（控制理论与控制工程专业论文）多级倒立摆控制技术的研究.pdf

摘要 本课题的主要目的：一是，利用线性二次型最优控制理论设计二级、三 级倒立摆的最优控制器。二是，通过s i m u l i n k 仿真，研究二级、三级倒立摆 系统的稳定控制；三是，在实验室现有的倒立摆实物系统基础上，进行二级、 三级倒立摆的控制实验。 本论文是基于目前实验室现有一套倒立摆控制系统，首先利用分析力学 中的l a g r a n g e 方程建立了二级、三级倒立摆的数学模型。然后利用线性二次 型最优控制理论设计了二级倒立摆的控制器，在s i m u l i n k 中进行了系统的仿 真，并对仿真结果进行了分析与研究。接着，又利用线性二次型最优控制理 论设计了三级倒立摆的控制器，并在s i m u l i n k 中对三级倒立摆进行了系统仿 真，研究了三级倒立摆系统的结构参数与其控制性能的之间的关系。最后， 在实验室现有的倒立摆系统中分别进行了二级、三级倒立摆的控制实验，并 对实验结果进行了分析与研究。 本毕业课题主要有下面收获：一是，利用线性二次型最优控制方法成功 实现了二级倒立摆的稳定控制；二是，从工程实践角度，提出了一种选择l q r 加权矩阵的一种经验方法。三是，提出了一些从机械结构上及硬件电路上改 进三级倒立摆控制性能的方法。 关键词：倒立摆；线性二次型最优控制；s i m u l i n k 仿真 a b s t r a c t t h i sp a p e rh a st h r e ep u r p o s e s ：o n ei sd e s i g n i n gt h ec o n t r o l l e r so fd o u b l ea n d t r i p l ei n v e r t e dp e n d u l u mb a s e d o nl i n e a rq u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o lt h e o r y t h e s e c o n di ss t u d y i n gd o u b l ea n d 试p l ei n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mt h r o u g ht h e i r s i m u l a t i o n s t h et h i r di sr e s e a r c h i n gt h ep r a c t i c a l i t yc o n t r o le x p e r i m e n t a t i o no f d o u b l ea n dt r i p l ei n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m i nt h i sp a p e r , f w s f l y , w ee s t a b l i s hm a t h e m a t i c sm o d e lo fd o u b l ea n dt r i p l e i n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mb yu s eo fl a g r a n g ee q u a t i o nb a s e do nt h ep r e s e n t p e n d u l u ms y s t e mi nl a b o r a t o r y t h e n ，w ed e s i g nd o u b l ei n v e r t e dp e n d u l u m s c o n t r o l l e rb a s e do nl i n e a rq u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o lt h e o r y , w eh a v ed o u b l e s y s t e ms i m u l a t i o ni ns i m u l i n k 。s i m u l a t i o nr e s u l t sa r ea n a l y z e da n dr e s e a r c h e d i n t h ef o l l o w i n g ，w ed e s i g nt r i p l ei n v e r t e dp e n d u l u m sc o n t r o l l e rb a s e do nl i n e a r q u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o lt h e o r y , h a v et r i p l es y s t e ms i m u l a t i o ni ns i m u l i n k ，a n d r e s e a r c ht h er e l a t i o n sb e t w e e ni t sc o n t r o lp e r f o r m a n c e sa n ds t r u c t u r a lp a r a m e t e r s o ft r i p l ei n v e r t e dp e n d u