（运筹学与控制论专业论文）lp空间中的凸体相关的不等式研究.pdf

摘要 本论文隶属于现代几何分析的中的岛一b r u n n - m i n k o w s k i 理论( 又称为b r u n n - m i n k o w s k i - f i r e y 理论) 的研究范畴，文章利用一b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基本概 念、基本知识和积分变换方法，研究工一空间中的基础理论及相关的几何体的度量 不等式和极值问题，主要研究对象包括新椭球r 一2 k 、岛一投影体p k 、新几何 体r _ y k 、径向平均体( k ) 、混合径向平均体岛( k ，l ，p ) 、p - 截面体q k 、混 合p 截面体g ( k ，l ) 、单形等几何体的体积构成的度量不等式和极值问题，得出 了以下主要结果； ( 1 ) 给出了当多胞形的新椭球是球的一个充要条件，并研究了算子r 一2 的新性 质，找到了使算子r z 保持单调性的一个集合作为特例，文章对多胞形的新椭球 作了较为详细地研究 ( 2 ) 设想将n 维椭球放在其。标准位置”，证明了当投影体是椭球时的一些 性质和相关的不等式 ( 3 ) 将径向平均体k 的一些性质推广到混合径向平均体嘞( k ，l ，p ) ，并对混 合径向平均体的单调性与变换性质进行了研究，运用极坐标变换和f u b i n i 定理，得 出了混合径向平均体与凸体体积关系的不等式 ( 4 ) 证明了p 截面体的一些新性质，首次给出了混合p 截面体的定义，并将p - 截面体及其相关的性质推广到混合p 截面体，通过探讨混合径向平均体( k ，l ) 与混合p 截面体q ( k ，厶) 的相关性，揭示了截面体、投影体、径向平均体之间的 深层联系 ( 5 ) 对n 维空间的质点系的性质进行了探讨，特别对伪对称集与单形的关系进 行了的深入研究，给出了对伪对称集的几个等价描述 关键词：凸体，星体，新椭球，岛一投影体，混合径向平均体，混合p 截面体， 伪对称集，正则单形，单调性，不等式 i i a b s t r a c t t h i sa r t i c l eb e l o n gt ot h ed o m a i no ft h el p b r u n n m i n k o w s k it h e o r y ( o rc a l l e db r u n n - m i n k o w s k i - f i r e yt h e o r y ) ，ab r a n c ho fm o d e r ng e o m e t r i ca n a l y s i s o u rm a i nw o r k sa r et o r e s e a r c ht h eb a s i ct h e o r i e so fc o n v e xb o d i e s ，s o m ei n e q u m i t i e sa n de x t r e m u mp r o p e r t i e so f g e o m e t r yb o d i e sb ya p p l y i n gt h eb a s i cn o t i o n s ，b a s i ct h e o r i e sa n di n t e g r a lt r a n s f o r m so f t h el p b r u n n - m i n k o w s k it h e o r y t h em a i no b j e c t so fo u rr e s e a r c ha r et h ei n e q u a l i t i e sa n d e x t r e m u mp r o p e r t i e sf o rt h ev o l u m e so fs o m eg e o m e t r yb o d i e sc o n t a i n i n gn e we l l i p s o i d r 一2 k ，t h e p r o j e c t i o nb o d y , n e wg e o m e t r yb o d yr p k ，r a d i a lm e a nb o d y 岛k ，m i x e d r a d i a lm e a nb o d y 耳( k ，l ，1 ) ，p - c r o s s - s e c t i o nb o d yq k ，m i x e dp - c r o s s - s e c t i o nb o d y c p ( k ，l ) ，s i m p l e xa n ds oo n t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： 1 as u f f i c i e n ta n dn e c