（应用数学专业论文）重结点b样条的若干性质及其应用.pdf

摘要 本文首先在有重差商的基础上介绍了重结点b 样条的概念，总结了重结点b 样条定 义的三种形式：尬，。( z ) ，飓。( 。) ，n i ，。( o ) 以往的文献没有给出一般情况下重结点b 榉条的 显式表达式，本文将根据文献 1 中有重差商的具体展开形式给出重结点b 样条的显式 表达式，并给出对重结点b 样条显式表达式运用的例题其次，总结了三种形式重结点 b 样条函数的主要性质：递推关系，正性与局部支撑性，肌，。( z ) 的单位分解性，n 。( 。) 的规范性，重结点b 样条的连续性及基底性质；并较详尽的总结了重结点b 样条图象的 性质，给出了2 阶、3 阶和4 阶重结点b 样条的图象，且对它们的性质加以了具体的讨 论最后，讨论了重结点b 样条曲线和重结点有理b 样条曲线的主要性质和应用，将重 结点对b 样条曲线及有理b 样条茁线的影响进行了总结，给出了证明，并对几种二次和 三次重结点b 样条曲线作了具体的分析 关键调：有重差商；b 样条；重结点b 样条；重结点b 样条曲线；重结点有理b 样 条曲线 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：亟孟重 日期： 瑚6 迭j | 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学 位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：重圣盈 日期：迎五堕：； 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 茎垂二主 指导教师签名：垒奎 日期：矽 7 电话： ! 兰! ! 二里! 垒f 7 争f 邮编： 纽! 引言 样条函数是目前计算数学中非常活跃的一个分支，它的应用已经渗透到很多领域。 作为样条函数之一的b 样条有着很好的性质和用途，它在样条函数的理论与应用研究中 具有基础性的作用目前b 样条已被公认为是函数插值与逼近的一个常用的基本方法， 其中重结点b 样条有着重要的意义和广泛的应用，采用重结点技巧。可以方便而有效的 控制b 样条曲线以几何特性 b 样条理论的研究和完备化具有很重要的意义几十年来，国内外的研究学者对此 问题的研究做了大量的工作1 9 4 6 年，s h o e n b ”g | 5 】提出了b 样条函数理论，但其论文 在二十年以后才发表 七十年代初，d eb o o r 与c o x 1 4 分别独立的给出了b 样条 的递推公式和算法，有力的推动了b 样条理论的发展 d eb o o r 在七十年代的一系列工 作吼建立丁有关b 样条比较完善的理论b 样条的理论不断地向前发展，不断地得到 完善【8 1 ，但目前还没有文献给出重结点b 样条的显式表达式在文献 1 】中，盛中平老师 给出了有重差商的展开形式第一章将作为预备知识，简要介绍了文献【1 1 中有关有重差 商的定义及相关命题，主要介绍了有重差商的导数形式和具体展开形式在第二章的第 一节中将根据以往重结点b 样条的定义，总结出其定义的三种形式t 重结点标准b 样条 胍、。( z ) ，重结点规范b 样条肌，。( z ) ，重结点密度b 样条q 。0 ) 第二节在文献【1 1 中有 重差商的具体展开彤式的基础上，给出一般情况下重结点b 样条的显式表达式，并给出 对重结点b 样条显式表达式运用的例题第三章的第一节归纳总结了三种形式重结点b 样条函数的主要性质r 递推关系，正性与局部支撑性，批，。( z ) 的单位分解性：n e 。