l u m f i n a l l y , w ed od o u b l ea n dt r i p l ee x p e r i m e n t si nt h e p r e s e n tp e n d u l u ms y s t e m ，a n dt h e nr e s e a r c he x p e r i m e n tr e s u l t s t h ep a p e rh a st h r e er e s e a r c hr e s u l t s ：o r ei st h a td o u b l ei n v e r t e dp e n d u l u m h a v eb e e ns t a b i l i z e db yu s i n go fl i n e a rq u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o lt h e o r y s e c o n d l n a n e x p e r i e n t i a lm e t h o do fc h o o s i n gq a n dri s p u tu pf r o m e n g i n e e r i n gp r a c t i c e s 。t h i r d l y ；t h o s em e t h o d st h a tc a r li m p r o v et h ec o n t r o l p e r f o r m a n c e so fd o u b l ea n dt r i p l ei n v e r t e dp e n d u l u mf r o mm e c h a n i s ms t r u c t u r e s a n dh a r d w a r ec k c u f f sa r ep u tf o r w a r d k e y w o r d s ：i n v e r t e dp e n d u l u m ；l i n e a rq u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o l ；s i m u l i n k 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑曩声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献等的 弓l 用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已经注明 引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已公开发 表的作品成栗。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 结果出本人承担。 作者( 签字) ：乏盖蕴篁 日期：o , 4 a e ；月l 曰 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 自动控制发展概述 蠢动控制自从其产生以来，广泛的应用在工业、农业、交逶运输茅羹国防 各个方面，凡是控制性能要求较高的场合，都离不开自动控案l 。现代化的机 械设备、生产线、车间，甚至整个工厂都建电气化和自动化的。它们由各种 电动机、电器元件、半导体器件等设备，按一定规律组成系统，对生产过程 进行自动控制。自动控制是一门理论性很强的工程技术，我们把实现这种技 术的理论日q 做“自动控镑l 理论”。 在国涎经济各部门中，由于广泛应用了自动羧制技术，改善了劳动袈l 牛， 提高了产品质量和劳动生产率。近几十年来，随着计算机技术的发展和应用， 在宇宙航行、导弹胡导以及核动力等商新技术模域中，自动控制更具有特别 重要的作用。不仅如此，自动控制技术的应用范围现己扩展到生物、医学、 环境、经济管理和其它许多社会生满领域中，自动授割已成为现代社会活动 中不可缺少的重要组成部分。 垂动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初麓，是 班反馈理论为基础的蠢动调节原理，并主要用于工业控剖。第二次世界大战 期问，为了设计和帝造飞机及船用自动驾驶仅、火炮定位系统、雷达跟踪系 统以及其它基予反馈原理的军用装备，迸步促进并完善了自动控制理论的 发展。到战后，已形成完整的自动控制理论体系，这就是以传递函数为基础 的经典控制理论，它主要研究单输入荸输出、线性定常系统豹分柝和设 计阀题。一般处理豹系统是单变量豹系统，数学模型筒单，基本分析骊综合 的方法是基于频率法、根轨迹法、相平面法等，稽述系统的数学模型是微分 方程或传递函数。 到了5 0 年代中期，由于空间技术的发展，现代控制理论应运而生。现代 控制理论主要研究具有高性能、离髓度的、多变量变参数系统的最优控铡阔 题。现代控制理论是基于系统内部描述的状态方程进行时域分析的状态空间 哈尔滨工程大学硕士学位论文 _ 自i i 自i ；_ _ i ；# # ；_ _ _ i ；i 目目；i i i i j # i i # i _ i i j # 自_ _ i i _ _ i _ i 目i _ _ 目_ _ 目| _ 方法、最优控制、最优滤波、系统辩识和自遥应控制等等。