（基础数学专业论文）弱orlicz空间的若干性质.pdf

哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 弱o r l i c z 空间的若干性质 摘要 弱空间在一些经典学科例如：调和分析、鞅理论、插值理论、重排不变函 数空间、加权不等式、奇异积分算子等学科起着重要作用。2 0 0 7 年，刘培德等 引入了弱o r l i e z 空间的概念并研究了其在鞅理论方面的应用。2 0 0 8 年，焦勇讨 论了具m a 条件的弱o r l i e z 空间的插值理论。 本文主要对弱o r l i e z 空间中的若干性质进行研究，具体包括以下四个方面 内容： 首先，弱o r l i e z 空间的单调性及单调系数。b a n a e h 格、o r l i e z 空间和 m u s i e l a k o r l i c z 空间的单调性一直被许多数学工作者所关注。弱o r l i e z 空间是 弱，( 0 p ) 空间的推广。从集合的角度而言，弱o r l i e z 空间包含o r l i e z 空 间。本文主要给出弱o r l i e z 空间具有严格单调性、一致单调性、上( 下) 局部一 致单调性的等价条件。并计算该空间的单调系数及该空间单位球面上任意一点 的上( 下) 单调系数。 ， 其次，广义弱o r l i c z 空间的单调性。我们知道由函数确定的弱o r l i e z 空 间是常用的函数空间弱乙( o p o o ) 空间的一种有意义的推广。本文引入广义 弱o r l i e z 空间的概念，并研究该空间具有的一些基本性质。然后还给出该空间 具有严格单调性、一致单调性、上( 下) 局部一致单调性的等价条件。 再次，弱o r l i e z 空间的乘积问题。由不同的函数生成的弱o r l i e z 空间无 论就集合还是范数而言都很可能是不同的。我们感兴趣的是两空间相互包含、 两空间之积与第三空间相互包含的判别准则。因此，本文给出弱o r l i e z 空间相 互包含的判别条件。 最后，弱o r l i e z 空间的凸性。众所周知，凸性是b a n a c h 空间的一类重要 性质，对该属性的研究有助于揭示空间自身的结构。尽管弱o r l i c z 空间不再像 o r l i c z 空间为b a n a c h 空间而是一个具体的拟b a n a c h 空间，而我们仍得到该空 间在0 p l 时具有p 一凸性，并给出一些相关的三角不等式。 关键词弱o r l i e z 空间；广义弱o r l i c z 空间；单调性；p 一凸性 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 s o m e p r o p e r t i e so f w e a ko r l i c zs p a c e s a b s t r a c t i ns o m ec l a s s i c a ls u b j e c t s , f o re x a m p l e ，t h eh a r m o n i ca n a l y s i s ，t h em a r t i n g a l e t h e o r y , t h ei n t e r p o l a t i o nt h e o r y , t h er e a r r a n g e m e n ti n v a r i a n tf u n c t i o ns p a c e , t h e w e i g h t e di n e q u a l i t y , t h es i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o ra n ds oo n , t h e yp l a y e da n i m p o r t a n tr o l e t h ec o n c e p to fw e a ko r l i c zs p a c ew a si n t r o d u c e da n di t sa p p l i c a t i o n t om a r t i n g a l et h e o r yw a ss t u d i e db yl i up e i d ei n2 0 0 7 a ni n t e r p o l a t i o nt h e o r e mf o r w e a ko r l i c zs p a c e ss a t i s f y i n gm ac o n d i t i o nw a sg i v e nb yj i a oy o n gi n2 0 0 8 i nt h i sp a p e r , s o m eb a s i cp r o p e r t i e si nw e a ko r l i c zs p a c e sa r es t u d i e d t h e p r e s e n tp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： w ef i r s td i s c u s st h em o n o t o n i c i t ya n dm o n o t o n ec o e f f i c i e n t so fw e a ko r l i c z s p 艄m a n yp e o p l ea r ei n t e r e s t e di nt h em o n o t o n i c i t yo fb a n a c hl a t t i c e s ，o r l i c z s p a c e sa n dm u s i e l a k - o r l i e zs p a c e s w e a ko r l i e zs p a c ei st h eg e n e r a l i z e ds p a c eo f w e a k 三口( 0 p o o ) s p a c e i nt e r m so fs e t s , w e a ko r l i c z 。