（计算机应用技术专业论文）噪声扰动的广义mj集分形结构的研究.pdf

大连理工人学硕士学位论文 摘要 非线性科学是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉科学，几乎涉及到自然科学和 社会科学的各个领域，混沌理论、分形理论和孤立子理论共同构成了非线性这门学科的 理论基础其中的分形理论是非线性科学中最富有挑战性和广泛应用前景的学科因而 分形的研究既有重要的理论意义，又有广泛的应用价值 分形作为一种全新的世界观与方法论，深刻揭示了有序与无序的统一、确定性与随 机性的统一就一个单体的分形集而言，它是一个有序与无序、确定与随机、混沌与分 形的统一体对于确定分形集( 如广义m j 集) 与随机分形集( 虫布朗运动) 来说，这两类 分形集彼此之间是否存在某种内在联系呢? 正是基于以上思考，本文在对m j 集分形理论及噪声理论深入分析和研究的基础 上，将随机噪声引入到广义m j 集的研究中，推广了a r g y f i s ，k a r a k a s i d i s 和a n d r e a d i s 等人提出的由二次复映射z z 2 + c 构造的随机扰动的m j 集的方法，由复映射 z t z o + c ( a 尺) 构造出一系列实数阶的随机扰动的广义m - j 集，从理论上分别给出了 随机扰动的广义m j 集的定义利用复变函数理论与计算机制图相结合的实验数学的方 法对两者的结构和演化进行了深入研究，内容如下： 1 研究了加性和乘性噪声扰动的广义m 集的结构特征和裂变演化规律 分析了随 机扰动参数对广义m 集结构的影响；阐述了加性噪声扰动的广义m 集的物理意义 2 研究了加性和乘性噪声扰动的广义j 集的结构特征和裂变演化规律；分析了随机 扰动参数对广义j 集结构的影响；阐述了加性噪声扰动的广义j 集的物理意义得出结 论如下：n 1 广义j 集的抗噪性与口值有关当噪声强度不变时，a 越小，广义j 集的抗 噪性越弱；反之，广义j 集的抗噪性越强( 2 1 在低强度噪声扰动下广义j 集的分形生 长是稳定的，随着噪声强度的增加，广义j 集的分形生长从稳态过渡到混沌这表明布 朗运动可阻是混沌的；混沌区周期窗口的存在又表明布朗运动是组织结构和高度有序的 表现 以上研究内容的相关论文己投往高校应用数学学报、高等学校计算数学学报 等刊物 关键词：广义m j 集；分形；混沌；噪声扰动；布朗运动 至壁! 竖主垫垫塑! ：墨翌：! 茎坌型笙塑塑型塞 r e s e a r c ho nf r a c t a ls t r u c t u r eo fn o i s ep e r t u r b a t i o n so f g e n e r a l i z e dm js e t s a b s tr a c t n o n e l i n e rs c i e n c ei san e wc r o s s e dd i s c i p l i n e ，w h i c hc o n c e r n st h ec o m m o np r o p e r t i e so f n o n l i n e a rp h e n o m e n a i tn e a r l yi n v o l v e st oe a c hd o m a i no fn a t u r a ls c i e n c e sa n ds o c i a l s c i e n c e s c h a o st h e o r y ，f r a c t a lt h e o r ya n ds o l i t o nt h e o r ym a k eu po ft h e o r e t i c a lb a s i so f n o n 1 i n e a rs c i e n c et o g e t h e r f r a c t a li so fg r e a tc h a l l e n g ea n db r i 曲ta p p l i c a t i o nf u t u r ei n n o n l i n e a rs c i e n c e t 1 l e nr e s e a r c ho nf r a c t a lh a sb o t hi m p o r t a n tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n d e x t e n s i v ea p p l i e dv a l u e a so n eb r a n d n e ww o r l dv i e wa n dm e t h o d o l o g y ，f r a c t a lt h e o r yd e e p l yo p e n so u t u n i f i c a t i o no fr e g u l a r i t 3 ，一i r r e g u l a r i t ya n dd e t e r m i n i s m r a n d o m i c i t y s p e a k i n go fo n em o n o m e r f r a c t a ls e t ，i ti so n ee n t i ao fr e g u l a r i t y - i r r e g u l a r i t y ，d e t e r m i n i s m r a n d o m i c i t ya n dc h a o t i c 。 