的 规范性，重结点b 样条的连续性及基底性质文献 1 0 f 1 1 对重结点b 样条的图象进行 了研究，第二节在其基础上较详尽的总结出重结点b 样条图象的性质，给出2 阶、3 阶 和4 阶重结点b 样条的图象，对其性质加以具体讨论 b 样条曲线是以b 样条函数为基函数的曲线，它有很好的性质和用途，在图形设计 中起着重大的作用这主要是因为b 样条方法不仅保留了b 包i e r 方法的优点，同时克服 了其不具有局部性质的缺点b 样条方法作为g a g d 中的一个形状数学描述的基本方 法，是由g o r d o z l 与m e s e n f e l d 在研究b 6 z i e r 方法的基础上引入的由于b 样条结点 选取的任意性以及b 样条基对结点的依赖性，我们可以灵活的设计出各式各样的曲线 本文第四章讨论了重结点b 样条曲线和重结点有理b 样条曲线，其中主要讨论了重结点 在处理曲线端点问题中的用途及重结点对曲线连续性的影响施法中在文献 1 l 】中给出 了重结点对b 样条曲线的影响，但没有给出具体的证明，第四章第一节将总结出重结点 对b 样条曲线的影响，并给出证明，同时还给出了几种具体的二次和三次重结点b 样条 曲线的解析式，画出了相应的基函数图象和这些曲线的图象，并对其性质进行了分析 重结点有理b 样条曲线是重结点b 样条曲线的推广，所以它们有着很多相似臼勺性质第 二节将在第一节的基础上，总结文献【1 5 中重结点对有理b 样条曲线的影响，并给出较 二节将在第一节的基础上，总结文献【1 5 】中重结点对有理b 样条曲线的影响，并给出较 详尽的证明 第一章预备知识 为了研究b 样条的需要，作为预备知识，本章将介绍有关差商的基本知识，重点介 绍文献 1 中有关有重差商的定义及相关的结论本章中的命题和定理将不给出证明，详 细情况见文献卧 本章的约定如同文献f 1 ：记结点个数为s ( s 1 ) ，互异结点为 瑶，相应重度 为t ) 釜，且记善a i 2n + l - 记组合数为( ：) = 丽等兰丽，重复组合数为 ： = ( m + 0 1 ) = 罨措记砖= ( 七l ，砖) ，峦( e ) = ( 南1 ，_ l ，后，k ) ，并用记 号1 1 磁( ) i i = z ，表示条件“h + + 一1 + k t + 1 + + = f ，其中( 1 t s ，t ) 均 为非负整数”记，为任意的一元函数，并且假设，充分光滑 5 1 无重差商 定义1 1 1 ( 无重差商) 设，为任意一元函数， 劫) 岛为互异结点组，记 m 吣- 硼扣耋器= 娄 ，( q ) ( 戤$ o ) ( q 一年1 ) ( i i i 丁- e = 罚 其中u ( 。) = ( z z o ) ( z 一。，) 扛一茁。) 则称，。 为，在互异结点 甄) 处的。 阶差商，亦称之为无重差商 命题l ，1 1 n 阶差商是对称的，即任意调换嗣与( i ，j = o ，n ) 的位置，差商不 变 命题1 1 2 伽吣，。j - 堑生竺必生：! 型 z 0 一贯n 命题1 1 3 m 吣柚。】_ 掣，其中m i n 而) 1 ) 时，即。：2 ，。：。或。：n 时，利用行列式展 开的方法【3 可给出n 阶重结点b 样条的具体表达式，下面将利用另一种方法给出证明 命题2 1 2 对于n 阶重结点b 样条， ( 1 ) 若凡= 瓦+ 1 一= n 押一l n + n ，即t = 黾：乡。2 j 时，则有 ： 鲁券呸幽。 强，。( $ ) = ( z 2 2 1 ) 8 一 。，、一j 蝶z 。墨。z 。 腿p ( z ) = p 2 一。1 ) ”一1 一。 n ；，。( 。) ： 错z s 。墨。t n i n ( z ) = ( z 2 一1 ) “ 一。 ( 2 ) 若n r + 1 = q + 2 = n + n ，即t = 。1 ，芝：! 