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摘要 复流形是复几何所考虑的基本对象。我们设盯是一紧复流骺，b 为其上 的可微分向量丛。借助于它们上面的h e r m i t i a n 度量我们可以定义两个模空 间：一个联系着代数几何；一个联系着微分几何k o b a y a s h i h i t c h l nc o r r e - s p o n d e n c e 说：这两大数学韵分支有一座桥粱，由上述两个模空间的一一对 应关系而产生。 上面的这一设想在大约二十年前被证明是对的在基流形m 是k 董h l e r 流 形的情形；数学家如k o b a y a s h i ，d o n a l d s o n ，u h l e n b e c k 和y a u 分担了其中 的贡献。最近的时间在盯是一般的紧复流形，这一设想亦被证明是对的。其 中重要的一步是如下的 定理1 是一紧复流形，设昂是m 上一稳定的向量丛，则e 上存在有 h e r m i t i a n - e i n s t e i n 度量 本文的一个主要的目的是把上面的定理推广曼旧是一h i g 驴向量丛的情 形；这一结果的意义在于在研究与k o b a y a s h i o h i t c h i nc o r r e s p o n d e n c e 相关 的问题如考虑k o b a y a s h i - h i t c h l nc o r r e s p o n d e n c e 的形变展现它的作用。 我们有定理如下； 定理2 设是一m 维的紧复流形- 设，f ) 是m 上- - h i g g s 向量丛如 果( e ，是稳定的，则其上存在有h e r m i t i a u - e i n s t d n 度量。 在第三部分我们考虑了一类k a z d a n - w a r n e r 型的方程，并且证明了一个 存在性的定理t 借助于这一结果我们给出了一般的紧复流形m 上的全纯线丛 上的v o r t e x 方程解的存在性的一个充分性条件，或许这一考虑有其它方面的 作用的。 l 摘要 l e tmb eac o m p a c tc o i n p l e xm a n i f o l d 嚣ad i i f e r e n t i a b l ec o m p l e x v e c t o rb u n d l eo v e rm a n dgr e s p hah e r m i t i a nm e t r i ci nmr e a p o ne a s s o c i a t e dt ot h e s ed a t at h e r ea r et w om o d u l is p a c e s o n eh a si t s o r i g i ni na l g e b r a i cg e o m e t r y , w h e r e a st h eo t h e ro l l ee o m e sf r o md i 行e r e n t l a l g e o m e t r y t h ek o b a y a s h i h i t c h i nc o r r e s p o n d e n c ea s s e r t st h a tt h ea b o v e t w om o d u l is p a c ea r ee s s e n t i a l l yt h es a m e t r o t i g ht h ew o r k so fk o b a y a s h i d o n a l d s o n ，u h l e n b e c ka n dy a u a c o m p l e t ep r o o fo fk o b a y a s h i - h i t c h i nc o r r e s p o n d e n e ew a sf i r s to b r a i n e d w h e nt h eb a c k g r o u n dm a n i f o l di sk g h l e r r e c e n t l yt h i sa s s e r t i o nh a sb e e n p r o v e dt ob et r u ef o rc o m p l e xm a n i f o l d s t h em a i ni n g r e d i e n ti nt h e s e t - t h e o r e t i c a lp a r to fk o b a y a s h i - h i t c h i nc o r r e s p o n d e n c ei st h ef o l l o w i n g t h e o r e m0 1 as 亡a b l eh o l o m o r p h i cv l e c t o rb u n d i eea d m i t sah e r m i t i a n - e i n s t e i nm e t r i c t h ec e n t r a lg o a lo ft h i sw o r ki st r y i n gt og e n e r a l i z et h ea b o v er e s u l tt o t h eh i g g sv e r s i o nc a s e ，w h i c hs h o u l db eh e l p f u lt ot h es t u d yo f s o m eq u e s - t i o n ，s a yv a r i a n t so ft h ek o b a y e s h i - h i t c h i nc o r r e s p o n d e n c e t h et h e o r e m t ob ep r o v e dh e r ei st h ef o l l o w i n g t h e o r e m0 2 ：l e tm b eac o m p a c tc o m p l e xm a n i f o l do fd i m e n s i o nm w i t hah