资本 假定e 【捌= 肛 。o ，且即 l i o ，帆= o 帆记录了时间区间( o ，纠内发生的索赔次数 本文所讨论的复合马尔可夫二项模型满足以下条件： ( 1 ) 初始准备金= u ，“= o ，l ，2 ( 2 ) 保费按照确定的常数率c 收取，c 取正整数，不失一般性，这里假定c = 1 ，即有 0 = 愚 ( 3 ) 索赔是一列独立同分布的随机变量 冠，) ，与x 同分布，有分布函数p = t ) = b ( i ) ， = l ，2 ，随机变量x 的数学期望记为肛 ( 4 ) 每个时间段一1 ，划是否发生索赔用“来表示，这里假定( 如，女n 是状态空间 为 o ，1 ) 的齐次马尔可夫链，有转移概率 p = ( 。：三五：。? i ：二。) = ( ：)( 1 一丌) ( 1 一口) 丌+ ( 1 7 广) g p l op l l 其中= p ( “+ l = 引矗= i ) ，i ，j o ，1 ) ，o 丌 1 并且o g 1 马氏链有初始分布p 涵= 1 ) = g ，p ( 而= o ) = l q 可以证明它有平稳分布p 慨= 1 ) = q ，p ( 厶：o ) = 1 一吼= o ，l ， 4 可以计算丌= p o o p l l 一p l o p 0 1 当”= o 时，模型为复合二项风险模型。 因此，时间区间( o ，捌内的索赔次数m k 可以表示为 k 慨= f 五( 2 4 ) i = l ( 5 ) 点过程 m k ，= 1 ，2 ， 与索赔随机变量序列 墨，鲍，) 独立 ( 6 ) 要想保证保险公司盈利，需要满足净收益条件：p 口 1 2 2相关结论 定理2 2 1 ： 在复合二项模型中，有：妒( o ) = g e x ，妒( o ，y ) = t 【l b ( ) 证明参看 5 】。 定理2 2 2 ： 对于初值为零的复合二项模型，在已知& 的条件下，盈余过程在第次索赔与第 + 1 次索赔之间第一次到达。的概率为 焘严亨。) - 刊甜“ 证明参看【5 】。 定理2 2 3 ： 一个组合公式； 出- 刊= 吾( 禹 1 瑚h 严1 2 3符号定义 定义3 1 1 ： t = i n f 伽： o ) 表示破产时间 妒( “) = p 口 o 。i = u ) 表示初值为u 的破产概率 妒( l i ) = p 口 o 。i = u ，如= i ) ， = o ，l 假设索赔量x 服从p = a ) = 6 ( ) 令b ( ) = 整1b ( t ) 5 ，( ，z 1 0 ) = p ( 2 o 。，u t 一= 茁i u o = u ，而= 0 ) ，z o 妒( u ，i o ) = p ( t o ，沁，。，y 1 0 ) = 尸( t 。，c 一= ，i 【矗i = 引= u ，而= o ) ，托，嚣，掣) = p ( t o 。，u r 一= z ， u i = 引，0 = 让) 妒( u ，) = p ( ? o ，心，茁) ：p ( t 。，【一= z i = u ) ，o o ( s 1 1 ) = 器o5 “毋( u 1 1 ) 可( u ，s ) = 巽o p 妒( u ，y ) 6 ( s ) = 釜os ( ) 定义3 1 2 ； 足= t p o 。表示破产后的恢复时问的条件随机变量； y 和k = y i t 。分别表示破产时赤字的随机变量和破产时赤字的条件随机变 量； p ( n ) 表示在初值为“的条件下，破产发生时发生了n 次索赔的概率； p ( u ，叫z ) 表示在初值为u 且而= i 的条件下，破产发生时发生了n 次索赔的概 率l = 0 ，1 g ( u ，n ) 表示初值为u ，在破产发生的条件下，破产后恢复到非负盈余之前有”次索 赔的概率； g ( u ，n l f ) 表示初值为u ，破产发生且如= i 的条件下，破产后恢复到非负盈余之前 有n 次索赔的概率扛= o ，l m i t o 。