（机械制造及其自动化专业论文）非等径侧铣圆柱凸轮误差分析及刀位控制.pdf

摘要 摘要 凸轮机构是机械设备中的关键零部件，具有结构紧凑、性能可靠等诸多优点，在实 现间歇运动、分度运动、较大运动升程要求及其它复杂运动要求方面具有很强的适应性。 凸轮机构优良的运动特性与动力特性，需要有精确的凸轮构件来保证。凸轮是凸轮机构 中的核心部分，因此凸轮必须具有较高的加工制造精度。 本文以对心直动圆柱滚子从动件圆柱凸轮机构为研究对象，以变换矩阵和共轭曲面 理论为工具，应用微分几何知识，推导了圆柱凸轮的实际廓面方程。对加工中常用的非 等径两坐标加工方法，推导展开平面上非等径刀具中心轨迹曲线方程及刀具创成廓面方 程。 利用数学计算软件一m 枷a b ，对非等径两坐标加工的刀具创成廓面的理论加工 误差，分别应用对应点距离误差分析法、法线距离误差分析法及最短距离误差分析法来 评价。得出结论：最短距离误差分析法所得误差值最小，最能体现加工时的加工误差， 是一种有效的误差计算方法，具有重要的理论意义和实际应用价值。对应点距离误差分 析法只是两个对应点之间的距离，并不一定是最短距离，因此有所偏差，而利用法线求 两个空间曲面之间的最短距离这种思路经过分析是不可行的。此外，给出了非等径两坐 标加工的接触线方程，并绘制出曲线。 最后，简要介绍了两重包络法的加工原理，探讨了两重包络法的发展方向。 关键词：圆柱凸轮非等径两坐标加工刀具创成廓面误差分析接触线两重 包络法 a b s w a c t a b s t r a c t c a mm e c h a n i s m sa g et h ek e yp a r t si nm a c h i n ed e v i c e s t h e yh a v ec l o s es t r u c t u r ea n d r e l i a b l ep e r f o r m a n c e ，w h i c he n a b l es t r o n ga d a p t a b i l i t yi n r e a l i z i n gi n t e r m i s s i o n ，i n d e x i n g , g r e a t e rr i s e ，a n do t h e rc o m p l e xm o v e m e n t s c a mm e c h a n i s m sh a v ep e r f e c tk i n e m a t i ca n d d y n a m i c a lc h a r a c t e r i s t i c s ，w h i c ha l es u p p o r t e db ya c c u r a t ec a mc o m p o n e n t c a mi st h ec o r e p a r to fc a mm e c h a n i s m ，a n dc a mi t s e l fm u s th a v eh i g h c rm a n u f a c t u r ea c c u r a c y f o rt h ec y l i d 妇lg r o o v e - c a m 谢t ht r a n s l a t i n gf u l l e rf o l l o w e r , t h ed i s s e r t a t i o nd e r i v e d t h ep r a c t i c a lp r o f i l ee q u a t i o nw i t ht h et h e o r yo fc o n j u g a t i n gs u r f a c e s ，t r a n s f o r m a t i o nm a t r i x o p e r a t o rm e t h o d sa n dd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y n ec u r v ee q u a t i o no ft o o lc e n t e rp a t ho nt h e s p r e a d i n gp l a n ea n dt h ee q u a t i o no fp r o f d em a c h i n e db yt o o lw e r eg - v e nw i t ht h eu n e q u a l d i a m e t e r2 - c o o r d i n a t em a c h i n i n gm e t h o do f t e nu s e di nm u c h i n i n 耳 a p p l y i n gt h em a t h e m a t i c a lc o m p u t a t i o n a ls o f t w a r e - - m a t l a b ，f o ru n e q u a ld i a m e t e r 2 - c o o r d i n a t em a c h i n i n g , t h et h e o r e t i c a lm a c h i n i n ge