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浙住天亏顽t 学位话之 y 3 6 8 5 5 7 考虑实际荷载分布的固结理论研究 摘要 抚限大面积均布荷载作用下的固结理论已得到了较完善的发展。然而迄今为 止，能考虑真实荷载分布( 指荷载的作用面积及形状) 的固结理论很少，可供直 接查用的有关固结计算曲线更少。广一 本文在太沙基固结理论基础上，推导了施工期不同的常见荷载，如瞬时施加、 单级施加、或两级施加的矩形、圆形、条形荷载下单层饱和软粘土地基中的超静 孔压解和平均固结度计算公式。然后，基于上述理论编制了计算机程序，绘制了 大量的可供直接查用的固结度计算曲线。最后，分析和总结了有关固结规律，并 结合算例，说明了固结曲线的实际应用。 本文工作表明，荷载作用面积对地基的固结有显著的影响。作用面积越小， 地基的平均固结度就越大。施工时间也是影响固结的一个重要因素。旌工期越短， 在相同的时间内，地基完成的固结度越大。 本文工作使现有固结理论得到了进一步的发展和完善。 关键词：饱和软粘土地基；固结；超静孔隙水压力；平均固结度；荷载分和 逐渐加荷 浙住天亏顽士学( 圣论支 a s t u d y o nt h e t h e o r y o fc o n s o l i d a t i o n c o n s i d e r i n g a c t u a ll o a dd i s t r i b u t i o n a b s t r a c t t h ec o n s o l i d a t i o nt h e o r i e sf o rs o f tc l a yg r o u n du n d e ru n i f o r m l yd i s t r i b u t e dl o a d o fi n f i n i t ea r e ah a v eb e e nw e l ld e v e l o p e dd u r i n gp a s td e c a d e s b u ts of a ro n l yf e w c o n s o l i d a t i o nt h e o r i e s c o n s i d e r i n g a c t u a ll o a dd i s t r i b u t i o na r ea v a i l a b l e ，a n dt h e r e l e v a n tc o n s o l i d a t i o nc u r v e sw h i c hc a nb ea p p l i e dd i r e c t l ya r en e x tt on o t h i n g i nt h i s p a p e r ，b a s e do nt e r z a g h i sc o n s o l i d a t i o nt h e o r y ，a n a l y t i c a ls o l u t i o n sf o r e x c e s sp o r ew a t e rp r e s s u r ea n da v e r a g ed e g r e eo fc o n s o l i d a t i o nu n d e rr e c t a n g u l a r ， c i r c u l a ro rs t r i pl o a dc o n s i d e r i n gd i f f e r e n tc o n s t r u c t i o np e r i o d sa r ed e r i v e d b a s e do n t h e s e s o l u t i o n s ，r e l e v a n tc o m p u t e rp r o g r a mi s t h e n d e v e l o p e da n d av a r i e t yo f c o n s o l i d a t i o nc u r v e s ，w h i c hc a nb eu s e di np r a c t i c e ，a r ep l o t t e d f i n a l l y , t h ec o n s o l i d a t i o nb e h a v i o ro fs o f tc l a yg r o u n du n d e rd i f f e r e n tl o a di s a n a l y z