“构造法”在高中数学解题中的应用

“构造法”在高中数学解题中的应用高中阶段，数学知识之间有着紧密的联系.对于一些棘手的数学问题，教师可以引导学生，认真地观察题目特征，研究题目特点，展开丰富的联想，跳出常规的思路，创造性地建构恰当的“载体”，从完全不同的角度，分析和解决问题,揭示数学知识之间的内在联系，培养学生的发散思维，在解决问题的过程中发现和感受数学之美.现举例说明：一、构造向量模型例1(2009年宿迁第一次调研)已知函数y=3x+1+2-x，则其最大值是.分析此题常规方法是采用换元法，即注意到函数中(x+1)+(2-x)=3,先设t=x+1,则2-x=3-t,函数化为y=3t+3-t(0t3),令t=3sin202,函数转化为y=3sin+3cos=23sinx+623.但此过程繁琐，不够简捷.若构造向量做载体，本题可获更优美的解.解设a=(3,1)，b=(x+1,2-x),则f(x)=ab,注意到|a|=2,|b|=3，f(x)mn|m|ncosm，n|m|n|=23.例2已知:a,br+,a+b=1.求证:2a+1+2b+122.分析本题常规的解题方法是分析法，或基本不等式，但都缺乏新意.证明设m=(1,1),n=(2a+1,2b+1)，则左边=mn|m|n|=22=右边.证毕.评注建构“向量”的数量积模型,可方便地解决一些函数中的最值问题或不等式证明题.二、构造线性规划模型例3（2008年浙江高考17）若a0,b0,且当x0,y0，x+y1时，恒有ax+by1,则以a,b为坐标点p(a,b)所形成的平面区域的面积等于.分析这是2008年浙江高考第17题，难度较大.多数人将此题定义为恒成立问题，因此采用等价转化的策略解题,但是很难说清楚.换个思路，构造线性规划模型，思维和运算难度会有明显降低.首先,将原题换一种表达方式：若x,y满足x0,y0,x+y1.当a0,b0恒有ax+by1，则以a,b为坐标点p(a,b)所形成的平面区域的面积等于解当0时，0a1.当00当x0,y0，x+y1时，恒有ax+by1,等价于右图中abc内无任何点在直线上方令x=0，得y=1b，令y=0,得x=1a.只需1b1,1a1.解得0a1，01.综上：0b1,0a1，所以面积为1.评注含有双变量的一次不等关系，往往隐藏着线性规划模型.三、构造函数模型例若x,y,z(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1.分析要用不等式的方法证明此题较难.多数情况下，构造边长为1的等边abc，利用sadf+sbde+scefsabc,即34x(1-z)+34y(1-x)+34z.(1-y)34证明.其实，仔细观察后会发现x(1-y)+y(1-z)+x(1-x)是关于x的一次函数，因此构造函数解题更方便.解设f(x)=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=(1-y-z)x+y-yz+z-1(0x1).于是原题等价于f(0)1且f(x)1.f(0)=y-yz+z-1=-(1-z)(1-y)0(y,z(0,1)，f(1)=1-y-z+y=yz+z-1=-yz0,即有f(x)0,原不等式得证.四、构造几何图形模型例6（2009年江苏高考18）在平面直角坐标系xoy中，已知圆c1：(x+3)2+(y-1)2=4和圆c2:(x-4)2+(y-5)2=4.（1）若直线l过点a(4,0)，且被圆c1截得的弦长为23，求直线l的方程；（2）设p为平面上的点，满足：存在过点p的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆c1和圆c2相交，且直线l1被圆c1截得的弦长与直线l2被圆c2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点p的坐标.分析第（2）题，若按代数方法求解，运算量很大，因此，出错的概率也较高.本题若另辟蹊径，构造平面几何图形，解题给人对称的美.解构造以c1,c2为对角线的正方形pc1pc2，得pc1=pc2.过点p任作互相垂直的线段pa，pb交圆c1和圆c2于点a，b.当pa，pb过圆心时,弦长都是直径长4.否则：pac1pac2.所以弦心距c1m1=c2m2.由圆的几何性质知:ac=bd.设p（x,y），由pc1=pc2，pc1pc2建立方程组，解得点p坐标为-32,