r r o ro fp r o f i l em a c h i n e db yt o o lw a s a n a l y s e du s i n ga ne x a m p l e n et h e o r e t i c a lm a c h i n i n ge r r o rw a se v a l u a t e db yt h r e e m e t h o d s - e r r o ra n a l y s i so fc o r r e s p o n d i n gp o i n t s d i s t a n c e ，e r r o ra n a l y s i so fn o r m a ld i s t a n c e a n d 盯l o ra n a l y s i so ft h es l l o r t c s td i s t a n c e i tc a nb ec o n c l u d e dt h a tt h em e t h o do f 锄r a n a l y s i so ft h es h o r t e s td i s t a n c ei st h eb e s to n et oe m b o d ym a c h i n i n ge r r o r , a n dt h a ti ti so f i m p o r t a n tt h e o r e t i c a lm e a n i n ga n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o nv a l u e c o r r e s p o n d i n gp o i n t s d i s t a n c e i sn o tt h es h o r t e s td i s t a n c eb c t w e e nt h ep r o f i l em a c h i n e db yt o o la n dp r a c t i c a lp r o f i l e n e i t h 盯 i sn o r m a ld i s t a n c e a n dt h ee q u a t i o no fc o n t a c t 1 i n ea n dj i st c l t l l v ew e r ed e f i v e dw i t ht h e u n e q u a ld i a m e t e r2 - c o o r d i n a t em a c h i n i n gm e t h o d m a c h i n i n gp r i n c p l eo fd o u m ee n v e l o p em e t h o dw a sp r e s e n t e ds i m p l y a n dt h ed i r e c t i o n o fd e v e l o p m e n to fd o u b l ee n v e l o p em e t h o dw a sb r o u g h tf o r w a r d k e y w o r d s ：c y l i n d r i c a lc a m ，u n e q u a ld i a m e t e r2 - c o o r d i n a t em a c h i n i n g , p r o f i l em a c h i n e db y t o o l ，e r r o ra n a l y s i s ，c o n t a c t l i n e ，d o u b l ee n v e l o p em e t h o d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取 得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 墨生垄兰盘堂 或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：缝系三签字日期：2 叼年1 月旧日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 叁盗墨兰盘至有关保留、使用学位论文 的规定。特授权墨盗墨苎盘至 可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编， 以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复本和电子 文件。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：缓乐! 导师签名：肄詈篮 i f 签字日期：如7 年月瞎日签字目期：仰7 年月修日 第一章绪论 1 1 课题背景及研究意义 1 1 1 课题背景 第一章绪论 凸轮机构与齿轮机构和连杆机构等都是机械传动的常用机构。凸轮机构或包含凸轮 机构的组合机构可以实现几乎所有简单的、复杂的重复性机械动作。因此凸轮机构是机 械化、自动化生产设备中的关键零部件。