（基础数学专业论文）一类单圈图极小能量的研究.pdf

一类单圈图极小能量的研究 ； 摘要 图的能量用e ( g ) 表示，它等于g 的所有特征根的绝对值之和 令r e ( g ；k ) 表示图g 的k 匹配数，其中舡匹配为；图g 的包含k 条边并且任 意两条边不相邻的边集合 基于一个图g 的k 一匹配数，g u t m a n 和z h a n g 提出了两个图的偏序关系， 即：对于两个图g 1 和g 2 ，如果r e ( g 1 ；k ) r e ( g 2 ；后) ( 詹0 ) 则，g 1 三g 2 这种偏 序关系对比较图的h o s a y a 指标和图的能量具有非常重要的作用近几年关于图的 能量的研究尤其是图的极值能量已得到了如下重要结果【1 1 2 l ； _ 1 ) 具有许多悬挂点树的最大能量 ：2 ) 给定悬挂点数目单圈图的最小能量 3 ) 给定直径的树的最小能量 ：4 ) 具有双正六边形链结构的最小能量 5 ) 给定二部结构树的能量的序 6 ) 具有k 个悬挂点树的最小能量 7 ) 给定最大度树的极值能量 8 ) 单圈共轭分子图的最小能量 。9 ) 单圈图能量的序 1 0 ) 二部单圈图的最大能量 1 1 ) 给定二部结构的二部单圈图的最小能量 1 2 ) 圈3 - 正则图的最小能量 其他有关能量的结果参阅文献【1 6 2 0 ，2 7 2 8 ，3 6 5 2 】 令g = ( y ( g ) ，e ( g ) ) 表示顶点集为y ( g ) ，边集为e ( g ) 的图，其中顶点数他= i v ( c ) l ，边数g = i e ( g ) i ，如果= n ，那么称g 为个，n ) 图 为方便起见，令肛n 表示连通的( 佗，n ) 图的集合 用以表示圈- r - 正则( n ，几) 图的集合即。藤= g 脚肛( z ) = n z y ) ) 其 中q 是图g 的唯一的圈，d ) 为点x 的度 本文主要讨论圈3 - 正则( 佗，n ) 图的能量，对于单圈( n ，n ) 图，已经刻画了取得 最小，次小及第三小能量的图，分别为：砩( 如图( 7 ) ) ，畿( 如图( 8 ) ) ，碍( 如图( 9 ) ) ， 而对于单圈( n ，他) 图中的圈卜正则( n ，礼) 图到目前为止，只刻画了当r = 3 时，取 得最小能量的图即。c 詈( 1 ，1 ，1 ) & 一5 ( 如图( 1 ：) ) 1 本文的主要研究工作就是继续讨论此类图当r = 3 时取得次小与第- - = d , 能量的 图从而刻画在弘袅图族中取得能量次小与第三小的图，对应的图分别为( 图4 ) 和如( 图2 ) 关键词：图的特征多项式；特征值；图的能量；匹配；圈3 - 正则图 2 s e c o n da n dt h i r dm i n i m a le n e r g i e so na -_ _ c l a s so lu n i c y c l i cg r a p h s a b s t r a c t t h ee n e r g yo fag r a p hg ，d e n o t e db ye ( g ) ，i sd e f i n e dt ob et h es u n lo fa b s o l u t e v a l u e so fa l le i g e n v a l u e so fg 1 e tr e ( g ；k ) i st h en u m b e ro fk - m a t c h i n g so fg a ns - m a t c h i n go fag r a p hgi sa s u b s e tm o fi t s 甜g es e tw i t ht h ep r o p e r t yt h a tl m i = ka n dmc o n t a i n sn ot w oe d g e s s h a r i n gac o m m o nv e r t e x b a s e do nt h en u m b e ro fk - m a t c h i n gr e ( g ；k ) o fag r a p hg ，g u t m a na n dz h a n g i n t r o d u c e da l lo r d e rr e l a t i o n 卜o fg r a p h s ：f o rg r a p h sg 1a n dg 2 ，g x 兰g 叠i fr e ( g 1 ；石) m ( 岛；k ) f o ra l lk t h eo r d e rr e l a t i o nh a si m p o r m a n ta p p l i c a t i o n si nc o m p a r i n gh o s a y a i n d i c e sa n de n e r g i e so fm o l e c u l a r a p h sa n di th a sb e e nw i