（电磁场与微波技术专业论文）时域有限元法与模匹配法的混合方法.pdf

电子科技大学博士论文 摘要 在本论文中，研究模匹配与时域有限元法结合的混合方法，用于求解波 导中不连续问题的时域解。在这一研究内容下，主要研究四个方面的问题: ( 1 )在完成金属波导传输线方程时域形式的基础之上，应用有限积分技术， 把波导特征模式的色散传输线方程，化简为一组新的一阶偏微分方程组，该 边值问题属一维d i r i c h t e t 边值问题，从而便于用蛙跳格式求解，由于是在一 维中计算，该方法具有很高计算效率和精度，从而避免了以往为得到金属波 导中特征模的时域响应特性，须要求解二阶方程，或用时域有限差分方法求 解三维问题的方法，对于后者来说，计算有时是不准确的，或是很耗时的例 如计算诸如圆波导、 椭圆波导等其它复杂形状的波导。 ( 2 ) 借鉴了已有方法， 把一维色散波传播的系统函数，展开为一个具有有限项数的级数，在此基础 上，把原先需要进行的卷积计算简化为一个递推公式，实现了所谓的局部计 算特性。( 3 )从数学的对称性出发，提出了一种新的虚拟损耗传输线模型， 这里的损耗不涉及到物理传输中的损耗，因此不会破坏波导特征模的正交 性。本文详细分析了这种传输线的传输、损耗特性，得到了所谓完全吸收的 条件，以及最佳的损耗传输特性参数，本论文利用虚拟损耗传输线，有效地 降低了由卷积方法计算的波导特征模式的截断边界条件的剩余反射，获得了 一5 0 d b乘 吵 余反射回波计算的结果。 ( 4 ) 基于上面的研究结果， 构造出模匹配 方法与时域有限元法结合的混合方法，该方法通过计算取样平面上的电场， 对其作正交展开，获得该平面上各模式电压的幅度。依据取样平面上获得的 散射模电压幅度，应用有限差分方法计算出接头端面处的边界条件来实现时 域有限元法的迭代计算，由于本文采用无结构网格来模拟计算模型，使得本 文的混合时域有限元方法可以用来计算复杂的波导接头问题。通过对一段均 匀直波导的计算，验证该算法比使用一阶吸收边界条件的时域有限元法，虚 假剩余反射回波平均要低 1 0 d b以上，达到了工程计算的要求。 关键词:虚拟损耗传输线，模匹配法，时域有限元法， 无结构网格 电子科技大学博士论文 ab s t r ac t t r a n s i e n t f i n i t e e l e m e n t m e t h o d h y b r i d i z a t i o n w i t h m o d e ma t c h e d m e t h o d i s c o n s t r u c t e d f o r m o d e l i n g d i s c o n t i n u o u s p r o b l e m i n w a v e g u i d e . wi t h i n t h i s c o n t e x t , f o u r s p e c i f i c a r e a s a r e a d d r e s s e d : ( 1 ) b y m e a n s o f f i n i t e i n t e g r a t i o n t e c h n i q u e , a n e w k i n d o f t h e f i r s t o r d e r p a r t i a l d i f f e r e n c e e q u a t i o n i s d e r i v e d f r o m t h e o r i g i n a l d i s p e r s e t r a n s m i s s i o n l i n e e q u a t i o n o f t h e u n i f o r m w a v e g u i d e s . a s i t i s t h e k i n d o f o n e d i m e n s i o n d i r i c h l e t s b o u n d a r y p r o b l e m, i t i s c o n v e n i e n t f o r u s t o s o l v e t h i s e q u a t i o n f r o m t h e l e a p f r o g s c h e me . b e c a u s e c o m p u t a t i o n i s c a r r i e d o u t i n o n e d i me n s i o n , b o t h h i g h c a l c u l a t i o n e f f i c i e n c y a n d p r e c i s i o n h a v e b e e n o b t a i n e d i n t h i s m e t h o d . me a n w h i l e , t h i s m e t h o d p r o v i d e u s a d i f f e r e n t s e l e c t i o n t o s i m u l