凸轮机构由凸轮、从动件或从动件系统、机架 等组成。一般情况下，凸轮做匀速回转运动，从动件做预期的输出运动凸轮机构具有 结构紧凑、性能可靠、传动扭矩大等诸多优点，在纺织机械、烟草机械、玻璃机械、包 装机械、农业机械、印刷机械、数控机床、加工中心、自动办公设备、自动售货机、自 动化仪表、电子元件自动加工机械、服装加工机械以及其他各种轻工自动机械领域应用 十分普遍。它们在实现间歇运动、分度运动、较大升程运动要求及其它复杂运动要求方 面具有很强的适应性。 凸轮机构之所以能在上述自动机械中获得如此广泛的应用，是因为它兼有传动、导 向及控制机构的各种功能。当凸轮机构用作传动机构时，可以产生复杂的运动规律包括 变速范围较大的非等速运动，乃至暂时停留或各种步进运动。凸轮机构也适宜于用作导 向机构，使工作机构产生复杂的运动轨迹。当凸轮机构用作控制机构时，可以控制执行 机构的自动工作循环。 近年来，随着各种电、气、液等控制技术的发展，在有些定位机构和分度机构中， 采用了伺服电机及其控制系统取代了原来的凸轮机构。主要原因是凸轮机构是高副接 触，廓面易磨损，从而容易导致传动精度的降低，振动和噪声的加剧。而控制系统则不 存在机械磨损的问题。伺服电机及其控制系统尤其适合于频繁、重复定位的场合，这是 控制系统的一大优势。现在控制系统中的很多“凸轮开关”已经被“电子开关”所取代； 控制系统的另一个优势是具有良好的可调节性，在柔性生产场合，这一特性尤为重要 【】。然而，控制系统在拥有上述诸多优势的同时，也有其不足之处。首先，控制系统 在工作过程中总存在时间滞后问题，这就限制了在高速、重载情况下的应用；其次，从 制造成本上看，伺服电机及其控制系统的成本远远高于一般凸轮机构的成本；再次，从 空间上讲，伺服电机的控制系统一般占据较大空间，而凸轮机构体积小、结构紧凑。 综上所述，控制系统所存在的缺点正是凸轮机构的优势所在，并且随着新材料、新 结构和新工艺的不断涌现，凸轮机构在高速、高精度方面注入了新的活力，控制系统不 可能完全取代凸轮机构，它们在各自的领域中均起着不可替代的作用。 凸轮机构优良的运动特性与动力特性，需要有精确的凸轮构件来保证。因此，凸轮 机构各构件必须具有较高的加工制造精度。决定凸轮机构品质的关键因素是凸轮廓面的 成形质量。凸轮廓面制造涉及到材料、热处理、加工方法等多方面内容，本文仅就有关 第一章绪论 加工方法进行论述。 目前，国内的凸轮设计和制造技术水平与国外相比还有很大差距。关键技术掌握在 国外一些专业的凸轮制造厂家和科研机构手中。这无形中制约着我国凸轮机构设计和制 造水平的提高，造成高速、高精度凸轮机构必须依赖进口的被动局面。有关资料表明1 5 j ： 凸轮在工程中应用广泛，而且技术含量高，产品附加值高，可以带来巨大的经济效益。 对精密凸轮分度器，一般一套平均售价在7 0 0 0 元人民币左右，其中凸轮占机构总价的 2 3 ，约4 5 0 0 元。全国年需求量3 0 万余套，9 0 的需要进口，良好品质的凸轮产品国产 能力仅能满足3 万套。因此，针对国内企业的现状，研究既能满足加工精度要求，同时 又很经济的加工方法，是十分必要和紧迫的。 1 1 2 研究意义 平面凸轮的加工方法有直动仿形法、摆动仿形法和数控加工法。由于平面凸轮结构 比较简单，加工易于实现。目前，有关平面凸轮加工的研究比较成熟，理论相对比较完 善【6 】 圆柱凸轮现有的加工方法有：展成加工法、仿形加工法、数控加工法1 7 - 9 1 。圆柱凸 轮的数控加工方式可分为：等径加工法和非等径j u - r 法。等径加工法是指刀具几何特征 参数( 如半径) 与滚子的几何特征参数相一致的加工方法。非等径加工法是指刀具的几 何特征参数( 如半径) 与滚子的几何特征参数不一致的加工方法。圆柱凸轮的等径加工 模拟滚子与凸轮的啮合运动关系，可以准确加工凸轮廓面，加工过程简单明了，但存在 以下问题i “j ： ( 1 ) 刀具半径一般有一定的系列，有时选不到标准刀具； ( 2 ) 加工时不可避免的机械磨损，造成刀具半径发生变化； ( 3 ) 对于滚子半径尺寸较大的大型圆柱凸轮机构，制造等径刀具成本高。 因此开展非等径加工的研究具有重要的现实意义。 非等径加工圆柱凸轮的目的就是在误差允许的范围内用非等径刀具加工出满足精 度要求的圆柱凸轮产品。本项目以直动从动件槽形圆柱凸轮为例研究非等径侧铣圆柱凸 轮时的误差分析及刀位控制问题。 非等径加工圆柱凸轮时，刀具直径通常小于滚子直径。圆柱凸轮是在圆柱基体上加 工出所需的凸轮轮廓曲面，此类零件的加工在一般数控铣床上无法完成，需要数控铣床 具有旋转轴并参与联动，即要求数控机床具备第四轴。非等径加工圆柱凸轮的关键问题 是刀具轨迹生成的算法。5 轴端铣加工空间凸轮的方法属于非等径法，虽然该方法在加 工时不存在原理误差，但是由于加工生产率、加工成本的问题，在实际加工中应用价值 不大。 非等径加工时通常采取侧铣方式进行，因为侧铣方式与端铣方式相比有很多优点。 侧刃铣削【协1 4 l 是刀具在切削过程中始终保持与被加工曲面相切于一条曲线，利用铣刀侧 刃在加工运动过程中包络出被加工表面，刀具的圆柱面与被加工曲面是线接触；而端铣 时刀具与轮廓曲面是点接触，从曲面成形角度看，线接触显然要比点接触加工方式的加 2 第一章绪论 工效率高出很多。