d d ys t u d i e db ym a n ys c h o l a r s t od e t e r m i n et h eg r a p hw i t he x t r e m a le n e r g i e sa m o n gag i v e nc l a s so fg r a p h s u pt on o w ，t h eg r a p hw i t he x t r e m a le n e r g i e s ，h a sd e t e r m i n e dm a n yi m p o r t a n tr e s u l t s f o re x a m p l e 【l - 1 2 】： ( 1 ) o nt h em a x i m a le n e r g ya n dh o s a y ai n d e xo fat y p eo ft r e s sw i t hm a n yp e n d a n t v e r t i c e s ： ( 2 ) u n i c y c l i cg r a p h sw i t hg i v e nn u m b e ro fp e n d a n tv e r t i c e sa n dm i n i m a le n e r g y ( 3 ) o nm i n i m a le n e r g i e so ft r e s so fap r e s c r i b e dd i a m e t e r ( 4 ) d o u b l eh e x a g o n a lc h a i n sw i t hm i n i m a le n e r g y ( 5 ) o r d e r i n go ft r e s sw i t hag i v e nb i p a r t i t i o nb yt h e i rn e n r g i e sa n dh o s a y ai n d i c e s ( 6 ) m i n i m u me n e r g yo nt r e s sw i t hkp e n d e n tv e r t i c e s ( 7 ) o nt h ee x t r e m a le n e r g i e so ft r e s sw i t hag i v e nm a x i m u md e g r e e ( 8 ) o nu n i c y c l i cc o n j u g a t e dm o l e c u l e sw i t hm i n i m a le n e r g i e s ( 9 ) e n e r g yo r d e r i n go fu n i c y c l eg r a p h s ( i o ) b i p a r t i t eu n i e y e l i cg r a p h sw i t hg r e a t e s te n e r g y ( 1 1 ) m i n i m a le n e r g yo fb i p a r t i t eu n i c y c l i cg r a p h so fag i v e nb i p a r t i t i o n ( 1 2 ) c y c l e - 3 - r e g u l a rg r a p hw i t hm i n i m a le n e r g y p l e a s er e f e rt od o c u m e n t 【1 6 2 0 ，2 7 2 8 ，3 6 5 2 】a b o u to t h e rr e s u l t s 3 l e tg = ( y ( g ) ，e ( g ) ) d e n o t eag r a p hw h o s e s e to fv e r t i c e sa n ds e to fe d g e sa r ev ( c ) a n de ( g ) b yna n d w ed e n o t et h en u m b e ro fv e r t i c e sa n de d g e so fg ，r 贮s p e c t i v e l y f o r n = ，w ed e n o t eg 酗( n ，佗) g r a p h f o rc o n v e n i e n c e ，l e t 鲰d e n o t et h es e to f ( 佗，扎) g r a p h l e tp 二d e n o t et h es e to fc y c l e - 3 - r e g u l a r ( n ，佗) g r a p h f o re x a m p l e ，p 二= g p n i d ( z ) = ，z y ( c i ) ) w h e r eqa n dd ( x ) a r et h eu n i q u ec y c