（基础数学专业论文）函数跳跃值的确定.pdf

函数跳跃值的确定 摘要 全文包含三章 第一章概述 第二章讨论利用集中因子法根据f o u r i e r 系数确定周期函数在简单间 断点处的跳跃值一般的集中因子法是1 9 9 9 年由a g e l b 和e t a d m o r 引 入的q l s h i 和x l s h i 对他们的结果作了较大改进这些结果都假设 函数满足弱光滑性条件1 9 7 2 年和1 9 9 8 年b i g o l u b o v 【2 1 和g k v e r n a d z e f 4 】分别对属于k 扫1 ) 和h b v 类中的函数就特殊形式的集中因子法证 明了确定跳跃值的收敛定理本文中我们考虑比上述两个广义有界变差 函数类更广的函数类h b m v 和一般的集中因子法建立了更好的判别定 理根据得到的结果写成的论文【1 1 】已被a c t am a t h h u n g a z ( s c i ) 所接 受，即将发表 在第三章中我们对非周期函数讨论函数跳跃值的确定我们证明对 于m a l v a r - c o i f m a n - m e y e r 共轭小波也可以建立l u k a c s 型等式并且还对满 足弱光滑性假设的函数建立了几个不同类型的集中因子判别定理，通过 对h i l b e r t 变换交换子的研究解决了共轭小波没有明显表达式的困难，得 到了比较理想的结果根据这些结果写成的论文f l7 1 已投s c i 杂志 关键词：跳跃值，集中因子法，a b e l - p o i s s o n 平均，共轭小波 函致跳跃值的确定 a b s t r a c t t h et h e s i si n c l u d e st h r e ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri sa ni n t r o d u c t i o n i nc h a p t e r2w ed m c n s e c dc o n c e n t r a t i o nf a c t o rm e t h o df o rd e t e r m i n a t i o no f j u m p so fp e r i o d i cf u n c t i o n sa tt h e i rs i m p l ed i s c o n t i n u i t i e s g e n e r a lc o n c e n t r a t i o n f a c t o rm e t h o dw a f ti n t r o d u c e db yg e l ba n dt a d m o r 【5 i n1 9 9 9 t h e ye s t a b l i s h e da c r i t e r i o no nc o n c e n t r a t i o nf a c t o r s l a t e r ，q l s h ia n d x ls h if 6 】p r o v e d i m - p m v e m e n t i nt h e s er e s u l t st h ef u n c t i o n sa r ea s s u m e dt os a t i s f yaw e a ks m o o t h n e s s c o n d i t i o n v i as p e c i a lc o n c e n t r a t i o nf a c t o r sg o l u b o v 【2 】a n dk v e r n a d z e 【4 】e s t a b - l i s h e dc o n v e r g e n c et h e o r e m so nd e t e r m i n a t i o no fj u m p sf o rf u n c t i o n si nt h ec l a s s k ，( p 1 ) a n dc l a s sh b v ，r e s p e c t i v e l y i nt h i sc h a p t e rw ec o n s i d e r e df u n c t i o n s i nm o r eg e n e r a lc l a s sh b m va n dm o r eg e n e r a lc o n c e n t r a t i o nf a c t o r s o u rt h e o r e m i m p r o v e dr e s u l t so b t a i n e db