e da n dd i s c u s s e d ，a n da ne x a m p l ei sg i v e nt oi n d i c a t et h ea p p l i c a t i o no ft h e c o n s o l i d a t i o nc u r v e sp r e s e n t e d i th a sb e e ns h o w nt h a tt h ea r e ao fl o a dh a ss i g n i f i c a n t i n f l u e n c eo nt h ec o n s o l i d a t i o nb e h a v i o ro fs u b s o i l t h es m a l l e rt h ea r e a ，t h eg r e a t e r t h er a t eo ft h ec o n s o l i d a t i o n m o r e o v e r , t h ec o n s t r u c t i o np e r i o di sa l s oa ni m p o r t a n t f a c t o ra f f e c t i n gc o n s o l i d a t i o n al o n g e rp e r i o do fc o n s t r u c t i o nw i l ls l o wd o w nt h er a t e o f c o n s o i j d a t i o n t h ew o r kp r e s e n t e di nt h ep a p e re n r i c h e st h ea v a i l a b l ec o n s o l i d a t i o nt h e o r ya n d m a k a si tm o r e p e r f e c t k e y w o r d s ：s a t u r a t e ds o f t c l a yg r o u n d ；c o n s o l i d a t i o n ；e x c e s sp o r ew a t e r p r e s s u r e ；a v e r a g ed e g r e eo fc o n s o l i d a t i o n ；l o a dd i s t r i b u t i o n ；t i m e - d e p e n d e n tl o a d i n g 浙住走学顽士学位论支 1 1 土力学的发展简史 第一章绪论 土力学主要研究土的应力、变形、强度和稳定以及土与结构物相互作用的规律。 土力学与建筑物的地基和基础直接关联，而由于地基和基础是建筑物的根基，直接 关系到建筑物的安危。因此，土力学在生产劳动中得到了发展，世界文明古国的远 古先民，为了满足自身栖息、居住的要求，在史前的建筑活动中，就已创造了自己 的地基基础工艺。我国古代的“堂高三尺、茅茨土阶”以及历代修建的无数建筑物， 都出色地体现了古代劳动人民在地基基础工程方面的高度水平，然而由于当时生产 力水平和科学技术发展的限制，不可能提炼为系统的理论。 土力学的发端，始于十八世纪工业革命的欧洲。1 7 7 3 年，法国的c o u l o m b 根据 试验创立了著名的沙土抗剪强度公式，提出了计算挡土墙土压力的滑移理论。法国 的j b o u s s i n e s q ( 1 8 8 5 ) 求得了弹性半空间在竖向集中力作用下的应力和变形的理论解 答；瑞典的f e l l e n i u s ( 1 9 2 2 ) 提出了土坡稳定分析法。1 9 2 5 年，k a r l y e r z a g h i 发表了 土力学一书，标志着土力学及地基基础成为一门独立的学科。经过了半个多世纪的 发展，土力学取得了日新月异的发展。在土建、水利、桥隧、道路、港口、海洋中 起到很好的作用。近年来，随着计算机计算技术的发展和国内外高层建筑、超高层 建筑与重型设备的大量兴建以及在软弱地基与不良地基上修造建筑物，进一步促使 土力学理论和地基基础技术的发展，并更加显示出其重要性。 在荷载作用下，土体中产生超孔隙水压力，在排水条件下，随着时间的发展， 士体中水被排出，超孔隙水压力逐步消散，土体中有效应力逐步增大，直至超孔隙 水压力完全消散，这一过程称为固结。土体在固结过程中，随着土中水的排出，土 体孔隙比减小，土体产生压缩，体积变小；随着有效应力逐步增大，土体抗剪强度 提高。