s p a c e sc o n t a i no r l i c zs p a c e s i nt h i sp a p e r , t h ec q u i v a l e n tc o n d i t i o n sf o rs t r i c tm o n o t o n i c i t y , u n i f o r mm o n o t o n i c i t y a n du p p e r ( 1 0 w e r ) l o c a lu n i f o r mm o n o t o n i c i t yo fw e a ko r l i c zs p a c e sa r eg i v e n t h e m o n o t o n ec o e f f i c i e n t so ft h es p a c e sa n dt h eu p p e r ( 1 0 w e r ) m o n o t o n ec o e f f i c i e n t so fa p o i n to f t h eu n i ts p h e r ea r ec o m p u t e d s e c o n d , t h em o n o t o n i c i t yo fg e n e r a l i z e dw e a ko r l i c zs p a c e si ss t u d i e d a sw e k n o w w e a ko r l i c z s p a c e s w h i c ha r ed e f i n e db yd i f f e r e n tnf u n c t i o n sa 陀 s i g n i f i c a n t l yg e n e r a l i z e ds p a c e so fw e a k 厶( 0 p ) s p a c e s i nt h i sp a p e r , t h e c o n c e p to fg e n e r a l i z e dw e a k o r l i c zs p a c ei si n t r o d u c e d , a n ds o m eb a s i cp r o p e r t i e so f t h i ss p a c ea r es t u d i e d a tt h es a m et i m e ，t h ec r i t e r i af o rs t r i c tm o n o t o n i c i t y , u n i f o r m m o n o t o n i c i t y , u p p e r ( 1 0 w e r ) l o c a lu n i f o r mm o n o t o n i c i t yo fg e n e r a l i z e dw e a ko r l i c z s p a c e sa r es h o w n t h i r d ，t h ep r o d u c t so fw e a ko r l i c zs p a c e sa r es t u d i e d r e g a r d l e s so fs e t so r n o r m sa r ec o n c e r n e d , w e a ko r l i c zs p a c e sg e n e r a t e db yd i f f e r e n tn f u n c t i o n sa l e p o s s i b l yd i f f e r e n t w e a r ei n t e r e s t e di nt h ec r i t e r i af o r t h ei n c l u s i o nr e l a t i o n s b e t w e e nt w os p a c e s ，a n dt h ei n c l u s i o nr e l a t i o n sb e t w e e nt h e i rp r o d u c t sa n da n o t h e r s p a c e t h e r e f o r e , t h ec r i t e r i af o rt h ei n c l u s i o nr e l a t i o n so fw e a ko r l i c zs p a c e sa r e 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 o b t a i n e di nt h i sp a p e r f i n a l l y , t h ec o n v e x i t yo fw e