（基础数学专业论文）fellerbrown运动的刻画.pdf

摘要 本文主要对f e l l e 卜b r o w n i a n 运动进行了研究f e l l e 卜b r o w n i a i l 运动是一类特殊的扩 散过程，它通过游程理论来定义，是游程理论的一个特例本文首先给出了经典b r o w n i a n 运动的两种不同定义下的局部时的关系另外，刻画了f e l l e r _ b m w n i a n 运动的游程结构， 从而构造了由f e l l e 卜b r o w n i a i l 运动生成的b r o 舳i a n 运动，进而写出了类似于b r o w n i a n 运动t a n a l ( a 公式的f e l l e 卜b r o w n i a n 运动的一个结论 关键词：f e l l e r b r o w n i a n 运动、t a n a l ( a 公式、局部时、p o i s s o n 点过程、游程测度、 漂移系数、鞅问题 a b s t r a c t i nt h i sp 印e rw ep r e s e n tf e l l e r - b r o w n i a nm o t i o n f e l l e r _ b r 0 w n i a nm o t i o ni sn o to n l ya s p e c i a ld i f f h s i o np r o c e s sb u ta l s oap a r t i c u l a re x a m p l eo fe x c u r s i o nt h e o r y ja n di ti sd e f i n e d b ye x c u r s i o nt h e o r y ：f i r s t ，、ep r e s e n tt h er e l a t i o n s h i po ft 、7 l ，ol o a lt i m ef o rs t a n d a r db r o 、肛 n i a nm o t i o n s e c o n d ，r ed e s c r i b et h ee x c u r s i o ns t r u c t u r eo ff i e l l e r b r o w n i a nm o t i o na n d c o n s t r u c tb r o w n i a nm o t i o nw h i c hi sb a s e do nt h ef e l l e r - b r o w n i a nm o t i o n n r t h e r m o r e 、p r e s e n tt h er e s u l to ff e l l e r b r o w n i a nm o t i o nw h i c hi ss i m i l a rt ot h e r a n a l ( af o r m u l ao f b r o 、v n i a nm o t i o n k e yw b r d s ：f e l l e r b r o w n i a nm o t i o n ；t a l i l a k af o r m u l a ；l o c a lt i m e ；p o i s s o np o i n t p r o c e s s ；e x c u r s i o nm e a s u r e ；d r i f tc o e 伍c i e n t ；m a r t i n g a l ep r o b l e m 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃抄袭等违反学 术道德学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后果， 特此郑重声明 学位论文作者 和1 冷餮 2 0 0 6 年4 月2 0 日 一引言 b r o w n 运动作为物理现象，首先由英国生物学家b r o l 于1 8 2 7 年观察花粉微粒在 液面上的“无规则运动”而提出e i n s t e i n 