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摘要 变分水平集方法是三维重建、曲面处理领域的新的建模方法，该方法利用 水平集隐式表达曲面，能够自然地处理任意形状以及拓扑结构变化的曲面。首 先，本文将变分水平集方法应用于曲面光滑领域，通过过滤曲面的法矢量而不 是直接更新曲面上点的位置演化曲面。利用曲面形状矩阵计算曲面的总曲率， 构造曲面光滑的能量模型。利用两个二阶梯度下降偏微分方程替代一个四阶梯 度下降偏微分方程，简化了差分格式。实验表明，此模型可以有效地去除曲面 噪声，使曲面光滑，但是不能保持曲面特征。为克服该模型这一缺点，本文提 出了基于p m ( p e r o n a m a l i k ) 模型的曲面去噪变分水平集方法。p m 模型是一种经 典的非线性图像扩散模型，该模型能根据设定阈值对图像光滑区域进行扩散， 并能自适应地保持图像边缘。本文将曲面法矢量与一般灰度图像的强度进行类 比，将经典的图像扩散的p m 模型转化为曲面几何噪声处理的自适应扩散交分模 型，在使曲面光滑的同时，能够保持曲面边缘。曲面采用隐函数的零水平集表 达，能量泛函中的数据项用初始水平集函数的h e a v i s i d e 函数与演化后水平集 函数的h e a v is i d e 函数差的平方表达，能量泛函中的光滑项基于几何曲率定义。 此外，本文在能量泛函中增加了水平集函数为符号距离函数的惩罚项，避免了 水平集函数需不断重新初始化的问题。数值实验验证了所提出模型的曲面噪声 去除及瞳面边缘保持效果。 关键词：水平集方法；曲面扩散：p m 模型；曲面去噪；边缘保持 a b s t r a c t v a r i a t i o n a ll e v e ls e tm e t h o d si san e wm o d e l i n gm e t h o dt h a ti su s e di a 3 d r e c o n s t r u c t i o na n ds u r f a c ep r o c e s s i n g i ti su s e dt or e p r e s e n tt h es u r f a c eb y l e v e ls e t i m p l i c i t l y i ta l l o w su st op r o c e s ss u r f a c ew i t ha r b i t r a r ys h a p e sa n d c h a n g i n gt o p o l o g y , l e v e ls e tm e t h o di su s e di ns u r f a c es m o o t h i n gb yf i l t e r i n gt h e n o r m a l so ft h es u r f a c ei nt h i sp a p e r ，r a t h e rt h a nf i l t e r i n gt h ep o s i t i o n so nam e s h e n e r g yf u n c t i o n so fs u r f a c e s m o o t h i n gm o d e lc a nb ef o r m u l a t e da sf u n c t i o n so n t h es u r f a c en o r m a l s f o u r t h - o r d e rf l o w sc o u l db e s o l v e d b yac o u p l eo f s e c o n d o r d e rp d e se f f i c i e n t l y e x p e r i m e n t a lr e s u l t si n d i c a t et h a t t h i sm e t h o d c o u l dd e n o i s ea n ds m o o t hs u r f a c ee f f i c i e n t l y p m ( p e r o n a - m a l i k ) i sac l a s s i c a l n o n l i n e a ri m a g ed i f f u s i o nm o d e lw i t ha d a p t i v ep r o p e r t i e so fi m a g es m o o t h i n g ， e d g ep r e s e r v i n g i ti st r a n s f o r m e dt og e o m e t r i cs u r f a c es m o o t h i n g ，e d g ep r e s e r v i n g v a r i a t i o n a lm o d e lu s i n gv a r i a t i o n a ll e v e ls e tm e t h o db a s e do nt h ea n a l o g u eo f n o r m a lv