（一般力学与力学基础专业论文）轴向运动系统动力学及若干应用.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 i 摘 要 工程系统中的传送带、锯片、行进缆绳等均为沿轴向运动的动力学系统，轴向运动速度等 对系统动力学特性具有重要的影响。本文首先建立轴向运动薄板的动力学模型，分析了薄板参 数和轴向速度对其固有特性的影响。然后计入空气阻力，分析了薄板的固有振动。根据系统特 征值随轴向速度的变化关系，获得了运动薄板的稳定性和响应规律，结果表明，空气阻力对系 统固有特性的影响较小。最后对轴向运动系统在锯片和太空电梯中的应用进行了分析。 关键词：关键词：轴向运动板，稳定性，固有振动，锯片，太空电梯 轴向运动系统动力学及若干应用 ii abstract the axially moving systems are widely used in engineering fields, for example, transmission belts, band blades, travelling cable etc. firstly, the dynamic model of axially moving plate is presented. the effect of parameters and moving speeds on the natural characteristics of plate is analyzed. and then, the free vibration of plate subject to air drag force is studied. according to the relationships between eigenvalues and moving speeds, the stability conditions are obtained. the case studies shown the influence of viscosity resistance on the nature frequency is small. finally, some applications of axially moving plate in cutting bland and space elevator engineering are briefly introduced. keywords: axially moving plate, stability, natural vibration, band, space elevator 轴向运动系统动力学及若干应用 vi 图、表清单 图 2.1 轴向运动弹性薄板的模型.4 图 2.2 同一微元随时间变化图.8 图 2.3 板微元受力图 .15 图 3.1 频率 11 随速度c变化关系图 .21 图 3.2 频率 11 随速度c变化关系图 .21 图 3.3 频率 11 随速度c变化关系图 .21 图 3.4 频率 11 随速度c变化关系图 .21 图 3.5 频率 11 随速度c变化关系图 .22 图 3.6 频率 11 随速度c变化关系图 .22 图 3.7 频率 11 随速度c变化关系图 .23 图 3.8 频率 11 随速度c变化关系图 .23 图 3.9 频率 11 随速度c变化关系图 .23 图 3.10 频率 11 随速度c变化关系图.23 图 3.11 第 1、2 阶模态振动响应.25 图 3.12 第 3、4 阶模态振动响应.25 图 3.13 第 1、2 阶模态振动响应.26 图 3.14 第 3、4 阶模态振动响应.26 图 4.1 板微元受力图 .27 图 4.2 11 随速度c的变化关系 .30 图 4.3 12 随速度c的变化关系.30 图 4.4 21 随速度c的变化关系.30 图 4.5 22 随速度c的变化关系.30 图 4.6 和c的关系曲线图.31 图 4.7 板中点处对应不同速度c的时域响应曲线.32 图 4.8 板中点处对应不同速度c的相轨迹图.33 图 4.9 系统前四阶固有振型图.34 图 4.10 振型响应图 .35 图 4.11 水阻力作用对固有频率的影响曲线图.36 图 5.1 