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东北大学硕士学位论文 摘要 球磨机动态质量等效转动惯量计算方法研究 摘要 对于球磨机、搅拌机一类旋转机械，计算其动态质量转动惯量对合理使用能量和提 高控制过程品质具有重要意义。本文以球磨机为例，在分析其工作特性的基础上，研究 其动态质量等效转动惯量的计算方法。 本文主要研究了球磨机在泻落与抛落两种工作状态下的等效转动惯量计算方法。针 对这两种工作状态，各采用了两种不同的方法对球磨机内部介质的等效转动惯量进行了 理论计算，由此建立了介质在两种状态下转动惯量与填充率和转速率之间的数学模型并 运用m a t l a b 软件对模型进行分析，通过分析和比较确定了两种状态下等效惯量的最终 模型。此外，针对介质运动极其复杂的过渡状态混合状态，根据前后两种状态的最 终模型，本文采用了曲线拟合的特殊方法建立了混合状态下的计算球磨机动态质量等效 转动惯量的模型，并由此得到了整个阶段的最终模型。在文章的最后，根据整个阶段的 最终模型计算两种型号球磨机电机的额定功率，并将计算结果与实际电机额定功率进行 比较，验证了最终模型的合理性和有效性。 本文的创新之处在于：当球磨机中的介质处于混合状态时，提出能量和惯量无突变 的原则，并按此原则，采用曲线拟合方法确定了这种状态的等效转动惯量模型；设计了 计算球磨机驱动电机额定功率的新方法，即通过计算球磨机等效转动惯量来计算其驱动 电机的额定功率，弥补了传统方法计算球磨机功率消耗时存在的一些不足。 关键词：球磨机；转动惯量；计算方法；曲线拟合 东北大学硕士学位论文 s t u d y o nc a l c u l a t i n gm e t h o d so f d y n a m i c m a s s e q u i v a l e n tr o t a r yi n e r t i ao f b a l lm i l l a b s 仃a c t i th a sg r e a ts i g n i f i c a n c et oc a l c u l a t et h ed y n a m i cm a s sr o t a r yi n e r t i ao fr o t a r ym a c h i n e s u c ha sb a l lm i l la n da g i t a t o r , b e c a u s ei t i su s e f u lf o ru s i n ge n e r g ya n di m p r o v i n gc o n t r o l p r o c e s sq u a l i t y t h ec a l c u l a t i n gm e t h o d so fe q u i v a l e n tr o t a r yi n e r t i a a r es t u d i e dt h r o u g h a n a l y z i n gt h ep e r f o r m a n c ec h a r a c t e r o f b a l lm i l l i nt h i sp a p e rt h ec a l c u l a t i n gm e t h o d so fe q u i v a l e n tr o t a r yi n e r t i ai ss t u d i e di nt h es t a t eo f p o u rf a l l i n ga n dc a s tf a l l i n go f b a l lm i l l t h ee q u i v a l e n tr o t a r yi n e r t i ao fm e d i u mi nb a l lm i l l i sc a l c u l a t e di nt h e o r yr e s p e c t i v e l yi nt h et w ow o r ks t a t e s t h e n ，t h em a t h e m a t i c a lm o d e l a b o u tr e l a t i o n so fr o t a r yi n e r t i a , f i l l i n gr a t ea n dr o t a t i o n a ls p e e da r ef o u n d e d t h ef m a lm o d e l s i nt h et w os t a t e sa r ee n s u r e dt h r o u g ha n a l y s i sw i t hm a t l a bs o f t w a r ea n dc o m p a r i s o n b e s i d e s ， w h e nt h em e d i u m so fb a l lm i l la r ei nt h ec o m p l i c a t e ds t a t eo ft r a n s i t i o n - c o m p o u n ds t a t e ，a n e ws p e c i a lm