表示直到破产前的条件索赔次数 k 表示破产发生的条件下，破产之后盈余过程恢复到非负盈余前的索赔次数 6 定义3 1 1 令： 第三章g e r b e r s h i u 罚金函数 咖( u ) = e ( w ( c 矗， e 扫i ) 厅 。o i = ”) 毋扣l o ) = e ( ( 砚，一，l l ) 矗 。i = u ，如= o ) 曲( 1 1 ) = e ( 叫( u t 一，l 听1 ) 而( i = u ，如= 1 ) 其中”( 文v ) 为定义在 厂的非负可测函数。 ( u ) 被称为复合二项风险模型的g e r b e r s h i u 罚金函数。 3 1 对一般初值u = 0 ，1 ，2 ，的情况 在k a m c h u e ny u e n ，j u n y ig u 。p 1 j 中，对第一个跳点利用全概率公式得到g e r b * s h i u 折扣罚金函数的更新方程，这里我们对第一个时间段利用全概率公式来求更新方 程，其中使用了他们技巧 定理3 1 1 在马氏链初始状态是l 的条件下，g e r b e r _ s h i u 罚金函数为 u 咖沁1 1 ) = ( ”+ p o l p ) 一i 【1 ) l o + 1 ) + 日如) i = 0 # = q + l 其中 工( k ) = i j j 石历。t ( 1 一b ( ! 1 ) ) + ”b ( ) ，= l ，2 日( ) = p l l w ( u ，k 一”) 6 ( ) 一” ( u + 1 ，u 一1 ) 6 ( ) = u + 1= u + 2 证明： 对第一个时间间隔索赔是否发生以及是否发生破产利用全概率公式和马氏性，可得： u + lo 。 曲( 训o ) = p 0 0 咖( u + l i o ) + 芝二p 0 1 西( u + 1 一叠1 1 ) 6 ( 七) + p 0 1 叫( u + 1 ，舟一u 一1 ) b ( 惫) ( 3 1 ) k = lk = u + 2 1。 西1 1 ) = p l o 曲十l i o ) + p 1 1 母( u + l 一七1 1 ) b 佧) + p 1 1 叫( + l ，角一u 一1 ) 6 ( 南) ( 3 2 ) 7 将( 32 ) p 0 0 一( 3 ，1 ) p l o ，得： u + l o 。 p o o ( u 一1 1 1 ) 一p l o 毋( 训o ) = e 母( u + l 一1 1 ) b ( ) + f ( u + 1 ，一u 1 ) b ( ) ( 3 3 ) 女= 1k = 吐+ 2 把( 3 2 ) 中的“改为”一l ，可得t u 。 一p l o ( 训o ) = 毋一1 1 ) + p l l o 一1 ) 6 ( ) + p l l t j ( u ，女一u ) b ( ) ( 3 ，4 ) 将( 3 4 ) 式代入( 3 3 ) ，整理得 b ( ) + ( 一u ) b 女= l “+ l 。 【币( + 1 一 1 ) 6 ( ) + ( u + l ，k u 一1 ) 6 ( ) 】 ( 3 5 ) k = l= u + 2 将( 3 ，5 ) 式乘以一，并对u 从。到o 。求和，有 其中 s “( u 一1 f 1 ) =姗一( 训1 ) + p 1 1 一扣一m ( ) u = 1u = l = 1 o 。 u + l 一”( u + 1 一女j 1 ) 6 ( ) + 露( s ) 一日( o ) o 。 日( u ) = p 1 1 ”( u ，t 一“) 女= u + 1 霄( s ) = s “日( ”) “= o o 。 f ”( u + 1 ，一u 一1 ) 6 ( ) t = u + 2 整理可以得到 酬1 ) ( s p o o _ p l l + ：) = 耳( 3 ) 一日( o ) + ( 砷( 1 ) 一p 0 0 ) 蜊1 ) ( 3 6 ) 令9 ( s ) = s p o o p 儿5 ( s ) + 詈石( s ) ，有g ( 1 ) = 1 一p o o 一芦l l 石( 1 ) + 7 r 5 ( 1 ) = o 。 