（应用数学专业论文）关于最小原根的两个结果.pdf

摘要 素数p 的最小正原根g ( p ) 的阶的估计是数论中的一个重要问题1 9 6 0 年前后 王元和d a b u r g e s s 利用a 、w e i l 关于有限域上代数函数域的r i e m a n n 猜想的深刻 结果分别独立得到g ( p ) = o ( p 牝) ，其中e 是任一正数王元还在假定有理数域中 广义r i e m a n n 猜想成立的条件下利用b r u n 筛法得到g ( p ) = o ( m 6l 0 9 2 p ) ，其中m 代 表p 一1 的互异素因子的个数1 9 9 2 年，v s h o u p 利用1 w a n i e c 筛法改进了王元的 条件结果，他得到g ( p ) = o ( m 4 ( t o gm + 1 ) 4l 0 9 2p ) 2 0 0 4 年，王永晖和c b a u e r 又将 王元的条件结果推广到代数数域在函数域上。许志农1 9 9 8 年给出了模不可约多 项式的最小原根的估计本文将利用1 w a n i e c 筛法在代数数域和函数域两种情况下 考虑最小原根的估计，改进王永晖和c b a u e r 及许志农的相关结果 全文共分三章第一章介绍原根的定义及最小正原根估计方面的已有结果，并 简述本文所使用的方法第二章首先引入g r 6 s s e n - 特征及h e c k ez e t a 函数，然后证 明任意代数数域上的一个p e r r o n 公式，并利用h e c k ez e t a 函数的若干估计给出代数 数域上的特征和估计，最后应用1 w a n i e c 筛法改进目前最小正原根阶的估计方面的 已有结果详言之，我们证明了t 假设代数数域中的广义r i e m a r m 猜想成立，则存 在一个完全正的模紊理想p 的原根”，满足 p m 4 ( 1 0 9 m + 1 ) 4 ( 1 0 9 n p ) 2 ， 其中m = u ( 庐( p ) ) ，w ( n ) 代表n 的互异素因子的个数，毋为e u l e r 函数在本文 第三章，再次利用1 w a n i e c 筛法改进许志农在函数域上最小原根的结果，我们证明 了；设p 是一个系数在q 元有限域酩上的一元首一不可约多项式，则模p 的最小 原根的次数6 l o g 。( d e g p + 1 ) + c ，其中c 是任一正数 关键词t 原根，g r t i ，数域。函数域，筛法，特征和 a b s t r a c t t h e e s t i m a t e o f t h e m a g n i t u d e o f t h e l e a s t p o s i t i v e p r i m i t i v e r o o t 9 0 ) m o d u l o a p r i m e pi si m p o r t a n ti nn u m b e rt h e o r y a ta b o u t1 9 6 0 ，y w a n ga n dd a b u r g e s so b t a i n e d i n d e p e n d e n t l yt h a tg ( p ) = o ( p 1 4 + ) f o ra r b i t r a r yf 0 ，u s i n g t h ed e e pw o r ko fa w e i l o nt h er i e m a n nh y p o t h e s i si nt h ea l g e b r a i cf u n c t i o nf i e l d so v e raf i n i t ef i e l d u n d e rt h e g e n e r a l i z e dr i e m a n nh y p o t h e s i si nr a t i o n a ln u m b e rf i e l d ，y w a n ga l s oo b t a i n e dt h a t 9 ( p ) = o ( m 6l 0 9 2p ) ，w h e r e7 n d e n o t e st h en u m b e ro fd i s t i n c tp r i m ed i v i s o r so fp 一1 