c e s s a r yc o n d i t i o ni so b t a i n e da b o u tt h ep o l y t o p ew h o s en e w e l l i p s o i di sab a l l s o m en e w p r o p e r t i e sa r ep r o v e nf o ro p e r a t o rr 2a n das e tf o u n di n w h i c ht h em o n o t o n i c i t yo fo p e r a t o rr 一2i sh e l d a sas p e c i a lc a s e ，w es t u d yt h en e w e l l i p s o i do fp o l y t o p ei nd e t a i l 2 b yp u t t i n ga ne l l i p s o i di ni t ss t a n d a r dp o s i t i o n ，w ep r o o fs o m en e wp r o p e r t i e sa n d i n e q u a l i t i e sa b o u tl p p r o j e c t i o nb o d i e sw h e nt h e ya r eb a l l s 3 s o m ep r o p e r t i e so f p - r a d i a lm e a nb o d i e sa r eg e n e r a l i z e dt om i x e d p r a d i a lm e a n b o d i e s af e wn e wp r o p e r t i e so fp r a d i a lm e a nb o d i e si sp r o v e ns u c ha sm o n o t o n i c i t y , t r a n s f o r mp r o p e r t i e su n d e rv o l u m ep r e s e r v i n gl i n e a rt r a n s f o r m a t i o n s u s i n gt h ep o l a r c o o r d i n a t ef o r m u l af o rv o l u m ea n df u b i n i st h e o r e m ，w eo b t a i ns o m ei n e q u a l i t i e sr e f l e c t i n g r e l a t i o n s h i p sb e t w e e nv ( k ) a n dy ( 岛( k ，l ，p ) ) 4 w ea l s op r o o fs o m en e wp r o p e r t i e so fp - c r o s s - s e c t i o nb o d i e sa n dd e f i n ean e w b o d i e s - - m i x e dp - c r o s s - s e c t i o nf o rt h ef i r s tt i m ea n dt h e ng e n e r a l i z et h ep r o p e r t i e so fp - c r o s s - s e c t i o nb o d i e st om i x e dp - c r o s s - s e c t i o nb o d i e s b ys t u d y i n gt h er e l a t i o n s h i pb e w t e e n p - m i x e dr a d i a lm e a nb o d i e sa n dm i x e dp - c r o s s - s e c t i o nb o d i e sw ef i n du n d e r l i n er e l a - t i o n s h i p sa m o n gp - c r o s s - s e c t i o nb o d i e s ，p r o j e c t i o nb o d i e sa n dr a d i a lm e a nb o d i e s 5 w ed i s c u s s i o nam a s s - p o i n ts y s t e mi ne na n dp u ti n t om o r ev i g o rt ot h er e l a - t i o n s h i p sb e t w e e nt h en - p s e u d o - s y m m e t r i cp o i n ts e ta n dt h es i m p l e xa