yg o l u b o va n dk v e m a d z e t h i sp a r tw i l lb ep u b l i s h e d o nt h ej o l l l 2 1 a l ”a c t am a t h h u n g a r ” i nc h a p t e r3w ed i s c u s s e dd e t e r m i n a t i o no fj u m p sf o rn o n - p e r i o d i cf u n c t i o n s w e p r o v e d t h e e q u 且l i t y o f l u k a c s t y p e f o r m a l v a r - c o i h n a n - m e y e r c o n j u g a t e w a v e l e t s f u r t h e r m o r ew ee s t a b l i s h e ds e v e r a lc r i t e r i ao nc o n c e n t r a t i o nf a c t o r sf o rf u n c t i o n s t h a t 昭t i s 旬rw e a k - s m o o t h n e c o n d i t i o no fd i n it y p e t h eh i l b e r tt r a n s f o r mo f m c mw h v e l e th a s1 1 0o b v i o u se x p r e s s i o n b yt h es t u d yo fh i l b e r tc o m m u t a t o r sw e s o l v e dt h i sd i f f i c u l t ya n de s t a b l i s h e ds e v e r a lc r i t e r i ao i lc o n c e n t r a t i o nf a c t o r s t h i s p a r tw a sa l s os u b m i t t e dt 0aj o u r n a lo fs c i k e yw o r d s ：j u m p s ，c o n c e n t r a t i o nf a c t o r s ，a b e i - p o i s s o nm o a n ，c o n j u g a t e s e r i e s i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名：宅国兰0 年广月弓7 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 铷荟、 蚴乞 日期：。) 年 月77 日 日期：7 年f 月3 j 日 ， 函数雕跃值的确定 第一章概述 自从f o u r i e r 于1 8 0 7 年运用了三角级数和三角积分来求解热传导方 程开始，f o u r i e r 分析便显示着广阔的应用前景此后，d i r e c h l e t ，r i e m a n ， l i p s c h i t z 以及j o r d a n 极大地发展了f o u r i e r 命名的级数理论，扩大了f o u r i e r 分析的应用范围，使得这一理论成为研究周期现象不可缺少的工具 边界探测是调和分析与小波理论应用中的重要课题，寻求函数的第一 类间断点且计算在间断点处函数的跳跃值是边界探测实践的主要依据 而f o u r i e r 分析的思想和方法在求跳跃值这一问题上发挥了重要的作用 早在1 9 2 0 年，f l u k a c s 【1 】就已经指出了用f o u r i e r 共轭部分和序列 来求函数跳跃值的可行性若以蟊( ，z ) 表示周期为2 丌的可积函数，的 f o u r i e r 共轭级数的第n 部分和，f l u k a c s 证明了 拽一三訾叫n t p m ，l 。 这里噍( ，) = l i 驰卅【，( + t ) 一d 吣一t ) 】为函数，在 处的跳跃值用这个方 法求跳跃值的收敛速度为o ( 1 l n n ) 这是一个相当慢的速度，不适合应 用为了提高收敛速度，b i g o l u b o v 【2 】和g k v e r n a d z e 【4 】用共轭级数部 分和的其他方法得到了跳跃值，分别对f k 和h b v 类作了相应的判别 定理在1 9 9 9 年，a g e l b 和e t a d o r 【5 】引入了集中因子法设口( z ) 是 【0 ，1 】上的连续函数，考虑带因子a ( t 加) 的共轭部分和序列 两( 加) ：= e 口( ：) ( 鲰s i n k z b k c o s k x ) k = l 。 