t h i sr e s u l tw a si m p r o v e dt og ( p ) = o ( m 4 ( 1 0 9 m + 1 ) 4 l 0 9 2 p ) b yv s h o u pi n1 9 9 2w i t h t h eu s eo f1 w a n i e c ss h i f t e ds i e v ei n s t e a do ft h a to fb r u n i n2 0 0 4 ，y h w a n ga n dc b a u e rg e n e r a l i z e dy w a n g sc o n d i t i o n a lr e s u l tt oa l g e b r a i cn u m b e rf i e l d s o nt h eo t h e r h a n d ，c h 一n h s ug a v ea ne s t i m a t eo nt h el e a s tp r i m i t i v er o o t m o d u l oa ni r r e d u c i b l e p o l y n o m i a li nf u n c t i o nf i e l d si n1 9 9 8 i nt h i st h e s i s ，w ew i l ld e v o t eo u ri n v e s t i g a t i o n s t o t h el e a s tp r i m i t i v er o o tu n d e rb o t ha l g e b r a i cn u m b e rf i e l dc a s ea n df u n c t i o nf i e l dc a s e t h ee x i s t i n gr e s u l t so fw a n g - b a u e ra n dh s ua x es h a r p e n e db yt h eu s eo f1 w a n i e c ss h i f t e d s i e v ei n s t e a do fb r u n sa st h a tw a sd o n eb yv s h o u p t h e r ea x et h r e ec h a p t e r si nt h i st h e s i s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n o fp r i m i t i v er o o ta n dt h eh i s t o r i c a lr e c o r d so nt h ee s t i m a t eo ft h ep r i m i t i v er o o t ，t h e n s k e t c ht h em e t h o d su s e di nt h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w ef i r s ti n t r o d u c eg r s s s e n c h a r a c t e r s a n dh e c k ez e t af u n c t i o n s ，t h e nw ep r o v eap e r r o nf o r m u l ai na l g e b r a i cn u m b e rf i e l d s f u r t h e r m o r e ，u s i n gs o m ee s t i m a t e so nh e c k ez e t af u n c t i o n s ，w ea c h i e v eak e yc h a r a c t e r s u me s t i m a t ei na l g e b r a i cn u m b e rf i e m s c o n s e q u e n t l y , b ya p p l y i n g1 w a n i e c ss h i f t e ds i e v e ， w eg e tt h em a i nr e s u l t ：u n d e rt h ea s s u m p t i o no