（应用数学专业论文）关于模糊系统独立性问题的研究.pdf

中文摘要 摘要 自1 9 6 5 年z a d e h 提出“模糊集合”理论以来，许多学者对其进行了一系列的 研究，形成了比较系统的模糊系统理论。模糊理论的应用大部分集中在模糊系统 上，我们知道模糊规则独立性涉及到对模糊系统的理解以及模糊系统的解析表达， 对模糊系统的影响很大，因而该问题的研究对模糊系统非常重要。 本文首先从两个模糊集合之间独立性的定义出发，给出了模糊关系之间独立 性的定义，基于模糊关系给出了模糊规则独立性的一种新的定义；讨论了模糊规 则独立性的相关性质；给出了m a m d a r t i 组合推理方法与模糊并组合独立推理方法 之间等价的条件，应用此条件最小推理机不发生变化；基于模糊规则的独立性定 义讨论了模糊系统的独立性。 其次，基于模糊集合独立性的定义，给出了模糊集合间耦合性的定义，进而 可以比较两个模糊集合之间的相关性，确定二者之间的关系：并将此定义推广到 了模糊规则之间，定义了模糊规则之间耦合性的定义；利用模糊规则之间耦合度 的指标，可以对模糊规则库中的规则进行优化处理，通过具体算例进行验证，取 得了预期较好的效果；提出了一种利用模糊规则独立性对模糊规则库进行划分的 方法，将模糊规则库划分为独立规则和耦合规则两部分，对于独立规则部分我们 采用m a m d a n i 组合推理，对于耦合规则部分则采用g o d e l 组合推理，并建立了模 糊系统的推理公式。 最后，通过所建立的实际模糊系统给出了模糊规则库的具体划分，验证了这 种划分的正确性，取得了较好的逼近效果。 关键词：模糊系统；模糊规则的独立性；m a m d a n i 组合推理；并组合独立推理 英文摘要 a b s t r a c t t h ec o n c e p to ff u z z ys e t sw 淞p r o p o s e db yz a d e hi n19 6 5 a f t e r w a r d s ，m a n y s c h o l a r sh a v ed e a l e dw i t has e r i e so fr e s e a r c ho ni t , a n dh a v ee s t a b l i s h e dt h es y s t e m a t i c 氏t z z ys y s t e m st h e o r y a sw ek n o w n , f u z z ys e t st h e r o yi sm o s t l yu s e di nf u z z ys y s t e m s a n db e c a u s ei ti si m p o r t a n tt od i s c u s st h ei n d e p e n d e n c eo ff u z z yr u l e sf o rt h ee x p r e s s i o n a n d u n d e r s t a n d i n go ff u z z ys y s t e m s ，s ow h a tw es t u d i e d a sf o l l o w e da r es i g n i f i c a n t i nt h i sp a p e r , w ef i r s t l yi n t r o d u c et h ei n d e p e n d e n td e f m i t i o na b o u tt w of u z z ys e t s ， a f t e rt h a tw eg i v et h ei n d e p e n d e n td e f i n i t i o nb e t w e e nt h ef u z z yr e l a t i o n s h i p t h e n p r e s e n t san e wd e f i n i t i o no ff u z z yr u l e si n d e p e n d e n c e b a s e do nf u z z yr e l a t i o n s h i p ，a tt h e s a m et i m e ，w ed i s c u s st h er e l e v a n tp r o p e r t i e so fr u l e si n d e p e n d e n c e i nw h a tf o l l o w s ， t h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o nb e t w e e nm a m d a n ic o m p o s i t i o n a li n f e r e n c ea n di n d e p e n d e n ti n f e r e n c eo fs u mc o m p o s i t i o na r ea l s oo b t a i n e d ，a n dg e t t i n gt h ec o n c l u s