a ko r l i c zs p a c e si si n v e s t i g a t e d i ti sw e l lk n o w n t h a tt h ec o n v e x i t yi sa ni m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i co fb a n a c hs p a c e s s t u d y i n gt h e c h a r a c t e r i s t i ci sg o o df o ru n d e r s t a n d i n gt h es t r u c t u r eo fs p a c e s a l t h o u g hw e a k o r l i c zs p a c e sw h i c ha r en o tb a n a c hs p a c e sl i k eo r l i c zs p a c e sa r eq u a s i b a n a c h s p a c e s ，w e a ko r l i c zs p a c ei sp - c o n v e xi nc a s eo f0 p 1 w h i c hi ss h o w n i n a d d i t i o n , t h et r i a n g l ei n e q u i t yi nw e a ko r l i c zs p a c e si sa l s op r e s e n t e d k e y w o r d $ w e a ko r l i c zs p a c e s , g e n e r a l i z e dw e a ko r l i c zs p a c e s ，m o n o t o n i c i t y , p 。c o n v e x i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文弱o r l i e z 空间的若干性质，是 本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得 的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成 果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明 的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：智饥妇汴日期：呻年妒月彦日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 弱o r l i e z 空间的若干性质系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在导 师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所有，本论文 的研究内容不得以其它单位的名义发表。本 、完全了解哈尔滨理工大学关于保存、 使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电子版本，允许论文 被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密，口在年解密后适用授权书。 不保密匾 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名：歹铲瓠奶中日期：加尹驴月彦日 导师签名： 醐：叩年妒月彦日 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题背景 1 1 1b a n a c h 格理论的发展现状 对b a n a c h 格的研究，最早可追溯至对b a n a c h 空间系统的研究。1 9 2 2 年， fr i e s z 在布拉格数学家大会上做了 关于线性泛函分析的报告，标志着 r i e s z 空间和正算子研究的开端。lk a n t o r o v i c 和他的学派最早意识到把r i e s z 空间与赋范线性空间理论联系起来加以研究的重要性。而单调性在b a n a c h 格 中的作用被越来越多的人认同。 早在1 9 8 5 年maa k c o g l u 和ls u c h e s t o n 就阐明了单调性、一致单调性与 遍历性理论的联系【l 】。1 9 9 2 年，wk u r c 进一步指出单调性在b a n a c h 格中的地 位十分相象于凸性在b a n a c h 空间中的作用，在误差估计、逼近论和遍历性理 论中有广泛的应用，并讨论了赋l u x e m b u r g 范数的m u s i e l a k - o r l i c z 空间的严格 单调性与一致单调性，wk u r c 还将单调性应用于最佳逼近理论中 2 1 。2 0 0 0 年，hh u d z i k 讨论了b a n a c h 格的单调性及凸性 3 1 。2 0 0 5 年，h a nj ul e e 研究 了b a n a c h 格的单调性及复凸性 4 1 。2 0 0 7 年，h a nj ul e e 又研究了拟b a n a c h 格 的单调性及复凸性【5 1 。 