n dt h e ng e taf e w s u f f i c i e n ta n dn e c c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rn p s e u d o - s y m m e t r i cp o i n ts e t i i i k e y w o r d s ：c o n v e xb o d y , s t a rb o d y , n e we l l i p s o i d ，l p p r o j e c t i o nb o d y , m i x e dr a d i a l 川危m e a nb o d y , m i x e dp - c r o s s - s e c t i o nb o d y , p s e u d o - s y m m e t r i cp o i n ts e t ，r e g u l a rs i m p l e x ， m o n o t o n i c i t y , i n e q u a l i t y 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名： 夸硌期。 本论文使用授权说明 蚶 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 烁一啉巡二鱼乙 第一章绪论 1 1 学科综述 1 1 1 凸体理论发展概况 凸体理论起源于1 9 世纪下半叶，是以凸体和星体为主要研究对象，以微分几 何、泛函分析、点集拓扑为研究基础的现代几何学分支凸体理论的雏形是b r u n n1 8 8 7 年的博士论文以及m i n k o w s k i1 9 世纪末2 0 世纪初在这领域所作的研究，其核心定 理是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式2 0 世纪3 0 年代，著名数学家a d a l e k s a n d r o v 以及 t b o n n e s e n 和w f e n c h e l 在混合体积的基础上定义了凸体的混合表面积测度，并以 函数不等式为工具开始对凸体的投影极值问题进行研究，使得凸体几何成为个独 立的数学分支2 0 世纪7 0 年代，e l u t w a k 在经典的b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基础 上建立了对偶b r u n n m i n k o w s k i 理论，从而使凸体理论的研究对象由凸体扩大到星 体2 0 世纪8 0 年代，以j e a nb o u r g a i n 和v i t a l im i l m a n 为代表的几何分析学派，用 现代泛函分析工具研究凸体的度量性质取得了突破性的进展，一些经典的凸体几何 难题得以解决b o u r g a i n 与v i t a l im i l m a n1 9 8 8 年合作的关于凸体的逆的b l a s c h k e - s a n t a l o 不等式的著名研究成果是他接受f i e l d s 奖引用的第一论文( 见【1 6 】) ，说明 凸体理论的研究价值得到了当今数学界的广泛认同，从而为该理论的蓬勃发展奠定 了基础2 0 世纪9 0 年代后，凸体理论研究日趋繁荣，研究领域迅速扩大，其间以 l t t t w a k ，y a n g 和z h a n g 创立了b r u n n - m i n k o w s k i - f i r e y 理论( 即l p b r u n n - m i n k o w s k i 理论) 、p e t t y 发现了各种各样新的等周不等式及r a d o n 变换，余弦变换以及f o u r i e r 变换等分析工具在凸体理论中的应用最为引入注目 1 9 9 6 年b e r k e l y 数学科研所 ( m s r i ) 将几何分析列为一个半年项目( ah a l f - y e a rp r o g r a m ) ，并预测这研究将是近 期数学研究的一个十分重要的方面目前，对l p - b r u n n m i n k o w s k i 理论及其对偶理 论的研究正方兴未艾 以下对凸体理论中与本文相关的一些研究方向及应用作简要的介绍 1 1 2 经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论与对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论的发展 经典b r u n n m i n k o w s k i 理论是e u c l i d e a n 空间中向量的m i n k o w s k i 线性组合和体 积巧妙结合的产物混合体积y ( 甄，配，) 的记号是经典b r u n n m i n k o w s k i 理 1 2 l 。