i o nt h a tm i n i m u m i n f e r e n c ee n g i n ew i l ln o tb ei n f l u e n c e di fu s i n gt h ea b o v er e s u l t a l lt h e s ec o n c e p t sh a - v ep l a y e dam a j o rr o l ei nt h ed i s c u s s i o no ft h ei n d e p e n d e n c eo ff u z z ys y s t e m s s e c o n d l y , b yc o n t r a s tw i t ht h ei n d e p e n d e n td e f i n i t i o no ff u z z yr u l e s ，w ep r e s e n tt h e c o r r e l a t e dn o t i o no ff u z z ys e t s ；i tc a nr e f l e c tt h ec o r r e l a t e dp o s s i b i l i t yo ff u z z ys e t s a n d w ew i uc o n f i r mt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ef u z z ys e t s 。i nt h i sp e r s p e c t i v e ，t h ec o r r e l a t e d c o n c e p t i o no ff u z z yr u l e si sa l s od e s c r i b e d u s i n gt h ef u z z yr u l e s c o r r e l a t e dd e g r e e t a r g e t ，m a yc a r r yo no p t i m i z e dp r o c e s s i n gt ot h ef u z z yr u l eb a s e t h i sh a sg i v e nt h e c o n c r e t ee x a m p l ei nt h ep a p e r , a n dh a sm a d et h ea n t i c i p a t e dg o o dr e s u l t t h e np r o p o s e s ac l a s s i f i c a t i o nm e t h o do ff u z z yr u l e s s o ，t h ef u z z yr u l eb a s ec a nb ed i v i d e di n t ot h e i n d e p e n d e n tf u z z yr u l e sa n dt h ec o r r e l a t e df u z z yr u l e st h r o u g ht h ed e f i n i t i o no ff u z z y r u l e si n d e p e n d e n c e f o rt h ei n d e p e n d e n tp a r t ，w ea p p l yt h em a m d a n ic o m p o s i t i o n a l i n f e r e n c e ，b u tf o rt h ec o r r e l a t e dp a r t ，w eu s et h eg o d e lc o m b i n a t i o ni n f e r e n c e ，t h e nt h e i n f e r e n c ef o r m u l ao ff u z z yr u l e sb a s ei so b t a i n e d f i n a l l y , ar e a lf u z z ys y s t e mi se s t a b l i s h e da n dt h ed e t a i l e dd i v i s i o no ff u z z yr u l e s b a s ei sg i v e n v a l i d i t yo ft h ed i v i s i o nt ot h er e a lf u z z ys y s t e mi so b t a i n e db yc o m p u t i n g ， a n dh a sm a d eb e t t e ra p p r o x i m a t i o ne f f e c t s k e yw o r d s ：f u z z ys y s t e m s ；i n d e p e n d e n c eo ff u z z yr u l e sm a m d a n ic o m p o s i t i o n a li n f e r e n c e ；i n d e p e n d e n ti n f e r e n c eo fs u m c o m p o s i t i o n 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 撰写成硕士学位论文竺差王搓物丕统独童世间题的巫塞：。