e t h o d ( c u r v ef i t t i n g ) i su s e dt of o u n dt h em a t h e m a t i c a lm o d e li nt h i ss t a t ew h i c h i sb a s e do nt h et w os t a t e s b e s i d ei t a s 也em o d e l si nt h et h r e es t a t e sa r ef o u n d e d ，t h ef i n a l m o d e li na l ls t a t e sc a nb ef o u n d e de a s i l y i nt h ee n do f t h ep a p e r , t w ot y p eo f b a l lm i l lm o t o r s r a t i n gp o w e ra r ec a l c u l a t e db yt h e f i n a lm o d e li na l ls t a t e s i tc a l lp r o v et h a tt h ef i n a l m a t h e m a t i c a lm o d e li na l ls t a t e si sv a l i da n dr a t i o n a lb yc o m p a r i n gt h ec a l c u l a t i n gr e s u l t s w i t ht h ep o w e r r a t i n go f e x i s t i n gm o t o r s t h em a i ni n n o v a t i o no ft h i sp a p e ri st h a t ：w h e nt h em e d i u m so fb a l lm i l la r ei nt h e c o m p o u n ds t a t e ，ap r i n c i p l et h a te n e r g ya n d i n e r t i aa r ew i t h o u tb r e a ki sp u tf o r w a r d ，b a s e do n i tt h ee q u i v a l e n tr o t a r yi n e r t i am o d e li nt h i ss t a t ei sf o u n d e d an e we q u i v a l e n tr o t a r yi n e r t i a m e t h o do fb a l lm i l li sf o u n d e dt oc a l c u l a t ei t sm o t o r sr a t i n gp o w e r t h i sc a l lo v e r c o m et h e s h o r t a g eo f t r a d i t i o n a lm e t h o d st oc a l c u l a t eb a l lm i l lp o w e rc o n s u m i n g k e yw o r d s ：b a l lm i l l ；r o t a r yi n e r t i a ；c a l c u l a t i n gm e t h o d ；c u r v ef i t t i n g 1 1 1 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文 中取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经 发表或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：苍并卅司 日期：移6 - 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用 学位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北大学可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 意。) ( 如作者和导师同意网上交流，请在下方签名；否则视为不同 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期： 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 在工程机械中，球磨机、水泥搅拌机是一类特殊的旋转机械。这类设备的特殊之处 在于磨矿介质和物料的质量分布与设备的转速密切相关，转动惯量是一个变量。显然， 在系统设计和工作过程控制中，准确计算系统的动态转动惯量具有重要意义。本文以球 磨机为例，研究其动态质量等效转动惯量的计算方法。 1 1 球磨机基本情况概述 球磨机是靠其内部磨矿介质对物料的机械碰撞与研磨来获得粉状物料的。为了加快 这一过程，通常将一些质量很大的钢球放到球磨机的转筒中。 