（通信与信息系统专业论文）分形理论应用于天线设计的研究.pdf

哈尔滨下稃大学硕十学位论文 摘要 “分形”是法国数学家m a n d e l b r o t 于1 9 7 5 年提出的全新几何分支，它可 以有效地用于描述自然界中广泛存在的一大类e u c l i d 几何所难以定义的复杂 对象。分形独有的空间填充能力和自相似属性用于天线的设计时，就得到了 分形天线，可以实现天线的尺寸减缩性和多频特性。近年来分形理论在射频 技术领域的应用取得了一些有价值的成果，展示了其良好的应用前景。这在 军用和民用方面都有着非常广泛的应用前景。 本文从分形理论的概念和性质出发，简单介绍了分形几何及分形天线的 一些基本理论，如分形天线的背景、分形的基本概念、分形结构的生成方法 等。在总结和讨论分形天线现有的研究成果基础上，将分形理论应用于两种 天线的设计中，实现了分形天线独有的特性，提高了天线的性能。 首先，提出了一种超宽带平面圆形单极子印刷天线的改进方案，通过在 圆形贴片上蚀刻分形几何中的s i e r p i n s k i 垫，使天线满足2 8 1 5 1 g h z 的超宽 带频带要求，并且实现了4 5 5 9 g h z 的频率缺口功能，大大提高了天线的抗 干扰性。通过仿真表明天线的远场辐射方向图、驻波比v s w r 均满足要求， 并且分形特有的尺寸缩减性实现了超宽带天线的小型化。 然后，设计一种基于分形理论的弯折线对称振子天线，利用基于有限积 分法的电磁仿真软件c s tm i c r o w a v es t u d i o 分别对天线的谐振频率， 谐振点输入阻抗，天线带宽，天线定向性等天线特性进行仿真，并对天线参 数进行了最优配置。通过仿真得到的实验数据，在不改变天线外部长度的情 况下，通过改变天线的弯折次数、弯折角度、弯折高度、弯折置向等方法可 有效地降低天线的谐振频率，控制天线的输入参数，从而实现天线的电小化 设计。 关键词：分形；分形天线：超宽带；超宽带天线；对称振子天线 哈尔滨t 稃大学硕十学何论文 a b s t r a c t ”f r a c t a l ”i san e wb r a n c ho fg e o m e t r yp r o p o s e db yaf r e n c hm a t h e m a t i c i a n m a n d e l b r o ti n1 9 7 5 i tc a i lb ee f f e c t i v e l yu s e dt od e s c r i b et h ew i d e l ye x i s t e d c o m p l e xo b j e c t si nn a t u r ew h i c ha r ed i f f i c u l tt o d e f i n eb ye u c l i d sg e o m e t r y f r a c t a lh a su n i q u es p a c e - f i l l i n gc a p a c i t ya n ds e l f - s i m i l a rp r o p e r t i e s w h e ni ti s u s e dt od e s i g nt h ea n t e n n a , f r a c t a la n t e n n ac a nb eg a i n e d t h ef r a c t a la n t e n n ac a n r e a l i z et h em i n i a t u r a t i o na n dm u l t i - f r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i c so fa n t e n n a i nr e c e n t y e a r s ，f r a c t a lt h e o r yo b t a i n ss o m ev a l u a b l ea c h i e v e m e n t si nt h ef i e l d o fr f t e c h n o l o g y , a n dd e m o n s t r a t e si t sg o o da p p l i c a t i o np r o s p e c t s i ta l s oh a se x t e n d e d a p p l i c a t i o nf u t u r ei nm i l i t a r ya n dc i v i l i a nd o m a i n s t h i sa r t i c l ee m b a r k sf r o mt h ec o n c e p ta n dp r o p e r t i e so ff r a c t a lt h e o r y t h e b a s i ct h e o r i e so ff r a c t a lg e o m e t r ya n df r a c t a la n t e n n aa r eb r i e f l yi n t r o d u c e d ，s u c h a st h eb a c k g r o u n do ff r a c t a la n t e n n a , t h eb a s i cc o n c e p t so ff r a c t a l ，t h eg e n e r a t i o n m e t h o d so ff r a c t a ls t r u c t u r e 。a tt h es a m et i m e ，t h er e s e a r c hs t a t u so ff r a c t a l a n t e n n ai sb r i e f l ye x p o u n d e d o nt h eb a s i co fs u m m a r i z i n ga n dd i s c u s s i n gt h e e x i s t i n gr e s e a r c hr e s u l t so f t h ef r a c t a la n t e n n a s ，t h ef r a c t a lt h e o r i e sa r ea p p l i e dt o d e s i g nt w ot y p e so fa n t e n n a s i tr e a l i z e s t h eu n i q u ec h a r a c t e r i s t i c so ff r a c t a l a n t e n