（控制科学与工程专业论文）基于频域特性的分数阶系统辩识及控制器参数整定.pdf

学位论文数据集 嘲 学位论文数据集 。v 中图分类号 t p 2 7 1 + 9 学科分类号 5 1 0 8 0 1 0 论文编号 1 0 0 1 0 2 0 1 1 0 8 1 6 密级公开 学位授予单位代码 1 0 0 1 0 学位授予单位名称北京化工大学 作者姓名范伟光学号 2 0 0 8 0 0 0 8 1 6 获学位专业名称 控制科学与工程获学位专业代码 0 8 1 1 0 1 课题来源自选研究方向分数阶系统辨识及控制 论文题目基于频域特性的分数阶系统辨识及控制器参数整定 分数阶系统，等比例阶次分数阶系统，系统辨识，迭代最小二乘算法， 关键词 k v 即b e 曙m 盯q u a r d t 法，分数阶p d 控制器，参数整定 论文答辩日期 2 0 1 1 0 5 2 6 论文类型 应用研究 学位论文评阅及答辩委员会情况 姓名职称工作单位学科专长 指导教师李大字副教授北京化工大学人工智能、先进控制 评阅人l王友清教授北京化工大学间歇过程建模、控制与优化 评阅人2耿志强副教授北京化工大学计算智能与系统 评阅人3 评阅人4 评阅人5 智能系统与数据挖掘、过程模 微员蝴朱群雄教授北京化工大学 拟 答辩委员1黄克谨教授北京化工大学工业过程建模、控制与优化 答辩委员2 王友清教授 北京化工大学 间歇过程建模、控制与优化 答辩委员3王晶副教授北京化工大学先进过程控制 答辩委员4耿志强副教授北京化工大学计算智能与系统 答辩委员5 注： 一论文类型：1 基础研究2 应用研究3 开发研究4 其它 二中图分类号在中国图书资料分类法查询。 三学科分类号在中华人民共和国国家标准( g b t1 3 7 4 5 9 ) 学科分类与代码中查 询 四论文编号由单位代码和年份及学号的后四位组成。 发展。由于分数阶微积分在控制领域的应用研究才刚刚起步，因此还有很 多方面有待完善。 本文在前人研究成果的基础上，对现有分数阶微积分控制理论中的以 下几个方面做了深入研究： 根据分数阶微分算子的频域特性提出常规s i s o 分数阶系统( 其阶次 为任意正数) 传递函数模型参数的辨识问题，并根据辨识问题方程的特点， 将变阻尼最小二乘法( l e v e n b e 玛m a r q u 融法) 应用于该问题的求解。仿 真结果表明了这种方法的可行性和有效性。 针对s i s o 等比例阶次的分数阶系统的特点，提出了一种分数阶系统 频域的迭代最小二乘辨识算法，并将运算数据的实部和虚部分离计算引入 辨识过程，简化了计算的复杂度。仿真结果表明该方法即使在一定的噪声 干扰下亦具有明显改善辨识精度的效果。 针对含纯积分环节的对象，根据一种分数阶控制器的频域特点， 推导出了这种分数阶肋控制器满足设计相角裕度和增益鲁棒性要求的 n 识，迭代最小二乘 数整定 a b s t r a c t f r a c t i o n a ls y s t e mi d e n t i f i c a t i o na n d t u n i n g o ff r a c t i o n a lc o n t r o l l e rb a s e do n f r e q u e n c yp r o p e r t y a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，w i t ht h ed e v e l o p m e n ta n d p r o g r e s so fs c i e n c ea n dn e w t e c h n o l o 鼢r e q u i r e m e n t sf o rc o n t r o ls y s t e m sa r eb e c o m i n gi n 眦a s i n g l yh i g h ， e s p e c i a l l yi ns o m es p e c i a lf i e l d s ，s u c ha s ：v i s c o e l a s t i cm a t 甜a l ，e l e c t r o l y s i s c h e m i s t i ya n ds oo n t h ec o 衄0 ni n t e g e ro r d e rc a l c u l u sc o n 仃o l t h e o 巧c a n n o t m e e tt h e 嘲u i r e m e n t s v e 巧w e