（机械电子工程专业论文）考虑柔索弹性振动的索牵引并联机器人动力学分析.pdf

摘要 摘要 iylltlllll2llllllolllllll6lllll7lllll1lllillllll6lllll6y 2 0 6 7 1 柔索牵引并联机器人由于具有承载能力强、结构紧凑，工作空问大等优点而 得到越来越广泛的应用。柔索牵引并联机器人在做大范围运动时会伴有低频振动， 使得末端执行器很难准确定位，大大降低了运动精度。本文探讨了柔索牵引并联 机器人在做大范围运动时柔索的弹性振动这一问题，并对索牵引并联机器人进行 了运动学分析与动力学建模，结合虚拟样机技术对所建立的模型进行了动力学仿 真与分析。 首先，介绍了用于摄像机平台的柔索牵引并联机器人的几何结构模型，并对 三自由度柔索牵引并联机器人的运动学进行分析。其次，利用弹簧一质量模型模 拟柔索，再根据实际的柔索牵引并联机器人模型参数，运用a d a m s 动力学仿真 软件建立理想的柔索牵引并联机器人虚拟模型。最后，仿真分析了模型在典型轨 迹以及不同阻尼时，柔索的弹性振动对末端执行器运动轨迹的影响。 关键词：柔索并联机器人动力学建模仿真分析 a b s t r a c t a b s t r a c t c a b l e d r i v e np a r a l l e lr o b o th a sf o u n da ni n c r e a s i n g l yu t i l i z a t i o ni nm a n yf i e l d s b e c a u s eo fi t sh i g h 1 0 a d i n gc a p a c i t y , c o m p a c t n e s sa n dl a r g ew o r k s p a c e l o wf r e q u e n c y v i b r a t i o na l w a y so c c u r sw h e nt h er o b o ti sp e r f o r m i n gal a r g em o t i o n ，w h i c hm a k e st h e e n de f f e c t o rd i 衔c u l tt ob ea c c u r a t e l yl o c a t e d ，r e d u c i n gm o t i o np e r f o r m a n c e s i g n i f i c a n t l y i nt h i st h e s i s ，t h ei s s u e so fe l a s t i cv i b r a t i o no f t h ec a b l ei nl a r g em o t i o n s o fc a b l e d r i v e np a r a l l e lr o b o ta r ea n a l y z e d ，k i n e m a t i c sa n a l y s i sa n dd y n a m i cm o d e l i n g o fc a b l e d r i v e np a r a l l e lr o b o ta r em a d e ，a n dk i n e t i cs i m u l a t i o na n da n a l y s i s t ot h e c r e a t e dm o d e la r et a k e nw i t hv i r t u a lt e c h n o l o g y i nt h i st h e s i s ，t h eg e o m e t r ym o d e lo fc a b l e - d r i v e np a r a l l e lr o b o tu s e di nac a m e r a p l a t f o r m i s p r e s e n t e d ，a n d t h ek i n e m a t i c so ft h r e ed e g r e e - o f - f r e e d o mf r e e d o m c a b l e d r i v e np a r a l l e lr o b o ti s a n a l y z e d i nt h es e c o n dp a r t ，c a b l e i ss i m u l a t e db y s p r i n g m a s sm o d e l ；b a s e do ni t s a c t u a lp a r a m e t e r s ，t h ev i r t u a ls i m u l a t i o nm o d e lo f i d e a lc a b l e d r i v e np a r a l l e lr o b o ti se s t a b l i s h e db ya d a m s f i n a l l y ，t h ei n f l u e n c eo f e l a s t i cv i b r a t i o no ft h em o d e li nc l