n aa n de n h a n c e st h ep e r f o r m a n c eo ft h ea n t e n n a f i r s to fa l l ，t h i sa r t i c l eh a sp u tf o r w a r da ni m p r o v i n gm e t h o df o ra l l d t r a - w i d e b a n dp l a n a rm o n o p o l ea n t e n n a t h ea n t e n n am e e t st h er e q u i r e m e n t so f t h eu w b f r e q u e n c yb e t w e e n2 8 - 1 5 1g h zb ye t c h i n gi nt h ec i r c u l a rp a t c hw i t i l t h ef r a c t a lg e o m e t r yo ft h es i e r p i n s k it r i a n g l e a n da c h i e v e daf r e q u e n c yo ft h e g a pf u n c t i o nb e t w e e n4 5 - 5 9g h z t h i sg r e a t l yi n c r e a s e st h ei n t e r f e r e n c eo ft h e a n t e n n a t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h ef a r - f i e l da n t e n n ar a d i a t i o np a t t e r n s t h e s t a n d i n gw a v er a t i ov s w rr e q u i r e m e n t s a r em e t ，a n dt h eu n i q u ef f a c t a l c h a r a c t e r i a i c sr e d u c et h es i z eo ft h eu l t r a - w i d eb a n da n t e n n a 哈尔滨t 程人学硕十学位论文 t h e n d e s i g na 心n do fm e a n d e rl i n ed i p o l ea n t e n n ab a s e do nf r a c t a lt h e o r y s i m u l a t ea n dr e s e a r c ht h er e s o n a n tf r e q u e n c yo fa n t e n n a , i n p u ti m p e d a n c ea t r e s o n a n tp o i n t ，b a n d w i d t ho fa n t e n n a , r a d i a t i o nc h a r a c t e r i s t i ca n ds oo nb yu s i n g t h es i m u l a t i o ns o f t w a r ec s tm i c r o w a v es t u d l 0w h i c hi sb a s e do nt h e m e t h o do fl i m i t e di n t e g r a t i o n c h a n g et h eg e o m e t r i cp a r a m e t e r so fa n t e n n at o i d e n t i f y t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e ni t s g e o m e t r i cp a r a m e t e r s a n de l e c t r i c a l p a r a m e t e r s k e yw o r d s ：f r a c t a l ； f r a e t a la n t e n n a ；u w b ；u w ba n t e n n a ；d i p o l ea n t e n n a ； c s t 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在 文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：遣醐陲将 日期：硼年易月罗日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 临授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后口解 密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇编等沙 作者( 签字) ：拍舷婚导师( 签字) ：旋f j j 矿 日期：卅年月罗日，多卯夕年岁月夕日j l l 7 。 哈尔滨t 稃大学硕十学位论文 第1 章绪论 1 1 分形天线的提出背景 当前，无线通信技术的飞速发展，使得移动通信系统的质量和容量有了 很大的提高，同时也出现了多种工作于不同频段的移动通信系统。如目前在 全球范围内被广泛使用的第二代移动通信系统：c d m a ( c o d ed i v i s i o n m u i t i p l ea c c e s s ) 、g s m ( g l o b a ls y s t e mf o rm o b i l ec o m m u n i c a t i o n ) 、d c s ( d i g i t a lc o m m u n i c a t i o ns y s t e m ) 和p c s ( p e r s o n a lc o m m u n i c a t i o ns y s t e m ) 等。还 有即将逐步代替2 g 网络的第三代移动通信系统：w c d m a 、u m t s ( u n i v e r s a l m o b i l et e l e c o m m u n i c a t i o ns y s t e m ) 、c d m a 2 0 0 0 和t d s c d m a 等。