（应用数学专业论文）二项式系数和的同余性质.pdf

摘要 二项式系数的研究的已有近七百多年的历史，人们发现二项式系数和序列 具有很多良好的性质，并且和许多数学问题有着非常密切的关系1 9 7 8 年a p , ；r y 利用二项式系数和序列的递推公式给出了( ( 2 ) 和( ( 3 ) 的无理性证明他的工 作极大的刺激了人们对二项式系数和序列的研究兴趣，从而取得了一系列新的 研究成果本文主要运用数论中的整除理论、同余理论，对几种类型的二项式 系数和序列的同余性质进行了研究 本文主要内容如下： 一利用同余理论研究了项式系数和序列n ( r ，s ) = 警o ( ：) 7 ( n 吉七) 8 得出 了唧( r ，s ) ，a p _ l ( r ，s ) ，a 2 p l ( r ，s ) ，a p 十l ( r ，s ) ，a k p ( r ，s ) 在模p 2 下的同余性质 二讨论了二项式系数和序列：，6 ，c ( 仡) = 是o ( 一1 ) 幽( 嚣) 口( 蛩) 6 ( 警) c ，得出 了“：6 ，c ( 凡) 在模p 3p 2 下的同余性质及p 在什么条件下可以整除“： b c ( 佗) ，还 有札： b 。( n ) 与b e r n o u l l i 数的联系 三讨论了二项式系数和序列 ：r = 。( 州秽姗了： ： ：， ： ：乒， ： 三扪在模p 下的同余性质，并得出了一些推论 这些结果的给出可以增加人们对这几类二项式系数和序列的认识，有利于相关 问题的进一步研究 关键词 同余，素数，模，二项式系数和，b e r n o u l l i 数 a b s t r a c t b i n o m i a lc o e f f i c i e n t sh a v eb e e ns t u d i e df o r7 0 0y e a r s ，t h es u m so fb i n o m i a l c o e f f i c i e n t sh a v em a n yg o o dp r o p e r t i e sa n d8 2 er e l a t e dt om a n ym a t h e m a t i c a l p r o b l e m s i n1 9 7 8 ，t h ei r r a t i o n a l i t yo f ( ( 2 ) a n d ( 3 ) w a sp r o v e db ya p 6 r y u s i n gt h er e c u r r e n c ef o rs u m so ft h eb i n o m i a lc o e f f i c i e n t s ，s i n c et h e n ，h i sw o r k s t i m u l a t e dt h ei n t e r e s to fr e s e a r c h i n gt h es u m so fb i n o m i a lc o e f f i c i e n t s ，s oal o t o fn e wr e s u l t sa z eo b t a i n e d i nt h i sp a p e r ，s e v e r a lk i n d so fs u m so fb i n o m i a l c o e f f i c i e n t sa r em a i n l ys t u d i e dv i at h em e t h o do fd i v i s i b i l i t ya n dc o n g r u e n c e t h ew h o l ep a p e r sc o n t e n ti sa sf o l l o w s f i r s t l yt h es u m so fb i n o m i a lc o e f f i c i e n t so n ( r 7 s ) = 2 ：o ( z ) 7 ( 几专七) 8a r e c o n s i d e r e di nu s eo ft h em e t h o do fc o n g r u e n c e ，t h ec o n g r u e n c ep r o p e r t i e so f a p ( t 。