e c t o ro fs u r f a c ea n dg e n e r a li m a g ei n t e n s i t yi nt h i sp a p e r t h ee n e r g y f u n c t i o n a li n c l u d e st h r e ep a r t s ，t h ef i r s to n ei sad a t at e r mu s i n gt h es q u a r eo ft h e d i f f e r e n c eb e t w e e nt h eh e a v i s i d ef u n c t i o no fi n i t i a ll e v e ls e tf u n c t i o na n dt h eo n e o ft h ee v o l v e dl e v e ls e tf u n c t i o n ，t h es e c o n dp a r ti sar e g u l a r i z i n gt e r mb a s e do n g e o m e t r i cc u r v a t u r e ，t h et h i r dp a r t i sap e n a l t yt e r me n f o r c i n gt h el e v e ls e t f u n c t i o nt os a t i s f yt h ep r o p e r t yo fs i g n e dd i s t a n c ef u n c t i o n s n u m e r i c a le x a m p l e s v a l i d a t ei t sa b i l i t i e so fs u r f a c es m o o t h i n ga n de d g ep r e s e r v i n g k e y w o r d s ：l e v e ls e tm e t h o d ；s u r f a c ed i f f u s i o n ；p mm o d e l ；s u r f a c e d e n o i s i n g ；e d g e sp r e s e r v a t i o n 学位论文独创性声明，学位论文知识产权权属声明 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文中 依法引用他人的成果，均己做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上 已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成 果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。 论文作者签名： 钍带惭 日期：叩年铜7 日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校 后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为 青岛大学。 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密酬 ( 请在以上方框内打搿4 ) 论文作者签名： 謦确唧 日期：2 叼年6 月9 日 日期：叫年月夕日 未经许可，任何单位及任何个人不得擅自使用) 4 8 第一章绪论 1 1 课题背景 第一章绪论 近年来，基于几何偏微分方程( p d e ) 的曲面处理方法在几何建模与处 理方面取得了很大成功，同传统的处理算法相比，p d e 算法具有许多的优点： 首先，用偏微分方程建立的分割模型是一个连续的模型，在该模型中离散形式 的滤波表现为连续的微分算子。其次，由于偏微分方程可以直接处理图像中的 梯度、曲率等几何特征，从而有利于建立各种表达灵活的数学模型，因此可 以充分利用偏微分方程理论中的些成熟的结论。 基于几何偏微分方程( p d e ) 的曲面处理方法主要包括参数化模型方法和 隐式模型方法。前者通常在离散的三角形或多边形网格曲面上求解偏微分方 程，并涉及梯度及拉普拉斯算子堙3 等微分算子的复杂计算，且当演化曲面拓扑 结构发生变化时，必须进行相应的处理并进行重新参数化。而以水平集方法乜1 为代表的动态隐式方法能自动处理拓扑结构变化的曲面。水平集方法于1 9 8 8 年由o s h e r 和s e t h i a n 心1 提出，其基本思想是将刀维空间的问题拓展到n + l 维 空间来求解，将正在演化的闭合曲面的问题转化为更高维空间中的水平集函数 的隐式解，从而可将一般曲面演化转化为水平集函数零等值面的演化，这样避 免了对演化曲面的参数化过程。其演化方程可采用简单的差分格式进行离散， 并能自动处理曲面拓扑结构的变化。目前，水平集方法已经广泛应用于三维益 面处理的各个方面，例如曲面去噪、曲面修复以及曲面上图像处理等。 