若在第一类间断点处成立l i 。磊( ，f ) = 噍( ，) 则称p ( ：) 蹦，。；n = l 玉。 为，在点处的集中因子在【5 】5 中他们在对，加了弱光滑性条件下建立 了集中因子判别法但是对一( z ) 的假设比较强2 0 0 6 年，石棋玲和旋成 一1 硕士学位论文 亮在1 6 中减弱了对集中因子一( 。) 的限制，用较弱的条件证明了较强的结 果 本文的目的是进一步探讨用f o u r i e r 共轭级数确定函数在第一类间断 点跳跃值的集中因子法 在第二章中，我们讨论了调和有界平均变差函数类( 即h b m v ) 跳跃 值的确定，建立了相应的判别定理由于k 主h b v 主h b m v ，所以我们的 结果包含且改进了b i g o l u b o v 和g k v e m a d z e 的结果，并且将q l s h i 和x l s h i 【6 】中的弱光滑条件转化为了广义有界变差条件另外对【6 】中 引入的a b e l - p o i s o n 型集中因子，也建立了相应的判别定理这部分内容 选自 1 1 】它即将发表在a c t am a t h h u n g a r ( s c i 杂志) 上 第三章选自 17 】，讨论了非周期函数跳跃值的确定我们是以m a l v a r - c o i f m a n - m e y e 小波为基来讨论的解决了对窗口函数 嘶 与局部余弦基 乘积作h i l b e r t 变换运算的困难首先证明了函数，在第一类间断点 处 的l u k a c s 型等式，其次建立了基于，的m a l v a r - c o i f r a a n - m e y e r 共轭小波的 集中因子判别法最后给出了实际计算时的简易方法这部分内容也已 投s c i 杂志 2 函数跳跃值的确定 第二章调和有界平均变差函数跳跃值的确定 2 1 引言 在实践中人们常会遇到要对分段光滑函数的光滑段作边界探测的问 题具体的说，就是求分段光滑函数在第一类间断点处的跳跃值假如， 是一个周期2 ”的可积函数，那么最常见的途径便是借助于它的f o u r i e r 展 开来考虑因为常常知道它的谱，即f o u r i e r 系数记t ：= ( 一”，丌】，l ( 刃 表示t 上所有周期为2 丌的可积函数对任意，l i t ) 记 s 【，】( z ) ：= 鲁+ ( a k c o s k z + ks i n k ) 。 学( 2 1 1 ) = 百a o + a ( 功 是，的f o u r i e r 级数，其中 一- ； f ( t ) c o s k t d t ，妊； 巾) s i n 舰岬= 1 2 ，3 ，) 人们自然会问：可不可以用部分和序列 ( ，z ) 警十( n t c o s k x + b t s i n z ) 来求函数，在第一类间断点z = f 处的跳跃值 噍( ，) = l i r a + f ( + t ) 一瓜一t ) ( 2 1 2 ) 呢? 回答是否定的因为当n 一时 & ( ，) + 巡型凄篮型 那么可不可以用& ( ， + 。) 和岛( 一如) 来逼近，嬉+ o ) 和，嬉一o ) 呢? 也不行因为在附近f o u r i e f 部分和有一个d ( 1 ) 的震荡，得不到，晦+ 0 ) 和，嬉一o ) 这就是所谓的g i b b s 现象 硬士学位论文 人们很早就注意到借助于h i l b e r t 变换- 7 以求出噍( ，) 对于周期函数 ，它的h i l b e r t 变换定义为 h f ( x ) ：= 一知j ( 。塑掣疵 这个主值积分对于任意的，l ( t ) 是几乎处处存在的但是当是，的 第一类间断点时h ，( ) 却不存在考察主值积分的极限过程记 m 扑一；厶盟掣出 =一；j，l：盟生幽出 2 t a n t 2 r “ 一半f ：i 志2 t a n 出 7 r j 1 mz = i l 十1 2 当 _ 0 0 时 = o ( i n n ) ， 如。业h 。 所以只要把巩，( ) 除以i n n 就可以求出d f ( ，) i 因为由上式推出 单盟：一塑+ 。( 1 ) ， m n 7 r 即 掣枷 i n n 对部分和作h i l b e r t 变换，我们得到 h s n ( f , x ) - 善( a k s i n k x - b k c o s 妇) ( 2 1 3 ) = 爵( ，z ) 这就是f o u r i e r 共轭级数的第n 部分和早在1 9 2 0 年，f l u k a c s 1 】证明 了下述的 一， ! i 曼掣：枷 n 。