a s s i ct r a je c t o r i e sa n dd i f f e r e n td a m p e r st ot h em o t i o n o fe n de 艉c t o ri ss i m u l a t e da n da n a l y z e d k e yw o r d s ：c a b l e p a r a l l e lr o b o t sd y n a m i c sm o d e l i n g s i m u l a t i o na n a l y s i s 第一章绪论1 第一章绪论 1 1 引言 传统的串联机器人其结构类似于人的手臂，这种结构虽然工作空间很大，但 很难用于高速、高精度和长距离操作，这是因为：长臂结构使机器人的刚度性能 和负载能力降低；驱动器不仅要驱动外载荷，还要克服自身的重量，机械效率低： 各关节及连杆误差的累积和放大导致了其末端操作精度低。2 0 世纪中后期并联机 构的概念被提出，并用于构造并联机器人。并联机器人以其高刚度、高精度、高 负载及结构紧凑等特点，很快引起了众多学者的研究兴趣，并迅速应用于大件装 配、运动模拟、空间对接、加工制造等领域。虽然并联机器人在刚度，精度和负 载能力方面优于串联机器人，但是它的工作空间却很小。 柔索牵引并联机器人以柔索代替传统并联连杆机器人的连杆作为驱动元件， 它是并联机器人的一个分支，也是柔索驱动和并联机器人相结合的产物。柔索牵 引机器人是将驱动器的运动和力以柔索为介质并转换为动平台的运动和力的机械 装置，其主要构成元素包括机架、柔索、动平台、滑轮、复合关节以及驱动器( 如 电机) 等。早在1 9 8 4 年，美国麻省理工学院学者l a n d s b e r g e r 1 】针对海洋作业提 出了柔索牵引并联机器人的设计问题。早期对于索牵引并联机器人的研究领域主 要足在集装箱吊装的应用上。1 9 8 9 年d a g a l a k i s 等1 2 j 人研制了带有串联子系统的 索牵引并联机构r o b o c r a n e ，并提出了用于起重机的索牵引并联机器人。柔索 牵引并联机器人与传统的串、并联机器人相比具有以下优点【3 】1 4 】： 工作空间大：使用铰链转角并结合柔索的伸缩范围，极大地增加了并联机器 人的工作空问； 负载重量比高：相比刚性连杆并联机器人，柔索轻质、运动部件惯量小，具 有很高的负载能力； 响应速度快：由于运动部件的惯量大幅度降低，使得索牵引并联机器人的末 端执行器能够获得较高的速度与加速度，特别适合于高速运动的场合； 模块化程度高：索牵引并联机器人具有容易拆装、可重构和模块化设计特点。 另外，由于采用柔索作为传动元件，并结合柔索只能受单向拉力且具有弹性 的特点，使索牵引并联机器人在柔索弹性振动的分析上具有独特性。本文在基于 柔索牵引摄像机平台的研究背景下对考虑柔索的弹性振动的索牵引并联机器人的 动力学进行分析研究。 2 考虑柔索弹性振动的索牵引并联机器人动力学分析 1 2 柔索牵引并联机器人的性能研究概况 索牵引并联机器人的性能研究包括：机器人的机构对称性、雅克比矩阵的各 向同性、冗余度以及工作空间的大小等。根据柔索张紧条件的不同，可将索牵引 并联机器人分为两类1 5 j ，分别称为并联柔索悬吊机器人( p a r a l l e lw i r es u s p e n d e d r o b o t s ) 和并联柔索驱动机器人( p a r a l l e lw i r ed r i v e nr o b o t s ，p w d r s ) ，前者依靠重力 和弹簧力等被动力来张紧柔索；后者采用冗余驱动，利用主动力驱动矢量闭合实 现柔索张紧，可以任意调节柔索的张紧力【6 】。d a g a l a k i s 等【2 】对r o b o c r a n e 机构 的刚度、工作空间等进行了研究，得出操作臂的刚度不仅与柔索刚度和操作臂的 位置及姿态有关还与悬挂物的重量有关的结论。v e r h o e v e n 等 5 , 7 , 8 1 在柔索并联机构 的工作空间分析方面做了大量工作，对可控工作空间和具有拉力条件的工作空间 以及具有刚度条件的工作空间方面做了大量的研究，并指出k a w a m u r a 的可控工 作空间分析法与v e r h o e v e n 所采用方法的一致性。t a k e d a 9 j 等提出了由n + l 根柔索 驱动的n 自由度并联柔索机构的力传递性能系数，并用其进行了机构的运动学综 述。f a t t a h 等l lo 】对一些特殊1 r 2 t 平面并联机构的工作空间进行了优化，并给出 了被优化可控工作空间的封闭表达式。b a r r e t t eg 和g o s s e l i nc l l l l 引入了动力学工 作空间的概念，给出了索牵引平面并联机构工作空间的边界的解析表达式，成功 研制了由9 根索牵引的具有超大动平台工作空问的并联机构。