（凝聚态物理专业论文）复合材料横向热导率研究.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 本文提出了复合材料的横向热导率的解析表达式，研究了复合材料横向导热优 化的问题。 根据热阻网络法基本原理，通过选用适当的单元模型、c s ( 圆柱一正方形) 模型， 运用电模拟方法，本文研究了复合材料在两种条件下( 理想接触和存在接触热阻) 横向热导率的分析表达式的推导。本文的复合材料热导率分析解结果与其它分析解、 与现有的其它c s 模型结果和实验结果吻合得相当好，并有着比有限元法( f e m ) 的结 果更高的精确度；此外，结果还表明，当在分析表达式中对热阻适当地加以考虑时， 本文的分析解结果与实验数据能吻合得更好。 ： 本文还结合热阻网络原理和电模拟方法，提出了两个通用的简化模型：e s 模型 ( 椭圆形一方形模型) 、r - s 模型( 矩形一方形模型) 。并由此模型，求出了相应的复合 材料有效热导率的解析表达式。此外，本文还全面求解了不同体分比和不同几何结 构条件下的复合材料热导率的结果，并对复合材料的有效热导率与几何结构的优化 ， 设计进行了分析讨论。f 结果表明：p l 的配置，有利于复合材料热量的散失，即如果想把某复 合材料用作为高效传热或散热部件，则p 应该设计成大于1 。 本文的研究成果可以为复合材料工程上如何有效实现对各种因素的控制与设计 提供了一定的理论指导意义。，i 关健词：横向热导率电模拟方法复合材料热阻优化 _ _ _ 一 一 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e p r e s e n ta n a l 如c a le x p r e s s i o n s f o rt r a n s v e r s et h e r m a l c o n d u c f i v i f i e so f u n i d i r e c t i o n a lc o m p o s i t e sb o t hw i t ha n dw i t h o u tt h e r m a lb a r r i e ra r ep r o p o s e d a n dt h e s t u d yo no p t i m i z a t i o no f t r a n s v e r s e t h e r m a lc o n d u c t i o no f c o m p o s i t e si sp e r f o r m e di nt h i s t h e s i s t h ep r o p o s e da n a l y t i c a le x p r e s s i o n sb o m 、i t l la n dw i t h o u tt h e r m a lb a r r i e rb e t w e e n f i b e ra n dm a t r i xa r eb a s e do nt h ee l e c t r i c a la n a l o g yt e c h n i q u ea n do nt h ec y l i n d r i c a l f i l a m e n t - s q u a r ep a c k i n ga r r a y u n i tc e l l m o d e l ( c - sm o d e l ) t h ep r e s e n tt h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s w i t h o u tt h e r m a lb a r r i e ra r ef o u n dt ob ei ne x c e l l e n ta g r e e m e n t 嘶t l lt h e e x i s t i n ga n a l y t i c a lm o d e la n d r e s u l t sf r o mo t h e rc - sm o d e l ，a n di ng o o d a g r e e m e n tw i t h e x i s t i n ge x p e r i m e n t a ld a t a f u r t h e r m o r e ，t h ep r e s e n ta n a l y t i c a lp r e d i c t i o n sw i t ht h e r m a l b a r r i e rc a nb e s tf i tt h ee x p e r i m e n t a ld a t ai fap r o p e rt h e r m a lb a r r i e ri si n c l u d e di ni ta n di t c a n p r o v i d e ah i p e r a c c u r a c y t h a nt h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o