l l t l l e 位i c t i o n a lc a l c u l u st h e o e s p e c i a l l yt h e 触c t i o n a lc a l c u l u sc o n t r 0 1t h e o 巧h a sa t t r a c t e dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o nf b m r e s e a r c h e s ，a n dh a sb e e nd e v e l o p e d 泖i d l y h o w e v e r i t s 印p l i c a t i o nr e s e a r c h i nt h ec o n t r o la r e ah a sj u s ts t a r t e d ，s ot h e r ea r em a n y a s p e c t sn e e d e dt ob e s 协d i e d i nt h i sp a p e r ，a 允r t l l e rs t u d yh a sb e e nm a d ea b o u tt h ef 0 1 l o w i n ga s p e c t s o ff - r a c t i o n a lo r d e rc a l c u l u sc o n t r o l t h e o 巧o nt h eb a s i so f p r e v i o u ss t l l d i e s ： t h eg e n e r a l 纳c t i o n a ls i s os y s t e m ( t h eo r d e ri sa na r b i t m 巧p o s i t i v e n u m b e r ) 仃a n s 向如n c t i o nm o d e lp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o np r o b l e mi sp r o p o s e d i i i t u n i n gm e t h o d k e y w o r d s ：f r a c t i o n a lo r d e rs y s t 锄，c o m m e n s u r a t e 劬c t i o n a lo r d e rs y s t e m ， s y s t e mi d e n t i f i c a t i o n ，i t e r a t i v el e a s ts q u a r ea l g o r i t h m ，l e v e n b e 玛- m a r q u a r d t a l g o r i t h m ，f m c t i o n a lo r d e r ，c o n t r o l l e r 目录 目录 第一章绪论1 1 1 引言1 1 2 理论发展与前人研究成果2 1 3 本论文研究内容“5 第二章分数阶微积分理论基础7 2 1 分数阶微积分的几种定义及性质7 2 1 1 戳e m a n n l i 伽叭l l e 定义7 2 1 2c a p u t 0 分数阶微分定义7 2 1 3g m d “d - l e n l i l ( o v 定义”8 2 1 4 分数阶微积分的性质及各种定义的联系9 2 2 分数阶微积分的积分变换i 9 2 2 1 分数阶微积分算子的l a p l a c e 变换9 2 2 2 分数阶微分算子的f o 耐e r 变换”l0 2 3 分数阶微分方程及其数值解l o 2 3 1 分数阶线性微分方程的解析解1 1 2 3 2 分数阶微积分方程数值解法1 2 2 4 分数阶微积分的实现方法1 3 2 4 1 分数阶微分算子的数值实现1 3 2 4 2 分数阶滤波器的实现16 2 5 本章小结1 8 第三章分数阶系统的时域和频域辨识方法2 l 3 1 分数阶系统2 1 3 2 分数阶系统时域辨识问题2 2 3 2 1 基于随机数直接搜索辨识2 3 v 北京化工大学硕士学位论文 3 2 2 基于粒子群算法辨识2 8 3 2 3 两种辨识方法结果比较3 2 3 3 分数阶系统频域辨识问题3 2 3 3 1 频域辨识的特点3 3 3 3 2 分数阶系统频域辨识问题的提出3 3 3 4 分数阶系统频域辨识问题的求解3 6 3 4 1 变阻尼非线性最小二乘算法3 6 3 4 2 