锯片动力学模型和几何尺寸图.37 图 5.2 内力 x n的分析图.37 南京航空航天大学硕士学位论文 vii 图 5.3 锯片受载模型图.38 图 5.4 第 1、2 阶模态振动响应.41 图 5.5 第 3、4 阶模态振动响应.41 图 5.6 临界速度状态时无量纲速度c和的变化关系图.43 图 6.1 太空电梯工作原理图.45 图 6.2 绳索释放机构总体简图.46 图 6.3 绳索释放机构图.46 图 6.4 摩擦轮带动绳索释放简图.47 图 6.5 碳纳米管的结构形式.48 图 6.6 绳索偏离平衡状态.49 图 6.7 释放速度随时间的变化图.50 图 6.8 释放绳索的层面结构.50 图 6.9 轴向释放绳索模型图.51 图 6.10 频率随速度c变化关系图 .51 图 6.11 第 1、2 阶模态振动响应.52 图 6.12 第 3、4 阶模态振动响应.52 表 1 仿真数据 .21 表 2 仿真数据 .30 承诺书 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。 本人授权南京航空航天大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在解密后适用本承诺书） 作者签名： 日 期： 南京航空航天大学硕士学位论文 1 第一章 绪论 1.1 研究背景 板的使用历史十分悠久。生活中板状结构随处可见。随着科学技术的发展，板的理论、计 算和实验研究在不断地发展，特别是工程中，重量和强度方面的要求对板的性能分析也在不断 地提出新的要求。 在工程中，薄板结构极其广泛的应用。对静止受载的薄板结构，静、动力学分析十分成熟， 已经能够满足工程中的分析要求。本课题研究的是一类做轴向运动的薄板结构，该种结构常见 于运输带、传送带、磁带等板、带状运动结构中，具有沿某一轴向方向做高速运动的特点。在 运动过程中，结构可能会发生振动现象，致使传送的效率下降，准确度减低，甚至于由于失稳 或是共振导致结构破坏。因此，对运动中的薄板结构的动力学特征分析十分必要。 1.2 相关研究进展 板的振动作为连续体动力学分析在结构动力学研究领域中是一个重要的组成部分。至今， 除了两边平行简支的板能有精确解，其它边界条件的板在数学求解上没有直接的方法，往往需 要通过近似方法进行求解，比如 rrm，kantorovich，fem，fsm 以及 sem 等方法。经典的弹 性板理论是由 navier 奠定，他在 1821 年给出了弹性板的平衡和运动微分方程。随后 poisson 在 1829 年讨论了板的边界条件，给出了现在通用的简支边和固支边的边界条件。对于自由分布的 边界，他的理论中给出了三个边界条件(剪力、扭矩、弯矩)，这和板的四阶微分方程相矛盾。 kirchoff 在 1850 年发表的关于薄板理论的论文中提出了两个基本假设，确定了薄板弯曲理论的 基础，指出了 poisson 在边界条件处理上的矛盾，将三个边界条件转变为两个边界条件。19 世 纪末，levy 研究了对边简支、另外两边任意支撑的矩形板问题，提出了单三角级数法。到了近 代，随着高速薄壁结构在机械领域的运用，大挠度板问题变得突出，经典的弹性薄板理论和线 性理论振动分析已不能满足要求。在考虑板内中面位移的基础上，von karman1提出了大挠度 非线性薄板理论，给出了著名的 von karman 方程组。chu 和 herrmann2将 von karman 的理论 推广到了振动问题中，给出了著名的 von karman 方程组的动态比拟。leissa4研究了各种边界 条件下的薄板的非线性振动， 在 1987 年对薄板的非线性振动作了综述。 另一份对该问题较系统 的综述由 sathyamoorthy4完成。 近代计算方法的研究和发展推动了板的数值研究，比如：rayleigh-ritz 法、galerkin 法、差 分方法等。随着计算机的高速发展，利用计算方法获得的数值解已具有很高的精度。由于复杂 轴向运动系统动力学及若干应用 2 边界结构的精确解难以获得，所以在复杂结构的动力学研究中，往往运用理论和数值相结合的 方法。该篇论文中同样运用了这种结合的方法来研究板的动力学现象。 国内外学者一直在对轴向运动梁板的动力学现象进行着研究。