e r m i t i a ns t a n d a r dm e t r i cga n dk ( f ，口) b eah i g g sb u n d l eo v 盯 肘i f ( e ，口) i sa n a l y t i cs t a b l et h e ni ta d m i t sah e r m i t i a n e i n s t e i nm e t r i c ho n e i nt h et h i r ds e c t i o no ft h i sw o r kw ec o n s i d e rak a z d a n - w a r n e rt y p e e q u a t i o no nc o m p l e xm a n i f o l dm a n d0 b t a i na na n a l o g y r e s u l to f k a z d a n a n dw a s h e r s a n dt h e nw eu b eo u rt h e o r e mt os t u d yt h ev o r t e xe q u a t i o n i nh o l o m o r p h cl i n eb u n d l eo v e rn o n - k g h l e cc o m p l e xm a n i f o l d s 2 r e l a t e dt ot h ek o b a y a s h i - h i t c h i nc o r r e s p o n d e n c e 1 0i n t r o d u c t i o n l e tmb eac o m p a c tc o m p l e xm a n i f o l d 。ead i f f e r e n t i a b l ec o m p l e xv e c t o r b u n d l eo v e rm ，a n dgr e s p hah e r m i t l a nm e t r i ci nmr e s p o ne a s s o c i a t e d t ot h e s ed a t at h e r ea r et w om o d n l is p a c e s ，n a m e l y t h em o d u l is p a c e 川磬( e ) o fi s o m o r p h i s mc l a s so fg - s t a b l eh o l o m o r p h i cs t r u t t u r e s i n e 】 s n d t h e m o d u l is p a c e a 4 争e ( e ，h ) o f g a u g e - e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f h - u n i t a r y g - h e r m i t i a n e i n 8 t e i nc o n n e c t i o n si ne t h en o t i o no fs t a b i l l t yu s e dh e r eh a si t so r i g i ni na l g e b r a i cg e o m e t r y , w h e r e a st h eh e r m i t i a n - e i n s t e i nc o n d i t i o ni sp u r e l yd i f f e r e n t i a l - g e o m e t r i c ；t h e k o b a y a s h i - h i t c h i nc o r r e s p o n d e n c ea s s e r t st h a tt h e ya r ee s s e n t i a l l yt h es a n l e t h er e s u l t sd e s c r i b e dn o wc a l lb ei n t e r p r e t e da st h ee x i s t e n c eo fan a t u r a im a p 0 ： 孑四( f ， ) - m 矿( e ) w h i c hi si n j e c t i v ee s s e n t i a l l yd u et ok o b a y a s h i sv a n i s h i n gt h e o r e m ，a n ds u r j e c t i r eb yt h ee x i s t e n c et h e o r e m s ；t h i si sw h a tw ec a i lt h es e t - t h e o r e t i c a ik o b a y a s h i h i t c h i nc o r r e s p o n d e n c e t h em a i ni n g r e d i e n ti nt h ei n j e c t i v ep r o o fi st h ef o l l o w i n g t h e o r e ma 1 1 7 1 ：l e t ( e ，6 ) b eah o l o m o r p h i cs t r u c t u r ei nea d m i t t i n g ah e r m i t i a n - e i n s t e i nm e t r i chw i t he i n s t e i nf a c t o r m i f1 i sn e g a t i v e ，t h e n eh a sn on o n t r i v i a lg l o b a lh o l o m o r p h i cs e c t i o n s i f = 0 ，t h e ne v e r yg l o b a l h o l o m o r p h i cs e c t i o n so fe i sh - p a r a l l e l ，i e d ( d ) = 0 t h ee x i s t e n c eo fah e r