a t e t h e t r a n s i e n t r e s p o n s e o f w a v e g u i d e w i t h n o n - s i m p l i c a l , f o r e x a m p l e s c y l i n d e r a n d e l l i p t i c w a v e g u i d e , a n d a v o i d s o l v i n g t h e s e c o n d o r d e r e q u a t i o n , o r u s i n g f i n i t e d i f f e r e n c e t i m e d o m a i n t o s i m u l a t e a t h r e e d i m e n s i o n p r o b l e m , s o m e t i me s t h e l a t t e r p r e c i s i o n i s n o t s a t i s f i e d w i t h t h e n e e d , o r l o w e f f i c i e n c y . ( 2 ) b a s i n g o n k n o w n m e t h o d , t h e k e rne l f u n c t i o n o f o n e d i m e n s i o n d i s p e r s i v e t r a n s m i s s i o n l i n e s y s t e m i s e x p a n d e d i n t h e f o r m o f a f i n i t e s e r i e s , a n d t h e n t h e o r i g i n a l c o n v o l u t i o n c o m p u t a t i o n i s r e p l a c e d b y a r e c u r r e n c e i t e r a t i v e p r o c e d u r e . i t s s o - c a l l e d l o c a l m e t h o d o f c o m p u t i n g c o n v o l u t i o n . ( 3 ) f r o m t h e s y m me t r i c i d e a l i n m a t h e m a t i c s , a n e w m o d e l o f f i c t i t i o u s l o s s t r a n s m i s s i o n l i n c ( f l t l ) i s d e d u c e d i n t h i s d i s s e rt a t i o n . t h e l o s s i n t h i s mo d e l d o e s n o t c o n c e rn t h e r e a l l o s s i n t h e r e a l t r a n s m i s s i o n l i n e , a n d d i s t u r b e d t h e o r t h o g o n a l c o n d i t i o n o f t h e t r a n s mi s s i o n l i n e m o d e s . b o t h t r a n s m i s s i o n a n d l o s s c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e l i n e h a v e b e e n c a r e f u l l y i n v e s t i g a t e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n , a n d t h e n b o t h s o - c a l l e d t h e p e r f e c t a b s o r b i n g c o n d i t i o n a n d t h e o p t i m u m p a r a m e t e r s o f t h e l i n e a r e o b t a i n e d . i t c a n p r o d u c e a l i t t l e o f l o s s t o a b s o r b t h e r e t u rn w a v e f r o m t h e n o n - i d e a l t e r mi n a t e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s y i e l d e d f r o m t h e c o n v o l u t i o n c o m p u t i n g . o u r m