在( 3 6 ) 取s = l ，有o = 可( 1 ) 一日( o ) + ( 丌6 ( 1 ) 一p o o ) ( o 1 ) ，可得：妒( 0 1 1 ) = 毒茜圭掣。 由9 ( 1 ) = o 可以得到事( s 1 1 ) ( 3 1 一p 1 1 ( i ( 8 ) 一1 ) + ”( 掣一1 ) = 耳( s ) 一耳( 1 ) 此式两端 乘以者得： 面( s j l ) = 【! 型掣+ 掣 事( s 1 1 ) + 兰匡垒掣 ( 3 7 ) 8 让 。吼 p l牡 觚 令 l ( ) 2 再1 ( 1 一b ( 。一1 ) ) + 们( 。) 】t 2 2 1 ，2 由于生! 芋，6 ( ) 是概率函数，所以l ( ) 是概率函数 设z ( s ) = 芒os 乜( ) ，是二( 女) 的概率母函数计算可以得到 丛生学一掣：( 。+ p 0 。p ) 曩。) s 一15 一l 亟掣：妻。”妻脚) s 一1 鲁。氢l 将以上两式代入( 3 7 ) ，有： s 万0 1 1 ) = ) ( 丌+ p o l p ) 三( s ) 虿0 1 1 ) + 日o ) 比较关于s 的多项式中s 计1 的系数可以得到： 毋( u 1 1 ) = + p 0 1 “) 口。一 1 1 ) l ( 1 ) + 日( z ) ( 3 8 ) 其中工( ) ，日( u ) 如证明中定义，带 在k g m - d n l e ny u e n ，j u n y ig u o p l 】中已经给出了破产前最大盈余和破产时赤字的联 合分布的母函数以及破产概率。这里我只给出破产时赤字的分布母函数。 取w ( 研z 2 ) = 瑶。：p ) ，此时( u 1 1 ) = p ( f 班 l = f ，t 。o l = u ，如= 1 ) = 妒( u ，1 1 ) 。 由定理3 1 1 ，得 ；r 一 甚o 墨1 日( 。) 弛圳2 f 寿荒菠孽褊 而经计算 争帅，= 等篙舞掣u 2 u 7 、 日( z ) = p 1 1 ( 1 一口( u + ) ) 一7 r ( 1 一b ( u + y 十1 ) ) 记 a ( s ) = s “囟1 l ( 1 一日( u + 掣) ) 一丌( 1 一日( u + 掣+ 1 ) ) 】 则破产时赤字的母函数可以表示为 孙别垆石而盖蔫等丽丽 ( 3 e ) 定理3 1 2在复合马尔可夫二项模型中，g e r b e r s h i u 罚金函数可表示为； u 一1“一l 。 ( u ) 一( o ) = 一g 毋( 0 1 1 ) b ( u ) + g 咖( “一1 1 ) 1 一b ( k ) 1 一q w ( + l ，t 一女一1 ) 6 ( i ) = 0= 0t = k + 2 证明见定理3 2 1 的证明过程，这里先不给出证明了。 3 2 对特殊初值= 0 的情况 这一节我们不用定理3 1 1 的结果，用不同的技巧来求初值为零时，g e r b e r - s h i u 罚 金函数的表达 定理3 2 1在复合马尔可夫二项风险模型中，初始盈余是。且马氏链初始状态是。 的g e r b e r s h i u 罚金函数有显式： 螂2 南邑；妻。吣+ 1 ，江啪( i ) ( 3 1 0 ) 证明； 显然，咖( ) = ( 1 一q ) ( “1 0 ) + q ( u 1 1 ) 我们可以计算( 1 一g ) p o o + 印1 0 = 1 一口，( 1 一q 肺1 + 社u = g 因此，由( 3 2 ) ，( 3 1 ) 得 u + 1 ( u ) = ( 1 一g ) 庐“+ 1 i o ) + 口+ 1 女= 1 o o 6 ( 女) + 口 扣+ 1 ，一 一1 ) 6 ( ) 女2 u + 2 对上式 从。到u l 求和，得； “一1uu l ( o ) 一( 1 一q ) ( “l o ) = 一q ( 1 1 ) 十g ( 一。