三维几何曲面重建的基础数据包括计算机断层图像1 、多视角图像“1 、点 云哺1 等，由于基础数据的噪声等因素，重建后的曲面亦难免带有噪声，表现为 曲面表面凹凸不平或存在不连续面片，如图1 1 ( a ) 所示。图( a ) 为三维重建后 的曲面，此曲面失真，影响了视觉效果。图( b ) 为去噪之后的曲面，此时的曲 面已去除噪声，恢复了曲面的原貌。 青岛大学硕士学位论文 ( 8 ) 重建后蛆面( b ) 去嗓后曲面 圈1i 头像模型去嗓前后对比图“1 可见，曲面几何处理( 曲面光顺等) 的研究是十分必要的同时也成为计算 机图形学、计算机视觉研究必须面对的问题。 12 研究现状 变分水平集方法已经广泛地应用到图像处理和曲面处理的研究当中，该方 法用水平集隐式地表达曲面，能够有效地处理复杂的拓扑结构变化或任意形状 的曲面。变分水平集方法首先要建立能量模型，而后对能量模型求极小值得到 偏微分方程( p d e ) ，最后根据p d e 更新演化曲面。曲面去噪模型大都是依据曲 面曲率信息构建能量函数利用总曲率的高阶项建立曲面均匀扩散模型构 建二阶曲面扩散能量模型。该模型能够有效地去除曲面噪声却不能保持曲面边 缘和曲面部分特征。 7 以经典的图像扩散的t v ( t o t a lv a r l a t i o n ) 模型为基 础，建立了边缘保持的曲面几何扩敞的变分水平集方法。 121t v 模型 建立图像去噪模型，最关注的部分就是保留图像重要特征。图像中一个非 常重要的信息是边缘存在于图像中图形形状改变的地方( 物体的边界) 。许 多研究都在设计一种既能保留边缘又可以移除噪声的模型。基于变分和偏微 分方程( p d e ) 的模型使得将几何规整项应用到去噪领域中变得非常容易。例 如平滑边界。 全变差( t o t a lv a r i a t i o n ，t v ) 技术”1 是在能量的基础上给出的。在应 用数学中，基于全变差的模型和分析出现在更经典的应用中例如弹性和流体动 j 日一 ，两q _留嗣譬一期链l圈 i”妊l 第一章绪论 力学。基于t v 图像去噪模型最初是由r u d i n ，o s h e r 和f a t e m i ( r o f ) n3 在他们 对去噪图像中对边缘保留这一工作中引入的。这种去噪模型带有很明显的目 的，那就是在移除噪声和一些不需要特征的同时保留图像边缘等信息。它的革 命性在于这种模型的规整项在允许不连续( 边缘) 情况下滤除抖动项( 噪声和 纹理) 。最早的方程出现在 7 中，应用于灰度图像，下面是方程的形式 f “- 埘f ) a 。= o ：l i v “ l “ 2 j q 。 这里，q 代表图像区域，通常它是矩形的。函数厂b ) ：q 斗r 代表给定的图像， 且图像假设被方差口2 的高斯噪声污染。通过施加l 一f ) e d x = 盯2 这种和噪声 水平一致的最优化约束，使得1 一( 1 ) 可以求得最小值。可称为，对函数甜g ) 的 全变差( t o t a lv a r i a t i o n ) ，而平滑图像就等于对图像的一阶微分，所以可以 通过一些方法在图像“( x ) 中找出抖动( 噪声和纹理) 部分。卜( 1 ) 带条件约束 的最优化问题和下面的无约束最优化问题是等价的， 。孽鑫) l i v l + 灭0 一f ) 2 a x l 一( 2 ) 这里，五0 是拉格朗日乘子。卜( 1 ) 和卜( 2 ) 是等价的。在最早的r o f 论文n 3 1 中 有一个迭代数值过程来选择兄的值，不过在后来的工作中，五被确定为个常 数，在实际计算前被赋值。r o f 模型的去噪原理现在可以被应用到曲面处理中 来。 1 2 。2 曲面去噪 三维曲面去噪与二维图像去噪的基本原理是相同的。基于t v 模型去噪的 思想，把这种相类似的方法延伸到三维曲面去噪的领域。三维曲面处理的大多 数研究都是通过能量函数最小化方法来光滑物体的表面。m o r e t o n 和 s e q u i n 阳1 ，w e l c h 和w i t k i n b l 都是基于这个方法研究此类问题的；而 t a u b i n n 0 3 ，d e s b r u ne ta ln 1 1 ，g u s k o ve ta l n 2 3 则是通过光滑滤波器来处理三 维曲面的。 3 青岛大学硕士学位论文 能量函数大都是依赖于曲面的几何特性，几何函数都是利用不变量比如主 曲率，它表示曲面的内部特性。一种光滑表面的方法是通过平均曲率流( m e a n c u r v a t u r ef l o w ) 和二阶偏移方程( as e c o n d - o r d e rp d e ) 减小表面区域n 引， 偏移方法表示为 妻= - h ：f 竺丛1 l - ( 3 ) 西 l 2 这里毛，是主曲率，是在曲面上点x 的平均曲率，表示该点的法矢量。 曲面噪声去除的理论基础之一是最小化曲面所包含区域n 引，依据曲面平均曲率 或是主曲率的高阶项建立能量模型。丽利用平均曲率( m e a nc u r v a t u r e ) 构建的 能量模型使去噪后的曲面与原始曲面相比，曲面所围空间体积明显减小。曲面 均匀扩散模型利用主曲率的高阶项建立能量模型，由曲面总曲率构建二阶能量 模型。 