e t h o d c a n d e p r e s s t h e f i c t i t i o u s r e t u rn w a v e l o s s b e l o w t o - 5 0 d b l e v e l . ( 4 ) a s t h e r e s u l t o f t h e a f o r e m e n t i o n e d s t u d i e s , a t r a n s i e n t f i n i t e e l e m e n t me t h o d h y b r i d i z a t i o n w i t h mo d e m a t c h e d m e t h o d h a s b e e n d e v e l o p e d t o fi n d t h e s o l u t i o n o f c o m p l i c a t e d w a v e g u i d e j u n c t i o n p r o b l e m s t h a t a r e m o d e l e d b y t h r e e d i m e n s i o n u n s t r u c t u r e d t e t r a h e d r o n m e s h . i n t h i s m e t h o d , f i e l d v e c t o r a r e f i r s t s a m p l e d o n t h e c e r t a i n p l a n e , a n d t h e n t h e e x i s t e d s c a t t e r i n g m o d a l v o l t a g e s a r e o b t a i n b y m e a n s o f o r t h o g o n a l e x p a n d i n g i n t e g r a t i o n . t h o s e s c a t t e r i n g m o d a l v o l t a g e s a r e u s e d a s s o u r c e s t o c a l c u l a t e t h e b o u n d a ry c o n d i t i o n a t t h e p o rt e r p l a n e o f t h e w a v e g u i d e , t h u s t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d t i me d o m a i n c a n c a r ry o u t f o r e v e ry t i me i t e r a t i v e s t e p . f o r i n v e s t i g a t i n g t h e p e r f o r ma n c e o f o u r me t h o d , i t h a s b e e n e v a l u a t e d t o s i mu l a t e a u n i f o r m s e g m e n t o f r e c t a n g u l a r w a v e g u i d e . t h e m o r e l o w e r f i c t i t i o u s r e t u r n w a v e l o s s , w h i c h i s l o w e r - 1 0 d b t h a n t h e o n e y i e l d e d f r o m t h e f i r s t o r d e r a b s o r b i n g b o u n d a ry c o n d i t i o n , i s i l l u s t r a t e d i n o u r me t h o d . k e y w o r d s : f i c t i t i o u s l o s s t r a n s m i s s i o n l i n e , mo d e m a t c h e d m e t h o d , f i n i t e e l e m e n t me t h o d t i me d o ma i n , u n s t r u c t u r e d me s h i i 独 创 性 声 明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。 据我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地 方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名日 期:二 031 年 2 月形日 关干论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了 解电 子科技大学有关保留、 使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘， 允许论文被查阅和借阅。 