1 1 2o r l i c z 空间的国内外研究概况 o r l i c z 空间是波兰数学家wo r l i c z 于1 9 3 1 年为了解决三角级数中有关问 题的需要而引进的。从理论上来说o r l i c z 空间作为一类具体的b a n a c h 空间， 给一般的b a n a c h 空间，f r e c h e t 空间的研究准备了巨大的模型库，使一般空间 的研究得以有所启迪和借鉴；从应用上来说是给众多非线性分析问题提供恰如 其分的空间框架。 1 9 3 2 年和1 9 3 6 年，o r l i c z 给出了厶空间的定义及o r l i c z 范数【6 7 1 。日本数 学家hn a k a n o 在1 9 5 0 年引进了模范数，并对模空间的半序理论进行了深入的 研究，发展了以o r l i c z 空间为特例的模半序空间理论【8 9 】。1 9 5 5 年，wa l u x e m b u r g 在他的博士论文中为o r l i c z 空间引入了与o r l i c z 范数等价的 l u x e m b u r g 范数，并对o r l i c z 空间的性质进行了深入的讨论，极大地推进了空 间理论的研究【l o 】。与此同时，mak r a s n o s e l s k i i 和y abr u t i c k i i 为了求解非线 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 性分析的若干问题，系统的研究了由不满足，条件的o r l i e z 函数生成的o r l i c z 空间，并于1 9 5 8 年出版了第一本关于o r l i e z 空间理论的专著 l 。 定义2 3 【4 2 m 称x 具有严格单调性，如果对任意的x ，y ex + ，i i x l l = l ， l l y l l o ，有i i x + y l l 。 定义2 4 【4 2 1 3 4 称石具有一致单调性，如果对任意的占 0 ，存在万( s ) 0 满 足：对任意的x ，y x + ，l i x l l = l ，i l y l l - - - 6 ，有i i x + y l l - l + c ，( s ) 。 定义2 5 2 s 1 称x 具有上( 下) 局部一致单调性，如果对任意的x x + ，且 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 i i x l l = l 和g o ，存在万( g ，曲 0 满足：对任意的y x + ，i l y l l - - - 占( 且y z ) ，有 i i x + y l l _ l + 8 ( o e ，功( 1 l x y 1 0 ，存 在万( s ) o 对y 0 ( 0 0 ：，7 ( g ) = o ) 定义2 9 3 3 1s ( x + ) = 缸e x + ：i i x l l - q ，于x s ( x + ) 和g 【o ，l 】，定义 i f ( x , 力= i n f i i x + y l l - 1 ：y x + ，l i y i l d r l ( x , 力= i n f l 一x - y0 ：y x + ，y o 时，伊( ”) 0 ； ( 3 ) 烛认u ) u = o ，娥烈“) 勉 - 0 0 。 定义2 1 1 1 2 0 瑚n 函数伊( “) 满足2 条件是指存在u o 0 和k 2 使得 缈( 2 “) k 烈“) ( ”u o ) 定义2 1 2 1 3 s 弘设缈 ) 是函数，g 是n 维欧氏空间r 中有界正测度闭集， ( g ，一是完备的概率空间。弱o r l i c z 空间屿和它的子空间w 易分别定义为 w l , = 厂：存在c 0 ，有凹缈( c f ) 尸( i f l f ) 0 ，s u p g a ( c t ) p ( 1 f l t ) 0 ：s u p q o ( t c ) p ( i f i f ) 1 ) 且比口在该范数下是完备的拟b a n a c h 空间。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 引理2 1 d 8 1 2 ( 1 ) q ，( t i i f l l 4 ) p ( i f l t ) 0 ； ( 2 ) 当| l 刷屿l 时，凹缈( f ) 烈i 卅 f ) 0 ，使得s u p 呼a ( e t ) p ( i f i f ) 0 ，存在k 0 ， u o 0 ，使得缈( 兰f ) s k 缈( f ) 0 l l o ) 。则 唧烈肋) p ( 1 卅 f ) s 叩缈( 姜甜) 以i 卅 f ) + s u pq ( k c o p ( i f l t ) t ) + q a ( - 箬u o ) 0 一 因此，厂屿，从而呜= 嵋。 充分性。若矿叠a 2 ，根据文献【2 l 】中t h l 1 3 ，存在个，使得 伊( 1 l i ) p ( 毋 g ，缈( ( 1 + l 刀) ) 2 4 似) ( 刀n ) 其中，笤是预先给定的正数，e 是g 的子集。选e 的一个互不相交子集列 假) ，使得p ( e ) = 8 2 4 烈) 。定义函数 ，( 力= 玄 二主丢飞层。= 1 ，2 ，) 有 绯妒( i f l f ) _ 如) n = l d p s 善纵) 五俐d p = 缈( 以疋) 2 ，取n 使得2 ( 1 + ) c s 伽u p 卿) p ( 1 f l f ) - s u p xl缈(d)氟i删dpto f o n = l 烈甜) 五m ，护n = n ol 烈l + ) t 考，卯 篆2 “烈切i 考l 卯。