d ( f e m ) i na d d i t i o n , t w om o d e l sb a s e do nt h ee l e c t r i c a la n a l o g yt e c h n i q u ef o r o p t i n f i z a t i o no f t r a n s v e r s et h e r m a lc o n d u c t i o no fc o m p o s i t e sa r ep r e s e n t e d t h em o d e l sa r eb a s e do n t h e b a s i cc o n c e p to ft h e r m a lr e s i s t a n c en e t w o r kb ya p p l y i n gt h ep r o p o s e de - s ( e l l i p t i c a l f i l a m e n ta n ds q u a r ep a c k 堍a r r a y ) a n dr - st r e c t a n g u l a rf i l a m e n ta n ds q u a r ep k 鸭 a r r a y ) t u f i tc e l lm o d e l s t h eo p t i m i z a t i o ni nd e s i g no f e f f e c t i v et h e r m a lc o n d u c t i v i t i e so f c o m p o s i t e i ss t u d i e du n d e rd i f f e r e n tf i l l e rv o l u m ef r a c t i o n sa n dd i f f e r e n t g e o m e t r i c a r c h i t e c t u r e s t h er e s u l t ss h o wt h a ti fac o m p o s i t ei sd e s i g n e df o ri n s u l a t i o nm a t e r i a l ，w e s h o u l dc h o o s e p i t h e s ea n a l y s e sm a y p r o v i d e an e w m s i g l a ta b o u tt h et r a n s v e r s et h e r m a lc o n d u c t i v i t y a n dp r o b a b l ye n a b l ee n g i n e e r st om o t i v a t ean e wi d e s d e s i g nf o rd e s i g n i n gt h en e w c o m p o s i t e s k e y w o r d s ：t r a n s v e r s e t h e r m a lc o n d u c t i v i t i e se l e c t r i c a la n a l o g u e t e c h n i q u e u n i d i r e c t i o n a lf i b e rc o m p o s i t e st h e r m a lb a r r i e r o p t i m i z a t i o n 1 1 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = = = ；= = ；= = = = ；= = = = = = ；= = = = = = = = = = = 一 1 1 复合材料概述 1 综述 复合材料是由两种或两种以上的材料组成的，这些材料通常被看作是接触面牢固 粘接在一起的连续统一体。许多天然材料和人工合成材料都具有这个特性，如增强 型橡胶、内含填充物的聚合体、灰浆和混泥土、合金、多孔介质和断裂介质、纤维 复合材料、多晶聚合物，等等【l 】。 人们对新型复合材料的需求日益增长以满足更高性能产品的需要脚。由嵌入有机 ( 或无机) 基体中的玻璃、石墨或碳组成的纤维复合材料形成了一类新的具有广泛 应用途径的材料。尽管用于复合材料中的纤维种类繁多，石墨纤维复合材料却以其 优异的机械性能( 如高强度、高硬度) 而独树一帜。石墨纤维复合材料拥有良好的 耐腐蚀性和低摩擦和磨损性能。它被广泛应用于飞机，宇宙飞船和船舶某些结构、 汽车组件和优质运动产品。而且，因为由热造成的破坏日益增多，现在的电子封装 业正在开发石墨纤维有机基体，用来取代目前电子装置中使用的聚合体铸模复合物。 电子封装中能量密度和集成化程度的日益增加也需要对更能有效散热的新兴材料进 行选择。无机基体复合材料( 金属基体) ，尽管价格昂贵，却广泛使用于高强度、重 量轻的应用方面；而有机基体纤维复合材料价格相对较便宜，且易于制成，通常用 来大量供应要求重量更轻的应用途径。 随着现代科技的发展，复合材料已经广泛应用于军事、航天、通讯、电子、化 工、汽车等领域。 