现代控制理论运 用状态空闽理论解决了多输入多输出问题，对象的模型采用内部模型，激解 析运算为主要手段，实现菜个或某几个性能指标的最优。所研究的对象可以 为线性定常系统，遣可以为非线性时变系统。现代控制理论也要求建立系统 的数学模型，但对于实际豹工披系统，不是每个工业被控对象都能建立数学 模型，丽显| 9 壅着科学技术的突飞猛进，慰工业过穰控剖的要求越来越高，不 仪要求控制的精确，而且更注重控制的镶棒性、实时性、容错性及对控制参 数的自适应和自学习能力，另外需要控制的工业过程日趋复杂，过程严重的 非线性和不确定性，健许多系统无法用数学模型精确描述，这样建立在数学 模型旗础上的古典和现代控制方法将面临空前的挑战，同时也给智能控制方 法的发展带来了良好的梳遐。 自动控翱理论已经避八十余年豹历程，其各了从经典到现代严谨的理论 体系。叁动控镧概念渗入不同学科，状态空闻描述方法广泛用予许多矮域。 自动控制理论对科技进步功不可没，堪称二十世纪伟大科技成就之一。但如 任何其他理论一样，也有其局限性，即仅当所研究的被控对象数学模型存在 解析解对，才能求得控镱4 律，两目前的数学只能求出线性和一魑典型菲线性 情况的解析解。这就是说，控制理论所依赖的工具数学，限制了其应用。 对于简单的被控对象，即使存在非线性，若控制要求不高，也可通过相对平 衡点的，l 、偏离线性化，把所讨论问题髋划到线性范畴，或可采用楣平面法等 非线性理论加以解决。而随着人类社会的进步，丽对的被控对象日趋复杂， 其非线性特性可能不铬合小偏囊线毂化的条件，甚至难以建立数学摸型，致 使自动控傣l 理论顽临严峻的挑战。 垦前，自动控制理论逐在继续发展，并且跨越学科界限，正向以控制论、 信息沦、仿生学为基础的智能控制理论深入。智能控制是人工智能，自动控 制与计算机相结合的产物，利用人类智能实现控制目的。是被控系统的高度 复杂性、高度不确定性以及人们对控制憔能要求越来越高的产物。我们认为， 智能控制系统具有能够处理高度非线性和复杂性的被控对象并对系统和环境 的不确定性交化其有毫度动态遥应能力的自主系统，其本须是瓣动态的感知、 学习和逶应能力。其主要具有联想记忆祠学习能力、动态鑫适应能力积组织 协调能力。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 。2 倒立摆系统研究的背豢及意义 在控刳理论发展的过簇中，菜一理论的正确性及在实辩应用中的可行灶 需要个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证这一理论，倒立 摆就是这样一个被控对象。倒立摆是一个多变量、快速、 线性、强耦合、 和绝对不稳定的系统，通过对它引入个适当的控制方法使之成为一个稳定 系统，来检验控制方法对不稳定、菲线性和快速性系统的处理能力：而置在 倒立摆的控制过程中，它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及 跟踪性能等许多自动控制领域中的关键问题。因此受到世界各国许多科学家 的重褫，从瑟用不阉的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为最翼有挑战性 的课题之一。 对倒立摆系统的研究不仅仅在萁结构简单、原理清晰、易于实现等特点， 而且作为典型的多变量系统，可采用实验来研究控制理论中许多方砸的闽题。 诸如：模型的建立、状态反馈、观测器理论、快速控制理论以及滤波理论等 都可以用于这类系统。因此，倒立摆实验模型对现代控制理论的教学来说， 自然的成为一个相当理想的实验模型，而且也可以作为数控技术应用的典型 豹对象。另一方瑟辩系统豹研究也比较有实添价僮，扶器常生活中所见到的 任何重心在上、支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定， 郁和倒立摆的控制有很大的相似性，故对其的稳定控制在实际中有很多用场， 如海上钻井平台的豫定控制、卫羼发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机 安全着陆、机器人双足行难机构、化工过程控制等都属这类问题。因此对倒 立摆桃理的研究具农重要豹理论嗣实际意义，成为控制理论中经久不衰豹研 究课题。 1 3 倒立摆系统研究现状及其发展方向 早在6 0 年代人们就开始了对倒立摆系统的研究，1 9 6 6 年s c h a e f e r 和 c a n n o n 应用b a n g b a n g 控制理论，将一个益轴稳定予倒萋位置。在6 0 年代 后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性的证例，提出了倒立摆的概念， 并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界 哈尔滨工程大学硕士学位论文 各国许多科举家的重视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成 为具有挑战性的课题之一。 壹到7 0 年代初，在蓬勃发展的航天技术的推动下，古典控测理论逐步向 现代控制理论过渡，以状态空间法为基础的现代控制理论逐步发展完善。用 状态反馈理论对不同类型的倒立摆闽越进行了较为广泛的研究 4 4 8 1 ，在许多方 面都取得了较满意的效果。