除论文中已经注明引 用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表或未公 开发表的成果。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：立通蛊 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解大连海事大学有关保留、使用研究生学 位论文的规定，即：大连海事大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士 学位论文全文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全 文数据库( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版发 行和提供信息服务。保密的论文在解密后遵守此规定。 本学位论文属于：保密口在年解密后适用本授权书。 不保密口( 请在以上方框内打“刀) 论文作者签名：立海敲 导师签名： 日期：年 关于模糊系统独立性问题的研究 己i吉 -#j 1 研究背景及意义 模糊集合概念是由z a d e h 1 1 于1 9 6 5 年创立的，之后分别于1 9 6 8 年和1 9 7 0 年 提出了模糊算法概念【2 】及模糊决策理论【3 1 ，这些基础理论的建立，是研究模糊理论 的基础。1 9 7 3 年，z a d e h 发表的另一篇开创性的文章 4 1 ，建立了研究模糊控制的基 础理论，在引入语言变量这一概念基础之上，提出了用模糊i f - t h e n 规则来量化 人类知识。因此，在专家系统和控制理论中，大量专家知识和控制器的功能能够 以涉及若干变量的i f t h e n 规则描述。在文章中z a d e h 还建议将一个前提和结论 中含有语言变量的巧t h e n 规则表示为所涉及的论域间的模糊关系。 鉴于模糊系统理论在描述人类语言知识的优越性以及把人类知识库转化为非 线性映射的鲜明特点，随着它在控制、通讯、信号处理到商业专家系统、医学、 行为科学等领域的成功应用，关于模糊系统理论与应用的研究已成为当今学术界 的热点。 众所周知，模糊系统是一种基于规则的系统，模糊规则库是模糊系统的核心， 模糊规则选择的好坏对模糊系统至关重要。为了更合理有效的利用模糊规则库进 行推理，许多学者对模糊规则库进行了一系列的研究。文 5 - n 】对模糊规则的一致性、 冗余性、完备性、相似性、鲁棒性进行了讨论；在a l o t f i 和m h o w a r t 【1 2 】 中对基于规则不相互作用的模糊系统进行了讨论，并验证其具有较好的逼近精度； z a d e h 1 3 】中给出模糊规则可以按属性进行分类，并且根据这样分类的模糊规则再对 样本进行划分；d u b o i s 和p r a d e 1 4 】中从语义及推理的角度将模糊规则分为了四类： ( 1 ) 确定规则；( 2 ) 渐进规则；( 3 ) 可能性规则；( 4 ) 非渐进规则；w a n g 1 5 】中 谈到各类模糊推理机中采用的推理方法：要么使用模糊并组合的独立推理；要么 使用模糊交组合的独立推理。按照组合推理，规则集合存在两种对立的观点：一 种认为规则是独立的条件陈述；另一种观点认为规则是具有极强耦合性的陈述。 即规则存在“独立 与“耦合 两类。 在模糊规则库研究的其他方面，一些文献对模糊规则的相容性做了相应的研 究。文献 16 1 7 】中，考虑近似推理过程中，前件相同而后件不同的模糊规则之间往 引言 往存在交互影响。因此文中通过类比在合作游戏理论中描述交互影响的交互指标 和定义在模糊规则上的模糊测度，给出一种计算模糊规则之间交互影响指标的方 法；文【1 8 】根据模糊集贴近度，提出模糊集相容性的概念，通过对模糊控制规则表 特征的分析，进一步完善模糊规则相容性概念及其定量评价方法；文【1 9 】中基于目 前采用遗传算法模糊控制规则优化存在的没有考虑规则的相容性，得到的模糊控 制规则难以理解的问题，介绍了以模糊贴近度为评价标准，定量评价模糊规则相 容性的方法。在文【2 0 】中全面深入研究了带有交互作用的模糊分类和推理问题，提 出了基于专家测度的模糊分类的推理模型，推广了已有的基于加权平均的模型， 充分考虑了分类器之间存在的交互影响。 另外，我们知道模糊系统的函数逼近问题【2 卜2 9 】对于模糊系统是一个非常基本 而重要的问题，也是模糊系统用于实际系统建模及控制所首先要解决的问题之一。 我们知道模糊规则独立性涉及到对模糊系统的理解以及模糊系统的解析表达，对 模糊系统的影响很大，因而该问题的研究对模糊系统非常重要。本文旨在通过定 义模糊规则的独立性来划分规则库，改进传统推理方法的缺陷，从而使得模糊系 统的逼近效果更接近于实际。 