1 2 复合材料微结构 近年来，随着对复合材料( 由铝丝、铜丝、纤维丝等加上其它基体材料如聚合物 形成) 日益增长的需要，对具有不同组分的复合材料( 如结构材料和热绝缘材料) 华中科技大学硕士学位论文 微观领域的研究已成为当前国内外研究的热点课题之一。复合材料的微结构是影响 复合材料有效性能的重要因素之一，而且它能够被控制在一个可感知的程度。这里， 微结构指的是形状、尺寸分布、空间分布和基体中增强纤芯的方向分布口1 。研究表明， 复合材料有效热导率是一个关于热导率、材料微结构几何和各组分体分比的函数， 而与它们的量纲无关。而实验资料表明，复合材料有效热导率的大小还受各组分之 间接触热阻的影响【4 5 1 。在复合材料中，由于接触面机械或化学的粘结不良；或在制 造过程中冷却时，由于热膨胀系数的不匹配，导致加固或填充材料接触面出现热阻， 造成其有效热导率的降低，从而导致随着温度的升高，各组分之间的稳定粘接将遭 到破坏，造成不必要的损失。如果我们能够从现有的加固或填充复合材料性质中对 它们的机械性能和热性能加以掌握，有效地防范这些隐患，准确预言或发掘出其新 特性。那么我们就能够节省大量的资金、时间和人力花销 4 1 。因此，如何从理论的角 度去阐明、描述复合材料微结构对有效热导率和其它热物理学性质的影响，掌握它 们的物理学特性( 如机械性能、热力学性能) ，有助于工程上复合材料微观结构的优 化设计和应用。 1 3 复合材料有效特性的传统研究方法回顾 由于复合材料组分的不同类型，选择合适的模型和求解方案，通常需要处理庞大 的公式和数据。在保证其主要热物理学特征基本不变的前提下对其进行模型简化： 较大的减少其数据量；根据模型，有效地控制由各种瑕疵带来的不良影响：如何对 复合材料进行导热优化设计等问题，是一项很有意义的工作。 如今，文献中有大量预测这些复合材料有效宏观特性的方法可用。这些方法包 括：串联一并联热模型【】、变量法1 9 1 、统计方法【o l 和半经验公式方法等等。这些研 究中有一些是通过实验来确定复合材料的有效热导率，而另一些试图通过理论模型 来预测这些值。下面即对有关复合材料的理论和实验研究作一简单综述。 理论分析8 。1 8 1 l 研究复合材料的有效物理特性一直是材料科学和工程学上的重要研究课题之 2 华中科技大学硕士学位论文 。对复合材料特性的分析研究起始于一些科学史上的巨匠。m a x w e l l ( 1 8 7 3 年) 和 r a y l e i g h f l i j ( 1 8 9 2 年) 计算了由基体和具有确定分布的球形粒子所构成的复合材料 的有效热导率。对于机械性能的研究则最早来自于1 9 0 6 年e i n s t e i n 的一篇著名论 文。在这篇论文中，他计算了一种含有少量刚性球形粒子的流体的等效粘滞性。之 后的数年间，人们对热传导计算和复合材料的热弹性性能估测等实际问题产生了浓 厚兴趣，致力于复合材料的机械性能和热性能方面的广泛研究。如1 9 5 9 年，c a r l s l a w 和j a e g e r 研究了固体中的热传导，并阐明了些相关的热传导性能。在此期间，人 们主要进行的是科学研究，复合材料研究的技术价值并没有得到发挥。大约1 9 6 0 年 前后，随着由许多包含在聚合物( 后来，也可以是轻金属) 基体中的硬而坚固的纤 维柬( 如玻璃、硼、碳和石墨) 组成的近代纤维复合材料的出现，这种技术才脱颖 而出。 自此之后，基于连续材料特性和增强物微结构的复合材料有效特性的预测引起 了许多科学家的研究兴趣，宏观上各向同性的微颗粒复合材料和多晶聚合物在过去 有着广泛的研究【1 1 。其中大多数解析模型的建立都是基于以下假设脚： ( 1 ) 材料宏观上是均匀的： ( 2 ) 忽略纤维和基体间的互相影响： ( 3 ) 纤维和集体被看作是各向同性的 对于纤维复合材料的理论研究大多数都是基于r a y l e i g h 1 1 i ( 1 8 9 2 年) 的研究结 果。假定基体中的纤维为大小一致的圆柱，且纤维的方向与热流方向垂直，r a y l e i g h 推导出了方形基体中任何体分比的纤维的横向有效热导率的解。 h a m i l t o n 和c r o s s e r 1 2 l ( 1 9 6 2 年) 推导了具有随机形状的粒子混合物的热导率方 程并提出了一个计算基体中粒子形状的形状因子。缺点是这个形状因子必须通过实 验来测定。对于低纤维体分比( v ， 0 3 ) ，此理论与实验数据十分吻合。遗憾的是， 文中没有对高纤维体分比的情况进行研究。 s p r i n g e r 和t s a i l s ( 1 9 6 7 年) 采用平行模型法和剪切载荷比拟方法建立了填充物 与基体之间理想接触的单向纤维增强复合材料横向热导率的表达式。