l eo ft h eg r a p ha n dt h e d e g r e eo ft h ev e r t e x i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h ee n e r g yo f ( n ，死) - g r a p h ，t h e ( n ，n ) 一g r a p hw i t hf i r s t s e c o n da n dt h i r dm i n i m u mv a l u e so fe n e r g i e sh a v eb e e np r o v e d ，t h e ya r e 畿( f i g ( 7 ) ) ， 砩( f i g ( s ) ) a n d 露( ，匆( 9 ) ) ， u p t on o w ，c y c l e - 3 - r e g u l a r - g r a p hw i t hm i n i m a le n e r g yh a sb e e np r o v e d ，i t sc 言( 1 ，1 ，1 ) 岛一5 ( f i g ( 1 ) ) ，b u tc y c l e - 3 - r e g u l a r ( 住，n ) - g r a p hw i t hs e c o n da n dt h i r de n e r g y ；l h a s n tb e e n s o i u t e d t h i sm a j o rr e s e a r c hw o r ki st od i s c u s ss u c hap l a nw h e n ，= 3t h es e c o n da n dt h e t h i r de n e r g ya n dt h ec o r r e s p o n d i n gg r a p h t ob ei nt h em 仳ig r a p h so fe n e r g yw i t hs e c o n d a n dt h i r de n e r g y , t h ec o r r e s p o n d i n gg r a p h sa r e 风a n da n k e y w o r d sl c h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a lo fg ；t h ee i g e n v a l u e s ；t h ee n e r g yo fg ； m a t c h i n g ；c y c l e - 3 - r e g u l a rg r a p h 4 第三章肛：图族中能量第三小的图 7 8 1 2 1 3 1 5 1 7 3 1 前言2 0 3 2 主要结果及证明2 3 第四章结束语 4 1 本文研究的主要工作2 6 4 2 可进一步研究的问题2 7 参考文献 5 6 i i 前言 第一章绪论 + 本文考虑的图都是有限无向的简单图 令g = ( y ( g ) ，e ( g ) ) 表示顶点集为y ( g ) ，边集为e ( g ) 的图，其中顶点数佗= l v ( c ) l ，边数= i e ( g ) i ，如果= f l , ，那么称g 为个( n ，n ) 图 由( 竹，n ) 图的定义很容易得到s 任何( n ，n ) 图包含个唯一的圈 为方便起见，令p 竹表示连通的( m n ) 图的集合 令藤表示圈一卜正则( 佗，佗) 图的集合即t 藤= g6p n i d ( x ) = r ，z6y ( q ) 其 中q 是图g 的唯一的圈，d ( z ) 为点x 的度 令g 是几个顶点( v = 口1 ，v 2 v n ) 的个图，那么图g 的邻接矩阵为n n 阶矩阵，即ta ( g ) = ( ) n n ，其中， j 1 ， 如果点耽和点相邻 。 1 0 ， 其它 图g 的邻接矩阵对应的特征多项式定义为p ( g ；z ) = d 【e t ( m a ( g ) ) = 各。啦z 俨， 其中j 为n 阶单位矩阵等式p ( g ；z ) = 0 的所有根入1 ，沁h 称为图g 的特征 根 ，i 用e ( g ) 表示个图的能量，它等于图g 的特征多项式的所有特征根的绝对值 之和，即te ( g ) = e 鍪l 队i 在化学上，共轭结构的碳氢化合物的实验热近似的等于总电子能量，并且把计 算共轭碳氢化合物所有电子能量归结为e ( g ) = 鍪1 川，其中入l ，a 2 h 为对应分 子图g 的特征根，另外图g 的能量e ( g ) 由文献【1 1 1 也可以表示为积分形式即： e ( g ) = 去e 刍1 n 【( 奏( 一- 舳z 矿甲+ ( 麦( 一，) i o a i + i x 2 i + 1 ) 2 】如 ( ) 其中t = 【利 令g 为n 个顶点的个图，对应的特征多项式为p ( g ；x ) = 器。