能量模型所得到的p d e 是一个四阶梯度下降偏微分方程，对四阶梯度下降 偏微方程进行差分比较困难。并且此类模型虽可以有效地去除曲面噪声。使曲 面光滑，但是不能较好地保持曲面特征和边缘，使得去噪后的曲面失真。 1 3 论文的主要工作与章节安排 本文主要研究以下几个方面：首先，将变分水平集方法应用于曲面处理领 域，通过过滤曲面的法矢量演化曲面，利用曲匾形状矩阵计算曲面的总曲率， 构造曲面光滑模型的能量模型。并利用两个二阶梯度下降偏微分方程替代一个 四阶梯度下降偏微分方程，简化了差分格式。然后，将均匀扩散曲面去噪模型 和p m ( p e r o n a m a li k ) 模型n 引相结合，提出基于p m 模型的曲面去噪模型。p m 模型是一种经典的非线性图像扩散模型，并能自适应地保持图像边缘。然后， 将曲面法矢量与一般灰度图像的强度进行类比，将经典的图像扩散的p m 模型 转化为曲面几何噪声处理的自适应扩散变分模型，在使曲面光滑的同时，能够 保持曲面边缘。此外，本文在能量泛函中增加了水平集函数为符号距离函数的 惩罚项，避免了水平集函数需不断重新初始化的问题。运用此模型既可去除曲 面噪声又能够自适应地保持曲面边缘。 4 第一章绪论 本文的章节安排如下： 第一章概述了本课题的研究背景及其意义、图像去噪与曲面形状表面去噪 的研究现状，并介绍本论文的主要研究内容和创新之处。 第二章主要介绍了衄线演化理论和水平集方法的基本原理，探讨了水平集 方法的具体实现。 第三章首先介绍了基于水平集方法的曲面光滑模型，将变分水平集方法应 用到曲面去噪领域。基于曲面总曲率建立函数模型，并通过曲面的形状矩阵推 导了总曲率与曲面法矢量之间的几何关系，使函数模型实现参数化表示转换为 水平集表示。 第四章介绍了改进的曲面去噪模型，本节将曲面均匀扩散模型和p m 模型 相结合，提出基于p m 模型的曲面去噪模型。该模型使得曲面在去噪过程中更 好地保持边缘和部分特征。 第五章总结了本论文的主要工作，并展望了下一步研究重点以及曲面去噪 模型研究的发展趋势。 5 青岛大学硕士学位论文 第二章水平集方法 水平集方法与曲线演化理论是紧密相连的。本章首先介绍曲线演化的基本 理论和水平集方法，然后研究水平集方法在曲面去噪中的应用。 2 1 曲线演化理论 曲线演化问题在数学研究领域中可描述为：在二维欧氏空间r 2 中的一条 闭合曲线c 沿着其法线方向元以速度y 运动，而形成以时间t 为变量的曲线族 c ( f ) 。曲线的单位法矢量和菡率是描述曲线几何特征的重要参数。曲线的演化 描述的是曲线参数的变化，其演化过程是以偏微分方程的形式来求解实现的。 其表达方式包括显式和隐式两种表达方式n 引。 显式表达方式是用曲线的参数变化来描述曲线的演化过程。其中，曲线的 参数包括弧长、位置、几何形状等。不同曲线的参数对应不同形式的偏微分方 程，一般是用弧长s ( 如式2 一( 1 ) ) 和曲率k ( 如式2 一( 2 ) ) 来描述偏微分方程。 秽( 篆蒡 ( 南 胪一可制剖 i a c ：矿( k ) 贾 勿 、7 2 一( 1 ) 2 一( 2 ) 其中，y 伍) 为曲线演化的速度函数，贾为演化曲线的单位法向矢量，f 为曲线 演化的时间。 隐式表达方式则是通过隐式函数来描述曲线或者曲面的演化过程，不直接 使用参数来描述演化曲线。其描述演化曲线的方程有： c = 戤，y ) l 以，y ) - - o 6 2 ( 3 ) 第二章水平集方法 其中，函数决定在隐式表达方式下对演化曲线本身及演化过程描述的复杂 度。所谓的对于曲线演化过程的描述就是指在运动状态下始终保持式2 一( 4 ) 的 形式不变。 2 2 水平集方法 黪嚣荒躲y 0 亍吣 2 川， 【c 0 彬f ) = 戤，y l 矽g 川) = o s h e r ，s e t h i a n 【2 】【例最先提出了水平集方法( l e v e ls e tm e t h o d ) ，用来解 决基于热力学方程的火苗外形变化的过程。其中，水平集最重要的思想就是 h a m i l t o n - j a c o b i n 引方程，这是为了求解运动隐式曲面基于时间的方程。其基 本原理是，将运动界面作为零水平集嵌入到高一维的水平集函数中，通过一个 更高维的函数来表达低维的曲线或曲面的演化过程。即将演化的曲线或曲面表 达为高一维空间当中的函数，只要确定零水平集位置，则可确定运动界面演化 的结果。目前，水平集方法已经成为研究闭合界面演化的有力的分析工具。 二维水平集中，演化曲线被隐式地表达为一个更高维函数，此高维函数称 为水平集函数( l e v e ls e tf u n c t i o n ) 业1 ，其定义域为图像空间。这里的水平集 实际上是由水平集函数值相等的点组成的集合，不断更新水平集函数，就能得 到隐含在水平集函数中的零水平集( 闭合曲线) 的位置，最终确定零水平集 ( 物= 0 的集合) 即可确定运动界面演化的结果。从丽，随时间变化的水平集 函数可以描述其低一维空间中曲线或曲面( 零水平集) 的变化。所以，即使闭 合曲线的拓扑结构发生了变化( 如分裂或合并) ，水平集函数仍能保持为一个有 效的函数。 