工程中常常应用固结过程这两种特性通过排水固结法对软粘土地基进行处理， 达到提高地基承载力、减小工后沉降的目的。 通常认为t e r z a g h i 提出一维固结理论和有效应力原理标志着土力学学科的涎 生，由此可以看出固结理论在土力学中的重要位置。土体是多相体，又是自然界的 产物，土体的变形规律比较复杂，这些决定了土体固结过程的复杂性。对固结过程 的数学描述首先归功于t e r z a g h i ，他在一系列假定的基础上，建立了著名的一维固 结理论，通常称为t e r z a g h i 固结理论。 浙任太学顽士学位论支 1 2 固结理论研究的发展和现状 1 2 1 t e r z a g h i 饱和土一维固结理论 几十年过去了，虽然已提出许多新的固结理论，但由于t e r z a g h i n 结理论简明、 实用，至今仍然是工程应用分析的基础。经典的一维太沙基理论是建立在如下的了 一系列的简化假设基础上的： f 1 1 土中附加应力沿水平方向和竖向是均匀分布的，土层的压缩和土中水的渗 流都是一维的； ( 2 1 在任何水力梯度下土中渗流均遵循达西定律； ( 3 ) 均匀土层是完全饱和的，外荷载是一次骤然施加的； ( 4 ) j 2 颗粒和孔隙水是不可压缩的； f 5 ) n 缩系数和渗透系数为常数； ( 6 ) 有效应力和土的孔隙比( 体积) 之间成线性关系： f 7 ) 一维应变和渗流速度极小； f 8 ) 土没有结构粘滞性或无次固结，亦即压缩的时间滞后仅是由于粘土的低渗 透性所形成。 只要将水流的连续性和土骨架的应力一应变( 有效应力孔隙比) 规律建立关 系并假设总应力不变，就可导出众所周知的t e r z a g h i n 结方程。t e r z a g h i l 司结方程具 有下列形式： 罢= q 等 ( 1 1 ) 瓦”可 ， 式中，u 一超孔隙水压力： z 一起点在固结面处的空间坐标值； t 一时间： c 。一是土的竖向固结系数。 方程的解可写为如下傅里叶级数的形式： 心，归等薹嘉s i n 警h - ( 2 m - 1 ) 2 n - 2 爿 z ， 式中，h 为渗流路径的长度，土层单面排水时，h 取土层的厚度；双面排水时，h 取土 层厚度之半；o ：为地基中附加应力，在数值上等于作用于地表的外荷载。 t 。是由下式决定的无量纲的时间因子： 浙任大学顽士学( 杰铯支 平均固结度为 巾c v t o 2 万 弘 j 盯：出 将式( 1 2 ) 代入式( 14 ) ，可得 u 斗萎瓦再8 唧 式中m = 1 ，2 , 3 1 2 2t e r z a g h i 司结理论的缺陷 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 尽管t e r z a g h i 固结理论还是现在工程分析的基础，但近年来，随着高层、超高 层建筑物的迅速发展，以及大量的建造在软弱地基、不良地基的建筑物，常常需要 预先对地基进行处理，对沉降与时间的预测要求越来越高，要求能尽量的符合实际， 满足不断提高的精度要求。 基于此，太沙基的大多数假设在实际应用中往往不能满足工程要求。例如，实 际的加荷状况与时间有关，不可能是一次骤然施加在建筑物上的，而是在整个施工期 内逐步施加的，往往可以简化成是单级匀速加荷或多级匀速加荷的；而对于像油罐、 公路、铁道、粮仓等建筑物下的地基，其受到的荷载随着油( 粮) 的堆加或是运出， 荷载是随时间变化的，如荷载随时间有规律地变化，则可认为是周期荷载。 荷载的作用面积也不可能无限大，在实际工程中，条形基础、柱下独立基础或 烟囱等下的圆形基础传给地基的荷载面积是有限的，显然，地基中任一点的附加应 力不可能都相等，不可能都等于地表荷载值。 关于附加应力的计算，法国学者布辛尼斯克( b o u s s i n e s q ) 用弹性理论求解了 半无限空间弹性表面作用一个竖向集中力p 时，弹性体内任一点的附加应力a ，其 表达式为： o - z ：女三 ( 1 6 ) z 式( 1 6 ) 中k 为附加应力系数，与计算点至集中力作用点的距离有关。由该解 通过积分可以得到其他荷载作用下地基中任一点的附加应力，其通式可表示为： 浙任大学顽士学( 苎话支 口：= k p o ( 1 7 ) k 一附加应力系数，与计算点位置及其至荷载作用面距离有关； p 。一荷载值大小，当作用的是均布荷载时，即为均布荷载值；作用的是三角形 荷载时，为三角形荷载的最大值。从中我们可以得到如下结论：影响附加应力的因 素有：荷载大小、荷载作用面积、计算点所处位置。