兰 时，则有 晰，= 蛐，= 黟 毗如，= 黟 证明利用式( 1 2 3 ) 来证明该命题 ( 1 ) 当。b l ，。2 1 时 卫1 茁2 其它 其它 其它 尬，n ( z ) = bo 乡m 2 ( t z ) r 1 = b 心( t z ) 1 ：筹慨啪一。) n 一 ( n 1 ) ! d z l n 一1 。卜扪4 1 。p “7 + l 扩一，( 。2 一z ) r 1 一( 。1 一z ) r 1 1 2 丽丽【面= i 一j = 志筹c 掣， 一 ( 扎一1 ) ! d 嚣1 n 一1 茹2 一g i 3 吲沪 窘 ( 2 ) 若瓦 矗十l = + 2 = = 瓦如。+ 1 9 1 o 0 2 其它 即t 2 陋1 ，翌2 ；，则有 + 1 删拈j 啬票鲁 。s 。如 z ( z ) = ( z 2 一。1 ) “+ 1 “1 二。二。2 【o其它 忡一熙 班z 鲕 v p ( z ) = ( 留2 一茁1 ) “ 4 1 二。二* 2 【o其它 n 。，。、：j 生；兰：斜。，s 。 n ( 嚣) = ( 9 2 一。1 ) “+ l 。1 二。二* 2 【o其它 2 重结点b 样条的显式表达式 在以往的文献中，没有给出一般情况下重结点b 样条的显式表达式，本节将利用盛 中平老师给出的有重差商的具体展开式( 1 2 4 ) ，给出一般情况下，重结点b 样条的显式 表达式并给出一个例子作为对该显式表达式的应用 定理2 ，2 1 若n 阶重结点b 样条的差商泛函t = h ，q + 。】- 净”，。”，z 一，。1 、v 一、1 壹0 。= n + 1 ，s 1 ，o 4 为定义1 2 2 对偶序列中的a 序列，那么有 。口i口5 魁，n ( 。) 证明利用式( 1 2 4 ) ，得到 尬，n ( z ) = h ，n + l ， = 陋1 ，t ，2 l ， 、。、，。一 n l 2 廷! ：o ：磐 惦等”。( “冷 仁z m k ，邛。咱，格哪( “a z ：貉c 妒m 。( “a 仁z 固 丁 + 。】0 一z ) r 1 ，乏：o 型。一z ) 军1 a 5 之：o 型( 一1 ) ”p 一# ) + ( 0 司”1 j 廷：砂一芝：型( 一1 ) “扛一t ) ；。1 】 10 5 妻篆捂警番刮r ， 妻篆褥警 一叫”z 斟州舻e “ n + 一。 如 州脚 。同 1 | 如 阮 肛十勘 一 。 易 脚 。皿 “ r 一 o q 脚。触 i | z q = 薹蔷貉厂( ”批 令锄= 酱( “a 于是有 由定义2 1 1 ，有 令b j ，女= ( 。； 籍( 妒2 ( ”a 于是有 由定义2 1 1 ，又有 ，) “一。( “：1 ) ( 。一z ，) f 1 一k 吼小晰，= 嘉篆特r n ( ”批呻一k 令：持( 旷t n ( “a 于是有啡) 此定理给出了n 阶重结点b 榉条的显式表达式，这将给有关计算带来很大方便，并且 我们知道命题2 1 2 为该定理的特殊情况，在式( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 中，若令s = 2 ，o l = n 或2 = n ，就得到命题2 ，1 ，2 中的结论 推论2 2 1 若n 次重结点b 样条的差商泛函t = h ，n + 叶1 _ 陋1 ，z 1 ，z 一，。一 、- - - - ，- - _ 一、- - - - 、，- - 0 10 5 壹0 。= n + 2 ：s 1 ，a f 为定义1 _ 2 2 对偶序列中的a 序列，那么有 j = l n n ( 。) 如= 特( 州h ( ：) ( 2 z 1 ) 却。