其c _ s 模型 ( c y l i n d e r f i l l e r - s q u a r e p a c k i n ga r r a y m o d e l ) 的横向熟导率表示为： 华中科技大学硕士学位论文 胁k k - - - z - _ l = ( i - 2 厢+ 牡南缸1 、1 + i - ( 州b 2 v ：石n ) 1 i ) 他们的s - s 模型( s q u a r e f i l l e r - s q u a r e p a c k i n g a r r a y m o d e l ) 的横向热导率是： 旷= 詈- ( 1 - 何) + 赤 ( 1 1 2 ) 其中，b s2 ( k _ | r 一1 ) = 2 ( 1 f l 一1 ) 。 b e h r e n s t l o j ( 1 9 6 8 年) 利用长波的方法，建立一个预测复合材料热导率的模型。 在这种方法中，考虑的是平面波在复合材料中的传播，并计算出了用于确定有效热 导率的关联阻尼系数。但是此方法没有考虑接触热阻。 h a s h i n 1 3 】( 1 9 6 8 年) 导出一个自相容方案模型来预测复合材料的热导率。他指 出，有效热导率的精确值不仅仅依赖于纤维体积比，而且与相位几何有关。 通过假定复合材料中的纤维呈抛物线分布，c h e n g 和v a c h o n 1 4 1 ( 1 9 6 9 年) 确定了 一个两相固体混合物的热导率。纤维被认为随机弥散粒子分布在基体中。且只适合 于纤维在复合材料中呈抛物线分布、纤维体积比小于6 6 7 时的结果才比较精确。 b a t c h e l o r 和o ，b r i e n ( 1 9 7 7 年) 、n o m u r a 和c h o u 9 1 ( 1 9 8 0 年) 、c h a m i s ( 1 9 8 4 年) 等人也先后对复合材料的有效热导率作出了研究。 h a s s d r a a n 和j o h n s o n 4 1 ( 1 9 8 7 年) 改进了m a x w e l l 和r a y l e i g h 最初的理论，推导出 由具有渐淡浓度分布的连续基体相组成的复合材料有效热导率表达式。这样的浓度 分布可以是球型、圆柱型和平面型几何结构，且各组分之间具有接触热阻。这个结 论不适用于横断面方向各向异性的纤维。他们的研究结果都没有与实验数据进行比 较。l u 等人【5 】( 1 9 9 5 年) 拓展了h a s s d m a n 和j o h n s o n 的理论，求解出单一纤维丝周 围基体中的温度分布从而求解出一个大环内含有n 条纤维丝的复合材料的有效熟导 率。这种类型的复合材料的横向热导率依赖的参变量多达十个。而且，他们的工作 同样没有提供与实验数据的比较。 p i t e h u m a n i 和y a oi ”，1 6 1 ( 1 9 9 1 年) 导出了一个单向纤维复合材料( 纤维丝与基 体之间理想接触) 横向热导率的分形模型，它的无量纲有效热导率屯，七。可表示为： 4 华中科技大学硕士学位论文 = = ；= = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一= = = 扣卅嘲+ 嘉一雁 删画2 c + 志c 2 - 1 l 晰而州 其中 归( f l - 1 ) ( 4 石v ) ( 1 _ s ) 2 ，；= 钞删，2 ， 一1 c 1 & c 0 ( 1 2 1 ) c 一1( 1 2 2 ) 拈生二生( 1 2 3 ) 4 2 画4 + 4 - 式中，d ，为复合材料垂直于热流方向的分形维数，d ，为沿热流方向的分形维数， v 是纤维的体分比，口是纤维和基体的热导率之比。当d ，= d ，时，方程式( 1 2 ) 可 简化为理想的c s 模型1 4 ，钔。然而，由于其分形维数需要用m o n t ec a r l o 方法来确定， 特别是在计算不同几何结构条件下的结果时，求解d ，和d ，十分麻烦，所以该模型在 实际使用时很不方便。 数值模拟计算6 ，1 9 。2 5 】 数值模拟计算中用得最多的是f d m l 2 0 彩j ( 有限差分法) 和f e m 6 ，2 4 , 2 5 1 ( 有限元 法) 。对于f e m ，它的控制方程或应力矩阵是以最小化函数原理为基础的。在f e m 方法中，给定的结构被划分为几个基本单元( 通常是三角形) ，而且每个单元赋予相 应的解法，然后写出必要的方程式( 或应力矩阵、刚度矩阵等) ，最后求得相应的近 似解。对于f d m ，控制方程或微分方程体系是基于微商近似。在f d m 方法中，一 个给定的结构通常也被划分为几个基本单元( 通常是矩形) ，但我们并不给每个基本 单元配之予相应的解法，而是写出一系列的有限差分方程，然后求解出其近似解。 从上述的比较可知，f d m 方法和f e m 方法都只能给出带有一定数值误差的近似解。 用数值方法，人们可以轻易地模拟出复合材料各种可能的瑕疵( 如纤维与填充物之 间的不良粘结、不同方向的裂纹等) 对其机械性能的影响，以及模拟出其热学性能。 这种方法简单、直观，在一定范围内能够给出与实验相符合的结果。但其缺点是所 得结果只能以曲线或图表方式给出，或以经验公式的形式给出，一般说来无法将其 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一一 表达为材料微结构几何和各组分体分比的函数。 实验研究1 7 , 2 6 , 2 7 】l 也有许多研究者对纤维复合材料的有效热导率进行了实验研究。