荟2 ”缈( ) p ( e ) 这说明f w l 矿w e p 。证毕。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 2 4 弱o r l i c z 空间的单调性及单调系数 定理2 1 w l , 具有单调性。 证明对任意的f ，g 屿，如果i 厂i i g i ，则根据i i | i 毗，的定义， f | i 咀= i n q c o ：瓯l p 缈( p ( i 厂i t ) 1 s r t 0 o i n f c o ：瓯l p 缈( ) 尸( 1 9 i f ) 1 ) = l i g i | 毗， t 0c 一 证毕。 定理2 2 对于弱o r l i c z 空间w l , ， m ( 呜) = 0 盈 证明若缈叠a 2 取e c g 满足：0 t ) = 烈f ) 1 ，兹i 肿 d p f 护善认u d e ( e ) = s 0 有 s 啪u p r p ( ( 1 + 2 ) 2 t ) p ( 1 f l f ) = s u p t 缈( ( 1 + 允) 2 f ) ，) 卯0f o 、：= i ”- 。 善矾- 删) 铀纠卯瓤觚+ 扣 忡如d p 乏缈( ( 1 + 争) p ( e ) ；2 ”缈( ) p ( e ) = “专4 专 所以，f 1 1 w l p - - l 。 选取适当的”o ，使得伊( ) 尸( g 毋= 1 一g 。令 g ( 功= u o z m e ( 工) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 凼为 罂伊( 啬) p ( i g l 啦焉1s 。u 。pl 、占酢f ) z a 咖， d p i = bl 置烈) 小争卯= f 笔烈) p ( g 毋= 1 从而有gl i 呜( 1 - z ) 2 。 又因为 s u p q ，( t ) p ( i f + g l t ) = s u p 缈( f ) 【p ( i l l f ) + p ( i g l f ) 】- s u p q ，( t ) p ( i f l t ) + s u p q ，( t ) p ( i g l f ) 占+ o - s ) = 1 所以，l = i | 厂| l 屿剑厂+ g0 屿l ，有| i 厂+ gl l 妒l 。这说明了( 1 一g ) = o ， a i f 面m ( w l 9 ) l - 6 ，由g 的任意性有小( 心) = l 。 当i l g i | 屿= 时，i i + g l l 屿= 。结论显然成立。 当i l g l l 呜 o o 时，i i f + 9 1 1 , o o 。不妨设l i 厂+ g 屿= 口，对于任意的 o s 0 ，使得o oat oa f ) 2 一dd s u p q , ( u ) p ( i f + g g l ( a 一回“) = s u p p ( u ) p ( 1 ( 1 一s ) ( 厂+ g ) + d ( 厂+ g ) 一墨】i ( 口一回材) s s 。u 加p s , ( 甜) p ( i ( 1 - 占) u + g ) i 南i “) +“ 1 s u p u o 卿) 只1 4 ( f + g ) 一墨】l ( 羔o 3 - o o u ) 双l p 缈( “) 只 + g ) 一目l ( 等：= oi 十6 _ 因为 s 伽u p c p ( 材) p ( i ( 1 _ s ) ( 厂+ g ) | 而a “) = s u p 缈( 1 - 9 2 f ) p ( i f lt o a + g i f ) l 9 2 “ o + g 和 s u p 缈( “) h l s ( 厂+ g ) 一- g l ( 窒l 一回甜) ： 哿伊( 参) p ( i 厂+ g | 卅p ( i g 川 蟠 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 i i 占q ls u p 认f ) 【p ( 1 f + g l f ) + p ( i g g l t ) 】 尝l 声f o l + 乎 s q l ( q + q q ) 三l 占, i r l + s 所以 一 s 啪u p 缈由p ( f ) 弘s 2 + s q + q ) = 1 + 占( c2( c ：+ c i c ：) 一占) = l + s 告5 i 令占= s ( q 上( q + c i , c d 8 a 一占) 惦南翟似寺p ( i f l 躯l 从而 厂0 呜( 1 + s ) ( 口一o 3 = a - 【万( 1 + 占，) 一s 口】= 口一秒( s ) 0 。 所以，i i f + 9 1 1 z - l + o ( 8 ) ，即p ) 矽( 占) o ，从而我们有所( 嵋) = 0 证毕。 定理2 3 下述命题等价： ( 1 ) 心具有一致单调性； ( 2 ) w 4 具有上( 下) 局部一致单调性； ( 3 ) 心具有严格单调性； ( 4 ) 缈a 2 。 证明( 1 ) j ( 2 ) j ( 3 ) 显然成立。如果( 4 ) 不成立，则根据定理2 2 的证明易 知，存在厂，g 嵋，使得0 厂呜= l ，g 0 和i if + g1 1 , , ，= 1 。这与( 3 ) 产生矛 盾，所以( 3 ) j ( 4 ) 成立。