基于变阻尼最小二乘算法的分数阶系统频域辨识3 7 3 4 3 数值实验3 9 3 5 本章小结4 2 第四章等比例阶次分数阶系统的迭代最小二乘辨识”4 5 4 1 等比例阶次分数阶系统4 5 4 2 等比例阶次分数阶系统迭代最小二乘算法4 5 4 2 1 等比例阶次分数阶系统频域辨识问题4 5 4 2 2 等比例阶次分数阶系统频域最小二乘辨识4 6 4 2 3 等比例阶次分数阶系统的迭代最小二乘辨识4 8 4 3 仿真实验4 8 4 3 1 同元阶次口已知4 9 4 3 2 同元阶次口未知5 2 4 4 本章小结5 4 第五章基于频域特性的分数阶控制器参数整定 5 5 5 1 分数阶控制系统5 5 5 2 常用设计规范5 6 5 3 尸d 控制器参数整定5 7 5 3 1 尸! d 声控制器5 8 5 3 2 肋控制器参数整定5 8 5 4 仿真实验5 9 5 5 本章小结“6 4 目录 第六章总结与展望6 5 6 1 研究总结6 5 6 2 展望6 5 参考文献。6 7 致 谢7 1 研究成果及发表的学术论文7 3 作者和导师简介7 5 v l i 北京化工大学硕士学位论文 v i i l c o n t e n t s c ：h a p t e r1i n t l - o d u c t i o n ”一”1 1 1i t l 缸- o i h l c t i o n l 1 2t h e o r yd e v e l o p m e n ta 1 1 dt h er e s u l t so f m ep r e v i o u ss t u d i 鼯2 1 3t h ec o n 钯n t sa n ds t m c t i l r ef o rt h i sp a p e r 5 c h a p t e r2t h e o r yo ff a c t i o n a lc a l c u l u s 。7 2 1d e f i l l i t i o n 锄dp r o p e r c i e so f 缸a c t i o n a lc a l c u l u s 7 2 1 1m 朗捌m “o u 讥l l ed e f i i l i t i o n 7 2 1 2c a p u 幻d e 丘1 1 i t i o n 7 2 1 3g h l d a l d l “k o vd e f i i l i t i o n 8 2 1 4f r a c 6 0 n a lc a l c u l l l sp r o p e n i e s 柚dr e l a t i o i l s h i pb e t w e e nt l l 鹪ed e f i l l i t i o n s 9 2 2i n t e g r a l 仃黜；缸mo f 劬c t i o n a lc a l 砌u s 9 2 2 1l 印l a c e 觚南mo f 触c t i o n a lc a l c l l l u s 一9 2 2 2f o u i i e rt i a n s f 0 曲o fi h c t i o n a lc a l c u l u s 1o 2 3f r a c t i o n a lc a l c u l u se q u a t i o na i l ds o l u t i o n ”1 0 2 3 1a n a l y t i c a ls o l u t i o no ff h c t i o n a lo r d e rd i f f 旨e n t i a le q u a t i o 璐1 l 2 3 2n l m e f i c a ls o l u t i o no f 劬c t i o n a lo r d e rd i 髓r 铋t i a l 唧l a t i o i l s ”1 2 2 4h i l p l 锄朗t a t i o no f 舶c t i o n a lc a l c u l 砸13 2 4 1n 啪e r i c a li m p l 锄e n t a t i o no f 纳曲o n a ld i 腩啪t i a lo p 锄t o r 。