m i t j a n - e i n s t e i nm e t d ci nas t a b l eb u n d l eo v e rm a n i f o l d so fv a r yd i m e n s i o nw a ss u c c e s s i v e l yp r o v e db yd o n a l d s o nf o rr i e m a n ns u r - f a c e s ( w h i c hp r o v i d e san e wp r o o fo ft h ef a m o u st h e o r e mo fn a r a s i m h a na n d s e s h a d r i ) 2 6 g ，t h e na l g e b r a i cs u r f a c e sa n dm a n i f o l d s 【9 】【1 0 l ，b yu h l e n b e c ka n d y a uf o rk 自i h l e rm a n i f o l d s 2 9 ，b yb u c h d a h lf o ra r b i t r a r ys u r f a c e s z ，a n df i n a l l y l ia n dy a u ，m l i i b k ea n da t e l e m a nf o ra r b i t r a r ym a n i f o l d s 2 1 1 2 2 2 i i l 2 2 1t h ea u t h o r sp r o v et h ef o l l o w i n gg e n u i n e k o b a y a s h i h i t c h i nc o r r e s p o n d e n c e ：f o re v e r yh e r m i t i a nm e t r i cgi nm ， t h en a t u r a lm a p 厶i st h es e t - t h e o r e t i c a ls u p p o r to far e a l - a n a l y t i ci s o m o r p h i s m b e t w e e n 乒8 ( e ，h ) a n d 州矿( 四) i nt h es e t - t h e o r e t i c a lp a r to fk o b a y a s h i - h i t c h i nc o r r e s p o n d e n c et h ef o l l o w i n ge x i s t e n c et h e o r e mi sq u i t ei m p o r t a n t ， t h e o r e m0 1 as t a b l eh o l o m o r p h i cv e c t o rb u n d l eea d m i t sah e r m i t i a n - e i n 乱e i nm e t r k i nt h i sw o r kw ea r et r y i n gt og e n e r a l i z et h ea b o v er e s u l tt ot h eh i g g sv e r s i o n c a s e t h e o r e m0 2 ：l e tmb eac o m p a c tc o m p l e xm a n i f o l do fd i m e n s i o nm w i t ha h e r m i t i a ns t a n d a r dm e t r i cga n dl e t ( e ，口) b eah i g g sb u n d l eo v e rm i f ( e 口) i sa n a l y t i cs t a b l et h e ni ta d m i t sah e r m i t i a n - e i n s t e i nm e t r i cho ne t h ei d e at op r o v i n gt h ea b o v et h e o r e mc o m e se s s e n t i a l l yf r o mf 2 2 ，b u t s e v e r a ln e wa r g u m e n t sa r en e e d e d a c l n o w l e d g e m e n t 这个研究报告是在华师太博士后期间研究工作的一部分。 本希望用汉语写：这一部分的工作纪录了大约二年时间里在复几何这一数学领域的读书 与收获的点滴。 在此感谢华师大数学系提供了一个比较平静的环境得以读书与工作。特别的感谢数 学系几何组和方程组代数几何组的老_ 啦和同学们；因为有太多的名字，恕不一一列出代 数的范畴与k ，h c o r r e s p o n d e n c e 会有报大的一座桥粱；希望在不久的未来多多穿梭这 两边的数学天地。 a c k n o w l e d g e m e n t t h ea u t h o rw o u l dl i k et ot h a u kp r o f e s s o rj i a y ul i f o ri n t r o d u c i n gh i mi n t ot h ep r e s e n tr e s e a r c hf i e l d ，a l s of o rh i se n c o u r a g e m e n t a n dm a n yu s e f u ld i s c u s s i o n 1p r e p a r a t i o n sa n db a s i cm a t e r i a l 1 1 h e r m i t i a ng e o m e t r y m o s to ft h em a t e r i a li nt h i ss e c t i o ni ss t a n d a r d a ti e a s tf o rk f i h l e rm a n i - f o l d s ( 【1 3 l ，【1 7 l ， 2 2 1 ，跚】，1 3 1 ) ( 1 1 0 ) l e tmb ea ( c o m p a c t ) c o m p l e xm a n i f o l do fd i m e n s i o nm b y a 4 ( m ) r e s p a ”( m ) w ed e n o t et h es p a c eo fd i f f e r e n t i a lc o m p l e xk - f o r m sr e s p f o r m so f t y p e ( n s ) o n m f o r 口 ( f ) a n da l lr + s = 七w ed e f i n e s f o r m s 矿，。