m n 函数跳跃值的确定 事实上l u k a c s 的定理中不需要假设极限d e ( f ) 存在，只要有广义极限 就可以了详言之，他证明了下述的 定理a 设f l ( t ) 且t 假如存在常数f 使得 糯；a 【他+ t ) 一，叫1 - l i 出= 。 那么 l i m - - t _ r s n c f , ) ：f ( 2 1 4 ) 用( 2 1 4 ) 式来求跳跃值收敛的速度通常只能达到o ( 1 l l n n ) 因速度 太慢，l u c k a c s 方法无实用价值于是人们寻找其他方法来逼近噍( ，) 后 来发现借助于f o u r i e r 共轭部分和可以有许多方法来求跳跃 在1 9 7 2 年b i g o l u b o v 【2 建立了下述的结果： 定理b 设；n 且f p 1 ) ，则成立 舰坐鼍筹坐叫煳) = w ) ， ( 2 1 5 ) 和 规学爵( 圳凯d d f ) ( 2 1 6 ) 在1 9 9 5 年，n s b a n e r j e c 和j g e e r 在n a s a 研究中心的研究报告 3 | 中指出下面的极限过程可以消除g i b b s 现象的影响记 跏，= f 。警如乩- 一 那么 熙坐鼍笋= d e ( f ) n - + o ；筑l 丌) 1 9 9 8 年g k v e r n a d z e 【4 】把上面b i g o l u b o v 的结果推广到a b v 5 硕士学位论文 在上述几个结果的启发下，1 9 9 9 年a g e l b 和e ，t a d m o r 【5 】提出了集 中因子法设盯( z ) 是【0 ，1 】上的连续函数记 s g ( f ，小：壹盯( 孙廊如一h c o s 假如极限( 2 1 2 ) 存在且有限时 ，熙岛( ，) = 噍( ，) j 则称 ! 一( ；) k k 。：蛐 为，在点处的集中因子 下面的定理是a g e l b 和e t a d m o r 在 5 i 中的主要结果 定理c 设圹满足以下的条件 ( i ) 俨【0 ，1 1 ， ( i i ) ：) l 警，n - 2 3 ，； ( i i i ) 当n o 。时， f 掣如一叽 ( i v ) 当n o o 时， 喜掣扎 又设t 且，满足 ( v ) d ( ，) 存在且有限， 函数跳跃值的确定 ( 旧 , d t ) - - a , d f ) l o ，司， 一 其中j 0 且咴( t ) = f ( 、f - t - g ) 一f ( - - t ) 那么 盯( ：) 柚。，：。- 玉是，在f 点 处的集中因子 这个结果对疗的假设比较强我们用珐表示使得条件( v ) 和似) 满 足的函数f 工( 全体最近，q l s h i 和x l s h i 在【6 】中证明了下述 定理d 设t 且口l i p l 0 ，1 】又设f 哦，那么p ( ：) b l ，； ，- 2 ，一是，在点f 处的集中因子的充要条件是 z 1 掣如 ( 2 1 ” 在2 0 0 3 年f m o r i c z 讨论了根据( 2 1 1 ) 的a b e l - p o i s s o n 和来探测函数的 跳跃点的问题他证明了下述的( 见【7 】和【8 】) 定理e 若f l ( t ) ，且极限d e ( ，) 存在，则 其中 ，一秽= d d f ) ， 耳( ，z ) ：= k s i n k x b k c o s k x ) 一，0 茎r 1 = 1 在【6 1 中石棋玲和施咸亮引入了a b e l - p o i s s o n 型集中因子 设p 是【0 ，o 。) 上连续函数满足p ( o ) = 0 且 i p ( z ) j = 0 ( ( 1 + z ) m ) ( z + o o ) ， 其中m 0 对于f l ( t ) 级数 謦( ，z ) ：= 卢( ( 1 一r ) k ) ( a ks i n k x b c o s k x ) r k ，0 r 0 ，m 0 那么仙( ( 1 一r ) ) 是，在f 处的a b e l - p o i s s o f l 型集中因 子的充要条件是 r 。