（应用数学专业论文）关于liénard系统的定性分析.pdf

北京交通大学硕士学位论文中文摘要 中文摘要 摘要：本文研究一类特殊的微分方程，即l i 缸锄i 方程的局部中心和全局中心的某 些性质全文共分为五章 第一章，回顾了微分方程的发展历史及其现状，并给出了本论文内容简介 第二章，首先介绍了动力系统和平面奇点的相关知识，然后介绍了l i 6 n 羽方 程及其等价系统的相关概念、定义和定理 第三章，对l i 6 n 口d 系统的局部中心和全局中心问题进行进一步研究利用 比较定理和线性近似理论推广并适当改进了文献【l ，2 】中的某些结果，从而扩充 了l i 白a 砖系统的局部中心和全局中心的可判定性范围 第四章。研究了吸引子、拟吸引子、吸引子领域与影响区域的关系，并证明了 判断拟吸引子存在的一个充分必要条件 第五章，对本论文作了一简单总结并提出了有待进一步研究解决的问题 关键词：“钿a r d 系统；“钿a r d 方程；局部中心；全局中心；比较定理；线链近似 理论：吸引子；拟吸引子 分类号：0 1 7 5 5 ；0 1 7 5 1 2 ! e 塞銮望盔堂堡主兰鱼堡塞 兰墅型! 竖翌 a b s t r a c t a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w ed i 8 仉硝ak i n do fe q u a t i 邮，t h a ti 8t h ep r o p e r t i o fa1 0 c a lo f 翊o b a lc e n t e rf o r & u 缸a 以s y s t 锄t h i sp a p 盯d i v i d 皓i b 蠡v e i h a p t e r 8 ： i nd l a p t e r0 n e w em d 鲫妊胡yt h eh i 8 t o r y 锄dd e 、，e _ l 叩m 雠ts i t u a t i o n so f d i 脑e n t i a le q u a t i o 璐，a n d 酉v et h ei n t r o d u o 瞄0 ft h ep a p 盯 h c h a d t e rt w o ，矗r s t ，w ei n t r o d u c et h ec o n c 印t s 蛆dt h e o r i 髑0 fd y n a m i 圆觚d 画t i c a lp o j n t 矗n a l l y ，w ei n t r o d u c ec o n 唧岫粕dd e 血苍卸dt h e o r i 0 f t h e l i 白缸d 盯8 t e m i nc h p t e rt h r w ed i s c l | s st h e 咖d i t i o i l so fa l o c a lo rg l o b a lc e n t e rf o f t h el i 自l a r ds y s t 哪b yt l s i n gc o m p 砌咖t h e o r 锄a l l dl i n 哪印p 删m a t i o n ，w e 西v e8 锄es 俩d e n t n d i t i o n 8t og i l 缸a n t e et h e 嘶g mi 8 a1 0 c a lo rg i o b a l 嘲i t 口 t h e r e f o r e ，蛐er e s i i l t 8o fr e 缸【1 ，2 】a r eg e n e r a l i z e d hc h a p 乞e rf o 瓯t h ec o n n e c t i o 璐锄o n gt h ea 垅r a c t o r ，t h ea t t r 8 c t o rn e i g h - b o r h o o da 丑dt h ed