图2 1 以二维曲线演化为例( 同样适用于更高维) 形象地描绘出水平集函 数表达闭合曲线的实质，把，l 维空间的问题拓展到n + l 维空闯来求解。设 c ( f ) = c ( x ，y ，f ) 表示在t 时刻二维闭合曲线( 零水平集位置) 。引入水平集函数 以x ，y ) 后，c ( f ) 被隐式表示为三维空间上一簇具有相同函数值的曲线。 7 青岛大学硕士学位论文 c ( o ( a ) 二维零水平集( b ) 三维空间的水平集 图2 1 二维与三维空间中的水平集 在平面上定义函数在x ( x ，y ) 处的函数值为图像上的点x ( x ，j ，) 到初始曲 线d 0 ) 的符号距离 私，t = o ) = d 2 一( 5 ) 其中d 为点x 到初始曲线c ( o ) 的最短距离。若点在初始曲线c ( o ) 内部，则 0 ： 若点在初始曲线c ( o ) 外部，则 0 ：水平集外部武x ) 0x ，y ，z ) i s i n s i d er o ) 矽o ，x ，y ，z ) = 0x ，y ，z ) i s o n 厂o ) 3 一( 3 ) 矽o ，x ，y ，z ) 0 时，被称为正 向扩散( f o r w a r dd i f f u s i o n ) 他训。在正向扩散中，像素值总是从高的像素区 域传送到低的像素区域：中心像素总是将其值分给四周相邻的低像素值点，而 第四章基于p m 模型的的曲面去噪变分水平集方法 相对从四周相邻的高像素值点获取值较少，这就导致中心像素值大的点总是在 减小，而中心像素值小的点总是在增大。这和物理中的热传导一样，高温点向 低温点输送能量降温，低温点接受能量升温。直到迭代时刻终止，使得整块平 板的温度趋于平衡。所以图像轮廓会被模糊。当厂似：) 五时，梯度被增强：而当i v u l 0 ，图像边缘减弱；当满足0 ，) = 0 ， 图像边缘保持；当满足矽。0 。) o ，图像边缘增强。其中， ，) ；j f ，纰，1 ) 。对广 义t v 模型引，对于j l f ，0 “，i ) = k i ，( 0 p l 时，向前扩散使图像变得模糊，p = l 时无扩散作用，当p 1 时， 2 6 第四章基于p m 模型的的曲面去噪变分水平集方法 向后扩散使图像增强。 对硎测川刊刈) 加 + 明，o ) ，y ”0 ，埘= 从而有结论：当扣，f 2 时，图像向后前扩散。向后扩散是病态的过程，会使得噪声和边缘等无限增强， 但可以充分利用该特性对图像的某些特征进行有限的增强。 若仅考虑对边缘的扩散效果，不妨设边缘上的图像强度为历，则可考察随 着图像扩散p 。l 是增加或减小，若为前者，则边缘得到增强，若为后者则边缘 减弱，否则边缘得到保持。为表达方便，以下仍用“表示边缘上的图像强度石。 显然，在边缘点所在的小区域，“。0 ，且，“，“。 0 。在边缘处图像强度的 梯度模随演化时间的变化速度为剑型，即 掣= 鼢u 。 西 i ，i 1 一 其中，绷“，1 ) = g 咱“：l h ，l + 9 0 叱i ) = 沙”0 u xj ) 。因为，“，甜。 o ，曲面边缘减弱：当满足”0 ) = o ， 曲面边缘保持；当满足沙“j ) o ，曲面边缘增强。所得结论与前述图像扩散 分析结论一致。 4 2 2 能量模型公式 本节将p m 模型结合到曲面去噪模型中，提出基于p m 模型的曲面去噪模型， 2 7 青岛大学硕士学位论文 该模型能够使得在去除曲面噪声的同时能较好地保持曲面边缘和特征。 本节提出如下曲面扩散的能量泛函 e = z l ( 日) 一) ) 2 出+ l y 心i 皿+ 丢o v 纠一1 ) 2 4 一( 1 9 ) 其中，z l ) 一日妒出为数据项，l y 0 足l 皿为光滑项，丢v 一2 ) 为水平 集函数为符号距离函数的惩罚项，此项可使得曲面矽始终保持水平集函数特 征。其中，9 为要扩散的曲面水平集函数，为演化曲面水平集函数，k 为曲 面曲率足跚( 尚 ，y 是曲率绝对鲱阚函数。a l ( 鼢日) ) 2 出为数据 项，表示动态演化曲面与原始曲面的逼近程度；l y k 为光滑项，表示曲面 扩散程度；妻v 纠一l y 出为水平集函数为符号距离函数的惩罚项，此项可使 得曲面西始终保持水平集函数特性。对蹦模犁。一般取 或者 州呻砂) 2 礓2 k 。研k 4 吨。) y o 足1 ) = 口2 ( t p 一譬 ，y 。o 七1 ) = 2 加j 箬 4 一c 2 l ， 对于前者少函数而言，口取值越大曲面边缘保持程度越强，t ；t 取值越小，所得 曲面边缘保持程度越弱，对后者少函数则相反。本节实验结果均取少函数为前 者。 以上公式4 一( 1 9 ) 中，h 为h e a v i s i d e 函数。在变分水平集方法中，通常 2 8 第四章基于p m 模型的的盛面去噪变分水平集方法 引入如下定义的h e a v i s i d e 函数和d i r a c 函数， f 1 。厂z 0 日g ) = 。 【0 ，z 。fz 占 l z l 占 4 一( 2 4 ) 4 ( 2 5 ) 比( z ) = 如纪刀 4 地6 ， 以t g ) 2 南 占+ l 应， 其中占为小正常数。皿。，吼。，磊。，暖。如图4 3 所示。 