故可以这样认为，实际地基中 任一点的附加应力均不同。因此，t e r z a g h i 固结理论所做的关于附加应力均布假设 与实际工程也存在着一定的误差，有时这种误差是不可忽略的。 实际上，t e r z a g h i 固结理论还有很多假设不成立。如土体的应力一应变关系其 实是非线性的，即固结度和平均孔隙水压力的消散程度是不相同的。d a v i s 和 r a y m o n d ( 1 9 6 5 ) 认为最大孔隙水压力的消散程度是荷载增量比的函数。又如土工参 数( 渗透系数和压缩系数) 实际上是变化的。p o s k i t t ( 1 9 6 9 ) 、h a w l e y 和b o r i n ( 1 9 7 3 ) 等提出渗透系数的对数与孔隙比成线性关系： a e = q l o g t ( 1 8 ) 式中c k 为渗透指数。 另p b t e r z a g h i 固结理论假定应变很小，从数学上讲为无穷小，这意味着固结期 间的土层厚度保持不变，即排水距离保持常数。这对高压缩性地基上的建筑物或构 筑物来说，将导致很大的误差；实际地基土的成层性、达西定律的有效性、地下水 的影响和与时间有关的土骨架特性等，也是t e r z a g h i n 结理论与实际不符之处。 1 2 3 一维固结理论的发展历史及现状 自从1 9 2 5 年t e r z a g h i - - 维固结理论发表以来，固结理论有了很大的发展。已经 进入了一个较先进的阶段，无论是严密分析法还是以计算机程序形式出现的数值法 所得的解，目前均可解决相应的绝大多数实际问题。 t e r z a g h i 关于饱和土一维固结的经典理论，是将饱和土的本构方程与流动定律 结合起来。通过使用体积压缩系数m 。这一土性指标，用本构方程描述应力状态同 土结构变形之间的关系。t e r z a g h i 提出用有效应力( a 一“。) 作为应力变量来描述饱 和土的性状，用d a r c y 定律来计算固结过程中水的流动速率。利用饱和土的连续条件， 即要求土单元的体积变化等于单元水中的体积变化，从而得到其固结方程。 r e n d u l i c ( 1 9 3 5 ) 将y e r z a g h i 固结理论推广n - - 维或三维的情况，提出了t e r z a g h i r e n d u l i c 固结理论，其固结控制方程又称为扩散方程。他假定固结过程中土体平均 总应力保持不变，孔隙水压力消散和土骨架变形分别加以计算。 浙任大学顽士学位论土 1 9 4 1 年，b l o t 建立了更为完整合理的固结方程。该方程与y e r z a g h i - r e n d u l i c 扩散 方程相比，两者在一维条件下是一致的，但在二维和三维条件下，两者是有区别的， 主要区别在于：b i o t 固结方程考虑了在固结过程中土体总应力随时间的变化，从而 考虑了土体固结过程中孔隙水压力与土骨架变形之问的耦合作用。换言之，b i o t 固 结理论l l t e r z a g h i r e n d u l i c 固结理论要合理完整，但只有采用级数和积分变换方法 对少数简单的边值问题才能得至r j b i o t 固结理论解析解，一般情况下需要采用数值解 法。 b l i g h t ( 1 9 6 1 ) 推导得出于硬状非饱和土气相的固结方程。他在推导中使用了将质 量传递与水压力梯度联系起来的f i c k 扩散定律。 b a r d e n ( 1 9 6 5 ，1 9 7 4 ) 提出了压实非饱和粘土的一维固结分析，用d a c y 定律描 述气相和液相的流动。对于土的不同饱和度，提出了若干种独立的分析，但由于对 非饱和土应力状态和本构关系缺乏了解，所以这些分析具有不确定性。 g i b s o n 等( 1 9 6 7 ) 采用了一种全新的坐标一固相物质坐标z ，由土体平衡条件、 流量平衡条件、达西定律和有效应力原理提出了以孔隙比e 为变量的一维大应变固结 方程： t悟，旦矧堡+旦揣型外aede 10 zo zd eo za t ：。 o ， l y 。jl + ejl ，。( 1 + e )j 在式( 1 9 ) 中，坐标方向与重力方向相反时取负号。 y 。、y ，一分别代表土体的固相、液相重度； k ，一渗透系数，为孔隙比函数； a 一有效应力，为孔隙比的函数； t 时间。 式( 1 9 ) 由于对土体的应力一应变关系、渗透性、土层厚度变化的大小以及土体 自重的影响都没有限制，因此可以说是一维固结方程的通式。