( 4 ) ( 1 ) 见定理2 2 的证明易得。证毕。 定理2 4 对于任意f s ( 噶) ， 而c 力= ：；篡 证明当缈a ：时，根据定理2 2 易得m ( f ) = 0 。 当缈萑，时，取c 0 使得e = o g ：厂( x ) c ) 为正测度集。对任意的 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 占( o ，1 3 ) ，艿 0 ，存在较大的“使得“ c s 且缈( ( 1 + 占) ”) 矿( ”) 万。假设 缈 ) 尸( e ) 万，取s oc e ，使得呼o ( u ) e ( e o ) = 万，令 g ( x ) = ( u - - 厂( z ) ) 缸( x ) 则 s ，u 0 pf o ( ( 1 + 3 t r ) t ) p ( i g t t ) = s u p k缈(1+3s)t)z(1slf)dp=to fooo s ，u o pk 烈( 1 + 3 占) ) 苁脚卅 f ) d p 丘烈( 1 + 3 占) o c ) ) 苁l i i 卅 州 d p 伊( ( 1 + 3 占) ( 1 - 占m ) a p j f o ( ( 1 + 占如) a l p 砉烈“) 只昂) = l 因此，i ig 1 1 , - 1 ( 1 + 3 6 ) 。 但 s ，u o p q ( ) p ( i f + g l ) = s u p岛纵) 兹| ，吲m d p + 瓯t l p o 烈f ) 苁l 厂吲 t 矗p = 磐k 岛烈) 五州) d p + 磐丘烈f ) 五， d p l + s 伽u p 丘缈( ) 五附) d p 1 + 烈“) 尸( 日) = 1 + 6 所以，f + gi k 1 + 6 ，即，7 u ，1 ( 1 + 3 z ) ) 万，由艿的任意性我们有 r ( f ，1 ( 1 + 3 s ) ) = 0 ，即历( 厂) l “1 + 3 s ) ，又由g 的任意性有历( 介= 1 。证毕。 类似我们还可以得到下面的结论。 定理2 5 对于任意s ( 饵) ， 型c 力= ? ；主会： 推论2 1 对于任意s ( w t ；) 为上( 下) 局部一致单调点的充分必要条件为 9 a ，。 2 5 本章小结 单调性在b a n a c h 格、o r l i c z 空间、m u s i e l a k o r l i e z 空间中的作用已被越来 越多得人认同。本章首先讨论了弱o r l i c z 空间的一致单调系数，还给出了弱 o r l i c z 空间具有严格单调性、一致单调性、上( 下) 局部一致单调性的等价条 件。其次我们还计算了弱o r l i c z 空间的上( 下) 局部一致单调系数并给出简单的 推论。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 3 1 引言 第3 章广义弱o l i c z 空间的单调性 由函数确定的弱o r l i c z 空间毗p 是常用的函数空间弱o ( o 0 ； 3 1 i m 烈“) = 0 0 。 定义3 2 设缈似) 是妒函数，g 是n 维欧氏空间斛中有界正测度闭集， ( g ，p ) 是完备的概率空问。广义弱o r l i c z 空间w t ；和它的子空间蟛定义为 心= 厂：存在c 0 ，使得s u p 烈f ) p ( i f l t ) o 有s u p 认c t ) 以i f l t ) 0 ：册睁p ( 1 厂l f ) ，) 刮厂喵。 ( 2 ) 当| i 厂| i 屿s l 时凹q , ( t ) e ( i f l t ) - f ) = 0 证明( 1 ) e h l l 屿的定义，存在q 上i l 川嵋，使凹q ) 尸( i 厂l f ) t ) t)-f)o t o rr ( 3 ) 根据( 2 ) 充分性显然。下面给出它的必要性的证明。 若| | 以一f 1 1 日_ o 不成立，则存在o 0 ，孕，( t s o ) p ( i 厶- f l t ) o ，使得缈( 气) 尸( 1 厶一f l t 雌s o ) 。因为缈a 2 ，我们有 岛 t , 8 0 ) - ) 、 即烈“) p ( i 厶- f l u ) c 上 0 ，矛盾。证毕。 h 引理3 1 如果i l 一厂i i 嵋哼0 ，则五厂。 证明因为l lf 一厂0 嵋专0 ，则对任意的f o ，s o ，存在n ，使得当 n n o 时，l lz 一厂0 嵋 o 证明由l i m s u p q ，( t ) p ( iz - f l t ) = 0 ，我们有对任意的t 0 ，占 0 ，存在 n o n ，使得当刀n o 时，有 s u p 烈f ) p ( i 一f l f ) o 从而有 烈f ) 尺i z f l f ) t ) ”) “) ot o 进而有 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 哿缈赢剐厂+ g l t ) 哿伊痢以i 仆“2 ) + 以i g i 2 ) 】 s u p q ，( u c a ) p ( i f l u ) + s u p ( p ( u c 2 ) p ( i g l “) 0t 0 c t + c 2 f ) 文l p 伊( ! 当) p ( i f l 材) t 0 占 u 0 占 伊( 掣) 以g ) ：烈华 因为厂( 力c a 乎处处收敛于0