2 本论文主要工作 本论文的主要目的是研究模糊系统的独立性，模糊系统的耦合性及规则库的 划分等。本论文的主要工作包括： ( 1 ) 基于规则集合含义的两种对立的观点，讨论模糊集合之间独立性的定义， 并给出模糊规则独立性的定义及相关性质，解释m a m d a n i 组合推理与模糊并组合 独立推理间的关系，并通过上述结论定义模糊系统的独立性。 ( 2 ) 基于模糊规则独立性的定义，讨论模糊规则耦合性的定义及相关性质， 并通过具体算例说明模糊规则耦合性指标计算的实际效果。 ( 3 ) 基于已给出的模糊规则独立性及耦合性相关理论，对模糊系统进行划分， 并寻找算例验证划分的正确性，同时说明按照此类划分的模糊系统具有较好的逼 近效果。 关于模糊系统独立性问题的研究 第1 章模糊数学基础 模糊理论是由l a z a d e h 教授于1 9 6 5 年在名为“模糊集合”的开创性文章中 创立的。自模糊理论诞生之日起，它就一直处于各派的激烈争论之中，一些学者 认可了这一理论并开始着手在这一新领域中进行研究，而其他一些学者则反对这 理论，认为“模糊化 与基本的科学原则相违背。2 0 世纪7 0 年代的一个重大事 件就是诞生了处理实际系统的模糊控制器。1 9 7 5 年，m a n d a n i 和a s s i l i a n 创立了模 糊控制器的基本框架，率先将模糊逻辑应用到蒸汽发电机的压力和速度控制中， 取得了比常规的p i d 控制更好的结果。后来，丹麦的f l s m i t h 公司于1 9 8 0 年成 功地将模糊控制应用到水泥窑的自动控制中，为模糊理论的实际应用开辟了崭新 的前景【3 0 】。从此，模糊数学如异军突起，相关的书刊、论文如雨后春笋。目前， 有关模糊理论与应用的杂志、特刊有数十种，论文数千篇。此外还有数以百计的 应用实例。仅在家用电器方面，就已生产出了模糊热水器、模糊电饭锅、模糊空 调器、模糊洗衣机、模糊空气进化器、模糊电动剃须刀，等等【3 。 1 1 模糊集合及其基本运算 1 1 1 模糊集合的一些基本概念 经典集合对应于二值逻辑，其元素x 属于或不属于某一集合，只有两种情况， 非常清晰，经典集合的特征函数只允许取两个值。例如，水果的集合，则香蕉、 苹果、桔子、葡萄、草莓、菠萝都属于水果这一集合。它们的特征函数值都为1 。 而黄瓜则不属于水果的集合，其特征函数值为0 。 然而，现实中一些集合并不具有清晰的边界，例如“矮人”，“好人 ，“速度 快，“个子高 等概念就不能用经典集合来表达。鉴于此，模糊集合的概念就应 运产生了。z a d e h 教授提出的模糊集合理论是描述这类模糊概念和模糊现象的有 力工具，它开辟了解决模糊问题的科学途径，模糊概念更容易为人们所理解，更 符合人们的思维习惯。同时，也说明了经典集合存在着本质上的局限性。 定义1 1 1 3 2 】设给定论域为配u 到闭区间 0 ，1 】上的一个映射 g a ：汕 o ，1 】_ 朋 ( 1 1 ) 第1 章模糊数学基础 确定v 上的一个模糊集，肋称为模糊集么的隶属函数，肌称为x 属于爿的隶属 度。模糊子集由其隶属函数所确定，而隶属函数是普通集合中特征函数的推广。 1 1 2 模糊集合的运算 经典集合的运算，是由特征函数描述的。由于隶属函数是特征函数的推广， 所以模糊集合的运算可由隶属函数描述。两个模糊子集间的运算，实际上就是逐 点对隶属函数作相应运算。 定义1 2 【3 2 1 设a ，b e e ( u ) ，若i v x eu , 胁sg b ( x ) ，则称b 包含a ，记为a c _ b 。 如果a c _ b 且b _ c a ，则称彳与召相等。记作a = b 。 显然，包含关系“”是模糊幂集f ( 上的二元关系，具有如下性质： ( 1 ) 自反性：v a e 尺【，) ，a c _ a ： ( 2 ) 反对称性：若a c b ，b _ c a ，则4 = b ； ( 3 ) 传递性：若a c _ b ，b c _ c ，则a c c 。 定义1 3 【3 2 。3 】论域【厂上的所有模糊集全体构成的集合尺，在如下定义的交 集、并集和补集运算下构成一个模糊逻辑：设4 ，b 是u 上的任意两个模糊集合。 其交集、并集和补集仍然是定义在u 上的模糊集，对任意的x e 矾它们的隶属函 数分别为： n b ( x ) = m i n ( ( x ) ，e ( x ) ) ( 1 2 ) 一u b ( x ) = m a x ( “_ ( 功，口( x ) ) ( 1 3 ) ，( x ) = 1 - 比a ( x ) ( 1 4 ) 足上不同的交集、并集和补集运算构成不同的模糊逻辑。 下面给出关于模糊集的补集、并集和交集的其他类型的算子。 ( 1 ) 模糊补 令映射c ： o ，1 】- - y o ，1 】表示由模糊集4 的隶属度函数向其补集的隶属度函数转 换的映射，即 c g 一( x ) 】= 伤( x ) ( 1 5 ) 为使函数c 适合于计算模糊补的隶属度函数( 等价于模糊补) ，它必须至少满 足以下两个必要条件： 关于模糊系统独立性问题的研究 有界性：c ( 0 ) = l ，c ( 1 ) = 0 。 