v e r h o e v e nr t l 2 j 手旨出 索牵引并联机器人的自由度数必须根据动平台的可控性来定义，并根据索的数目 与并联机器人的自由度数之间的关系，把索牵引并联机构分为三类：不完全约束 定位机构( i n c o m p l e t e l yr e s t r a i n e dp o s i t i o n i n gm e c h a n i s m s ) 、完全约束定位机构 ( c o m p l e t e l yr e s t r a i n e dp o s i t i o n i n gm e c h a n i s m s ) 和过约束定位机构( r e d u n d a n t l y r e s t r a i n e dp o s i t i o n i n gm e c h a n i s m s ) 。 国内，隋春平等筘，6 j 对并联柔索驱动机器人( p w d 飚) 的静态刚度问题进行了分 析，提出并证明了关于柔索矩阵微小变化变分形式的命题，推导了操作臂完整刚 度的解析公式，包括结构参数刚度及柔索张力刚度，结果表明：操作臂刚度不仅 依赖于机构几何尺寸、柔索与电机刚度及操作臂位置与姿态等结构参数，还与柔 索的张力有关，通过改变柔索张力来调节操作臂的刚度，实现机构变刚度。仇原 鹰等i l3 1 将大型射电望远镜悬索船体系统视为广义s t e w a r t 平台，通过增加冗余悬 索，构造了冗余度大型射电望远镜广义s t e w a r t 平台，利用作用于舱体的悬索张 力与载荷之间的雅可比变换矩阵的行列式与条件数，描述了系统工作空间内力奇 异性的特点以及冗余驱动力消除系统力奇异性的显著效果。文献1 1 4 j 推出了一种由 7 根柔索牵引的6 自由度并联机构，建立了机构的静力学模型，并运用m t a l a b 对机构的工作空间进行了仿真分析。郑亚青，刘雄伟1 1 5 , 1 6 】采用一种简单的索拉力 第一章绪论 3 计算算法，引入了比例系数、质量系数和全局质量系数来衡量工作空间的大小和 形状，并对1 个c r p m 和1 个r r p m 的3 r 3 t 和4 个1 r 2 t 索牵引并联机构，比 较了动平台处于同一位姿时工作空间的大小和形状。郭宗和等7 j 运用型综合单开 链理论对新型非对称全柔性机器人机构的型进行了分析综合，并通过a d a m s 软 件进行了运动输出类型的验证，通过机构运动学的位置正解分析，得出机构运动 位置正解方程，并对理论分析的结果进行了仿真模拟。 1 3 柔索牵引并联机器人运动学与动力学研究概况 柔索并联机器人的运动学分析包括位置分析和性能分析。位置分析是机构运 动的基本内容，即求解机构输入与输出构件间的位置关系，分为运动学反解和运 动学正解两部分。运动学反解是指在已知末端执行器的运动轨迹情况下，求解各 个驱动关节变量值，包括位置反解、速度反解和加速度反解；运动学正解是指已 知各个驱动关节变量值，求解末端执行器的运动轨迹的问题，包括位置正解、速 度j 下解和加速度正解。正反解分析是运动学的核心，其中反解比较简单，有一一 对应的映射关系，正解比较困难，是运动学研究的难点之一，解决正解的主要方 法有数值法和解析法两种引。 ( 1 ) 数值法。数值法是通过求解矢量方程得到与输入位移对应的末端执行器 的位置和姿态。其优点是建立数学模型简单，没有繁琐的数学推导，可求解任何 并联机构；缺点是计算速度较慢，当机构接近奇异位形时不易收敛，且由于求解 与搜索路径与选择的初值有关，不易获得所有的数值解，结果与处置的选取有直 接关系。i n n o c e n t i 和p a r e n t i c a s t e l l i 1 9 j 提出了找到6 - s p s 机构全部实解数的一维 搜索法。燕山大学的黄真教授1 2 0 j 以三棱锥法将并联三角平台的六维问题一次降为 一维，获得了较高的求解效率。西南交通大学的陈永等人研究出一种基于同伦函 数的新型迭代法，不需要选取初值便可计算出全部的正解【2 ，该方法可以方便地 求出一般6 - s p s 并联机构的全部4 0 组位置- f 解。 ( 2 ) 解析法。解析法通过消元法消去运动方程中的未知数，从而使得输入输 出方程仅含有一个未知数。解析法的种类包括矢量代数法、几何法、矩阵法、对 偶矩阵法、螺旋代数法等。其特点是不需要设定初值，可以求得全部封闭解，能 够避免奇异问题，输入输出的误差效应也可定量表示，但数学推导过程复杂，通 常会引入额外的根，且对数值的精度非常敏感，想要得到高精度的解则需要较大 的计算量。k o h l i 等【2 2 j 研究了一种6 自由度的3 - c r s 并联机器人的位置正解问题， 并得出了一元1 6 次方的多项式方程。w a l d r o n 等【2 3 j 对一种3 - r p s 微操作器的位置 正解进行了研究，并得出了一元2 4 次方的多项式方程。j e o n g 等【2 4 j 提出了一种用 于6 自由度机器人姿态测量的并联柔索机构，并对这种机构作了运动学正解 4 考虑柔索弹性振动的索牵引并联机器人动力学分析 ( n e w t o n r a p h s o n 方法) 与反解分析、工作空间分析、柔索纵向变形等特性分析。 m a n f r e dh i l l e r 等【2 5 】进行了柔索悬吊并联机器人的可控工作空间、运动学正解和轨 迹规划等问题的研究。 与传统的机构动力学相比，并联机器人动力学研究深度和广度还相差甚远。 