当假定小应变时，若 采用线弹性应力一应变并假定渗透系数k ，在固结过程中不变，方程( 1 9 ) 即退化到最 简单的t e r z a g h i - - 维固结方程；而若不考虑土体自重，同时引入e l o go 关系，并假 定j 些掣= 恒量，则可得至u d a v i s r a y m o n d ( 1 9 6 5 ) 关于非线性小应变的固结方 y 。( 1 + e ld e 程。 国内也有许多专家、学者从不同的侧重点开展了固结理论的研究工作，并得到 了不同条件下的固结理论。 考虑荷载大小变化的囿结理论，目前研究的比较多。如谢康和( 1 9 9 5 ) 得到的变 浙住天亏顽士学位诒支 荷载下任意成层地基的一维固结问题解析解，考虑了土的成层性及荷载的任意性， 具有很强的工程实用性和可操作性，但在考虑荷载的任意性时，只考虑的荷载大小 的变化，未考虑荷载的作用面积，即认为荷载是作用在无限大范围上的。 周期荷载作用下的固结问题，也有考虑，如x i e 等( 1 9 9 7 ) 的循环荷载下的一维固 结理论，研究了在不同的周期荷载作用下，采用土的流变模型，得到了单层地基土 的一维固结方程的通解。提出固结度的大小主要与土的竖向b , t l 甸因子、土的粘滞系 数、弹塑性模量之比和荷载的变化形式有关。 另外有一些文献讨论了施工荷载的影响，如张云( 1 9 9 7 ) 分析了施工荷载作用下 地基的固结特性，提到了应该考虑施工荷载的作用，认为由于土体本身的非线性， 其变形的大小及速率不仅与加荷的大小有关，而且与加荷的方式及加荷的顺序有关。 在分析地基的固结问题时，考虑了外荷载的施加方式，荷载以不变的速率在整个施 工期内施加。并给出了平均固结度与时间因子的关系曲线，可供计算时直接查用。 然而他只讨论了条形基础的情况，并且在最后给出平均固结度与时间因子曲线时， 作了更进一步的简化，取条形基础的宽度为无穷大，即还是简化为大面积均布荷载 的情况。 还有一些研究者考虑了更多更复杂的因素。如谢( 1 9 9 4 ) 给出的双层地基一维 固结解析解，既考虑了双层地基，荷载既随时间而变化，又考虑了起始孔压沿深度 非均匀分布，并强调了按变形定义的平均固结度与按平均孔压定义的平均固结度的 区别。 1 3 本文工作的意义和内容 综上所述，在无限大面积均布荷载作用下的一维固结理论已经发展得比较完善， 既有考虑土的成层性，又有考虑荷载的大小变化，还有一些考虑了土的流变等。但 实际工程荷载分布面积并不是无限大，而现有能考虑真实荷载分布的固结理论很少， 既能考虑荷载分布又能考虑荷载旋加过程的固结理论更少，可供直接查用的固结曲 线更无以寻觅。 因此，开展考虑实际荷载分布的固结理论研究很有必要，特别针对诸如矩形荷 载、圆形荷载、条形荷载等常见荷载，给出简单便用的固结理论，并绘制相应的固 结计算曲线，无疑具有理论意义和实用价值。 为此，本文做了以下工作： 1 推导了抛物线型二阶常系数非齐次偏微分方程的通解，该解可用于求得各种 浙任太亏顽士学位论支 情况下的固结解。 2 推导了荷载瞬时施加时各种荷载分布情况下饱和软粘土地基土的固结方程及 超静孔压解； 3 推导了单级加荷情况下考虑荷载分布的饱和软粘土地基超静孔压解。 4 给出了多级加荷情况下考虑各种荷载分布的饱和软粘土地基孔压解。 5 推导了各种情况下的地基平均固结度u 的计算公式。 6 基于以上解编制了固结度计算程序，绘制了各种情况下固结计算曲线，并举 例说明了其应用。 浙住走曾硕士学谨话主 第二章瞬时加荷下考虑荷载分布的固结理论 2 1 矩形面积作用均布荷载的一维固结方程 矩形荷载是实际工程中经常会遇到的情况。在如图21 所示2 b 2 1 的荷载 作用面积上，假设作用在地基上的荷载不随时间变化( 如图2 2 ) ，即p ( t ) = 除了附加应力等值线上的点以外，地基中任一点的附加应力都不相同。 li | 一2 l 刊图2 1 矩形荷载作用面积 2 1 1 固结方程的推导 p ( t ) p o 图2 2 荷载随时间变化曲线 设饱和粘土层厚度为h ，上下两面视实际简化为完全透水或单面透水。作与 太沙基一维固结理论类似的假定，并取基础中心点下的附加应力作为地基中深度 z 处的平均应力，即假设附加应力。：只与深度z 有关。 在任意深度z 处取一微单元体进行分析。令土颗粒体积为l ，单元体的总体 积为1 + e 。在单位时间内，此单元体内排出的水量a q 应等于单元体孔隙体积的 压缩量v 。 设单元体底面渗流速度为r ，顶面流速为v + 当出，可得 年n 纠斗删= 妻一 眨， 由达西定律v ：k i = k 拿( 2 2 ) 式中h ，为j l 隙水压力的水头， y h = “， 浙，：走学顽士学位论立 即：h 。