吼z n 一 1 2 】，则 毗( g ) = s 厶( 一1 ) 七( 5 ) 2 。( 引， ： 7 其中厶为n 个顶点的s a c h s 图( 即：如果图的分支要么是鲍，要么为圈，这样的 图称为s a c h s 图) ，k ( s ) 为s a c h s 图的分支数，c ( s ) 为s a c h s 图当中所包含的圈的 个数 令； ： 玩( g ) = i 啦( g ) 1 0 = 0 ，1 ，n ) ， 则很容易得到b 2 ( c ) 等于图g 的边的个数，另外，b o ( v ) = 1 令r e ( g ；k ) 表示图g 的k - 匹配数，其中舡匹配为图g 的包含k 条边并且任意 两条边不相邻的边集合特别的，如果图g 为无圈图，那么有 b 2 k ( c ) = r e ( g ；凫) ，b 2 k + l ( g ) = 0 ，( k 0 ) 为了方便及能够前后统一，当k ( g 2 ) 那么我们记 为g 1 _ g 2 或者g 2 _ r e ( g 2 ，歹) ，那么有g 1 _ g 2 引理 3 ，4 】1 3 2 ：g l 和g 2 为两个单圈图， 1 ) 如果g t 至g 2 ，那么意味着e ( g t ) e ( g 2 ) ； ， 2 ) 如果g l - g 2 ，那么意味着e ( g 1 ) e ( g 2 ) 引理【3 ，v 3 1 3 3 ：令e = 札t ，为g 的一条边，那么g 的珏匹配定义为： r e ( g ；k ) = m ( g u 口；k ) + m ( g t 一t ，；七一1 ) 其中，k = 1 ，2 ，【虿n j ，or e ( g ；0 ) = 1 引理 1 4 , 1 5 1 3 4 ：g 1 和g 2 为g 的两个分支，则；m ( g ；k ) = 七1 + k 2 ：k i n ( g 1 ；k 1 ) m ( g 2 ；k 2 ) 引理 3 】1 3 5 ：若g 7 为g 的生成子图，则有tg 兰g ， 特别的，当g ，为g 的真子图，则有：g 卜g 7 引理【4 】1 3 6 ：令u 口为g 的一条边，则有； ： p ( g ；入) = p ( g 一乱钞；a ) p ( g t i ；a ) 一2 p ( g c ；a ) c e c ( u v ) 1 2 其中，c ( u v ) 为包含1 1 , 0 的所有圈的集合 特别的，如果u t ，是以t ，为悬挂点的悬挂边，则有： p ( g ；入) = 入p ( g t ，；a ) p ( g t 一口；入) 引理 4 11 3 7 ：g 1 和g 2 为g 的两个分支，则有： p ( g ) = p ( g 1 ) p ( g 2 ) i 引理【1 2 】1 3 8 ：当孔6 时c 詈( 1 ，1 ，1 ) & 一5 在所有的p i 图中具有最小的能量， 其中c 譬( 1 ，1 ，1 ) & 一5 在图( 1 ) 中 定理1 3 9 ：当n 9 时风在所有的以图中具有次小的能量，其中在图 ( 4 ) 中 定理1 3 1 0 ：当n 之1 1 时a n 在所有的p i 图中具有第三小的能量，其中如在 图( 2 ) 中 一 。 1 4 本文的内容安排 j 本文主要分了四个章节t ；第一章主要介绍了关于图的能量的研究状况及图的能量的由来图的能量刚开 始是近似解决丌- 电子能量问题，随着图论的发展，图的能量也得到了进步发展， 尤其是在图的能量的极值问题，许多学者已经得到了许多图的极值能量的结论 本文为了后面讨论问题方便，在第一章对图的特征，图论方面的基本知识以及 图的能量方面的知识做了简要介绍，并在此基础上，把本文主要讨论及证明的图做 了定义 在做本文之前，通过大量文献的阅读，发现在圈3 - 正则( n ，n ) 图中能量最小 的图已经刻画即：饼( 1 ，1 ，1 ，) & 一5 ，故在本文的第一章的最后一节做了介绍，从 而说明本文主要的目标是在此基础上继续刻画圈3 - 正则( mr , ) 图中能量次小与第 三小的图 本文的第二章是在圈3 - 正则( t , ，佗) 图能量最小的图已经被刻画的基础上，分别 通过引用引理并借鉴其他学者的证明方法，通过大量的计算来刻画圈& 正则( n ，佗) 图中能量次小的图 本文的第三章是在圈3 正则( n ，n ) 图能量最小的图与第二章能量次小的图已 经被刻画的基础上，分别通过引用引理并借鉴其他学者的证明方法，通过大量的计 算来刻画圈3 - 正则( 佗，n ) 图中能量第三小的图 】3 1 4 可进一 文时， 阵a ( g ) e ( g ) = 即) = 搿扣妻( - 1 ) 谢铲+ ( 奏( - i ) i g 2 i + $ x 2 i + 1 ) 2 】如 其中t = 【利 引理 1 6 2 1 1 ：图g 为n 个顶点的图，特征多项式为p ( g ；x ) = 鍪o a i x n 一那么 有 吼( g ) = y s e l i ( 一1 ) k ( 8 ) 2 c ( j ) 其中厶为具有n 个顶点的s a c h s 图的集合，g ( s ) 为s a c h s 图中所含有的分支数， c ( s ) 为s a c h s 图中所包含的圈的个数 引理【1 2 】2 1 2 ：图g 为含有圈q 的仃个顶点的单圈图，并且记u 口为图g 的 一条边，那么有。 