l i m l - 0 妻盟掣拄叽 ( 2 ，1 8 ) o 自 、 7 在前面的结果中，关于，在 处的性质主要有下面两种类型的假设 i 弱光滑条件： 丝生i 嬖幽l 0 ，司，( 6 o ) ( 2 1 9 ) i i 某种有界变差性质：在点处的近旁函数，属于某个广义有界变 差函数类，它们是嵋0 1 ) ，a b v 这些类的定义如下：设，( 功是区间 【0 ，6 】上的实值函数 函数跳跃值的确定 a ) 嵋【n ，6 】( p 1 ) 设p 1 ， 厶= k ，叫 是 d ，6 】中一列( 有限或无限 个) 互不重叠的区间列，记f ( i n ) = f ( b n ) 一，) ( 以下几个类中也相同) 假 如 留薹i ，( 堋k o o ， 其中”s u p 取遍【o 6 】中互不重叠的区间列 厶 ，则说，是【口，6 】上的p 次 有界变差的函数记作f 【a ，6 】当p = 1 时k 【n ，6 】就是通常的有界变 差函数类 b ) a b v a ，6 1 设a = t k 是非减正数列，满足墨。击= 假如 器三i 地w k 锄， 其中”s u p 取遍【o ，6 】中互不重叠的区间列 厶 ，则说，是 n ，6 】上的a 有 界变差的函数记作f a b v a ，b 1 当k = n 时，即若 唧i f ( & ) l n o o ， ( 2 1 l o ) t j n j n = l 则说，是有调和有界变差的函数，记作，h b v a ，6 】 函数类a b v 是由d w a t e r m a n1 9 】在1 9 7 2 年引入的 在1 9 8 5 年，在a b v 类和b m o 类间，施咸亮在【1 0 】中引入了a b m v 类 其中 c ) a b m v a ，b 1 假如代替( 2 1 1 0 ) 成立着 s k u p 五p 枷队 0 ，且极限噍( ，) 存在，则 u ( c a r ) 女) 是 ，在f 处的a b e l - p o i s s o n 型集中因子 由于k 陋，6 】主h b v 【d ，6 1 至h b m v d ，b l ，定理2 1 改进并推广了b i g o l u b o v 和g k v e r n a d z e 的结果此外，对a b e l - p o i s s o n 型集中因子也建立 了相应的结果 2 2 若干引理 为了证明定理2 1 和定理2 2 ，我们需要以下几个引理 引理2 1 若f l a ，6 】则 舰厶咖嘞一o 这就是周知的r i e m a n - l e b e s g u e 引理 一1 0 一 函数跳跃值的确定 引理2 2 看k ，竹1 且0 t 7 r ，则 1 - 丁c o sk t ：o ( k 2 t ) ， t a n 暑 川 t-2tan：o(1)，2tta n ；t 7 ；善( 1 n n - l n k ) 却( 1 ) ( 2 2 1 ) 易证，故我们省略了证明 引理2 3 在定理2 1 的假设下，一( z ) 满足 口( t 1 = 0 ( 】 ( t 一0 + ) 引理2 4 设f h b m v a ，6 】，0 0 且p l p 2 ，则 l i m 嵋1 = l 一1 1 硕士学位论文 成立当且仅当 l i m 尝= f( 2 2 3 ) 证明事实上，只要证明充分性就可以了因为必要性的证明是相同 的若( 2 2 2 ) 成立，则由a b e l 变换 骨2 鲁善舻- p 憎t = 警n - 1 【驴一m 一 + ，“一m 圭j = l - ”如+ 岳扩p l 篁j = ：l ，”岛 = 茄荟n - 1 一叫p 眦1 + 参一州 由( 2 2 2 ) 我们有瑶1 = f + o ( 1 ) 所以 由于 骨= ( 鑫薹n - 1 栌一p l 一 + ，严 妒1z + 嘉俨z ) + ( 嘉苫n - 1 卜邓州叫聊津) 2 。2 4 = 十，2 因此对m 0 成立着 “- p - 一+ 1 ) ”- p l = 0 ( 妒z p l 一1 ) 厶= 击薹。( 脚( 1 ) + 0 ( 1 ) = 0 ( 1 ) ( 2 2 5 ) 一1 2 f 面来考虑 ，我们见到 2 蠡萎k 一) p 2 】l + p 丝t z + 盎苫1 6 - - l ( ) 一，h ) p l 增】f 趣p l 击+ 盎喜( ) p 2 ( 一( 南) p 1 ) z ( 2 2 6 ) 庐。n 俨台”1 、雨7 叫，+ 啬萎n - 1 c ，“( 晶圳妙 = l + d ( 1 ) 综合( 2 2 4 ) ( 2 2 6 ) ，便可得到( 2 2 3 ) 引理2 6 令f ：= 器l k 假设肛满足定理f 的( i ) ( n ) 和( 2 1 8 ) 式若 恶露= 恕：= z ， ( 2 2 7 ) 则 。 q ( r ) ：= p ( ( 1 一r ) t 一一一7 r f ，若r 1 0 ( 2 2 8 ) 证明由a b e l 变换我们有 ，= 喜 等掣一掣枇t 由( 2 2 7 ) 得矗= z + e n ，若n 一，其中：。