1 1 1 球磨机工作原理与分类 1 、球磨机工作原理 球磨机主要工作机构是装有研磨介质的转筒，依靠筒体回转时对物料的冲击和研磨 等作用将物料粉碎n 图1 1 为球磨机工作原理示意图。 图1 1 球磨机工作原理示意图 f i g 1 1 w o r k i n g p r i n c i p l es k e t c h m a p o f m i l l b a l l 1 筒体2 端盖3 轴承4 齿轮 球磨机的圆形简体1 ，利用螺栓与带中空轴颈的端盖2 连为一体，筒体借助于端盖上 的中空轴支承在轴承3 上。筒体内装有研磨介质，一般为钢球、钢段、钢棒和砾石等。 电机借助传动装置，通过装在简体一端的齿轮4 ，带动筒体回转。物料由给料器经给料 端的中空轴颈送入筒体内，当简体回转时，筒体内的研磨介质在摩擦力和离心力的作用 下，贴附在筒体内壁与简体一起回转，并被带到一定的高度，由于介质本身所受重力作 用，产生自由泻落或抛落，对物料产生冲击，同时磨矿介质还有滑动和滚动，使介于其 间的物料受到剥磨作用，这样不断的冲击剥磨而将物料粉碎。由于进料端不断的加入物 1 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 料，进料端和出料端之间存在料位差，并且介质下落时，冲击物料造成轴向推力，因此， 球磨机筒体虽然水平放置，但物料却可以由进料端缓慢的流向出料端，完成粉磨作业。 2 、球磨机的分类 球磨机的分类方式很多，归纳起来主要有以下几种： ( 1 ) 按筒体形状可分为：短筒磨机；长筒磨机；管磨机：圆锥形磨机。 ( 2 ) 按排料的方式分：溢流排料磨机；格子排料磨机；周边排料磨机。 ( 3 ) 按作业特点分：湿式磨机；干式磨机。 ( 4 ) 按装入研磨介质的形状分类：磨机简体内装钢球或钢段的磨机称为球磨机；筒 体内装钢棒的称为棒磨机；磨机第一仓装钢球，以后各仓仍装入钢球或钢段的磨机成为 棒球磨机：磨机筒体内装砾石和瓷球的磨机称为砾磨机。 1 1 2 球磨机在各领域中的应用 球磨机是物料被破碎之后，再进行粉碎的关键设备。自1 8 9 3 年以来，它广泛应用 于水泥，硅酸盐制品，新型建筑材料、耐火材料、化肥、黑色与有色金属选矿以及玻璃 陶瓷等生产行业，对各种矿石和其它可磨性物料进行干式或湿式粉磨。图1 2 是球磨机在 工业中的应用实例。 (a)磨矿工业(b)陶瓷工业 图1 2 球磨机在磨矿工业中的应用 f i g 1 2a p p l i c a t i o no fb a l lm i l li ni n d u s t i y 球磨机在工业上的广泛应用说明它的结构、工作原理和性能是令人满意的。球磨机 的优点如下【2 l ： ( 1 ) 对物料的适应性强，生产能力大，可满足现代化大工业生产的要求； ( 2 ) 粉碎比大，并易于调整粉磨产品的细度； ( 3 ) 可适应不同情况下的操作，既可干法作业也可湿法作业，还可以把干法和湿法 合并一起同时进行； 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 ( 4 ) 结构简单、坚固、操作可靠，维护管理方便、能长期运转； ( 5 ) 有很好的密封性，可以负压操作，防止灰尘的飞扬。 然而，球磨机也有一些缺点，主要的缺点是工作效率比较低。大惯量、低转速和频 繁启动的工作方式是造成效率低下的主要原因。 1 2 球磨机等效转动惯量的研究现状 1 2 1 磨矿介质运动规律的研究 磨矿介质是用来研磨矿物的球磨机主要零件，也是球磨机中的主要动态质量。它的 运动状态关系到球磨机转动部分的质量分布和等效转动惯量的计算，也关系到球磨机的 工作效率。因此，本文关于磨矿介质运动特性的研究占有很大比例。目前，对磨矿过程 中磨矿介质运动规律的研究有很多【3 ，屯列。 1 、离散元素方法( d e m ) 当球磨机工作时，机器内部介质间或介质与机器内壁之间会发生碰撞和研磨。这是 一个复杂的运动过程，完全揭示其内在运动规律是比较困难的。在工程上，离散元素方 法d e m ( d i s c r e t ee l e m e n tm e t h o d ) 是分析上述过程的常用方法。目前用得较多的是二 维d e m l 6 ：q 和三维d e m l 8 ，9 j 。 二维d e m 介质运动建模的基本思想如下：首先将介质处理为二维盘，然后将介质 和时间离散化。通过建立力学模型，分析每个介质质点的运动情况。二维d e m 的力学模 型如图1 3 所示。某时刻与i 盘接触的其它盘分别为k ，l ，m ，n ，o ，p ，q 盘。i 盘的运动 取决于其初始状态和外界作用【9 】。 浩向 图1 3 二维d e m 中的力学模型 f i g 1 3m e c h a n i c sm o d e lo f t w od i m e n s i o nd e m 二维d e m 建模的关键是对i 盘的受力分析。认为邻接盘与i 盘碰撞时，将使i 盘产生 法向和切向两种运动。分别用弹性环节和阻尼环节描述碰撞过程中的法向和切向碰撞特 性，法向和切向力平衡方程为 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 心。= k n & 幔= k , v a t a d 。