a ) 如果伽q ，那么 玩( g ) = b i ( g u 钉) + 玩一2 ( g t 一t ，) 一2 b i l ( g a ) ( z 三o ( m o d 4 ) ) ； k ( g ) = 玩( g 一钍t ，) + b t 一2 ( 6 一u 一”) + 2 b i f ( g 一劬) ( o ( m o d 4 ) ) ； b ) 如果删不属于q ，那么 。 b i ( g ) = b i ( g u v ) + 玩一2 ( g 一仳一可) ， 特别的，如果u 口是以移为悬挂点的悬挂边，那么有 b i ( g ) = b i ( g t ，) + 玩一2 ( g 一“一口) 。 引理【9 】2 1 3 ：假设z m 佗，那么有 e ( 鼠+ 1 ，m 一1 ，n ) e ( 函，m ，n ) ；e ( s t ，m + 1 ，n 一1 ) e ( s z ，i ，n ) 1 5 e ( g ) e ( 晓f ( 1 ，1 ，1 ) & 一2 件1 ) 当且仅当g 垒咣z ( 1 ，1 ，1 ) & 一2 1 + l 时等号成立 引理f 1 2 】2 1 5 ：当z 5 ，并且佗22 1 时，有 e ( d l ( 1 ，1 ，1 ) 晶_ 2 l + 1 ) e ( c 詈( 1 ，1 ，1 ，1 ) & 一7 ) 引理2 1 6 ；当n 9 时，则e ( 风) 0 ，2 n 2 + 6 n 一1 2 0 0 ，2 7 n 2 2 4 5 n + 3 0 8 0 ，1 1 0 n 2 1 4 5 9 n + 4 6 2 6 0 ，1 6 3 n 2 2 4 4 0 n + 9 0 6 0 0 ，6 6 n 2 1 0 1 4 n + 3 8 8 4 0 ，8 n 2 1 2 4 n + 4 8 0 0 ，恒成立而且，f ( x ) 中x 的次数都为偶数，则容易得到f ( x ) 0 0 o ) 所以得到： e ( ) o ，n 0 ，则，l o g 箩：l 。g 磐一l o g - ， ： 2 ) 若，( z ) 0 ，则，j ：，( z ) 如0 ( b 口) 2 2 主要结果及证明 定理2 2 1 。当n29 时，若g u 三一锘( 1 ，1 ，1 ) & 一7 ) ，那么e ( g ) 2e ( r ) ， 当且仅当g 笺如时，等号成立 证明：令g 麻一c t ( 1 ，1 ，1 ) & 一7 分两种情形讨论： 情形1 。当g 中圈长扛3 时，通过计算， 6 0 ( g ) = b o ( 风) = 1 ；b l ( g ) = b l ( r ) = o ； b 2 ( g ) = b 2 ( r n ) = n ；b 3 ( g ) = b 3 ( ) = 2 即。6 t ( g ) = h i ( j ) ( i = 0 ，1 ，2 ，3 ) ，并且，6 ( r 竹) = 0 ( 9 isn ) 现对n 作归纳假设证明s6 ( g ) 魄( ) ( 4 i 8 ) 当他= 9 时，g 掣& l ，1 ，1 ) 或者g 笺d 9 或者g 笺a 9 或者g 垒b 9 ，通过计算得： 6 4 ( 扁) = 2 3 ；6 5 ( 风) = 6 ；6 6 ( 风) = 1 6 ；6 7 ( 凰) = o ；b s ( 硒) = 2 1 ) 当g 兰s ( a ，1 ，1 ) 时，6 4 ( g ) = 2 4 ；b s ( a ) = 6 ；6 6 ( g ) = 2 3 ；6 7 ( g ) = 6 ；b s ( a ) = 6 2 ) 当g 掣d 9 时，k ( g ) = 2 4 ；6 5 ( g ) = 6 ；6 6 ( g ) = 2 1 ；6 7 ( g ) = 2 ；6 8 ( g ) = 5 3 ) 当g 型a 9 时，6 4 ( g ) = 2 3 ；b s ( a ) = 6 ；b 6 ( g ) = 1 8 ；幻( g ) = 4 ；b s ( g ) = 2 4 ) 当g 竺b 9 时，b 4 ( a ) = 2 3 ；b s ( a ) = 6 ；k ( g ) = 1 8 ；6 7 ( g ) = 2 ；b s ( c ) = 4 综上所述，饥( g ) h i ( ) ( 4 i 8 ) ，当n = 9 时成立 令p 9 ，并且假设佗 玩( ) ( 4 i 8 ) ； 情形1 2 ：当g 笺b n 时，由上面的式子得：晚( b n ) h i ( 翰) ( 4 i 8 ) ； 情形1 3 。当g 是岛，仇t 时，由引理2 1 3 得：e ( 岛m t ) e ( r ) ，即te ( a ) e ( r n ) ； ；情形1 4 。