，s ) ，a p _ l ( r ，s ) ，口印一l ( r ，s ) ，a p + 1 ( r ，s ) ，a k & ，s ) m o d u l op 2a r eo b t a i n e d s e c o n d l yt h ec o n g r u e n c ep r o p e r t i e so fu ：“佗) m o d u l op 3a n dm o d u l o p 2 ，i nw h a tc o n d i t i o n spd i v i d e s 札：，b ，c ( n ) a n dt h ec o n n e c t i o n so fu ： 6 ，c ( 礼) w i t h b e r n o u l l in u m b e r sa r ed i s c u s s e d t h ；r d - yt h ec 。n g r u e n c cp r 。p e r t i e s 。f ： 三三， ： ? 乒， ： 三扪m 。d u l opa n ds o m ed e d u c t i o n sa r ep r o v e d t h e s er e s u l t sw i l lg i v ep e o p l em o r ee f f e c t i v ei n f o r m a t i o na b o u tt h e s ek i n d s o fs u mo fb i n o m i a lc o e f f i c i e n t s ，w h i c hi su s e f u lf o rt h ef u r t h e rs t u d yo fr e l a t e d p r o b l e m s b e r s k e y w o r d s c o n g r u e n c e ，p r i m e ，m o d u l e ，s u m so fb i n o m i a lc o e f f i c i e n t s ，b e r n o u l l ih u m 1 1 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：i 芝业盈指导教师签名： 哆年石月r 口日口罗年石月。日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：，f 易4 诧 钾年月，口日 西北大学硕i ：学位论文 1 1 引言 第一章绪论 二项式系数 1 】是帕斯卡三角( p a s c a l st r i a n g l e ) 121 133 1 4 64 p a s c a l7 st r i a n g l e 第n + 1 行从左起第k + 1 个数我国宋代数学家杨辉1 2 6 1 年在其著述的 详解九章算法中就己使用过帕斯卡三角，并称之为“开方作法本源”，此 外德国学者p e r t r u sa p i a n u s 在1 5 2 7 年也曾论及在阿拉伯数学家a l k 五s h i 的著 作算术之阴( 1 4 2 7 ) d p 也给出了一个二项式系数表，他所用的计算方法与贾 宪的完全相同帕斯卡三角在我国被称为贾宪三角或杨辉三角该三角于1 6 5 3 年 出现在b l a i s ep a s c a l 的著作t r a i t 6d ut r i a n g l ea r i t h m d t i q u e 中，书中对上图作了 解释：该三角形中的每一项，但不是出现在左边和右边上等于1 的那些项，通过 把上一行的两项加在一起而得到一项在上方而另一项则未与其左边事实上， 二项式定理的发现，我国比欧洲至少要早3 0 0 年 发展至今，二项式系数( 凳) 【2 】被定义为( a + 6 ) n 的二项式展开中。凫扩砘的 系数在组合数学中，( ：) 表示n 元集的七一组合的个数，简称为组合数 二项式系数与b e r n o u l l i 数，c a t a l a n 数：f i b o n a c c i 数，s t i r l i n g 数以及许多组 合问题有着非常密切的联系，很多学者 3 - 【8 致力于这方面的研究，得出了一系 列非常好的结果 1 9 7 8 年，a l f r e dv a nd e rp o o r t e n 9 在他的报告中公布t a p 6 r y 关于( ( 3 ) = 是l 嘉，( ( 2 ) = 巽1 嘉的无理性证明，他指出：整数序列k 和有理数序列o n 】 第一章绪论 均满足下面的递推关系 7 3 2 t n 一( 3 4 n 3 5 1 n 2 + 2 7 n 一5 ) u 几一1 + ( 仃一1 ) 3 札n 一2 = 0 ，7 2 2 这罩h = z ：o ( ：) 2 ( n 之后) 2 ，。n = ；：。( ：) 2 ( n 之惫2 c n , k 其中c 砒= 象：。嘉+ 袅；。