另外，侧铣时的切削条件要比端铣时的切削条件好，它的最大优点是 沿刀具轴线方向不存在残留高度，一次走刀将整个曲面加工完，精加工时间大为缩短， 加工效率高，所加工出的表面非常光滑，刀具磨损小，表面质量也显著提耐州7 1 ，而端 铣时相邻两行刀轨之间的残留部分是影响轮廓曲面表面光洁度的主要因素。 1 2 凸轮机构的分类及凸轮廓面加工方法研究概况 1 2 1 凸轮机构的分类 凸轮机构的工作特点和设计方法随机构型式而异，故需要对凸轮机构进行分类1 4 ”。 分类方法很多，主要有三种：按凸轮的几何形状分类；按从动件的几何形状和运动方式 分类；按凸轮与从动件维持接触的方式分类。 按凸轮几何形状分，凸轮可以简单划分为平面凸轮和空间凸轮。平面凸轮机构的凸 轮呈扁平状，凸轮的运动平面与从动件的运动平面互相平行或重合。平面凸轮又有如下 三种型式：盘形凸轮、移动凸轮、圆弧凸轮等。平面凸轮的廓面是可展直纹面，可简单 用二维平面内的廓线来表示。 空间凸轮与从动件呈空间相对运动，空间凸轮按凸轮形状又可分为：圆柱凸轮( 图 卜a 、l - f ) 、圆锥凸轮( 图1 - b ) 、端面凸轮( 图l - c ) 、球形凸轮( 图l - d ) 、弧面凸轮( 图 卜e ) 等。从动件的运动形式分为直动( 图卜a 、1 b ) 和摆动( 图卜d ) ；从动件的结构 鱼妒 铬_ j 瑞引目 a)西( c ) 夺爨赢 ( e ) 图1 - 1 空间凸轮的分类 形式有圆柱型、圆锥型、鼓型等。空间凸轮的廓面是复杂的空间不可展曲面，这是空间 凸轮和平面凸轮的主要区别之一。 对于圆柱凸轮，按从动件运动方式可以分为：直动从动件圆柱凸轮和摆动从动件圆 3 第一章绪论 柱凸轮两种。圆柱凸轮还可以分为：脊形( 突缘形) 和槽形两种。 1 2 2 凸轮廓面加工方法研究概况 凸轮的加工经历了漫长的手工加工、仿形加工和范成法加工的发展过程。随着数控 技术的发展及普及推广应用，凸轮的加工也和其他机械产品的加工一样，日益向高精度、 高效率方向发展。目前，空间凸轮的制造设备主要是数控机床或专用机床。国外的一些 公司，如英国l a n d i s 公司，德国k o p p 、f o r t u n a 、s c h a l l d t 公司，日本n t c 公司，丰田 工机等都开发出了专门的凸轮数控铣床、磨床。德国k o p p 公司还生产了能五轴联动的 空间凸轮磨床，可以磨削各种空间凸轮1 6 j 。 由于历史发展的种种原因，我国还不能制造高性能的数控凸轮机床，国内凸轮的数 控加工多数采用的是国外的进口设备，这些设备价格都很高。一些中小企业因无力购买 国外设备，仍用仿形法加工。 在加工凸轮的过程中，一个关键环节是控制误差，许多学者对这个问题作了大量的 研究a s ! 。研究结果表明，刀径差( 理想的刀具尺寸与实际的刀具尺寸之差) 是凸轮轮 廓加工误差的主要来源之一 文献d 9 对宽槽圆柱凸轮数控加工进行了研究，首先将圆柱面展开，在x o s 平面 内求出该工序加工两个侧表面的刀位轨迹的展开曲线，然后通过坐标转换，将展开曲线 转换成四坐标机床上的刀位轨迹。文献 2 0 采用“反转运动”分析法和等距曲面原理直 接推导和建立了圆柱凸轮理论廓面、实际廓面、啮合曲面方程和廓面压力角公式。此方 法明晰、直观，避开了较抽象的啮合原理分析过程。文献 2 1 首次提出了空间凸轮廓面 曲率分析的等距曲面法，该方法利用等距曲面间的曲率关系进行了凸轮廓面曲率的解析 计算。 文献 2 2 应用单参数曲面族包络面理论建立了摆杆从动件圆锥凸轮机构空间廓面 方程的解析表达式，推导出凸轮机构压力角、廓面主曲率几何特性参数的计算公式。文 献 2 3 、 2 4 应用单参数曲面族包络理论分析和研究了直动从动件圆锥凸轮机构，导出 了圆锥凸轮廓面的准确数学表达式。文献 2 5 应用共轭曲面理论建立了凸轮机构的通用 数学模型。文献 2 6 利用空间啮合原理及旋转变换矩阵法，给出了圆锥滚子摆杆从动件 圆柱凸轮的廓面方程及压力角的精确解。文献 1 1 应用曲率分析，定义等曲率特性区域， 并找出某个特定区域的最大允许刀具直径，从而为多轴铣削复杂曲面的工艺编程系统提 供了可能。 文献 2 7 、 2 8 分别论述了圆柱滚子从动件和圆锥滚子从动件空间凸轮机构避免过 切的设计参数范围和过切标准。文献 2 9 应用从动件曲线的b 样条表示法分析了指定从 动件运动的凸轮轴动力学情况。文献 3 0 介绍了应用行星传动机构的行星分度凸轮机 构，详细分析了啮合过程并计算了压力角。文献 3 1 基于包络理论和微分几何知识，给 出了具有啮合件的球形凸轮曲面通用表达式。根据接触点的坐标变换，无须知道凸轮和 从动件的相对速度，就可得到啮合条件。 4 第一章绪论 1 3 圆柱凸轮廓面非等径加工现状 对于空间凸轮廓面的非等径加工，许多学者进行了研究和探索，取得了一定成绩。 文献 3 2 介绍了空间凸轮廓面的三种非等径加工方式的基本原理及其优缺点。非等径加 工方法依据加工机理分为：仿自由曲面加工方式、刀位补偿加工方式、两重包络加工方 式【删l 。 仿自由曲面加工方式采用端面铣刀或球头刀将空间凸轮廓面当作自由曲面来进行 廓面加工，理论上可以实现空间凸轮廓面非等径加工，但由于廓面失去了凸轮与滚子问 的共轭关系，且刀具与凸轮廓面是点接触，因此加工效率低，加工表面质量差。