一空间中的凸体相关的不等式研究 论的精髓，其定义为( 见【2 7 ，1 0 3 】) ： 如果k 1 ，1 2 ，舻，则虬，恐，的混合体积 v ( k 1 ，1 2 ，) = 币1 ( 一1 ) 州v ( k 。+ k ：+ + 蚝) ( 1 1 1 ) j = l i 1 幻 而b r u n n m i n k o w s k i 不等式( 见【1 9 ，8 6 】) 被认为是这一理论的基石； 设a 和b 是舻中的紧集，则 y ( ( 1 一a ) a + 入b ) 吾( 1 一入) y ( a ) 去+ 入y ( b ) 击v 入【0 ，1 】( 1 1 2 ) 其中等号成立当且仅当a 和b 是位似的 混合体积的定义巧妙地把欧氏空间中的向量加( 常称为m i n k o w s k i 加) 和体积联 系起来，局部意义下的混合体积可导出混合面积测度，而均值积分、m i n k o w s k i 函 数、表面积测度等都是混合体积和混合面积测度的特殊情形，例如，混合体积与混 合表面积测度的密切关系，可以通过如下的公式体现 2 7 ，1 0 3 ： y ，拖，) = 丢厶一， ( ，州s ( 甄，尬，“仳) ，u es n - 1 ( 1 1 3 ) 在混合体积y ( 甄，k 2 ，) 中，如果k 1 = = 一i = k ，一件l = = = l ，则v ( k 1 ，k 2 ，) 被记为k ( kl ) = v ( k ，n t ；三，i ) ，这里k 出现竹一i 次，l 出现i 次如果工= b ，则称k ( 瓦b ) 为凸体k 的i 次均质积分舷( k ) 0 = 0 ，1 ，佗) 这些概念、性质同微分几何及积分几何相关知识相结合，成为解决各类极值问 题和涉及体积、表面积、宽度等度量关系难题的强有力的工具如b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的积分形式常被称为p r g k o p a - l e i n d l e r 不等式一一h 6 1 d e r 不等式的逆形式， b r t m n - m i n k o w s k i 不等式又可看成卷积范数的y o u n g 不等式的加强形式的特殊情 形，a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的一种加强的形式 除了b r u n n 和m i n k o w s k i 的贡献，b r u n n - m i n k o w s k i 理论的发展还得益于b l a c h k e ， b o n n e s e n ，f e n c h e l ，b u s e m a n n ，p e t t y , s a n t a l 6 ，h a d w i g e r 等数学巨匠的贡献 2 0 d 8 上海大学博士学位论文 3 对偶b r u n n m i n k o w s k i 理论于1 9 7 5 年由e l u t w a k 创立，这一理论与经典的 b r u n n - m i n k o w s k i 理论之间存在着一种绝妙的对应关系众所周知，数学中的对偶 比对称更具有灵活性，它既可以是对同一对象的不同描述，也可对不同对象作合情 推理b r u n n - m i n k o w s k i 理论与对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基本的对应方法是t 用径向和代替经典b r u n n - m i n k o w s l c i 理论中的m i n k o w s k i 和，用径向函数代替经典 b r u n n m i n k o w s k i 理论中的支撑函数，从而将研究对象由凸体扩展到星体，并可以更 深层次地定义一系列对偶概念，它与经典的凸体理论有着自然而优美的对应。凸 体”对应。星体”、。m i n k o w s l 【i 和。对应。m i n k o w s k i 径向和”、。混合体积”对应 “对偶混合体积”、。支撑函数8 对应“径向函数”，“投影体”对应“相交体。、。余 弦变换”对应。球面r a d o n 变换”等等通过这种对应关系产生的几何体的很多重 要性质在形式上有着惊人的相似，其内涵又有相当大的差别t 如。b r u n n - m i n k o w s k i 不等式”与。对偶b r u n n - m i n k o w s k i 不等式。、。a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式”与“对 偶a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式”、。混合均质积分的m i n k o w s k i 不等式。与。