f r a c t a l a sf o rd e t e r m i n a t ef r a c t a ls e t s ( e g g e n e r a l i z e dm - js e t s ) a n ds t o c h a s t i cf r a c t a ls e t s ( e g h r o w n i a nm o t i o n ) ，w h e t h e rb e t w e e no ft h e mh a v es o m ek i n do fi n n e r i i n ke a c ho t h e r ? i sp r e c i s e l yp o n d e r sb a s e do na b o v e ，b a s e do nt h ea n a l y s e sa n ds t u d i e so ft h eg e n e r a l i z e d m js e t sf r a c t a lt h e o r ya n dn o i s et h e o r y ，t h es t o c h a s t i cn o i s ew a si n t r o d u c e dt or e s e a r c ho ft h e g e n e r a l i z e dm - j s e t s t h em e t h o dc o n s t r u c t i n gs t o c h a s t i cp e r t u r b e dm - js e tf r o mt h eq u a d r i c c o m p l e xm a p p i n g z - z 2 + c d e v e l o p e db ya r g y r i s ，k a r a k a s i d i s a n da n d r e a d i sw a s e x p a n d e d a c c o r d i n gt ot h ec o m p l e xm a p p i n gz 卜z 8 + c ( o r ) e x p a n d e db yt h ea u t h o r ，a s e r i e so ft h es t o c h a s t i cp e r t u r b e dg e n e r a l i z e dm js e t sf o rr e a li n d e xn u m b e rw e r ec o n s t r u c t e d d e f i n i t i o n so ft h es t o c h a s t i cp e r t u r b e dg e n e r a l i z e dm js e t s a r et h e o r e t i c a l l yp r o d u c e d s e p a r a t e l y u s i n gt h ee x p e r i m e n t a lm a t h e m a t i c s m e t h o dc o m b i n gt h et h e o r yo fa n a l y t i c f u n c t i o no fo n ec o m p l e xv a r i a b l ew i t hc o m p u t e ra i d e dd r a w i n g ，t h ef r a c t a lf e a t u r e sa n d e v o l u t i o n so ft h es t o c h a s t i cp e r t u r b e dg e n e r a l i z e dm - js e t s a r es t u d i e d 1 1 1 ef o l l o w i n g c o n c l u s i o n sa r es h o w n ： 1 o nt h es t r u c t u r ec h a r a c t e r i s t i c sa n dt h ed i s c o n t i n u i t ye v o l u t i o nl a wo ft h ea d d i t i v ea n d m u l t i p l i c a t i v en o i s ep e r t u r b e dg e n e r a l i z e dm s e t sw a ss t u d i e d o nt h ei n f l u e n c eo fs t o c h a s t i c p e r t u r b e dp a r a m e t e r so ft h e s t r u c