动力学的研究就是用数学模型来描述并联机构平台力学状况，是机器人的控制系 统设计，结构优化和运动仿真的基础。与串联机器人的动力学模型建立在关节空 间上不同，并联机器人的动力学模型建立在工作空间上，并且是一个多自由度、 多变量的复杂非线性系统。研究内容包括：构件惯性力计算、受力分析、驱动力 矩分析、主要运动副约束反力分析、动力学模型建立、计算机动态仿真、弹性动 力分析和动态参数识别等。动力学分析包括逆动力学和正动力学。逆动力学即根 据运动求产生该运动的驱动力和力矩；正动力学即已知驱动力和驱动力矩求其产 生的运动。 并联机器人动力学建模的方法有：牛顿欧拉( n e w t o n e u l e r ) 法、拉格朗日 ( l a g r a n g e ) 法、拉格朗日一达朗贝尔( l a g r a n g e d a l e m b e r t ) 法、凯恩( k a n e ) 法和虚功 原理法等。牛顿一欧拉法建立动力学模型的优点是模型中冗余信息少，计算速度快， 且可以求解各运动副约束反力，缺点是推导过程复杂。拉格朗同法是动力学建模 的主要方法，它免去了机构真实运动分析的部分，将系统的动能和势能作为基础 建立动力学方程，其推导过程比较简单且形式较为简洁。l i u 2 6 】等人将并联机器人 的位姿视为广义坐标，以l a g r a n g e 方程为依据建立s t e w a r t 平台的动力学方程。 c h e n g t 2 1 7 】利用l a g r a n g e d a l e m b e r t 法推导了平面二自由度冗余并联机构的动力 学模型并应用于控制策略中，验证了动力学控制算法的有效性。y i u 等对并联机 构动力学建模方法中的n e w t o n e u l e r 法、l a g r a n g e 法、l a g r a n g e d a l e m b e r t 法进 行了比较，并证明了这些方法的等价性2 引。李志鹏等针对高速高精度机器人的 结构柔性问题，提出了一种基于柔体动力学分析的结构参数优化设计方式，并对 一种含平行四边形结构的平面并联机器人进行了结构参数优化，利用动力学仿真 软件a d a m s 对机器人的动态响应、驱动力矩和固有频率进行了计算，通过固有 频率测试和动态响应实验，验证了优化设计的有效性和准确性。 1 4 论文研究的背景意义及主要内容 传统的空中拍摄通过摇臂摄像机、直升飞机航拍系统、曲臂升降车摄像系统 等设备来实现，这些拍摄方法在拍摄角度和区域上都受到一定的条件限制。 摇臂摄像机的提升高度十分有限，而且只能固定在半径很小的范围内进行拍 摄。直升机航拍时，由于噪音和震动的影响，只能进行远距离的拍摄，无法反映 拍摄对象的细节，且航拍的成本较高。 第一章绪论 5 轨道拍摄是对长距离运动对象进行拍摄的重要手段，但它只能依托地面的支 撑，在一个平面上运动，无法在空间中对拍摄对象进行描述，同时由于运动速度 不易精确掌控，轨道拍摄对摄像师的个人技术要求很高。 柔索牵引摄像系统能有效地弥补以上提到的传统空中拍摄的不足。柔索牵引 摄像系统主要包括：驱动器、柔索、陀螺仪平台、摄像机。其中，陀螺仪平台承 载着摄像机，并由四根柔索牵引。目前，柔索牵引摄像系统按照运动空间分为两 类：二维柔索牵引摄像系统和三维柔索牵引摄像系统。 二维柔索牵引摄像系统按照运动方式可分为如下四种：标准型、高速型、竖 直型和2 d 型。作为在二维方向中的运动拍摄手段，柔索牵引摄像系统不仅能够 进行超远距离两点之间的高速、水平和竖直运动拍摄，还可在水平运动的同时实 现竖直方向的运动，跟踪拍摄主体可达上千米甚至更远，突破了摇臂摄像机的高 度和半径限制。 三维柔索牵引摄像系统具有自由灵动、镜头无限旋转等特点。这种摄像系统 可使摄像机在预设的三维空间内如：体育场、广场、国际会议中心室内等达到无 盲点旋动、悬停飞行，突破云台壁垒极限，可在禁飞区域现场任意设定，运用光 纤传输，达到高清、标准、模拟兼容且视频信号无衰减的效果，对拍摄的画质提 供非同一般的视觉效果。扩 美国a u g u s td e s i g n 公司研制了索牵引的摄像系统s k y c a m f 3 0 ( 图1 1 ) ，飞行 速度快，可达1 3 米秒，定位迅速，提供几乎任何位置和角度的报道。主要应用 在露天大型运动场等开放空间的相机定位系统中【3 1 1 。 图1 1 索牵引摄像系统 柔索牵引摄像系统已经被广泛应用于大型演出、体育赛事、电影电视、广告 拍摄中。 6 考虑柔索弹性振动的索牵引并联机器人动力学分析 本文对考虑柔索弹性振动的索牵引并联机器人动力学进行了研究，采用弹簧 一质量法将柔索离散为由弹簧阻尼器连接的质点。首先对柔索牵引并联机器人进 行运动学分析，接着再建立索牵引并联机器人的动力学模型，最后对所建模型进 行动力学分析。 论文的内容安排如下： 第一章：绪论 简述了柔索牵引并联机器人的性能研究概况和运动学与动力学的研究现状， 说明本文研究的背景意义以及主要内容。 第二章：柔索牵引并联机器人的运动学分析 建立了索牵引并联机器人的运动学方程，包括运动学的正解与逆解，并利用 m a t l a b 编程求解其运动学正解，为后续的动力学建模以及仿真分析奠定了基 础。 