o m a j no f 砌u e n c ea r ei n v 鹤t i g a t e d an e o 嘲a r y 曲d8 u 伍c i 耐 c o n d i t i o ft h e 舒凼t e n c eo ft h eq u 蠲i - a t t r a c t o ri 8 郫t a b l i s h e d i nc h a p t e r 觚，w eg i v e t h e 胡yc o n d u s i o 丑o f t h i sp a p e r 粕dp r o p o 跑t h e d r c l b l 锄f o rf 1 1 r t h e rs t u d i e s k e y w o r d s ：l i 钿8 r ds y s e m ；“缸训e q u 撕o n ；l o c 啦蚀i t e r ；g 1 0 b 8 1c e l l t e r ； c o m p 8 r i s o nt h e o r 鼬；l i n e 雏a p p r 痢m a t i ； a t t r a c t o r ；q l 瑚i - a _ 眈r a c t o r c l a s s n o ：0 1 7 5 5 ：0 1 7 5 1 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：左春聿色 导师躲趸甓荪 签字日期：伽5 年1 2 月加日 签字日期：b “年肛月扩日 致谢 本论文是在我的导师王晓霞副教授的悉心指导下完成的。无论是论文的选题， 文献的收集，还是数学思想、方法和论文的整理都得到了王老师的精心指导。在 两年的学习和生活中，王老师给了我许多有益的指导和细致入微的关怀，使我较 早的接触到前沿的科学领域。王老师渊博的知识、严谨的治学态度、精益求精的 科研作风、敏锐的洞察力和不断进取的精神极大的影响并鞭策了我。更重要的是 使我学到了许多治学和做人的道理。正是王老师在学习上的指导和生活上的帮助， 爿使我顺利完成学业。在此，谨向王老师表示最诚挚的敬意和最衷心的感谢! 在即将踏上工作岗位之时，我深深的感受到，自己的每一步前进都离不开老 师、亲朋和同学们的支持与教诲。在此，向他们致于崇高的敬意和深深的谢意! 对父母及家人的感激是无法用语言表达的，希望数年的苦读能够尉藉父母的 期待。还要感谢我的爱人张宇龙，是他的理解、支持和帮助让我顺利完成学业。 再一次深深感谢周围所有给予我帮助和关心的老师、家人、同学和朋友们。他 们的期望与支持，是我努力前进的不竭动力与源泉。 最后，诚谢各位专家和学者在百忙中审阅我的论文，诚恳接受您的宝贵意见 和建议，并期待您的批评和指导。 北京交通大学硕士学位论文 1 绪论 l 绪论 在第一章中，我们简单介绍所研究课题的背景、论文的主要工作和论文的内 容简介 1 1 引言 在日常生活中，数学与人们的关系是非常密切的，人们几乎时时刻刻都会遇 到数学问题，小到一些数值的计算，而复杂的便是对生活中有关事物规律的总结 和事物逻辑的推理，这些事物变化的规律与逻辑的推理最终便可以归结为数学问 题，将它们化归为一系列的数学模型，进而用数学的方法进行研究，而凡是与变化 率有关的问题几乎都可以用微分方程模型来研究因此，为了研究自然界的确定 性的运动规律，人们发明了微分方程从牛顿应用微分方程来解决行星运动算起， 微分方程已经有三百多年的历史因此，常微分方程已经是一个发展的很成熟的 学科另一方面，由于人类探索自然现象和社会现象的确定性运动规律的需要，常 微分方程也不断面临新的研究课题，其中还出现了许多带根本性的重要的困难问 题，这就推动了这一学科的不断发展因此，常微分方程又是一个正在发展的新兴 学科众所周知，只有很少一部分特殊的微分方程才能够用初等方法求解，即可用 初等函数的积分予以表示通解而大多数微分方程，无论是常微分方程还是偏微 