t u r eo fg e n e r a l i z e dms e t sw a sa n a l y z e d t h ep h y s i c a l m e a n i n go ft h ea d d i t i v en o i s ep e r t u r b e dg e n e r a l i z e dm s e t sw a se x p o u n d e d 2 o nt h es t r u c t u r ec h a r a c t e r i s t i c sa n dt h ed i s c o n t i n u i t ye v o l u t i o nl a wo ft h ea d d i t i v ea n d m u l t i p l i c a t i v en o i s ep e r t u r b e dg e n e r m i z e djs e t sw a ss t u d i e d o nt h ei n f l u e n c eo fs t o c h a s t i c p e r t u r b e dp a r a m e t e r so f t h es t r u c t u r eo fg e n e r n i z e djs e t sw a sa n a l y z e d t h ep h y s i c a l m e a n i n go ft h ea d d i t i v en o i s ep e r t u r b e dg e n e r a l i z e dj s e t sw a se x p o u n d e d 强ef o l l o w i n g 人胜埋上大字坝士字位i ：j 主又 c o n c l u s i o n sa r es h o w n ：( 1 ) c h a r a c t e r i s t i c so fa n t i - n o i s eo ft h eg e n e r a l i z e djs e t sc o r r e l a t e st o t h ei n d e xo f 睇v a l u e w h e nt h en o i s es t r e n g t hi si n v a r i 曲l e av a l u ei ss m a l l e r a n t i n o i s e c h a r a c t e r i s t i c so ft h eg e n e r a l i z e djs e t sa r ew e a k e r ；o t h e r w i s e ，a n t i n o i s ec h a r a c t e r i s t i c so ft h e g e n e r a l i z e djs e t sa r es t r o n g e r ( 2 ) u n d e rt h el o ws t r e n g t hn o i s ep e r t u r b a t i o n ，f r a c t a lg r o w t h o ft h eg e n e r a l i z e djs e t si ss t a b l e ，a l o n gw i t ht h en o i s es 仃e n g t hi n c r e a s e s ，f r a c t a lg r o w t ho ft h e g e n e r a l i z e djs e t sf r o m t h es t a b l es t a t et r a n s i t st ot h ec h a o t i cs t a t e t h i si n d i c a t e st h e b r o w n i a nm o t i o nm a yb ec h a o t i c ；i nt 1 1 ec h a o t i ca r e at h a tp e r i o d i cw i n d o w se x i s ti n d i c a t e s a g a i nt h eb r o w n i a nm o t i o nh a s ac h a r a c t e r i s t i co fo r g a n i z a t i o n a ls t r u c t u r ea n dh i 曲l y r e g u l a r i t y a b o v es t u d i e sr e l a t e dt ot h ep a p e r sh a v ec o n t r i b u t e dt oa p p l i e dm a t h e m a t i c saj o u r n a l o fc h i n e s eu n i v e r s i t i e s s e r i e saa n dn u m e r i c a lm a t h e m a t i c saj o u r n a lo fc h i n e s e u n i v e r s i t y ，a n ds oo nt h ep u b l i c a t i o n s k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e dm - js e t s ；f r a c t a l s c h a o s ；n o i s ep e r t u r b a t i o n s ；b r o w n i a n m o t i o n 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：墨日期：圭堕! ：! ! 