两重包 络加工方式可重构等径刀具，可选刀具范围广，但刀具与凸轮廓面也是点接触，加工效 率低，因此只能作为空间凸轮加工的一种有益补充，实际应用不多。刀位补偿加工方式， 是在误差许可的范围内，通过刀位补偿的方法来实现凸轮廓面的加工。文献【3 3 1 表明， 刀位补偿加工中必然存在理论加工误差，采用刀位补偿加工方式，刀具与凸轮轮廓曲面 是线接触，因而具有较高的加工效率，但目前其加工理论还不成熟。 对于空间凸轮廓面的非等径加工，许多学者进行了研究和探索。r e d o n n e t 等【3 5 j 基 于刀具与工件表面的干涉的评价，提出了一种自由表面端铣的刀具定位方法，但是应用 这种刀具路径产生方法所加工表面的表面误差没有被讨论。r s l e ea n dj n l e e 在2 0 0 1 年提出了一种新的刀具路径生成方法【堋，对于加工空间凸轮，这种方法综合了范成方法 和雕刻方法的优点。加工过程中，对于粗、精加工可以得到使用圆柱端铣刀的刀位，并 讨论了如何选择加工过程中刀具直径的准则。包括弦高差和扇形高度的数学误差被作为 产生合适刀具路径的基础。二人在2 0 0 2 年提出了一种新的使用球头铣刀五轴加工空间 凸轮的刀具定位的方法i l l l ，这种方法可以避免碰撞和过铣。 对于圆柱凸轮的非等径侧铣加工问题，目前国内大多数处理方法是将其按某一直径 的圆柱面展开，转化为2 维平面问题【1 9 芦蚓。但是按某一直径展开的展开平面上的实际 廓线与刀具轨迹曲线( 理论廓线) 并不是等距的关系，这种转化为平面的研究方法是一 种近似的处理方法，按此方法非等径加工圆柱凸轮槽时会出现“喇叭口”现象【1 9 硐。 圆柱凸轮非等径侧铣加工的正确分析、研究方法是以共轭曲面理论为基础，对刀具 轨迹曲面( 理论廓面) 与实际廓面之间的关系进行分析、研究。文献l 卵柏j 以曲面理论 为基础，给出了建立刀具轨迹曲面方程的方法，并依此计算出了实际廓面的方程，得出 了非等径加工存在原理误差的结论，但是并没有对非等径加工的误差进行分析，也没有 对非等径加工方法的刀具轨迹生成算法作进一步的分析。 1 4 主要研究内容 基于以上对圆柱凸轮国内外研究现状的回顾与分析，本文以对心直动圆柱滚子从动 件圆柱凸轮为研究对象，从结构特点、啮合特性入手，以共轭曲面理论和变换矩阵为工 具，应用微分几何知识，求解非等径两坐标加工圆柱凸轮时圆柱凸轮的实际廓面方程和 刀具创成廓面方程。在此基础上，对非等径加工圆柱凸轮的加工误差进行理论分析，并 5 第一章绪论 针对具体实例，分析凸轮转角和滚子轴向位置这两个因素对理论误差的影响。本文的主 要研究内容有： ( 1 ) 应用共轭曲面理论、变换矩阵和微分几何知识，以对心直动从动件槽形圆柱凸轮 机构为研究对象，建立圆柱凸轮的实际廓面方程。在机构设计参数已知的情况下，凸轮 廓面由凸轮转角和滚子轴向位置两个参数决定。 ( 2 ) 根据当前非等径加工的现状，针对非等径两坐标加工圆柱凸轮的刀具位置控制方 法，利用共轭曲面理论求解其刀具创成廓面方程。 ( 3 ) 对采用非等径两坐标加工方法加工的刀具创成廓面进行误差分析。针对具体实例， 利用数学计算软件m 棚a b ，对由凸轮转角和滚子轴向位置这两个因素所引起的刀 具创成廓面误差进行分析，为圆柱凸轮廓面加工方法的改进和加工精度的提高奠定基 础。 ( 4 ) 对两重包络加工方法进行了探讨。 6 第二章非等径两坐标加工圆柱凸轮的刀具创成廓面及误差 第二章非等径两坐标加工圆柱凸轮的刀具创成廓面及误差 对于圆柱凸轮非等径加工的数控编程问题，实际中经常采用的方法是将其按某一直 径的圆柱面展开，转化为2 维平面问题【”, 3 6 , 4 2 ，即非等径两坐标加工方法。本章将以对 心直动圆柱滚子从动件槽形圆柱凸轮为例，应用共轭曲面理论和微分几何知识，研究实 际中常用的非等径两坐标加工圆柱凸轮的刀具创成廓面方程，并对其理论加工误差进行 初步分析。 2 1 共轭曲面理论 共轭曲面理论是微分几何的一个重要分支，是为研究两个具有相对运动且保持相切 接触的曲面发展起来的1 4 3 1 。共轭曲面理论的核心是共轭条件的建立和求解。 如图2 1 建立坐标系，o o ( o x y z ) 为固定坐标系，qo l - x a y l z l ) 、吒( 0 2 一吃y 2 屯) 分 别为与共轭曲面写、从动曲面：固连的动坐标系，z l 、：互为共轭曲面。r 0 为自d l 至 0 2 的矢量。 0 2 ( 0 2 一屯y 2 2 2 ) 坐标系中，从动曲面z 2 矢量方程为：r 2 “一；2 ，v ) ，式中2 , y 为曲面：的曲面参数。上标( 2 ) 表示所属坐标系为吒( d 2 一而) ，而) ，以下同。 在q ( d l 一五y 而) 坐标系中，从动曲面：矢量方程为：r 一；1 o ，v ，宇) ，宇为从动曲 面与共轭曲面坐标系之间的运动参数。 眨 0 x 图2 - 1 共轭曲面坐标系 根据共轭曲面理论，两共轭曲面必须在共轭接触点处相切，才不产生干涉。为了保 证连续接触，在两共轭曲面接触点处它们的相对运动速度；：，必须垂直于两曲面在该点 7 第二章非等径两坐标加工圆柱凸轮的刀具创成廓面及误差 的公法线磊，即必须满足两曲面的共轭接触方程式( 即共轭条件) ：五孑2 1 。