( 一1 ) m - 1 2 m 3 ( 三) ( 几) 并且他进一步指出：l i m n a n b n = 0 ， 对于所有足够大的整数p ，g ，不等式i g 川叶成立这里p = 1 3 4 1 7 8 2 0 ( ( 2 ) 的无理性也是用类似的方法证明 上述工作的重点和难点就是找出二项式系数和序列的递推关系，而这个关 系则是由二项式系数和序列自身的性质所决定的因而a p d r y 的工作极大的刺 激了人们 1 1 【1 7 对于二项式系数和序列递推关系以及同余性质的研究 1 9 9 5 年，a l s c h m i d t 和袁进教授 1 8 】合作，通过研究二项式系数和序列 跏) 2 篆( z ) 舵 刨 在模p 下的同余性质，得到了s ( n ) 所能满足的多项式递推公式的一个非平 凡下界，即不存在非平儿整系数多项式p o ( , o ，p 1 ( 咒) ，使得p o ( n ) 母( 佗+ 1 ) + p l ( 几) s ( 佗) = 0 成立这里岛( 佗) = c o + c 1 t t + + c m n m ，p l ( n ) = d o + d i n + + d m n m 1 9 9 9 年，袁进教授s h h d i c k i n s o n 1 9 合作：给出t - ：项式系数和序列 。c n ，= 塞( 凳) r 。( n 之后) n ( 忍志6 克) n ，r 。，r ，r t 为非负整数 所能满足的多项式递推公式的下界估计 之后，袁进教授和她的学生 2 0 2 1 】对序列n nr ，s ) = ：o ( z ) r ( n 吉七) 3 同 余性质进行了研究，得出其在模p 下的周期性：对任意的奇素数p ，非负整 数t p 一1 及惫n ，r ，s n 有 a k p + t ( r ，s ) 三。七( 7 ，5 ) o ( r ，s ) ( m o dp ) 2 与此同时，一些学者【2 2 2 3 】对其它类型的二项式系数和的同余性质i j g t 研究 2 0 0 5 年，m c h a m b e r l a n d 和k d i l c h e r 2 4 给出了二项式系数和序列 u 跏a , b ，= 扣严( 叭警) 6七= 0 、 、7 的一系列同余性质 2 0 0 6 年，z w s u n 和r t a u r a s o 2 5 讨论了二项式系数和序列 q 。量( z ) 的同余性质，之后还有人 2 6 】研究了 吼= 。( z ) 5 的同余性质 本文作者继续了以上的研究i f _ 作，共分四部分 第一章介绍本文相关的研究背景和基础知识 第二章利用这些基础知识探讨了二项式系数和序列a n ( r ，s ) = ：。( 嚣) ( n 吉七) 5 ，得出了 a p ( r ，s ) 三1 + 2 5 ( m o dp 2 ) a p - 1 ( r ，s ) 三1 ( r o o dp 2 ) 印一l ( r ，s ) 三1 ( r o o dp 2 ) a k p ( r ，s ) 三a k ( r ，s ) ( r o o dp 2 ) + c ns ，三1 + c 印+ 1 ，c 2 卜1 s p + 2 8 + ( 2 p 多1 ) 8 ，+ ( 2 害j p ) 3 ( m o dp 2 ) 第三章讨论了二项式系数和序列l t 9 a , b , c ( 佗) 的相关性质，给出了如下几个 同余式 u 2 a ，6 ，。( p ) 三1 + ( 一1 ) m 23 c ( m o dp 2 ) ，e o ，1 ) 第一章绪论 u a , b , c ( 班1 + ( _ 驴2 6 ( 警) 。( r o o dp 3 ) 雕 o j 1 ) u ：，b ，。( p ) 兰2 b + 1 3 c p a _ j + _ b 二+ _ c 互( 2 万2 _ - 2 m 一- 1 ) b p 一2 m + l ( m o dp a + b + c + 1 ) 1 。三- 2 6 3 矿6 + c + 1 毒等磊( 1 - 2 - a - b - 。) b p 小。小。( m 。坩舶+ c 柏) 还给出了pi 札：，6 ，。( p ) 成立的充分条件 第四章研究了二项式黼酬拦，眇扪， 在模p 下 的同余性质 本文主要运用了初等数论中的整除理论，同余理论以及二项式系数的相关 知识，下面我们介绍本文涉及的相关内容 1 2 ，1 3 节相关知识参见2 7 1 f 2 s 1 1 2 整除理论 整除是初等数论的基础，它是对在小学就学过的整数的算术作抽象的系统 的总结，看起来似乎很简单，但是它的内涵是十分重要而深刻的这里给出一些 本文相关的整除的知识 1 定义设a ，b z ，a 0 ，如果存在q z 使得b = a q ，那么就说b 可 被n ，记作ab b 不能被a 整除就记作alb 2 传递性aib 且bic 爿o i c 3 设( m ，a ) = 1 ，那么，若ma b ，则m