非增性：当a , b 【o ，1 】时，如果a 【o ，l 】，表示由模糊集么和b 的隶属度函数到么和b 的并 集的隶属度函数转换的一个函数，即 f 【心( 功，( 力】= p a n 丑( 戈，力 ( 1 7 ) 为使函数f 适合于计算模糊交的隶属度函数，它必须至少满足以下四个必要条 件： 有界性：f ( o ，0 ) = 0 ，t ( a ，1 ) = t ( 1 ，口) = a 。 交换性：t ( a ，b ) = t ( b ，a ) 。 非减性：如果口a 且6 b ，则t ( a ，b ) t ( a ，b ) 。 结合性：t ( t c a ，6 ) ，c ) = t ( a ，t ( b ，c ) ) 。 1 1 3 模糊集合的性质 模糊集合的运算满足下列性质3 4 1 ： ( 1 ) 幂等律4 ua = 4 ，4 n 么= a ； ( 2 ) 交换律彳ub = s l j a ，anb = b n 彳； 第1 章模糊数学基础 ( 3 ) 结合律彳u ( b u c ) = ( a u 召) u c ，彳n ( b n c ) = ( 彳n b ) n c ； ( 4 )分配律( a ub ) nc = ( 么nc ) u ( b uc ) ： ( 彳f i b ) u c = ( a u c ) n ( b u c ) ： ( 5 ) 吸收律( 么nb ) n 彳= 彳，( 么n 召) u 么= 彳； ( 6 ) 复原律 ( 么。) 。= 么； ( 7 ) 对偶律 ( 么u b ) c = 彳。n b c ，( 4 n b ) 。= 彳。u b c ； ( 8 ) 0 1 律4 uu = 阢auf 2 j 利，anu = a ，ang = g 。 值得注意的是，模糊集合不满足经典集合的补余律口u x 。= u ，a n = a ) 。 1 2 模糊关系与扩展原理 1 2 1 经典关系 定义1 4 e 3 4 1 两个经典集合u 和以直积u x v 的子集r 称为u 到y 的一个二 元关系。u x v 的子集称为u 上的一个二元关系，二元关系简称关系。 关系是一种特殊的集合，所以可以定义关系的并、交、补运算，这些与一般 集合的讨论一致。另外，关系还有如下特殊的运算。 定义1 5 【3 4 1 设欠是u nv 的关系，令r 一= ( y ，功i ( 毛夕) r ) ，则r - 1 是矿到u 的关系，称r 。为尺的逆关系。 定义1 6 【3 4 】给定集合u ，y ，设r u x v ，s vx w ，t u xw ，若 ( x ，z ) t 营砂儿使得( 为力剜巳( y ，z ) s ，则称关系丁是关系足与s 的合成， 记作t = r 。s 。贝。尺o s = ( x ，z ) u x w l 3 y v 使 ，y ) r 且( y ，z ) s ) 。 关系的合成用特征函数表示为z r 。s ( x ，z ) = 善( ( x ，y ) z s ( y ，z ) ) ， v ( x ，z ) u x w 。 1 2 2 模糊关系 定义1 7 1 3 4 1 直积u x v _ j ：模糊关系是u x v 的一个模糊子集灭，r u xv - 9 o ，l 】 r 的隶属函数r ( x ，y ) 表示了u 中元素x 与y 元素y 具有这种关系的程度。u 到 u 的模糊关系称为u 上的模糊关系。 若o ，力尺，则称“x 与y 具有关系r ”，也记作x r y 。若 ，力登r ，则记作x r y 。 关于模糊系统独立性问题的研究 集合u 上的几个重要的二元关系： ( 1 ) 自反关系r vx u 恒有地： ( 2 ) 对称关系r 若x r y 则y r x ； ( 3 ) 反对称关系足 若x r ygy r x ，则x 可： ( 4 ) 传递关系r若x r y r y r z ，则x r z 具有自反、对称、传递三种性质的关系叫等价关系。由等价关系r 可定义集 合嘲= y x r y ，称嘲为x 的等价类。 具有自反、反对称、传递三种性质的关系r 称为偏序关系。通常将偏序关系r 记成“”。 1 2 3 模糊关系的运算 由于模糊关系是一类特殊的模糊集，它同模糊集一样有交、并、补等运算。 定理1 1 3 4 1 设r ，墨，恐f ( u x v ) ，墨f ( u x v ) ( t d ，则有 ( 1 ) r 足v ( x ，力u x v ，墨( 毛力恐( x ，力； ( 2 ) 属= 是v ( x ，力u xv ，墨( 毛y ) = 是( x ，力； ( 3 ) ( 置u 恐) ( x ，力= 墨 ，力v 坞( 工，y ) ； ( 4 ) ( 足n 恐) ( x ，y ) = 墨( x ，力 恐( x ，y ) ； ( 5 ) ( u 时r ) ( x ，力= v 时r ( x ，力； ( 6 ) ( n 时弓) ( 而y ) = 人心墨( x ，y ) ： ( 7 ) r 。( x ，力= 1 一r ( x ，y ) 。 当然我们还可以定义模糊关系的各种模运算。 