早期的研究对象，主要是运 动弦线和线性的、简单边界条件下的 euler-bernoulli 梁。skutch5利用波动法得到了两端无位移 的运动弦线的固有频率。archibald 和 emislie6用变分原理建立了轴向运动弦线的动力学方程， 分析了轴向运动对固有频率和本征函数的影响。wickert 和 mote7采用连续陀螺系统模态分析 的方法确定了轴向运动弦线对激励的响应，随后8又采用末态分析的方法得到对任意作用力在 任意边界条件下的响应，利用 green 函数给出了响应的积分式，对模态函数的选取作了改进。 nelson9研究了两端固支运动梁的固有频率和振动模态。mote10研究了简支边界的运动梁，分 析了频率随轴向速度的变化关系，并和 naguleswaran11进行了运动梁振动理论与相关实验两方 面的研究。naguleswaran 和 williams12用梁本征函数作为 galerkin 的型函数，提出了确定参振 不稳定区的数值方法。wickert 和 mote13提出了适合于陀螺连续体分析的复模态分析方法，基 于模态函数的正交关系给出了运动梁在任意初始条件和激励下的响应，得到了简支边界条件下 计算固有频率和模态函数的方法。之后14又采用 kbm 法研究了轴向运动梁的横向振动及其分 叉。陈立群和李晓军15用 wickert 复模态分析的方法得到了两端固支张紧运动梁的固有频率和 模态函数。pellicano16利用高阶 galerkin 截断研究了运动梁的动态响应。rienel 和 tan17应用 多尺度法研究了运动梁的内部共振。mote18在 1972 年总结了之前对各种轴向运动体系的应用 和研究。wickert 和 mote19在 1988 年综述了之前轴向运动物体的振动和稳定性的研究成果。陈 立群20综述了轴向运动弦线的振动研究。近年来，众多国内学者运用非线性理论研究了轴向运 动物体的非线性振动。金栋平和胡海岩2122研究了运动绳索在横向流体激励下的平衡位置和稳 定性。陈立群23等研究了轴向运动粘弹性弦线的分叉和混沌特性。张伟24等研究了粘弹性运动 带参数激励的混沌特性。 zhang 和 zu25应用多尺度法分析了轴向运动梁在参数激励下的非线性 振动。sze26等应用 ihb 法研究了轴向运动两的各种谐波响响应。杨晓东和陈立群2728系统地 研究了粘弹性运动梁的非线性振动特性。陈树辉和黄建亮29-32分别用多维 l-p 法和 ihb 法研究 了轴向运动梁的非线性振动响应。 为了更精确地得到运动物体振动特性和几何参数间的关系，ulsoy 和 mote33采用了对边简 支对边自由的运动板的模型建立了轴向受载的锯片的模型，并采用里兹法和有限元法对模型进 行离散，分析了固有频率和稳定性随轴向速度的变化关系。lin 和 mote34采用 von karman 非 线性板模型理论研究了在纵向载荷的作用下膜板的平衡位移和应力分布。 之后， lin35研究了运 动板的稳定性。wang36运用一种基于 mindlin-reissner 板的混合的有限元方法分析了运动的各 向异性板。damaren 和 lengoc37运用 rrm 得到了离散运动方程并实现主动鲁棒控制。kim38 南京航空航天大学硕士学位论文 3 等人采用 kantorovich 方法建立模态谱单元矩阵，研究了轴向运动板的固有频率和稳定域。 hatami39采用有限条法研究了轴向运动复合材料板的固有频率和材料特性参数之间的关系，之 后又用相同的方法研究了轴向运动粘弹性板的自由振动40。 1.3 本文结构安排 本文研究了轴向运动薄板的动力学特征以及在工程方面的若干应用，结构安排如下： 第二章运用 hamilton 原理从能量角度以及牛顿定律从平衡关系建立了不同材料特性和速度 特性下的轴向运动板的动力学模型。 第三章着重分析四边简支运动板的自由振动特性。得到材料特性、几何特性、轴向速度对 系统频率特性的影响关系。数值计算出前四阶模态的振动形态。 第四章分析对边简支对边自由板在空气中运动时的动力学特征。数值分析了轴向速度、几 何参数对系统固有特性的影响。根据特征方程，得出轴向速度对系统稳定性的影响关系。分析 气动阻力对系统固有频率的影响。 第五章运用轴向运动板对锯片在切削过程中的振动特性进行分析。得到低阶频率和振动形 态。 