侄是现代控制方法过多的依赖于精确的数学模型， 敞对一般工业过程尤其是数学模型变化或不清晰的对象缺乏指导性的意义。 在8 0 年代后期，随着模糊控制理论的快速发展，用模糊控制理论控制倒 立摆也受到广泛重视，其目的在于检验模糊控制理论对快速、绝对不稳定系 统适应能力，并且用模糊控制理论控制一、二级倒立摆 9 - 1 t l 取得了非常满意的 效果，由予模糊控制理论翻蘸尚无简单实用的方法处理多变量闯题，故用适 合豹方法处理二级倒立摆多变量之间的关系，仍是模糊控制二级倒立撰的中 心问题之一。清华大学的张乃尧等提如了双闭环模糊控制方法控制一级倒立 摆i t m 。常见的模糊控制器楚根据输出偏差和输入偏差变化率来求控制作用， 是二输入单输如的控制器。当控制器的输入为两个以上时，控剖规则数随着 输入交量数指数增加，不仅使模糊控露g 器的设计 紫复杂，也使模糊控铡的 执行时间大大增长，难于实时应用。张乃尧先生对倒立摆采用双闭环模糊控 制方案，很好的解决了上述闯题，并在实际装置上取得了满意的结果，并对 其能模糊串级控制也共有参考价值。程福雁等研究了使用参交量模糊控制对 二级倒立摆进行实对控制，的婚题。作者拟通过传绕的控制理论樗出器；f 孛状 态变薰间的综合关系，来处理系统的多变量问题；通过仿真寻优和重复试验 相结合的方法，褥到控制倒立摆所谓的最优参数；聚用赢精度清晰恍方法， 使输出控制等级更为细腻。 神经网络控制倒立摆的研究，照9 0 年代初开始得以快速的发展。两早在 1 9 6 3 年，w i d r o w 和s m i t h 就开始将神经阐络应用于倒立摆小车系统的控制。 丰审经网络控露倒立摆是以自学习为基确，用一种全新的概念避行信息处理， 曼示出臣大的潜力。今天有许多学者正致力于弓l 用神经网络掇制级或二级 倒立摆 1 6 - 1 9 1 的研究。 9 0 年代履期，北京师范大学李洪兴f ：0 j 教授提出了变论域自适应模獭控制 的思想。这种方法从数学的角度揭示了模糊控制器的插值梳理，指酷跨前常 哈尔滨工程大学硕士学位论文 用的模糊控制器都是某种插值器，这体现了模糊控制的数学本质。根据变论 域囊适应模糊控制的原理，2 0 0 1 年9 月1 9 目，李洪兴教授采用变论域自适 应模糊控制成功地实现了三级倒立攒实物系统控带9 ，具有很好的稳定性、鲁 棒性和定位功能。2 0 0 2 年8 月1 1 日，李洪兴教授领导的实验室又成功地实 现了四级倒立摆实物系统控制，这无疑填补了一顼世界领域内的空白。这种 方法为控制理论的发展开辟了新的途径。 多年来，人们对倒立摆的研究越来越感兴趣，倒立摆的种类也由篱单的 单级倒立摆发展为多种形式的倒置系统。目前研究的大部分均为二维空间即 平露内摆动的摆，另外近年来逐出现了球摆、柔性摆，倾斜轨道式倒立摆， 旋转式倒立摆等等。 国际上每年都有成百篇关于倒立摆控制硬究的论文发表，其中大部分是 建立在计算机基础上的仿真研究。而且主要是以一级倒立摆作为被控对象进 行仿真，用二级倒立摆和平行倒立摆来仿真的文章则缎少，面用三级倒立摆 乃至多级倒立摆进行仿真研究的更是罕见。三级倒立摆的控制作为控翎界的 经典难题一童为人4 ：】所关注，也直是研究的热点。目前，只有很少一部分 学者在对实际物理摆进行设汁、实验和控制研究。 1 4 倒立摆的控制方法 当前，倒立摆的控制规律珂总结如下： 1 状态反馈，通过对倒立摆系统物理模型的分析，建立系统的动力学模 型，然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态反馈，实 现对倒立摆的控制。常见的方法有：( 1 ) 极点配置；( 2 ) 线性二次型最优控制： ( 3 ) 鲁棒控制；( 4 ) 状态反馈虬控制m 】 2 利用云模型f ：2 2 4 ，实现时倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语 言值构成规则，彤成釉定性的推理机制。这神拟人控制不要求给出被控对 象精确的数学模型，仅仅依据入的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言 表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解 决非线性离题和不确定性闯题。 3 神经网络控制m 9 】，神经网络( n e u r a ln e t w o r kn n ) 能够任意充分地逼 哈尔滨工程大学硕士学位论文 近复杂的非线性关系，n n 能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性， 所有定量或定性的信息都等势分布贮存予网络内的各种神经元，故有很强的 鲁捧性和容错性；也可将q 学习算法 t 2 1 和b p 神经网络有效结合，实现状态 未离散化的倒立摆的无模型学习控制。 4 模糊控制，豳内外不少学者在8 0 年代后期开始了倒立摆系统的f u z z y 控制研究，y a m a k a w a 应用高速f u z z y 推理芯片实现了对一级倒立摆系统的 模糊控制。台湾学者g u a n g - c h y a nh w a n g 等将菲线性变结构控制与模糊控制 相结合设计出了模糊滑模控制器，实现了对一级饲立摆的控制，c h e n - s h e n g t i n g 等在此基础上进一步引入了模糊控制规则的自学习，进一步改进了控制 效果。