1 3 2 4 2f i l t e r i n ga l g o 打t h mf o r 筋c t i o n a ld i 行艄l t i a lo l e 】r a t o r ”l6 2 5c o n c l u s i o i 坞“18 c h a p t e r3f r a c t i o n a ls y s t e mi d e n t i 6 c a t i o ni nt i m ea n df r e q u e n c yd o m a i n ”“”“”一”一”“”一一21 3 1f r a c l i o n a lo r d e rs y s t e m “2 1 3 2i d 训f i c a t i o np 嘎0 b l 说no ff h c t i o n a lo r d e rs y s t e mi i lt i m ed o m a i n 一2 2 3 2 1 i d 锄t i f i c a t i o nb 2 l s e do nn um e t l 川2 3 3 2 2i d 酬6 c 撕o nb a s e do np a n i d es w 锄o p t i m i z e r 2 8 3 2 3r e s u l tc o m p 撕s o no f 廿l e s et w oi d e i l t i f i c 撕o nm e m o d 3 2 3 3i d 训1 f i 咖i o np r o b l 锄o f 劬“o 枷o r d e rs y s t 锄i i l 舶q u e i l c yd o m a i n 3 2 3 3 1c l l 撇c t 嘶s 廿c so f s y s t e l i li d e i l t i f i c a t i o ni l l 丘明1 l 锄c yd o m a i n 3 3 3 3 2i d 锄t i f i c a t i o np r o b l 锄o f m l c ：t i o n a lo r d e rs y s t e mi l l 舶q u c l l c yd 伽1 a i n 3 3 5 5c o n c l u s i o n s ”6 4 c h a p t e r 6s u m m a r ya n do u t l o o k 6 5 6 1s u m m a d ，6 5 6 2c 眦l o o k 6 5 r e f e r e n c e s 一- ” a c l n o w l e d g m e n t r e s e a r c ha c h i e v e m e n t sa n dp u b l i s h e dp a p e r 。 r e s u m eo ft l i t o ra n da u t h o r ” x ”6 7 7 1 7 3 7 5 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 微分方程是人们描述动态问题的一个常用的、重要的数学工具，尤其是在l a p l a c e 提出了微分方程的一种数学变换l a p l a c e 变换以后，为人们分析对象的微分模型 提供了一个有力的工具，使得微分方程在控制科学的应用得到了飞速发展并取得了丰 富的成果，可见微分方程在控制论中的重要性是不言而喻的。但随着科学技术的飞速 发展以及人们对控制要求的越来越高，以整数阶微分方程为研究对象的传统控制理论 已经显示出了一定的弊端，这是由于经典的微积分方程的阶次限制，使得其并不能充 分表现出实际对象特性( 通常是采用高阶微分方程进行逼近) 。因而，一部分控制理 论的研究学者们将研究重点转移到了采用分数阶微积分算子用于控制理论的研究与 应用。分数阶微分算子既涵盖了整数阶微积分的所有特性，又具有一些独特性质，如： 记忆特性，时域算子的非局部性等。而这些独特的性质却更符合实际过程或对象的渐 变特征，使得分数阶微积分在某些领域得到了很好的应用，例如，粘弹性材料建模等。 通常情况下，当某些对象呈现出以下特点：1 ) 动力学模型呈高度非线性；2 ) 过 程输出呈现出一定的记忆特性时，如果采用经典的微分方程建模时，便会出现建模阶 次高且逼近效果不理想等现象。或是采用非数学模型时，如神经网络建模等，但此类 模型仅仅是对象在某一方面特性的特性拟合，尤其是当采样的数据不能包含全局信息 时，此类模型便凸显出实用性不佳的特点。恰恰正是由于分数阶微积分本身就包含的 非线性和记忆特性，所以利用这些特性来表述相应问题时，不仅可以得到一个结构相 对简单的模型，而且模型的所包含的信息也相对全面，另外还有利于采用经典的控制 理论进行进一步的分析。所以研究分数阶微积分的辨识问题有着广阔的应用前景。 然而自动控制研究的最终目地是根据过程对象的特性，设计出理想的控制器或控 制策略，以达到所期望的控制目标。