4 一( 2 7 ) 10j ， 里占 ，l 拧s ， d 一万 青岛大学硕士学位论文 图4 3 规整化的h e a v i s i d e 函数与d i r a c 函数 据日。万的性质，零水平集的长度及包围的面积由下式计算 三铡鲥= o ) = l l v 日i 出方= 彤l v 叫出咖 4 一( 2 8 ) 4 2 3 演化方程及其差分格式 对能量模型4 一( 1 9 ) 求极小值可得曲面演化的演化方程为 警枷翮埘曲粕褂一剥v m 虬2 9 ， + 一v 醐 式4 一( 2 9 ) 中，万为d i r a c 函数，为计算方便有效，在此后的计算过程中将万 更换为纠。 羚似翮埘c 删砒粕。晰一蚓t v 4 4 ：j v 嘲虬3 。， + p 第四章基于p m 模型的的曲面去噪交分水平集方法 整理得， 警一i v 纠尚一岛( 卜背脚v 纠潮 i v 肛( 删嘶) ) 】+ 十坷翮 4 ( 3 ， 一i v 叫【2 z ( 日) 一日) ) 】+ 一4 一v 者导i 4 一( 3 1 ) l r 其中，d 为光滑项，p 2 为数据项，幻为惩罚项。 首先令， 矿七尚一岛( ，一剥卜叫 4 们2 ， 则光滑项d = 纠勺矿) 。f v 纠用中心差分计算： l v 纠= 矿的散度， g ，破“，上) 一蛾卜。，j ) 、1 2j f 苁“j ) 纸u 4 j ) 1 2 。f ，暖。j + 。) 一颀“j q ) 2 v 矿= k 1 一k 24 - 匕l 一匕24 - 巧l 一巧2 4 ( 3 3 ) 4 一( 3 4 ) 椰离散时，因为y “是关讯却尚的函数，先对曲率桶散。令 ：叶 ：0 瓴叫声) 一 ) ) 2 + 生塑二垒：型兰! + 坠丝) 二垒兰兰1 44 锄，乒，一颀一， ，) 2 + 壁垒兰丛坚生掣+ 墅垒三k 型学 3 l 4 一( 3 5 ) 4 ( 3 6 ) 青岛大学硕士学位论文 故， 4 一( 3 7 ) 4 一( 3 8 ) 4 一( 3 9 ) 4 一( 4 0 ) k = 锄m 上) 一破“上) ) e l 一鳜，上) 一颀卜，j j ) 声：+ 撬+ 一破“上) ) c ， 一上嘲u 训k + 锄“川一 ) b 一魄川一川乜 4 一( 4 1 ) = 哦f + l j ) q + 九_ 1 ) c 2 + 九一1 上j g + 峻i 卜i j j c 4 + 峻吖川) g + 咴“川) c 6 一畋u j ) 心+ g + c 3 + c 。+ g + c 6 ) 因为本节所取| f ，函数和j f ，函数取为， 北归d - + 别，2 盎2 卉4 吨2 ， 2 0 t 2 娜m 删札 、_ ；一f 一 ( d ) 口= 0 7 时的去噪效果图( e ) n = l 时的去噪效果圈 周46 人体下领骨原始模型与击噪散果圈 由实验3 结果可以看出，随着a 取值增大，曲面噪声去除时边缘特征的保 持性越来越强，但当值增加到3 时，曲面的噪声信息会被当作特征信息相对 第四章基于p m 模型的的曲面去噪变分水平集方法 保持。通过比较可知，当口= 0 7 时曲面去噪的效果最好。 4 4 本章总结 本章首先介绍了均匀扩散去噪模型，在分析其特点的基础上，结合p m 模 型，提出了基于p m 的曲面去噪模型。实验表明，采用该模型可以在去除曲面 噪声的同时较好地保持曲面边缘特征，克服了均匀扩散去噪模型去噪时不能保 持曲面边缘特征的缺点。 青岛大学硕士学位论文 第五章总结与展望 本文主要研究了水平集方法相关的基本理论和研究进展以及在曲面处理 中的应用，着重分析了基于水平集方法的曲面均匀扩散模型，针对模型的缺陷 提出了基于p m 模型的曲面去噪模型，克服了曲面均匀扩散模型在去噪的同时不 能保持曲面边缘特征的缺点。下面将对本文傲一下总结，并结合本文工作的不 足之处和实际应用的情况，对今后的进一步研究提一些看法。 5 1 总结 总体而言，本文的主要工作体现在以下几个方面： ( 1 ) 本文将变分水平集方法应用于曲面处理领域，通过过滤曲面的法矢 量而不是直接更新曲面上点的位置演化曲面。利用曲面形状矩阵计算曲面的总 曲率，构造曲面光滑模型的能量模型。并利用两个二阶梯度下降偏微分方程替 代一个四阶梯度下降偏微分方程，简化了差分格式。 ( 2 ) 提出基于p m ( p e r o n a m a l i k ) 模型的曲面去噪变分水平集方法。p m 模 型是一种经典的非线性图像扩散模型，该模型能根据设定阈值对图像光滑区域 进行扩散，并能自适应地保持图像边缘。然后，本文将曲面法矢量与一般灰度 图像的强度进行类比，将经典的图像扩散的p m 模型转化为曲面几何噪声处理的 自适应扩散变分模型，在使曲面光滑的同时，能够保持曲面边缘。曲面采用隐 函数的零水平集表达，能量泛函中的数据项用初始水平集函数的h e a v i s i d e 函 数与演化后水平集函数的h e a v is i d e 函数差的平方表达，能量泛函中的光滑项 基于几何曲率定义。此外，本文在能量泛函中增加了水平集函数为符号距离函 数的惩罚项，避免了水平集函数需不断重新初始化的问题。数值实验验证了所 提出模型的曲面噪声去除及曲面边缘保持效果。 5 2 展望 曲面去噪是新的具有挑战性的课题。