分方程都无法用初等方法求解于是提出了直接根据微分方程的结构来研究解得 性质，或探讨由微分方程所确定的曲线的分布情形常微分方程组解的性态的定 性研究，通常是从寻找个别特别简单的解开始的，如奇点和周期轨道，然后研究 这些解的领域中轨线的分布，有时能由它们拼起来得到整体性质的若干结论 微分方程定性理论从h p o i n c 撕发表的奠基工作“微分方程所定义的积分曲 线”起，一百年来得到了蓬勃的发展，它已成为从事许多学科和尖端技术( 包括自 动控制理论、航天技术、生物科学、经济学等) 研究的不可缺少的数学工具微分 方程最基本的解是定常解，对自治系统而言，定常解对应着微分方程在相空间的 奇点，研究奇点的局部性质是微分方程定性理论最基本的任务 动力系统定性分析是动力系统的主要研究方向之一迄今为止，它不仅在理 论上取得了重大进展，而且已在力学、统计物理、电子学、流体力学、化学工程、 生物学、和生态学等学科中得到了广泛的应用本文旨在研究i ，i 钿a r d 系统的一些 定性性质 动力系统的轨线性态的定性研究，通常是从寻求那些具有特殊性态相对简单 的轨线开始的，例如，奇点和周期轨线然后研究这些轨线的领域中轨线的分布， 有时可能由它们拼起来得到全局性质的若干结论更一般的说，如果我们能找到 一些不变集( 如上面说的奇点、周期轨道，以及不变环面、积分流形等等) ，并且知 道这些不变集以及它们的领域中轨线的性质，有时也可能得到全局性质的重要结 l 北京交通大学硕士学位论文1 绪论 论因此，不变集的研究是动力系统定性分析的一个重要方面这一方面的问题包 括研究奇点的类型，极限环的存在唯一性等等 在本论文中，我们主要研究l i 钿a r d 系统的局部中心和全局中心的判定问题， 关于原点d ( o ，o ) 是局部中心和全局中心的判定定理如下： 定理a ( 见定理3 1 2 ) 如果l i 缸a r d 系统的右侧函数满足： ( 1 )f ( 一z ) 一f ( z ) ，夕( 一z ) = 一g ( z ) ，9 ( z ) o ( z o ) ； ( 2 ) 存在鲍s 硒，牙 o ，使得鲍g ( z ) s f 扛) 硒g ( 功 则原点0 ( o ，0 ) 为l i 钿”d 系统的局部中心点 定理b ( 见定理3 2 2 ) 如果l i 缸l 系统的右侧函数满足： ( 1 ) ，( 一刁= 一，( 动，反一印= 一g ( z ) ，9 ( 茁) o o ) ； ( 2 ) 存在尬虬，牙 o 。使得鲍g ( z ) f ( z ) 甄g ( z ) ( 3 ) 存在常数a 0 使得对所有z 值有l f ( z ) i a ； ( 4 ) g ( 士。) = 士o o ， 则原点d ( 0 ，o ) 为l i 钿a r d 系统的全局中心 1 2 本论文内容简介 ( o z 动； ( o z 圣) ； 全文共分五章第一章是绪论部分；第二章是基础知识、相关概念和相关定理 部分：第三章和第四章是主要结论部分；最后一章是结束与展望各章的主要内 容分别如下安摊： 第一章：对微分方程特别是定性理论的意义、背景进行了简单的回顾，给出 了本文要研究的问题，并简单给出了本文的两个主要结论 第二章：本章是基础知识部分简单介绍了动力系统和平面奇点的相关知识； 简单介绍了l i 白a m 方程所涉及的基本概念，以及相关的引理、定理 第三章：本章是主要结论部分，第一节讨论的是l i 6 n a r d 方程的局部中心的判 定问题；第二章讨论的是l i 白a r d 方程的全局中心的判定问题本章的结论主要是 利用比较定理和线性近似理论的思想对l i 白辐统的中心的判定条件进行了改 进和证明 第四章：本章主要研究吸引子和拟吸引子的问题研究了吸引子、拟吸引子、 吸引子领域与影响区域的关系，并证明了判断拟吸引子存在的一个充分必要条件 