b 证明：i 仇l = ( m ，a b ) = ( m ，6 ) ，这就推出m b 4 设( m ，a ) = 1 ，则有( m ，a b ) = ( m ，6 ) 证明：m = 0 时a = 士l ，结论显然成立m 0 时， ( m ，b ) = ( m ，6 ( m ，口) ) = ( m ，( m b ，a b ) ) = ( m ，m b ，a b ) = ( m ，0 6 ) 这就证明了所要的结论 5 afb 且a fc 车号对任意的x ，y z ，有af6 z + c y 4 两北人学顾十学位论文 证明：由6 = a q l ，c = a q 2 口- t 推出妇+ c y = a ( q l x + q 2 y ) ，这就推出了必要 性取z = 1 ，y = 0 及z = 0 ，y = 1 就可推出充分性 6 设m o ，那么ab 号m om 6 证明：有乘法相消律知，当仇o 时，b = a q 仁令m b = ( m a ) q 这就证明了所要的结论 7 设p 是素数，那么 pi c ) ，1 j p 一1 这里( ：) 表示组合数 证明：已知组合数 g ) = 南 是整数，即歹! ( p 一歹) ! ip ! 由于p 是素数，所以，对任意1 i p 一1 有( p ，i ) = l 因此由2 知， ( p ，j ；! ( p 一歹) ! ) = 1 ，1 j 冬p 一1 进而由3 推出：当l j p 一1 时，歹! 一歹) ! l ( p 一1 ) ! 这就完成了证明 1 3 同余理论 同余理论是数论中一部分很重要的内容，同余概念的产生极大地丰富了数 学的内容本节将给出同余的概念和一些基本性质 定义( 同余) 设m 0 若ma b ，即。一b = k m ，则称m 为模，a 同余于b 模m ，记作a 三b ( m o dm ) ；不然，则称a 不同余于b 模m ，记作 a b ( m o d b ) 接下来给出同余式的几个性质： 性质1 同余是一种等价关系即有 5 第一章绪论 则 a 三a ( r o o d 。) ；“三b ( r o o dm ) 铮b 三a ( r o o dm ) ； a 兰b ( r o o dm ) ，b 三c ( m o dm ) 兮a 三c ( r o o dm ) 性质2 同余式可以相加，即若有 a 三b ( m o d 仇) ，c 三d ( m o d 仇) ， a + c 三b + d ( m o d 仇) 性质3 同余式可以相乘，即若( 1 1 ) 式成立，则有 a c 三b d( m o dm ) 性质4 设d l ，dlm ，那么，若同余式a 三b ( m o dm ) 成立，则 性质5 同余式 等价于 a 三b ( r o o dd ) c a 三c b ( r o o dm ) a 三b ( r o o dm ( c ，m ) ) 特别的，当( c ，m ) = 1 时，同余式( 1 2 ) 等价于 a 三b ( r o o dm ) 下面给出关于同余式的两个引理 引理1已知m 1i 口，b 1 2 i o ，( b 1 2 ，m ) = 1 ，若溃三r ( m o dm ) ，l l 三 1 2 ( m o d 仇) ，那么 证明：由已知条件，可设 瓦a 三r ( r o o dm ) 瓦三r m ) 两a 一7 = 庇1 仇，f 1 一f 2 = 惫2 m ，k l , 惫2 z 6 两北火学硕一i ：学位论文 那么 由性质5 知 a = b l l ( r + k l m ) = b ( k 2 m + t 2 ) ( t + k l m ) 三幻1 2 ( r o o d7 n ) 瓦a 三r ( m o dr n ) 瓦鄯 。 引理2 对任意素数p 和正整数七，j ，克j ， 证明：由于 又因为 所以 ( 笼) ( 笼) 三( 多) = n 0 f 佗，则( ：) = o 和 直接导出 ( z ) n ( 礼一1 ) ( n k + 1 ) 6 设7 为实数，尼为整数， k ( k 一1 1 1 ，( 1 k 佗) 萎k 川：( h 尼k + 1 、) r + 扛r 如+ 1 ) t = o 、 。 证明：反复应用p a s c a l 公式即可得这个等式 7 设仇为f 整数，0 l 尼，那么 ( mi1 )= 驴l - 1 ，( m ) 仆1 ) f ( 墨二产) 特别的( 气1 ) = 蜀( 一1 ) ( 舀) + ( - - 1 ) 七 证明：反复应用p a s c a l 公式即可证明 9 、n 尼 r 第二帝二项式系数和序列o ，。( r ，5 ) 的同余性质 第二章二项式系数和序列o n ( r ，s ) 的同余性质 2 1 引言 a p d r y 序g l j 。