= 兰 ( 2 3 ) y 。 将式( 2 3 ) 代入( 2 2 ) 得： 。：女拿：土孚 ( 2 4 ) o z y 。0 2 堡：土塑( 2 5 ) o z y 。2 、 将式( 2 5 ) 代入( 2 1 ) 得： 却= 土y 堕o z 2 出咖出出 ( 2 6 ) 由于土颗粒不可压缩，其体积v s 不变，故微元体孔隙体积压缩量为： a v 刊k 刊( = v s & = 熹d x d # z ( 27 ) 因嘉一吼d e = - a d 止刊( 盯训= a d u = 。崇出 ( 2 8 ) 将式( 2 8 ) 代入( 2 7 ) 得： a v = _ o ud x d y d z d t( 2 9 ) l + ec ) i 饱和土体在d t 时间内，a q = a v ，即式( 2 6 ) 与( 2 9 ) 相等，得 土磐d x d y d z d t ：生丝出咖出出 ，。良2 1 + po t 7 即： 一o u ：塑生垂：c ，粤 ( 2 1 0 ) o t y 。口2 。”o z 2 式( 2 1 0 ) 即为瞬时加荷下的一维同结基本方棵。 式中：。一土的竖向固结系数，c v ：丛生旦 a y 。 k 一土层的竖向渗透系数，m d ； e 一土层的孔隙比： a 一平均压缩系数，k p a 。 y 。一水的容重，k n m 3 ： 浙旺太学顾士学位稔之 u 一土体的超静孔隙水压力，k p a 2 1 2 单面排水情况下固结方程的求解 单面排水情况下，其初始条件和边界条件为： “| ：o 20 丝 ：0 玉l ：一 “k2 盯： o ：是基础中心点下深度z 处的附加应力，可按下式计算： 盯：= 4 - 口。p o 式中p 。是对应的均布荷载值， n 。是b l 矩形角点下附加应力系数， 旷抖2 z rw 培赢+ 南( 寿+ 寺 一r 培磊萧+ 而亍i l 了了+ 而j | 式中：m = l b ：n = z b 。 故单面排水情况下的初始条件为 u l f - o = 4 a 。p o 固结基本方程为二阶常系数偏微分齐次方程： 抛a 2 “ 瓦“”可 假设u ( z ，t ) 具有下式形式： 心，归妻a 。s i n 学一( 铮乜i 将z = o 代入式( 2 1 5 ) ，可得u ( z ，t ) = o ： 由式( 2 1 5 ) 得： 鲁：弘c o s 学俐如p f 警 故警b = o 可知通解满足两个边界条件，将式( 2 1 5 ) 代入初始条件 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) f 2 15 ) 浙住夫季硕士孝穗论主 主爿。s i n ( 2 m ，- b 1 ) a z = 4 协 ( 21 6 ) 要使( 2 1 6 ) 成立，利用傅立叶级数变换，可得a m 必须满足式( 2 1 7 ) 4 。= 百2r 4 口。p 。s i n 垦挚 ( 2 1 7 ) 代入基本方程假设解式( 2 1 5 ) ，得到固结方程的解： 心，归澍k ”s i n 丁( 2 m - 1 ) a z 出卜可( 2 m - 1 ) a z 。【种。( 2 t s ) 2 1 3 双面排水情况下固结方程的求解 双面排水的边界条件祁初始条件为： f 讲。= o 叫：勘= o h 。= 4 a c p 。 固结基本方程同单面排水，即( 2 1 0 ) 同理假设通解具有下式形式： 。( ：，) ：妻a m s i n m ，n 。z e 一箸”2 g f 显然此通解满足两个边界条件，由初始条件可得： ”s i n 等地c p 。 则 小；f a 哪o s t n 争 将式( 2 2 2 ) 代入式( 2 2 0 ) ，可得双面排水情况下的解： 心，扣；喜( 卜妯等出卜争( 警卜 2 2 圆形均布荷载作用下的固结解 ( 2 1 9 1 ( 2 2 0 ) f 2 2 1 ) r 22 2 、 f 2 2 3 ) 荷载的作用面积如图2 3 所示，作用半径为r ，其它同矩形均布荷载作用时情 浙住大学石五士学位话土 况。中心点下的附加应力为 o ：= 口j p o 式中 _ 3 吼。1 一南 对于单面排水情况，假设固结方 程( 2 1 0 ) 的通解具有下式形式： 巾，忙z 。a 。s i n 学一( 销。 m 2 i 显然此通解形式满足两个边界条图2 3 圆形荷载作用面积 件，由初始条件可得： 。a , 。s i n 芝产诅风 则有： 爿。= i 2r 口，p 。