这些研究只牵 涉到与他们特定用途相关的材料。如使用包含在一个有机基体中的碳或石墨纤维( 大 多数被环氧化) 进行研究。数据表明， 通常情况下，在7 5 至2 0 0 k 时，这些材料的 有效热导率在很大程度取决于温度，超过这个值，则温度的影响降低。实验测量的 难点是实验条件难以控制，如接触热阻。 这三个研究方向上，在处理具体的复合材料的各种问题上各有所长。因此，在 复合材料热导率领域中，探索一种更高精确度的解决方案或方法，是一项十分具有 挑战性的课题。 1 4 本文的工作简介 许多研究者对纤维复合材料中的热传导进行了研究，但从以上综述中可以看出， 迄今为止，仍没有综合描述各种参数( 纤维和基体的材料类型、纤维的几何排列、 纤维的体分比、纤维的尺寸、纤维和基体间的接触热阻，等等) 对纤维复合材料导 热性能影响的研究，也没有任何可用的解析表达式来预言这样的横向有效热导率特 性。本文第三章利用热阻网络法对具有接触热阻的单向复合材料有效热导率性能进 行了预测，研究了各组分材料导热性、体积比、纤维截面形状和分布对复合材料整 体导热性的影响，并在第四章深入地讨论了单向复合材料的导热优化问题。和已有 的理论及实验结果的比较说明本文提供的方法是有效的，因此本文的方法和结果可 望用于复合材料的热设计，即设计复合材料的组成结构( 包括各组分的体积比、纤 维截面形状和排列方式等) 以使材料的宏观导热性满足工程的要求。 6 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = = = = = 一 2 复合材科热导率研究的理论基础 导热性是材料的重要物理性质，材料的传导传热或热传导通常受到多种因素的影 响，如材料的物理性能、材料的几何形状、材料的表面特性( 如粗糙度、表面接触良 好与否) 。这些因素都将影响到材料的热传导性能，从而影响到材料的最佳热性能的 设计。 传热学是研究具有不同温度的物体间能量传播的一门学科。传热分为传导、对 流和热辐射三种形式【2 8 】。热传导是本文的理论基础之一。 2 1 热传导 实验表明：如果在一物体内存在着温度梯度，则能量就会由高温区向低温区转移， 这种能量是以热传导的形式来传递的。实验表明，通过单位面积的热流量正比于法 向温度梯度：粤娶，引入比例常数后可以写成： 以o x q = 一c l 娑 ( 2 1 ) 式中q 是热流量，o t i s x 是热流方向上的温度梯度。常数k 是正数，称为材料的导 热系数。式中的负号表示热传导服从热力学第二定律。方程式( 2 1 ) 称为傅里叶定律。 2 2 一维稳定热传导 对于一维稳定热传导问题。其温度梯度和面积都可以用一个空间坐标来表示， 用只含一个空间坐标变量的坐标系统就可以计算导热量。对于一维空间间隔缸和其 上的温度差丁。方程式( 2 1 ) 可以近似表示为 q = - 朗a 舣t ( 2 2 ) 我们也可以从另一不同的概念来研究傅里叶定律：热流量可以看作流量；而导 华中科技大学硕士学位论文 = 2 = = = = = = = = = = = = = = ；= = = = = = 一 熟系数、材料厚度和面积的组合则可以看作对应于流量的阻力；温差则是驱动热量 流动的位势函数。那么，傅里叶方程式可表示为： 热流量- 籍 ( 2 3 ) 这种关系与电路理论的欧姆定律完全相似。在方程式( 2 2 ) 中，热阻是缸朋。 应用电模拟可以解决包括串联热阻和并联热阻的更复杂的问题。图2 1 给出了 一个典型问题和它的模拟电路。对于这样类型的问题，一维热流方程式可以写为： 式中如是各种材料的热阻。 q - - 1 - _ _ - b ： - ：- ：f ： _ _ c ： 。 e ： _ 。- ：g ： + _ ： - - c ， q =( 2 4 ) i2345 ( a )( b ) 图2 1 一维串联和并联熟传导及其模拟电路 2 3 热导率的热阻网络法求解 热导率是导热的速率的量度。热导率定义为单位时间、通过单位面积单位温 度差时所传导的热量，热导率的单位为w ( m l ( s ) 。 基于电模拟原理，许多研究者采用了热阻网络法：、协m a 等人f 2 7 】把热一电模拟方 法运用于求解复合材料热导率，他们在电模拟技术的基础上研究了具有球形或非球 形内含物的复合材料的热导率。许多其他的研究者l 踟2 1 也成功地运用热阻网络方法 解决了一系列的复杂问题而且获得了令人满意的结果。可见。热阻网络法是求解复 合材料热物理性质的一个较为有效的方法，其特点是方法简单，与实验一致性较好。 8 华中科技大学硕士学位论文 2 4 接触热阻 考虑如图2 2 ( a ) 所示的两个互相接触的固体棒a 和b ，棒的上下侧面是绝热的， 所以仅在棒的轴向存在导热。两根棒由导热系数不同的材料制成，但如果侧面是绝 热的，则在稳定状态下，通过两种材料的热流必定相同。实验表明：通过两种材料 的实际温度变化类似图2 2 ( b ) 的曲线所示。我们说在两种材料接触面2 上产生的温 差是由接触热阻引起的。我们可以写出： q = k a a t i 越- t 。2 4 = 锗= k b a 7 2 f b - 7 3 或 q = 砑击瓣五面 亿5 ) 式中1 玩彳称为接触热阻，趣称为接触系数。