结合本文的研究工作，今后的研究任 务应着眼于以下方面： ( 1 ) 本文的研究提出了基于p m 模型的曲面去噪的能量模型，但该模型的能 量函数比较复杂，尤其是差分格式用到半点差分，给计算和编写程序带来了困 第五章总结与展望 难。 ( 2 ) 水平集方法的优点在于它能够处理变拓扑结构，形状非常复杂的目标， 而该方法的缺点是计算量非常大，特别是在做三维图像分割的时候，由于要计 算多张序列断层图像，数据量非常大，而且每次都要计算全局的数据，虽然 c h o p ，s e t h i a n 等提出了窄带法以及快速行进法，但其实现比较复杂，而且对 于结构非常复杂的图像，计算量并不比原来的小多少。所以要寻求其他的能够 加快水平集演化的更有效的方法。 4 l 青岛大学硕士学位论文 参考文献 i 0 f a u g e r a sa n dr k e r i v e n v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e s ，s u r f a c ee v o l u t i o n ，p d e s ， l e v e ls e tm e t h o d s ，a n dt h es t e r e op r o b l e m j ，i e e et r a n s a c t i o n so ni m a g e p r o c e s s i n g ，1 9 9 8 ，7 ( 3 ) ：3 3 6 3 4 4 2 s o s h e ra n dj 。a s e t h i a n 。f r o n t sp r o p a g a t i n gw i t hc u r v a t u r e d e p e n d e n ts p e e d ： a l g o r i t h m sb a s e do nh a m i l t o n j a c o b if o r m u l a t i o n j j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a l p h y s i c s ，1 9 8 8 ，7 9 ：1 2 4 9 3 e d a n g e l i n i ，t s o n g ，b d m e n s ha n da l a i n e m u l t i - p h a s et h r e e d i m e n s i o n a l l e v e ls e ts e g m e n t a t i o no fb r a i nm r i a m i c c a i2 0 0 4l n c s ，2 0 0 4 ，3 2 1 6 ：3 1 8 3 2 6 4 d c r e m e r s ，j h 1i n ，a n dd e ，e ta lw a n g 3 - dr e c o n s t r u c t i o no fs h a d e do b j e c t s f r o mm u l t i p l ei m a g e su n d e ru n k n o n w ni i l u m i n a t i o n j i n t e r n a t i o n a lj o u r n a l o fc o m p u t e rv i s i o n ，2 0 0 8 ，7 6 ( 3 ) ：2 4 5 2 5 6 5 r t w h it a k e r al e v e l - s e ta p p r o a c ht o3 dr e c o n s t r u c ti o nf r o mr a n g ed a t a j i n t c o m p u t e rv i s i o n ，1 9 9 8 ，2 9 ( 3 ) ：2 0 3 2 3 i 6 t t a s d i z e n ， r w h it a k e r ，p b u r c h a r d ，a n ds o s h e r g e o m e t r i cs u r f a c e s m o o t h i n gv i aa n i s o t r o p i cd i f f u s i o no fn o r m a l s j i np r o c e e d i n g so fi e e e v is u a li z a t i o n2 0 0 2 ，1 2 5 一1 3 2 。 