为达到这一目标，研究如何根据对象特性，尤其 是根据分数阶对象特性设计出合理的分数阶控制器，也是目前分数阶微积分在控制领 域研究的一个重要课题。当然设计出的控制器应用到实际过程中才算真正完成控制任 务。而目前，分数阶微积分在控制领域的研究主要集中在理论的研究，实际应用的还 较少。所以如何将分数阶控制器应用到实际亦是分数阶微积分在控制领域应用研究的 个重要方面。 分数阶微积分在控制领域的相关研究才刚刚起步，在辨识、控制策略和应用等很 多方面还不完善，但正是由于它具有整数阶微积分所无法比拟的一些优良特性，所以 北京化工大学硕士论文 研究分数阶微积分在控制领域的应用有着重要的意义。 1 2 理论发展与前人研究成果 自1 6 9 5 年，l ，h o s p i t a l 与l e i b l l i z 的一次写信交流中首次提出了能否将导数的概 念推广到非整数阶这一问题，这是历史记载的首次关于分数阶微积分的讨论。在此之 后的3 0 0 多年里，分数阶微积分的发展主要侧重于理论研究，后来随着计算机的出现 带动了计算速度的飞速提高，分数阶微积分学才应用到了许多领域的研究之中。也正 是由于其精确的物理过程描述特性，使分数阶微积分建模受到了越来越多学者们的关 注，如：粘弹性材料的特性表述【l 卅、电磁特性描述【5 】和材料的记忆特性【6 】等。而在控 制论方面，最早提出的分数阶控制器是由b o d e 【。7 】在1 9 4 5 年提出的“b o d e 理想传递函 数一( g o ) = ( s ) 口) ，这个传递函数的n y q u i s t 图是一条穿过原点的直线，显然这 是一个分数阶积分模型。分数阶微积分在控制方面的应用最开始是基于频域方式的研 究，m 龃a b e 【8 】以及后来的b a 而o s a ，t c n r e i r 0 和f 晒r a 【9 】等研究了分数阶传递函数的频 域响应和瞬态响应以及其在控制系统应用。但由于当时计算水平的限制，直到2 0 世 纪末分数阶微积分在控制领域才取得了一些令人瞩目的成果，如：系统稳定性分析 【1 0 ，1 1 】，基于状态空间描述的系统能观性和能控性分析【1 2 】，分数阶控制器的设计与整定 【1 3 1 引，分数阶控制器的应用【1 9 之1 1 ，分数阶系统的建模与辨识【2 2 ，2 3 】等，这些里程碑式的 成果有力地推动了分数阶微积分在控制相关领域的发展。 和整数阶微积分控制理论一样，目前分数阶微积分控制研究成果主要是分为以下 两个方面：建模和控制。系统建模是系统性能分析和控制器设计的基础，因而模型的 精确程度对其以后的控制器设计和控制系统性能分析都有着显著的影响。目前在国际 上，利用分数阶微积分建模方面的研究成果主要有：j e s u s 瞰1 等人研究的了利用分数阶 微积分算子来描述一个热量分布系统，并研究了该系统的控制器整定的算法，使控制 效果达到最优；m 锄s o 谢瞵1 等人分析了分数阶微积分计算过程中需要很大的内存用来 记忆之前的状态，而用整数阶微分方程逼近则需要很高的阶次。他们将该思维逆转应 用，成功的运用分数阶微积分方程逼近一个高阶微分方程，这为高阶系统建立分数阶 模型提供了一种途径；h a n l e 严1 等人研究了利用连续阶次的分数阶系统的辨识问题。 首先定义了一种连续阶次分布系统，并进一步证明该类系统的频域辨识是可行的。在 针对相同介质中的热传递问题服从扩散现象【2 6 j ，文中采用l 2 阶次的分数阶积分模型 来建模。仿真表明该模型不仅可以重建内部及表面的温度，而且还对热的传递和扩散 具有较高的辨识精度。还有一大部分是针对等比例阶次的分数阶系统的研究，如： 功l a n ev 甜舒。等人【2 7 】将现已存在的整数阶模型的辨识方法应用到仅存在极点或零点 的分数阶对象辨识。p e y m 趾n 配a r i 觚【2 8 】等人将阶次分布概念的频域辨识推广到了同时 2 第一章绪论 具有零点和极点的分数阶系统。提出了零极点同时存在时出现的非线性最优化问题可 以变换到可以用最小二乘算法解决的二次型问题。同时，n a z 撕姐【2 9 】研究已知频域输 入输出数据的分数阶系统的辨识问题。对等比例阶次分数阶系统的模型结构和模型参 数进行分析，证明阶次的值越小系统的可辨识性越强。当然国内在这方面的研究也颇 有一定成果，如：李远禄等阱1 提出了等比例阶次分数阶系统的频域递推最小二乘辨识 算法，将递推最小二乘算法应用到了等比例阶次分数阶系统的辨识。