在用模糊控制方法解决倒立摆问题时，并没有用数学的观点对倒立摆 系统中所存在的非线性因素以及对控制所产生的影响加以严格的分析，面更 多的是对倒立摆控制中所可能出现的各种情形加以分析，依据控制者的经验 和先验知识，寻求解决的般方法，而后用模糊控制规则集的形式加以体现， 模糊控制的糟度将有赖于模糊控制规则集制定得完整年疆详尽与否。 5 拟人智能控制 拟人智能控制是集人的智慧与计算枫技术为一体的掰的控制方法。它模 拟人类处理控制问题的一般方式与滕路，依据人类已知的有关学科知识，针 对被控对象的物理本质控制被控对象。它可以不霈要了解被控对象豹数学模 型，凭借入的知识与直觉经验并借助计算机快速模拟控制经验，从而实现拟 人智能控制。拟人智能控制方法能够将人的控制经验积传统控制方法有机地 结合在一起，把人的思维中的定性分析与控制理论中的定量计算相互结合， 使被动控制为主动控制，具有控制律灵活、实现麓单、物理意义明确的特点， 并其意良好的性能。 6 遗传算法( ( g e n e t i ca i g o r i t h m sg a p _ 2 b 】。 7 自适应控铡，主要是为倒立摆设计出自适应控制器 2 9 1 。 8 非线性控制【3 0 】，应用非线性控制的方法研究倒立摆的控制。 9 。使用几秭智控制算法相结合实现倒立摆的控制，比如模糊螽适应控 锘9 m ，分散鲁棒自适应控制等等。 1 0 采用遗传算法与神经网络棚结合的方法，首先建立倒立摆系统的数 学模型，然后为其设计出神经潮络控制器，再利翊改进的遗传算法训练神经 哈尔滨工程大学硕士学位论文 网络的权值，从而实现对倒立摆的控制，采用g a 学习的n n 控制器兼有n n 豹广泛映射能力和g a 快速收敛以及增强式学习等性能。 1 5 本文的主要工作 本毕业课题主要完成以下一系列工作。 第一章简要介绍了自动控制理论发展的过程，论述了倒立摆系统研究的 背景和意义，说明了国内外研究倒立摆系统的现状、水平及发展趋势，分析 讨论了倒立摆系统的各种控制方法。 第二章首先介绍了二、三级倒立摆系统的结构及组成。然后根据 l a g r a n g e 方程建立二、三级倒立摆系统数学模型。接着，对倒立摆的数学模 型进行了简化，并推导出二级、三级倒立摆数学模型的状态空间表达式。 第三章讨论了有限时闻和无限时闻情形的线性二次型最优控制问题，给 出了线性二次疆最优问题的提法、类型、最优解的形式及属性。最后，分析 讨论了矩阵r i c c a t i 弋数方程的解法。 第四章首先对利用线性二次鍪最优控翩理论设计了二级倒立摆的最优 按制嚣，然后在s i m u l i n k 中完成了二= 级倒立摆系统仿真。接着，完成了三级 倒立摆最优控制器盼设计及系统仿囊。最后，对三级倒立摆的系统参数对控 制性能的影响进行了仿真分析与研究 第五章主要介绍了二级、三级倒立摆控制系统的组成，包括机械结构的 组成、硬件系统的组成及软件系统的组成。然后，进行了二级和三级倒立摆 实物控制实验，并成功地稳定住了二级倒立摆实物系统。接着，慰三级倒立 摆系统进行稳定控制实验，并对三级倒立摆机械结构以及硬件电路中存在的 阀题进行了分析研究，提出了一些改进接施。 第2 章二级、三级倒立摆数学模型的建立 2 1 引言 在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。控制系统的 数学摸型是摧述系统内部物理量或变量之间关系的数学表达式。在静态条 孛 下( 即变量各阶导数为零) ，描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型； 而捺述变量各阶导数之闯关系豹微分方程l q 动态数学模型。盎医果已知输入量 及变量的初始条件，对微分方穗求解，就可以得到系统输出量的表达式，并 由此对系统进行性能分析。因此，建立控制系统的数学模型是进行控制系统 分析和设计的首要工 乍。 建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法两种。分析法是对系统 各部分的运动辊理进行分析，根据宅们所依据豹物理规律或忧学规律分剐列 写相应的运动方程。例如，电学中有基尔霍夫定律，力学中有牛顿定律，热 力学中有热力学定律等。实验法是人为地给系统施拥菜种测试信号，记录其 输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法称为系统辩识。下磷我们 采用分析法来二级、三缀倒立摆的数学模型m “。 采用分析法来建立倒立摆系统豹模型时，一般采用牛顿运动定律，结果 要解算大量的微分方程组，而且考虑到质点组受到的约束条件，建模问题将 更藤复杂。为此本文利藤分柝力学中l a g r a n g e 方程建立了二级、三级倒立摆 的数学模型。l a g r a n g e 方程有如下特点：( 1 ) 它是以广义坐标表达任意完整 系统的运动方程式，方程的数暖和系统的自由度数是一致的。( 2 ) 理想的约 束反力不出现在方程组中，因此在建立系统的运动方程时，只需分析已知的 主动力，而不必分析未知的约束反力。( 3 ) l a g r a n g e 方程是以能量的观点建 立起来的运动方程式，为了列出系统媳运动方程式，只霰从鼹个方露邀行分 析，一是表征系统运动的动力学能量系统的动能，另一是表征主动力作 用的动力学量一广义力。因此，用l a g r a n g e 建模可以大大简化系统的建模 过程。