7 l r u d i n ，s o s h e r ，a n de f a t e m i n o n l i n e a rt o t a lv a r i a t i o nb a s e dn o is e r e m o v a la l g o r it h m s j p h y s i c a ld ，1 9 9 2 ，6 0 ：2 5 9 - 2 6 8 8 h pm o r e t o na n dc h s e q u i n f u n c t i o n a lo p t i m i z a t i o nf o rf a i rs u r f a c ed e s i g n 【c i np r o c e e d i n g so fs i g g r a p h 7 9 2 ，1 9 9 2 ，1 6 7 1 7 6 9 w w e l c ha n da w i t k i n f r e e f o r ms h a p ed e s i g nu s i n gt r i a n g u l a t e ds u r f a c e s c i np r o c e e d i n g so fs i g g r a p h 9 4 ，1 9 9 4 ，2 4 7 2 5 6 1 0 g t a u b i n as i g n a lp r o c e s s i n ga p p r o a c ht of a i rs u r f a c ed e s i g n c 】i n p r o c e e d i n g so fs i g g r a p h 9 5 ，1 9 9 5 ，3 5 1 3 5 8 1 1 m d e s b r u n ， m m e y e r ，p s c h r o d e r ， a n da h b a r r a n i s o t r o p i c f e a t u r e p r e s e r v i n gd e n o is i n go fh e i g h tf i e l d s a n db i v a r i a t ed a t a m i n g r a p h i c si n t e r f a c e ，2 0 0 0 1 2 i g u s k o va n dz j w o o d t o p o l o g i c a ln o is cr e m o v a l m i ng r a p h i c si n t e r f a c e ， 2 0 0 1 参考文献 1 3 ，t m c i n e r n e ya n dd t e r z o p o u l o s t s n a k e s ：t o p o l o g ya d a p t i v es n a k e s j m e d i c a l i m a g e a n a l y s i s ，2 0 0 0 ，4 ( 2 ) ：7 3 - 9 1 t 4 p p e r o n a 。a n dj m a li k s c a l e s p a c ea n de d g ed e t e c t i o nu s i n ga n i s o t r o p i c d i f f u s i o n j i e e et r a n s p a t t e r na n a l y s i sa n dm a c h i n ei n t e l l i g e n c e ，1 9 9 0 ， 1 2 ( 7 ) ：6 2 9 - 6 3 9 1 5 。s o s h e ra n dr f e d k i w l e v e ls e tm e t h o d sa n dd y n a m i ci m p l i c i ts u r f a c e s m 。 s p r i n g e r ，2 0 0 2 1 6 ，s o s h e ra n dj a s e t h i a n f r o n t sp r o p a g a t i n gw i t hc u r v a t u r e d e p e n d e n ts p e e d ： a l g o r i t h m sb a s e do nh a m il t o n j a c o b if o r m u l a t i o n j j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a l p h y s i c s ，1 9 8 8 ，7 9 ：1 2 4 9 1 7 j s e t h i a n l e v e ls e tm e t h o d sa n df a s tm a r c h i n gm e t h o d s ：e v o l v i n gi n t e r f a c e s i nc o m p u t a t i o n a lg e o m e t r y ，f l u i dm e c h a n i c s ，c o m p u t e rv i s i o n ，a n dm a t e r i a l s s c i e n c e m l o n d o n ：c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 9 1 8 c x u d e f o r m a b l em o d e l s w i t ha p p l i c a t i o nt oh u m a nc e r e b r a l c o r t e x r e c o n s t r u c t i o nf r o mm a g n e t i cr e s o n a