( 1 ) 于是上式变为 q ( r ) 等 z 砉 吗掣一学r 舻 + 苫广p c ( 1 厂- r ) k ) 一业黹业批一 ) q 1 + q 2 pcc-一r，七，=0。(11-一r)mkm，二：!：c。-。， 硕士学位论文 和 = 忙 ) k ) 一p ( ( 1 一r ) + 1 ) ) 若( 1 一r ) k 1 ， ( 2 2 1 1 ) ) ，若( 1 一，) 1 胁：三 篙r ) k 二慧筠叫叶蝴 剖k = l p ( ( 1 一) 一p ( ( 1 一r ) ( + 1 ) ) j + i p ( ( 1 一r ) + 1 ) ) ( 亡一南) j + ( 坠器剑( 叫) 七 由( 2 2 1 0 ) 和( 2 2 i i ) 我们得到 f0 肌： i l0 若( i r ) k l ， ( 1 - r ) m k m l ，若( 1 - - r ) 1 因此，当r 一1 0 时， i q 2 1 ：d ( ( 1 一，) h 1 ) + o ( ( 1 一r ) 盯+ ，k m i “i ) ：郇) ( 2 2 1 2 ) 【击】 i 壬- 】 下面来估计q - 当r 一1 0 时， q 1 = z k ( ( 卜r ) ) 一p ( ( 1 - r ) ( + 1 ) ) r j r + z 壹业；等业 ( 2 z j l 3 ) = z 耋掣r k = - - t r l - i - o 综合( 2 2 9 ) ，( 2 2 1 2 ) 和( 2 2 1 3 ) 得证 1 4 里鍪墼鐾堡竺塑塞 2 3 1 定理2 1 的证明 设 2 3 定理的证明 im + 打，若z r 爵( g 沪一半j ( 1 掣出+ d ( 1 ) ， 鄞= 薹( 一( ! 卜a ( 等) ) 瓢固州1 厮昧) s k ( h , 拈一；r 讹) 面1 - c o s k t + j 1s m 舰) 戤 弧，= 一“1f ”，k 。“志一竿) 舭；厶箍出 + ；c 箍出+ ：n4 厂0 训志一) c o s ：纰 + ；( 华c ；f 州萄赫 1 5 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 硕士学位论文 由引理2 1 ，易得 由引理2 2 ，有 l = ； ； 占器( 1 厶i + i ，6 f ) = o ( 2 3 6 ) 暑鼢阻协”，l ( i 拦l + i 舞陋一 因为d f ( 7 1 ) = 0 ，故有 溉i c d t ) l = 0 从而由引理2 2 知，当七一m 时， i x , i ：。( 1 ) ”。o ( k o ( k 2 ) d z + 。( 1 ) ，。7 o o ) a t ：。( 1 )= o ( 1 ) 2 ) 出+ d ( 1 ) = d ( 1 ) j 0j 0 因此当j 一o 。时， s k ( h ，f ) = 一；1 1 综合( 2 3 3 ) 和( 2 3 1 0 ) 得 弧卜一喜( 盯c + 萎k = l ( 一c 争 叫等，) ；厶 叫半，) ；c 怒出 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) 十萎k = l ( 一c 争盯c 半，) 溉半础出 皿。m ， + 静n - i 扣半) ) d ( 1 卜宰厶差出 + 掣厶华c o s n t d t + o = + 如十j 3 + 五十以+ 五4 - o ( 1 ) 1 6 一 畎 畎 小 肚i 等ic 州 1 一仃出 十 船 出 箍挚 - 肚 f z ) t 一2 等 函数跳跃值的确定 j 1 + j 5 = 掣厶怒出- d ( 扣呐：d ( 1 ) 巾刊( 2 s 舶) 由( 2 3 8 ) 知，对任意的e 0 ，存在7 l 0 ，当0 t r h 时，有i 妒d t ) l 。列攀：+ z 黜1 挚。， = d ( 1 ) + o ( e ) o ( ) l n ； 、 。 一l i r a 。如。0 ( 2 3 1 4 ) 耻厶华c 础以 ( 2 。) 令b = 【孙对k k o + 1 设 m = 啪) = 弧1 ( k o 爿 r ：= 厶华c 傩k t d t + z 。华僦纰 ：妻志；产+1m肚咄)础dt(2 鲁j l h - ( 纠) 小m ” + 喜蔗( ；一志) 螂m 绌。3 | 1 7 + 删。巡c o s k t d t + k t j ( 。型t 出j ( 2 ，n + 1 ) -j ” 硕士学位论文 l ；蔗知肭出i - 南协壮蝴砒t 叫皿。船， ，。虽pl，。(畎)ipk l i 2 掣 一志_ 0 ( 矗k t t ( 勿一1 ) 丌 2 ” 耻。