n ( r ，s ) = 冬。( 嚣) ( n 去知) 2 满足多项式递推公式 仃3 0 几( r ，s ) 一( 3 4 n 3 5 1 n 2 + 2 7 n 一5 ) a 乱一l ( r ，s ) + ( n 1 ) 3 0 n 一2 ( r ，s ) = 0 ，n 2 由于其特征多项式x 2 3 4 x + l 有根( 1 土钜) 4 ，我们可知 1 i m 堕学掣：( 1 士讵) 4 n + o o 口n 【7 ，s j 是无理数，从而( 2 ，2 ) 不能满足一个两项的递推公式，a p 6 r y 使用这些事 实，给出了 2 ，整数7 ，s 2 ，自然数克，那么以下同余式成 ( i ) a p ( r ，s ) 三1 + 2 8 ( r o o dp 2 ) ； 1 0 两北大学硕十学位论文 ( i i ) a p _ l ( ，5 ) 三1 ( r o o dp 2 ) ； ( i i i ) a 2 p l ( r ，5 ) 三1 ( r o o dp 2 ) ； ( i v ) 口七p ( n5 ) 三a k ( r ，s ) ( r o o dp 2 ) ( v ) + l ( r ，s ) 三1 + ( 叩+ 1 ) ( 2 卜1 印+ 2 8 + ( 2 譬1 ) 5 ) + ( 2 射) 5 定理的证明：首先证明( i ) 式 ( r o o dp 2 ) 当l 歹p 一1 时，因为pi g ) ，于是p 2f r 当歹= p 时， 由w b l s t e n h o l m e 定理，对于任意素数p 5 ， ( 笏一p p 一- 1 1 ) 三2 ( m o d p 2 ) 而当p = 3 时，( 2 i 3 ) = 2 0 三2 ( r o o d3 2 ) ，所以 咖，= 砉( 冕) rp 兰g ) p + r ( 警) 8 兰m s ( m o d p 2 ， 接下来证明( i i ) 式： 当o 歹sp 一2 时，则pi ( p + j i ) ! 但是jf + 1 ) ! ( p 一1 ) ! ，从而 p ic ：；) = 揣 a p 一1 ( r ，8 ) 轰p - 1p ( 扩尼1 + 七) 5 = 薹p - 1 ( 州k ) r 斜) 8 ( p p 三1 ( r o o d p 2 ， 当1 j 2 p 一1 时，因为pi ( 2 p 了竹) ，于是p 2j ( 知- j 1 钾) 8 ，所以 峰小= p 戮州p 惫叫) r ( 州p ：尼) 5 兰篆州p + ( p 尼叫坩“p 七) 5 + p 一1 ( p 篙”) ( 卅 叫p - 七) 8 三( p + p 。一1 ) 7 ( p + p 。一1 ) 8 + ( p + ；一1 ) 7p + ( pp 一1 ，+ p ) 8 第二章二项式系数和序列n 。( n8 ) 的同余住质 三1 ( m o dp 2 ) 下面给出( i v ) 式的证明： s 卜薹k p ( 叭细= 蹇( 耿卸 + 三k p 坩p 嚣可 当0 j k ，1 i p 时，有矿+ 1l ( k p ) ( k p 一1 ) ( k p 一( j p + i ) + 1 ) 但 是+ 1fo p + i ) ! ，所以pl ( j 髯i ) ，于是p 2l ( 歹髯。) r 由 ( 岩) k p ( k p 一1 ) 细一( p 一1 ) 】( 克p p ) 【庇p 一( j 一1 ) p 】( 定p 一j i p + 1 ) j p ( j p 1 ) d p 一( p 一1 ) ( 歹p p ) b p 一( 歹一1 ) p 】3 2 1 k p ( k p p ) ( k p 一2 p ) 七p 一( j 一1 ) p j p ( j p v ) ( j p 一2 p ) b p 一( j 一1 ) 纠 ( 多) ( r o o dp 2 ) i n n n n ( 凫p j p + j p ) 三 ( m o dv 2 ) ，代入下式，可得 毗小p 蓦- 1 ( 叭切+ 篓，( 纵切+ + k p - 1 r ，一 ( 七一1 ) p + 1( 宇) r ( 卸广歹) 8 + 妻( 笼) 7 ( 却嘉抑) 8 圭j = o ( 扒惫刈c m o a 最后给出( v ) 式的证明 当1 a p + 1 ( r ，8 ) i p 一1 时，因为pi ( ；) ，于是p 2i ( ；) 7 ，于是 = 薹( p ；1 ) r ( p + 三+ j ) 3 = 薹c ( ；) + ( 歹一p1 ) r ( p + 三+ 歹) 8 三1 + ( p + 1 ) r ( p + 2 ) 8 + ( p + 1 ) 7 ( 2 p j 兰1 + ( r p + 1 ) ( 2 8 1 s p + 2 5 ) 三1 + ( r p + 1 ) ( 2 8 1 s p + 2 8 这就完成了定理的证明 、， + j 七 ， + 十p p p r 2 ( + - l 西北人学硕l ：学位论文 第三章 二项式系数和序列饥知c ( n ) 的相关性质 3 1 引言 1 8 6 2 年，w o l s t c n h o l m e 3 6 1 证明了 ( 翟二】) ) 三- ( r o o d p 3 ) 其中p 为素数，p 5 同时证明了同余式( 碧) 兰l ( r o o d 仃3 ) 在佗 1 0 9 时没有 合数解j p j o n e s 曾经提出上述命题的逆命题是否成立? ，这是一个迄今尚未解 决的问题 2 0 0 6 年，m c h a m b e r l a n d 和k d i l c h e r 2 4 在此问题的启发下，考虑了二项 式系数和序列 “a , b 扯扣严( 吠翟) 6 七= 0 、7 因为乱 1 ( n ) 具有w b l s t e n h o l m e 定理相似的同余性质，即 u i 1 ( p ) 三一1 ( r o o dp 3 ) 在这篇文章中，作者证明了：若为p 素数，那么 ( 3 i ) u ：6 ( p ) 兰l + ( 一1 ) 5 2 6 ( m o dp 3 ) ，p 5 ( 3 2 ) 同时给出了钆：扣( 2 ) ，u 9 a ，6 ( 3 ) 分别在2 3 ，3 3 下的同余性质，并且对于u ： b ( 2 7 ) 给 出了类似的同余性质，指出使得式( 3 2 ) 式成立的数不一定是素数，还讨论 了u ：，6 ( ，。) = 七n ：- 1 1 ( 一1 ) 幽( ：) n ( 翟) 6 - 与b e r n o u l l i 数的联系 这里作者对( 3 1 ) 式做了进一步的扩展，考虑二项式系数和序列 u 5 a , b , c c 佗，= ：喜c l ，5 七( z ) n ( 蛩) 6 ( 警) c 七= 0 、7、7 的一些相关性质，在本章中 噍即= 争严( 巩纵3 k n ) 。1 。( 佗) = ( 1 ) 幽滢) ) 七= 、 、 1 3 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 第三章二项式系数和序列u ：b 。( 礼) 的相关忭质 3 2 二项式系数和序列u ：，b ，c ( 佗) 的同余性质 为了完成定理的证明，我们首先给出了几个引理 引理1 设仇是大于1 的整数，( a ，m ) = 1 ，妒( 仇) 是欧拉函数，则 口妒( m ) 三1 ( r o o dp 3 ) 引理2 对于奇素数p ，除了( i ) = 0 ，a + b + c 是奇数；( i i ) e = 0 ，p 一1 a + b + c 这两种情况外，有 秒：6 ，。( p ) 三0 ( r o o dp a + b + c 4 - 1 ) 证明：对于奇素数p ，1 p 一1 ，有 ( 乏) = p 虹坚等止型 三p 掣( m o d p 2 ) 三p 业盟掣 同样地有 ( 翟) 三劫半( m o dp 2 ) ，( 翟) 三印半( m o d p 2 ) 将其代入( 3 4 ) ，可得 u ：，。，c c p ，三c 一1 ，a + b + c 2 b 3 勺严+ 6 + c 喜上二掣c r o o d p a + b + c + l ， 已知：若p 一1 十m ，则 ( m o dp ) ； ( 3 5 ) ( 3 6 ) 若p 一1lm ，则 p 一1 1 去三一1 ( m o dp )k鲁m 一1 川 这是因为( k ，p ) = 1 ，由引理1 可知，舻。三1 ( r o o dp ) ，而p l m ，就有意m 三1 ( r o o dp ) ，于是得证 下面我们分两种情况讨论： 】4 0三 土杪 两北人学硕十学位论文 情况1 ：当a + b + c + 是偶数且p 一1 十a + b + c 时，由( 2 5 ) 可知 ( r o o dp ) ； 情况2 ：当a + b + c + e 是奇数且a + b + c 是偶数时， ( 3 7 ) 蚤p - 1 拱+ 蚤p - 1 吉冬 蓦群+ 薹篇三。 慨8 ， 由上面的讨论可知，当e = 0 ，o + b + c 是奇数或p 一1lo + 6 + c 时， ( r o o dp ) 这就完成了引理的证明 定理一 对于任意的素数p 5 ，除了 ( ，a ，b ，c ) = ( 0 ，1 ，0 ，o ) ( o ，0 ，l ，o ) ( o ，0 ，0 ，1 ) 外，有 吃如三，+ ( 驴2 6 ( 苫) 。( m o d p a ) ，吲0 ) 1 ) 证明：利用w o l s t e n h o l m e 定理，我们可得 1 z ：，6 ，。