0 ，其中i 为 两共轭曲面在接触点处的公法线单位矢量；：。为相对速度。 2 2 单参数曲面族的定义和表示 定义：若空间曲面以参数4 运动( 或变化) ，就会形成一族曲面。对于某个参数4 会 有确定的曲面与之对应，则称这族曲面为单参数曲面族，记为( e ，e 为某个参数口 对应的族中曲面。单参数曲面族可表示为矢量方程f f ，v ，口) 。 圆柱滚子从动件圆柱凸轮的廓面可看作是由满足相对运动规律：s s ( o ) 的圆柱滚 子从动件的圆柱面包络而成，其方程可以用单参数曲面族f = 7 以，y ，亭) 来表示m ，式中 ，v 为从动件曲面的曲面参数，亭为从动件曲面与凸轮廓面坐标系之间的运动参数。在 微分几何中，共轭条件可转化为如下“包络条件”：( 无，元，砖) 一o ，下标，v ，；表 示对该参数的偏导数。 将共轭条件进行变换，与q ( d l x ，y l z l ) 坐标系中从动曲面：矢量方程联立，消去曲 面参数h 或v ，即可得到共轭曲面的解析方程，一r 一币，亭) 。 2 3 直动圆柱滚子从动件圆柱凸轮廓面方程 2 3 1 插图及公式中符号说明 图2 2 所示的对心直动圆柱滚子从动件圆柱凸轮机构中，机构的输入运动参数为凸 轮转角口，输出运动参数为滚子从动件的直线位移s ，s = j p ) 。为圆柱滚子半径， 为刀具半径，半径差值r = r o 一。7 表示凸轮实际廓面s 的矢量方程。在滚子的j l 口“ 截面上，滚子圆柱曲面与凸轮实际廓面s 的接触点为k ，玩为滚子底面距凸轮回转轴线 的距离，h 为接触点k 到滚子底面的距离，6 为接触点k 的方向角。 采用非等径两坐标加工时，在某一直径展开平面上，刀具中心轨迹为沿滚子中心曲 线的法线方向移动r 得到的等距曲线，参见图2 - 4 ；一r ，表示非等径两坐标加工时刀具创 8 第二章非等径两坐标加工圆柱凸轮的刀具创成廓面及误差 成廓面s 的矢量方程，m 为刀具圆柱曲面与刀具创成廓面墨的接触点，卢为接触点m 的方向角，参见图2 - 5 。 2 3 2 对心直动圆柱滚子从动件圆柱凸轮的实际廓面方程 图2 2 中，( d x y z ) 9 5 固定坐标系，工轴与凸轮回转轴重合，z 轴平行于圆柱滚子 从动件的轴线，原点为d ；凸轮坐标系q ( 口l 一五y 1 毛) 为与凸轮固结的动坐标系，毛轴与 x 轴重合，原点d 1 与原点0 重合；滚子坐标系吒0 2 一x ：y ：z ：) 为与滚子固结的动坐标系， 屯轴与工轴平行，乃轴为滚子轴线与z 轴平行，坐标原点d 2 位于圆柱滚子底平面中心。 l ) 图2 - 2 对心直动圆柱滚子从动件槽形圆柱凸轮机构 由图2 - 2 可知，在滚子的h o + h 截面上，接触点k 在固定坐标系( 口一x y z ) 中的矢量 芦。 沼。 式中，；的上标( 0 ) 表示坐标系( d x y z ) ，以下同。由固定坐标系( d 一班) 到凸 轮坐标系q ( d 1 一m 毛) 的变换矩阵m 。为： 9 第二章非等径两坐标加工圆柱凸轮的刀具创成廓面及误差 m i o 。 1 o 0c o s 日 0s i n 口 则在凸轮坐标系q ( o l 一置m 毛) 中，接触点k 的矢量方程为： m 1 0 。 将；分别对6 、 、p 求偏导， s + r o c o s 6 一魄+ h ) s i n 0 + r o c o s o s i n 6 瓴+ h ) c o s 0 + r o s i n o s i n 6 才- - r o s i n 6 = 】 一( 1 ) r k - o s i n 口 c o s o r 6 0 ) x r 1 - ir o c o s o s i n 6 r o c o s 6 i s i n o s i n 6 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 。0 ，；，) 0 ( 2 8 ) 将( 2 6 ) 、( 2 - 7 ) 代入( 2 8 ) 整理得：s c o s 6 一( h o + h ) s i n 6 - 0 ，从而求出接触点k 的方向角6 为： 6 。a r d a n 上( 2 9 ) l i l 0 + _ i l 式中，s - d s l d o ，以下同。方向角有6 和6 + 石两个值，分别对应凸轮的左、右两个廓 面，以下同。 方程( 2 3 ) 、( 2 9 ) 联立，即可得出对心直动圆柱滚子从动件槽形圆柱凸轮的实际 廓面方程： 1 0 。等 、llllill， 6 6目冒 s s疗口昌 兰 一 +口p巷5 | ” + + 魄魄 s 一 一 fj_ i 一 第二章非等径两坐标加工圆柱凸轮的刀具创成廓面及误差 芦is+rocos，6-i(hosino+cososin6(ho+h)coso+rosinosin6 弦1 0 ) 一+ _ 1 1 ) s l ij ( 2 。 6 缸c t a n 上 2 4 非等径两坐标加工直动圆柱滚子从动件圆柱凸轮的刀具创成廓面方程 2 4 1 平面等距曲线的定义和计算 在数学上等距曲线面属于微分几何的范畴。等距曲线和曲面具有几何概念清晰， 计算简单的特点，这是包络理论和共轭理论无法比拟的优点。 