ft h eg r hi nn u m b e rf i e l d s ，t h e r ei sa t o t a l l yp o s i t i v ep r i m i t i v er o o tvm o d u l o a p r i m ei d e a lns a t i s f y i n g n v m 4 ( 1 0 9 m + 1 ) 4 ( 1 0 9 n p ) 2 ， w h e r em = u ( ( p ) ) ，a n du ( n ) d e n o t e st h en u m b e ro fd i s t i n c tp r i m ed i v i s o r so f 札i n c h a p t e r3 ，w eg i v ea ni m p r o v e m e n t o fc h ，n h s u sr e s u l tb yu s i n g1 w a n i e c ss h i f t e ds i e v e a g a i n w ep r o v e ：l e t 尸b ean m n i ci r r e d u c i b l ep o l y n o m i a l i no n ev a r i a b l ew i t hc o e f f i c i e n t s 1 1 i nt h ef i n i t ef i e l d w i t hqe l e m e n t s ，t h e nt h el e a s td e g r e eo ft h ep r i m i t i v er o o tm o d u l o p i s 茎6 l o g d ( d e g p 十1 ) + c ，w h e r e ci sa na r b i t r a r yp o s i t i v en u m b e r k e yw o r d s ：p r i m i t i v er o o t ，g r h ，n u m b e rf i e l d s ，f u n c t i o nf i e l d s ，s i e v em e t h o d ， c h a r a c t e rs u m i i i 第一章引言及主要结果 设p 是一个有理素数。使9 1 ，9 2 ，矿“模p 互不同余的数g 称为模p 的原 根关于模p 原根存在性的早期论断可以追溯到1 7 6 9 年，当时j h l a m b e r t 断言， 对任意的素数p 都存在模p 的原根g l e u l e r 曾给出原根存在性的一个不完全的证 明首先给出原根存在性完整证明的是c f g a u s s ( 参见d s q u i s i t i o n e sa r i t h m e t i c a e ， a r t s 5 2 5 5 ) 用群论的语言描述，若g 所在的模p 的剩余类口是乘法循环群( z p z ) + 的生成元，则称9 为模p 的原根 关于原根的一个经典且重要的问题是确定素数模p 的最小正原根g ( p ) 的阶的 大小g ( p ) 的一般估计是由i m v i n o g r a d o v ( 参见【1 5 】) 在1 9 1 9 年左右首先给出 的，他证明了 9 ( p ) 2 r a p m l o g p ， 其中m = u ( p 一1 ) ，u ( n ) 代表自然数n 的互异素因子的个数此后该问题的研究一 直吸引着众多数学家的注意。估计结果也不断得到改进现将关于9 0 ) 估计的主要 结果列举如下： 9 ( p ) 2 r a p m l o g l o g p ，i m v i n o g r a d o v 2 3 】 g ( p ) 0 是任一正数，王元 2 4 】，d a b u r g e s s 1 】 上述最后一个结果的证明用到了a ，w e i l 关于有限域上代数函数域的r i e m a n n 猜想 的深刻结果，至今没有任何改进王元【2 4 】还在假定有理数域中广义r i e m a n n 猜想 ( 以下简记为g r h ) 成立的条件下，利用b r u n 筛法证明了： g ) = o ( m 6l 0 9 2 p ) 。