第五章：在本文的一些结论的基础上，对后期工作的展望，并提出了有待于 进一步深入研究的问题 2 北京交通大学硕士学位论文 2 基础知识 2 基础知识 本章为下文作一些准备工作，将给出动力系统、平面奇点和l i 缸a r d 系统的相 关概念和相关定理 2 1 动力系统和平面奇点 动力系统定性分析是动力系统的主要研究方向之一迄今为止，它不仅在理 论上取得了重大进展，而且已在力学、统计物理，电子学、流体力学、化学工程、 生物学和生态学等学科中得到了广泛的应用 下面看如下的二阶方程组 j 塞= x ( z ，f ) ， i 鲁= y ( z ，们 、7 以下假定( a ) 的右端函数x 、y c ( d ，r ) ，其中开区域dcj 产，并满足初值问题 解的唯一性定理的条件 我们把平面( z ，可) 三譬称为( 句的相平面，似) 的任一解曲线在相平面上的投 影是一条曲线，这曲线作为相平面上的点集，称为( a ) 的轨线或相轨线轨线族在相 平面上的图像称为( a ) 的相图我们也可以把( a ) 的解看成是三维空间( t ，z ，口) 的曲 线方程一一( a ) 的积分曲线方程很明显，楣平面( 茁，可) 上每条轨线都是空间( t ，z ，! f ) 中的积分曲线在相平面上的投影 若点( z o ，珈) d ，且x 2 ( 知，珈) + y 2 ( 知，珈) = 0 ，则这样的点( 写o ，珈) 称为( a ) 的 奇点或平衡点显然，若点( z 0 ，跏) 是( a ) 的一个奇点，贝犯= 知，”= 细是( a ) 的一 个解。称为定常解这时，对应于这个解的轨线就是由一点( 知，珈) 构成，而对应于 这个解的积分曲线是空甸( t ，z ，暑，) 中平行于t 轴的直线：z = 跏，可= 珈奇点是特 殊的轨线 若点( 蛳，珈) d ，且x 2 ( 跏，珈) + y 2 ( z o ，珈) o ，则这样的点( 知，珈) 称为( a ) 的 常点显然，z = 勋，可= 跏不是( a ) 的解 令，( 只t ) 表示系统( a ) 的当t = o 时过点p ( p d ) 的解族 设，( p t ) 对任一点p d ，其定义区间为( 一，+ ) ，于是对每个固定的t ， ，( p t ) 定义了从开区域d 舻到d 自身的点变换，当t 尉对，对任何点p d ， 有，( p t ) d ，也可以表示为 ，( ，t ) ：d d ，t r ， 或 ，：d 兄_ d 如果( a ) 的x ，y c ( d ，冗) ，且满足解的唯一性条件，每个解的存在区间为 ( 一o o ，佃) ，则变换，具有下列性质： 3 北京交通大学硕士学位论文 2 基础知识 1 ) ，( p o ) = p ； 2 ) ，( p t ) 对p t 一并连续； 3 ) ，( ，( p 1 ) ，如) = ，( p ，t l + 如) 这种变换的全体叫做一个动力系统，有时也把( a ) 叫做动力系统 由条件2 ) 知，对固定的点p d ， ，( p t ) i t 冗 是d 上的一条连续曲线， 因此也把d 上的动力系统叫做d 上的流对固定的p ，( p t ) 叫做过点p 的运动； 点集，( p ，) = ，( p i t ) l 一 f + ) 叫做运动，( p t ) 的轨线，记作仰；点 集，( p r ) = ，( p ，t ) l o t o 对 这时轨线( 2 5 ) 是抛物线型的( 图2 1 ) ，箭头表示f 增加时轨线的方向 ， 划1。潋 确。淤j r 划沙 确，淤j 图2 1 5 北京交通大学硕士学位论文 2 基础知识 如果在奇点附近的轨线具有如图2 1 的分布情况，我们就称这奇点为稳定结 点( 或不稳定结点) 因此，当p o ) 时，原点d ( o ，0 ) 是系 统( 2 3 ) 的稳定结点( 或不稳定结点) 2 0 当舡 o ( 或天 o 时，若p o 是稳定结点：若p o ，矿一4 口 o 是稳定焦点；若p o ，p 2 4 口= o 时。 