对这种“无规则运动”作了物理分析，并首次 提出了b r o w n 运动的数学模型w i e n e r 、l 6 v y 等人进一步研究了b r o w n 运动的轨道 性质w i e n e r 提出了在b r 帆m 运动轨道空间上定义测度与积分，从而形成了w i e n e r 空 间的概念此后对b r o w n 运动及其泛涵的研究深入发展，又逐渐渗透到概率论及数学分 析的各个领域中去，成为现代概率论的重要基础 b r o w n 运动重要而基本的理论在文献 1 】 8 】 9 】 1 0 中给出了阐述 p l 6 v y 提出了“m e s u r ed uv o i s i n a g e ”的概念，也既是我们称之为的b r o w n 运动 吼，五) o 的局部时l t ( z ) = 觋去m e 口s o s t ；l 帆一z e ) ；t o ，) ，v z 兄 文献 2 】 7 】【1 2 】 1 3 】中对b r 们m 运动的局部时厶( z ) 进行了分析，给出了l 。( z ) 的性质： l t ( z ) 是连续可加泛涵，且铲坻( ) d l ( z ) = o ，v z r ，a s p 。成立同时也给出了 b r o w n 运动的t a n a l ( a 公式：2 三t ( z ) = l m z 卜i z z i 一尼s 夕n ( 胍一z ) d 矾，o t o ，五= o ) ，若p ( 咒咖， o 的无穷小生成元4 l 也具有如下特征： 对于任意的，四( ( o ，) ) ，4 1 ，= ；豢 即4 0 与4 1 在四( ( o ，) ) 上的作用相同那么还有哪些扩散过程，使得它的无穷小生成元 在铝( ( o ，) ) 上的作用等于j 貉? 本文第二部分就以此为基础，展开对f e l l e r _ b r o w n i a n 运动游程结构的讨论，并进一步构造了由f e l l e r - b r o w n i a n 运动生成的b r o w n 运动在讨 论的过程中，用到了文献 4 】中鞅问题解唯一的条件第二部分的主要结论为： 设 x ，硝 t o 为一强m a r l ( o v 过程，其轨道连续，并且无穷小生成元4 在锘( ( o ，) ) 上的作用等于；纂令搿= i n f 倒s o ，咒= o ) ， k ，硝) t o 的预解式记作u a ，_ 五 群) 。o 的预解式记作y a ，v 入 0 则有： 定理3 4 ：对于任意的 o ，) 上的非负可测函数，v a o ， jy a 厂( o ) = 妾，( o ) ， iy a 厂( z ) = 去e z 瓜，( o ) + 付o oe 以 付o o ，( 可) p ( ，z ，可) d 秒冲，比 o 晰( 0 ) - 型监篙蛙产螋， u a t 厂( z ) = 五产o 。e a 。【j ；产o o ，( ) 尸l ( ，z ，可) d y 】d t + e 一而型监篙糕产燮，比 o ( 1 2 ) 定理3 5 ：( 1 ) 若d = o ，则 x - t o 为以。为反射壁的b r o 帆运动，其生成元一4 ，( z ) = j ，( z ) ，对于任意的厂四( o ，) ) ，7 ( o ) = o ( 2 ) 若d o ，则 五，擘) t o 的生成元4 d 具有形式： 对于任意的，g 学( o ，。o ) ) ， 射( 班 批功， 比刈， 【糍，( 0 ) ， 比= o 定理3 6 ：对于任意的o 0 ，巩= 0 ) 故 则有如下定理： 定理2 1 ：厶( o ) = 譬如( o ) 。 驴卜饥。= 竿， e 。z 0 。e _ c 删。= 雩，04 伊z 0 。e 嘲t = 矽( e 一。) 乩 以 c2t 5 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 三f e l l e r - b r o 咖运动的游程理论 令 吼，五) t o 为标准的一维b r m 运动，= i n f s l s o ，职= o ) ， 八硒，五 t o 称为以。