定义1 8 3 4 1 设r f ( u y ) ，定义r 一1 f ( u x v ) 的隶属函数为 r - 1 ( y ，力= 灭力，v ( x ，力u x v ， ( 1 8 ) 称尺。1 为尺的逆关系。 当r 与r - 1 用模糊矩阵表示时，它们的模糊矩阵互为转置。 定义1 9 p 卅设r f ( u xv ) ，s f ( v xw ) ，定义r 。s f ( u xw ) 的隶属函 数为 第l 章模糊数学基础 r o s ( x ，z ) = y 尺( x ，y ) 囊s ( y ，z ) 】，v ( x ，z ) uxw ， ( 1 9 ) y e v 其中幸为任意f 一模。称只。s 为r 与s 的合成关系。 经常用的两个合成运算为m a x m m 合成与m a x - p r o d u c t 合成。 若r 为集合u 上的二元模糊关系，则我们可以归纳地定义r 的幂运算，r o 定 义为恒等关系，即 足。e 毛y ，= 二i 羔 而r 1 = r ，r 2 = r 。r ，r 3 = r 2o r ，尺”= 只”一。r ，。 1 。2 。4 模糊关系的投影与柱状扩张 由于经典关系是定义在两个或多个集合的乘积空间上，所以这里引入了投影 和柱状扩展的概念。如，集合4 = 瓴夕) r 2j ( x 一1 ) 2 + ( y 一1 ) 2 1 为u x v = r 2 中的 一个关系，则么在v 上的投影为鸣= 【0 ，1 】cv 。4 扩展至u y = r 2 的柱状扩展是 4 e _ o ，1 x ( - - o o ，佃) cr 2 。这些概念都可以推广到模糊关系。 定义1 1 0 1 3 5 】令q 为u 0 2x - x 以中的一个模糊关系， f l ，) 为 l ，2 ，1 ) 的一个子集，则q ：i ! e u o , 上的投影是中的一个模糊关系q p ，它 可用下面的隶属函数来定义 ( ，) = i t l l e l - i l l , 嚣，哟。h ，心( 甜l ，) 1 - 1 0 其中， z f 1 ，一，”( 枞) ) 是 ，) 关于 “l ，一，“。) 的补集。 作为特例，如果q 是u x v 中的一个二元模糊关系，则q 在u 上的投影，记作 q i ，是u 上的一个模糊集，它可用下面的隶属度函数来定义： 心( x ) _ m ，。a r x a 一；( x ，) ，) ( 1 1 1 ) 投影将模糊关系约束于一个子空间：相反，柱状扩展则把模糊关系从一个子 空间扩展到了整个空间。于是有下面的正式定义： 定义1 1 1 3 5 1 令q 尸表示中的一个模糊关系， ，t 为 1 ，2 ，力 的子集，则q p 扩展至u 虬的柱状扩展为u x 瓯中的一个模糊关系， 关于模糊系统独立性问题的研究 其定义为 l 一，) = 饥，心) ( 1 1 2 ) 作为特例，如果q l 是u 中的一个模糊集合，则q l 扩展至u 矿的柱状扩展就是 u x v d g 的一个模糊关系q l 占，其定义为 尥量( x ，力= 心( 动 ( 1 1 3 ) 1 3 模糊if - t h e n 规则 在模糊系统与模糊控制中，人类知识可以用模糊i t - t h e n 规则来表述。一条 模糊i f - t h e n 规则就是一个条件陈述句，它可以表述为 t f ，t h e n ( 1 1 4 ) 因此，要想理解模糊i f t h e n 规则，就必须先知道什么是模糊命题。 1 3 1 模糊命题 有两种类型的模糊命题( f u z z yp r o p o s i t i o n s ) ：子模糊命题和复合模糊命题。 子模糊命题是一个单独的陈述句 x 为彳 这里，x 是语言变量，彳是语言变量x 的值( 即彳是一个定义在x 的论域上的 模糊集合) 。子模糊命题通过连接词“且”、“或、“非”连接起来而构成的命题叫 做复合模糊命题，这里“且 、“或 、“非 分别表示模糊交、模糊并、模糊补。 如果用x 表示汽车的速度，则有以下模糊命题( 前三个为子模糊命题，后三个为复 合模糊命题) ： x 为s x 为m x 为f x 为s 或x 非m x 非s 或z 非f ( z 为s 且z 非罗) 或x 为必 这里，s 、m 和f 分别表示模糊集“慢速”、“中速”和“快速”。 复合模糊命题应该被理解为一种模糊关系。那么，怎样确定这些模糊关系的 第1 章模糊数学基础 隶属度函数呢? 用模糊交表示连接词“且”。具体地讲，令x 和y 分别为定义域u 和矿上的语 言变量，彳和b 分别为u 和y 上的模糊集合，则下面的复合模糊命题 x 为a 鱼y 为b 可以解释为uxv 中的模糊关系彳nb ，其隶属度函数为 4 n 占( x ，y ) = f 【j 4 ( x ) ，b ( y ) 】 ( 1 1 5 ) 其中，t ： 0 ，1 x 0 ，1 】- - y o ，1 】是任意f 一范数。 用模糊并表示连接词“或”。具体地讲，下面的复合模糊命题 石为么或y 为召 可以解释为u xy 中的模糊关系a ub ，其隶属度函数为 心u 口( x ，力= s 【心( x ) ，鳓( y ) 】 ( 1 1 6 ) 其中，j - o ，1 x 0 ，1 】- - 9 , 【o ，1 】是任意s 一范数。 用模糊补表示连接词“非”。