在许多实际应用中，涉及两种材料连接 面的传热，此时接触热阻将是十分重要的。遗憾的是。现在还没有能够预示各种类 型工程材料接触热阻的理论，也没有完全可靠的实验关系式。这也是可以理解的， 因为在实践中将会遇到许多复杂的表面状况。 _ ( a ) 图2 2 接触热阻效应： a ) 一维热流通过两种不同材料的实际状况b ) 温度分布 9 华中科技大学硕士学位论文 3 具宥接触热阻的复合材料横向热导率的分析解 3 1 具有接触热阻的u n i tc e | l 结构、o - s 模型及其热阻网络 本章的主要目的是根据热阻网络法基本原理，在适当的u n i tc e l l 模型基础上， 求解出具有热阻的纤维复合材料有效热导率的解析表达式。 研究资料【3 6 】表明，尽管大多数复合材料拥有随机分布的纤芯，但研究具有周期 性结构的复合材料同样可以获取大量有关微结构对复合材料有效性能影响的认识。 由于统计上的对称性，我们在分析具有周期性结构的复合材料系统时更加容易。而 且这些对称性在确定有效性能的过程中能够使相关边界值问题高度简化。通常，对 于一个周期性系统，仅考虑一个单胞( u n i tc e l l ) 即可对整个系统的性能下一定论。 因此，对于我们现在所研究的单向纤维复合材料，我们假定： ( 1 ) 材料宏观上是均匀的； ( 2 ) 纤维和基体是均匀连续的，它们的导热性已知； ( 3 ) 纤维在基体中呈周期性或近似周期性分布。 一般的工程材料均满足前两个假定，最后一个假设保证了可以将材料分割为一 个个单胞，每个单胞都能代表整个复合材料的构成。 单向纤维增强复合材料宏观物理性质的预测已有很多方法，例如预测弹性系数 的复合定律和自洽方法。这些方法往往要建立简化的物理模型或近似的假设。和这 些方法不同，本文以连续介质理论为基础，根据复合材料的微观结构呈周期性的特 点，基于热阻网络原理，对影响复合材料有效物理特性的微观结构展开了研究，基 于复合材料的微观结构就得到材料的宏观性质。本节将给出采用电模拟方法预测导 热性的分析解模型。 图3 1 ( a ) 1 3 3 】是一个内含单向纤维( 也可以是铝丝、铜丝等作为填充物材料) 的 复合材料剖面图。一个典型的c - s 单胞模型( c y l i n d r i c a l f i l a m e n t - s q u a r e p a c k i n ga r r a y u n i tc e l lm o d e l ) 如图3 1 ( b ) 所示，箭头的方向表示热流沿着横断面的热传导方向。 1 0 华中科技大学硕士学位论文 图3 1 ( a ) 一个单向纤维复合材料的剖面图 ( b ) 圆柱形填充物一方形基体型复合材料横向导热的典型u n i tc e l l 模型 ( c ) 图3 2 ( a ) c - s 模型的具有接触热阻的一个u n i tc e l l ( b ) 计算p a r t2 部分接触热阻的示意图( c ) 计算p a r t3 部分接触热阻的示意图 华中科技大学硕士学位论文 许多研究者1 8 ，1 5 , 1 6 ，2 0 , 2 1 , 3 4 】采用了与图3 1 类似的单胞来分析复合材料的热 性能或机械性能】。相似的单胞也被用来求取球形粒子1 2 7 , 3 5 1 和立方形基体材料【3 叫的 有效热导率。 为了简化分析，由几何对称性可知，图3 1 ( b ) 可简化成图3 2 ( a ) ，我们可以选 择它作为我们求解具有热阻的单向复合材料横断面有效热导率的一个典型单胞( c s m o d e l ) 。如图所示： 3 2 横向有效热导率的分析解 在过去的三十几年里，许多研究者采用一维热流的假设来求取有效热导率。 z e h n d e r 和s e h l u n d e r 【3 6 】推导出基于一维热流的有效热导率中各组分热导率之间的 相互关系，他们假设一维热流通过充满球形粒子的基体。而j a m e s 和k e e n 【2 川应用 f d m 法和c s 单元模型，计算了单轴复合材料薄层的横向热导率。他们假定面a b 和 d c 在图3 1 ( b ) 或3 2 ( a ) 中是绝热的而面a d 和b c 分别保持为l 。c 和0 0 c 。然后应用 g a u s s s e i d e l 迭代法来计算单胞中的温度场。最后，为了求出有效热导率，在考虑u n i t c e l l 的几何性质的情况下，他们计算了a d 和b c 面之间的总热流。这意味着，为了求得 有效热导率，一维热流被应用于f d m 法。数值结果被画在- - ，1 n o m o g r a m 2 0 1 图上。为 了求出复合材料的有效热导率，类似的假设和c s 模型也被广泛应用于f e m 法1 6 , 2 4 , 2 5 】。 后来，h s u 等人【3 在一维热流假设的基础上，导出一个集总参数模型来确定具有空间 周期性分布且具有热阻的三维介质的有效迟滞热导率。最近，y u 和c h e n 9 1 3 2 1 运用热一 电模拟方法求解了含有许多随机粒子和孔隙的双弥散多孔介质的有效热导率。