咱，持c 州h ( ：) ：籍c mc 川，( ：) ( 2 22 ) ( 2 2 3 ) 此推论给出了n 次重结点b 样条的显式表达式我们知道推论2 1 2 为该推论的特 殊情况，在式( 2 2 1 ，) j ( 2 2 2 飞( 2 2 3 ) 中，若令s = 2 ，a l = n + 1 或d 2 = n + 1 ，就得到推论 2 1 2 中的结论 作为定理2 2 1 的一个应用，下面给出一个例题 例2 2 1 若n 阶重结点b 样条每个结点的重度均为2 ，写出这个重结点b 样条的显 式表达式 8 卜+巧 一z 吩 脚 。赳 | | z n峨 持 t一 州脚 。触 = 扣乩 茁 目 脚 ，博 嚣 nm 毕证 卜 卜+叼 一 o “ 岛 脚。芦 如q 脚 。触 | | o 孵 俨十嘞 一z 巧 叫脚 。岿 | | 嚣 w 卜+ 叼 一 嘭 叫脚。赳 解由题意有，该n 阶重结点b 样条的差商泛函t = 陋1 ，z 2 ，。s ，。- 5 。2 一：a 。：2 ，此时2 s = n 十1 ，n = 2 p 一1 ，将这些量代入式( 2 2 - 1 ) 中得到 s1 尬m l = a 舳一。j ) 擎_ 2 “ j = lk = 0 s = 1 时， s = 2 时， + n 嘲川户莠 叫l n 姆j 屿( ( 卵。2 ( 2 3 玲z 刊r j ：扑攀卜圳r + 鬻”珊一3 t = 陋1 ，z 1 1 由命题2 1 1 有尬，1 ( $ ) = 飓，1 ( z ) = q t ，1 ( $ ) = o t = 陋l ，。1 ，2 ，z 2 | 则由( ) 式 蜘= 等等+ 等等+ 等等+ 篆替 f 堑掣 。， 。 。 = ( l z 2 ) 3 。1 一。 并且在这种情况下，可以得到 晰，等铲 哦和，= 等铲 s = 3 时， t = k l ，。1 ，z 1 ，茁2 ，z 2 ，z 2 则由( ) 式 茁1 z 0 2 其它 z 1 茁 贯2 其它 ( 茹) = 孝赫蔷( z 咱) 车+ 再葡鲁哥( 。咄痒 + 石：笔i 笔高忙一z ：) + 百云_ = = _ ；编。一z 。) 晕 + 石i 望i 暮器忙一z s ) 牟+ 百云_ = i 五晶扛一z 。) ；( 0 3 一z 1 ) 3 ( z 3 一。2 ) 3 、“ “。十( 石3 一z 1 ) 2 ( 嚣3 一茁2 ) 2 、 。7 十 fi ；! ；：翥猖( z z ) 4 + 百i = = _ ；五蠢如一。，) 3 ：i ；! ；i i 祷( 。一。t ) 4 + i i _ = _ 磊晶( 。一。t ) 3 l 十百墨笔；耥忙一z 。) 4 + i 云- = = - ；蒜。一z 。) 3 l0 z1zz2 z 2 z $ 3 其它 墨圳 。触 1 1 墨砌 并且在这种情况下，可以得到 i 。5 ( ) f 芒瓣c 一砌4 + 哦。) ： i ：等譬笔鹪( 。一。t ) 4 + 哦，5 伽卜1 磊” 两= 习琢两憎 瓦= 习币两哆 + 两= 习币而。 一z 1 ) 3 z 1 茁 茁2 一芏1 户 。一。2 ) 3 茁2 z 嚣3 其它 运用式( + ) 还可以继续计算出s = 4 ，5 ，6 ，时重结点b 样条的显式表达式 1 0 = 薰 虮 研曲一 _ 一兰p 瑚 划一耐训一训一一恬 菱肇 由于，死。廷! ：0 ：翌，z 2 ，故 飓一( z ) = ( z 。一z ) b ：9 2 2 ( 。一。率1 = 乜0 9 z z ( t z ) r 1 一廷! ：o 型 当。陋1 ，2 】，有 旭，n ( z ) 2b o 。2 ( t z ) r 1 ( ”) n 一1 故( + ；) 式为乃确定的重结点b 样条的解析式由此我们知道由( + ) 与( + + ) 确定的图象 形状是相同的同样的道理也可以证明出定理的后半部分成立证毕 作为对上面三个定理的应用，我们给出两个例子，具体分析2 阶、3 阶和4 阶等距 重结点规范b 祥条图象的性质。 