( g r h ) 1 9 9 2 年，v s h o u pf 2 0 】利用h 1 w a n i e c 【1 4 】在处理j a c o b s t h a l 问题时所用筛法的推 广形式给出了王元【2 4 g r h 下结果的如下改进t g ( p ) = 0 ( m 4 ( 1 0 9 m + 1 ) 4 l 0 9 2 p ) ( g r h ) 1 设k 为一个代数数域，p 为中的一个素理想由代数数论的基本知识我们 知道，模p 且与p 互索的代数整数所形成的剩余类在乘法运算下形成一个循环群， 这个群的生成元称为模p 的原根我们亦可以在代数数域中考虑最小正原根的估计 问题设”为中的一个完全正的( 定义见2 1 ) 代数整数，且v 是模p 的最小原 根( 所谓最小是就”作为代数整数其范数n v 最小而言) j g h i n z 【9 】首先给出了 一个无条件的上界估计n v n p l 2 机，随后在【10 中他又将这一结果改进为 n v n p l 4 “ 其中e 为任一正数，这一结果与有理数域中相应结果的强度相当，它是按照b u r g e s s 【l 】的方法从有理数域到代数数域推广所得的在数域中的广义r i e m a n n 猜想( 觅 5 2 3 ) 之下，王永晖和c b a u e r1 2 5 】在2 0 0 4 年证明了存在一个模索理想p 的完全正 的原根v ，满足 n v m 6 ( 1 0 9 n p ) 2 ， 其中m = w ( 西( p ) ) ，u ( n ) 代表礼的互异素因子的个数这就将王元【2 4 】中的结果 推广到代数数域本文将v s h o u p1 2 0 的结果与王永晖和c b a u e r 2 5 j 的结果结 合，利用代数数域上的p e r r o n 公式以及1 w a n i e c 筛法证明了 定理1 假设代数数域中的广义r i e m a n n 猜想成立，则存在一个完全正的代 数整数一，它是模素理想p 的一个最小原根，( 在范数最小的意义下) ，且满足 n v 7 n 4 ( 1 0 9 m + 1 ) 4 0 0 9 n p ) 2 ， 其中一常数只与数域k 有关。m = w ( 庐c n p ) ) ，u ( n ) 代表n 的互异素因子的个数 为证明定理1 ，类似于v s h o u p 【2 0 j 我们也给出了相应的特征和估计，这是本 文的定理2 定理2 假设代数数域k 中的广义r i e m a n n 猜想成立，q 是k 中的一个整理 2 想，我们有 小) a ( 。) 前( 1 卟。k i l ) = 出) 1 2 u 2 r 矿2 - - r l x + o k ( x 1 2 l o g n q ) ， 0 i a 口( h ，) o l 0 ，1 墨sr l ，记为口卜o ( 于是在全虚代数数域中口卜o 仅代表a o ) 定 义e l ，e r + l 如下i i 1 k = 1 ，- 一，r l ； e 。= i2 七= ，。+ l ，一，。+ r 。 本文中我们总是用x 代表向量 x = ( 卫1 ，z r + 1 ) r 1 其中毗代表正实数集，且记 r + l r x ：= x ( x ) ：= i i z t “ = l 用o k 代表数域中的整数环设q 是数域k 的一个整理想熟知全体代数整数 模q 所彳导的简化剩余系在乘法意义下形成一个群，它的阶记为( q ) 设) ( 为这个群 的一个d i r i c h l e t 特征在不发生混淆的情况下，我们总是将主理想( o ) 记为a 沿用h e c k e 【7 】中的概念，与k 中素理想所对应的理想数称为素理想数对理 想整数。定义, c o nm a n g o l d t 函数如下： a ( a ) ：j 1 0 9 ( 1 n e l ) 若口。p 7 ，p 是索理想数，是正整数； ( 1 ) 1 0 否则 4 2 2 数域中的p e r r o n 公式 朦i 意0 的行列式=士。一nn冗，。设(。耋e：l：1e_三1；!：是上述矩阵的逆矩阵 r + 1r 十l ：印= l ， e p l o g i 谗i = o ，= 1 一，r ； p = ip = l 确定数组 0 口p ) 我们将r p + 1 ) 阶矩阵 例，r ，其帆。= ： 卜 ( ) = l ； 界。 记为e ，并设g c n ，= ( 。：j ) ，。