本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以 采用影印、 缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名: 黛 诬 牛导师签名: 蛛咐 日 期:2 , 0 叮年/ 二 月( b 日 电子科技大学博士论文 第1 章引言 1 . 1 背景 在过去的几十年中，计算电磁学理论与技术迅猛发展，并广泛应用于天 线、微波与光波等诸多领域，成为现代电子工业界中的重要基石。应用有限 元法求解麦克斯维方程是计算电磁学中一个重要的研究领域，这是因为有限 元法能够 自然、有效地求解由任意形状和非均匀介质构成的复杂边值问题， 同时有限元法能够方便地与积分方程方法、模式匹配法等方法结合，构成求 解复杂问题比较严格的混合方法。 在时域中，时域有限差分方法是目前电磁学领域内，被人们广泛、深入 地研究，并取得巨大应用成功的方法。但是对许多的复杂边界问题，尽管人 们发明了非正交网格差分方法、非均匀剖分和亚网格等技术来提高对物理模 型近似的精度，在绝大多数情况下，最终的数值模型仍然是用台阶网格构成 的，虽然实验测试的结果与计算的结果吻合得较好，但是在高精度窄带滤波 器等器件的计算中，误差就很大。我们可以用调谐螺钉把最终的器件调谐到 工作频带内，但在一些要求严格的场合，器件上是不允许装调谐螺钉的，因 此在这些场合，人们还是用模匹配法，或频域有限元法来计算。这就提出一 个问题，时域有限差分方法在应用时，是严格满足边界条件的，如果我们真 的用时域有限差分方法中的数值模型去加工波导器件，在大多数情况下，结 果肯定是不行的。虽然这不是一个须要许多人来关注的问题，但作者认为这 类问题还是需要少数人来研究的，解决问题的方法是使用时域有限元方法， 因为有限元的网格至少可以满足对模型边界连续性逼近的要求，同时时域有 限元法可以获得绝对稳定。 在频域内，有限元法取得了很大的成功，随着现代并行计算理论与计算 机技术的进展，有限元法在求解问题规模方面也取得了长足的发展，并充分 发挥了计算准确的优点。但是在时域内，时域有限元法的应用进展缓慢，其 中最困难的问题是缺少无需借助于f f t ，能够在时域中直接应用和性能类似 于时域差分方法中完全吸收媒质 ( p ml )的吸收边界条件。一般情况下，很 难找到这样的吸收边界条件，但是在波导接头问题中，比一阶吸收边界条件 要好的吸收边界条件是可以找到的，这就需要把时域有限元法与模匹配法结 合起来，利用波导特征模展开端口处的场， 在特征模传播的一维空间中找到 便于计算的截断 ( 吸收) 边界条件， 这就是本论文解决这类问题的总体思路。 电子科技大学博士论文 为此本论文在时域内，开展了时域有限元法与模匹配法结合的混合方法研 究，探索时域有限元方法在求解波导接头等边值问题中的应用。 实际上，以作者查阅的文献为背景，目前在计算电磁学界，研究时域有 限元法的研究人员要远远少于研究时域有限差分方法的研究者，作为以己微 薄之力投身研究，仅起抛砖引玉之用。 1 . 2 时域有限元方法 在时域中，相比于著名的时域有限差分方法 ( f d t d )， 有关时域有限元 方法( f e t d) 的研究与应用成果发表则较为少见， 这主要有三个方面的原因。 第一是在应用有限元法求解复杂问题时，须要进行复杂的三维网格剖分，当 求解区域由形状各异的非均匀介质体构成时，需要用无结构网格来建立模 型，这带来的是计算代码的数据结构比较复杂，这对仅仅注重计算理论和方 法研究的学者来说，编写这部分代码太过于困难且不被认为是有价值的工 作。其次是在应用时域有限元方法时，至今仍缺少类似于 f d t i )中理想的 p ml吸收边界条件。 第三是到目前为止， 使用线性棱边元的时域有限元方法 的色散比较严重，因此计算精度比有限元法在频域应用中要低一些。对于上 述的第一问 题，由 于最近计算几何技术的发展 i fl 和完善的几何核心库广泛 地应用，在三维中，自 动生成无结构的网格已不再是困难、乏味的工作。由 于这些技术是基于较为准确的几何计算，对于复杂的几何结构，划分网格所 需要的交互要比划分有结构的差分网格还要少，这部分地降低了应用有限元 法的代码编制难度。 对于后面的两个问题， 则是时域有限元方法的研究难题， 因而具有研究的重要价值。 采用棱边元作基函数构造的矢量有限元法解决节点元产生虚假模的难 题 1 ) - 5 1 ， 在矢量有限元法的框架下，从矢量波动方程出发， 采用变分法 或直接应用 g a l e r k s n方法， 都可以导出相同的一个二阶的线性常微分方程组 【 6 于 1 8 1 ，在时域内， 用差分方法求解这一常微分方程组，就实现了 所谓的时 域有限元方法 ( f e t d ， 或t d - f e m) a 跟f d t d方法相比，f e t d导出的二 阶常微分方程组可以获得无条件稳定的差分格式 9 3 ， 这是时域有限元法一个 重要的优点。