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 2 二级倒立摆数学模型的建立 2 。2 。1 二级倒立摆系统的组成 二级倒立摆主要由以下四部分组成： 1 在有限长的轨道上作直线运动的小车； 2 与小车铰接在一起，并能在竖直平蘧内分别绕n ，d 点转动的下、上摆； 3 驱动小车的直流力矩电机和转轮、钢丝等传动部分； 4 使上、下摆稳定在垂壹向上的平衡位置，盥使小车稳定在轨道中心位 置附近的控制器。 二级倒立摆豹结构衙图如图2 1 联示。倒立摆系统主要由计算机、a 加、 d ，a 、功率放大器、电机、电位计以及一些机械部彳孛组成。计算机作为数字 控制器实现对倒立摆的实时控制，同时也为操作者提供人机界面，完成系统 圈2 1 倒立摆系统的结构图 的监督管理功熊，如实时画面，数据采集等；数据采集卡安装在计算机内， 用完成模数、数模转换：功率放大器用予电压和功率放大；电机楚系统的执 行元件；电位计是系统的测量元件，它分剐检测小车相对于轨道中心点的楣 9 ；。；。堕垒；鎏三羹型璧銎笔鲨g 鎏一；。一；。；一 对位置、下摆相对于铅垂线的角度偏移、上摆相对予下摆的角度偏移。二级 倒立摆系统的熬套机械部件安装在一个钢质支架上，它上匿固定着导轨、电 杌底座和转轮等装置。通过导轨支架安装好，j 、车淆行的导轨，小车用奄机和 转轮通过传动钢丝实现运动。二级倒立摆的实物照片如图5 。3 所示。 2 2 2 结构参数 通过实际物理测量，得到二级倒立摆系统的参数如下 小车豹等效质量：m = 1 0 k g ； 小车与轨道间的滑动摩擦系数：b = 5 0 k g s 下摆的质量：嘲= 0 。t 4 8 1 埏； 下摆半长：= 0 1 8 r f l ； 下摆绕其重心的转动惯量：正= o 0 0 1 9 k g m 2 ； 上摆质量；端= 0 0 9 9 8 k g ； 上摆半长：厶= o 2 4 i n ； 上摆绕其重心的转动惯跫：五= o 0 0 1 8 k g m 2 1 上、下摆重心之间的距离：厶= o 2 9 m ； 上、下摆之闯的转动摩擦系数：曩= o 0 1 k g m 2 s 下摆和小车之间的转动摩擦系数：e = o 0 1 k g m 2 s ； 电机及功率放大器的增薤：筑= 1 5 n t v 。 2 ，2 3l a g r a n g e 方程介绍 l a g r a n g e 方理为 要舀一罢：继( f - 1 ，2 ，瑚( 2 - 1 ) d l 、粥。1 抛l 。 一 式中： 丁系统的动能函数 辱，孽，h g r a n g e 变量，分别成为广义坐标耜广义速度 q 作用于系统上的广义力 o 矿系统静势能酗数 一些有势力的广义力 舰 只非有势力的广义力 将式( 2 - 2 ) 代入式( 2 一1 ) 待 旦d tf o q i 一鼍+ 面o v = 气 ( 矧，2 ，朋 ( 2 - 3 ) 2 2 4 ：级倒立摆数学模型的推导 二级倒立摆是一个多变量、快速、 # 线谯、强耦合、帮绝辩不稳定的系 统，为了笼化建立数学模型的过程，我们做了以下假设： 1 上摆、下摆都是一个均匀的刚体； 2 力矩电机的输如驱动力与其输入电压成正比，且无潍羼地直接作用在 小车上； 3 。车与轨道阂的摩擦力仅与小车的速度成正比，摆与车绞接处的摩擦力 仪与摆的焦速度成正比，摆与摆绞接处的摩擦力仅与摆的角速度成正比； 4 忽略电机的电感； 5 忽略钢丝的弹性。 在以上假设前提下，我臂 采用分析力学中的l a g r a n g e 方程来建立系统的 数学模型。令，为水平导孰运动的位移，最、馥分别为下摆和上摆偏移竖赢 方向的角度。由于系统存在着摩擦力，属于一个裁散系统，因此式( 2 3 ) 部分 成该加上耗能部分，对予髑时受到保守力和耗散力作用的倒立摆系统的 l a g r a n g e 方程为 磊dt 面o t ) _ 嚣+ 鼍+ 嚣= 气 ( ：- 4 ) 一一j 一一+ 一+ 一= 一 f z d l 、两1 1 如t 细! 朝i 4 、。 式中： 哈尔滨工程大学硕士学位论文 吼广义坐标，印，、q 、岛 非有势广义力，当q i = ，时，气= 嚷u ，u 为控制量，g o 为增益 常数，当q ，；最、岛辩，只= 0 ，、y 、d 分别是系统的动能、势能和趣教能 ，= 霉、v = y v ，、d = 皿 ( 2 - 5 ) t = i i = 0 f = 。 式中： 疗倒立摆的级数，这里”= 2 z 小车年肄各级倒摆的动能 小车和各级饲摆的势能 口小车和各级倒摆的耗散能 瓦= 二脚2 l = 圭正馥2 + 三班 鲁( r + ls i n 0 0 2 + 丢e t c 。s 嫉， 2 = 三埘+ i 1 p + 1 1 c o s 0 1 磅) 2 + 配幽绣哇) 2 为= 圭如晓2 + 互i 鲁e ，+ 厶s i n 辞+ 如s ；n 绣， 2 + 鲁e 厶c o s 瞑+ 毛c o s 岛， 2 = 三以考+ j l m ： ( ，+ 厶c 。s q 哇+ 岛c 。