第三章：柔索牵引并联机器人的动力学建模 根据实际的索牵引并联机器人的参数，在动力学仿真软件a d a m s 中，建立 将柔索处理成直线和悬链线时的柔索牵引并联机器人虚拟模型。 第四章：柔索牵引并联机器人动力学分析 对在a d a m s 中建立的模型进行动力学仿真，通过分析柔索牵引并联机器人 末端执行器的轨迹，研究柔索弹性振动对索牵引并联机器人运动的影响。 第五章：总结与展望 对本文所做工作进行总结，对后续工作内容进行展望。 第二章柔索牵引并联机器人的运动学分析 7 第二章柔索牵引并联机器人的运动学分析 2 1 引言 本文所讨论的用于摄像系统的柔索牵引并联机器人，应在熟悉其结构的基础 之上对它进行运动学分析。本章建立了由四根柔索牵引的三自由度并联机器人模 型，并对所建模型进行了运动学分析，包括运动学正解分析和逆解分析，为后续 动力学模型的仿真分析提供了理论依据。 2 2 柔索牵引摄像机系统模型 由四根柔索牵引的摄像机系统模型，如图2 1 所示。图中，柔索a ，p ( i = i ，2 ，3 ，4 ) 通过架设在矩形四个顶点处且与地面垂直的等高支撑杆上的滑轮 p u l l e y i ( i = l ，2 ，3 ，4 ) ，共同牵引着承载摄像机的末端执行器( e n de f f e c t o r ) 在空间运动。 每根柔索的另一端又与分布在场地的驱动电机相连，电机通过光纤与计算机网络 终端连接，能够快速的获得位置的反馈信息，为计算机控制提供准确的数据。本 文采用索长变化控制末端执行器的运动。需要指出的是，点a ，( f - 1 ，2 ，3 ，4 ) 为系统处 于初始平衡状态时，柔索与定滑轮的切点，滑轮p u l l e y ，的半径r = 0 2 m 。为了表 达和讨论方便，本文用p 表示末端执行器。 建立如图2 1 所示的全局坐标系o - x y z ，坐标系原点0 位于模型在地面投影的 形心处，初始平衡状态下各点位置坐标分别为： 厶 p = ( x ，y ，z ) = ( o ，0 ，三) z a i = ( 五，咒z i ) = ( 詈，i b ，办) 4 = ( 屯，儿, z 2 ) = ( 昙，i b ，厅) 4 = ( ，y 3z 3 ) = ( 昙，等， ) 厶二 4 = ( _ ，y 4 ，乞) = ( 詈，半，乃) 图2 1 中，a 表示系统的横向跨度，b 表示纵向跨度，h 表示竖直高度，针对 本文研究的模型，各标量分别为：a = 2 0 m ，b = 1 2 m ，h = 1 0 m 。 8 考虑柔索弹性振动的索牵引并联机器人动力学分析 p 图2 1 柔索牵引摄像系统示意图 2 3 运动学位置的逆解分析 对本文所研究柔索牵引并联机器人，运动学逆解是指己知p 的位置，求各根 柔索的长度1 , 0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 。如图2 1 所示，若p 的位置坐标( z ，y ，z ) 已知，则各根柔 索的长度可通过下式求得： 厶= 乒再两 乞= 乒再两 厶：乒再两 厶：f 再两 ( 2 一1 ) ( 2 2 ) ( 2 - 3 ) ( 2 4 ) 由以上公式可知，若末端执行器的运动轨迹已知，则通过对式( 2 1 ) 一( 2 4 ) 求 解可得各根索的长度。对式( 2 1 ) 一( 2 4 ) 求导可得各根柔索的速度和加速度与末端 执行器的运动速度以及加速度的关系为： 第二章柔索牵引并联机器人的运动学分析 9 i = 丢 j c x + 詈，+ 夕c y 一兰，+ 三c z 一厅， c 2 - 5 ， 乏= 丢 孟c x 一詈，+ 夕c y 一笔，+ 三c z 一办， c 2 - 6 ， 毛= 去 主( 石一j a ) + 夕( y + 五b ) + 三( z 一办) ( 2 7 ) = 丢 戈( x + 詈) + 夕( j ，+ j b ) + 三( z 一厅) ( 2 8 ) 舌= 古 ( 王( x + 詈) + 夕( y 一兰) + 艺( z 一办) + 文2 + 夕2 + 三2 ) 一2 ( 2 9 ) 艺= 斟( x 一争夕( y 一 卅冉丹a 越2 ( 2 - l o ) 艺= 芝 乞( 戈( x 一兰) + 夕( y + 害) + 艺( z 一办) + 文2 + 夕2 + 三2 ) 一厶乏2 ( 2 - 1 1 ) = 孙( 地+ 争如+ 争犯卅稃耵h 厶2 ( 2 - 1 2 ) 式( 2 5 ) - ( 2 8 ) u l j y o 各根柔索的速度，式( 2 9 ) - - ( 2 1 2 ) 茭j 各根柔索的加速度。以 上公式为后续章节的仿真分析提供了理论依据。 根据式( 2 - 1 ) - - ( 2 - 4 ) ，若已知p 的轨迹方程，即可求得索长f f ( i = l ，2 ，3 ，4 ) 。本文 利用m a t l a b 软件编写了求索长的程序f u n c t i o nc l ，在之后的a d a m s 仿真中， 由式( 2 1 ) 一式( 2 - 4 ) 所求的结果作为索长变化的初始值。 74 话劫堂付詈的正鲤锌析 柔索牵引并联机器人运动学位置正解是指已知索的长度求末端执行器的位 置，即己知各根索的长度t ( 卢1 ，2 ，3 ，4 ) ，求p 的位置。