咖( z ) 十口( + 1 ，i 一女一1 ) 6 ( ) = 1 女：1z = 1= 0 = + 2 而坠1 ：l 0 一1 1 ) 6 ( 女) = ；矗( j 1 1 ) b ( “一j ) 从而 “u l u l ( “) 一( o ) = g 咖( kj 1 ) 一g ( 圳1 ) b ( u 一) 一q ”( + l ，i 一一1 ) 6 ( i ) = 1k = 0 = 0t = k + 2 整理，得 u 一1 ( u ) 一西( o ) = 一g 州1 ) b ( u ) + 口( u k = 0 u 一1o 。 a 1 1 ) 1 一b ) 】一g ( + l ，i 一 一1 ) b ( t ) r = 0l = 女+ 2 ( 3 1 1 ) l o 以下我们利用( 3 1 1 ) 式来求( o i o ) 的显式。先考虑 ( 甄) 有界的情形令| | = s u p t l w ( 。，) 仔 o ， p l ，z 2 ) = 我们可以得出初值为零，破产前最大盈余和破 产时赤字的联合分布，边缘分布和破产概率 推论3 2 3 ：在复合马尔可夫二项模型中，初始盈余是。时，破产前最大盈余和破产 时赤字的联合分布，边缘分布和破产概率 邶，螂，- 嚣三 m ，、一j 渊 1 _ b ( 。) l “n 甸2 群t _ = 赫： m ) = 魁坚潞掣掣 螂) = 魁生等等掣 丌d l l 一口m 第四章破产前索赔次数分布和破产后恢复到非负值的索赔次 数分布 在a l f r e d od e g i d i 6d o s i s ( 2 0 0 2 ) 【1 】曾经给出古典风险模型下破产前索赔次数分 布和破产后恢复到非复值的索赔次数分布，在这一部分我们将给出复合马尔克夫二项 模型中这两个量的表达。 4 1到破产时为止的索赔次数分布 首先我们定义母函数：f ( s ，n 1 1 ) = 器os 印( u ，刮1 ) ， 面( 5 ， 1 1 ) = 是l 俨f ( s ，n 1 1 ) ，f ( o ， 1 1 ) = 墨1 印( o ，n 1 1 ) 在这一部分，首先得到声( 5 ，n 1 1 ) 的表达，可是没有确定初值p ( o ，n 1 1 ) 。所以，之后 在下一部分我们得到p ( ，n 1 1 ) 的二重母函数 4 1 1 首先给出面( s ，n 1 1 ) 的表达 由全概率公式，我们有；p ( u ，n ) = ( 1 一g ) p ( u ，n i o ) + 口p ( 叫1 ) 所以要求p ( ，n ) 只需求出 p ( u ，n l o ) 和p ( u ，刊1 ) 即可。对第一次索赔时间利用全概率公式，有： 当n = 1 时： 当n 1 时 。o 。 p ( u ，1 1 1 ) = p l l b ( z ) + p l o 痞2 p 0 1 6 ( z ) ? = u + 2t = 2z = u + 件1 。 一p 1 1 1 一日( 珏+ 1 ) 1 + p l o p 盎2 p o l 【1 一b ( 珏+ t ) ( 4 ，1 ) t = 2 。o u + t p ( n + 1 i o ) = p 貊1 p 0 1 b ( 。扫+ t 一毛刮1 ) f = lo = 1 p ( u ，竹+ 1 1 1 ) u + l。 u + t = p 1 1 6 和) p ( u + 1 一z ，叫1 ) 十p l 墙2 p 0 1 6 扛) p ( u 十一z ，n j 1 ) ( 4 2 ) o = l t = 2o = 1 1 4 + ub一 加 q o醯 | | z +州 珊 卜 n m = 0u p 由上面两个式子只要求出p ( n + 1 1 1 ) 就可以知遭p ( e ，n + l i o ) 了下面我们将求 p ( u ，圳1 ) ，对于( 4 1 ) 和( 4 2 ) 式，我们令u + 扛r ，则这两个式子分别变为： p m ，l f l ) = p 1 1 【l b ( + 1 ) 】+ p 1 。蕊i “一2 p o l 1 一b ( r ) 】 ( 4 3 ) + 2 p ( u ，礼+ 1 1 1 ) + 1 = p l l 6 ( 咖心+ l 石，凡| 1 ) o 。 = p l l 6 + p ( u + 1 ，圳1 ) + p 1 诚i “1 6 p ( n 圳1 ) ( 4 4 ) r = “+ 2 ；中，b + p ( r n 1 1 ) = ：lb ( z ) p ( r z ，n 1 1 ) 。 分别对( 4 3 ) ，( 4 4 ) 式两边取母函数，有 芦( s ，1 1 1 ) = s 1 1 1 1 一日+ 1 ) + s ”p l o p 箝“一2 p o l 1 一b ( r ) u = 0u = 0r = u + 2 2 = 等s ” 1 一b ( u + 1 ) 】+ s ”p 1 0 p r 产2 p 0 1 ( 1 b ( r ) 】 一= lr 聋2u = 0 = 警【l b ( * ) 】+ p 1 。前2 珈- 【1 一b ( r ) 】 萼婺一 o 。o 。 1rs 、r 一1 由上一部分内容，我们已经知道l p ( o ，叫o ) = 南【1 一b ( y ) 】所以上式可以化为 州2 等字确m + i 字 等挚( 砷删) 咄。妒( o ，l i 而= o ) ) 一等s 卅s 妒( o ，1 | o ) ) 】 2 孚 ( 等一老) - ( 0 ，印) + 志号警邓蚓o ) q 。 s 5 憎0 0 8 ) 。一 一 刃0 0 一sp 0 0 = 字 蒜写_ ( 0 蚓。) + 晶- ( 0 ，p 0 0 | o ) 】 其中可( o ，p o oj o ) 表示( o ，s l o ) 在s = p 0 0 的值可以得到( o ，s i o ) = 南 警学】。 令稻= 矗褊= 眈。则上式变为： 郧，m 胁，窨恂学等 ( 4 s ) r 胍 ，d 加 句 叫。蕊 p 2 * +no 然而 哥( 帅+ 1 f 1 ) 2 s 1 1 6 p ( u + 1 ， f 1 ) + s “p l 崎u 一知0 1 6 十p ( m 1 1 ) 一警f ( s ，n m s ) + 占 号笋。岍o 。) _ p 0 。6 ( 1 ) p ( o ，n 一号詈( 亘( 哪帆s ) s p ( o ，n | 1 ) ) 】 2 。1 芦( s ，n 1 1 ) 石( 8 ) + 。2 芦0 0 0 ，n 1 1 ) 百0 0 ) ( 4 6 ) 对( 4 4 ) 式取n = o ，有 p ( o ，n + lj 1 ) = p l l 6 + p ( 1 ，n 1 1 ) + p 1 0 p ；i 2 p 0 1 6 + p ( m 1 1 ) 2 p l 曲( 1 如( 0 m + 号挚。删i ) 一时( 1 ) p ( 0 】删 练n 。v ，r 、。l ，j 2 巴1 一等吣) p ( o 州，) + 挚，叩) ) 2 嘉“1 ) p ( o ，小) + 鼍挚f 椰 ( 4 7 ) 因此。鼗们有： 眈砌吣州u - ( p o o 卜南瞰0 小卜孟6 ( 1 ) p ( 0 ，删p00m o 2 未暑，( 叽+ 1 卅矗6 ( 1 ) p ( 0 ，n 【1 ) 珊0 一s 。 丑n n s ”、1 ，p w 1 1j = 。l p ( o ，n + 1 1 1 ) 一。2 p ( o ，竹j 1 ) ( 4 8 ) 其中c l 一舞氅，c 。= 矗皂6 ( 1 ) 。令n 。5 ( 。) ：。我们有： n + 1 1 1 ) 2 晒( 3 ，叫1 ) + 。l p ( o ，n + 1 1 1 ) 一c 2 p ( 0 ，n | 1 ) = 。2 面扣，n 一1 j 1 ) + “。1 p ( 0 ，礼1 1 ) 一。c 2 p ( o ，n 1 1 1 ) + c l p ( o ，n + 1 1 1 ) 一c 2 p ( o ，n 1 1 ) = 8 2 芦( 8 ，n 一2 1 1 ) + 。l p ( o ，几十1 1 1 ) 十( 。c 1 一c 2 ) p ( o ，n j l ) 一。c 2 p ( o ，n 一1 1 1 ) 2 。