但是在求解这个常微分方程组每一次时间迭代中，都须要求解 一个稀疏线性方程组， 通常这被认为是低效的， 为此文献 7 1 在线性棱边基函 数的基础上，构造了一个高阶棱边元，把稀疏矩阵化简为对角矩阵，这样大 大提高了计算的效率，同时也部分消除了时域有限元法中的色散现象 i 1 1 2 1 . 电子科技大学博士论文 1 . 3截断边界条件 在f d t d和f e t d方法中都要使用边界条件来截断计算区域， 长期以来， 在计算数学、 物理，当然还有计算电磁学领域内， 众多的学者围绕着这一课题 开展了长期研究， 发表了大量的文献， 文献 1 3 1 4 ) 对早期的研究工作做了详 细的总结。 无论是在频域， 还是在时域中， s o m m e r f e l d辐射边界条件是最容 易被理解，并且被用作为一阶吸收边界条件。在时域中，人们现在经常使用 的边界条件大体上分为三类， 第一类是以mu r 条件为代表的， 基于局部微分 算子的吸收边界条件 1 5 1 ，第二类是基于人工 “ 各向异性媒质”的理想吸收 边界条件( p m l ) 1 6 1 7 t 1 8 1 9 1 ， 第三类是以基于h u y g e n s 原理， 或k i r c h h o f f 公式的 辐射边界条件 2 0 2 1 ， 前面两类可以 用于 求解辐射、 散射这类外问 题， 以及腔体与波导中的 “ 内问题” ，第三类截断边界条件，目前仅用于外问题 中。 除上述的三类边界条件外， 还有诸多与它们相关联的、 改进的边界条件， 在这就不一一列举。 当我们使用时域有限元法求解波导接头问题时，除了一阶边界条件外， 上述的 三类边界条件， 都不能直接用于时域有限元法中， 文献 8 通过在波导 端面上设置两层过渡性有结构网格，把有限元的无结构网格与时域有限差分 方法的正方形网格连接起来， 然后应用p ml 吸收边界条件， 构成f d t d - f e t d 的混合方法，提出了一种改进f e t d方法的新途径。 在频域中，有限元法与模匹配法相结合构成的混合方法，把计算区域截 断在较小的范围内，可以在兼顾计算精度的前提下，提高计算效率。在时域 有限差分方法中，过去也把f d t d方法与模匹配法结合来求解波导接头问题 2 3 2 1 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 1 。 只是当 有了更好的p m l 吸收边界条件后， 在f d t d方法中，可以避免使用这种相对来说，较为麻烦的方法。 而在时域 有限元法中，目前只有一阶吸收边界条件，通过开展模式吸收边界条件的研 究， 进而构造时域有限元法与模匹配法相结合的混合方法，这是本论文的主 要研究内容。 1 . 4论文的概要 在本论文中，为研究模式匹配与时域有限元法相结合的混合方法，确定 了如下需要研究的关键问题，本文承认，这些问题尚不能完全覆盖这一方向 上所有的理论与工程应用问题。下面将简要论述这些问题。 1波导特征模式的时域传输线方程; 2波导特征模色散传输线方程的时域求解方法及其截断边界条件的构造; 电子科技大学博士论文 3模式匹配法与时域有限元法混合的迭代算法。 1 . 4 . 1 波导特征模式的时域传输线方程 几乎所有的著作和手册在论述填充均匀介质的理想金属波导这一专题 时，都是在正弦时谐场的条件下展开的，这一习惯导致过去人们在把模匹配 法与时域有限差分方法结合时， 求解的都是模式电压、 电流的二阶波动方程， 因此很自然地去导出理想均匀直波导中波传播的传递函数，然后研究计算方 法。由于在时域有限元法中，需要计算匹配端面模式电流对时间的导数，这 推动了作者去考虑采用蛙跳格式求解模式电压、电流的一阶偏微分方程组， 为此在论文的第二章里，列出了理想金属波导特征模式的一阶时域传输线方 程组，为后面的求解作了基本的准备工作。同时简要地给出矢量有限元法棱 边基函数及其刚度矩阵元计算的公式。 1 . 4 , 2 传输线方程的求解方法及其截断边界条件的构造 在时域有限元法与模匹配法结合的混合方法中，一个重要的基础是获得 模式的截断边界条件。在以往p d t d方法与模匹配法结合的混合方法中，最 终都要通过对一段均匀直波导做预仿真来抽取特征模传输的离散冲击响应， 然后通过计算离散卷积来获得特征模式的截断边界条件，这样的方法可以获 得- 5 0 d b左右的剩余反射系数。 对于这样的方法， 暂且不考虑在三维空间内 进行预仿真时，所需要付出的计算代价，当波导截面不是矩形截面时，就要 忍受用台阶截面来逼近连续曲面所带来的痛苦。 在本论文中，作者以单位长度均匀直波导的冲击响应为基础，通过计算 卷积来构造波导模式的截断边界条件，从而可以用来构造任意截面波导的模 式截断边界条件，唯一的前提条件是需要知道模式的截止波长。在己知核函 数和激励函数离散响应的条件下，直接的计算方法是把核函数用离散的取样 序列来表示， 卷积计算的结果近似表示为一个收敛的黎曼和。 但是可以证明， 这样的方法会导致一个小的、不可消除的误差，当把时域的计算结果变换到 频域内时， 可以观察到-4 0 d b左右的虚假反射。 