对于并联机器人，其运动学 位置逆解求解容易而j 下解求解十分困难1 3 引。目前，解决正解问题的主要方法有数 值法和解析法两种【l 引。 本文在求解索牵引并联机器人运动学位置正解时，采用一种基于数值法的位 置正解最速下降法，根据索牵引并联机器人工作空间和索长之间的雅可比变换关 系，利用最速下降法原理，探讨了一种可用于平面和空间并联机器人位置正解的 实时数值算法，该算法以索牵引并联机器人运动的连续性为前提，以其工作空间 1 0 考虑柔索弹性振动的索牵引并联机器人动力学分析 内任一个位置点为迭代初值，可快速、准确地给出索牵引并联机器人末端执行器 的唯一位置正解。 索牵引并联机器人在操作空间的运动是各索长变化的非线性映射，故须通过 运动学逆解模型，将给定的末端执行器的位置信息转换为索长运动的控制指令， 以驱动索牵引并联机器人的末端执行器实现期望运动。将末端执行器的位置与柔 索的长度非线性逆解关系简记为： l = i n v 垃 n ( p )( 2 - 1 3 ) 式中，p 为索牵引并联机器人末端执行器的位置，表示柔索的长度，i n v k i n 为 根据末端执行器的位置求索长的逆解符号。 2 3 节中，由式( 2 1 ) - ( 2 4 ) 可知四根柔索的长度与末端执行器的位置坐标之间 的关系，但求解三自由度的索牵引并联机器人的运动学位置正解只需三个方程， 因此本文所研究的用于摄像机系统的索牵引并联机器人属于过约束，所以对其进 行运动学工f 解分析时，可任选三根索，这里选择索f l ，z ：，厶。因此，式( 2 1 3 ) 中，l = 【如，3 】t 为柔索的长度矢量。 末端执行器与柔索的速度变换关系通过雅可比矩阵可求解，即： l = 卯 ( 2 一1 4 ) 式中，户= ( 文，夕，三) 7 为索牵引并联机器人末端执行器的速度，l = 晡乏毛】7 为 各柔索的速度，z ( bl ，2 ，3 ，4 ) 即为第f 根柔索的收放速度。雅可比矩阵 j = 【1 9 2u 3u 4 】为4 3 阶矩阵，其中为第i ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 根索长的单位矢量。 索牵引并联机器人在其无奇异点的工作空间内运动，假设本次运动是从初始 位置点p o 经过索长变化后，到达当前位置点，此时各柔索的长度矢量为。 理论上p o 可选为工作空间内的任一点，的各分量则由柔索伺服电机的旋转编码 器读数值换算得出。本文中求解位置正解的任务是根据p 和求出末端执行器的 位置。 为此，给出图2 2 所示的迭代算法，并给定收敛精度。 上述算法经有限步迭代后将收敛于位置点，该点的位置逆解为。 为了验证最速下降法能准确的求解索牵引并联机器人的j 下解问题，以下通过 仿真实例来说明。 设定索牵引并联机器人的末端执行器在以( 0 ，0 ，4 5 ) ( m ) 为圆心，半径为o 5 m 的 平面圆上运动，经5 s 运行一圈，末端执行器的轨迹方程为： 第二章柔索牵引并联机器人的运动学分析 1 1 s i n ( 2 万；1 ，) ( 2 - 1 5 ) 图2 2 位置正解最速下降法步骤 根据最速下降法，在m a t l a b 中编程求解索牵引并联机器人运动学正解，结 果如图2 3 所示，图中实线表示末端执行器的理论轨迹，点线表示用最速下降法 求得的正解轨迹。从图2 3 中可以看到，末端执行器的正解轨迹几乎与理论轨迹 重合，验证了利用最速下降法求解索牵引并联机器人运动学正解的可行性与正确 性。 n o n = = = x y z ，【 考虑柔索弹性振动的索牵引并联机器人动力学分析 y 方向位移，m 1 o s x 方向位移，m 图2 3 索牵引并联机器人末端执行器的位置正解轨迹 2 5 小结 本章对由四根索牵引的三自由并联机器人，进行了运动学正逆解分析，建立 了求解其逆解的运动学方程，并结合m a t l a b 编程求解了其运动学j 下解，通过 与理论轨迹比较，验证了采用最速下降法求解该类模型正解的j 下确性，本章所做 的工作为后续的研究打下了坚实的理论基础。 第三章柔索牵引并联机器人的动力学建模 第三章柔索牵引并联机器人的动力学建模 3 1 引言 在产品开发过程中，由于客观条件的限制，提高产品质量与缩短开发周期往 往相互矛盾。利用虚拟样机技术可以在产品生产制造之前对其进行仿真模拟，提 前了解产品的各种性能，并提出相关改进意见，以避免各种设计缺陷1 33 。，有助于 提高产品质量、缩短开发周期。 虚拟样机技术( v i r t u a lp r o t o t y p i n gt e c h n o l o g y ) 是当前设计制造领域基于计算 机技术的一门新技术，涉及多体系统动力学、计算方法与软件工程学等学科，它 利用软件建立机械系统的三维实体模型和力学模型，分析和评估系统的性能，从 而为物理样机的设计和制造提供参数依据【3 训。机械工程中的虚拟样机技术又称为 机械系统动态仿真技术，它的产生与发展时间不长，在上世纪8 0 年代才逐渐兴起， 其核心是机械系统运动学和动力学仿真技术，同时还包括一些其它建模、分析等 技术。直到现在，虚拟样机技术仍然处于快速发展的阶段。 