k 置 则 a m ( o l ) e x p a m ( d ) = e x p 2 7 r i m e g ( a ) ) ，( 3 ) f i i 砩等扣 = 1 6 rl | | 口 七 g 以 | | 移唱 m 皿 0 = p如 叫 g g j i 1 ， 舟 岛 件 p 、i_ili)il_j ii川u 啪；吣 批；帆 b l o 警州喜渺 ，一，一 ij、 ： m 川 轧 鼽 以、哆 嘶 一 巩；q j以 小_ 扣 嘶 巾 r m j 一 一 叫 ，哪婶 佳氰如叫 捌 撕 秫 k p p p 旺 鲣 既 其中 于是 r + 1 妒r e p 昂( “) 轴卜警耋叫卯，州，”， 磊1 ( 8 l e l ( m ) 8 r + l 耳+ 1 ( m ) ) = ( m i - m r ) ( 5 ) 下面证明集合( a 。：m z ) 只依赖于m ( z 代表有理整数环) 设日l ，开r 是“的另一组基，且 讯= r 1 a l 啦a 2 僻4 一，( k = 1 ，r ) 其中a j k ( j ，= 1 ，r ) 为有理整数记幺模矩阵 7 小， 、f l i + + r r 1 r 口 口 巩q 件 件； 件 如。轧 鼽 埘。邮 舭融钆： ，-。t。一 r m 0生；小 1 0 ； o ，。一 则 设 为矩阵 1l o g 荫i i l 1 0 9 i 蚋 l ： ： l i l l o g 防+ 1 ) ，1l o g 坩i j 1 l o g i q = i ； ； i1l o g f p 的逆，则由( 6 ) 式可得 记 l o g i 岳1 l l o gj 群2 i 1 0 9 矽+ 1 l i o g i 叩j 1 i 1 0 9 0 2 l o gi 移+ 1 f 讪卜孥砉叫卵，州，川 8 ( 6 ) ( 7 ) 、 0 a 1 0 ，ji-、 、l、 、1ti + + + r r r 如。儿 以 眈 抡 心 l n 毋 毋 坩。阳； 肌 ，fjf_il_-iil。_一 移舻；p哪警郴 舒轷p l l 0 薹耐 、i h 件； 件 如。轧 鼽 耘； 堋，即 m ，。 、 o a 1 0 ，f、 = 、， 小 m 如。儿 “ 钇 u； 心 一n 一 侈 q u； n 一n d 秽 ，jf 则由( 5 ) ，( 7 ) 两式得 去( 。l e l ( 。) 。州茸+ 。( m ) ) 磊( 8 l “) 。r + 1 日+ l ( m ) ) f 1 = ( 0m l 。m r ) i f 0 = 去( e - 剐m a ) 故e p ( m ) = e pc m a ) ，p = 1 ，r + i ；e 2 毋1 2 ： - d r 2 ；e ，+ 日l ，r + ： 郎，+ 8 r + 1 日+ l ( m a ) ) 这说明当m = ( m m ，) 跑遍乃时， ( 置( m ) 西+ 1 ( m ) ) 的集合作为一个整体是不依赖于基q - ，聃的选取的， 向量 从而 当m = ( 7 1 1 1 m ，) 跑遍z r 时我们在( 3 ) 式中定义的 。( a ) 的全体也不依赖于“ 中基的选取 又知对任意的佻，1 k r ，有 a 。( m ) = m 。萎t 锯拶一 p _ l j 叫 = 1 于是，对任意的q “有a 。( q ) = 1 由此，我们看到a 。是关于“的g r s s s e n - 特 9 、， m 州 h 。儿 以 h。仇 即 ，一 、 m 小 船。轧 鼽 眈 n； 心 ! n 口 a、 彬，m 舭 ，。 、l， 0 a b 埘。m： m ，。 ，础，一d 1 1 n 丌 丌 ” 2 2 ”r 1 ， 其中( 0 ) 跑过模的全体索理想数因此，如果a 。枷是一个h e c k eg r s s s e n - 特 征，我们可从( 1 0 ) 推出 孙，址蜊) = 学似，k 班 注意到对r es 1 有 l o g ( ( s ， 。x 妒) 一s 赆( - 一篇) 一 ( k 、 “7 一蒹z 昭( - 一锗) ( ) f 、1 ”“7 2 磊薹踹， 将上式两端分别对s 求导，得 1 8 ， m x 妒， ( ( 5 ，a m ) ( 妒) = 一篆薹揣b s m 一蒹薹黼刚l ：一，s - ! 里羔生f 垒2 垒! 