；c n v n ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) a d 一k( 1 4 ) 式中只、只分别为时间a t 内因弹性碰撞产生法向和切向力增量，n ； a d 。、a d ，分别为时间a t 内因阻尼碰撞产生法向和切向力增量，n ； 吒、t 分别为法向和切向弹性碰撞刚度， n m ； c n 、q 分别为法向和切向阻尼碰撞刚度， n m h 、屹分别为法向和切向相对速度， r r g s 。 将i 盘各接触点上的碰撞力以及作用其上的其它外力合成，得到作用于i 盘的总合力。 所以有 薯。1 m l e ( 1 5 ) 翦。巧 ( 1 6 ) 或一兀 ( 1 7 ) 式中 c 、i 盘各接触点上的碰撞力及其它外力在x ，y 方向上的分量，n ； 茸、只i 盘在x ，y 方向上的加速度，m s 2 ； 反岱【角加速度，r a d s 2 ； 毛i 盘转动惯量，k g m 2 ； m o l i 盘作用的转矩，n m ； 从北到小积分，可得法向速度和法向位移 气州：。气叫：+ 黾血 ( 1 8 ) 州：2 啦+ 毫出 ( 1 9 ) 4 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 经过迭代计算，当满足一定精度后就可以得到i 盘的运动轨迹。其它盘的研究与i 盘 类似。数值计算的稳定性决定于a t 的选择。实验证明，当f q 时，钢球与转筒之间便产生相对运 动。运动方程为 埘姜：n 一，昭c o s 口 ( 25 ) r 。 、 式中钢球的切向加速度 m a r = f m g s i n ( z ( 2 6 ) f = fn ( 27 ) 东北大学硕士学位论文 第二章球磨机介质运动规律研究 厂。转筒与钢球之间的滑动摩擦系数。 当n = 0 时，钢球的广义坐标掰= 口，此时钢球脱离筒壁沿抛物线飞落。 可见，铜球在转筒内的运动可分为三个阶段1 2 4 】。第一个阶段：当口r a l 时，钢球随 转筒一起运动，二者之间而无相对运动；第二阶段：即当d 。口。s 口，时，钢球与转筒产 生相对运动但仍未脱离筒壁：第三阶段：钢球脱离筒壁沿抛物线琶落。 当钢球即将抛落时，在球磨机转筒内的受力情况如图2 2 ( b ) 所示。当球磨机以线速 度v 带着钢球上升到a 点时，由于钢球重量g 的法向分力和离心力c 相等，钢球即 作抛物落下。如果球磨机的转速增加，钢球的抛落点随之提高。当线速度达到某一值u 时，离心力大于钢球重量，钢球升到z 点后不再落下，此即产生离心运动。可见，离心 运动的临界条件是c g 。 令m 为球的质量，g 为重力加速度，n 为球磨机每分钟的转数，r 为球心到球磨机 中心的距离，口为球脱离圆轨迹时连心线o a 与垂直轴的夹角。当球磨机的线速度为v ， 钢球升到a 点时有 c ：n 或堕：g c o s 口但8 1 武 将g = m g ，v = 专擎，刀“虿，代入上式，得到 n ：一3 0 石面r m ( 2 9 ) 4 r 、 显然，钢球进入离心状态时球磨机的临界转速 = 暑= 等r m ( 2 1 0 ，。而2 万 此处，d = 2 r 。由于球径比球磨机内径小得多，d 可以看作是球磨机转筒直径。 从磨矿效率来看，最不希望钢球群处于离心运动状态。根据式( 2 1 0 ) ，只要保证最 外层的钢球不满足离心运动的条件，钢球群就不会有离心运动。所以，m 是钢球群不发 生离心运动的最高转速。 2 1 3 钢球的运动分析 1 、圆周运动与抛物线运动 1 2 东北大学硕士学位论文 第二章球磨机介质运动规律研究 霪 勺 圈2 3 钢球的恻运动轨迹和抛物线运动轨迹 f i g 2 3t r a c ko f c i r c l ea n dp a r a b o l ao f s t e e lb a l l 在图2 3 中，取脱离点a 为原点，建立坐标x a y 。在该坐标下钢球运动的圆周轨迹 为 ( x - r s i n o r ) 2 + ( y + r c o s a ) 2 = r 2 f 2 1 1 ) 钢球从a 点以线速度v 抛出，抛物运动对应的水平距离和垂直距离分别为 x = ( v c o s 掰) tr 2 1 2 ) y = ( v s i n o t ) t - 毒g t 2 r 2 1 3 ) 从公式( 2 8 ) 可知： y 2 x t g 口一丽x - ( 2 - 1 4 ) 这就是在x a y 坐标中钢球抛落的轨迹方程式，这是一段抛物线。抛物线上几个特殊 点的坐标为 ( 1 ) 确定c 点的坐标 令拿：0 ，可得c 点的坐标为 f t = r s i n a c o s 2 a 儿= 主置s i n 2 口c 。s 口 2 1 5 ( 2 ) 确定d 点的坐标 令y d = 0 ，解得 臃x o = 2 r 0 咖8 2 a i = ” 1 3 东北大学硕士学位论文第二章球磨机介质运动规律研究 ( 3 ) 确定b 点的坐标 b 点是钢球抛物运动的终点，也是它开始圆运动的起始点。联立式( 2 1 1 ) 和( 2 1 4 ) ， 解得 髓4 - 愈4 r m s i n 篇c o 口s a 亿切 1 = 2 “ 2 、脱离点与落回点的轨迹 球磨机中的钢球群由若干层组成，每一层都有一个脱离点4 和一个落回点尽。