在其 中的一个模型中忽略了y 方向热传导的影响，即把问题简化为一维导热问题。他们的 理论结果表明，y 方向的热传导对有效热导率来说影响甚微。他们基于一维热流的理 论结果与实验结果相吻合。 本文亦采用一维热流模型来推导单向纤维复合材料的等效热导率的分析解模 型。 由于统计上的对称性，在如图所示的热流作用下，图3 i c o ) 和图3 2 ( a ) 中的边a b 华中科技大学硕士学位论文 和d c w 近似看作为绝热，因而y 方向的热流影响可以忽略不计，故图3 2 ( a ) 中的导熟 问题可近似为一维热传导。由图3 2 ( a ) 的几何对称性可知，我们可以选择该u n i tc e l l 的第一象限作为我们求解横向有效热导率的几何单元( 如图3 2 ( b ) 所示) 。它可划分 成并联的两部分，各部分的热导率可应用热阻串联法相应地求出，详细推导如下： 其中假定l 为u n i tc e l l 的正方形边长，r 和t 分另1 j 为圆柱形纤芯的半径和接触热 阻的厚度。并假定复合材料的纵向为单位长度。则基体p a r t1 ( 见图3 2 ( b ) ) 的热阻 为 r 。= k 。( l 2 一口) k 。 ( 3 1 ) p a r t 2 可认为是蚝( 接触热阻) 和r 。( 与接触热阻相连的基体热阻) 的串联结构。 p a r t 3 可认为是r ，( 纤维热阻) 、畅( 与纤维热阻相连的接触热阻) 和尺。( 与接触热阻 相连的基体热阻) 的串联结构。如图3 2 ( c ) 所示。又因为p a n 2 和p a r t3 可分别被划分 成许多无限小的薄层，每层的厚度为砂。因此对于p a r t2 的每一薄层( 见图3 2 ( b ) ) ， 其热阻为： 巩= 丽a c o s o = 丽a c o s # 3 2 ) = 气斧= 器 。3 其中，0 = 1 7 要，r = s i n - 1 ( ，a ) 嘲= a c o s o d o ( 如图3 2 c o ) ) ， 对于p a r t3 ( 见图3 2 ( c ) ) ，坎= r s i n a = a s i n # ，匆2 = r c o s a d c 2 ( 3 1 4 1 ) 一t a n l2 1 啦1 4 lj d+c ，c = ；- l ，扛万1 一歹1 ，t + = t r ,1py 矿+ 土( f 2 一，7 ) c b 2 c 2( 3 1 4 2 ) v ，= 可7 i t 2m + v ，= 可l l 1 2 卢：等，y = i k b = ，五= 玩r ，k 【6 1 姐d 2 肌 方程式( 3 1 4 ) 表明，横向有效热导率是一个关于容积份额比v ，v 6 和组分的热 导率之比，接触面厚度与纤维半径之比r + ，无量纲热传导系数a ( = h b r k 。) 的函数。 方程式( 3 1 4 ) 中的积分是采用辛普森公式【3 7 】来完成的。 一 南 华中科技大学硕士学位论文 = = = ；= = = = = = = ；= = = = = = 目= = = = = = = = = = ；= ；= = = 一 当t + = 0 ( 即a = ，) 时，7 = x 2 ，k 。l ；0 且v 6 = 0 ，则方程式( 1 4 ) 可简化为： 弘一昙+ 丢一番号t a n q 笪b + 生c 如c 2 ( 3 1 5 1 ) 弘一i 1 + 丢一习舞，n 牢b 2 c 2 ( 3 1 5 2 ) 其中，b = 0 冗 vr 2 ，c = 1 p 一1 。 方程式( 3 1 5 ) 表明：当= 1 ( 叶= 0 ) 时，也+ = 1 ( 也= k 。) 。这与实际物理情 形是相一致的。 3 3 本解析方法的优点 通过与f e m 、f d m ( 或由f d m 得到的计算图表) 等数值方法的比较，我们可 以发现本分析解表达式( 方程式( 3 1 4 ) 或( 3 1 5 ) ) 具有如下优点： ( 1 ) 方程式( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 是复合材料横向热导率与有关参变量( 如 v r ，r + ，a 等) 的解析关系式，而数值解法不能提供出类似的解析关系式。 ( 2 ) 方程式( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 运算起来比f e m 和f d m 更简单、更快捷( 在 i n t e lp i i l 8 0 0 微机上不到1 秒) ，且不需要产生网格，也不需进行迭代计算。而使用 f e m 或f d m 对于复合材料的每一种结构配置均需要网格的产生和迭代计算，这样 运算起来十分耗时。 ( 3 ) 本解析方法给出的解析结果，能够提供比f e m 和f d m 更高的精确度。 因为f e m 和f d m 的精度通常依赖于诸多因素，如网格的大小( 可能会随着区域的 改变而改变) 和为了收敛而进行迭代的次数。图3 4 表明，我们的分析解结果比f e m 的数值结果更接近实验数据。详见下一节的讨论。 