( 知厶警出叫1 ) ( z a x g ) i p k l 0 上式都是等价的因此g o l u b o v 和k v e r n a d z e 的等式( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 式其实是等价的所以我们的结果改 进并推广了他们的结果 注记2 2 若，a b v ，则极限d d f ) 处处存在( 见d w a t e r m a n 【9 】) 但 是这一命题对a b m v 类是不能保证的( 见x l s h i 【1 0 】) 所以在定理2 1 和 定理2 2 中我们需要假设极限d d f ) 存在 注记2 3 有界变差条件与弱光滑性条件d f 是两种不同性质的条件 容易证明存在有界变差函数( 它满足各种广义有界变差条件) 不满足d f 条 件 1 9 硕士学位论文 例2 1 ，( z ) = 1 ，若1 2 z q x l l n z | 若0 z 1 1 2 ； 0 【，( z + 2 丌) ，若霉r 易知，( z ) 是t 上的有界变差函数，但是不属于d o 2 0 函数跳跃值的确定 第三章基于m a l v a r - c o i f m a n - m e y e r 共轭小波的边界 探测 3 1 引言 求函数在第一类间断点处的跳跃值是边界探测中的重要内容当函 数具有周期性时，已有许多工作对其跳跃值的计算作了讨论( 参见【1 - 8 】) 我们将考虑非周期函数的情形设 帆 a 是l 2 ( r ) 中的就范正交基以 双= h 机表示帆的共轭函数，其中h 表示h f l b e r t 变换称级数s c f ) ：= n ( ，) 认为共轭级数，其中纵( ，) = ff 币x d t 为，关于 帆 a 的f o u r i e r 系数基于周期函数研究的结果我们提出这样的问题： 问题3 1 是否存在适当的因子 p h a 使得在，的第一类间断点f 成立 熙p n - ( ，) 五( ) = 噍( 卯 我们将以m c m 小波为基来讨论这一同题为了叙述我们的结果首 先引入一些概念设锄) ，。z 是r 上严格单调增加的两边无界实数列，即 满足 j 里乳唧2 士o o - 记q = q q + 1 分别称函数族 唰班= 南c o s ( ( 1 ) 智) ，o 趴0 ，( 3 u ) 和 剐小= 南咖( t 1 ) 锊) 几眯z 汛( 3 地) 硕士学位论文 为块余弦系和块正弦系对于固定的j z 它们都构成驴h ，a j + - 】上的就 范正交基若以x 【a j d j + ，1 表示区间b ，a i + 1 】的特征函数，且以乃k 表示g k 或鼢，那么函数族 奶k ( z ) ：= x 【q ，q + 。】( z ) 弓女( z ) ，( j ，七) z n o ， ( 3 1 3 ) 便构成l 。( r ) 中的就范正交系我们将固定考虑( z ) = 0 t ( z ) 的情形 函数族( 3 1 3 ) 没有连续性，为了得到有好的光滑性的正交系，我们以光 滑的窗口函数哟( z ) 代替x b m ，1 于是得到函数族 仍k ( x ) ：= “0 ( z ) c ；( z ) ，d ，k ) z j 、7 i ， ( 3 1 4 ) 其中w i 是r 上的非负有界可测函数列，它们满足下列条件： s u p p 畸哼，晴l 】， ( 3 1 5 ) 其中哼= 吩- 4 - e j ，k ) 是一列给定的正数列，它满足 勺+ 勺+ 1 l a a j i ，j z ( 3 1 6 ) 满足( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 的函数族( 3 1 4 ) 称为双叠交余弦函数族假如函数族 ( 3 1 4 ) 构成l 2 ( r ) 中的就范正交基，则称它为m a l v a r - c o i f r a a n - m e y e r 小波， 简称m c m 小波c o i f m a n 和m e y e r 【1 2 】给出了双叠交余弦函数族( 3 1 4 ) 成为m c m 小波的充分条件，c k c h u i ( 崔景泰) 和x l s h i 【13 】指出了 他们的条件也是必要的，并且对于复值窗口 屿 给出了使( 3 1 4 ) 成为小 波的充要条件假设，l z 。( r ) 且 嘶 是非负有界的函数列，那么可以 写出，的m c m 级数 m 【，】( ) ：= 地t ( z ) ， ( 3 1 7 ) j zk - - - - o 其中 吩t ：= 吩- ( ，) ：= 上f ( t ) 奶t ( t ) 出= f ! ”，( t ) 奶t ( t ) 出 ( 3 1 8 ) 函数跳跃值的确定 以h 表示h i l b e r t 变换，l i p x 寸于g 驴( r ) ，1 p o o ，定义 h g ( 引：= 童- ! p v 致 9 i 独( 。