与传统的物理样机相比，研究者可以利用虚拟样机技术快速、方便地创建完 全参数化的机械系统几何模型，为系统进一步研究、改进提供了便利的平台：大 大简化了产品的设计开发过程、减少昂贵的物理样机制造及试验次数、提高了产 品的设计质量、大幅度缩短产品开发周期和费用等。通过应用虚拟技术建模与仿 真，不断地优化和调整系统的参数，明显提高了产品的质量和系统性能，使研究 者最终获得最优化和晟具创新的产品。 3 2 柔索牵引并联机器人动力学模型概述 建模通常有两方面的含义，第一是抽离系统动力学行为中的主要特征，用尽 量简单的数学模型来再现系统的动力学行为特征；第二是针对具体的某个系统或 者某一类系统，建立尽量真实的模型，通过运行该模型，可在一定程度上取代运 行实际系统，这类建模通常也叫做仿真。对于本文所研究的柔索牵引并联机器人， 其动力学模型则按照上述所提及的后一种建模线路展开。 动力学模型是控制系统设计的基础，其准确性直接影响控制系统的性能。因 柔索具有一定的弹性，所以为了获得更好的控制效果，在动力学建模时，应当考 虑柔索的弹性效应，但是现有的分析方法对柔索的研究大都基于以下假设： 1 忽略柔索的弹性； 2 忽略柔索的质量； 1 4 考虑柔索弹性振动的索牵引并联机器人动力学分析 3 忽略柔索的动力学。 这样一来就大大简化了系统的动力学模型，本文在考虑柔索的弹性、质量和 动力学的基础之上，对索牵引并联机器人的模型进行了动力学分析，建立了柔索 牵引并联机器人动力学模型。 本文的建模思想是：用弹簧一质量法来模拟柔索，建立索牵引并联机器人的 动力学模型。采用这样的模拟模型是针对索牵引并联机器人在做大范围运动时会 伴有低频振动这一现象提出的。工程和应用中要求对柔索牵引并联机器人动力学 的分析提供精细的仿真结果，因此本文通过将柔索离散成多个索段单元，利用弹 簧质量模型并结合m a t l a b 编程，根据实际的参数，在a d a m s 中建立柔索 牵引并联机器人的模拟模型。在这个模拟模型中，索单元的质量由集中质量点代 替，整个柔索可以被描述为用弹簧阻尼器连接的质点。当索段单元取到足够多时， 采用这种模拟模型能够很好地逼近柔索的实际状态。假设将空间柔索离散为n 段 单元，若不考虑索的扭转，则一般需要建立3 n 个微分方程，所以需要构造一个 较好的积分算法来进行解算。除此之外，采用这种建模方法处理索长变化时，一 般有两种方式：第一种是柔索单元的个数不变，只需对每个单元的参数进行调整； 另一种是改变柔索单元的个数，而每个单元的基本参数保持不变。本文采用后一 种方式来研究索长变化在动力学仿真过程中的情况。 本文应用系统动力学软件a d a m s 进行动力学建模，因此有必要对a d a m s 中针对本文所研究的模型在建立动力学模型时的相关理论做一介绍。 3 3a d a m s 软件动力学理论 由美国m e c h a n i c a ld y n a m i c si n c 公司研制的集建模、求解和可视化技术于一 体的虚拟样机软件a d a m s ( a u t o m a t i cd y n a m i ca n a l y s i so fm e c h a n i c a ls y s t e m ) 是 世界上目前应用广泛且具权威的机械系统动力学仿真分析软件。它使用交互式图 形环境和零件库、约束库、力库等可以方便快速创建机械系统的参数化几何模型， 真实地仿真其运动过程，并且可迅速地分析和比较多种参数方案，直至获得优化 的工作性能。 复杂机械系统的力学模型是由多个物体通过运动副连接而成的，又称为多体 系统【3 引。虚拟样机技术的核心部分是多体系统运动学与动力学建模理论及其技术 实现【3 6 1 ，其中多体系统动力学是虚拟样机技术的理论基础。由于现代工程技术中 的大多数实际问题的对象是复杂的多体系统，所以仅靠古典理论和方法很难对其 进行运动学和动力学分析，这种理论上的需要为多系统动力学的产生奠定了基础， 于是在2 0 世纪6 0 年代，多体系统动力学兴起。多体系统动力学是研究多体系统 运动规律的科学，是在经典力学的基础上发展来的与车辆设计、机械动力学、航 第三章柔索牵引并联机器人的动力学建模 1 5 天器控制等领域密切相关且起着关键作用的力学分支 3 7 , 3 8 】，包括多刚体系统动力 学和多柔体系统动力学。 对于多刚体系统，其动力学的主要任务是【3 7 】： ( 1 ) 建立复杂系统的机械运动学与动力学数学模型，并开发实现此数学模型的 软件系统。 ( 2 ) 开发并实现处理数学模型的计算和数值方法，自动得到模型的运动学规律 和运动响应。 ( 3 ) 数据的后处理，采用动画显示、图表或其它的方式提供数据处理结果。 应用多体系统动力学理论解决索牵引并联机器人的动力学实际问题时，所需 的步骤有： ( 1 ) 实际系统模型简化； ( 2 ) 自动生成动力学方程； ( 3 ) 准确求解动力学方程。 本文所研究的模型，柔索由弹簧和质点组成，其中，质点在建模时用刚性小 球代替，故模型属于多刚体系统。不失一般性，本文在建立索牵引并联机器人模 型时按以上三个步骤进行。这一节简要介绍多刚体系统动力学理论，后面将详细 讨论如何在a d a m s 中建立索牵引并联机器人动力学模型。 1 a d a m s 多刚体的坐标系 a d a m s 中定义了三种坐标系：地面坐标系、局部参考坐标系和标记系统。 