对偶混 合均质积分的m i n k o w s k i 不等式。等可以说，通过这种对偶关系，为我们认深刻 认识各种几何体之间的关系提供了科学的方法论，也使得数学美在几何分析理论中 得到了淋漓尽致的体现 除l u t w a k 外，p r g o o d e y 3 6 ，e l g r i n b e r g 3 8 ，h g r o e m e r 【3 9 】，p m g r u b e r 4 0 等数学家也对该理论的发展作出了重要贡献 2 0 世纪8 0 年代，对偶 b r u n n - m i n k o w s k i 理论空前繁荣，并解决了一系列用经典方法未能解决的重要问题 【3 0 ，3 1 ，2 7 ，5 4 ，5 5 ，5 6 ，1 1 9 ，1 2 1 其中最值得一提的是b u s e m a n n p e t t y 问题【2 0 】的彻 底解决( 5 7 ，6 ，7 ，8 ，3 4 ，1 7 ，9 0 ，2 9 】) i i 3 l p b r u n n - m i n k o w s k i 理论的发展 岛一b r u n n - m i n k o w s k i 理论( 或称为b r u n n - m i n k o w s k i - f i r e y 理论) 的产生主要受 f i r e y ( 2 6 ) 1 9 6 2 年定义的凸体的f i r e y l p 一组合( 又称为f i r e y 线性组合) 的启发 f i r e y 定义凸体k 和l 的一组合k + pe l 磅为【2 6 】： h ( a k + pp l ，) p = a h ( k , ) p + p ( 厶) p ，( 1 1 4 ) 这里a k 中的”表示f i r e y 内积 1 9 9 3 年，l u t w a k 把凸体的f i r e y l p 一组合引入到经典的b r u n n - m i n k o w s k i 理论 中( 【6 8 】) ，给出了岛一混合体积、岛一混合均质积分，岛一表面积测度和岛一混合 表面积测度等定义，并建立了这些概念的明确的积分表达式对岛一混合体积，有 4 l 。一空间中的凸体相关的不等式研究 类似于b r u n n m i n k o w s k i 不等式的岛一m i n k o w s k i 不等式。 如果k 工，是酽中的凸体，p 1 ，则 ( k 工) y ( k ) 宰y ( l ) 嚣( 1 1 5 ) 等号成立当且仅当k 与工互为压缩 从而把经典的b r u n n - m i n k o w s k i 理论推广到一空间中进行研究之后，l u t w a k 又把f i r e y ( 2 4 ，2 5 】) 定义的工p 一调和径向组合引入到经典对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论 【7 1 】，给出了一对偶混合体积、岛一仿射表面积、岛一几何表面积、岛一曲率映 象等概念，并且对于一对偶混合体积也建立了如下的一对偶b r u n n - m i n k o w s k i 不等式： 如果kl ，p 1 是驴中佚于原点，j 的星体，则有 儿p ( k ，l ) n y ( k ) ”却y 陋) - p ， ( 1 1 6 ) 等号成立当且仅当k 与工中一个是另一个的膨胀 这些经典理论在一空间的拓展使岛一b r u n n - m i n k o w s k i 理论有了广阔的发展 空间此后，e l u t w a k ，d y a n g ，g y z h a n g ( 张高勇) 及r j g a r d n e r 等人先后引 入了岛一质心体( 【8 1 】) 、l p 一投影体( 【7 4 】) 、新椭球( 【7 3 】) ，岛一j o h n 椭球( 【7 9 】) ， 岛一截面体( 【3 2 】) 、l p 一带体( i t s ) 等概念，并系统地研究了岛- s o b o l e v 不等式 i 【7 7 】) 、岛一仿射等周不等式( 【7 4 】) 、l p m i n k o w s k i 问题( 【7 8 】) ，乓一子空间中的 体积不等式( 8 0 】) 等问题最近1 0 多年来，l p b r u n n - m i n k o w s k i 理论已成为当今 国际上几何分析的热点研究领域之一 1 1 4 我国数学家在这一领域的开创性工作 我国数学家在凸体理论的研究领域有着自己的特色，特别在用积分几何的方法 研究凸体理论和特殊凸体的几何不等式的研究等方面 2 0 世纪4 0 年代，著名数学家陈省身【2 2 】教授和a w e f t 教授将局部紧群上的不 变测度引入积分几何，从而形成齐性空间的积分几何理论，对这门学科的进一步发 展作出了卓越的贡献吴大任教授首先对椭圆空间的积分几何作了系统地研究，得 到了一些平面运动基本公式的重要结果，并证明了关于欧氏平面和空间中的凸体弦 