为吸收壁的b r o w n 运动利用b r o w n 运动的反射原理，可以得到 比 而，兀) t o 的转移函数由下式唯一确定： p z ( 八如妇) = n ( 托帕 = p ( 亡，z ，可) 一p ( 亡，z ，一可) 】由，v z ，可 0 其中p ( t ，z ，可) = 去e 一毕表示 姒，兀) 。 o 的转移密度 ( 3 1 ) 式的证明参考文献 2 】局5 9 7 f 吼i ，五) t o 称为以。为反射壁的b r o w n 运动，其转移函数由下式唯一确定： 硎吼i 咖) = p + ( 托油 ( 3 2 1 = f p ( t ，z ，可) + p ( t ，z ，一秒) 1 d 可，比，y 芝0 众所周知， 八，五) t o 的无穷小生成元4 0 具有如下特征： 对于任意的，四( ( o ，) ) ，4 0 i 厂= 貉 其中四( ( o ，) ) 表示所有具有紧支撑的2 阶连续可微函数的全体 同样， l m i ，五) t o 的无穷小生成元4 1 也具有如下特征： 对于任意的，锘( ( o ，。) ) ，4 ，= j 貉 即4 0 与么1 在四( ( o ，o o ) ) 上的作用相同 问题：除了 乃，五) t o 和 i m i ，兀) t 2 0 外，还有哪些扩散过程，使得它的无穷 小生成元在四( ( o ，o o ) ) 上的作用等于j 象? 设 x t ，砰) t o 为一强m a r k o v 过程，其轨道连续，并且无穷小生成元4 在四( ( o ，) ) 上的作用等于；豢令： 搿= i n f s i s o ，k = o ) ，任意实数z ，p ( l 知= z ) 记作p z ( ) 定理3 1 ： k 八搿，巧) t o 是一强m a r l ( o v 过程，其转移函数砰( z ，咖) 为： ( 1 ) 砰( o ， o ) ) = 1 ； ( 2 ) p p ( z ，d 可) = p l ( t ，z ，可) d 可，v z o ，可 o 即： 1 ，令死= i n f s i 托( 击，佗) ) 显然，对于任意的厂四( o ，) ) ，存在g 四( ( o ，) ) ，使得“丢，n 】= 9 由 k ，硝 t o 的生成元4 在9 上的作用为 ( z ) ，故比 o ，) ，在p ( ) 下，定义 懈= 9 ( 五) 一后 夕，( k ) d s ，o 则由文献 1 】p 2 2 3 命题6 6 ，眸为 垮) t o 鞅从而 晖 ) t o 亦是 硝) t o 鞅 由于n 击，n 】= 9 ，比( 寺，n ) ，在p ( ) 下，由于在 o ，瓦 上， ，( x 八) 。夕( k 八) ，( x 八) 2 夕( x 八) 在 咒，十) 上，( x 八t n ) = ，( 砘) 。9 ( k ) = 9 ( x a ) 故 厂( k 八r ) 一jj ；：八a ，7 7 ( k ) d s = 夕( k 八r ) 一 启八r9 7 7 ( 咒) d s = a ，v o 从而当z ( 寺，n ) 时，在p ( ) 下， 叫 r ) t o 是 彤) c o 鞅其中定义 尬k ，( x ) 一名 ，7 7 ( 五) 如，o 显然，当z ( 击，礼) 时，在p ( ) 下，刎亦是 群) t o 鞅 五 ) t o 的分布记作r ( ) ， 显然，r ( ) 是鞅问题p ( ) ( 【o ，矗】，o ) 的解根据文献 4 】只1 6 3l e m m n 6 6 4 ，p ( jx 【o ， ，o ) 的解是唯一的而 彤八砭) t o ( 其中= i n f s l 眠( 击，n ) ) ) 亦是p ( j o ，砭】，o ) 的解 故_ x t 八) t o 的分布与 彬八) t o 的分布相同令礼一，知 k 八垮) t o 的分布与 m 八而 t o 的分布相同，既知 k 八磴) t o 的转移函数由( 1 ) ，( 2 ) 唯一确定 令7 _ = i n f f s | s 0 ，五0 ，因为 丁= o ) = w o ， o 兀，v s 0 ， 所以 7 - 一o ) 矗+ 由b l u m e n t h a l0 - 1 律知，p o ( 7 - o ) = l 或p o ( 7 - = o ) = 1 命题3 1 ：如果p o ( 丁 0 ) = 1 ，则 五) o 为以。