即，把非彳用j 来替代，则下面的复合模糊命题 x 为非么 可以解释为u 中的模糊关系c ( a ) ，其隶属度函数为 均( x ) = 1 一心( x ) = c ( u 一( x ) ) ( 1 1 7 ) 其中，c ：【0 ，1 】一 0 ，1 】是任意模糊补算子。 1 3 2 模糊if - t h e n 规则解释 由于模糊命题是用模糊关系来解释的，所以剩下的关键问题是怎样解释i f t h e n 的运算。在经典命题运算中，表达式1 f pt h e n q 可以写成pjq ，j 可以看做是由 表1 1 所定义的一种连接，这里p 和g 都是命题变量，其值为真( z ) 或为假( f ) 。 表1 1p q 的真值表 t a b 1 1t h er e a l v a l u e t a b l e o fp - q p q pjq pg pjq rr丁 ftr tff ffr 关于模糊系统独立性问题的研究 由表1 1 可以看出，如果p 和g 的值都为真或都为假，则p 专q 为真；如果p 的值为真，g 的值为假，则p 专g 为假；如果p 的值为假，g 的值为真，则p 专g 为 真。因此，认为p 专q 等价于 p v q ( 1 1 8 ) 和 ( p g ) v i ( 1 1 9 ) 这里一、v 和人分别代表( 经典) 逻辑运算符“非”、“或，和“与 。 由于模糊i f t h e n 规则可以解释为用模糊命题取代了p 和g ，所以，模糊 i f t h e n 规则也可以解释为用模糊补、模糊并和模糊交来分别取代式子( 1 1 8 ) 和 ( 1 1 9 ) 中的一、v 和 算子。因为模糊补、模糊并和模糊交算予有很多种，所以 模糊i f t h e n 规则也就有很多种不同的解释。下面只列举其中的一部分。 将式( 1 1 4 ) 重写为1 f ( f ? , ) r h e n ( f ? ：) ，用心和鹧来分别取代式( 1 1 8 ) 和式( 1 1 9 ) 中的p 和g ，这里川和码都是模糊命题。假设川是一个定义在 u = 以上的模糊关系，心是一个定义在v = k x 圪上的模糊关系，x 和 y 分别是u 和y 上的语言变量( 向量) 。 d i e n e s - r e s c h e r 含义【3 6 】；分别用基本模糊补和基本模糊并来取代式子( 1 3 ) 和式( 1 4 ) 中的逻辑运算符一和v ，就可得到d i e 鹏s r e s c h e r 含义。具体地讲，模 糊i f - t h e n 规则腰( 明) 删( 心) ，可以解释为ux v 中的一个模糊关系q d ， 其隶属度函数为 拖( x ，y ) = m a x 1 一锄( x ) ，物( 朋 ( 1 2 0 ) l u k a s i e w i c z 含义【3 6 1 ：分别用y a g e r 的s 一范数和基本模糊补来取代式子( 1 1 8 ) 中的逻辑运算符v 和，就可得到l u k a s i e w i c z 含义。具体地讲，模糊i f t h e n 规 则口豳) 删( 必) ，可以解释为u x v 中的一个模糊关系骁，其隶属度函数为 拖( 而y ) = m i n 【1 ，1 一如( 功+ ( 朋 ( 1 2 1 ) z a d e h 含义3 6 1 ：这里的模糊i f - t h e n 规则口( 鹚) 删( 心) ，可以解释为 第1 章模糊数学基础 u x v 中的一个模糊关系q z ，其隶属度函数为 拖( x ，力= m a x m i n ( p f p , ( x ) ，f r ( 力) ，1 一恂( 功】 ( 1 2 2 ) 显然，式子( 1 2 2 ) 是通过用基本模糊补和基本模糊并以及基本模糊交来分别 取代式子( 1 1 9 ) 中的、v 和a 而得到的。 g o d e l 含义【3 6 】：g o d e l 含义是经典逻辑中一个众所周知的含义公式。通过将其 推广至模糊命题，得到的模糊i f - t h e n 规则i f ( f e t h e n ( f p 2 ) ，可以解释为u x v 中的一个模糊关系q ，其隶属度函数为 ( 训) ：j 1 物 三 ( 1 2 3 ) 拖q ) = “码( y ) ，其他 u 2 ” m a m d a n i 含义嘶1 ：模糊i f t h e n 规则伊( 心) 删( 必) 可以解释为u xv 中 的一个模糊关系q 脚( m a m d a n i 最小含义) 或( m a m d a n i 积含义) ，其隶属函 数为 ( x ，力= m i n 阻搦( x ) ，赐( y ) 】 ( 1 2 4 ) q 胛( x ，力= 奶( x ) 赐( j ，) m a m d a n i 含义是在模糊系统与模糊控制中使用最广泛的含义。 1 4 模糊逻辑和模糊推理 逻辑和推理都是思维的基本形式之一，形式逻辑为人们提供了严谨而又十分 有效的“三段论 推理模式。在这种推理过程中，要求命题的条件和给定的条件 完全一致，才能得出与命题结论相一致的推断，这就是二值逻辑的本质。