s 岛哓) 2 + ( 厶s i n 联馥+ 如s m 岛息) z k = 0 k = m l g l lc o s 0 1 = m 2 9 x ( 厶c o s 0 1 + 如c o s 0 2 ) d o = 妻彤2 d i = 言曩鲆 岛：晏五( 晓一呜) ： 将上述各式l ，巧，d j o = 0 ，t ，2 ) 代入式( 2 4 ) ，褥二级倒立摆的数学模型为 堋蚓计：l 醐觚够p l 扩 l 慨铂， ， l 弱蜀c o s g lk 2c o s 0 2 l k 2 c o s 0 2 憋厶c o s ( 幺一只) 蜀 j l 蠕 一墨s i n o l gk 2s i n 0 2 l ( 最，醍，g ，) = 10f l + e 一墨三ls i n ( 0 2 鹤) 一曩j l0k 2 厶s i n ( 毡一只) 磋一岛 最 j l k 2 9 s i n 0 2 墨= j i + 玛2 + m 2 ： 鬣附近运动，可将式( 2 - 6 ) 磋e u = 0 的平衡位置，= 嘿= 岛= ，= 谚= 晓= o 附近线 c o s 0 “1 ) ，可求出关于毋，鹕，d 最的线性化微分方程，丽盾将d r ，d 只，鹅改 写成，鼋，皂，便可得到系统的状态方程。 l _ 2 4 7 9 n 0 5 5 6o 0 2 41 l 0 0 2 40 0 0 6 9o ，0 0 7 7l 0 5 4 7 6 0 ，o ，o ，料” 利用m a f l a b 中的求逆命令，可以解得m 1 ( o ，0 ) 阵 0 9 6 0 9- 3 7 5 2 4 m 。( o ，o ) = 1 - 3 7 5 2 4 1 2 9 9 0 3 9 7 8 1 0 5 9 9 5 5 所以，对式( 2 6 ) 进行线性化后，系统状态方程为 式中： 圈一，一1c。，。，-fc。，。，。，。，差+，一1c 。，。， 专 “c ：- ， = 蠢聊曼g 对于下摆有转角鼠时，我们取上摆的相对角位移为岛- o l ，故令 哥乜h i 故式( 2 7 ) 可改写为 阱 x = 一瓦肘一1 ( o ，o ) f ( o ，0 ，0 ，o ) t o 一1 圣+ t o m 。1 ( 0 ，o ) n 矗- 1 署+ 棚阱。 l0j 定义状态向量x 为 1 4 ( 2 8 ) 、j 够 o 0 孙o o o o 。l l i 、j 0o0o ( 淼；3 搭io 小尥 oo 1 纠 们l 叫= o 0 哈尔滨工程大学硕士学位论文 x= 而 与 托 魄 r o l 岛一只 ， 最 岛一岛 则由式( 2 - 8 ) 可得 主= 望i 三： x + 警1 “ 式中： ( 2 - 9 ) 鸡l = t o m 。( o ，o ) n t 0 1 如= - t o m 。( o ，o ) f ( o , 0 ，0 ，o ) r o 。 。，斟 ， 将物理模型的实测参数代入式( 2 9 ) ，褥到二级倒立摆的系数矩箨为： a = 0o 00 0o o 一1 9 6 04 6 1 2 05 l 。o l o o o 0 + 0 9 4 2 5 o l 7 8 。1 6 b = l0 ol oo - 4 8 00 0 0 4 1 8 7 6 _ o 1 3 - 2 0 7 5o 2 4 o o o 1 4 4 1 3 7 - 5 6 2 8 6 4 6 2 2 5 3 2 1 s o o 1 - 0 0 0 4 o _ 2 4 - 0 5 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 3 三级倒立摆数学模型的建立 2 3 1 三级倒立摆系统的组成 在二级倒立摆实物系统的基础上，我们加工了一套三级倒立摆实物结构 系统，如图5 7 。三级倒立摆的结构简图如图2 2 。三级倒立摆系统组成同上 一节介绍的二级倒立摆基本相同，这里不再介绍。 2 3 2 结构参数 通过实际物理测量，可得到三级倒立摆的系统参数如下 小车的等效质量：m = 1 0 k g ； 小车与轨道之间的滑动摩擦系数：b = 5 0 k g s ； 下摆的质量：m = o 2 2 k g ； 下摆半长： = 0 3 0 4 m ； 下摆绕其重心的转动惯量：z = o 0 0 4 9 6 k g m 2 ； 中摆质量：m ，= 0 1 8 7 k g ： 图2 2 三级倒立摆系统的结构简图 哈尔滨工程大学硕士学位论文 中摆半长：厶= 0 。2 2 6 m ； 中摆绕其重心的转动惯量：j 2 = 0 0 0 4 8 2 k g m 2 ； 上摆质_ 曩：m ，= 0 1 6 k g ； 上摆半长：毛= 0 2 m ； 上摆绕其重心的转动惯量：j 3 = 0 0 0 4k g m 2 中、下摆重心之阉的距离；厶= o 4 9 m ； 上、中摆重心之间的距离：l = 0 4 5 m ； 上摆和中摆之间的转动摩擦系数：只= o 0 1k g m 2 s ； 中摆和下摆之闽的转动摩擦系数：只= 0 o lk g m 2 s ； 下摆和小车之间的转动摩擦系数：f = 0 0 1k g m 2 s ； 电机及功率放大器豹增益：五= 1 5 n t v 。 2 3 。3 三级倒立摆数学模型的建立 下霆根据l a g r a n g e 方程来建立三级倒立摆系统豹数学模型，令r 为水平 导轨运动的位移，只、b 、0 3 分别为下、中、上摆偏移竖直方向的角度。对 于同时受到保守力和耗散力作用於三级倒立摆系统的l a g r a n g e 方程应为： 暑e 争一嚣+ 鼍+ 嚣= 气 2 - 1 0 一， 一 ) 一一+ + 一= ， d l 、蕊。+ 8 q 。