垒2 急 l ( & ) p 其中h 是由( 1 ) 定义的 c o i lm a n g o l d t 函数与( 8 ) ，( 1 0 ) 两式类似，我们还可得到 r ! 竺茎! 1 2 垒! 型 彘f ( o ) 。 ：l ，f 、s - 垒翌苎生! 垒2 垒! 垒2 2 “h 溉 i ( a ) p 2 丽1 等赢量羰笥掣篆a m 脚c s ， = 一剑2 r l h r 莓器器， ( 1 1 ) 拿( ( s ，a m x 妒) ” 其中妒使得a 。枷为h e c k eg r 6 s s e n - 特征，即满足对任意的占有a m 脚( s ) = 1 我们先对任意代数数域证明下面的引理l ( 参见( 5 】) ，然后取特殊情形就可得 到本文所需的p e r r o n 公式 引理1 设，( a ) 是定义在0 耳上的函数并满足t 对任意的 “，( o ”) = ，( n ) ， 1 2 - = e 卜1 ，h ，“瑚 诉m = 南互，嘣s ，妒叫吗( m ) ) b ( 1 p , e p ( s - - i 驰m 眠 其中兄似) 如2 2 中所定义， c m ( s ) ：= 磊删，b 代表e u l e r 。b e a 函数 k = ( i ! ，v = ( i ：) ，y t m = ( ：妻：) ， p2 ，一，r + ， 却= “e x p ( v t y ( p ) ) ，p = l ，r + 1 ( 1 2 ) 州= 小z 1 酬砌酬丢他) r 里+ l ( ，咔叫扩。1 蚧岫r 1 3 = i r + 1 l - i ( 1 一阵p v + k ) ) o d v l d r , - p = l r + 1 ( 卜拶( v + k ) ) l p 一1 咖1 d v r ， c o r 十l n 。( “) - e x p - 2 n m v j ( o i i ( 1 一护i t ( p ) ( v ) ) d v l 籼 j 一。 jo。0-0()“la=1 三ii三三三=争三。：i!j三：+ _ ( 1 0 9 , 1 1 i l o g 泞i 1 4 1 0 9 i 叩；1 i 1 0 9 l 护i l o g | ，7 5 r + 1 引 k 呲吣 旧 e， h 旷 搂。 眦州 卜唧 广厶广厶 k什 州 吣 八 h 旷 搂铮州 时 附斯一 “ 旺 ，m l 2 咿 舭 b k 瞎 ，j。 或用逆矩阵表示为 由于 fl o g 。似e 。；e 。 川菱 1 1 0 9 衍 1 l o g 浒 1 l o g 防+ 1 ) = 2 一2 = 2 一2 e 1 e 2 引巨 l o g 7 7 s 1 ) 1 0 9 i 扩) i l o g i 移+ 1 ) e l l 0 9 1 , 7 i i e 2 1 0 咖i 2 i e l l o g l ，7 5 1 e 2 l o g l 拶 e r + 1 1 l o g l , g + 1 ) l e r + 1 l o g 防+ 1 ) e l e l l 0 9 1 1 1 i e l l o g i t 7 5 1 1 e ，e ，l o gl , 7 | e ，l o g1 , 1 5 = 士n 2 7 2 o e ll o gl , 7 1 1 e 2l o gl , 7 1 2 ) o e 11 0 9 1 0 1 e 2 i o g l 町5 2 e ，l o g 啸i 钾l o g i 采7 = 士n 2 ”：嗣口) 所以由变量，z ，+ l 到 ，”一，蜥的变换的j a e o b i 行列式的绝对值 o ( x z ，z r + 1 ) a ( u ， l ，蜥) i j i ) 因为目1 ， r + 1 n 穆= 矿 z 1 1 0 9 z 2 i o g 渚 z 1l o g l 1 ) 。2 l o g i 警州l o g 啸+ 1 。，+ l l o g l 移+ 1 ) z i 。x r - 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i c ”u - n s 西m ( 。件1 ，。