当g 不同构a n ，g 不同构玩，且g 不同构鼠m t 时，那么g 肯定有 一悬挂点u ，它到圈q 的距离至少为3 假设与t ，相邻的点为u ，则g 一口 札：一c 言( 1 ，1 ，1 ) 岛一8 ) ，否则：g 同构取， 并且g u 一口包含c 言( 1 ，1 ，1 ) 作为它的子图，则根据归纳假设及引理2 1 2 ( b ) 有。 k ( g ) = k ( g 一口) + 6 2 ( g u t ，) 芝“( g t ，) + 6 b 4 ( 心一1 ) + 6 因为6 4 ( ) = 6 4 ( 一1 ) + 6 ，所以得：6 4 ( g ) 6 4 ( 如) ； b s ( a ) 二b s ( a t ，) + b ( g t 一u ) b 5 ( g 一钉) + 2 b ( 一1 ) + 2 ， 因为b s ( r n ) = 6 5 ( 风一1 ) + 2 ，所以得；b s ( c ) b s ( r ，1 ) ； b 6 ( a ) = 6 6 ( g t ，) + b 4 ( c 一一t ，) 6 6 ( g u ) + 6 6 6 ( 一1 ) + 6 ， 因为6 6 ( r ) = 6 6 ( 一1 ) + 6 ，所以得：b 6 ( c ) 6 ( ) ； 6 7 ( g ) = b 7 ( g 一口) + b s ( c 一乱一 ) 6 7 ( g t ，) 6 7 ( r n 1 ) ， 1 8 因为6 7 ( 如) = b t ( r 一1 ) = 0 ，所以得。6 7 ( g ) 6 7 ( ) ； b s ( c ) = 6 8 ( g 一 ) + b 6 ( v t 一t ，) b s ( a t ，) + l 6 8 ( 冗n 一1 ) + l ， 因为6 8 ( r ) = b s ( 心一1 ) + 1 ，所以得：b s ( a ) 芝b s ( r ) 综上所述，当g 砖一诺( 1 ，1 ，1 ) & 二7 ) 时，可以得到。b i ( g ) 芝b i ( r n ) ( i = 0 ，1 ，n ) ，因此得se ( g ) e ( ) ，并且只有在情形1 4 中t 当幻( g u - - 1 ) ) = 6 ，b 4 ( g - u - v ) = 6 ，b 8 ( g - u - v ) = 1 ，b 4 ( g - v ) = b 4 ( r 1 ) ，b 6 ( g - v ) = 6 6 ( 如一1 ) ，b s ( g t ，) = b s ( 凰一1 ) 时等号成立 这就意味着g 竺 情形2 ：当g 中的圈长z 4 时，由引理2 1 4 ，2 1 5 ，2 1 6 可得e ( g ) e ( ) 综上所述，可得出以下结论， 在醒图族中如为能量次小的图，凰对应的图在图( 4 ) 中 1 9 ， l l ， 如果点和点相邻 叼2 1 o ， 其它 的邻接矩阵a ( g ) g 为n 个顶点的图，入1 ，a 2 ，a n 是它的特征跟，则g 的能量定义为：e ( g ) = ，i a l i + i a 2 i + + i k l g 是个单圈图，它的唯一的圈记为q ，那么有： i _ 即) = = l f o 佃砂1 【( 萎t ( 蛳。铲+ ( 奏( - 1 ) i a 2 i + l z 2 i + 1 ) 2 】如 。 其中t ；【刭 弓i 理 1 2 3 1 1 ：g p 袅，男5 么有 e ( g ) e ( 咣t ( i ，1 - 。，1 ) 岛一2 1 + i ) 当且仅当g 笺咣z ( 1 ，1 ，1 ) 瓯一2 1 + l 时等号成立 引理【1 2 】3 1 2 ：当z 5 ，并且佗2 1 时，有 e ( 创z ( 1 ，i ，1 ) 岛_ 2 f + 1 ) e ( c 詈( 1 ，1 ，i ，1 ) & 一7 ) 引理3 1 3 ：当竹9 时，则有e ( a n ) 0 ，1 6 n 2 2 0 2 n + 5 5 0 o ，3 9 n 2 5 5 8 n + 9 3 1 o 。3 4 舻一5 7 3 n + 1 9 1 4 o ，8 舻一1 2 4 n + 4 8 0 】i 0 恒成立，且g ( z ) 中的z 的系数都为 偶数，则容易得到：g ( x ) 0 ， o ) 所以可得： e ( a n ) 0 ，9 8 n 2 一 。 