( p ) 三 1 + ( 一1 ) 由引理2 可得 三1 + 【一1 三1 + ( 一1 5 ( 警) 6 ( 苫) 。+ ，：，。，。c p ， 2 6 ( 警二f ) 6 ( 害) c + 呓，。，。c p ， 5 2 6 ( 苫) 。+ 吒，a ，。c p ， ，u ： b ，。( p ) 三0 ( m o dv 3 ) ( m o dp 3 ) 故除了( e ，a ，b ，c ) = ( 0 ，1 ，0 ，o ) ( o ：0 ，1 ，o ) ( o ，0 ，0 ，1 ) 外，有 u ：，a ，。( p ) 三三1 + ( 1 ) 8 2 6 ( 害) 。( m o dp 3 ) 熹 脚 蒜 一胤 0 獒 严瓦兰m (一厶 川糊 第j 章二项式系数和序列三b 。( 凡) 的相关性质 推论对于任意的素数p5 ，除了 ( e ，a ，b ，c ) = ( 0 ，1 ，0 ，o ) ( o ，0 ，1 ，o ) ( o ，0 ，0 ，1 ) 外，有 u ：，6 ，c ( p ) 三1 + ( 一1 ) 鼬23 。( m o dp 2 ) ，e _ o ，l 证明：由定理一可得 又因为 u ：，a ，。( p ) 三三1 + ( 1 ) 5 2 6 ( 苫) 。( r o o d p 2 ) 塞( 扎一y 七) = ( z ：可) 令x = 2 p ，y = p ，几= p ，所以 ( 苫) = 壹k = o ( 翟) g 兰尼) = 壹k = o ( 翟) ( 瑟) 2 三3 ( m o d p 2 ， 故除了( ，a ，b ，c ) = ( 0 ，1 ，0 ，o ) ( o ，0 ，l ，o ) ( o ，0 ，0 ，1 ) 外，有 礼：，b ，。( p ) 兰1 + ( 一1 ) 5 2 6 3 。( m o dp 2 ) 定理二对于任意正整数m ，n ，a l ，b 1 ，c 1 ，e 0 ，1 ) ，a + b + c 三e ( r o o d2 ) ，p 是素数：如果 n a4 - 2 b4 - 3 ca4 - b4 - c 一1 鬲 p 0 ，那么 ( z )( ”r ) = 虹堂型名业丛 ( - , - ) ( - r 一1 ) ( 一r 一惫+ 1 )斗矿譬紫( r o o d p ) 这里我们使用了p o c h h a m m e r 符号z ( o ) = 1 ，z ( r ) = z ( z4 - 1 ) ( z + r 1 ) 同样地有 ( r o o dp ) ， 亨 七 、l， l ， 三 、打忌 两北火学硕十学位论文 ( 麓6 ) 斗妒紫( r o o d p ) 由于a + b + c + 是偶数，于是 c ( p ) 三f 可硒j 噘而可a ( 3 9 ) 这罩4 = 翟等r ( ( 尼+ 1 ) ( r 一1 ) ) 。( ( 后+ 1 ) ( 2 r 1 ) ) 6 ( ( 尼+ 1 ) ( 3 ，一1 ) ) c 因为多项式z ( o ) ，z ( 1 ) ，z ( d ) 是次数最多为d 的整数多项式空间的一组整 数基，这里d = ( r 一1 ) ( 倪一1 ) + ( 2 r - 1 ) 6 + ( 3 r 一1 ) c ，所以存在整数c o ，c 1 ，c d ，使 得 ( ( 七+ 1 ) ( r 1 ) ) 。一1 ( ( 忌+ 1 ) ( 2 ) ) 6 ( ( 尼+ 1 ) ( 3 r 1 ) ) c = 勺( 尼+ r ) ( j ) ( 3 1 0 ) j = o 由于 ( 七+ 1 ) p 1 ) ( 尼+ r ) o ) = ( k + 1 ) ( 尼+ 2 ) ( 后+ r + j 一1 ) = ( 尼+ 1 ) p + j 一1 ) 于是利用( 3 8 ) ( 3 9 ) ，通过交换求和次序可得 吃咖三丽杀可薹勺詈时咄州叫 为了方便讨论起见，我们做一下的变换， 7 n p r ( 知+ 1 ) ( 州一1 ) k = o r r t p - r ei r ) = ( r + 歹一1 ) ! + ( r + ，) ! + + 锱 = ( r + j - 1 ”r n 。p 一- - 。r e ( 知+ 7 玄歹一1 ) ( 3 ，2 ) ( 。+ r + 。j - 1 ) + + ( m p m + p j - r1 ) ( 1 + r + 。j - 1 ) + + ( m p m + p j - r1 ) ( 2 + 1j - 1 ) + + ( m p 即+ 一j - r1 ) ( ”印- 唧r + 一r + j 1 一) + ( 犷茹，。) 1 7 第一章二项武系数和序列乱：6 ，。