s i n 蔓挚 f 2 2 4 ) f 22 5 ) 故得崮结方程解： 叱，归忽弦删n 学出) s i l l 竽( 等卜亿z s ， 对于双面排水，假设通解具有下式形式： 婚) ： - s m m z = e - 秘 显然此通解满足两个边界条件，由初始条件可得： 则 m t z 3 1 n h 2 口s p o 小吾似 可得基本方程解 m 昭 p o s i n 逊 厅 浙住太事顽士学位话主 心，归烈卜 2 3 梯形荷载下的固结解 ( 2 2 7 ) 随着高层建筑、铁路、高等级公路的不断兴建，软土地基的固结和沉降问题 就显得日益突出，引起了人们越来越多的关注。因其对地基变形的要求很高，故 往往采用堆载预压的方法对地基进行预处理，以期达到减少沉降量和沉降差的目 的。 对于工程中的高速公路等，地基所受到的荷载实际上均是梯形荷载，这是因 为考虑到荷载的传递及尽量减少地基沉降量的需要，路基有一定的坡度，因而其 断面呈梯形。这一类路基长与路基宽比值很大，常常可以看成是无限长，即可以 简化为条形基础上作用有梯形荷载的情 况。 梯形荷载的大小和分布如图2 4 所示， 其底宽为2 a + 2 b ，顶宽为2 b ，梯形荷载最大 值为p o 。 作与上述几节相同的假定，并取中心点 下的附加应力作为某一深度处的附加应力 平均值。则由土力学可知， 该附加应力可以如下求得： 作如图2 5 所示的辅助线，可得在最大 值为p o ( 1 + b a ) 的三角形荷载作用下的荷载 中心点下的附加应力为 口：l = 2 p o ( 1 + b ) 口。i ( 2 2 8 ) 其中口。为三角形荷载作用下条形基础 边缘处的附加应力系数： ，卜，一坠川 图2 4 梯形荷载分布图 p o ( 1 + b a ) 、 p o 、 ，a j 2 b l a i 图2 5 所添加的辅助线 一 丝。 n 砂 坚。 n 三 塑! ! 查雯丝主雯堡丝圭 l g o f i 2 一 ， 黔增去一信嘉) + 奇 2 f 2 2 9 ) 式中n 2 z ( a + b ) 。 当三角形荷载的最大值等于p o b a 时，荷载中心点下的附加应力为 盯：2 = 2 p o b a 口。2 ( 2 3 0 ) = 艄删噜土2 n c 垃兰2 n ) + 爿 ( 2 ，) 哦：= i | i 【c 噜一甜c 垃一h 可i 丽 u j l 其中：n = z b 。 由此可得梯形荷载作用下基础中心点下的附加应力为 a ：= a 。一a 。= ：po + b a b 一a 。z r 2 3 2 ) 记l ( 1 + 6 。b 。，一鱼a “l = a 。，贝。附加应力o z = 2 a 。p o 。 l a f 由2 1 节可知，固结基本方程9 b ( 2 1 0 ) ，相应于梯形荷载的单面排水情况下的 边界条件和初始条件为： “l 2 0 竺i ：0( 2 3 3 ) o z i ： u l f ；o = 盯：22 a c p o 同理假设解的形式为 吣，归a 。s i n 学一匕f 显然此通解满足两个边界条件，由初始条件可得： 。a ，s i n 芝产赳讯 代入基本方程( 2 1 0 ) ，可得： 爿。= i 2f z 口。p 。s i n 蔓挚 得一维固结的基本方程解： 心，沪丢薹( 他协s i n 学出 s i n 鱼尝( 才q 仁s a ， 浙任大学硕士季幢论支 f “l ：。= 0 “i 。= 0 。= 2 a 。- p 。 心，f ) - 甄s i n 等e 幸2 。f 。妻：。a , , s i n m 。a z = 2 昨风 小2 f 2 a p o s i n 争 心，归罢砉( 似协s i n 等比卜等( 爿2 c f 2 4 不同荷载分布情况下地基的平均固结度 f 2 3 5 1 ( 2 3 6 ) 地基土层的平均固结度可定义为地基任一时刻的变形( 沉降) 量与最终沉降 量之比，也可定义为地基中任一时刻的平均有效应力( 或所消散的平均孔隙水压 力) 与其最终值之比。前者称按沉降或变形定义，表示为u 。，后者称按平均孔 压定义，表示为u p 。本文仅考虑单层均质地基，此时两者完全相同。 这里，采用按孔压定义的平均固结度来计算u ： f “( 纠) 沈 u = i 一旦f 一 ( 2 3 7 ) jo - ：d e 2 4 1 矩形均布荷载作用下地基的平均固结度 由式( 2 1 8 ) 可得 塑堡查雯丝主雯堡丝奎 f 叱，t ) d z = f ， 鲁薹l 心饿 。i 。! ! 竺二! ! ! 出 2 h s i n ( 2 m - 1 ) z c z 。