地面坐标系：固定于地面的坐标系( g r o u n dp a r t ) ，即系统的绝对坐标系。所 有部件( p a r t ) 都相对地面坐标系确定其位置和方向。 局部参考坐标系：a d a m s 中对每个部件都会建立一个局部参考坐标系，其 位置和方位相对于地面坐标系定义，可随部件一起运动。 标记系统( m a r k e r ) ：各部件都有的内部坐标系统，分为两类：固定标记和浮 动标记。前者固结于部件上，并与部件一起运动，其位置和方向是相对局部参考 坐标系来定义的，不随时间变化，可用于定义部件的图形边界、质心、作用力和 约束；后者用于一些力和约束以确定其作用力、自动标明标记的位置和方向【3 4 l 。 2 a d a m s 多刚体动力学方程 a d a m s 根据机械系统模型，采用拉格朗同法自动建立系统的拉格朗日方程， 并对每个刚体，列出3 个广义坐标下带乘子的拉格朗f l 方程及相应的约束方程。 式( 3 - 1 ) 中，吼为系统的广义坐标；咖，为系统的约束方程；c 为广义坐标方向上 - l 0 c = 九 堕钆 。 + 塑札 一 堡鸭仫晦卸 d 一办哆 1 6 考虑柔索弹性振动的索牵引并联机器人动力学分析 的广义力； 为拉格朗日乘子；置表示动能。其中f = 1 ，珂，= 1 ，m ，动能的 定义为： k ：t m 2 式中，为刚体重心矢径，m 为刚体的质量。 将式( 3 一1 ) 写成如下形式： ：d 【j ( 3 - 2 ) ( 3 3 ) 式( 3 - 3 ) 中，f = f ( q ，口，q ，a ，t ) ，咖= 厂( 牙，口，f ) ，d 为零矩阵。将式( 3 - 2 ) 带入式( 3 3 ) ， 并成矩阵形式为： 肘碧= 喀7 a = q 事 式( 3 4 ) 0 0 ，置= 【毫文2 文。】；呶= 【g 蛾2 吒】； m ，q 木分别为系统的广义质量对角矩阵和广义坐标列阵。 m = d i a g m l 鸭鸭】 q 宰= 【岔7 绣7 包r 】 ( 3 4 ) 即将所有拉格朗e t 方程写成一阶微分方程形式，并引入口：a q ，得到： 斛。 p 5 ， 式中，f = f ( u ，口，g ，九，f ) 。 旦 蔷) - 筹+ 兰, = l 丝ajdt 丑= f ，g 却川矿( 3 - 6 ) 8 4 j ) a q j l li 。 、 第三章柔索牵引并联机器人的动力学建模 1 7 i 戈一屹= 0 夕一= 0 ( 3 - 7 ) 【三一屹= 0 约束代数方程 外力的定义方程( 重力除外) 自定义的微分方程 将以上3 个方程写成矩阵形式如下： 刚体运动方程d i f f ( u ，u ，q ，a ，f ，t ) = 0 系统约束方程痧( 口，q ，f ) = 0 系统外力方程，( 办，u ，g ，f ，t ) = 0 自定义的微分方程d i f f ( i f ，u ，q ，f ，t ) = 0 式中，q 为笛卡尔广义坐标；以为广义坐标的微分；f 由外力和约束力组成；，为 时间。 令j ，= ：) 为状态向量，则模型的系统方程可写为： g ( y ，j v ，t ) = 0( 3 - 8 ) 3 a d a m s 多刚体动力学方程求解 对刚性系统，a d a m s 采用变系数的b d f ( b a c k w a r d sd i f f e r e n t i a t i o n f o r m u l a t i o n ) l 习l j 性积分程序来求解动力学微分方程，它是自动变阶与变步长的预估 校正法( p e c e ，p r e d i c t e v a l u a t e c o r r e c t e v a l u a t e ) ，在积分的每一步采用修正的 n e w t o n r a p h s o n 迭代算法，能迅速准确的对动力学方程求解，求解过程如图3 1 所示。 图3 1a d a m s 求解过程 a d a m s s o l v e r 有5 个强大的数值积分程序，其中4 个为变阶与变步长的刚 1 8考虑柔索弹性振动的索牵引并联机器人动力学分析 性积分程序( g s t i f f , s 1 2 g s t i f f , d s t i f f , w s t i f f ) ，最长使用的是变系数的b d f 方法。第五个为非刚性积分程序，采用了a d a m s b a s h f o r t h a d a m s m o u l t o n 算法。 对于常用的4 个b d f 积分程序，其预估校正求解过程分3 个阶段实现： ( 1 ) 预估阶段 根据泰勒展开式预估在乙+ 。时n y 及其一阶导数夕的值用t a y l o r 展开为： 以+ 。= 只+ 帆+ 等或+ + 等 ( 3 - 9 ) 式( 3 9 ) 中，h = 乙+ 1 - t 为积分步长，j ，表示解向量。 ( 2 ) 校正阶段 校正阶段分为以下四个步骤： 求解系统方程( 式( 3 8 ) ) ，若方程成立，则此时的y 即为方程的解，否则求 解雅可比矩阵后再转至。 求解n e w t o n r a p h s o n 线性方程，得到缈，用此更新变量y 的值，使系统 方程g 更近于成立： ，z