为吸收壁的b r o w n 运动 证明：假定p o ( 7 _ o ，则存在丁 o ，使得p o ( 7 o 由 x ) t o 的连续 7 性知，k = o 又由 托) t o 的强m 缸l ( o v 性， p 0 ( 丁 o ，j s 6 ，墨+ 。o ，7 - o ，j s 正x 。o ) ，7 - t ) = p 0 ( p o ( 7 = o ) ，7 - o ，k = o ) 命题3 2 ：p o ( 口= 0 ) = 1 证明：因为 盯= o ) = v 6 o ，j t o 兀，v s 0 ， 所以 盯= o ) 兀+ 由b 1 u m e n t h a lo l 律知，p o ( 盯= o ) = 1 或p o ( 盯 o ) = 1 假设p o ( 盯 o ) = 1 ，则： e 。( e 吖) = 伊( 船e 七哦卅) = l 瓣e o ( e 一( 巩+ 。) ) n o 、 = 1 脚矽( e e 托( e 吖) ) t 1 0 、 、 = l i 髀e o ( e _ 。e 魁( e 一盯) 厶o ，o 。) ( 五) ) t i 0 、 、7 、 由于对于任意的z o ，在p ( ) 下， x ) 脚的m a r k 0 v 时间磴= 盯，且 k 八警) t o 与0 为吸收壁的b r o w n 运动同分布，故： 酽( e 一盯) = 驴( e 一垮) = e 一 2 8 从而 伊( e 一仃) 2 嘧e 。( e e x 。( e 一盯) j ( 。，o o ) ( 磁) ) = u 僻e o ( e e 一以蜀) t 上o 、 = 伊( 1 脚e 一、2 t ) 、t 土0 = e o ( e o ) = 1 这与p o ( 盯 o ) = l 矛盾，故p o ( 仃= 0 ) = 1 综合命题3 1 及命题3 2 知，o 是 x ) t o 的正则点，又是 五) t o 的瞬时态 根据文献 3 】第三章第三节定理3 7 及( d ) ，存在 矗r ) t o 一可加泛函 己t ) t o ，使得： ( 1 ) 厶) t o 是连续过程； ( 2 ) v z o ，) ，e z ( e 一仃) = e z ( 付e 邯d l 。) ； ( 3 ) l 。= t i l t 一。 o ) ) t | = o ) 3l r = 引l t o ) - 厶 t o 为 x t ) t o 在。状态的局部时 令匕= 后 o ( 墨) d s ，由文献 3 】第三节( d ) 知，存在常数d o ，使得： 匕= d 厶， v t 0 d 称为0 状态的漂移系数 对于任意的u q ，忱 o ，令胱( 叫) = i n f s i s o ，l 。( u ) t ) ，阿) = i n f s i s 芝 o ，l 。( u ) 味过程 觑( u ) ) t o 称为局部时 厶( u ) ) t o 的右逆，过程 阿( u ) ) t o 称为局 部时 厶) ) 。o 的左逆显然，觑) 是单调增右连续函数，阿( u ) 是单调增左连续函 数；侥) 阿) 当且仅当厶( u ) 在区间( 阿( u ) ，屈( u ) ) 上不增，即( 阿( u ) ，屈) ) 是 一个游程区间，因此单调函数觑( u ) 的不连续点与k ( u ) 的游程区间一一对应；且x ( u ) 在( 阿( u ) ，屈( u ) ) 上恒为正值令d y = 矧脘( u ) 阿( u ) ) ， r k ：卜忻， 防) ，纵) j i o ， 慨( u ) ，+ o o ) 由i t o 游程理论，则 m ；t d y ) 是取值于 纠= ( 训： o ，。) _ o ，o o ) l 训( ) 连续，训( o ) = o ，且存在盯( 叫) o ，使得叫盯( 训) ) 9 o ，叫h 叫) ，o o ) 三o 的p o i s s o n 点过程，其特征测度记作p ( ) 按照b l u m e n t h a l 的记号，“上的坐标过程仍 记作 五) 脚，“7 是坐标过程生成的盯代数，在尸( ) 下，坐标过程 五) t o 是一个转移 函数为 k 礤) t o 的转移函数的强m a r k o v 过程( 参考文献 3 】第三章第三节( f ) 定 理3 2 8 ) ，即它的转移函数由卫( t ，z ，可) 唯一确定 令吼( 出) = p x 如) ， o 显然，对于任意的亡，s o ，有仇+ 。