然而在 现实生活中，有许多逻辑和命题是无法用二值逻辑来描述，使用“三段论”推理 模式难以得到真或假的结论。 本节将在以下介绍模糊逻辑的相关定义及模糊推理的一些表达形式。 1 4 1 由经典逻辑到模糊逻辑 经典逻辑中二值逻辑的一个命题，其值要么为真( 取值为1 ) ，要么为假( 取 值为o ) ，二者必取其一。而多值逻辑虽然突破t - - 值逻辑的这个限制，承认真假 值具有中介过渡性，但它是通过穷举且界限十分明显地来表示这种中介过渡性。 关于模糊系统独立性问题的研究 模糊逻辑是无限值逻辑的推广。模糊逻辑不仅将二值逻辑的真假值域从 o ， 1 扩充到闭区间【o ，1 】，而且还在无限值逻辑中插入了模糊集和模糊关系。模糊逻辑 将清晰明确的命题推广到亦此亦彼的模糊命题。 在经典逻辑中j 命题间的关系通常用一个真值表来描述。将基本的逻辑算子 析取“v ，合取“v ，蕴含“专 ，等价“停”和否定“”组合到适当的代 数表达式中，就形成了逻辑公式。当由一个逻辑公式所表达的命题总为真，而不 论公式中的基本命题的真值为何值时，称该逻辑公式为永真公式。 永真公式的各类形式都可用作于推理，这就是所谓的推理规则。三个最常用 的推理规则如下： 取式推理【3 6 】：这一推理规则记为( p ( p 寸g ) ) 专g ，更直观地表述为 前提1 ：x 为么 前提2 ：如果x 为彳，则y 为b 结论：则y 为丑 拒式推理【3 6 1 ：这一推理规则记为( 石人( p 专g ) ) 专；，更直观地表述为 前提1 ： y 非召 前提2 ： 如果x 为么，则y 为丑 结论：x 非彳 假言推理【3 6 】：这一推理规则记为( 白专g ) ( g 专，) ) 专( p 专，) ，更直观地表 述为 前提l ： 如果x 为a ，则y 为b 前提2 ： 如果y 为b ，则z 为c 结论：如果x 为彳，则z 为c 在模糊逻辑中，命题都是由模糊集表述的模糊命题。模糊逻辑的最终目的是 将模糊集理论作为一种主要工具，为不精确命题的近似推理提供理论基础。为实 现这一目的，将经典逻辑中的推理规则推广至模糊逻辑中，引入所谓的广义取式 推理、广义拒式推理和广义假言推理，它们都是模糊逻辑中的基本原理。 广义取式推理【3 6 】：这一推理规则陈述的是，给定两个模糊命题“x 为彳，和 第1 章模糊数学基础 “如果工为么，则y 为b ，可推出一个新模糊命题“y 为b 。这里，彳，彳，b 和召。都是模糊集且彳和彳。很近似，b 和b 很近似，即 前提1 ：x 为么 前提2 ：如果x 为么，则y 为b 结论： 则y 为b 广义拒式推理【3 6 】：这一推理规则陈述的是，给定两个模糊命题“y 为b 锄和 “如果x 为彳，则y 为b ”，可推出一个新模糊命题“x 为彳。这里，彳，彳，召 和b 都是模糊集，b 和b 之间的差异越大，彳和么之间的差异就越大，即 前提1 ： y 为召 前提2 ：如果x 为么，则y 为b 结论：则x 为彳 广义假言推理【3 6 】：这一推理规则陈述的是，给定两个模糊命题“如果x 为彳， 则y 为b ”和“如果y 为雪，则z 为c 可推出一个新模糊命题“如果x 为4 ，则 z 为c 。这里，彳，召，雪，c 和c 都是模糊集合，召。和b 很近似，c 和c 很 近似，即 前提1 ： 如果x 为么，则y 为曰 前提2 ： 如果y 为召。，则z - 为c 结论：如果x 为么，则z 为c 现已给出了模糊逻辑的三条基本原理的基本思想，下一个问题就是，在给定 前提条件下，怎样确定结论中模糊命题的隶属度函数。为了解答这一问题，提出 了推理合成规则。 1 4 2 推理合成规则 推理合成规则【3 6 】是下列程序的一种推广：假设b kx eu 到y v 上有一条曲线 y = f ( x ) ，并给定z = 口，则由x = 口和) ，= 厂( 功可以推出y = b = ( 口) 。 将上述程序进行推广，即假设a 为一个区间，f ( x ) 为一个区间值函数。为找 到由a 和厂( x ) 所推出的区间b ，首先要构建一个由口扩展而来的柱状集合，找 关于模糊系统独立性问题的研究 到它和区间值曲线的交集j 。那么，在y 上的投影就是所求的区间b 。 再进行下一步推广，假设么。是【厂上的一个模糊集合，q 是u x v 中的一个模糊 关系。则由彳的柱状扩展彳占和其模糊关系q 的交集，即可得到模糊集4 占n q ， 那么，彳en q 在y 轴上的投影即为模糊集合b 。 更具体地讲，给定彳( z ) 和心( 力，可得( 见式( 1 1 3 ) ) ，y ) = ( x ) ( 1 2 5 ) 进而可得 。n q ( 马力= f 以( x ，力，p q c x , y ) = 【( 功，心o ，力】 ( 1 2 6 ) 最后，由式( 1 1 1 ) ，可得召，它为么en q 在y 上的投影，即 b ( y ) = s 粤诎彳( x ) ，, u q o ，) ，) 1 ( 1 2 7 ) 称式( 1 2 7 ) 为推理合成规则。 综上，可以得到广义取式推理、广义拒式推理和广义假言推理中计算结论的 详细公式，具体如下： 广义取式推理【3 6 】( 一般推理形式) ：给定模糊集a ( 表明前提为“x 为彳。) 和 u 矿中的模糊关系彳