每 一层球的4 的坐标各不相同，但它们既然都是脱离点，就都具有相同的几何条件。同样， 各落回点e 的坐标也都符合一个几何条件。找出这两种几何条件，就找出了这两种转折 点的连线，即脱离点与落回点的轨迹。 由公式( 2 9 ) 可知 r ：9 0 i 0 一c 。s 口= 口c 。s 口( 2 1 8 y 这里，口：。9 0 0 。当n 给定时，口为常数。 式( 2 1 8 ) 是以球磨机中心0 为极点，坐标轴o y 为极轴的圆的方程，圆的半径为= a 。 由于每一层钢球都有脱离角q 与球层半径置，并且都符合上述关系，因此，4 均在以 o , o = 昙为半径的圆上。这个圆就是各脱离点4 的轨迹，见图2 4 所示。 图2 4 脱离点4 和落回点置的轨迹 f i g 2 4t r a c ko f d e v i a t i o np o i n t ( 4 ) a n df a l l i n gp o i n t ( e ) 而落回角( 以、钢球中心与球磨机转筒中心的连线和x 轴的夹角) 可以根据e 点 坐标求出为 1 4 - 东北大学硕士学位论文第二章球磨机介质运动规律研究 s i n n = 竖r = 4 s i n 2 一c o s a i f f is i n o a ；一9 0 。) 式中 q 4 点对应的脱离角。 于是， n = 3 - 9 0 。 ( 2 1 9 ) 落回点e 到球磨机中心的距离为足，与极轴o y 之间的夹角为6 ：，由式( 2 1 9 ) 可知 b = 3 q = n + 9 f f 佗2 0 ) 点毽也在圆运动轨迹上，它也遵从公式( 2 1 8 ) ，于是同理有极坐标方程式 r = n c o s q = a c o s 3 ， ( 2 2 1 ) 当包；2 7 0 。时，r = 0 。此时表示曲线将通过o 点。式( 2 2 1 ) 表示落回点轨迹方程。 2 2 物料的运动和分布 球磨机中的物料也属于动态质量一部分。因此有必要研究球磨机工作时其内部的物 料分布，这也为研究球磨机动态质量等效转动惯量的计算奠定基础。 2 2 1 物料的运动状态 球磨机在不同的情况下可能呈现出不同的工作状况，其内部物料常有如图2 5 所示 的3 种运动状态类型，即脉动、抛落、贴紧。 图2 5 ( a ) 为脉动状态。此时物料很少，物料以群体的方式在远离公转中心处集合先 随筒壁旋转某一角度，再朝旋转的相反方向滑动，如此往返，始终处于不稳定状态。物 料被粉碎的机理主要在于钢球在磨筒壁上推动物料层，施加压缩、剪切、摩擦力，以研 磨作用为主。形成该种运动的原因是因为衬板与物料问摩擦系数小于物料间摩擦系数。 此时，衬板磨损严重，且粉碎效果较差。 o ( a ) 脉动状态c o ) 抛落状态 ( c ) 紧贴状态 图2 5 物料的运动状态 f i g 2 5m o t i o ns t a t eo fm a t e r i a l 图2 5 0 , ) 为抛落状态。介质适中，物料随转筒旋转到某一角度后，对相邻物料的压 1 5 东北大学硕士学位论文第二章球磨机介质运动规律研究 力等于零时，产生抛落运动。很明显，抛落运动的粉碎机理主要在于研磨体对物料的冲 击和打砸作用。这是磨机的主要粉磨方式。选择合适的结构及运转参数就可获得较好的 粉碎效果。 图2 5 ( c ) 为贴紧状态。某一薄层物料形成紧贴简体内壁的薄圆环，随磨筒无滑动旋 转，粉碎作用随厚度的增加迅速下降。 2 2 2 物料运动动态平衡模型 根据以上对磨筒中物料的运动分析，并经文献【刎实验观察验证，可以发现：在正常 工作情况下物料粉磨过程大体可分为4 个阶段，即筒内呈现出4 个区域，如图2 6 所示， 它们是：提升段；滑移段；抛落段：加速段。物料在磨机磨筒中，经加速段加 速后获得和转筒相同的转速，在离心力作用下经提升段提升到一定高度后，由于摩擦力 不足以克服重力，物料便进入了滑移段。在滑移段物料既有相互之间滑动又随筒体转动， 当离心力不足以克服重力时物料之间相互压力消失，产生抛落。进入抛落段后物料作抛 落运动，抛落下来的钢球和物料与加速段的物料相互发生强烈的冲击、挤压和研磨作用， 物料被粉碎。抛落下来的物料再经加速段加速直至获得和转筒相同的转速，回到提升段。 物料就是这样在不断循环往复中被粉碎。在磨机工况稳定时，物料通过上述运动来保持 区域的相对稳定。这就是物料运动动态平衡模型。 ( a ) 物料粉碎过程4 阶段嘞筒内呈现出的5 区域 图2 6 物料运动动态平衡图 f i g 2 6d i a g r a m o nd y n a m i cb a l a n c eo fm a t e r i a l 由上述对球磨机的工况和动态平衡分析可以得出以下结论和假设： ( 1 ) 在一般工作状况下，球磨机内物料的运动状态是抛落运动，其他两种运动状态 均可以由抛落式运动演化而来； ( 2 ) 钢球和物料的运动状态基本相似，因此，可以运用钢球的运动理论来分析物料 的运动； ( 3 ) 为了便于分析，可把钢球和物料抽象为密度均匀的“介质”，在后面章节中出现 】6 东北大学硕士学位论文 第二章球磨机介质运动规律研究 的“介质”都是指钢球和物料的混合物。 