a ”( m ) b yo = r + _ a r p t h ec o m p l e xe x t e r i o ra l g e b r ao fm i s 3 以+ ( m ) = o i _ - 2 0 a ( m ) t h e r ei san a t u r a lc o m p l e xc o n j u g a t i o n i na ( m ) ， m a p p i n ga ”( m ) t oa ”( m ) ，a n da no p e r a t o r ：a + ( m ) - + a + ( m ) i sc a l l e d r e a l i f 妒( a ) = ( o ) f o r a l la a ( 瞄) t h eu n d e r l y i n ga l m o s tc o m p l e xs t r u c t u r ei nmi sad i f f e r e n t i a le n d o m o r - p h i s mjo ft h er e a lt a n g e n t i a lb u n d l et ms a t i s f y i n g 一= - i 曲m w ee x t e n d i tt ot h ec o m p l e x i f i c a t i o nt c ( 村) = t mocb yc o m p l “l i n e a r i t y ，a n dd e n o t e t h ei n d u c e do p e r a t o ri na + ( m ) a g a i nb yj w ea l w a y sc h o o s et h es 咖o fjf o r w h i c ha o ，1i st h ee i g e n s p a c ei na 1 ( m ) c o r r e s p o n d i n gt ot h ee i g e n v a l u e + 一1 o f ，t h i s m e a n s t h a t f o ra a 1 ( m ) i th o l d s 口。：= j ( a ) = 一 可( 口1 ，o a o ，1 ) o b s e r v et h a tja c t st r i v i a l l yo na “7 ( m ) n o wl e t 口b eah e r m i t i a nm e t r i ci nm ，i e i nt h et a n g e n tb u n d l et m w i t hr e s p e c tt oc o m p l e xc o o r d i n a t e sz = ( = l ，z m ) i nm ，t h ee x t e n s i o no fg t ot h ec o m p l e x i f i c a t i o nt c ( m ) c a r lb ew r i t t e n 9 = 玑r d z 。d w i t hap o s i t i v ed e f i n i t eh e r m i t i a nm a t r i x0 一t h ea s s o c i a t e dk 湖a l e rf o r mo f 9 i sd e f i n e db y 岫：一；i n l ( 9 ) = 孚g k r d z 砂 i ti sar e a l ( 1 ，1 ) 一f o r m ，a n dt h e2 m - f o r m v o l g - 翥嵋 i st h es t a n d a r dv o l u m ef o r l no fm t h el e f s c h e t zo p e r a t o ra s s o c i a t e dt o9i sd e f i n e da sf o l l o w s ， 岛：a + ( m ) - 4a + ( m ) ，o - 4n a w g ， m a p p i n ga ( m ) t oa + 2 ( m ) t h ec o n t r a c t i o no p e r a t o r ：a + ( m ) - + ( m ) i st h eg - a d j o i n to fl 9i nt h ef o l l o w i n gs e n s e ；f o ra l l 口a 。( 吖) ，b a 一2 ( m ) a n do m i th o l d s g ( ( a 口( d ) ( ) ，6 ( 。) ) = 9 ( 口( z ) ，岛( 6 ) ( z ) ) w h e r en o wgd e n o t e st h ei n d u c e di n n e rp r o d u c to nc o v e c t o r s m a p sa ”( m ) t oa 一1 ”1 ( 肘) ，a n db o t hl na n da 口a r er e a lo p e r a t o r s o n eh a s a 口口) = m ， 4 a n d f o ra n ya a 2 ( m ) i th o l d s l 于一1 ( 口) = 鬲1a ，( 口) 岬= ( m 一1 ) ( 口) v o l 口 t h em e t r i cgt o g e t h e rw i t ht h en a t u r a lo r i e n t a t i o ni nm ( g i v e nb yt h e c o m p l e xs t r u c t u r e ) i n d u c e dt h eh o d g e + - o p e r a t o r + = g ：a ( m ) - a ( m ) ， w h i c hi sar e a lo p e r a t o rc h a r a c t e r i z e db yt h er e l a t i o n o a 柏= g ( u b ) v o l 9 f o ra l ln ，b a + ( m ) i td e f i n e si s o m o r p h i s m s ( a sc - l i n e a rm a p s ) f o ra 。