幂积分间的一系列不等式，由此导出一些关于几何概率和几何中值不等式任德麟 教授在积分几何、随机几何和凸体理论的研究中取得了丰硕成果【9 7 ，9 8 1 ，他撰写的 t o p i c si ni n t e g r a lg e o m e t r y 被国际同行广泛引用目前，积分几何的方法在凸 体理论的研究中具有十分重要的作用 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 5 在几何体的度量性质、嵌入问题以及特殊凸体的几何不等式和极值等方面，我 国数学家也作了卓有成效的研究我国首届最高科学技术奖获得者，著名数学家吴 文俊曾在2 0 世纪5 0 年代圆满地解决了复合形在欧氏几何嵌入这一凸体几何难题 著名数学家杨路、张景中教授于2 0 世纪8 0 、9 0 年代在单形不等式与极值问题、初 等图形的嵌入、不等式的机器证明等方面作出了独创性的成就杨路教授提出了不 等式机器证明降维算法，它能有效地处理带参数的根式，将维数控制在最小限度， 并据此编成了通用程序，在pc 机上验证了4 0 0 多个具有相当难度的代数和几何的 不等式，对b o t t e m a 的几何不等式一书中1 2 0 个基本不等式的验证仅用时2 0 几 秒( 见【1 1 5 ) 杨路、张景中在距离几何的研究中取得了国内外同行公认的成就，提 出了。度量方程”，解决了伪欧空间等距嵌入，s a l e 猜想等该领域长期未解决的难 题，他们合作完成的这些工作和发表的论文，开辟了国际上一个活跃的研究领域， 仅在距离几何方面的文章每年都有数十次被引用( 1 1 2 ，1 1 3 ，1 1 4 ，1 2 2 ) 美国代数几 何领域专家d p e d o e 曾幽默地评价道t 杨路、张景中堪称中国几何领域的a l p h a 和 o m e g a 1 1 5 凸体理论的应用简介 几何分析作为当前数学的一个主流方向之一，不但有重要的理论价值，对解决 一些几何难题起到了关键作用，同时，在其它领域也有极其广阔的应用空间 以g e o m e t r i ct o m o g r a p h y 这一学科的产生为例，1 9 6 1 年，p c h a m m e r 教授在美国数学会上提出了这样一个问题：平面上的个凸体最少能被几张x - 射 线图片确定? 这一问题本质上是如何从几何对象的低维信息( 如投影信息、截面信 息、x - 射线信息等) 重构该几何对象或者对该对象的性质作出推断之后，r j g a r d n e r ，k j f a l c o n e r ，p c m c m u l l e n ，a v o l c i c 等数学家积极投入到这个问题的研 究，并且证明了平面上的一个凸体能被4 个方向的x - 射线完全确定，只要这4 个 方向不是某个仿射正多边形边的方向集的子集【1 0 9 对这一问题的深入探讨促使了 凸体几何与医学c t 及体视学、几何刺探等学科的交叉与融合，也导致了g e o m e t r i c t o m o g r a p h y 学科的诞生1 9 9 5 年，r j g a r d n e r 教授综合了这方面的研究成果， 撰写了专著 g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) ) 【2 7 】；2 0 0 6 年，该书再次修订出版【2 8 】目前，几 何断层学在计算机图形学、模式识别、医学，体视学、几何刺探等方面都得到了很 好的应用 此外，凸体理论中涉及的一些几何体的应用领域也不断地被发掘。如差分体被 广泛地应用在数学物理和偏微分方程中【1 0 ，5 2 】投影体被运用在向量值测度理论、 6 生二窒塑盟鱼堡塑羞堕歪箜壅堑塞 b a n a c h 空间的局部理论、随机几何、随机决策、h i l b e r t 第四问题、数量经济学等领 域【1 5 ，3 7 ，6 3 j 由对偶理论产生的新椭球的概念也被应用到了信息科学中( 7 6 ，4 1 】) 1 2 本文取得的主要成果简介 本文将采用如下记号：用舻表示n 维欧氏空间伊中的凸体( 有非空内点的紧 凸集) 的集合，磅和留分别表示舻中包含原点为内点的凸体集合和关于原点对 称的凸体集合记四为五严中( 关于原点) 的星体的集合几何体k 的n 维体积用 v ( k ) 表示，当k = n 时，用y 代替如果凸体k 包含原点作为其内点，用k + 表示k 的极非奇异线性变换群表示为e l ( n ) 特别地，s l ( n ) 表示g l n 中模为l ( 保体积的) 线性变换标准单位球b 的n 维体积用表示，欧几里得空间五7 f l 中 的原点、单位球面和单位球分别记为o 、铲_ 1 和口对l p 一空间中的几何体，分 别用k 、r p k ，r p k 和q k 表示几何体k 的如一投影体，岛一质心体、新 几何体、p - 截面体 1 2 1 