为了得到高精度的截断边界 条件，人们开展了一系列研究准确计算卷积的工作。 在第三章中，作者着重讨论获得低剩余虚假反射系数的计算方法。在这 一章节， 作者借鉴有限积分技术的思想 3 5 1 3 9 1 ， 把波导特征模式电压、 电流 的一阶时域传输线方程组构造为类似于非色散传输线方程组，后者为 d l r i c h l e t 边值问题，可以用蛙跳格式方便地求解， 避免了求解二阶方程需要 一 阶导数边界条件的困难，并便于计算应用于时域有限元方法中的模式电流 电子科技大学博士论文 对时间的导数项。这样做的好处是，在 c a d软件中，这组方程可以直接用 作为描述波导色散传输线时域特性的标准模块，以差分方法求解，避免以往 需要借助于f f t来完成频域与时域变换的计算， 或是用f d t d去求解三维问 题。 本文在得到波导特征模式传输线近似方程组的基础上，基于数学中的对 偶形式，提出了一种虚拟损耗传输线的模型，并把它用作为波导色散传输线 的吸收负载。在这一章中，作者详细地计算了各种参数条件下，传输线的特 性阻抗与传播常数，目的是想得到具有损耗的完全匹配传输线。研究表明， 为减小不同传输线之间连接时，由于阻抗不匹配所引起的反射系数，虚拟损 耗传输线只有较低的衰减系数，但是用来进一步地衰减由卷积方法构造截断 边界条件时的剩余反射， 从而获得一5 0 - -6 0 d b较理想的剩余反射系数的结 果。 本文同时讨论了用卷积方法构造一维色散传输线截断边界条件的计算 方法，这是这本论文初期的研究内容，最近在这个方面，文献报道了新的进 展 2 2 1 2 8 1 . 1 . 4 . 3 模式匹配法与时域有限元法的混合算法 在上面研究内容的基础上，本文构造了一个与模匹配法相结合的时域有 限元 混合方法， 并推导出它的迭代算法。 本文最终利用s p a t i a l 公司提供的几 何核心库，完成了一个三维无结构网格自动剖分的时域有限元代码。这个代 码可以用来仿真复杂的三维结构，而且由复杂接头本身具有的较大反射系 数， 已足以掩盖求解的误差。 因此为了细致地研究时域有限元法的求解特性， 本文仅用其来仿真一段矩形直波导，仿真所得结果与一阶吸收边界条件相 比，混合方法得到的虚假反射回波平均要小 i o d b以上。同时发现，时域有 限元法的色散是比较大的，而且难以消除。这是一个以往人们忽视了的重要 问题。由于时域有限元法是不满足因果关系，作者认为这是造成其色散难以 消除的主要原因，因此文献 7 采用高阶元， 把两个稀疏矩阵中的一个变换为 对角阵，这一方面可以提高计算效率，同时也可以减小时域有限元法固有色 散的影响。 电子科技大学博士论文 第2 章 均匀波导本征模基本理论 与矢量有限元法的计算公式 2 . 1均匀波导中本征模理论基础 在理想均匀金属波导中， 我们把电场、 磁场写为其横向分量与纵向分量的叠 加，故有 e ( x , 1 , z , t ) = 双( x , y , z , t ) + h( x , y , z , t ) = 拭( x , y , z , t ) + 飒 ( x , y , z , t ) 2 h , ( x , y , z , t ) ( 2 . 1 ) _ _、 . 一_，a 同w if i e r士 v与为 v二v， 十z = 6 z 微分方程组 由麦克斯韦方程组，我们得到如下的一阶偏 ae ,az 一 “ x ,u 49h e + v ,e ,at clh ,a- 一 “ 二 ae , v ,h , oe zat 一 奋 v , 刁 ah .at 一 去 v ， (e x - )t * , z ( 22 ) ( 23 ) ( 2 . 4 ) ( 25 ) 上 面公 式 中 的 、 p ， 分别 为 均匀 波导 中 填 充 介 质的 介电 常 数与 导 磁率 常 数。 在 金属波导中， 电 场与磁场可以 用其t m 与t e 本征模式展开红 3 6 1 ， 这些本征模式由 下面公式定义。 t m 一 模式: k 二 一 p ,(d , ( 26 ) h i 二z x e 式( 2 . 6 ) 中 的本征函数。 由 下面的 本征值问 题确定 v 冲、 + k 沙* = 0 。 ， = 0 在s 上 ， 且气# 0 鲁一 0 ， 在s _h .， 且 * 。 = 0 ( 2 . 7 ) 电子科技大学博士论文 t e - 模式 h ; 二 一 又 y ( 2 . 8 ) e ; 二 式( 2 . 8 ) 中 的 本征函 数 i ; v 沙 日 甲 a n - i x h i 由下面的本征值问题确定 + k 沙 = 0 =0 ， 在s 上; ( 2 . 9 ) 本 征 矢 量 波函 数e . 满足如 下的 正 交归 一 化 关 系 e l.d s 一 仁 e .d sj . 弓 d s = 0 1 =j 1 笋_1 ( 2 . 1 0 ) 11.0 千干、 一一 ( 2 . 1 2 ) 一峨户桩犷 尸.，j口吸.，. 冲.、 根据式( 2 . 6 ) , ( 2 . 8 ) 定义的模式矢量本征函数， 波导中的横向电场、 磁场可以展 开为 反一 艺v , ( z , t ) e ; + 艺v ( z , t ) 弓 瓦一 艺 l j( z , t ) 凡 十 艺 形 z , t ) 乓 ( 2 . 