另外，还有一部 分是针对分数阶系统的另外一种特例情况，如：李大字等啪3 针对分数阶系统时域响应 提出了一种基于n l j 算法( 改进随机数搜索法) 的一类分数阶系统的辨识算法，而此 方法也是针对系统传递函数分子项为常数的一类分数阶系统。曹广益等口提出了关于 分数阶微积分的两种系统建模方法，即：传递函数和状态方程法，将整数阶系统的状 态方程推广到了分数阶，并推导出了分数阶系统状态空间描述的数值解法，该算法和 g l 分数阶微积分定义相统一，为分数阶系统分析和数值仿真提供了一个重要的数学工 具等方面研究成。这些辨识算法虽然还是在理论上的研究，但却有力的推动了分数阶 系统辨识理论的建立以及进一步发展和应用。 控制理论中被控对象的控制实现属于控制综合，要实现控制目标，就必须考虑系 统的稳定性以及可控性，而稳定性是控制的基础，在分数阶系统稳定性这方面研究成 果近年来也是层出不穷，如：m a t i 盟o n 【1 0 】提出的分数阶系统的稳定性判据：证明了当 分数阶系统的状态方程特征根的相角的绝对值大于其阶数乘以州2 时，该系统是稳定 的，通过该判据可以很容易地得到分数阶系统的特例整数阶系统稳定条件，即特 征根具有负实部；曹广益等m 1 人提出了分数阶线性定常系统的另外两个有效的稳定性 判据：分数阶系统奈奎斯特判据和分数阶系统对数频率判据，这两个判据将分数阶系 统的稳定性分析推广到了频域；y 锄l i 和1 9 0 rp o d l u d n y 矧等也提出了基于 m i t t a g - l e 儡e r 函数的分数阶系统稳定性分析，将l y a p u o v 稳定性判据扩展到了分数 阶系统，这是分数阶系统稳定性分析的又一重要工具。在分数阶系统的其他分析方面 的相关研究有：m a t i 舶o n n 2 1 研究并提出了关于等比例阶次分数阶状态方程的能控能观 性的判据，并使其和整数阶系统的判据得到统一；曾庆山等m 1 利用含两参数的 m i t t a g - l e m e r 函数和c a y l e y h 锄i l t o n 定理，推导出了一类分数阶系统的能控性和能 观性的充分必要条件。这些相应的能控性和能观性的判据及其他相关文献为分数阶系 统分析和综合提供了有力的理论依据。 随着分数阶系统控制相关理论的日益丰富，分数阶控制器设计的研究也越来越 多，目前在分数阶控制器设计方面的主要研究成果有：l 吼ebj 【3 5 1 ，提出了调节简单， 对参数变化不敏感，抗干扰能力较强的一种t i d 控制器，这种控制器是在结构上用分 数阶积分环节s 吨代替p i d 控制器中的比例环节；o u s t a l o u p 【3 6 】于1 9 8 0 年提出了另一 种基于分数阶导数的控制策略c r0 1 舾( 非整数阶鲁棒控制器) ，其设计方法是基于人 北京化工大学硕士论文 们的习惯的b o d e 图或n i c h o l s 图，所以容易被人们理解和接受，并且已有好的工业应 用；m e l c l l i o 7 】等人将鲁棒跟踪控制的平坦原则扩展到了分数阶线性多输入多输出系 统，并设计出了相应的c r o n e 控制器；分数阶控制器的另一个里程碑是p o d l u b n 3 8 】 所研究的用五d 控制器，其于常规的尸国控制器相比多了两个参数，积分阶次兄和 微分阶次，由于增加了这两个参数，使得设计上多了2 个自由度，从而使得五j d 有了更多的整定空间，从而可能获得更好的控制效果，但是由于分数阶微积分本身特 性的特殊性导致了五d 卢控制器的5 个参数的整定显得困难；不过，研究学者们在 h 五d 控制器的整定方面也取得了一定的研究成果，如：v a l 甜o 【3 9 】等人提出了基于 z i e 西e 心呵i c h o l s 方法的分数阶户仍控制器整定方法，从而将2 n 法扩展到了分数阶控 制器整定领域；m o 硝e j 等人做了关于h 五d 控制器的整定和自整定的研究，不仅提 出了5 个参数整定准则，为丑d 控制器的优化提出了新的依据，同时也提出了一 种基于继电器测试的分数阶控制器的自整定方法，为五d 的工业应用开启了新的 道路；同时，m o h 锄e d 和n a c “4 l j 提出了基于分段正交函数的工d 控制器设计方 法，此方法是首先根据控制要求设计理想b o d e 传函，并得到该传函的期望输出，然 后利用最小二乘法即可求的控制器的参数，运用该方法就得到的控制器参数满足较理 想的控制要求。