给出了当多胞形的新椭球是球的一个充要条件，并研究了算子r 一2 的新 性质，找到了使算子r 一2 保持单调性的一个集合 对几何体的单调性的探讨是凸体理论的一个本质的课题著名的s h e p h a r d 问 题 1 0 4 和b u s e m a n n - p e t t y 2 0 】问题就是有关投影体、相交体单调性的猜测从对偶 b r u n n - m i n k o w s k i 理论的角度看，这是两个典型的对偶问题，历史上，围绕这两个问 题，数学家们曾作了一系列艰苦的努力，最终在e l u t w a k 引入相交体( i n t e r s e c t i o n b o d y ) 的概念，发现了b u s e m a n n - p e t t y 问题的解与相交体的关系后，才为彻底解决 该问题开创了新的局面 6 5 】因此，这一问题的解决颇具方法论意义。即寻求个 问题的对偶问题的性质，往往使我们在山重水复疑无路的时候，看到。柳暗花明” 经典的l e g e n d r e 椭球和它的极( 称为b i n e t 椭球) 是力学中的两个重要概念( 【5 8 】， 【7 2 】，【8 5 】) ，个自然的问题是，在对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论下，经典的l e g e n d r e 椭 球是否存在对偶的几何体? 这种对偶几何体有哪些值得关注的性质? 新椭球r 一2 k 正是对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论的产物，运用如曲率理论( 【6 8 】，【7 1 】) ，l u t w a k ， y a n g 和z h a n g 发现了关于新椭球f 一2 k 的漂亮而深刻的性质，并给出了相应的证 明( 7 3 】) r 一2 k 的一个显著特点是它的径向函数具有明确的解析表达式，特别对于 多胞形有明显的几何意义在本文中，我们首先讨论了当多胞形的新椭球是球时的 个充要条件，然后对算子r 一2 的单调性进行了探讨，找到了使算子r 一2 保持单调 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 7 该面的距离，记，詈= m ，则r - 2 p 是球当且仅当 f n 阢t 小2 一：一m a i m 军( 牡谢瓦2 百 咿驴胁阿 等式成立当且仅当r 一2 p 是一个球 定理1 2 3 设k 罡2 ，二霹如果r 一2 k f 一2 厶那么 v ( k ) sy ( l ) ( 详见本文第二章，其主要内容形成的论文，已投国内核心期刊应用数学与 力学( 英文版) 并接收) 1 2 2 设想将n 维椭球放在其”标准位置”，证明了当岛投影体是椭球时的 一些性质 经典投影体的概念由m i n k o w s k i 于1 9 世纪末到2 0 世纪初引入自上世纪6 0 年代末，p e t t y 9 1 ，s c h n e i d e r 1 0 0 】和b o l k e r 13 】的研究成果引起了许多学者对投影 体的广泛关注( 见文【1 ，9 ，1 2 ，1 5 ，1 8 ，2 1 ，3 7 ，6 1 ，6 7 ，8 2 ，9 2 ，1 0 1 ，1 0 2 ，1 1 8 】和著作 【2 7 ，5 8 ，l o a d ，l u t w a k ( 6 3 ) 于1 9 8 5 年提出了混合投影体的概念，并做了系统的研究 ( 见文【6 3 ，6 4 ，6 6 ，7 0 】) ；冷岗松教授等( f 5 9 】) 详细研究了混合投影体的极的相关性质 2 0 0 0 年，l u t w a k ，y a n g 和z h a n g ( 7 4 ) 又提出了一投影体的概念： 定义1 2 1 如果k 肛，实数p 1 ，则k 的岛一投影体i i p k 是一个关于原 8 l p - 空间中的凸体相关的不等式研究 点对称的凸体。它的支撑函数定义为【铭】：对任意的t 铲一1 有 i i p k ( 牡) = 【磊主_ 石z 。一。i 让t ，i pd 昂( k ，训石1 其中u t ，表示单位向量和移的标准内积，c ，l ，p 满足 c n ，p = u n + p 忱吻一1 ， 昂( k ，) 是k 的l p 一表面积测度，它关于s ( g ，) 是绝对连续的并具有l ：h l , d o l l _ n i k o d y m 导数，s i ( k ，) 即是k 的经典表面积测度s ( k ，) 本文证明了当岛投影体是椭球时的一些性质设昂= 【k ：k 舻且f _ p k 是个椭球) ，当k 岛时，v ( i - k ) 与v ( k ) 之间有如下关系。 