知 o 是稳定的退化结点或l 临界结点：若p o 。且f ( z ) = 譬，( 让) d 扯，我们假定，是 连续的，9 是局部l i 融i t z 连续的，保证系统( e ) 的初始值问题解的存在唯一性 系统( e ) 又叫做l i 6 n a r d 系统由f ( 0 ) = 0 以及条件当。o 时z 9 ( z ) o 可知原 点d = ( o ，o ) 是( e ) 的唯一奇点本论文主要研究有关( e ) 的局部中心和全局中心的 问题 定义2 2 1 称缸，) 平面上的曲线( 霉，f ( 霉) ) 为系统( e ) 的特征曲线，它将右平 面划分为两个区域 。d 1 = ( z ，暑，) ：z o ，暑， f ( 功) ，d 2 = ( ，! ，) ：z o ，暑， o ) 出发的方程组( e ) 的轨 线当减小时或者与可轴相交于点且( o ，纵) ( 纵 o ) 或者停留在区域d l 中且当t 一 一时趋于原点；当t 增加时或者与可轴相交于点c ( o ，如) ( 如 0 ) 或者停留在区 域d 2 中且缘一+ o o 时趋于原点 北京交通大学硕士学位论文2 基础知识 证明假定1 一是( e ) 的当t = o 时从点b ( 知，f ( 知) ) 出发的轨线由鲁= 一9 ( z ) 0 推出，t 从o 减少时它进入d 1 ，假定t m + 1 ) 对d 3 中的点显然有! ，一f ( 力 m + 1 一f ( z ) 21 ，因而从( 2 1 6 ) 得到 i 塞h 禹i 这就表示，经过任一点( z 1 ，! ，1 ) d 3 的方程( 2 1 6 ) 的积分曲线向z f ( 。) 中，由于d 4 无别 的奇点，故7 一只能趋于原点这就证明了引理的前半部分结论后半部分的结论 ( 当t 0 的情形) 可同理证明证毕 定理2 2 1 设，( z ) 和9 ) 是奇函数且当z o 时f ( z ) o 并设存在常数h 0 ， o 使得当0 z 一时成立不等式 如奖 夕l 二e = j 于是原点是系统( e ) 的局部中心 证明我们令 名( 2 ) = g ( 8 ) d s ；g ( z ) ，o z 一 于是，反函数z = g 一1 ( 2 ) ，o z z 时是连续的，并且有 f ( 功= f ( g - 1 ( 名) ) = 只( 。) ，o z z 由系统( e ) ，并通过上述变换化到新变数z ，我们得到 塑：一 ! 如 ! ，一只( z ) 由上式我们有 等掣= 一南嘲z ) 职 一，1 1 2 l 。 令叩( z ) = 笋( z ) 一日( z ) ；我们得到 窆一盐磐 ( 2 1 7 ) 如 ， 北京交通大学硕士学位论文 2 基础知识 现在我们定义两个区域，即 蜀= ( 仇z ) ：一亡 叩o ，o z 名) 易= ( 印，z ) ：o 卵 一亡，o 。 z ) 并在马中考虑方程 嵩一南 ( 2 1 8 ) 面2 一两鬲 8 ) 客易看出，对于任意一个知( 0 幻 2 ) 方程( 2 1 8 ) 的通过初始点( 0 ，勾) 的解曲 线当口减少时必定与可轴相交于点e ( ，o ) 且 o ( 注意，7 = 一丢是方程( 2 1 8 ) 的 一条积分曲线) 由于q ( z ) = 描，所于从条件错h 可推出巧( 。) h 当o 2 o 二翌 二1 1 + e ( z ) 町一1 + h 町 这就意味着，如果用z 1 ( 们和2 ( ，7 ) 分别表示方程( 2 1 8 ) 和( 2 1 7 ) 的满足初始条件 z l ( o ) = z ( o ) = 翔( 其中o 匈 z ) 的解，那么在妨中当叩c 叼o 时成立 不等式z l ( 町) z ( 叩) 因此，对任意一个知( o o 和 = 翌 = 翌 1 + 巧0 ) 叩一1 + 乜叩 这就推出，如果施( 7 ) 表示( 2 1 9 ) 的满足初始条件勿( o ) = 翔= 。