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：豆获作者签名：趴 新签名王兰乞 丝年上月日 人连理工大学硕士学位硷文 引言 非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学它是2 0 世纪6 0 年代以来，在 各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为2 0 世纪 自然科学的“第三次革命”科学界认为：非线性科学的研究不仅具有重大的科学意义， 而且具有广泛的应用前景，几乎涉及到自然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人 们对现实世界的传统看法一般认为非线性科学的主体包括三大普适类：分形( f r a c t a l ) 、 混沌( c h a o s ) 和孤立子( s o l i t o n ) 相对于经典数学、物理学等学科来讲，分形理论算是一门从正式提出到现在只有三 十多年历史的年轻学科，它描述的是具有无规则结构的复杂系统结构形态的一门新兴边 缘科学在过去2 0 多年中，分形理论已成功地应用于许多不同学科的研究领域，并对 一些久悬未解的难题的研究取得突破性进展今天，分形己被认为是研究非线性复杂问 题最好的一种语言和工具，成为世人瞩目的学术热点 经过多年的发展，分形理论己逐步形成了自己的研究方法，以用于揭示无规则现象的 内部所隐藏的规律性、层次性和确定性f 1 2 1 分形理论作为刻画非线性特征的重要工具，其 中一个重要分支就是分形发生学理论的研究分形发生学主要对分形集的生成机理进行研 究，探索分形集发展、演化的规律，用动力系统的观点对分形集的复杂性进行刻画分形 理论的创立者m a n d e l b r o t 利用计算机技巧，根据j u l i a 和f a t o u 所开创的“复平面上有理映 射迭代理论”的思想，研究了复平面c 上z z 2 + c 这样一个带有复常数c 的简单映射， 通过迭代能生成非常复杂的j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集，这成为分形发生学理论的开端p 】 本文是在大量阅读文献，总结前人成果的基础上，通过对m - j 集分形理论及噪声理论 进行深入分析和研究，选取了广义m j 集的生成机理为突破口，采用解析、计算和实验三 种手段并用的方法，将噪声引入到广义m _ j 集的研究中，对随机扰动的广义m j 集分形图 谱的构造方法、分形结构特征及裂变演化规律进行了深入的研究 全文共分五章：第章介绍了分形的理论背景、分形与混沌的关系、分形对计算机科学 发展的影响以及分形理论的应用前景；第二章阐述了分形基础理论，先后介绍了分形定义、 不动点、周期点及复动力系统的分形建模；第三章对离散动力系统的噪声理论及模拟噪声的 随机数理论及其算法做了归纳与论述；第四章讨论了噪声扰动的广义m 集的结构特征及裂 变演化规律，从理论上分析了扰动参数对广义m 集的影响；第五章讨论了噪声扰动的广义j 集的结构特征及裂变演化规律，从理论上分析了扰动参数对广义j 集的影响 王震：噪声挠动渤义m - , 1 集分形结构的研究 1 分形概述 1 1 分形的理论背景 分形、耗散结构和混沌被誉为2 0 世纪7 0 年代自然科学的三大发现而分形理论既 可以说是现代数学的一个新分支，也可以说是一门有着古老历史渊源的学问早在一百 多年以前，分形学的初创形式分形几何学就受到了数学家们的关注时至今日，分 形学的发展己经突破了最初几何理论的研究而广泛应用于各类学科和社会生产生活 中就其本质而言，它是一种全新的世界观与方法论，深刻揭示了有序与无序的统一、 确定性与随机性的统一，被认为是继相对论、量子力学之后，本世纪人类认识世界和改 造世界的最富有创造性的科学领域的“第三次革命” 文艺复兴时期的著名艺术家、科学家d u r e r ( 1 4 7 1 1 5 2 8 1 基于正五边形向外无穷复制， 生成了一个分形体，这是目前文献中所能看到的较早的分形1 8 2 7 年英国植物学家 b r o w n 用显微镜发现细微颗粒在液体中作无规则行走的布朗运动1 9 1 3 年p e r r i n 指出布 朗运动作为运动曲线不具有导数随后，w i e n e r 建立了布朗运动的概率模型后人在此 基础上创立了随机过程论这就是数理科学中反映客观规律的两套体系：确定论描述和 概率论描述【4 