( n ) 的相关性质 ：p p + j 、 r a p 一1 】 ( 3 1 3 ) 以上推导利用了公式( 了嚣) = ( j 芊1 ) + ( ；) 将式( 3 1 2 ) 代入式( 3 i l ) ，可得 ( r + j - 1 ”r a 。p 一- - 。r e 七+ 7 嘉歹一1 ) = ( r + j - 1 ”r a p + j ) = 鲤譬掣( m o d p ) 所以 代入( 3 1 0 ) 可得 。( p ) 兰f 可话击酾 ( m o dp ) ( 3 1 4 ) 现在假设r + d p ，而a 1 ，b 1 ，c l ，r 1 ，那么 r2r-一1l(r。r-一1)，(，a。-一1)1，+(2。r2r-一1)。b，6+(3。3rr-一1)，c，c=：dd 2 r + d - l p + d 2 r - 1 p p 十( r 1 ) ! ，pt ( 2 7 1 一1 ) ! ，pf ( 3 7 一1 ) 对于任意的j ，0 j d ，p 十r + j 经过上面的分析可知，式( 3 1 3 ) 中的直和项的每一项的分子都可以被p 整 除，故pi ，u 矗c ( ，。) 由假设知 r + d = 7 ( 口+ 2 b + 3 c ) 一( a + b + c ) + 1 = ( m p n ) ( a + 2 b + 3 c ) 一( a + b + c ) + l 勺 d 例 两北人学硕十学位论文 = m p ( a + 2 b + 3 c ) 一n ( n + 2 b + 3 c ) 一( a + 6 + c ) + 1 p 兮p ( m ( o4 - 2 b4 - 3 c ) 一1 ) n ( a4 - 2 b4 - 3 c ) + a + 2 b + 3 c 一1 a + 2 b + 3 ca + b + c l 兮p 薏 综上所述就完成了定理二的证明 定理三对于f ：1 ， o ，1 ) ，n l ，c4 - 是奇数，p 是素数，如果 3 n 3 n 这就完成了定理三的证明 3 3 二项式系数和序列呓，6 ，c ( 7 1 1 ) 与b e r n o u l l i 数的联系 本节主要研究的是u a e , b , c ( p ) = p 七- ：1 ，( 一1 ) e 七( 2 ) 。( 翟) 6 ( 翟) 。与b e r n o u l l i 数的 联系多年来，很多学者都致力于研究二项式系数和与b e r n o u l l i 数和b e r n o u l l i 多 项式的联系 b e r n o u l l i 数是这样定义的： e z 一1豌等巾i 0 ，( 礼1 ) b e r n o u l l i 多项式是这样定义的： 我们将分两种情况来讨论： ( 加矿惫小o j 1 1 2 ，) 2 0 n n n 脚 = 仉脚 两北火学硕 ：学位论文 情况1 ：u ：，6 ，。( p ) 与b e r n o u l l i 数的联系 9 1 t 9 1 见参考文献【7 ( - 儿删n - - i = 监雩挚； ( i i ) ( z + y ) =警o ( ? ) 一r ( z ) 旷； ( i i i ) b m ( ；) = ( 2 1 一仇一1 ) b m 引理2 对于奇素数p ，整数m ，2 茎m 学，有 证明：先做以下变换 ( 2 2 吨m 1 ) 吐 ：2r ，一 七= 1 2 2 m 1岛十l 一2 m ( r o o d p ) 吐 2 三2 2 2 mr ，一 k = l尼2 m 一1 ( r o o dp ) 由于( 庇，p ) = 1 ，七p 。三1 ( r o o dp ) 及引理l ，于是 e 凫= l七2 m 一1 2 蔓 2 三r 尼p 一2 仇 j 二_ ， 凫= 1 代入上式可得 ( r o o dp ) 岛一2 m + 1 ( 学) 一岛一2 m + l p 一2 m + 1 岛一2 m + ( 学) 一岛一z 卅，( ) 岛一z m + t ( ) 一岛一2 m + p 一2 r r t + 1p 一2 m + 1 p - 2 m1 ( 2 m - 。1 ) c 狮7 + 坠磬 2 2 m 一1 2 1 2 m 玮一2 仇一1 三2 2 定理设p 为奇素数 一2 m 2 2 m 一1 2 1 2 m ( 2 2 2 m 一1 ) 2 一2 m - 1 2 m 1 2 1 岛+ l 一2 m ( r o o dp ) 严j 坐枷 州随 卢j 坐枷 叫脚 七一1)一一兰 0一尼 矧 第蔓章二项式系数和序列乱： 。( n ) 的相关性质 ( i ) 设a + b + c 是奇数，2 m 一1 是a + b + c 在模p 一1 下的最小正剩余，如 果2 吐2 ，那么 记，6 。( p ) 三 2 b + 1 3 。p 。+ 。( 2 2 2 m 一1 ) 1 2 m ( i i ) 如