( 肘) t oa 2 ”一( m ) ，a n df r o ma ”( m ) t oa “- i , m - r ( m ) w en o wl i s ts o m eu s e f u l r e l a t i o n sf o rt h e 一o p e r a t o r f i r s tw eh a v e 十( m ) = ( 一1 ) i d a _ l l f ) t h eo b v i o u sr e l a t i o n + 12 v 叫口l s 且s p e c i a lc a s eo f + 蝣= 志叩 f o ra a 1 ( m ) i th o l d s + 8 2 而与叼。( j ( a ) ) ， w h i c hm e a _ i l s 材 o 一晶一。 四- i ts 一= 晶拶憎。 i np a r t i c u l a rw eg e t a l , o 2 v o l a = g 1 0 a $ 孤= 晶一，0 孤 四。1 ( s i m i l a r l yf o ra 0 1 ) ，a n dw eh a v e v r z l a o ( 0 1 0 i i 耶) = l a l , 0 1 2 ，、：_ a 口( n o ，1a ：万) = 一l u o ，1 1 2 f i n a l l yw es t a t eo n ef o r m u l af o r2 - f o r m s + 工一1 ( 口) = ( m 一1 ) ! a 9 ( b ) f o rd a 2 ( 肘) n o wl e teb ead i f f e r e n t i a b l ec o m p l e xv e c t o rb u n d l eo fr a n kro nm a n d d e n o t eb ya p ( e ) r e s p a 1 ( 司t h es p a c eo fd i f f e r e n t i a b l ep - f o r m sr e s p f o r m s 5 o ft y p e ( r ，s ) o nmw i t hv a l u e si ne t h eo p e r a t o r s “，a 9a n d e x t e n dt o t h e s es p a c e sb ya c t i n go nt h ef o r mc o m p o n e n t l e thb eah e r m i t i a nm e t r i ci n e ，i te x t e n d s t o h ：a ( e ) a 。( e ) - a p - f q ( f ) ，h ( a os ，卢o t ) ：= h ( s ，t ) d a 声 f o r 且( f ) ，口a q ( m ) ，s ，t a 。( e ) ，a n dw eg e tap o i n t w i s ei n n e rp r o d u c t i na ( e ) ，a l s od e n o t e db y 口，b y 口( n o8 ，卢圆c ) ：= 口( 口，卢) ( 8 ，c ) t h ea s s o c i a t e dn o r n li sa g a i nw r i t t e n t h ed i s c u s s i o na b o v ea p p l e sa l s oi n t h i sc o n t e x t ，i np a r t i c u l a r ，f o r 口b a ( 层) i th o l d s a n d f o r a a 0 , 1 ( e ) w e h a v e h ( a ，曲) = 9 ( n ，b ) v o l g 正_ a 口( ( 口，口) ) = l a l 2 i fn + d e n o t e st h eh - a d j o i n to f8 a ( e n d e ) ) t h e n i o p v o ! o = t r ( aa + d ) n o t et h a to a 7 ( e n d e ) i f8ea 7 r ( e n d e ) h e n c ef o rn a 1 , 0 ( e n d e li t h o l d s = ：- a g t r ( a a ) f i n a l l yo b s e r v et h a ta ，a n d + o r er e a lo p e r a t o r so na ( e n d e ) ，i nt h es e n s et h a t f o ra a p ( e n d e ) o n eh a s ( 矿) = ( a 口( 8 ) ) + ， ( 口) = ( + o ) + ( 1 1 1 ) d e f i n i t i o n ：ac o n n e c t i o ni nei saf i r s to r d e rd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s a t i s f y i n gt h el e l b n i zr u l e d ：a o ( e ) - 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