2 3 球磨机的主要工作参数 球磨机内部介质处在抛落状态下的等效转动惯量与转速率、填充率有着必然的联 系，显然这些都与钢球的运动有关。为了解决这些问题，必须从分析钢球在抛落状态下 的运动入手，在明确它们的运动轨迹的基础上，分析计算球磨机的一些主要工作参数， 从而为研究球磨机动态质量等效转动惯量的计算奠定基础。 2 3 1 转速率与填充率 设n 为球磨机的实际转速，球磨机的转速率定义为实际转速与临界转速的比，即 妒= 旦1 0 0 ( 2 2 2 ) 由公式( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 可得 1 ：f - 一c o s a ( 2 2 3 ) 角a 为脱离角，标志介质开始抛落时升到的位鼍。式( 2 2 3 ) 表明，转速率愈高，脱 离角愈小，介质上升到的位置愈高。当脱离角为o 。时，转速率为1 ，即实际转速等于临 界转速，介质到了球磨机的顶点，要开始离心化了。 球磨机填充率定义为介质体积与转筒有效容积之比，即 庐一k k - 4 m ( i o o o d 2l 6 ) 上式也可化简为 j l f 1 0 0 0 “言加屯却k g ( 2 2 4 ) 其中肛一转简直径，m ； 6 一转筒长，m ； k 转筒有效容积，m 3 ； 6 介质堆密度，t m 3 ； k 介质体积，m 3 ； 膨一介质质量，k g 。 每层介质对应着相应的半径和脱离角。设最外层介质对应的半径为冠( 相当于转筒 半径) ，脱离角为q ；最内层介质对应的半径为r ，脱离角为口：。根据式( 2 1 8 ) ，二者 之间有下述关系 】7 东北大学硕士学位论文第二章球磨机夼质运动规律研究 土；生；辈( 2 2 5 ) c o s o t lc o s a 2 n 。 或 拿；竺堕：k( 2 2 6 ) rc o s a l 、7 比值世间接度量了装入介质的多少，装入介质愈多r 愈小，k 值越大。 由公式( 2 2 3 ) 、( 2 2 6 ) 可知 c o s a 2 = k c o s c t i = 脚2( 2 2 7 ) 及 c o s a l = 妒2( 2 2 8 ) 式( 2 2 7 ) 和式( 2 2 8 ) 表明，最外层介质的脱离角仅与转速率有关，而最内层介质的脱 离角与转速率和填充率都有关。 由此可知，为了保证最内层介质也能处于抛落状态，填充率与转速率必有一定的关 系，而且这种关系应该包含一个转速临界点。低于这个临界点，球磨机的转速不足以使 最内层介质作抛落，此时内层介质处于泻落状态。这些关系可用下面的理论公式表达和 计算f 1 6 1 妒一赤k 2 a ) c o s 2 a + s i n 2 a a + s i n 4 ai ：( 2 2 9 ) 式( 2 2 9 ) 称作超越方程。可利用计算机求解不同、妒条件下的k 值。对于磨矿的 理论分析、功率计算和球磨机等效转动惯量的计算很重要。利用式但2 9 ) 计算k 值的步 骤如下： ( 1 ) 给出妒值，按c o s a l 一妒2 求口l 值： ( 2 ) 按等间距给出妒值，利用式( 2 2 9 ) i 函数关系求值； ( 3 ) 求出口：、q 后按k 塑关系求足值。 c o s a ， k 值的近似计算公式为( 2 3 0 ) i 删，通过计算可知其误差小于2 。因此， 见，在后面的相关计算中用式( 2 3 0 玳替式( 2 2 9 ) 。 k 一2 4 6 6 扫； 1 8 - - 为了方便起 ( 2 3 0 ) 东北大学硕士学位论文 g - = 章球磨机介质运动规律研究 球磨机的转速直接影响到粉磨效率【1 8 | 堋。在生产实践中，希望球磨机的研磨功率最 大，与之对应的转速称为适宜转速。根据介质运动理论模型，文献【1 9 】给出了五种理论适 宜转速的计算公式，它们从不同角度表达了球磨机的转速与其工作效率的关系。计算公 式如表2 1 所示。 表2 1 五种理论适宜转速的计算 t a b l e2 1f i v ef e a s i b l et h e o r yc a l c u l a t i o n so nr o t a t es p e e d 2 3 2 球磨机内运动区域的划分 在详细分析球磨机内钢球的运动规律之后，可以根据钢球的运动状态进行区域划 分，区域分布结果如图2 7 所示。图中包含四个区域： 矮蒙 测岁。 图2 + 7 球磨机内各区域和介质切面积 f i g 2 7 a r e a o f b a l l m i l la n d t a n g e n c y a r e a o f m e d i u m ( 1 ) 泻落运动区图中画实线的部分。在这个区域里，钢球群处于泻落状态，物 料被钳在钢球之间受剥磨作用； ( 2 ) 抛物落下区途中画虚影线的部分。在这个区域里，介质处于抛物下落状态。 在钢球下落的过程中，没有磨着物料。钢球在落回点处对物料起到冲击、打砸作用； ( 3 ) 肾形区靠近球磨机中心的部分。在这个区域里，钢球的圆运动和抛物线运 动很难分辨。钢球仅作蠕动。磨矿作用很微弱。当装球较多而转速又不足以使它们活跃 地运动时，肾形区就较大，磨矿效果也较差； 】9 东北大学硕士学位论文第二章球磨机介质运动规律研究 ( 4 ) 空白区在抛物落下之外的月牙形部分，为钢球未到之处，当然没有磨矿作 用。