1 进入8 0 年代，人们以分形的眼光看待布朗运动，发现它是一种极为典型 的随机分形集，从而找到了确定论与随机论的内在联系 1 8 6 0 年瑞士数学家c e l l e r e 在课堂上向学生讲解“连续函数必定可微”的流行观点 是错误的，并给出了反例十九世纪后期德国数学家w e i e r e s t r a s s 构造了处处连续但是 处处不可微的函数，集合论创始人c a n t o r 构造了康托尔三分集至此随着微分学和几何 学研究的不断进行，分形开始出现在人们的眼前，分形的研究发展呈现出较为明显的三 个阶段1 5 7 1 第一阶段为1 8 7 5 年至1 9 2 5 年，此阶段的主要研究工作集中在几类典型的分形集， 并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻画总之，在分形理论发展 的第一个阶段，人们已经提出了一些典型的分形对象及其相关问题，并为讨论这些问题 提供了最基本的数学工具 第二阶段大致时间为1 9 2 6 年至1 9 7 5 年，在这个阶段初期人们对分形集的性质做了 深入的研究，特别是维数理论的研究取得了丰富的成果，但是绝大部分从事这一领域工 作的学者主要局限于纯数学理论的研究，而未与其他学科发生联系正是在这种形势下， m a n d e l b m t 以独特的思想，系统、深入、创造性地研究了海岸线的结构、月球表面、地 貌几何性质等典型的自然界的分形现象，把具有“粗糙和自相似”特点的各种不规则图 火连理工人学硕士学位论文 形、函数或点集称为分形，并且找到了描述它们的数学模型【1 l 他于1 9 6 7 年在( ( s c i e n c e ) ) 上发表了题为英国海岸线有多长? 统计自相似性与分数维数的著名论文，标志着分 形思想已经正式形成 第三阶段为1 9 7 5 年至今，是分形几何形成独立的学科并在各个领域的应用得到全 面发展的阶段1 9 7 5 年m a n d e l b r o t 正式提出分形( f r a c t a l ) 这- - 概念，并出版专著分形 对象同年他将前任的研究成果加以总结，集其大成，以法文出版了他的划时代专著 分形：形状、机遇和维数这是一本系统地阐述分形几何的思想、内容意义和方法 的学术著作，它标志着分形几何作为一个独立的学科正式诞生，从而把分形理论推进到 一个更为迅猛发展的阶段 1 ，2 分形与混沌的关系 分形与混沌有着密切关系隅在非线性科学中，分形与混沌来源不同分形起源于 对不规则集合的研究，混沌则起源于非线性动力学系统的研究简单地说，分形来自于 几何学的研究，而混沌则产生于物理学的研究但它们又都是非线性方程所描述的非平 衡的过程和结果，这表明它们有着共同的数学祖先动力系统，如果说分形几何为描 述混沌吸引子的内部结构提供了一个很实用的语言，那么，混沌运动则被认为是产生分 形结构的根源之一 从研究的问题来看，它们又具有类似性混沌主要研究非线性动力学系统的不稳定 的发散过程，但系统状态在相空间中总是收敛于一定的吸引子，这与分形的生成过程十 分相似因此，如果说混沌主要研究非线性系统状态在时间上演化的行为特征，那么分 形则主要研究吸引子在空间上的结构混沌运动的随机性与初始条件有关，而分形结构 的具体形式或其无规律性也是与初始状态有密切关系混沌吸引子与分形结构都具有自 相似性所以说它们是从不同侧面来研究同一个问题的 分形与混沌的区别与联系说明，如果把非线性动力系统看成一个不稳定的发散过 程，那么i f s 吸引子生成的分形吸引子正好是一个稳定的收敛过程因此，如果把混沌 广义的看成是具有自相似的随机过程和结构，则分形也可以看作一种空间上的混沌反 之，由于混沌运动( 服从决定性方程的决定性混沌) 具有在时间标度上的无规则自相似性， 它也可以看作是时间上的分形简单地况，分形是空间上的混沌，而混沌是时间上的分 形 1 3 分形对计算机科学发展的影响 计算机在生成分形过程中起着重要的作用，这稽作用不仅仅表现在它代替人工大量机 械的重复性的劳动，更重要的是，它为分形理论的研究提供了重要的研究方法二十世纪 王震：噪卢扰动的广义m - j 集分形结构的研究 初，f a t o u 和j u l i a 创立的分形理论的前身复动力系统，经过1 9 1 0 - - 1 9 2 5 年短暂的研究 热潮后，因为构造图形的工具，只能靠思维的想象，而走向低谷二十世纪7 0 年代数学家 m a n d e l b r o t 利用计算机这一工具，创立了分形理论此后，分形理论的发展一时一刻也没 有离开过计算机因而，可以毫不夸张地说，没有计算机就没有分形理论的产生和发展 分形理论与计算机科学理论的结合，一方面，分形理论推动了计算机可视化图像方法的 迅速发展，使计算机在信息压缩、存储及模拟自然界的各种奇妙图形发挥了重要作用；另一 方面，计算机应用的广度和深度也大大地推动了分形理论的发展由于模拟的分形图展现出 批优美的图像，促使分形理论与计算机科学理论的进一步融合及发展，不仅为新型的“计 算机艺术家”提供了艺术创新的灵感，而且进一步提高了这一新兴学科的声望 3 1 1 4 分形的应用前景 分形理论真正发展起来才二十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步 