例3 2 1 作出2 阶和3 阶等距重结点规范b 样条的图象，并分析其具体性质 解为了研究的方便，我们不妨将结点区间长度取为1 ，令结点的起点为o 首先计算 o 。( 。) m = 2 ，3 ) 的解析式如下： 当n = 2 时，t _ 0 ，叩】，则枇( 牡 ：一 t _ 【0 ，圳，则( 妒f ： 当删毗t _ 【0 1 0 ，叩恻呦= ”叫2 t = f 0 ，1 ，则= ：2 t=【。，。，-，2，阅哪b，acz，=；li：，：z t = 【o ，。，z ，则i ，a c 。，= z + a 。一。 t = 【o ，- ，z ，则o ，a 。，= 莩一z ，2 t = 。，。，1 ，1 ，则0 ，。( z ) = i 2 2 2 + 2 。 0 z 1 其它 0 o 1 其它 0 茁 l 其它 0 z 1 其它 o 茁 l 1 茁 2 其它 0 z l 1 嚣 2 其它 0 1 1 z 2 其它 0 o 1 其它 根据0 。( z ) ( 忆= 2 ，3 ) 的解析式，画出它们的图象如下；图( 3 1 ) ( a ) - ( h ) 1 6 么o 一手o 0 n = z t = 【o ，o ，1 1 ：2 ，r = ( o o o b = 冀t = 岛珥o ， 扛= 3 ，t = f o ，o ，l ，z 】 一 o1 o1 n = 3 。t = f 审，o ( h ) n = 3 ，r = 【o 1 勰 a = 冀t = ! 包1 ，l ，l 】 ( d ) 0 i 2 l n = 3 ，t = l o ，2 】 么：。么= 。 o1z 衅2 j t _ 【o ，1 ，z 】 0 n - ，t = o ，l ，2 ，3 图( 3 1 ) 作为比较，我们画出结点间距为1 的2 阶和3 阶等距无重结点规范b 样条图象，如图 ( 3 。1 ) 中的( i ) 和0 ) 由图( 3 1 ) 我们可总结出2 阶和3 阶等距重结点规范b 样条图象的性质：将( a ) 与( i ) 比较我们发现，结点。的重度( a ) 比( i ) 多1 ，那么( i ) 中支撑区间由2 个变为了( a ) 中的 1 个，并且在。点处( i ) 中的图象是连续的，而( a ) 中的为间断的，这表明( a ) 中b 样条 在。点处的可微性比( j ) 中的降低了1 次；图( 3 1 ) 中的( a ) 与( b ) ，( c ) 与( d ) ，( e ) 与( f ) 关 于它们支撑区间的中垂线是对称的；( g ) ，( h ) 关于它们各自支撑医间的中垂线是对称的； ( 曲在2 重结点l 的右侧图象与( c ) 的图象形状相同，而在2 重结点1 的左侧图象与( d ) 的图象形状相同 例3 2 2 作出4 阶等距重结点规范b 样条的图象 解为了研究的方便，我们仍将结点区间长度取为l ，令结点的起点为o 首先计算 0 4 ( z ) 的部分解析式如下： 吲o j 0 ，0 ，叭坝。酬班鼢甸3 t = 【o ，0 ，o ，1 ，1 ，则 f = 【0 ，o ，o ，l ，2 ，则 0 ，4 ( z ) = 0 ，4 ( ) = 0 z 1 其它 $ ) 3 2 ( 1 一。) 3o sz 1 $ ) 31 。2 其它 1 7 一 一 一 0 2 2 孙0 l矿广0 ，0，ll，l，f1t【 t = 0 ，o ，1 ，l ，2 】，贝0 o ，4 忙) t = 0 ，o ，1 ，2 ，3 】，贝0 0 ，4 ( z ) 嚣) 3 6 ( 1 一茁) 20 茁 l t=【0，z，s，则o，a。，=|薹：i一；c2一z严 t = 【0 ，。