第六章将轴向运动板模型运用到太空电梯工程部件动力学分析中。得到了速度对部件固有 频率的影响程度。 第七章总结了本文的工作内容，并对不足和进一步研究方向做出说明。 轴向运动系统动力学及若干应用 4 第二章 轴向运动薄板建模 轴向运动系统包括轴向运动弦梁板等结构，由于运动中轴向与横向之间的相互影响，使得 呈现出极为丰富的动力学现象。 本章采用平衡法和能量法两种方法推导得到运动板的微分方程。平衡法利用静力平衡关系 和牛顿第二定律建立力与力、力与运动的方程等式。能量法通过能量表达式和能量原理推导得 到运动微分方程。考虑不同材料特性和应力应变关系，本章首先建立了一般各向异性、正交各 项异性以及各向同性薄板的形变势能表达式，之后通过对微元运动进行分析，得到轴向运动弹 性薄板的动能表达式，然后利用 hamilton 原理推导得到运动微分方程。 2.1 弹性薄板模型 图 2.1 轴向运动弹性薄板的模型 粗线部分表示固定在地面等惯性坐标系的边界约束，板状结构体从粗线表示的边界约束中 穿过，以速度c相对地面运动。矩形板长度为a，宽度为b，厚度为h。在一端边界约束上建立 如图 2.1 所示的坐标系，坐标原点为o，x轴沿板的长度方向，y轴沿板的宽度方向，z轴根据 右手定则建立。 2.2 建模条件及假设 板壳理论中，当弹性体具有两个底面，且它们之间的距离与底面尺寸相比很小，而两底面 间距离的中点又位于同一平面时，称为平板或板。两底面间的距离为板的厚度。板厚度中点所 构成的平面称为中面。当板厚与板平面最小尺寸之比超过 1/5 时，为厚板；小于 1/80 时，为膜 板；介于这两者之间的为薄板。对于厚板，受到横向载荷时，必须考虑板厚度方向上的剪切效 应，可以作为弹性力学的三维问题求解。对于膜板，由于厚度很小，板的抗弯刚度近似为零， 基本只能承受平面内的张力作用。对于薄板，受到一般载荷作用时，可分解为平行中面的纵向 南京航空航天大学硕士学位论文 5 载荷和垂直于中面的横向载荷。当薄板弯曲时，中面内各点沿z轴方向的位移为w 建立弹性薄板横向振动的基本假设： 1. 变形前板内与中面垂直的直线段，在变形后仍保持为直线，并垂直于中曲面。 2. 板的中面在弯曲变形的过程中不产生应变，始终保持为中性曲面。 3. 应变分量 z 与其它应力分量相比很小， 应变分量 z 与其它应变分量相比也很小， 略去。 假设 1、 2、 3 基础上建立的弹性薄板小挠度理论， 为薄板的经典理论。 假设 1 又称为 kirchhoff 直法线假设，在该假设下，板内任何点的剪应变为零，即0 zx =，0 yz =。在假设 2 下，中面 内各点只有z方向的位移，而无x和y方向的位移，有( ) 0 0 z u = =，( ) 0 0 z v = =。在假设 3 下，有 横向应力应变0 z =，0 z =。 2.3 运动薄板的能量 运动薄板在振动过程中，由于横向位移w，板具有形变势能 b u。外力在w的变化下做的功 转变为板的势能 f v。轴向运动板在纵向以及横向上都有速度，具有动能 k e。考虑到材料的特 点，在建立板的形变势能 b u时，建立以下三种材料特性薄板的形变势能表达式：一般各向异性 薄板，正交各向异性薄板，各向同性薄板。 一个物体，如果它在所有各个方向的弹性都相同，就称为各向同性体；如果它在所有各个 方向的弹性并不完全相同，就称为各向异性体；如果它在任何两个方向的弹性都不相同，就称 为极端各向异性体。 极端异性体的物理方程有 21 个独立的弹性常数， 具有一弹性对称面的各向 异性板的物理方程有 13 个独立的弹性常数， 具有互相正交的三个弹性对称面的物体， 如果以三 个对称面为坐标面，物理方程有 9 个独立的弹性常数。 2.3.1 一般各向异性运动薄板形变势能 假定薄板是各向异性的，中面为弹性对称面。