1 3 ) ( 2 . 1 4 ) 同时纵向的电场与磁场表示为 ae , = 1 r (z,t)kc,;a t e ( 2 . 1 5 ) ax =a t 一 去 l r v i(zt)k? i ( 2 . 1 6 ) 将式 ( 2 . 1 2 ) , ( 2 . 1 3 ) . ( 2 . 1 4 )和( 2 . 1 5 ) 代入式( 2 . 2 ) 和( 2 . 3 ) ，并由式( 2 . 1 0 ) 和( 2 . l 1 ) 给出的正交关系。对于t m 一 模式，我们有如下的传输线方程 、lwe|、toeeeeeej dt 2以 孔扎 知些? a v . a r , ， 刃 一=_p碑 二 ， 硬 龙口t ( 2 . 1 7 ) a r , = 一 : a z 同样，对于t e 一 模式，相应的传输线方程写为 电子科技大学博士论文 在稳态场的条件下， d 2 我们可以分别得到两组二阶常微分方程组 d z z= 一 。 2 u e v i +,iv ik 2一 嵘 k (0 _ ) ( 2 . 1 9 ) d 2 i j d z 2二 一 0 ) 2 p 4+, il ik 2 d 2 t l d z 2= _ 0 ) 2 , u _ j ,+ k ,2ij ( 2 . 2 0 ) d z z 一 。 z ,u e i , + k , , i , 一 i ,.( 0 _ ) 截止的t m 模式所存储的能量，在微波电路中，可以用集中电容参数来等效，因 此 在 方 程组( 2 . 1 8 ) 中， 出 现了 模 式电 压k的 初 始条 件 项， 它 确 保了 电 容上电 压连 续的条件要求。同样，对于截止的t e 模式，在方程( 2 . 1 9 ) 中，出现了模式电流 的 初 始 条 件刀 ( 0 _ ) 项， 因 为 截 止 的t e 模式 所 存 储的 能 量 最 终 可以 用电 感 来 等 效， 电流连续是电感的基本属性。 在稳态场的条件下，通常无须考虑这些初始条件， 由于今后我们需要在时域中使用这些公式， 因此在这里对这些条件予以了格外地 关注。 电子科技大学博士论文 2 . 2矢量有限元法中的基函数与基本公式 在矢量有限元法中，对于四面体单元， 共有六条棱边，图2 . 1 给出了棱边基 在单元内的局部序号和棱边单位矢量的方向。 线性棱边基函数定义为仁 3 7 1 3 8 1 i 凡 一 (l i,v l a 一 l ,v l ;j 1, ( 2 . 2 1 ) 在 上式中 ， i = 1 , 2 , , 6 0 l i 为棱边的 长 度， 下标i l 和i 2 为棱边对应单元节点的 编号。这些对应关系如表 2 . 1 所示。 图 21四面体单元 表2 . 1四面体单元棱边的定义 棱边i节点i 1节点l 2 i 12 213 31 4 423 54 2 63 4 每个四面体单元中的两个刚度矩阵元素计算的公式: e 二 j j l ,.( v x n )( v x 叫d v 茹r 3 (v l ,324 (v ) 瓜n ; ) d v i ii x v l j ( v l , x v l j2 ) ( 2 . 2 2 ) 群= ( 2 . 2 3 ) 方程 ( 2 - 2 3 ) 可以 用标准的积分公式解析地计算出来 3 7 1 。 在上面公式中， 四面 体单元体积v . 电子科技大学博十论文 i1 x , y 1 一 : 一l l3 x 2 y 2“ ， ( 2 . 2 4 ) 6 一 x 3 y 3 z 3 i1 x 4 y 4 z 4 i 线 性 插 值函 数l i ( i = 1 ， 一 ， 6 ) : 吞= a i + 瓦 x + c ,y + 试 z ( 2 . 2 5 ) 为便于编制代码，结合图2 . 2 ，我们给出了方程 ( 2 . 2 5 )各项系数的计算公式 图2 . 2以节点标注的四面体单元 z2 。 。/ 、 ， ， 一 v 2 1 v 32 x 厂 ， ) z 4 1 ( 2 . 2 6 ) 乃乃儿 凡x3凡 一一 a , x 1 y 1 飞jq yy 一i x , z,z3一 。 (31y4, z 4 1 ( 2 . 2 7 ) x 2 ( 2 . 2 8 ) 、恤.尹 一气 x tk 2矛.吸、 . 犷勺 一- 1，j崎 22 1，一4 yyy 不x不 一一 召、 x 4 x 1 y l 乃y3 一 x 2 一 。 。/ 、 z 2 = - v , 1 v 2 1 x v 3 1) z 3 1 ( 2 . 2 9 ) x 3 电子科技大学博士论文 入 - - -x ( ( y 3 一 f/ z ) x () 4 一 y , ) ) ( 2 . 3 0 ) 孔孔礼 凡儿凡 一 3 1 ) 2.归 = x ( ( , 一 v ,) x ( y , 一 f,) ) 几几孔 yl儿凡 一一 b 2 1 y , 二 一 加 ( ( p 2 一 y , ) x ( y , 一 v i ) 3 2 ) 几孔礼 、.了广、1. 、.尹、.才 9k 一一 二 一 加 ( (? 