，- ，z ，z 】，则o ，t c 。，= ；： t = 【o ，。 ，则o ，t c z ，= 芋：；一2 。一。户一6 姐一。 我们作出它们的图象如图( 3 2 a ) l z 2 其它 0 z 1 l z 2 2 嚣 3 其它 0 o 1 1 2 2 茁 3 其它 o o l 1 z 2 其它 0 z 1 1 z 2 其它 * tt ：吼o ，o o ，t ( 1 j 舻4 。t = o 。o 。j 1 ，1 】 ( 2 ) 舻屯t - o j 轧仉1 ，2 】 ( 3 ) 衅电t = 【o 0 ，l ，1 ，2 ( 4 ) 。么。 0 12 3 0 l 2 o l 萨屯t 竺c 。，0 1 j2 ，3 ( 5 ) 捧= 屯t = 饥l ，1 ，已3 ( 6 ) 30 0 铲屯【o | 仉l 。毛2 ( 7 ) 2 n = 屯t _ 【o ，1 ，1 1 2 ( 8 ) 图( 3 2 a ) 根据定理3 2 2 ，我们知道0 ，4 ( ) 还有分别与( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 ) 、( 5 ) 、( 6 ) 相对 称的6 种情况，由此我们可以作出它们的图象，如图( 3 2 b ) 所示 12十 3 3 、j) 茁 z 一 一 2 2 1一一2 0 ，j(，k 3 t l 3 2 十 3 3 、，、， 一 一 2 2 (，【 3 4 3 4 美孛。 2 3 2 2 + o r 妒 + 一 二令# 金 n = 垂，t ；t o ，1 1 1 1 】 ( i ) n - 4 。t _ 咄t 1 ，2 g v ) t 产屯t ； 也o j i 1 1 ( i i ) f 屯t 0 j 1 ，2 3 。3 】 ( v ) 图( 3 2 b ) 1 9 n = 4 。t = o ，l ，2 2 ，2 ( i i i ) * 屯t = c 0 ，乙2 ，3 冉i ) 仝 第四章重结点b 样条曲线及重结点有理b 样条曲线 b 样条方法是在保留b 6 z i ”方法的优点，同时克服其由于整体表示带来不具有局部 性质的缺点，及解决在描述复杂形状时带来的连接问题下提出来的b 样条方法作为 a a g d 中的一个形状数学描述的基本方法，是由g o r d o n 与r 曲s e n f e l d 在研究b 6 z i e r 方 法的基础上引入的b 样条曲线在图形设计中具有重要作用，特别是重结点的使用，使 得b 样舞曲线有着比无重结点时更好的性质。从而达到图形设计的目的本章我们将讨 论重结点b 样条曲线和重结点有理b 样条曲线 1 重结点b 样条曲线 文献f 1 5 1 对无重结点等距b 样条曲线做了比较深入的研究由于每段无重结点等距 b 样条曲线都具有相同的b 样条基，这给曲线的设计带来了方便，但由于其不够灵活， 故在实践中应用的较少重结点的使用，使曲线的设计更灵活文献 1 1 1 2 讲述了重结 点对b 样条曲线的影响本节我们将重结点对b 样条曲线的影响加以总结，并给出其具 体证明，同时附以例题 类似于无重结点b 样条曲线的定义，下面给出重结点b 样条曲线的定义， 定义4 1 1 对于区间 o ，给定分划如下： ： 口= z b z + 】z 历+ 一1 $ 研+ n = b 两端分别加入n 个新结点把分划扩展为 。： z o 墨z n l 。= z n 茎 茎z m + n = 6 o m 十n 十l $ m + 2 n( ) + 中包含重结点，川1 ( 。) 为关于结点序列( j ，) 的第i 个n 次规范b 样条( i = o ，1 ，m + n 1 ) ，6 ，为拄制顶点，称n 次曲线 ge 陋，翻= i 。n ，m m + n 为定义在区间k ，m 上的n 次重