定理1 2 4 设k 舻是一个凸体且包含原点作为其内点，若k 0 那么， ( i ) 当0 p 2 时， s ( 器) 詈 ( i i ) 当p 2 时， 隅耶( 咤警) ； 当p = 2 且f _ p k 是球时等号成立 作为本定理的应用，本文还给出了关于多胞形的几个不等式，主要结论有： 定理1 2 5 设p 是酽中的多胞形，0 p ，珥p 是一个椭球，则t 0 时k 的凸性给出了证明，对一1 p 0 ，则 肚妒洲= p 厂肛n ( l + r u 胪。1 d r ( 1 7 ) 定理1 2 7 设k 和三是驴中的凸体，且k 二，则 j 当0 p n 时。 v ( k ) y ( 毋( k ，l ，p ) ) y ( ( k l ，p ) ) = v ( l ) 2 当n 1 时，g k 一般而言是非凸的 本文首先证明了p 截面体的一些性质，而后通过探讨混合径向平均体( kl ) 混合p 一截面体q ( k 工) 的相关性，将p 截面体及其相关的性质推广到混合p 截 面体q ( k 三) ，从而揭示了截面体、投影体、径向平均体之间的深层联系主要结 果有。 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 1 1 定理1 2 9 设k 是伊中的凸体，则y ( c k ( k ) ) = v ( i k ) 定理1 2 1 0 设k 和工是矿中的凸体且k 厶那么q ( k 工) 是一个凸体 ( 详见本文第五章，其主要内容形成的论文，已投国内核心期刊数学学报 中文版) 1 2 5 研究了酽中的对称点集的一些性质 对几何体的度量性质、嵌入问题以及相关的几何不等式和几何极值问题的研 究，是凸体几何研究的一个充满活力的课题本文还研究了具有r , + 1 个顶点的n 维伪对称集的性质 n 维伪对称集的定义如下； 定义1 2 2 设9 是酽中的点集，如果g 的凸包的维数为n 且满足以下三个 条件： 例9 中的所有点都分布在n 一1 维超球面酽- 1 ( r ) ce n 上； ( i o9 的质心在球面铲一1 ( r ) 的中心 ( i i og 是惯性对称集 则称g 为一个佗维的伪对称集 用a i = ( 0 4 。，0 4 。，啦。) 表示驴中的元素，我们将驴中的点等同于酽中的 向量，本文的主要结论有； 定理1 2 1 1 设g = a 1 ，a 2 ，如+ 1 ) 是驴中的点集，那么g 是n 维伪对称 集的充分必要条件是以g 为顶点的单形是正则单形 定理1 2 1 2 设f = a x ，a 2 ，口】是伊中的一个有序的向量集，且n n 那么f 是伪对称集当且仅当f 满足以下三个条件 以夕i a l l = i a 2 i = = i n l ； 俐a l + o , 2 + + a n = 0 ； 俐设1 0 4 i = r ( i = 1 ，2 ，) ，则 ( a i 吩) = 志三( 州州a j ) ( 1 吲 o ； ( 2 ) p k ( x ) = 腿( 毋- 1 z ) ，这里g l ( n ) ，一1 表示的逆变换； ( 3 )对于入 0 和任意的t 扩，p k ( u ) 入儿( t ) 当且仅当k 入l 其中 k 三( 关于原点) 是紧的星形，z 五p 凸体k 磅的极体k + 【2 8 】定义为 k + ：= z r n i ( z y ) 1 ，y k ( 2 1 3 ) 如果k i c 2 ，由支撑函数、径向函数和极体的定义可得 h * g = 1 p r或p k = 1 h r ( 2 1 4 ) 对于k 工霹，实数p 1 和实数a ，p o ( a ，p 不同时为零) ，则k 一调和径向 组合a k + - p l l 霹定义为 2 4 ，2 5 ，7 1 】： p ( a k + 一p p 工，) 一p = a p ( k ) p + p p ( 厶，- p ( 2 1 5 ) 如果硒，鲍，霹，则硒，鲍，的对偶混合体积v ( k 1 ，k 2 ，) 由l u t w a k ( 6 2 1 ) 定义为； l i r ( k 1 ，恐，) = 丢z 。一。肛。( u ) 腿舡) ( u ) d s ( 仳) ( 2 1 6 ) 1 6 l p 一空同中的凸体相关的不等式研究 这里s 是s ”1 上的l e b e s u g e 测度 如果令k 1 = = 一i = k ，一件l = = = 厶则记v i ( k ，l ) = 矿( ，k ，l ，三) ，其中k 出现竹一1 次、l 出现i 次如果允许i 是任意实 数，则定义v i ( k , l ) 为k 和工的i 次对偶混合体积，且有 v i ( k , l ) 2 击上一p k ( u ) 铲p l ( u ) i d s ( u ) ( 2 1 7 ) 在( 2 1 7 ) 中取l = b ( 这里b 是俨中的标准单位球) ，再记优( kb ) = 厩( k ) ，则称 吼( k ) 为k 霹的对偶均质积分( 见【2 7 ，1 0 3 ) 显然，由( 2 1 7 ) ，对偶均质积分有 积分公式 l 形i ( k ) 2 去厶( 如) ”d s ( 钍) ( 2 1 8 ) 进一步有 甄( k ) = 矿