1 定义 设平面8 t 线c 的方程为：r 一 工，y = 工( f ) ，y o ) ，t 为参数。置平面曲线c 在x y 平 面上，常称n k x a 为曲线c 的法向向量。式中k 为z 轴正向单位向量；口为切线正向 单位向量，简称为切向量 4 5 1 。其中，t 增加的一方为曲线的正向，即切线正向单位向量 的方向。 图2 - 3 法向等距线 x 如图2 3 ，设平面曲线c 上任一点p ，沿该点的法线方向移动一段有向距离d ，得 到点号的轨迹曲线c l ，则称c l 为c 的法向距离为d 的等距曲线 4 s l 。在实际应用中，法 向等距线有内外之别，若只在曲线法线正向上，称为曲线c 的外等距线；反之称为曲线 c 的内等距线。 2 计算 若平面曲线c 的方程为：f = x ，y ) = z o ) ，y ( f ) ，t 为参数，由图2 3 知，曲线c 的内( 外) 等距曲线c j 的方程为： 1 1 第二章非等径两坐标加工圆柱凸轮的刀具创成廓面及误差 才肿一酏) ，) ( - ) d ；o ，y ) ( 2 1 1 ) 式中，二o ，_ ) ，) 是曲线c 任一点的正向单位法向量，其计算公式如下： 棚玉叫o ，o 小 寿，南，。 弦 - f 毒，寿，。) 式中，z 、) ，分别表示工似，y f f ) 对t 求导。 才阱十，南而南 沼 需要强调的是，在使用式( 2 1 3 ) 时，要正确判断曲线的正向，即参数t 增加的一 方，方可准确无误地确定厅的正向。 应用非等径两坐标方法加工圆柱凸轮廓面时，在展开平面上可得到与2 个相反方向 的法向量对应的2 条等距曲线。它们即是分别对应圆柱凸轮左、右实际廓线的左、右2 条刀具中心轨迹曲线，同时分别对应滚子中心轨迹曲线的外等距线和内等距线。 2 4 2 非等径两坐标加工的刀具中心轨迹曲线方程 如图2 - 4 所示，非等径两坐标加工圆柱凸轮时，按某一直径d 将圆柱凸轮展开。将 滚子中心轨迹曲线上的点沿该曲线的2 个法线方向分别移动半径差值r ，即可得到2 条刀具中心轨迹曲线( 图2 4 为向右侧偏移的情况) 。 。 一 图2 - 4 非等径两坐标加工时展开平面上的刀具中心轨迹 在展开平面上，圆柱滚子中心轨迹曲线为 第二章非等径两坐标加工圆柱凸轮的刀具创成廓面及误差 n 。 协 根据式( 2 1 2 ) ，可得到滚子中心轨迹曲线的正向( 对应左侧刀轨) 单位法向量为： 一0 ) 厅d -一o 2 两 s | 踊 ( 2 1 5 ) 由式( 2 i i ) 、( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 ) 可得到非等径两坐标加工时的右侧刀具中心轨迹曲 线( 即滚子中心轨迹曲线的内等距曲线) ： l m _ - o ”一r 五。一 s + o 缸| 2 踊 扣“缸l 踊 ( 2 1 6 ) 由式( 2 1 6 ) 可得出刀具中心相对工件的的运动规律： 一乏 ) ( 2 1 7 ) 式中，为与工件转角日。对应的刀具中心的轴向位移，t 参见图2 - 5 。& 和口。可计算如 下： s c d 廿 2 踊 o 。- o - l d 踊 2 4 3 非等径两坐标加工的刀具创成廓面方程 ( 2 - 1 8 ) 非等径两坐标加工圆柱凸轮时，非等径刀具曲面和圆柱凸轮的创成廓面始终保持相 切，是一对共轭曲面。刀具创成廓面与圆柱凸轮实际廓面的形成原理一样，因此可以应 用共轭曲面原理和微分几何知识，推导非等径加工的刀具创成廓面方程。图2 5 为非等 径两坐标加工圆柱凸轮时的刀具创成廓面形成原理图，其中q ( d c 一咒乙) 为刀具坐标 系。 第二章非等径两坐标加工圆柱凸轮的刀具创成廓面及误差 1 ) 图2 5 非等径两坐标加工的刀具创成廓面 参照式( 2 1 ) 至( 2 1 0 ) ，可得出刀具创成廓面方程： 一一m陋，薯coso,sin#r-i-(ho+h)sino,o,sinp+h)coso。sino,sinp 协。9 ， 一。m + l i 仇 + j ( 2 - 1 9 ) 芦一一南 式中，。表示- t 他) 对眭求导，以下同。 2 5 非等径两坐标加工圆柱凸轮的理论误差 求解刀具创成廓面方程是分析非等径加工理论误差的基础，如何评价刀具创成廓面 与实际廓面之间的误差是实现非等径加工圆柱凸轮的关键。 按照非等径两坐标加工圆柱凸轮原理，滚子曲面与实际廓面的接触点k 和非等径刀 具曲面与创成廓面的接触点肘之间具有对应关系，k 、肘点之间的误差矢量e ”7 为： ；o 一i t o 一一r o ( 2 2 0 ) 将式( 2 - 1 0 ) 、( 2 1 9 ) 代入，可得出误差矢量表达式： ( 1 _ 【s 嚣, + r ：c 赫o s p 嚣孑九s 搿+ r o c o 篙s 6 鬻m c o 等s o s i n ( 2 - 2 1 ) 。(5c一5+5三三荔z眭sin卢卢-tocososin66(ho+h)(sin0 s i n c o s o , s i n - r o c o s o s i n ( h o + h x c o s e cc o s o ) + r 。s i ns i n - r os i n o s i n l i 一 吃) + l i 一 眭卢 6 j 式中，6 、见、卢可由式( 2 9 ) 、( 2 1 8 ) 、( 2 1 9 ) 计算出。