( 如) = o ，。) 叩s ( 咖) 砰( y ，如) ，特别地，对于任意的z o ， 叩t + s ( d z ) = 正o ，o 。) 7 7 s ( d ) 尸l ( ，z ) d z 定理3 2 ：对于任意的【o ，) 上的非负可测函数，v 入 o ， ( 3 3 ) e 。 付，( k ) e 。2 螂 f 3 4 1 = e o 付o 。e 一射d l t ) d 厂( o ) + 付。【圻o ，o 。) 仇( d z ) ，( z ) 】e 一沁如) 证明：令g = 阿忙d y ) ，显然，x ( ) 在( 阿( u ) ，侥( u ) ) 上恒为正值，且场。= o ， 故侥= 盯o9 p _ ，忱d y 对于任意的 o ，。o ) 上的非负可测函数，及v a o ，由文献 3 】p 1 0 l 中( 3 2 7 ) 式知： e o 付。厂( 五) e 。班) = e o 付”i 厂( k ) j o ) ( 五) e 。d t ) + e o 肘o 。厂( k ) 厶o ，o 。) ( x ) e 。出) = 驴 厂( o ) 肘。以o ) ( x ) e 以。d 亡) + e o 堇e 。8 畸，( x ) - 厶o ，。) ( 咒) e 。出】o 以) = 矽 ，( o ) d 付o 。e 。d l t 】+ 矽 付o oe 。d 厶) 户 付o 。厂( k ) 厶o ，o o ) ( 咒) e 以2 出) = e o 付0 0e 。d 厶) 【，( o ) d + 户 付o 。厂( 五) 厶o ，o o ) ( 五) e 。疵) 】 = e o 付。e 。d 三t ) - 厂( o ) d + 付o oe 。巾 ，( x ) 厶o ，o o ) ( k ) ) 出】 = e o 付o oe 一射d 三t ) ，( o ) d + 付o o 鼻o ，o o ) 仇( d z ) ，( z ) e 一射d t ) 推论3 1 ： d 十付。0e 一。仇( ( o ，) ) 砒= 1 1 0 ( 3 5 ) 证明：取a = 1 ，三l ，由( 3 4 ) 式知： 1 = 酽 付。e 一班) = e o 付o 。e 叫d l t ) 【d + 付o 。仇( ( o ，) ) e 一。如) = e o e 一盯) d + 付o o 仇( ( o ，) ) e 一d 亡) = d + 肘。e q 吼( ( o ，) ) d z ( 3 5 ) 式称为规范性条件 推论3 2 ：对于任意的入 0 ， e o 付o 。e 一她d l t ) = a 一1p 十付o oe a 。7 7 t ( ( o ，) ) 班】( 3 6 ) 证明：在式( 3 4 ) 中取，三1 ，得： 入_ 1 = 伊 肘。e 。班) = e o 付o oe 一沁d l ) d + 付o 。叩t ( ( o ，) ) e a 。d 亡) 因此( 3 6 ) 式成立 结合定理3 2 及推论3 2 ，可得： 推论3 3 ：对于任意的 o ，) 上的非负可测函数，及枞 o ， e o 付。厂( 托) e 。班) = 入一1 d + 付o oe 一叩t ( ( o ，) ) 班】一1 d 厂( o ) + 付o 。 正o ，o o ) 叩t ( d z ) ，( z ) 】e a 。d t ) 仿照文献 3 】第四章第一节定理1 1 的证明，可得： 定理3 3 ：对于任意的t 0 ， 仇( 如) = 繁e 一著如，v z o ( 3 8 ) 由规范性条件知：osd 1 若d = l ，则有p ( ) = o 又由推论3 3 知：e o 付o o 厂( 托) e a 出 = 掣，即p o ( 五一o ) = 1 ，v t o ，这与假设p o ( 7 _ 0 的预解式记作y a ，v a o 则有： 定理3 4 ：对于任意的 o ，) 上的非负可测函数，v 入 o ， 3 0z可如 d y z 瓦 卫 yf ， 时 n m一 付 + 0 ， 一、l 厄 “二， ， e 1 一入 1 一a | j j 0 z ， ， y y ，iilf、i【 证明：( 1 ) 因为 比 0 y a 厂( z ) = 付o 。