研究1 9 】值得注意的是，近年来分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分 形的数学理论提出了更新、更高的要求各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改 进和完善，使之理论简便，可操作性强，是分形科学家们普遍关注的问题：而在理论研 究上，维数的理论计算、估计、分形重构、m j 集及其推广形式的性质、动力学特征及 维数研究将会成为数学工作者们十分的活跃的研究领域 今天，分形理论已经与计算机科学理论等领域相结合，这种结合使人们对久悬未解 的基本难题的研究取得突破性进展，在探索、描述及研究客观世界的复杂性方面发挥了 巨大作用【1 ，6 ，t 1 0 _ 1 列其作用涉及到几乎整个自然科学和社会科学混沌分形已被认为是 研究非线性复杂问题最好的一种语言和工具，并受到各国政府及学者的重视和公认，成 为举世瞩目的学术热点 总之，分形理论的思维新颖，方法独特，涉及的研究领域极为广泛，在数学、物理、 化学、材料科学1 1 列、医学与生物、地质与地理学、地震和天文学、力学、计算机科学乃 至经济 1 4 ，1 5 】、社会、艺术等领域都有广阔的应用前景难怪美国著名的物理学家w h e e l e r 说“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人! ” 1 5 本章小结 本章主要对分形理论的背景、发展及其应用前景等作了简要综述首先介绍了分形 理论的产生背景；接着阐述了分形与混沌的关系；随后分析了分形对计算机科学发展的 影响；最后介绍了分形理论的应用前景 大连理工人学硕士学位论文 2 分形理论基础 2 1 分形的定义 分形几何是一门几何学，它研究的对象是欧氏空间的类子集，这类子集结构较为 复杂按一般方法，似乎应首先给分形下一个明确定义，对给定图形，根据它是否满足 给出定义，来判断它是不是分形但经验已证明，这样的方法对于分形这一新兴数学分 支过于简单化分形理论创始人美国的m a n d e l b r o t ，为分形下过两个定义【1 0 】： ( 1 ) 满足下式条件： d i m ( a ) d i m ( a ) 的集合4 ，称为分形集其中，d i m ( a ) 为集合一的h a u s d o r f f 维数( 或维数) ，d i m ( a ) 为其拓扑维数一般说来，d i m ( a ) 不是整数，而是分数 ( 2 ) 组成部分以某种方式与整体相似的形体，称为分形 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内 容正如英国数学家f a l c o n e r 在其所著分形几何的数学基础及应用一书中认为，分 形的定义应该以生物学家给出“生命”定义的类似方法给出，即不寻求分形的确切简明 的定义，而是寻求分形的特性 1 1 】一般地，称集，是分形，即认为它具有下述典型的性 质：秽 ( 1 ) f 具有精细的结构，即具有任意小的比例细节： ( 2 ) ，具有不规则性，它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述； ( 3 ) f 一般具有某种部分与整体之间的自相似性，可能是近似的或统计意义下的： ( 4 ) 通常f 以某种方式定义的“分形维数”大于它的拓扑维数； ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，f 可以通过递归、迭代等简单的方法产生 应当指出的是，自然界和各门应用学科中涉及的分形绝大部分都是近似的当尺度 缩小到分子的尺寸，分形性也就消失了，严格的分形只存在理论研究之中 2 2 不动点 设妒是定义域和值域均为同一度量空间的算子，则z ；妒( x ) 这类方程的解称为对应 算子妒的不动点为了求出不动点，往往采用如下迭代程序： x = o o ( x , 。) ，n = o ，1 ，2 ， 则由此产生的序列帆 称为由茗导出的一个离散动力系统 王震：噪声扰动的广义m - j 集分形结构的研究 z o 给定，这个迭代过程如图2 1 所示 图2 1 离散动力系统示意图 f i g 2 1f i g u r eo fd i s c r e t ed y n a m i cs y s t e m 上图是个离散动力系统的简单图示，从输k x 。经过算子舻得到输出+ 】，再经过 反馈给出新的输出，这个迭代过程依赖于初始值x o 的选取，工。可看作该系统的参数给 定一个非线性迭代过程，一般说来，并非对任何初始值都是收敛的 2 3 周期点 熟知，将，( 砷中的z 换成g ) ，便得到了复合函数厂( 9 0 ) ) 设f ( 2 7 ) 是定义域和值 域均为同一度量空间的算子，那么就可以逐层的复合下去，这就是迭代过程记 ，o o ) = 2 7 ，1 ) = f ( 2 7 ) ，2 ) = ，( ， ) ) ，厂“0 ) ；f ( f ”1 ) ) ，” ) 叫做，的n 次迭代序列 ，” ) ) 叫做，的轨道如果2 7 满足 ，“o ) = x ，。