r o ，h o 、j = s r 口j 为已知 条件。编程时展开直径d ，刀具半径r c 需给定。 式( 2 2 1 ) 中，口和i l 是误差计算的2 个参数，误差；m 反映了口和j l 不同取值时， 1 4 第二章非等径两坐标加工圆柱凸轮的刀具创成廓面及误差 实际廓面与刀具创成廓面上对应点k 、m 之间的误差。分析非等径两坐标加工的误差e ” 时，可首先确定出最大误差点及其误差值，然后分析最大误差值随展开直径d ，刀具半 径凡变化的规律，最后确定出合适的展开直径d 刀具半径，c ，以满足加工精度要求。 可以计算出，当r 一0 ( 即刀具半径等于滚子半径) 时，p ”- o ，即理论加工误差为零， 这符合非等径两坐标加工圆柱凸轮的原理。 从式( 2 - 2 1 ) 可以看出，对应接触点k m 之间的误差表达式非常复杂，因此理论 加工误差计算比较复杂。如何评价理论加工误差，以及如何计算出误差并进一步控制误 差，是减少非等径两坐标加工圆柱凸轮的误差、满足加工精度要求的关键。 第三章非等径两坐标加工圆柱凸轮廓面的误差计算与分析 第三章非等径两坐标加工圆柱凸轮廓面的误差计算与分析 针对目前的研究现状，本章介绍了非等径两坐标加工圆柱凸轮的误差分析的一种简 洁易懂的方法一对应点距离误差分析法，同时对两坐标非等径加工圆柱凸轮的接触线 进行了初步分析。此外，本章验证了利用法线距离求误差的方法不能正确体现非等径两 坐标加工时的理论加工误差。利用数学计算工具m a = 兀a b 编程绘图【帖删，可以很 清晰的反映出凸轮转角和滚子轴向位置这两个因素对刀具创成廓面的影响。 3 1m a t l a b 数学计算软件简介 3 1 1m a t l a b 概述 m a t l a b 是矩阵实验室( m a t r i xl a b o r a t o r y ) 之意。除具备卓越的数值计算能力 外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 m a t l a b 是一种数学计算软件，与其他高级计算机语言相比，其语言规范简单，容易 掌握，可以节省编程时间，是求解数学问题的强有力工具。 m a t l a b 的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十 分相似，故用m a t l a b 来解算问题要比用c 、f o r t r a n 等语言完成相同的事情简捷 得多。 3 1 2m a t i a b 的语言特点 被称作为第四代计算机语言的m a t l a b ，利用其丰富的函数资源，使编程人员从 繁琐的程序代码中解放出来。m a t l a b 最突出的特点就是简洁，m a t l a b 用更直观的， 符合人们思维习惯的代码，代替了c 和f o r t r a n 语言的冗长代码。m a t l a b 给用户 带来的是最直观，最简洁的程序开发环境。m a t l a b 的主要特点有： ( 1 ) 语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。 ( 2 ) 运算符丰富。 ( 3 ) m a t l a b 既具有结构化的控制语句( 如f o r 循环，w h i l e 循环，b r e a k 语句和i f 语句) ， 又有面向对象编程的特性。 ( 4 ) 程序限制不严格，程序设计自由度大。 ( 5 ) 程序的可移植性很好。 ( 6 ) m a t l a b 的图形功能强大。 ( 7 ) 功能强大的工具箱是m a t l a b 的另一特色。 ( 8 ) 源程序的开放性。 ( 9 ) m a t l a b 的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。 1 6 第三章非等径两坐标加工圆柱凸轮廓面的误差计算与分析 3 2 对应点距离误差分析法 对于非等径两坐标加工对心直动圆柱滚子从动件圆柱凸轮的误差，本章以具体实例 应用m a t l a b 进行分析。 对心直动圆柱滚子从动件圆柱凸轮机构的参数为：滚子半径r o = 1 2 5 m m ，轴向长度 为1 5 r a m ，k = 6 0 5 m m ，h ：0 1 4 r a m ，升程角晓0 0 1 0 0 0 ，刀具半径= 1 1 5 m m ， a r = 1 2 5 1 1 5 = l m m ，凸轮直径d = 1 5 0 m m 。滚子从动件的运动轨迹选取为正弦加速度运 动规律：s 一5 n 8 0 5 s i n ( 1 8 0 5 ) ) 石。 3 2 1 分析步骤与推导过程 1 分析步骤 所谓对应点距离误差分析法是指分析非等径加工对心直动圆柱滚子从动件圆柱凸 轮的误差时，刀具创成廓面上m 点与实际廓面上k 点的两个参数0 、h 分别都取相同值 时，利用公式( 2 2 1 ) 求对应点k 、m 之间的距离，此距离即称为对应点距离，相应地， 此方法称为对应点距离误差分析法。其整体思路为： ( 1 ) 计算滚子轴向位置h 不变、凸轮转角口变化时，圆柱凸轮实际廓面与刀具创成廓 面对应点距离误差值。 ( 2 ) 计算凸轮转