e 砒芹( z ， o ) ) ，( o ) 班+ 付o oe 砒时。厂( ) p _ ( 幻? ，秒) 咖】出， 而 付o 。e 一射砰( z ， o ) ) 班= 付o oe a t p z ( 仃) 出 = 一妻付o 。p z ( 盯冬) d e a 。 = 妻付0 。e 枷d p ( 盯s ) = 妾酽 e 。盯) = 妾e z 瓜， 故( 3 9 ) 式成立 ( 2 ) 令噍( 如) = 赤e 一妥如，比 o 则： 付。e 。付0 。玩( 如) 以= 付0 。e 砒去出 = 付。e 。击d 诉 = 付0 。e 。户击出 = 付。矿丢万薪出 一1 一、压 由定理3 3 ，不难得出：付e 娥付0 0 仇( 如) 班= 岩 再由推论3 3 ， 沙。厂( o ) = e o 付。0e 州厂( 五) 出) = a 一1 p + 付o 。e a 硫( ( o ，) ) 出】 d ，( o ) + 付o o 正o ，o o ) 吼( d z ) ，( z ) 】e a t 出) = a 一1 心+ 号睾r 1 d ，( o ) + 付0 。 正o ，。) 仇( 如) ，( z ) 】e 一 t 班) 1 2 ( 3 1 0 ) 巡 瓢! 銎 麟溅 对于任意的z 0 ，由于 u a ，( z ) = e z 付o 。e 一，( 五) d 亡) = e z 譬e 一她厂( 五) 出) + e z l j o 。e 一她，( 瓦) 出) ：酽 譬e 砒，( k ) 砒) + 酽 e 以盯) 伊 付0 0e 。厂( 五) 毗 ：酽 付o 。e a t 厂( k ) 厶o ，。) ( x ) 出卜卜 e 。盯) e o 付。0e 。，( k ) 出 - ：付。e a 。( 付。，( 秒) 只( 亡，z ，可) d 可】d t 十e z 姒u a ，( o ) ：付o oe 埘 付o 。，( 可) p _ ( t ，z ，可) d 可冲+ e z 瓜型坠豆；未鹫兰掣， 从此得出u a t 厂( z ) 的表达式 定理3 5 ：( 1 ) 若d = o ，则 五) 。o 为以。为反射壁的b r 运动，其生成元4 厂( z ) = ；厂7 7 ( z ) ，对于任意的，四( 【o ，) ) ，7 ( o ) = o ( 2 ) 若d o ，则 五，硝) t o 的生成元4 d 具有形式： 对于任意的厂诺( ( o ，) ) ， 而 4 d ，( z ) = j ，( z ) ， 糍，( 0 ) ， 、矿z 0 v z = 0 证明：由参考文献 1 】b 1 4 2 5 定理6 5 的证明知： 入盼u a ，( o ) 一厂( o ) 】 ：m 业鼍尝笔掣一们) 】 a d + 、a ( 1 一d ) 。、7。 z ， 一z ，j u一入 熙 = z ，j a ( 因为 其中 一方面由于 于是 ( 因为 a = 入 a 型监篙糕竽坐 一a d ，( o ) + a 畏，( o ) 一丽再葡f 矿 ，( o ) ) e 一番咖】 ，( o ) 出； 付0 0 杀e 一番咖 付0 0 杀e 一垂瑶j 0 石5 “2 = 付。禹e 一垂d 番 = 筹 肘。z e 。d 2 l 一缝 一行， 付。e 。筹出 = 付e 。筹 2 以d 以 = 时。e 。p 筹砒 t 2 2 万薪付。e 一话留出 = 去。击 一 1 一刃叉 赤虑z 。e 一菇如 = 去麝( 嘉) 2 e 一 嘉2 d ( 芳) = 去虑z e 一譬咖 = 盯1 1 4 ，7 ( o ) 班 故 且当a o 。时， 另一方面由于 于是 a = a 【蹦】点 ，( o ) ；，( o ) r， a _ 拟o ) ， i o ， 付。杀e 一番咖 d = 0 d 0 = 去付。秒。e 一磊咖一孺雪j o e “ 付o 。z e 一譬咖 ：巫羔 t2 1 一汤， = 意去，( 0 ) 2 换击。，( 0 ) _ 糍，( 0 ) ( 入_ 。) 故 糍，( 0 ) ， o o 为以。为反射壁的b r o w n 运动 当d = 1 时，由定理3 4 及定理3 5 知， 托) 。 o 为以。