牮- y ) a u 劫 2 姆一；尢、，鼍产劫 当9 护( 固，1 p 时这个积分几乎处处存在，且称其为g 的共轭函 数记 奶k ( z ) ：= h ( 咖) ( z ) 称 硒，】( z ) ：= 吩t 珏( z ) ， ( 3 1 9 ) j z 缸= o 为函数，关于m c m 小波的共轭级数同时记 磁。( ，z ) = 吩t 缸( 功 l j i jk = o 定义3 1 设f k ( 固且f 是，的第一类间断点又设矿c o ，l 】记 磁。( 加) - 善一( ：) 哟e 豇c z ) b i ，女= l 假如 熙县峨n ( ，) 2 噍( ，) ( 3 1 x o ) 则称 一( ：) b - 加。；。- 为，在点f 处的集中因子 其次，我们将讨论 问题3 2 对应于第二章定理a ，关于m c m 共轭级数是否可以建立相 应的定理? 关于这些问题在第3 3 节中我们将进行讨论下面是此章的主 要定理 定理3 1 设，l h ( 励且f 是，的第一类间断点又设对于每个 j z 窗口函数w j 是可微的且导数札l i p q ，0 l ，那么 2 3 硕士学位论文 ( 1 ) 在，的第一类间断点处成立下述的l u k a c s 型等式： 慨舰一氇磐= d e ( f ) ( 3 1 1 1 )j 一_ j n n ( 2 ) 若口l i p l 0 ，1 】，且满足( 2 1 7 ) 又设f 哦，则 口( ：) h ：l 如。；。1 盔3 为，在点f 处的集中因子 3 2 辅助知识 3 2 1块余弦基与函数的延拓 函数列 ) 一以c o s ( ( t + ；) 习，m - 0 ”一 是l 2 【0 ，l 】中的就范正交基，称为块余弦基这些函数作为在全实轴r 上 定义的函数有以下性质： i ) 关于点z = 0 是偶的，即g ( z ) = g ( 一z ) ，z r ； 缸) 关于点z = 1 是奇的，即c k ( 1 一z ) = 一瓯( 1 + z ) ，z r ； i i i ) 它们都是以4 为周期的周期函数 对于定义在【0 ，1 】上的任意的实或复值函数g ，必要时改变卫= 1 处的 函数值，规定g ( 1 ) = 0 ，可以将它延拓为全实轴上具有性质i ) ，i i ) 和i i i ) 的 函数延拓后的函数仍记作g ，称它为原来的9 按块余弦系的周期延拓， 或简称为g 的周期延拓 设g 是 0 1 】上的可积函数，我们可以写出对应于9 的块余弦级数 b m ( z ) ：= 以q ( z ) ， 其中 d k ：= d k ( g ) = 9 ( ) g ( t ) d t ，= 0 ，1 ，2 ， 2 4 函数跳跃值的确定 置z = 4 y 2 7 r ，则有 b 酬( 筹) = 以矗c o s ( ( 2 + 1 ) f ) 将g 按块余弦系作周期延拓，那么在作变量替换z = 4 y 2 r 后得到周期2 丌 的函数 m ) ：= g ( 筹) 函数矿的f o u r i e r 级数为 洲 = 半+ 砉( 吡+ ) c 0 6 k x 州龇) = v 2 d k ( g ) c o s ( ( 2 k + 1 ) z ) 也就是说，我们有 以及 b k ( g ) = 0 ，若k = 0 ，1 ，2 ， n 2 k ( 矿) = 0 ，若k = 0 ，l ，2 ， 口溉+ l ( 矿) = v f 2 d c g ) ，k = 0 ，l ，2 ， 假设口e l i p l o ，1 】且满足( 2 1 7 ) 假如p 是矿在【o ，7 r 2 】上的简单间断 点且矿块那么由第二章定理d 可知，当n 一时， ) = 妻a ( 芸 ) 8 i n ( + 1 ) 咄) 记= + 2 丌，那么是延拓函数g 在【o ，l l 上的简单间断点这里9 在= 1 处间断的含义是 。 l i mg ( 1 一t ) 2g ( 1 一o ) 0 记 馥( 舭) ：= 旷( ：) 呶( g ) 瓯( z ) ， k = l 硕士学位论文 其中( z ) = 以咖( ( + ) w z ) ，= 0 ，l ，2 ，那么我们有 吼固：= 善 口【丽2 k + 1 ) 凰如( ( 自+ 护1 ) + 耋叫筹) 恤s 洫( 砂1e ) = 强+ ，( 矿，f + ) 十d ( 扣l k = o = 咴( 矿) + d ( 1 ) ，m o 。) 特别，当f = 1 为g 的简单间断点时有 0