转速不足时，钢球抛落不远，空白区就较大。 上述区域划分说明了球磨机内的研磨过程和动态质量的分布情况，是效率分析和等 效转动惯量计算的依据。 2 3 3 泻落与抛落临界转速率 介质由泻落状态向抛落状态过渡以及由抛落状态向离心状态过渡时必定存在临界 转速，把这个临界转速对应的转速率定义为临界转速率。下面阐述泻落临界转速率和抛 落临界转速率的计算方法。 1 、泻落临界转速率的计算【1 6 】 取最外层介质作为研究对象，并定义使最外层介质发生抛落运动的最小转速为泻落 临界转速，此转速对应的转速率称为泻落临界转速率( 用妒。表示) 。 当最外层介质发生抛落运动时，其落点坐标的值能说明初始速度v c o $ 口t 的大小。 如果能求出的最小值，则此最小值对应的转速率就是抛落临晃转速率妒，。为此 根据公式( 2 1 7 ) ，求相对于脱离角口的一阶倒数并令其等于零，可得 粤。 4 r s i n a c o s 2 a r s i n a 0 矗口 求解上式可得口的两个值分别为2 6 。4 4 和7 3 。4 4 ，而相对于脱离角口的二阶导数 为 鲁。4 c o s a s i n 口( 7 1 6 c o s 2a ) ( 2 3 1 ) d 口。 、7 、7 将口= 2 6 。4 4 和口= 7 3 。4 4 分别代入上式，可得 a - 2 6 。4 4 时，鲁c 。 a - 7 3 。4 4 时，鲁，。 故当= 7 3 4 4 4 时有极小值，此时的a 值是最外层介质的最大脱离角。其对应的 转速率即为泻落临界转速率。 将乜= 7 3 。4 4 带入式( 2 2 8 ) ，即可求得泻落临界转速率为 妒。石忑= 而而：0 5 3( 2 3 2 ) 2 0 东北大学硕士学位论文 第二章球磨机介质运动规律研究 2 、抛落临界转速率的计算 式( 2 2 9 ) 、( 2 3 0 ) 表明了k 、庐、妒三者之间的关系。在一定填充率下，必有一个i 临 界转速率【2 0 b , 。当妒= 妒。时，最内层介质处于抛落状态；当妒 识时，最内层介质处泻 落状态( 外层介质可能处于抛落状态) 。定义妒。为球磨机的抛落临界转速率。 妒。值可按下列步骤做近似计算：由式( 2 3 0 ) 可知 足啦，揣s = 器= 丁c o s 7 3 4 4 式中c o s 7 3 。4 4 是最内层介质发生抛落运动的最小脱离角，可通过对最内层钢球落 回点的水平位移求最小值得到。 化简上式后 妒6 - 1 2 4 6 6 口n p4 ；0 0 6 4 5 ( 2 3 3 ) 给出不同的庐值可求得眈值，然后求出k 值。表2 2 给出一些计算结果。 表2 2 抛落状况时不同填充率对应的妒。和k 值 t a b l e 2 - 2v a l u e so f 妒ca n d 琏r e l a t e dt od i f f e r e n t 创i n gr a t i oi np a f a b o f i c f a l l i n gs l a t e 2 3 4 介质的循环次数 研究球磨机介质运动学是计算关于转速率、填充率、转动惯量、有用功率和生产率 的基础【船2 9 】。球磨机一直定轴转动，其中的介质运动轨迹一部分是圆弧，另一部分是抛 物线。值得注意的是，在球磨机转一转时，介质的运动循环次数通常大于1 。 设是介质作圆周运动的时间。当球磨机转一转时，介质做周圆运动对应的圆心角 为晓度，因此所用时间 口6 0 f 1 。疬。i ( 2 3 4 ) 由图2 _ 3 可知见；2 7 0 。一口一卢，联立式( 2 1 5 ) 可得 2 1 东北大学硕士学住论文 第二章球磨机介质运动规律研究 酢= 3 6 0 。4 a 。 ( 2 3 5 ) 所以 360-4a90。-act 佗361i 2 f 2 百 【2 。 设r ：为介质作抛物线落下的时间。取4 为坐标原点，则 t ：；土( 2 3 7 ) r 2 w s g 2 因为 x 2m 4 r 2 c o s 2 a 2s 劬：及也；等 所以 f 。兰丝旦c o s a 2 s i l l a 2 一 v 2c o s t 2 2 玎以 或 t 2 1 9 1 s i n2 a 2陀3 8 )一 l z 从而，介质运动一个循环周期需要的时间为 z - t t + 1 2 ( 9 0 - a 2 ) 西+ 2 _ 8 6 s i n 2 a 2 ( 2 3 9 ) 球磨机转筒转一转介质的循环次数为 f一竺。而i币905tn丽 ( 2 4 0 ) ( 9 矿一) + 2 8 6 s i n 勉， 、7 由此可知，介质的循环次数取决于脱离角口：。当球磨机转速不变时，不同的球层有 不同的脱离角，它们的循环次数也不同。球磨机的转速愈高，a ，越小，循环次数也越少。 到了介质离心化时，口，= 0 ，卢l ，此时介质贴在衬板上与球磨机一起转动。 参考图2 5 考虑整个介质的情况。在球磨机转周的时间内，沿圆周轨迹经过断面 a b 的球的体积为 石( 砰一碍汪- m 写2 ( i k 2 弛( 2 4 1 ) 球磨机内介质的体积为加砰三。