为吸收壁的b r o w n 运动 定理3 6 ：对于任意的o d 1 ，存在 k ) t o ，使得 五 t 2 0 是预解式为( 3 1 0 ) 的 扩散过程，并且对于任意的，四( ( o ，。) ) ，其无穷小算子在厂上的作用为；厂”( z ) 证明： 由0 为反射壁的b r o w n 运动的游程理论知，存在纠上的盯有限测度p ( ) ，使 得对于任意的0 亡1 亡2 t o 鞅其 中己? 是 霹) t o 在。处的局部时 证明：显然， 霹) t o 与。为反射壁的b r o w n 运动 1 w ；m o 同分布，由t a n a k a 公 式： i 彤j = i + 名册n 巩d 巩+ 2 厶，忱o 其中l = l i m 丢m e n s o s 亡；i 巩l e ) ；亡 o ，) ，比r ，并且 厶) t o 是连续过。 程因此 i 彤j i 眠l 一2 厶) 。o 是一标准的b r 帆r i l i a n 运动从而 霹一础一2 三。) t o 是 一标准的b r o w n i a n 运动其中厶= l i m 击m e o s o s t ；霹) ；亡 o ，) ，比r 是连续增过程显然， 厶) 。o 是 硝。) 。o 的可加泛函由文献 3 】第三章第三节( d ) 知 1 6 存在常数k 0 ，使得： 三= k l 9 ，耽o 从而 霹一础一2 k 霹) t o 是一标准的b r o w n i a n 运动 故 从而有 于是得： v o ，e o 础一2 k l ? ) = o 矽 付。e 一。霹班一2 kj 。0e 叫l ? d 亡) = o k = e o 付”e 叫霹出) 2 伊 付。e “l ? 班) - = e o 付o 。e 州霹出) 2 e o 付0 0e 叫d 凹) 】_ 1 = 矽 付0 。e 叫霹出) 2 伊 e 哪) 】1 = j 付0 0e 叫 付。p + ( t ，o ，) 可捌出 = 付。0e 一。时去e 一蔷可划班 = 付0 0 去e 一班 = 去付。0 诉e q 出 _ 一 一2 乃 从而 砑一础一击己? ) t o 是一标准的b r o w n i a n 运动令砷一础一击曰一比，则 霹一础+ 击凹+ m ，对于任意的厂四( o ，o o ) ) ，厂( ) ，厂( ) 有界，由i t o 公式知： f o x ；、) = f ( 、x 踟七甓l f 0 x 踟d x ：+ 专毯f “( 、x 羚d 、x 黔 = ，( 础) + 启，7 ( 霹) d 巩+ 击露，( 霹) d l ：+ 名，( 霹) 如， 故，( 砑) 一 启，( 霹) d s 一击露，7 ( 霹) d 理 = ，( 霹) 一；名，( 霹) d s 一击，7 ( o ) 三? 是 砰。) t o 鞅 定理3 7 ：设 剧) o 为漂移系数为d 的f e l l e r _ b r o w n i a n 运动，d ( o ，1 ) ，则对 于任意的，四( o ，) ) ，( ) ，( ) 有界， 厂( 础) 一j 启- 厂( 剧) d s 一岩，7 ( o ) l ? ) t o 是 彤8 ) 。o 连续鞅其中l 是 础) t o 在。处的局部时 证明：( 1 ) 设厂( 0 ) = 0 定义 a = e o 付0 0 ，( 霹) e 。出) ； b = e o 付o 。，( 霹) e 一她出) ； 1 7 c = 伊 付。e 。d 霹) 由定理3 4 及推论3 2 ，对于任意的a 0 ，则 再由引理3 1 ， a = 击付0 0e a 付0 。了券芦e 一番，( z ) d z 】出； b = 击付。0e 砒【付。赤e 一番，( z ) 如】班； c = 妻( 付”e m 仇( ( o ，) ) 如) 一1 1 颤 o = e o 付。e “。 ，( 霹) 一 后，( 霹) 如一击，( 0 ) 硼姗 = e 0 肘0 。厂( 霹) e 。班) 一 伊 付。 后，( 霹) 酬e a 。如) 一击，( 0 ) 伊 付e a 。三? 班) = e o 付。厂( 霹) e m 出) 一 = a 一去b 一去，( 0 ) c 去e o 付0 。，( 霹) e 。班) 一去，( 0 ) 矽 付。e 。d l ? ) ( 2 ) 由定理3 4 ，对于任意的，四( o ，。) ) ，厂( ) ，i 厂( ) 有界，厂( o ) = o 对于任意 的a 0 ， e o 付。