1 4 1 5 n + 4 9 6 7 0 ，1 4 2 n 2 2 1 3 0 n + 7 9 3 0 0 ，6 0 n 2 9 1 8 n + 3 5 0 0 0 ，8 n 2 1 2 4 + 4 8 0 0 恒成立，且日( z ) 中的z 的系数都为偶数，则容易得到h ( x ) 0 o ) 故可得： ，- e ( a n ) 玩( a n ) ( 4 ls8 ) 当n = 9 时g 皇研，1 ，1 或g 型d 9 或g 竺b 9 通过计算： b , ( a 9 ) = 2 3 ；6 5 ( a 9 ) = 6 ；b 6 ( a 9 ) = 1 8 ；b t ( a 9 ) = 4 ；b s ( a 9 ) = 2 1 ) 当g 笺s ( 1 ，1 ，1 ) 时，6 4 ( g ) = 2 4 ；b s ( a ) = 6 ；b 6 ( a ) = 2 3 ；6 7 ( g ) = 6 ；b s ( a ) = 6 2 ) 当g 竺d 9 时，b 4 ( c ) = 2 4 ；b 5 ( g ) = 6 ；b 6 ( g ) = 2 1 ；6 7 ( g ) = 2 ；6 8 ( g ) = 5 3 ) 当g 垡b 9 时，6 4 ( g ) = 2 3 ；b s ( g ) = 6 ；b 6 ( g ) = 1 8 ；6 7 ( g ) = 2 ；6 8 ( g ) = 4 综上所述，玩( g ) 2 玩( 如) ( 4 i 8 ) ，当n = 9 时成立 令p29 并且假设n e ( a n ) 成立，现在考虑当n = p ， 由引理2 1 1 可得： 6 4 ( a n ) = o n 一3 1 ，6 5 ( a n ) = 2 n 一1 2 ，6 6 ( a 竹) = 7 n 一4 5 ，6 7 ( a n ) = 2 n 1 4 ，6 8 ( a 。) = 他一7 ，6 4 ( a n 一1 ) = o n 一3 7 ，k ( 厶一1 ) = 2 n 一1 4 ，6 6 ( a n 一1 ) = 7 n 一5 2 ，幻( a 付一1 ) = 2 n 一 1 6 ，6 8 ( a n 1 ) = 扎一8 以下分三种情况进行讨论s 情形1 1 。当g 竺b n 时，由引理3 1 3 得：e ( b n ) e ( 厶) 即s ( a ) e ( a n ) 情形1 2 ：当g 竺岛，m ，t 时，由引理2 1 3 得；e ( & m t ) e ( a n ) 即e ( a ) e ( a n ) 情形1 3 ：当g 不同构b n ，且g 不同构岛，m ，t 时，g 肯定有个悬挂点u ，它 到圈上的距离至少为3 假设与口相邻的点为t ，则g 一可 碟一c g ( 1 ，1 ，1 ) 岛一8 ) ，否则g 同构玩，并 且g 一心一口包含饼( 1 ，1 ，1 ) 岛作为它的子图，则根据归纳假设及引理2 1 2 ( b ) 得： k ( g ) = k ( g t ，) + 6 2 ( g u 一移) 芝6 4 ( g u ) + 726 4 ( 厶一1 ) + 7 ， 因为，b 4 ( a 竹) = b 4 ( a n 一1 ) + 6 ，所以得。b 4 ( a ) 之b 4 ( a 。) ； b s ( c ) = b s ( c t j ) + 6 3 ( g 一珏一t j ) + b 5 ( g t ，) + 2 之b s ( a n 一1 ) + 2 ， 因为，6 5 ( 如) = b s ( a n 一1 ) + 2 ，所以得。b s ( a ) 之b s ( a n ) ； 6 6 ( g ) = 6 6 ( g 一钉) + b 4 ( g u t ，) b 6 ( g t ，) + 1 1 6 6 ( a n 一1 ) + 7 ， 因为，b 6 ( a n ) = 6 6 ( 厶一1 ) + 7 ，所以得：b 6 ( c ) k ( 如) ； 6 7 ( g ) = b t ( a 一可) + b s ( g t 一t ，) 之6 7 ( g 一口) 6 7 ( a n 一1 ) + 2 ， 因为，b r ( a n ) = b ( a n 一1 ) + 2 ，所以得； 6 7 ( g ) 幻( 厶) ； 6 8 ( g ) = 6 8 ( g 一秽) + 6 6 ( g 一缸一t ，) b s ( c 一口) + 4 6 8 ( 厶一1 ) + 4 ， 因为，b s ( a n ) = b s ( a 舻1 ) + 4 ，所以得：b s ( a ) 6 8 ( 如) 综上所述，当g 旌一c 詈( 1 ，1 ，1 ) & 一7 ；如) 时，可以得到。 b i ( g ) b i ( a n ) g = 0 ，1 ，佗) ， 因此得；e ( g ) e ( 厶) ，并且只有在情形1 3 中。 当6 5 ( g 一札一口) = 2 ，b e ( g u 一影) = 4 ，b 4 ( g v ) = b 4 ( a n 一1 ) ，b 6 ( g t ，) = b 6 ( a 竹一1 ) ，b s ( a t ，) = b s ( a n 一1 ) 时，等号成立 这就意味着g 竺a 几 情形2 ：当g 中的圈长l 4 时，由引理3 1 1 ，3 1 2 ，3 l 3 ，3 1 4 可得e ( c ) e ( a n ) 综上所述，可得出以下结论t 在碡图族中如为能量第三小的图，如对应的图在图( 2 ) 中 到此为止，可得到以下结论； 在p 暑图族中心和a n 分别为能量次小与第三小的图，风和如对应图分别 为：图( 2 ) 和图( 4 ) 4 1 本文研究的主要工作 第四章结束语 本文：是在圈一3 正则，n ) 图族中能量最小的图已经刻画的基础上，对圈3 - 正 则( 