一 p ) x ( v , ( 23 3 ) 21孔孔 乃儿yl凡.vs =一1 1 b , 一一 写 一办( ( j 一 t; ) x ( y 4 ( 23 4 ) 几几礼 凡凡丸 一一 一 v , ) x ( v , 一 y ) ( 2 . 3 5 ) k 2.、 了j.、 . 八y 一一 几毛孔 1 x , 凡凡 c 2 二一 1 y - ( ( p , 一 p ) x ( 一 f ) ) ( 23 6 ) 一一 气孔孔 1.，工门.止 一一 e卜污 c =一夕.( v i 一 v i )x (v 一 ) ) ( 2 . 3 7 ) 气几几 气凡凡另乃儿 .里山且，1孟 一 一 : ( (v s 一 y 2 ) x ( v , 一 v 2 ) ) ( 2 . 3 8 ) 一- 乃儿儿 乓x3么 .以卜1卜以1卜h苦 一 一 d 电子科技大学博士论文 一- yl乃凡 毛凡瓜 -一 d 2 艺 . ( ( v i 一 v i ) w 4 一 t; ) ( 2 . 3 9 ) -一 yl乃儿 毛凡 d 3 二一 1 - z * ( w 2 一 v i ) x( v 4 一 v i ) ( 2 . 4 0 ) “ ( ( y = 一 p ) x ( , 一 y ) ) ( 2 . 4 1 ) 一一 yl.vz儿 从毛石 一- 心 1 2 电子科技大学博十论文 第3章 金属波导中特征模的时域差分方法 对于任意形状的均匀金属波导，当波导的截面为规则形状时，可以利用 分离变量法，通过求解边值问题 ( 2 . 7 ) 和 ( 2 . 9 ) 得到相应的t m和t e 特征 模的解。当波导截面为任意形状时，可以用差分法、边界元和有限元法等数 值方法在二维空间中求解这两类边值问题，得到所需要的特征值一截止波 长，其对应的特征矢量作为系数可用来计算波导截面上的模式特征函数，此 时特征函数用一个矢量点集来表示。借助于特征模式，我们可以用方程 ( 2 . 1 3 ) , ( 2 . 1 4 )表示金属波导中的任意电场与磁场，这些场分量随时间和 传播 距离 变 化的 关系， 则可以 通 过t m特征 模式电 压 与电 流( t ; ( z , t ) , l ; ( z , t ) ) , t e 特征 模式电 压 与电 流( v ,.( z , t ) , 1 ( z , t ) ) 来表 示。 假设在研究的波导中，电磁波沿十 : 方向传播， 求解这些模式电压和电流 时域特性的问题可归结为求解式 ( 3 . 1 )和 ( 3 . 2 )描述的一维初边值问题: 少从叮|川1 -一一- a v , a 1 ; 气下 =-产.二 尸 o z of 工 i ;k .d t a l , _ _ : 些 a z a t v ,. ( z , t ) l= 。 一 f ( t ) , f (t ) l, 1 , ( z , t )，二 。 一 0 o r ,1 ; z , t ) i:二 。 一 。 ( t ) , g (t ) l;= o ( z ,t ) 二 = o ,r= 。 一 0 ( 3 . 1 ) a v , a 1 ; ， 万 一=一 尸万 厂 o z of a l _ 一 : a v i, a z a t一 土 t .d t 户 列 v i z ,t ) 1: - 。 一 f ( t ) , f (t)l,=, i ( z ,t ) iz= o ,r= 。 一 0 o r , i ,( z ,t ) i2 _z- 。 一 g ( t ) , g ( t) l, v ,( z ,t ) 一:_ 。 ，_ 。 一 0 ( 3 . 2 ) 我们可以 把初边值问题 ( 3 . 1 ) 和 ( 3 .2 ) 中的函数f ( t ) 和g ( t ) 视为外加的 激励源。对于初边值问题 ( 3 . 1 )和 ( 3 .2 ) ，我们可以把一阶的方程组变换为 电子科技大学博士论文 二阶方程，然后分别利用一次拉普拉斯变换和逆变换，代入初值和边界条件 求出二阶方程的解，本章的第三节较为细致地讨论这些解的特性。当分别求 出模式电压，或模式电流后，并把它们代入到初边值问题 ( 3 . 1 )和 ( 3 . 2 ) 对应的方程中，就可以求出对应的模式电流、或模式电压。表面上看，我们 似乎较为容易地解决了上面两个初边值问题，在本章地第三节里可以看到， 基于二阶方程求出的解是用卷积形式表示的，当把这些结果应用到时域矢量 有限元法中去时，由于对传递函数的有限截断， 会带来约一4 0 d b的虚假剩余 反射误差，在此基础上如何进一步地提高计算精度是一个值得研究的问题。 在时域矢量有限元法中，当应用波导特征模式电压与电流来表示截断端 面上的第三类边界条件时，用到的是模式电流随时间的导数项。在频域中， 我们可以依据有限元法求解出的电场经过模式分解后得到模式电压，然后可 以很方便地的用模式电压来表示这一导数项，因此在频域中应用波导特征模 来构造截断边界条件是非常自 然的选择 3 7 。为在时域条件下，找到一种简 洁、 可靠的方法求出模式电流随时间的导数， 我们借鉴有限积分技术的思想， 在本章第二节里提出了一种直接、高效的计算模式电压与模式电