，( s _ i 昂( m ) ) ) 如 2 磊 0 1 2 o ) 一i i m l , ，e 一( s 一吗( m ) ) ) 出 于是由( 1 3 ) ，( 1 4 ) 式得 g ( x l ，x ，+ 1 ，1 ) = o m ( “) e x p 2 ，r i m v = 鑫两暑e 酬酚叫嗨( m ”弛咖吲m 抓 引理1 证毕 特别地，我们取f 一，z r + l = 2 ，( 口) = a ( 口) x ( a ) ，口= 2 由e u l e r - b e t a 函数 的性质 b ( 2 8 ，( s - i e d m ) ) ) 。而j 可葡砑1 再面丽 知 显然有 g ( x l ，一，。，+ 1 ) 2 南互，f 2 2 + i 。叫s 拦r + l 而珥丽z 扩( - 而s + i g p 疆( m ) ) 丽可幽 g ( z i l ，。0 1 ) = 南三e 嘣s ) , ，并= 1 二e p ( s - i e p ( m 拦) ) ( e n ( s l - i e n ( m ) ) + 1 ) 如 由圣。( s ) 的定义及公式( 1 1 ) 即得 r + 1 心) x ( f ) i i ( 1 1 ( p f 巧1 ) 0k()i(2p=l f o 1 8 一唧 睁 一 q 州n 脚 d“舒“ 船 k l l = 蒜( 一器) 莩互赢e 筹舞 重而赢蒜如 = 一箬莩三刍e 积舞 亘而赢篇批 ， 这就是本文所需要的任意代数数域中的p e r r o n 公式 2 3 有关h e c k ez e t a 函数的估计 本节我们将给h e c k ez e t a 函数的几个估计如果x 是模q ( q ( 1 ) ) 的非主特 征，妒是狭义类群6 的特征，a 。是( 3 ) 中定义的满足对任意有a 。枷( e ) = 1 的关于甜的g r 6 s s e n - 特征，于是a 。x 妒是非主的h e c k eg r s s s e n - 特征若x 是模q 的原特征，则a 。枷是h e c k eg r 6 s s e n - 原特征( 参见 8 】) 注意到若是非原的，则 它可由模f 的原特征x + 诱导所得，其中帆此时成立 ( 如，a 。x 砂) = e ( 8 ，a 。x + 妒) ( 1 一, k m x 砂( p ) p 一) p l q = e ( 5 ，a 。x 妒) ( 芝二肛( a ) a m x + 妒( o ) 口一。) ( 1 6 ) a l q 因此我们可将讨论归结为入。x 译是模f 的原特征的情形。其中f l q 对原特征a 。x 砂， h e c k e ( 参见i s ，p 3 5 ) 得到如下关于e ( s ，a 。枷) 的函数方程：首先，设 昏 删叫妇纠垂r ( ；( s + a k + i e k c m ”) 基r ( s + i e k c m ”， 其中。1 ，a ，。由枷诱导的符号特征所决定( 参见 8 】 p 2 0 ) 于是 ，i 莉) ：，页蕊) i i rl ( s + a k - i e , ( m ) ) 1 l + r 2r 。一i 玛( m ) ) ， k = l 、 k = r i + l 因此我们可得函数方程： ( s ， 。x 妒) = i 矿( a 。x 妒) t - - 2 s f ( 1 一s ，页：i ) 其中1 w ( 入。妙) i = 1 ，a = 川孤叹酊万2 一 由函数方程，p h r a g m 6 n - l i n d e l 6 f 原理及关系式( 1 6 ) ，如下引理对所有的a 。枷 都成立： 引理2 ( 2 5 】) 设0 r 兰1 2 ，对一目口5l + q ，3 = 口+ “，有 r + 1 ( ( s ，a m x 妒) q ，耳( n q ( 1 + i t l ) ”i i ( 1 + i j 靠( m ) 1 ) “) 1 + ”一4 ) 2 k = t = ( n q l e ( m ) l ( 1 + i t l ) ”) ( 1 - f r 一4 ) 2 ， r + 1 其中i e ( m ) ：= l i ( 1 + l e c m ) 1 ) “ 应用m o r o z ( 1 1 6 ，p 5 4 ) 的引理2 ，特勇0 是取其引理中( ( s ，a 。x 妒) 的阶，我们有 引理3 ( 【2 5 】) 设p = 口+ i 7 是c ( 3 ，人。x 砂) 的非显然零点，则满足z 1s + 1 中的零点个数为o ( 1 0 9 ( n q l e ( m ) ( l i + 1 ) “) ) 记整函数f ( s ，a 。