1 6 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = ；= = 日= = = = = = = ；= = = = = = = = = = 一：= 一 3 4 结果与讨论 为检验本模型的正确性，我们首先假设纤维填充物与基体之间的接触面厚度为零 ( ，+ = 0 ) ，即把问题简化为理想接触的情况。然后把理想接触情况下的计算结果与 p i t c h u m a n i 和y a o 1 5 ，1 6 1 的方程式( 1 2 ) 的结果和其他理论方法嘲求出的计算结果作 了比较( 见图3 3 ，它给出的是在”，一定的情况下，k 。+ ( 2 k ，k ，) 与的变化关系) 。 结果表明：本模型在，+ = 0 的条件下，与方程式( 1 2 ) ( 在郇= d ，时) 完全吻合。 图3 3 不同模型间有效热导率的比较 从图3 3 亦可以看出，当”，- 0 5 时，现有的分析解方程式( 3 1 5 ) 与p i t c h u m a n i 和y a o 1 5 ，1 q 的模型方程( 1 2 ) ( 当d ，= 西时) 、s p r i n g e r 和t s a i 嘲的c - s 模型( 方程 式( 1 1 1 ) ) 的计算结果十分吻合而当吁= 三时，s 埘n g e r 和t s a i 嘲的计算结果表现 华中科技大学硕士学位论文 出较大的误差。这样的结果是意料之中的事，因为现有分析解模型( 方程式( 3 1 5 ) ) 与p i t c h u m a n i 和y a o 1 6 的理论模型( 方程式( 1 2 ) ) 、s p r i n g e r 和t s a i t s 的c s 模 型( 方程式( 1 1 1 ) ) 都是基于c - s u n i tc e l l 模型而产生的。而c su n i tc e l l 模型是与 实际物理图像是相一致的。这就验证了现有解析模型( 方程式( 3 1 5 ) ) 的正确性。 图3 4 本模型的理论预测、实验【7 】和f e m 法俐的比较 图3 4 是本理论模型的预测结果( 见图中的实线) 与现有的实验数据7 1 ( 见图 中的“”型符号) 和f e m 方法 6 1 的计算结果( 见图中的“+ ”型符号) 的t b 较。图 3 4 中所示的t h o m b u r g 和p e a r s 7 1 的实验数据分别是来自玻璃一塑料复合材料 ( 七，七卅= 4 4 ) 和石墨一塑料( 0 k = 6 6 6 ) 复合材料的测试结果。由图3 4 可知， 解析表达式( 3 1 5 ) 的计算结果与实验数据十分吻合。而f e m n 与实验数据相比，当 k ，k = 4 4 时，v ，在很大范围内取值时都存在较大误差( 如图3 4 ( a ) ) ：当 k ，k = 6 6 6 时，在”，取较大值时，也会出现较大误差( 如图3 4 ( b ) ) 。这再次验证 了本解析模型( 方程式( 3 1 5 ) ) 的精确性。值得注意的是，当在方程式( 3 1 4 ) 中考 虑一个适当的热阻时，解析表达式( 3 1 4 ) 与实验数据川吻合得更好( 见图3 4 中的虚 线) 。这表明，为了对实际的热导率进行一个更精确的预测，我们应该在理论模型 中适当地考虑到热阻的影响。然而，热阻或接触热阻可能受许多因素的影响，如纤 维填充材料，基体材料，纤维填充材料的表面状况，等等。这将形成一个具有很大 挑战性的新课题。 1 8 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = ；= = = = = = = = = = = = = ；= = = = = = 一一一 图3 5 给出了不同热阻厚度下有效热导率变化的示意图。图3 5 中，f + = 0 相应 于理想接触的情况。图3 5 ( a ) 和( b ) 表明，当k 。k ， l 时，无量纲有 效热导率随着熟阻厚度的增加而增加：k b k 值越大，越偏离理想情况下的热导率 的值。这亦是与实际物理情况相一致的。 表3 1 提供了不同模型在不同的无量纲接触面厚度竹和热传导系数旯( = r k 。) 情况下的无量纲横向有效热导率的比较结果。 从表3 1 中可以看出，用f e m 法求出的无量纲横向有效热导率具有比本文的解 析解高出9 1 6 的相对误差，这可能是由f e m 法自身的数值误差引起的。这点 1 9 kj；=jl，fl-jlo 华中科技大学硕士学位论文 能够从理想接触时有效热导率的比较中得到解释：此时f e m 给出的有效热导率值是 3 6 5 ，而本解析模型给出的值是3 3 2 ，见表3 1 。从表l 中可以看出，f e m 法求出的 有效热导率要比本模型高出1 0 。然而，图3 4 ( a ) 也表明了相同的趋势，即我们的 模型能给出与现有实验数据更吻合的结果，而f e m 法在较小的卢值( = 4 4 ) 时，给 出比实验数据点平均高出约1 0 2 0 的计算结果。 表3 1 = 2 6 6 7 ，”，= 0 5 9 时不同模型横向有效热导率t 。k ，的比较 ，k m = 3，k 。= 3 0h b r k m = 3 0 0 p e r f e c tb o n d t l r e q f e m f _ q f e m e