( o ) 的解，那么 在易中当o 目珊时成立不等式勿( 7 ) z ( 叩) 因此，对任一z ( o ，7 ) ，方 程( 2 1 7 ) 的通过( o ，知) 的解曲线在区域e j 中不能走向原点 上面的论断意味着，存在一个跏 o 使得系统( e ) 的从特征曲线上任意一点 口( 而f 仁) ) ( 其中o z o ) 以及与 北京交通大学硕士学位论文2 基础知识 负秒轴相交于一点e ( o ，乳) o ) 另一方面，由定理的条件知道，f ( z ) 是一个偶函 数，g 【z ) 是一个奇函数因此，如果( z ( t ) ，! ，( t ) ) 是系统【e ) 的解，则( 一( 一t ) ，掣【一t ) ) 也 是( e ) 的解，那就是说，( e ) 的轨线关于轴是对称的因此，上面的1 扛) 是一条闭 轨线道由于( o o 并设下面三个条件 满足： ( 1 ) 存在常数h o ，如 o 使得当o z o 使得对所有z 值有l f ( 删a ； ( 3 ) 岔。9 ( z ) 如= + o o 于是，原点是系统( e ) 的全局中心 证明首先，应用定理2 2 1 ，从条件( 1 ) 推知，原点是系统( e ) 的局部中心 其次，我们令g ( z ) = 鬈g ( s ) 出，并考虑由 1 a ，! ，k ) = 言白一后) 2 + g ( 动= n 毹 定义的曲线族由定理的条件( 3 ) 推出，族中的这些曲线是闭曲线 计算a 沿解轨线关于t 的导数，得到 祟= 9 ( 功( 七一f ( 动) ( 2 舶) 考虑下面的两个曲线族： 1 ：a ( z ，弘一a ) ：掣+ g ) ；g z o ，( 2 2 1 ) 和 屯= a p ，弘a ) = 掣+ g ( = e z o ，( 2 2 2 ) 由( 2 2 0 ) ，我们有 ，、 号= 一g ( z ) 【f 扛) + a l o ，o ( 2 2 3 罢= 一9 ( z ) 【f ( z ) 一捌s o ，z o ( 2 2 4 ) 因而任一解轨线当t 增加时要穿过这些曲线并且是从它们的外部穿到它们的内部 设p ( 勘，枷) 是平面上的一个给定的点，不失一般性我们可以假定蜘0 令，y + ( 力表 示通过p 的正半轨线因为原点是中心点，故，y + ( 计不能趋于原点因而由( 2 2 1 ) 和( 2 2 3 ) 推出，当t 增加时，矿p ) 必定与轴相交于一点q ( o ，如) 且的 o 由于轨道是对称于”轴的，所以，y + ( p ) 必须返回到点p ( 勘，珈) ， 北京交通大学硕士学位论文 2 基础知识 从而得到一条闭轨道因此，通过平面任意一点的轨道是闭的由定义，原点d 是 系统( e ) 的全局中心证毕 在本论文的证明过程中我们要用到比较定理，下面介绍一下比较定理的内容 及其证明 定理2 2 3 ( 第一比较定理) 设有c a u c l l y 问题， j 塞= ，( z ，暑，) l ”( 跏) = 珈 j 塞；f ( 而暑，) 【| ，( 跏) = 珈 ( a 1 ) ( 也) 其中数值函数屿f 均在域g r r 内连续且对y 满足局部l i p s d l i t z 条件，( 跏，珈) g ， 并设( a 1 ) 与( a z ) 的解均在区间( n ，6 ) 内存在，分别记为= 暑，( 功与口一y ( z ) 若，( z ，! ，) f ( z ，暑，) ，v ( z ，! ，) g ，则 掣( z ) y ( z ) ，z o z 6 y ( z ) y ( z ) ，口 z z o 证明令妒( z ) = y ( z ) 一暑，扛) ，跏 0 使得 妒( ) o ，z o o 翱，妒 蠛妒( 国= o 现把在( 却，6 ) 内第一次 使妒( z ) = o 的x 值记作z 1 ，即z l = m i n p l 妒扛) = o ，孙 $ 0 ，z o o ，且f ( z ) = 厅，( s ) 幽 。