以中面为xy面，由薄板的基本假设以及具有 一个弹性对称面物体的物理方程可以得到 0,0,0 zyzzyzxxz = (2.3.1) 一般各向异性薄板的几何方程为 222 22 ,2 xyxy www zzz x yxy = = = (2.3.2) 物理方程为 轴向运动系统动力学及若干应用 6 111216 122226 162666 xxyxy yxyxy xyxyxy aaa aaa aaa =+ =+ =+ (2.3.3) 将(2.3.2)代入到(2.3.3)中，应力分量用挠度w表示如下 222 111216 22 222 122226 22 222 162666 22 2 2 2 x y xy www z bbb x yxy www z bbb x yxy www z bbb x yxy = + = + = + (2.3.4) 式中 22 22662611 6616 1122 2 1626126611 2212 6612 122622 16122611 26 1626 , , , a aaa aa bb a aa aa aa bb a aa aa aa a bb = = = (2.3.5) 111216 122226 162666 aaa aaa aaa = (2.3.6) 用应力分量和形变分量表示的形变势能为 () 1 d d d 2 xxyyxyxy ux y z =+ (2.3.7) 将几何方程(2.3.2)和物理方程(2.3.4)代入到(2.3.7)中，然后对z从/ 2h到/ 2h进行积分，并令 3 /12 ijij db h=，得到一般各向异性板用挠度w表示的形变势能为 22 2222 111222 2222 200 2222 661626 22 2 1 d d 2 44 ba b wwww ddd xxyy ux y wwww ddd x yx yxy + = + (2.3.8) 2.3.2 正交各向异性运动薄板形变势能 对于正交各向异性薄板，将x轴、y轴、z轴放在弹性主向，物理方程如下 南京航空航天大学硕士学位论文 7 1112 1222 66 xxy yxy xyxy aa aa a =+ =+ = (2.3.9) 几何方程同(2.3.2)，将几何方程代入到(2.3.9)中得到以挠度w表示的应力分量 22 112 22 12 22 221 22 12 2 1 1 2 x y xy zww ee xy zww ee yx w zg x y = + = + = (2.3.10) 将几何方程(2.3.2)和物理方程(2.3.10)代入到(2.3.7)中可以得到正交各向异性板形变势能的表达 式为 () 222 22222 123 2222 1 224d d 2 kk wwwww udddddx y x yxyxy =+ (2.3.11) 式中 ()() 333 12 12 1212 , 12 112 112 k e he hgh ddd = (2.3.12) 32112 22 kk ddddd=+=+ (2.3.13) 1 d及 2 d是薄板在弹性主向的弯曲刚度， k d是薄板在弹性主向的扭转刚度。 2.3.3 各向同性运动薄板形变势能 各向同性薄板的物理方程为 22 222 22 222 2 1 1 1 x y xy ezww xy ezww yx ezw x y = + = + = + (2.3.14) 几何方程同(2.3.2)。将几何方程(2.3.2)和物理方程(2.3.14)代入到(2.3.7)中，得到各向同性薄板的 横向变形引起的应变能为 () 22 22222 2222 00 1 2 1d d 2 ba b wwwww udx y x yxyxy =+ (2.3.15) 轴向运动系统动力学及若干应用 8 式中， () 32 /12/ 1deh=为薄板的弯曲刚度。 2.3.4 外力功和动能 若板受到外载f的作用，f与坐标x、y无关，方向沿z轴反方向，外力功引起的相应的应 变能为 00 d d ba f vfw x y= (2.3.16) 板元的动能由x方向的速度和z方向上的速度引起。x方向上的速度为c，微元的动能为 2 1/ 2d dhcx y。z方向上的速度大小分析如下 图 2.2 同一微元随时间变化图 考虑板中任一微元，在z方向上的位移为(), ,w x y t。由于y方向没有速度的变化，分析z方 向上的速度时将(), ,w x y t简写成(),w x t。微元在t时刻构型如图 2.2 的细实线部分，两端对应的 z方向上的位移分别为(),w x t和()d ,w xx t+， 在dtt+时刻构型如图 2.2 的粗实线部分， 在时间dt 里c可 以 看 成 是 匀 速 的 ， 两 端 对 应 的z方 向 上 的 位 移 分 别 为()d ,dw xc t tt+和 ()dd ,dw xc tx tt+。