( 2 7 ) * z ，k = 0 , 1 2 ，n 一1 便说z 是，的一个周期点n 叫做x 在，下的周期不动点也就是1 周期若茗是， 的周期点，则x ，厂1 0 ) ，2 ) ，”1 0 ) 互不相同这n 个点所组成的有序集合叫做的一 个周期轨道【1 0 】判断一个映射是否存在n 周期点并不容易特别当n 为较大的整数时， 更难做到 2 4 复动力系统的分形建模 动力系统是确定性分形的源泉，通过研究动力系统的建模，一方面可以认识更多的 分形；另一方面可以了解构造分形图的理论根据 人连理j 人学硕士学位论文 在传统的计算机实变量实值函数的数值实验分析中，实验结果将有如下形式 ( 鼍，只) ：i = 0 ，1 ，2 ，) 的一族数据，其中n 是一个正整数，互= f “) ，蕾是满足x 0c c x v 的实数，可以 通过图形拟合法进行分析而在复平面c ( 或黎曼球) 上，像l ( z ) = z 2 + c 这样简单的函数 将出现非常复杂而又奇特的分形这些集合通常称为j u l i a 集，而根据不同的c 值对应 的j u l i a 集的连通性对参数c 进行分类，那些使得二次映射l ( z 、的j u l i a 集为连通集的参 数c 的集合为m a n d e l b r o t 集，因而m 集是相应j 集的图解目录集【6 j 2 4 1m - j 集 ( 1 ) j u l i a 集 对二次多项式j u l i a 集研究的是对某一确定的参数c c ，整个复平面f 对固定参数 c c ，称z 平面为动力平面) 上点z 的轨迹的性态 设，：c c 为复系数n22 阶的多项式f ( z ) ；o + n l z + + 口。z “记厂为函数的k 重 复合，。，。= f o o f ，f kc o ) 为甜的第k 次迭代，( ，( ( ， ) ) ) ) 如果，( 。) ；，蹴称 为，的不动点，如果存在大于1 的整数p ，使， ) = ，则称艉，的周期点，使厂扣) = 的最出正整数p 称为( 1 ) 点的周期而称伽，( ) ，9 ( 甜) ) 为周期p 的轨道设碇周期 为p 的周期点，且( ，) ) = a ，其中撇号表示复变微商，点称为： ( 1 ) 超吸引的，如果a = 0 ( 2 ) 吸引的，如果0 i a i 1 定义2 4 嘲设，：0 0 是阶数大于1 的多项式，f ，表示c 中那些轨道不趋于无穷 点的点的集合，即： 乃= 仁c ： i 厂( z ) i 兄，是有界的) 称此集为相应于，的充满的j u l i a 集，f ，的边界称为多项式，的j u l i a 集，记为j ，即： j = a | 定理2 1 设乜。 为开区域u 上的一族复变解析函数，如果值。 为非正规族，则对 所有的w c ，至多除去一个例外值，存在k 和z u ，使g 。( z ) = w 王震：噪声扰动的广义m - j 集分形结构的研究 这就是m o n t e l 定理，由它可以得出j u l i a 集的一系列性质，其证明过程非常复杂， 这里不作过多说明，如有需要可查阅相关文献【1 0 】现只将其性质总结如下： 定理2 2 设f ：c c 是阶数大于1 的多项式，是，的充满的j u l i a 集，是， 的j u l i a 集，则和j ，是c 的非空紧子集，即，j ，( c ) ：同时f ( j ，) = ，；，。( ，) 及，( f r ) = = f 。( f ，) ，且圪= c b 是路径连通的 定理2 3 j u l i a 集，为多项式厂的斥性周期点的闭包，它是不含孤立点的不可数紧 子集，如果z c j ，贝t j j ，是u 厂。( z ) 的闭包j u l i a 集是，的包含无穷远点在内的每一吸 k - i 引不动点的吸引域的边界，而且，在，上的作用是混沌的 i 。：。上。 7 i r 1 ( a ) c = 0 , 3 0 5 4( b ) c = 0 3 + 0 5 i ( c ) c = - 1 3( d ) c = 0 6 6 i 图2 1z z 2 + c 构造的j u l i a 集 f i g 2 1j u l i as e t sc o n s t r u c t e db yz - z 2 + cm a p p i n g f ( z ) = z 2 的j u l i a 集为圆| z1 = 1 如果z 在j u l i a 集内，则厂( z ) 一o ( t 一* ) ；如果 z 在j u l i a 集外，则f ( z ) 一m 一。) f ( z ) zz 2 + c 的j u l i a 集是一条分形曲线；这条曲 线把复平面分为两类点，一类点使f ( z ) 收敛于，在0 附近的不动点( 1 ) ；另一类点使 ，( 2 ) 一o 。图2 1 为二次映射z z 2 + c 在不同参数c 下所产生的j u l i a 集 ( 2 ) m a n d e l b r o t 集 对于复平面的映射l ( z ) 一z 2 + c ，对应每个c = c t + i c ：c ， e ，c ( z ) 是依赖于两个 参数的动力系统，参数如，c ：) 的全部可能取值称为参数空间。