在本文中我们总假定，( z ) 是连续的，9 ( z ) 是局部l i p 8 c h i t z 连续的，这保证了系 统( e ) 的初始值问题解的存在唯一性为了方便，记g ( z ) = 譬萝( 。) 出 由f ( 0 ) = o 以及条件叼( 岔) o 忙o ) 知，原点d ( o ，o ) 是l i 缸 d 系统( e ) 的 唯一奇点文献i l ，2 1 研究了关于保证“6 n a r d 系统的奇点o ( o ，o ) 为中心点的判定条 件，本文采用不同的方法，利用比较定理和线性近似理论推广并适当改进了文 献【1 ，2 】中的某些结果，从而扩充了局部中心点的可判定性范围 2 、系统( e ) 的局部中心点 定理3 1 1 如果系统( e ) 的右侧函数满足： ( 1 ) ，( z ) 和g ( z ) 为奇函数； ( 2 ) 口( z ) o ( z o ) ； ( 3 ) ( o ) o 则原点o ( o ，o ) 是系统( e ) 的局部中心 证明根据条件( 1 ) 和( 2 ) 知，原点d ( o ，o ) 是系统( e ) 的唯一奇点简单计算可得 北京交通大学硕士学位论文 3l i 钿8 r d 方程中心的判定定理 的线性近似系统是 f 害= 暑，、 1 害= 一，( o ) z p 工 因为g ( o ) o ，所以原点d ( o ，o ) 是系统( 3 1 ) 的中心点从而根据1 4 ，第1 1 4 页， 定理4 3 l 知，原点d ( o ，o ) 是( e ) 的中心、焦点或中心焦点 又由条件( 1 ) ，可知系统( e ) 的轨线关于可轴是对称的，所以根据【4 ，第1 1 5 页， 定理4 4 】，原点o ( o ，o ) 必为系统( e ) 的局部中心点证毕 定理3 1 2 如果系统( e ) 的右侧函数满足： ( 1 ) f ( 一功= f 0 ) ，9 ( 一尘) = 一g 扛) ，9 ( ) o 扛 o ) ： ( 2 ) 存在鲍s 甄：孟 0 ，使得尬g ( z ) f ( z ) 尬g ( z ) ( o o ) ，将系统( e ) 等价于系统( e ) 笺铷喝m ) ( o ) ( e ) l 鲁= 吨 p “p 7 显然条件( 2 ) 等价于 竽酬竽( o 札 面= 厕) ( 3 2 ) i 丝笙二望 墨l 虫= 望 0 ) 或者记作 如学一 面2 i 一 如学一秒 面2 i 一 经计算( 3 4 ) 、( 3 5 ) 的线性近似系统均为 j 窑= 毫， l 謇= 一 1 7 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 4 ) 7 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 北京交通大学硕士学位论文 3i 白口d 方程中心的判定定理 则原点为系统( 3 6 ) 的中心点，由【4 ，第1 1 4 页，定理4 3 】，原点可能为系统( 3 4 ) 、( 3 5 ) 的 中心、焦点或中心焦点，所以在( t i ，们平面上系统( 3 4 ) 、( 3 5 ) 过点a ( t l o ，珈) = 月( 伽) ) ，0 t i o 面的轨线的正、负半轨分别与负半! ，轴( t 增加时) 和正半可轴( 减 少时) 相交 设“( ) 、t 1 ( ) 、砌( 可) 分别为系统( e ) 、( 3 4 ) 、( 3 5 ) 过同一初始点a 的轨线，则 由( 3 3 ) 式以及比较定理( 参见【4 ，第1 2 页，定理1 1 3 】) 得 t ( 剪) “l ( ! ，) ( 掣 i i o ) ( 0 t z f o ) ( o o ) ； ( 2 )存在常数甄 o ，鲍 o 。