另外，加n i 】一4 2 】等人针对带有输入和状态滞后的系统，提出了一类 新颖的聊维分数阶平滑控制模型；l il i 【4 3 】等人，提出了分数阶h 锄i l t 0 i l i a i l 函数，提 出了多机组电力系统稳定控制的分数阶非线性微分方程控制准则，并构建了日。控制 器；b i s w 嬲【4 4 】等人研究了将差分进化用于分数阶五d 控制器参数的优化，； 删e i l i z 【4 5 】等人将分数阶最优控制问题用于分布式系统，并运用分离变量法解决这一 问题的相关研究；l u 0 【4 6 】等人对于一类系统的等比例阶次分数阶控制器进行了研究： h 锄锄c i m 等人提出了一种针对时滞系统的分数阶肋的设计方法；l a d a c i 【4 8 】等人提 出了一类线性系统的自适应的分数阶控制器；p o n u n 衙h 们等人提出的关于弱阻尼系统 的鲁棒性控制等多方面的研究成果。这些分数阶控制器设计与整定研究虽然有一部分 仅仅是理论的研究，但却为以后的应用奠定了基石。 当然，随着理论的逐步丰富，分数阶控制器在实际中的应用也越来越多，如： m o h a i i 蚰a d 唧】等人研究了分数阶算子的应用和实施中的逼近问题，为分数阶算子的数 字实现提供了理论基础；v ，a l 舐ep o m m i d 5 1 j 等将c r o n e 控制器用于非线性液压执行 器；c 1 1 肌曲i nm a 【5 2 】将2 d 控制器应用于控制扭转系统的间歇震动抑制，实验证 明了该控制器有着非常好的效果；vf e l i u 小a t l l e 【2 l 】等提出的用于灌溉水渠的分数阶 s i i n t l l 预估控制，提出了分数阶s i m t l l 预估控制器，并成功应用于灌溉水渠的控制； m p i 彪a 洲c 【5 3 j 做了在分数阶肋芦控制器作用下，对含时滞的机器人系统的有限时间 内稳定的研究；r 锄i ms b a 而o “蚓等人研究了分数阶h 名d 一控制器在伺服电机的速 度控制中，积分阶次和微分阶次对控制的影响等。 4 第一章绪论 正是由于分数阶微积分在控制理论中体现了自身特有的优点，使得其在国内外受 到了越来越多的重视。尽管分数阶微积分是一个有着悠久历史的概念，但目前的一些 研究成果已经充分表明了分数阶微积分在控制中的应用却有着无限的活力。 1 3 本论文研究内容 通过总结前人的研究成果可以看出，分数阶系统理论、分数阶系统辨识和分数阶 控制器设计的研究都已经取得许多成果，但是其中分数阶系统辨识的研究对象主要是 针对于等比例阶次分数阶系统或是连续阶次分布的分数阶系统等一些特例情况，而针 对任意阶次分数阶系统辨识算法的研究尚不多见。因此本课题针对任意阶次分数阶系 统辨识的研究是非常有必要和实际意义的。另外，本文针对零稳态误差的一类对象研 究了一类分数阶p d 控制器的参数整定方法。本论文章节主要内容如下。 第一章绪论，首先简要阐述了课题相关领域的研究现状和成果，并说明了本课题 的研究目的及意义。简要介绍分数阶微积分理论在控制领域中的应用，其中主要包括 分数阶微积分建模相关的研究、分数阶系统综合性能分析、控制器设计以及应用研究 等成果。 第二章讲述分数阶微积分的理论基础。介绍内容包括常用的定义以及变换，分数 阶微分方程的解、分数阶微分算子的离散化方法及滤波器实现等。 第三章主要研究了分数阶系统的两类辨识方法：时域辨识和频域辨识。首先根据 分数阶微分算子时域特性，采用随机数直接搜索法和粒子群算法分别对单输入单输出 分数阶系统进行辨识研究。另外，在分析分数阶微积分算子的频域特性的基础上，研 究了分数阶系统频域特性，进一步提出了分数阶系统的频域辨识问题。根据辨识问题 特点，采用变阻尼非线性最小二乘算法进行辨识求解。仿真实验表明了，对于s i s o 系统采用变阻尼非线性最小二乘可以很好解决此类系统的参数辨识问题，且频域辨识 效果优于时域辨识。 第四章的主要研究对象是分数阶系统的一种特殊形式等比例阶次分数阶系 统。在分析此类系统频域特性的基础上，将迭代最小二乘算法用于此类系统的参数辨 识，并进一步采用阶次逐步扫描法对同元阶次进行辨识。仿真结果表明此类方法的有 效性。 第五章针对一类零稳态误差对象，分析了一种基于频域指标的一种分数阶尸d 控 制器的参数整定方法。首先简单阐述了常用的频域设计指标，并根据其中的两个指标 成功整定出了具有增益鲁棒性的一类分数阶肋声控制器的参数。 第六章总结与展望，总结本课题所作的工作和创新点，并进一步指出目前课题中 存在的一些尚未解决的问题。根据目前分数阶控制研究所取得的成果并结合自己的研 5 北京化工大学硕士论文 究，对分数阶微积分系统的今后的研究方向进行了展望。 