m a n d e l b r o t 集合是对二次 函数在参数平面上进行迭代产生的图形由于在参数空削中仅仅考虑c 值的影响，这就 有了如下m a n d e l b r o t 集的定义 定义2 5 【6 1 相应于动力系统 0 ，正0 ) = z 2 + c ) 的m a n d e l b r o t 集是 大连理工大学硕士学位论文 朋7 - c p ：以是连通的) 由定义2 5 可见m a n d e l b r o t 集看来似乎与j 。的一个相当特殊的性质有关，事实上， m a n d e l b r o t 集包含了关于j u l i a 集构造的无穷信息，经典m a n d e l b r o t 集如图2 2 所示但 定义2 ，5 不适合计算、应用的目的，从下面定理中，我们导出m a n d e l b r o t 集的一个方便 的等价定义 图2 2 经典m a n d e l b r o t 集 f i g 2 2c l a s s i c a lm a n d e l b r o ts e t 定理2 4 相应于一族动力系统 e ，z ( z ) = z 2 + c ) p c ) 的j u l i a 集是连通的，当且仅 当 仁p c ：l 刀( o ) l 爷o o ( n 斗。o ) ) 这个m 集的等价的定义，是用逃逸时间算法绘制m 集的计算机图像的理论基础 2 4 2 构造m j 集的逃逸时间算法 逃逸时间算法是一种具有深刻理论背景，又行之有效的绘制分形图的方法，它可以 用来描绘极其复杂的分形图 定义2 6 度量空间( x ，户) 上的动力系统是个变换厂：肖j 爿，记为 x ，f ) 中 一点z 的轨道是序列 f “( x ) ：n = 1 ，2 ，) 设( x ，p ) 为给定的度量空间，( ，( x ) ，h p ) 代表相应的带有豪斯道夫距离的非空紧子 集空间( 即分形空间) ，则确定性分形集a 即为( f ( 一) ，h p ) 上的压缩映射与折叠变换的不 动点集，而( 爿，f ( 厂为( z ，p ) 上的变换) 构造了( f ( z ) ， 。) 上的分形动力系统 定理2 5 【6 设( y ，p ) 为度量空问，x c y 是y 的非空紧子集，又设f ：z 寸y 是连 续的，且满足f ( x ) x ，则： ( 1 ) 由w ( a ) = 厂。( 4 ) ，v 4 f ( x ) 定义了一个变换w ：f ( x ) j f ( x ) ， 王震：噪声扰动的广义m - j 集分形结构的研究 ( 2 ) 具有不动点a f ( ) ，它由下式决定： 4 = f 一”( x ) 2 牌“( z ) 如果，还满足： 设u c x 是度量空间( x ，p ) 的开子集，则，( 是度量空间( f ( x t ，p ) 的开子集，则 有： ( 3 ) 是从度量空间( f ( ) ， 。) 到它自身的连续变换 由定理2 , 5 知，不变集( 分形集可表示为 a = x x ：，”( x ) x ，n = 1 ，2 ，3 ，。 即a 是那些轨道不离开x 的点组成的，它是轨道逃离a 的点集的余集，故可得如下构 造分形集的逃逸时间算法 ( 1 ) 己知动力系统 x ，厂 ，给定视窗形及逃逸半径r 和逃逸时间限制； ( 2 ) 定义逃逸时闻函数 丁c x ，= 。k 2 ；：高i 尺r ；g ，i 三 兰i 。 0 ) ，乘数a ( 0s a m ) ，增量c ( 0sc m ) ，初值即 种子( s e e d ) o ( os 10 m ) 使用迭代公式： l + 。= ( 口口l + c ) r o o dm ( n o ) ( 3 ，5 ) 得到随机数序列以k 。如果m ，a ，c ，io 都是整数，则产生的随机数序列 也都是整数， 且0 s i nc m 只要满足条件0 5 l ，f 。t m ，则由它产生的序列必然具有周期性为了 得e u o 1 ) 之间的伪随机数序列，可令 艺：生 ，打 这种产生伪随机数的方法称为线性同余法( l i n e a rc o n g r u e n t i a la l g o r i t h m ，l c a ) 当c * 0 时，式( 3 5 ) 称为线性同余发生i 2 号( l i n e a rc o n g r u e n t i a lg e n e r a t o r ，l c g ) ；当c = 0 时，式( 3 ，5 ) 称为乘线性同余发生器( m u l t i p l i c a t i v el i n e a rc o n g r u e n t i a lg e n e r a t o r ，m l c g ) 参数a ，c 和m 的取值是产生高质量随机数的关键对一个随机数发生器来说，只要其产生的随机 数序列的周期充分长，它就能够具有在( o ，1 ) 上均匀分布及相互独立的性质为使随机数 序列的周期尽可能大，m 应尽可能大普遍原则是选研接近等于计算机能表示的最大整 数，如接近或等于2 3 1 【2 4 p a r k 和m i l l e t 研究了大量的随机数程序，提出了一个很好的经过理论论证与实际检 验的简单乘法同余算法，也就是当c =