e m ，( 础) 一 j j ，( 掣) d s 一岩，( 0 ) 瑚嘲 = e 。 付。厂( 剧) e 。出) 一去伊 付。，( 删) e 砒班) 一岩，( o ) e 0 付。e 喇d 三? ) 1 一d 付o 。e 一 付。厂( 秒) 仇( 咖) 】班一 1 付。e 一她 付0 。厂( 可) 仇( d ) 】班 一糍，( 0 ) 丽志而 弧a 一丽塌丽瓠昙一丽撩而，弧锻 丽端 a 一去b 一去，7 ( o ) c ) = 0 由a 的任意性可知： 同理可证： e o ，( 剧) ；后，( 础) d s 一岩，( 0 ) l ) = o 1 8 e z ，( 剧) 一，( z ) 一 后，( 剧) d s 一号手，7 ( o ) l ? ) = o ( 3 ) 显然，由于 剧) t o 是强m a r l i v 过程， 三 ) t o 是连续可加泛函，则 厂( 础) 一j 后，( 础) d s 一岩，7 ( o ) l ；，o 是一连续的强m a r k o v 过程对于任意的 0 e ，( 掣) 一 后，( 础) 如一岩，( 0 ) 瑚冗) = e ，( 硭u ) 一，( 础) 一j 后咄，( 础) d s 一岩，( 0 ) l i u 】。口。i 兀 + ，( 叉等) 一 眉厂( 叉? ) d s 一弓手，7 ( o ) l ! = e x u ，( 义盘札) 一，( 础) 一；后一“，( 剧) d s 一与乎，7 ( o ) l i u ) + ，( 剃) 一 眉，( 础) d s 一号手，7 ( o ) l i = ，( 捌) 一 j ；，( 掣) d s 一岩，( 0 ) 瑶 故 ，( 剧) 一 后，( 础) d s 一镑，( o ) 掣) t 。是 硝8 ) t 。连续鞅 定理3 8 ：设 础) t o 为漂移系数为d 的f e l l e r - b r o w n i a n 运动，当d o ，1 ) 时， 捌一础一岩l 执o 是一标准的b r o w n i a n 运动 证明：利用定理( 3 7 ) 可知：令厂( 。) = z ，z o ，o 。) ，则 剧一瑶一。岩 ) t o 是 硝4 ) 。o 连续鞅令厂( z ) = z z ，则 ( 剧) 2 一亡) 。o 是 硝4 。o 连续鞅令剧一础一 岩l = 删，则x ? = 捌+ 镑础+ 聊，对于任意的厂锘( o ，) ) ，九) ，厂( ) 有界，由 i t o 公式知： ( 捌) 2 = ( 础+ 岩l + 删) 2 = ( 础) 2 + 2 露剧d 掣+ ( m ) t = ( 列) 2 + 2 后剧d 蟛+ 因为础只在。点增长，故后础d l ! = o ，所以 ( 剧) 2 一( m ) 。) 。o 是 垮4 ) 。o 连续鞅 由二次变差过程的唯一性可知： ( m ) t = t 即 捌一础一岩l ? t 2 0 的二次变差过程为 t ) t o 从而 础一础一岩础) t o 是一标准的b r o w n i a n 运动 由文献 2 】中b r o w n i a i l 运动的t a n a k a 公式： 彤i = i l + 名s 9 礼( 眠) d 眠+ 2 l t ，o 及由定理( 3 8 ) 知： 1 9 定理3 9 ：设 剧) o 为漂移系数为d 的f e l l e 卜b r o w n i a n 运动，当d 【o ，1 ) 时，有； 其中： l 剧一删一岩础i = 后s 夕n ( 础一列一岩l ! ) d 础一岩名s 9 n ( 霹一础一岩三：) 崛! 十2 厶 厶2 觋丢m 伽 o s t | 掣一础一镑瑚) ； o ，o o ) 2 0 参考文献 1 】钱敏平，龚光鲁，随机过程论，北京大学出版社， 2 0 0 4 2 】i o a n n i sk a r a t z a ss t e v e ne s h r e v e ，b r 删n z n nm o 亡i d 佗n 礼dd c 施s 挽cg r o f 优f 钆s s p r i n 分v e r l a g ，1 9 9 0 。 3 】r m b l u m e n t h a l ，e z 优7 研d 几s o 厂 m n r 七伽 p