一( 等卜，。池 ， 2 h = 堕h 耋m = ( k s i n 丁( 2 m - 1 ) 忽出) e 俐打_ 州s i n 可( 2 m - 1 ) n ：z 出。r 而2 hs i n 警d 学 结度 一2 ( 2 m 一1 、忍 = c o s - 二一 f 2 m 一1 1 丌 2 向 2 而- 2 hm s 与产 2 h ( 2 m n ” m = 1 ，2 3 记瓦= 丁c v l 所以 心，仳= t 8 p o 蚤( 心 ；1 6 p 。lr 口。 m = 1 m = 1 ，2 ，3 ， 而f 吒d z = f4 q 协d z = 4 p 。f a 。d z s i n ( 垫= ! 丝出 2 h 里竺二! 垦出 2 h p 挣即志 s i 。! 翌二! 逛出 2 h 掣 ! ( 23 8 ) ( 2 m 一1 咖 ( 2 3 9 ) 将式( 2 3 8 ) 和式( 2 3 9 ) 代入式( 2 3 7 ) 即得单面排水情况下地基平均固 1 6 浙住大学顽士学位诒立 u = i 一 黔一t n 一( 2 m - 1 ) 2 出卜而4 肛。出 式中：m = l ，2 ，3 ， 对于双面排水情况，由式( 2 2 3 ) 有： 眦：r 丢薹( h s i n 等出卜t m y l 2 、( 舻已扭 = t 8 p o 萎s i n t m ；, z z 出l ei ：1 2 c 舾争 其中fs 血等出= r 去s ；n 等d 等 一n ，”庇 = c o s m 石疗 f 竺 2 1 ，石 =! ! ( 2 m l 协 故 u ( z , t ) 出可改写为 m = 1 ，3 , 5 ， m = 2 ，4 ，6 m = 1 2 , 3 k 岫2 t 8 p o 善。( r 6 q s i n 竿出 娟薹( ns i n 堡! = ! 丝出 h 。一( 竿 2 以- ! ! ( 2 一1 弦 ( 24 0 ) 卜2 如“丽丽1 ( 2 4 1 ) ( 2 一1 加 7 将式( 2 4 1 ) 和式( 23 9 ) 代入式( 2 3 7 ) 即得 u ：。一! f a cs i n 竿d z 。巾州，：。 。：。：)d _ a ( 2 m 一1 ) z c r 口出 2 4 2 圆形均布荷载作用下地基的平均固结度 1 7 街住太零顽士学位话支 将式( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 分别代入式( 2 3 7 ) ，并进行与2 4 1 节类似的推导 可得单面排水和双面排水情况下的平均固结度u 分别如下： 一塾竺鲨型兰! 壶。矧b 。， i 。s 出 u ：卜争l f a ss i n 半d z 。印，圳：。：。( 双面排水) ( 2 4 4 ) “m = l ( 2 ”1 弦 阽i d z 2 4 3 梯形荷载下地基的平均周结度 同理，将式( 2 3 4 ) 代入式( 2 3 7 ) 可得单面排水情况下的平均固结度 u _ 1 - 妻4 _ a c s i n 广( 2 m 一- 1 ) n z d z 。_ ( 2 m ：- i n ：4 ( 2 4 5 ) 怠( 2 m 1 ) x 良出 、。 u ：。一妻! 一f a c s i n 丁半一d z 。埘川：咖 ( 2 4 6 ) 急( 2 m 1 ) x k 出 、 2 5 公式总结 21 。 根据以上推导，可将不同荷载分布下的固结方程解和平均固结度总结成表 街任大学石孬士学位话之 表2 1 不同荷载分布情况下的超静i l 压解和平均固结度 荷载分超静孔压和平均固结度 布形式单面排水双面排水 矩形均 巾，归p 。蚤”z n 百m z e w 2 l 心，归p 。塾s i n 警e 。布 u - m = y 2 1 e “2 。 u = y 一三e - 4 m 2 t ”m 篙 “ 其= 吾卜s i n 争其帆= 吾卜s i n 争 驴n s i n 争，n 出耻ns i n 争，卜出 口。见式( 2 1 3 )口。同左 圆形均 u ( z ，t ) ，u 同上u ( z ，t ) ，u 同上 而 a m = 吾卜s i n 小吾卜s i n 争 b m - f a s s 沁等2 ；l 皿b m = h 幽等z ，叫z 7 3 d ，同左 吼“一衙 梯形 u ( z ，t ) ，u 同上“z ，t ) ，u 同上 小昙肛s j n 争小号肛s i n 挚 b m 5 = j s m 挚口。 耻触s i n 挚，h 出 口。= ( 1 十6 。b 。一鱼a 。： 口。同左 d 。圭