使得当o o 时) ，有鲍g ( z ) ，( z ) 硒9 ( 。) ，所 以一k j g ( ) 一，( ) 一k 1 9 ( z ) 取o ! ， 玑 一击，则 一，( 功一；9 ( 功 一，( 功一去9 ( ) 一鲍g ( 功一击9 ( z ) = 一( 鲍+ 击) 9 ( 霉) o ， 此时由系统( f ) 得，磐= 型题穹2 2 盟= 一，( z ) 一；9 ( z ) o 于是从z 轴上点( z ，o ) ( 其 中0 z z 1 ) 出发的轨线无垂直渐近线，由引理2 2 1 ，此轨线在0 讥的区 域内穿过! ，正半轴 类似的，取一去 ! j 2 o 此时塞 o ，则从z 轴上点( z ，o ) ( 其中o 霉 一) 出发的轨线也无垂直渐近线 由引理2 2 1 ，此轨线在抛 o 扛o ) 知，原点0 ( o ，0 ) 是“6 n 缸d 系统( e ) 的唯 一奇点 2 、系统( e ) 的全局中心点 定理3 2 1 从特征曲线上任一点口( 蜘，f ( 如) ) ( z o o ) 出发的方程组( e ) 的轨 线当t 减小时或者与可轴相交于点a ( o ，纵) ( 枞 o ) 或者停留在区域d 1 中且当t 一 ：o o 时趋于原点；当t 增加时或者与滞相交于点c ( o ，抛) ( 如 o 因此在d l 内，当t 减少时，茹( t ) 单调减少，f ( t ) 单调增加 假设，y 一不与正! ，轴相交，则z o 的情 形) 可同理证明证毕 定理3 2 2 如果系统( e ) 的右侧函数满足： ( 1 ) ，( 一曲= 一，( 甸，9 ( 一z ) = 一9 ( 刁，9 ( 动 o 扣 0 ) ： ( 2 ) 存在尬尬，牙 0 ，使得鲍g ( z ) f ( 功托g ( $ ) ( o o o ) ，( o ) = 1 o ，满足定理3 1 1 的条件，所以原点d ( o ，0 ) 为系统的局部中心点 北京交通大学硕士学位论文 3l i 白a r d 方程中心的判定定理 例2 ：考虑系统 塞= z ，一n r 叻矿，鲁= 一缸出。一。出 。 在这里f ( z ) = 口r d g 护，g ( 动= 2 z ，g 扛) = 因为当z 0 时我们有 以及 梨：掣1 ( z 。o ) g ( z ) 铲 ( 舞) ，_ 掣 o 时，搿为减函数，并且吾器l ( o 0 ，使 得0 一，t + e ) c y 对任意f 譬，则t ，可以写作f = t l + + t n ，其中每个南( 1 s 礼) 属 于 一e ，t + e ) ( 事实上，由t ， 譬得到 = ；，可以改写为形式车= n 一 ， 其中o f t ，n 是一个整数这样就得到； = n 一 l ，即t 船于 是o f t 艇，从而一艇 一t 一fso 推出m 一傩 t 2 = 疵一f m ， 即t 一 鲁 t 于是存在d ( 一 o ，使得t cu 即a ( ，t ) ca ucm 又因为是闭集，所 以t = a ( t ) c j t l t 证毕 定理4 3 若是一个吸引子领域，集合ae z i z rc ) 是内的最大不变 集，则ca ( a ，) 的充分必要条件是对任意的z a ，成立u ( z ，) c 证明先证必要性假设ca ( a ，) 由文献【7 ，推论2 2 q 得到u ( ，) = a 故知u ( ，) = a 是包含在的内部的一个吸引子，即u ( ，) c 胁所以对任 意的z a ，u 0 ，) c u ( ，) c 北京交通大学硕士学位论文 4 吸引子和拟吸引子 再证充分性假设对任意的z a ，成立c ，( z ，) c 则对任意的z ，疵， 可以断定u ( z ，) c 也成立若不然，存在z j r m ，而u ( z ，) c 不成立 也就是说，存在埘( z