若球磨机转一转全部介质循环i 次，则 厢砰( 1 一k 2 皿t 拓砰工 所以 东北大学硕士学位论文第二章球磨机介质运动规律研究 1 一匿2 z = 一 西 f 2 4 2 ) 式( 2 4 2 ) 中的i 既与填充率矿有关，又通过k 值与球磨机的转速有关。转速率越大 的，在同样的填充率的条件下，k 值也越大，f 值却较小。如果转速率相同，填充率越 多，k 值越小，i 值却较大。这就是转速、填充率和影响冲击量的介质循环次数的相互 关系，也是球磨机工作参数选择的基础。 2 3 东北大学硕士学位论文第三章计算方法的研究 第三章计算方法的研究 本章研究球磨机在各种状态下等效转动惯量的计算方法。建立不同方法对应的数学 模型，并用m a t l a b 软件进行计算分析。 3 1 假定条件和临界转速率的确定 由于介质在球磨机内运动的复杂性，某些理论模型要在一些假定前提下分段建立。 选择合理的临界转速率是分段建模的前提。 3 1 1 假定条件 ( 1 ) 将整个钢球和物料看作是密度均匀的散体介质1 2 6 1 ，后面章节中出现的“介质” 是指钢球和物料的混合物； ( 2 ) 认为球磨机输入功率的一部分使研磨体和待磨物料具有一定的动能和势能，另 一部分消耗于传动装置的机械摩擦； ( 3 ) 假设研磨体在转简体内逐层进行循环运动，互不干涉； ( 4 ) 抛落状态时，假设研磨体在转筒体内存在圆周运动和抛物线运动两种形式； 岱) 不计钢球和物料与转筒内衬之间的相对滑动，不计物料对钢球运动的影响。 上述假设示意如图3 1 。 图3 1 钢球分层运动示意图 f i g 3 1d e l a m i n a t i n gm o t i o ns k e t c hm a po f s t e e lb a l l 3 1 2 临界转速率的确定 要根据介质的不同工作状态分段研究其等效转动惯量，必须先确定出两种状态的临 2 4 - 东北大学硕士学位论文第三章计算方法的研究 界条件。本文将用到的两个重要临界转速率是妒和吵。妒- 是最外层介质发生抛落的最 小转速率，即泻落临界转速率；妒。是介质最内层发生抛落运动的最小转速率，即抛落 临界转速率。 当0 妒c 叽时，介质处于纯泻落状态； 当矾c 妒c 妒。时，介质处于混合状态( 将在3 6 节分析) ： 当妒。c 妒 1 时，介质处于纯抛落状态。 此外，通过研究球磨机的有用功率与填充率、转速率的关系可知| 3 0 l ，当毋；5 0 时 球磨机的功率消耗达到最大值，这时产生最大磨碎功，磨矿效果最好。因此，把填充率 提高到庐一5 0 以上是不合理的。为了更方便地研究填充率对球磨机等效转动惯量和能 量使用的影响，本文分别以庐= 3 0 ，= 3 5 ，矿= 4 0 ，妒= 4 5 ，妒= 5 0 五种情 况进行分析。 3 2 泻落状态下动态质量等效转动惯量的计算 球磨机在泻落状态时，介质分布如图3 2 ( a ) 所示，可等效成图3 2 ( b ) 中用影线画出 的弓形。q 是弓形横断面对应的圆心角，s 是弓形的重心。介质向旋转方向偏转角度口， 此角度叫做介质的自然安息角。在偏转角范围内介质沿圆周轨道上升，然后沿斜面下滑， 构成连续循环，即所谓的泻落运动。下面将用两种方法计算介质处在这种状态下的等效 转动惯量。 3 2 1 积分法建模 j 一 9 l 、 镱夔 o ( a )c o ) 图3 2 球磨机的泻落工作状态 f i g 3 2p o u rf a l l i n gw o r k i n gs t a t eo fb a l lm i l l 根据磨矿介质处在泻落运动状态的分析，可将此时的介质作为散体考虑，即把图 - 2 5 东北大学硕士学位论文第三章计算方法的研究 3 2 ( b ) 中阴影部分看作密度均匀分布的刚体。这部分质量相对于转筒中心轴的转动惯量 可以通过积分运算求得1 3 。为了方便分析，将图3 2 等效为图3 3 。 y 觞燃 吨夕1 ? 图3 3 球磨机泻落状态等效图 f i g 3 3 e q u i v a l e n t f i g u r e o f p o u r f a l l i n g w o r k i n gs t a t eo f b a l l m i l l 取图3 3 阴影部分面积为出的单元体，则其质量d m 为 d m 一6 l 血 ( 3 1 ) 式中d 介质的堆比重，临3 ； 转筒长度，m 。 根据刚体转动惯量定义，结合图3 3 ，则介质相对于转筒转轴的转动惯量( 用j ，表 示) 为 j 12 正0 2 + _ ) ，2 ) d m( 3 2 ) 式中 f 图3 2 ( b ) 中的阴影部分区域，m 2 ； z 积分单元的横坐标； y 积分单元的纵坐标； m 积分单元的质量，k g 。 积分区间- r s i n o s 茗c r s i n o ，r c o s o s y s r 2 一并2 ，将( 3 1 ) 式代入到( 3 2 ) ，在积 分区间上积分得 j 1m 正0 2 + y 2 ) a n 。6 4 。2 + y 2 ) a s - d l d ，- r 如s i n 8 0 q = 2 + y 2 ) a y ) a x ；6 工广“80 2 厨+ ( r 2 - x 2 ) 2 x 2 rc o s0 - r 3c o s 3 _ _ _ 盟0 协 j r