微元中点在z方向上的变化为 ()()()() 11 dd ,ddd ,d,d , 22 ww xc t ttw xc tx ttw x tw xx t=+ (2.3.17) 利用泰勒展开，取一阶近似，(2.3.17)可以写成 ()()()() () ()() () () () () () () ()()()() 11 d ,ddd ,d,d , 22 , ,dd , 11 2,d 22, ,ddd ,1 dddd 2 dww xc t ttw xc tx ttw x tw xx t w x tw x t w x tc tt w x t xt w x tx xw x tw x t w x tc txt xt w x tw x tw x tw x t c ttc tt xtxt w =+ + =+ + =+ = ()(), dd x tw x t c tt xt + (2.3.18) 南京航空航天大学硕士学位论文 9 由(2.3.18)得到(),w x t随时间的变化率为 ()(),d d w x tw x t w c ttx =+ (2.3.19) 所以微元在z方向上的动能为()21/ 2/d dhwtc wxx y + ， 板的动能为两个方向上动能和的积 分 2 2 00 d d 2 ba k hww eccx y tx =+ (2.3.20) 式中，为材料密度。 由于板以速度 c 做轴向运动， (2.3.20)比没有轴向运动时板的动能式多了 2 c、2/c wxwt 和()2 2 /cwx项。 2.4 匀速运动弹性薄板动力学方程 根据广义 hamilton 原理，在从 0 t状态到 1 t状态过程中，满足位移边界条件的所有可能运动 状态中，真正运动状态满足 () 2 1 d0 t k t eut= (2.4.1) 式中， b uuv=+ 2.4.1 匀速运动各向同性薄板动力学方程 板的动能形式为 2 2 00 22 22 00 d d 2 2d d 2 ba k ba hww eccx y tx hww ww cccx y ttxx =+ =+ (2.4.2) 动能的变分在时间 1 t到时间 2 t的积分为 22 11 2 1 2 00 2 00 2222d d d 2 2222 2 ttba k tt tba t hwwwwwwww e dtcccx y t tttxxtxx hwwwwwwww ccc tttxxtxx =+ =+ 2 1 2 1 00 2 00 d d d 22d d d 2 22d d d 2 bat t tba t x y t hwwww ct x y ttxt hwwww ccx y t txxx =+ + 轴向运动系统动力学及若干应用 10 22 11 22 11 22 11 2 1 0000 2 00 00 22 2 0000 2 00 |d d|d d | d d| d d d d dd d d d d d baba tt tt tbtb aa tt tbatba tt tba t ww hwx yhcwx y tx ww hcwy thcwy t tx ww hw x y thcw x y t x tt w hcw x y t x + = + + 2 1 2 2 2 00 d d d tba t w thcw x y t x 22 11 22 11 0000 2 00 00 |d d|d d | d d| d d baba tt tt tbtb aa tt ww hwx yhcwx y tx ww hcwy thcwy t tx + = + 2 1 222 2 22 00 2d d d tba t www hccw x y t x ttx + (2.4.3) 横向变形引起的应变能的变分在时间 1 t到时间 2 t的积分为 () 2 1 222222 222222 222222 2222 22 1 2 2 12 t b t wwwwww xyxxyy u dtd wwwwww x yx yxyxy + = + () 2 1 00 222222 222222 222222 2222 d d d 22 1 2 2 12 tba t x y t wwwwww xyxxyy d wwwwww x yx yyxxy + = + () 2 1 00