两| 鼬| 4 、 式中； 吼广义搬标，即r 、岛、岛、0 3 气为菲蠢势广义力，当q ，= r 对，气= g o u ，u 为控制掌，q 淹增 益常数，当g f = 鼠、0 2 、6 1 i 时，咒= 0 t 、v 、d 分别是系统的动能、势能和耗散能 ，= 霉、矿= 、d = 鼙 ( 2 - 1 1 ) 式中： h 倒立摆的级数，这飘 = 3 l 小车和各级攒瓣动能 小车和各级摆的势能 口小车和各级摆的耗散能 瓦2 圭螈 薯= 圭一馥2 + 互1 蚂 丢e r + ts i n 最， 2 + l = c o s 最) 2 = 妻牟+ 丢鸭 ( “c 。s 馥馥) 2 + ( 如媛磅) 2 艺= 甲1 胁州啡徊硅， 2 + 扣嘲却叫2 = 丢以彦+ i t 坍： ( f + 厶c 。s 岛馥十毛e 。s 岛晓) 2 + ( 厶s i n 岛- 呜+ f 2s i 撞岛馥) 2 哇埔咖x 瓣d筠2 j = 扣+ 驯篡搿嚣羞祷嚣 d o = 2 1 d l = 妻只出 b = 三毋瞍一馥) 2 b = 圭e ( 建一龟) 2 为 式中： m ( o t ，馥，最) 村( 最，色，毡) = ，_ 卵 彰 e ； 弱 葺c o s o l k 2 c o s 0 2 m s c o s 0 3 + ( 最，岛，只，馥，幺，馥) l 磊瑙s i n 0 , 绣 0 曩+ 咒 0 琏厶s i n ( e 2 一最) 岛e 0 厶f 3 s i 鹕一8 ) t 哇 g ( u ，毋，睦，岛) = 墨c o s 0 i 氩 筠与c o s ( 龟一q ) m ：上i f 3 ( 岛一最) g 如 墨g s i n 谚 k 2 9 s i n 岛 坞鹤s i n 0 3 ， 研 嘎 g = g ( u ，8 ，岛，岛) ( 2 - 1 2 ) k 2 c o s 包 挺2 c o s c e , 一鼓) 足。 冁岛厶( 绣一睦) 喝幽馥0 一与五s i n ( o ：一鸟) 皖一巧 最+ 焉 鹄f 磊s i n ( o ，一琏) 岛一墨 m 3 c o s 0 3 m ：厶毛( 绣一瞑) 搠。岛f 3 ( 绣一晚) 以+ 鸭毛2 一唱s i n a 3 岛 鸭厶f 3s i n ( 0 ，一岛) 岛 - m 3 l 2 1 3 s i n ( 0 3 岛) 岛一羁 羁 k o = m + 礁+ 鸭+ 飓 k l = 强+ + 鸭z 1 岛= m 2 屯+ 鸭如 妈= + 码2 + 用2 嚣+ 置 k 4 = j 2 + 譬+ 鸭骂 式( 2 1 2 ) 是个非线性肉量微分方程，考虑到系统工作时，是在平衡位置 附近运动，可将式( 2 1 2 ) 在u = 0 平衡位鬣，z 岛= 睦= 岛= ，= 磅= 息= 绣= 0 附 i 荩线性纯，来代替式( 2 。1 2 ) 购非线 生向量微分方程。具体线性纯是忽略二次以 上的项( 或因为最，易，只在5 。以内，故s i n 0 “0 ，c o s l 9 * 1 ) ，可求出关予 毋、d e , 、d 岛、d 绣的线性化微分方程，两后将d r 、d 最、螅、鹅改写成 r 、8 、馥、0 3 ，便可得到系统的状态方程。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 根据物理模型豹实测数据，可求得平衡点处的三级倒立摆的系数矩阵为： 式中 令 m ( 0 ，o ，0 ) = l + 4 8 3 0 o 1 2 0 2 o 。1 2 4 9 0 0 7 2 7 n ( 0 ，0 ，0 ，0 ，侥o ) = 利用m a t l a b 中的求逆愈令， ro 9 7 7 9 o ，o ，= i 苫嚣 i o 1 5 0 7 o 1 2 0 2 o 0 3 1 7 0 0 3 5 0 。0 2 0 3 00 o1 1 8 4 4 oo o0 o 1 2 4 9 0 。0 3 5 0 0 5 4 3 0 0 3 6 3 o o 1 2 3 0 3 o 0 0 7 2 7 o 0 1 8 8 0 ，0 3 6 3 0 0 4 0 7 o o o o 7 1 5 7 疆以解褥m 。( o ，o ，0 ) 阵 - 4 4 1 5 10 9 8 7 1 - 0 0 5 8 5 8 1 3 9 2 5 0 3 1 0 4 1 6 4 63 6 2 8 0 5 - 9 5 。1 2 21 2 3 3 5 9 6- 6 7 2 5 9 5 2 3 1 8 9 4- 5 9 8 2 2 9 6 7 5 3 5 3 所以，式( 2 1 2 ) 的线性化微分方程为 ， 岛 _ 岛 - 绣 = - m 一1 ( o ，0 ，o ) ! f ( 0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，o ) f o 0 n ：0 k t g 0 0 00 产 最 岛 岛 + 材“( o ，0 ，o ) n 00| 00 l k 2 9 0 0 醚3 9 31 编 0 0 o u 陀一1 3 ) q o o 0 p。，。l | i 、， oo0站 l g 哈尔滨工程大学硕士学位论文 工= 镤 砬一只 g 一岛 l0 ol ol oo oo oo lo ll巨 皇t ， 最 晓 绣 故式( 2 一1 3 ) 改写为 章= 一t m 一( o ，o ，f ( o , 0 ，0 ，0 ，0 ，o ) t 一1 x + t m 一( o ，0 ，o ) n t 一1 舅+ t m “( o ，0 ，o ) 定义状态向量x 为； 则由式( 2 1 4 ) 可得： g 0 0 0