礼，n ) 图族中能量次小与第三小的图做了进一步的讨论 本文通过对s a c h s 图相应知识的学习以及两个图能量比较方法的掌握，结合积 分的知识，通过计算比较两个图的阮( g ) 以及图的能量积分式中的系数，对圈3 - 正 则( 他，n ) 图中的特殊的图进行了比较，主要有以下内容： 1 ) 3 圈孓正则( 他，他) 图内部的比较，即：a n ，巩，凰，岛m n 的比较 2 ) 3 圈- 3 _ 正则( 礼，佗) 图与4 圈一3 - 正则( 托，n ) 图的比较，即：a n 与c t ( 1 ，1 ，1 ，1 ) 鼠一7 ；巩与c 譬( 1 ，1 ，l ，1 ) 岛一7 的比较 综上所述，从而得到了当r = 3 时，圈3 正则( 佗，n ) 图族中能量次小与第三小 的图 4 2 可进一步研究的问题 本文主要是继圈- r 一正则( 佗，n ) 图当r = 3 时能量最小的图被刻画的基础上，对 圈r - 正则( 扎，他) 图，在当r = 3 时进行了进步的讨论，对于r 4 时，圈一r 正则 ( 佗，n ) 图尚未讨论，故当r 4 时，此类图的能量的极值问题可做进一步的研究，与 此同时，本文在讨论圈卜正则( n ，n ) 图时，通过图的b i ( g ) 以及图能量的积分形式 的比较，对图( 1 0 ) 中的( n ) ，( 6 ) ，( c ) ，( d ) 四个图能量的大小关系可解决( a ) 与( b ) ，( 口) 与( c ) ，( b ) 与( c ) ，( c ) 与( d ) ，能量的大小关系，而对于( 口) 与( d ) ，( b ) 与( 回， 能量的大小关系尚未解决，故此问题也可做进一步的研究 【9 】 f l o 】 【1 1 】 【1 2 1 【1 3 】 f 1 4 1 f 1 5 】 a i m e i y u ，x u e z h e n g l v ，m i n i m u me n e r g yo nt r e e sw i t hkp e n d e n tv e r t i c e s l i n e s ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s4 1 8 ( 2 0 0 66 2 5 - 6 3 3 ) w e n s h u i l i n ，x i a o f e n g g u o h a o h o n g l i ，o nt h ee x t r e m a le n e r g yo f t r e e sw i t hag i v e nm a x i m u md e g r e e c o m m u n i c a t i o n si nm a t h e m a t i c a la n di n c o m p u t e rc h e m i s t r y 5 4 ( 2 0 0 5 ) 3 6 3 - 3 7 8 x u e l i a n g l i ，j i a n b i n z h a n g ，b o z h o u ，o nu n i c y e l i cc o n j u g a t e dm o l e c u l e s w i t hm i n i m a le n e r g i e s j o u r a lo fm a t h e m a t i c a lc h e m i s t r y ( 2 0 0 6 ) a n i a nc h e n ，a nc h a n g ，w a ic h e es h i u ，e n e r g yo r d e r i n go fu n i c y c l eg r a p l l s c o m - m u n i c a t i o n si nm a t h e m a t i c a la n di nc o m p u t e rc h e m i s t r y 5 5 ( 2 0 0 6 ) 9 5 - 1 0 2 i v a ng u t m a n ，y a o p i n gh o u ，b i p a r t i t e - u n i c y c l i eg r a p h sw i t hg r e a t e s te n e r g y c o m m u n i c a t i o n si nm a t h e m a t i c a la n di nc o m p u t e rc h e m i s t r y 4 3 ( 2 0 0 1 ) 1 7 - 2 8 f l ia n db z h o u ，m i n i m a le n e r g yo fb i p a r t i t eu n i c y c l i cf a p l l sq fag i v e n b i p a r t i t i o n m a t c hc o m m u n m a t h c o m p u t c h e m 5 4 (