预f 1 ) + c l p ( o t n + 1 m ( 口c l c 2 ) p ( o 加i 卅n 1 6 ( 1 ) ( 4 9 ) ；= u 其中f ( s ，1 1 1 ) 可由( 4 5 ) 式给出 由上面的计算我们可以得到： 1 6 定理4 1 1 在复合马尔可夫二项风险模型中，破产前发生”+ 1 次索赔分布的母 函 数表达式： 芦( s ，竹+ 1 1 1 ) = o 物( s ，1 1 1 ) + c l p ( o ，n + 1 1 1 ) n l + 矿( 一睨) p ( o ，n 一一0 n c l b ( 1 ) ( 4 1 0 ) = 0 其中p ( s ，1 1 1 ) = 。窨+ n 。譬警 o = 意尚，c = 器，c 2 2 赤b ( 1 ) 最筠20 l 尚2 o z 但是，初值p ( o ，n 1 1 ) 并没有确定。所以下面用二重母函数给出。 4 1 2 现在给出f ( s ，训1 ) 的表达 由上面的推导，有 f ( s ，礼+ 1 1 ) = 叭舌( 3 ) f ( s ，扎i l ) + c l p ( o ，什+ 1 1 ) 一。2 p ( o ，n 1 1 ) 上式两边乘以俨，并对n 从l 到。o 求和，整理可以得； 旦艺塑如，小) = ! l 即，小) + 知，小) 一号p ( 叭m ( 4 - 1 1 ) 现在我们对第一个时间间隔索赔是否发生利用全概率公式，可得： 当n l 时 p ( ，n + 1 1 1 ) = p l o p ( u + 1 ，n + 1 1 1 ) 十p n b ( 。) p ( u + l z ，n 1 1 ) 上式两边乘s ”，对“从。到。o 求和，得 f ( s ， + l 1 ) = 警f ( s ，n + 1 i 1 ) 一警p ( o ，n + 1 1 1 ) + 警m f ( s ，叫1 ) 上式两边乘俨，对n 从1 到。求和，整理得 芏堕芋坐盟如川1 ) = 一( 帅+ 兰。专竽邓，小) + 等p ( 0 小) ( 4 1 2 ) 将( 3 4 ) 式乘以哿，( 3 5 ) 式乘以呼! ，然后两端相加，整理得 泌l o ( 1 一吼( s ) ) + ( 5 一p l o p l l 仍0 ) ) ( c 1 一c 2 口) 1 f ( s ， 1 1 ) = 暗1 0 + ( s p l o ) ( c l c 2 ) 】f ( s ，1 ) 一p l o c 2 叩( o ，1 1 1 )( 4 1 3 ) 1 7 令 1 = p l o ( 1 一o l 口舌( s ) ) + p p l o p l l 西( s ) ) ( c 1 一c 2 ) b = p l o + ( 5 一p l o ) ( c l c 2 ) ， 3 = p l o 。1 + p j o ( c 1 一c 2 ) ，将口l ，。h 睨代入，可以得到 m ( 一锵) + 虹贮筹警坚型 。：尘二型娅塑塑业 p 0 0 5 。；婴坚盟 p 0 0 s 上式可以写为 如，小) = 鲁郧，1 ) 一鲁p l f l ) ( 4 1 4 ) 定理4 1 2在复合马尔可夫二项风险模型中，破产前索赔次数( 包括破产时刻发 的索赔) 的二重母函数为 鼬，小) = 鲁鼬，1 ) 一鲁p ( 岬) ( 4 1 5 ) 其中，p ( s ，1 l 而= 1 ) = 。气掣+ 叻与鸶挚，p ( o ，1 1 1 ) = 掣+ 也萼鼎掣 l ， 2 ， 3 如上所定义。 4 2恢复前的索赔次数分布 设咒表示初值为零时，到达z 的时刻，则正= z 即表示到达z 之前没有发生索 赔从而：p ( 疋= f 而= o ) = p 豁，p ( 瓦= z f 而= 1 ) = p l o p 荮1 p ( 已= z ) = ( 1 一q ) p ( b = z i 如= o ) + q p ( b = z 1 如= 1 ) = ( 1 一口) p 孙+ 即1 0 p 荮1 = ( 1 一口) p 箭1 设k 表示在破产发生的条件下，破产之后恢复之前的索赔