x 妒) 的w e i e r s t r a s s 乘积为 e ( s , a m x 妒旧烈a + b s ) i 。1 e x p ( 斯一石8 ) ， 其中p 跑过( ( s ，a 。x 妒) 所有的非显然零点由上述表示及m o m z ( 【1 6 jp 5 5 ，引理3 ) 的讨论可得： ( ( s ，a m x 妒) c ( 8 ，a m x 讪) 2 莩两1 刊址纠( ；+ 击) + d ( 1 0 9 ( a 吲m + 2 ) w 2 i 。蒹。忐叫址纠( ；+ 击) + d ( 1 0 9 ( q j 跏+ 2 ) ( 1 7 ) 其中一i 4 r es 2 此时可见，若a 。枷是主特征，则9 ( a 。x 妒) = 1 ，否则为0 最后一式可由引理3 推得 因此，h e c k ez e t a 函数的留数为： r e s 餐喾器等l 。：。= 1 如果p 是( ( s ， m x 妒) 的零点， r e s 锩宅错i ，：。，。一1 如果 m 枷是主特征( 1 8 ) 由引理3 我们还可得 引理4 ( 【2 5 】) 设- 1 4 o s2 ，则对所有的z z ，f 引2 ，存在丑( 1 ，z + 1 ) 满 足 等等篇l 0 9 2 ( o g 驯即+ 1 ) m 证明：由引理3 ，对任意的a 。脚都存在正常数c 及丑( 1 ，z + 1 ) 使得函数 e ( s ，a 。) ( 妒) 在区域 i i m8 一丑isc l o g “( 1 v q l e ( m ) i ( | 丑i + 1 ) “) 中没有零点于是结论可由( 1 7 ) 式及引理3 得证 进一步，如果我们假定数域k 中的广义r i e m a n n 猜想成立，即 ( s ， 。枷) 的 所有非显然零点都具有形式口= 1 2 + 竹，则由( 1 7 ) 式及引理3 得 引理5 ( 【2 5 ) 假设数域k 中的g r h 成立，则有 等( ；+ t t ，入m x 妒) 0 ，于是r 0 乓( m ) 如( 4 ) 中所定义，且置 w i ( m ) ：= l ( m ) 一日+ 1 ( m )( = 1 ，r ) 2 1 这是一r 维格点，由r a u s c h ( i t s ，引理4 , 4 ) 知，对任意固定的w = ( w 1 1 一， ，) 弁 m 刀： sw k ( m ) sw k + 1 ，= 1 ，一，r ) r ( u ) 其中带代表集合中元素的个数我们将引用王永晖 2 5 】的如下引理以说明对固定 的她，使得入。x 妒成为h e c k eg r s s s e n - 特征的e k ( m ) 的分布不依赖于“ ；i 理6 ( 2 5 1 ) 设e k ( m ) 如( 4 ) 中所定义且满足对任意固定的x 妒使得a 。枷成 为h e c k eg r s s s e n - 特征，于是 带 m z ，f z ：w ksl 一风( m ) sw k + 1 ，k = l ，r + 1 ) r 现在我们用p e r r o n 公式( 1 5 ) 来证明定理2 假定广义r i e m a n n 猜想对h e c k e z e t a 函数成立，用口记p ：= p ( “) ：= t 2 + i 7 ( ”) 跑遍( ( s ，a m 则) 的非显然零点 首先假定x 是非主的，则a 。x 妒也只能是非主的h e c k eg r s s s e n - 特征，由( 1 7 ) 式知 ( 如，a 。x 妒) ( ( s ，a m x 妒) 以s = p ( “) 为其极点，且残数为1 由c a u c h y 定理，引理4 及引理5 ，我们得 沁互，p - i o 吣。而如 删p 并= t ( s - i e p ( m 矿) ) ( e p ( 剐s - 叫i e p ( m ) ) + 1 ) 也 一疵薹，磊娶砸而豇彘瓣币研西丽丽 + 互，篡湖重矿矗蔫嵩丽幽 胆姜，嘉望两葛寻而 纠扫三1 0 9 ( q | 聃上。f 而d 而t p = l 而 m f ，一 1 一。审“1 ，l 1 。 互上c 。o 娶r + l 巷衢 一心差，磊娶丽高斋而 似v 一，1 0 9 ( - 旧m 篆p = 1 m e z 而i 蒜 f z 一p 、，i 似v 3 互，1 0 “”卜”旦1 两蒜m z r l zp 2l “p