6 第二章分数阶微积分 第二章分数阶微积分理论基础 分数阶微积分是研究分数阶控制理论的基础，但由于其本身的特点，所以人们对 它的认识并不多。因而本章从控制理论应用的角度出发，在其基本定义、积分变换、 分数阶微分方程数值解及其算子离散方法等方面，概要介绍分数阶微积分的一些基本 知识和方法。 2 1 分数阶微积分的几种定义及性质 分数阶微积分是整数阶微积分的推广和延拓，它表示以非整数为阶次进行微积分 计算。分数阶微积分有多种定义，这是由于出发的角度不同导致的，但这些定义的合 理性都已经得到了验证。本节选择性地介绍一些和本文相关的分数阶微积分的定义。 2 1 1m e m a i l n l i o u v i l l e 定义 r i 锄锄l i o u v i l l e 定义的分数阶积分【5 5 弼1 是由整数阶积分定义的推广得到的，通 常表示为： 。r 凡) 5 南f ( f f n g 妒( 2 1 ) 式中，。r 定义为积分符号，r b ) 是伽马函数，厂o ) 为被积函数，o 口 1 为积分阶 次，a 和f 为积分上下限，一般假设下限值为0 ，即口= o 。 在m 锄a 衄l i o u _ v i l l e 积分定义的基础上，可以得到分数阶微分的定义式为： 。彤几) = 缸妒删= 南翱争1 心时俐 其中，。p 尸定义为微分符号( 可知。p 尸= 。声) ，以一l o 阶c a p u 幻分数阶微分定义为： 7 文献5 5 1 证明，对于绝大部分实际函数来说，g r un d a l d _ l e 仃l i k o v 定义和 鼬e m a n n “o u 访l l e 定义是完全等效的。并且可以看出，根据( 籼n d a l d l e 臼l i k o v 定义可 采用计算机编程计算出函数厂( f ) 微分或积分的近似值。尤其在采样步长 足够小的情 况下，该定义的计算精度可达d o ) 。 8 1 分数阶微积分的性质 由分数阶微积分的定义，可知分数阶微积分有如下性质跚： 1 ) 解析函数厂o ) 的分数阶导数。睇厂( f ) 对于厢口都是解析的； 2 ) 分数阶微分算子具有非局部性； 3 1 分数阶微分算子具有记忆特性； 4 ) 分数阶微积分算子为线性算子，即对于任意常数口，6 有： o d 尸k 厂o ) + 冶o ) j = 口d 芦厂o ) + 6 1 d f g o ) ( 2 - 7 ) 5 ) 分数阶微积分算子满足交换定律及叠加关系，即： o 彤【。钟厂( f ) k 群【o 钟厂( f ) 。鲜印( f ) ( 2 8 ) 2 分数阶微积分各种定义之间的联系 可以证明对于很广一类实际函数来说，g m n d a l d l e 向k o v 定义和础锄锄l i o u i l l e 是完全等效的。而c a p u t o 定义和础e m 猢l i o u i l l e 定义的主要区别在于对常数求导的定 义上，c a p u t o 定义对常数求导是0 ( 这与整数阶微积分计算结果相同) ，而 r i e m 锄l i o u i l l e 定义的常数微分是无界的，加上c a p u 【t o 定义中是以被积函数的整数阶 微分作为初始值，因而其更适合于描述分数阶微分方程的初值问题。 根据上述关于分数阶微积分各个定义的特点，本文中相关理论推导中的分数阶微 分均采用c a p u t 0 定义，并且假设满足刀阶导数可积的条件；分数阶积分采用 砌e i i l 锄“o u v i l l e 定义。此外为了便于计算机仿真，本文相关数值仿真实验中的分数 阶微积分计算均采用g r u n d a l d l e t n i k o v 定义实现。 2 2 分数阶微积分的积分变换 通常情况下，积分变换可以将一些较难分析的问题通过映射的方法，映射到其他 域内的表达式后再进行分析，以简化一些较复杂问题的分析。对于控制理论分析来说， l a p l a c e 变换和f o u r i e r 变换是最常见也是最重要的两种积分变换。和整数阶积分变换 一样，分数阶微分的积分变换在分数阶控制理论中起到重要作用，本小节简单说明一 下分数阶微积分的这两种变换。 2 2 1 分数阶微积分算子的l a p l a c e 变换 在l 印l a c e 变换中，为了便于描述通常设积分下限为o ，所以在分数阶微积分的 9 f 口：? ：y ( f ) + + 口t 2 ：口1 少o ) 卜口。2 ：) y ( f ) = = 厂( f ) ( 2 1 3 ) l y 【f j