除此之外， 还有同样被广泛使用的w i b r o ( w i r e l e s sb r o a d b a n da c c e s ss e r v i c e ) 、b l u e t o o t h 和d m b ( d i g i t a lm u l t i m e d i ab r o a d c a s t i n g ) 等无线网络通信系统。对于这些工作 于不同频段的通信系统，人们往往采用不同的收发天线，这给系统的集成和 融合带来了很大的困难。因此，能够应用于多个通信系统的小型集成化多频 带天线成为移动通信天线领域的一个重要研究方向【“2 1 。 现阶段传统意义上的欧氏几何天线，如单极子，偶极子天线和螺旋天线 等，虽然能够满足大多数的无线通信需求，但是天线外形相当大，无法减小 无线设备的体积。特别是在短波、超短波波段，由于波长较长，导致天线的 尺寸非常大。另外传统欧式几何天线为了实现多频通信往往需要采用双、多 分支贴片或寄生辐射单元等来实现，增加了天线的复杂度。因此，迫切需要 运用新的理论和方法，探索现代天线的设计，解决传统的天线设计中出现的 问题和矛盾。天线的分形技术j 下是用来解决天线小型化和实现多频技术的重 要举措p 。 所谓分形天线，是指几何属性上具有分形特征的天线。分形天线的设计 用来探索天线的尺寸减缩与多频性能，因此它从结构上解决了传统天线两个 主要局限性并具有一个特别的优势。解决的两个局限性：( 1 ) 天线实际上是 l 哈尔滨t 程大学硕十学何论文 窄带设备，它们的性能高度依赖于天线的电尺寸。这就意味着，对于固定的 天线尺寸，主要天线参数( 增益、输入阻抗、方向图、副瓣电平) 将随着工 作频率的改变而改变。分形的自相似性使得分形天线具有分形的特征，从而 具有多频性能。( 2 ) 分形复杂的形状使一些天线的尺寸减缩成为可能一1 。 1 2 分形天线的研究现状 k o c h 曲线、s i e r p i m l d 垫和h i b e r t 曲线等都是比较著名的分形几何图形， 它们于2 0 世纪初提出，经典的分形几何出自于对于理想几何物体和拓扑学的 研究之中。这些分形物体在无限迭代的水平上具有相似的几何结构，由于其 数学上的神秘性，直到近些年才得以应用。 现代对于分形的兴趣被法国数学家m a n d e l b r o t 重新点燃，在题为自然 界中的分形几何一书中，他向人们展示了自然界中有着自相似特性的分形 和物体。之后，分形应用于地理学、生物学和工程当中。最近，b a m s l e y 提出 了应用迭代函数系统( i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ) i f s 以迭代的方法产生分形的 思想。 到了2 0 世纪8 0 年代，关于波与分形结构相互作用的研究促进了分形电动 力学的发展，而分形天线正是分形电动力学的众多应用之一。天线与阵列的 分形设计是电磁理论与分形几何学的融合，最为熟知的对数周期天线就是一 种分形天线，它已经存在4 0 多年，但直到分形技术应用后它的特性才得以充 分的理解。世界上第一个分形天线是由美国科学家d r n a t h a nc o h e n 与1 9 8 8 年完成的，而对分形天线进行系统的研究是从1 9 9 5 年8 月c o h e n 发表他的第一 篇有关分形天线方面的文章丌始。自那以后，国际上很多大学和科研机构对 分形天线进行了研究。目前，研究比较成熟的有k o c h 单极、双极天线， s i e r p i n s k i 单极、双极天线，m i n k o w s k i 及k o c h 分形环天线，c a n t o r 集线性阵列， w e i e r s t r a s s 分形线性阵列等。 基于分形几何设计出的分形天线己经在u h f ( 8 6 2 9 2 8 m h z ) 频带的无线通 2 哈尔滨i ：稃人学硕十学何论文 信设备中、a d a l i v e 无线系统设备中和g s m + d c s ( 9 0 0 m h z ，1 8 0 0 m h z ) 双频移 动天线系统中得到了应用。也有的将分形天线应用f s s ( f r q e u e n c es e l e c t i v e s u r f a c e ) 和分形阵中。 当前更进一步的应用主要集中在g s m ( 9 0 0 m h z ) 、p c s ( 1 9 0 0 m h z ) 、蓝牙 无线通信系统( 2 4 g h z ) 、s - b a n d 无线局域网等方面。分形天线具备极其优良 的跨频带工作性能，可以在所有频带工作良好，因此分形天线的市场应用范 围相当广泛。它不仅可以在个人手持无线设备( 如：蜂窝电话) 和其他无线移 动设备( 如：无线局域网中的l a p t o p s 、可以联网工作的个人数字助理p d a s 、 车载天线系统) 中得到应用，而且作为阵列的分形元，它还可在相控阵雷达系 统、卫星通信系统、g p s 系统中得到应用p 1 。 1 3 论文安排 全文共分为五章，各章内容安排如下： 论文第1 章首先介绍了分形天线的提出背景和研究历史。 论文第2 章扼要介绍了分形的一些基本理论，包括分形的基本概念、分 形的维数、分形的实现和几种分形结构的生成。 论文第3 章介绍了分形天线的研究现状，包括几种常见的分形天线的研 究现状以及现有的分形天线的理论分析方法。并列举了一些已应用于实际的 分形天线的实例，对分形天线的研究新进展和发展f j i 景进行了讨论。 论文第4 章提出了一种改进型的超宽带天线，为解决现有超宽带天线对 w l a n 频带造成的干扰，将分形几何中的s i e r p i n s k i 挚引入圆盘形贴片超宽 带单极子天线的设计，利用分形几何的独有自相似形和空间填充性实现具有 频率缺口特性的超宽带天线以及实现天线的小型化。 论文第5 章对基于分形理论的弯折线对称振子天线进行了仿真与研究， 着重于研究弯折线天线谐振特性，辐射特性等随天线几何形状改变的关系。 3 哈尔滨t 程大学硕七学位论文 第2 章分形结构与生成算法 2 1 分形理论的概念 2 1 1 无法解释的数学难题 通过参考文献【6 】可知，自从两千多年前希腊人e u c l i d ( 欧几里德) 创立 了几何学以来，人们对某个数学集合，总是习惯于在e u c l i d 空间对其研究和 对其度量，其中字母表示该空间的维数，通常它是一个整数。但是在一个 世纪以前，相继出现了一些被称之为“数学怪物”( m a t h e m a t i c a lm o n s t e r s ) 的 东西，人们无法用传统的e u c l i d 几何语言去描述它们的局部和整体特性。 拽= 0 糟墨1 以= 2 投嚣3 图2 1k o c h 曲线迭代生成 1 9 0 4 年，瑞典数学家v o nk o c h 设计了一条被称之为k o c h 曲线的图形，其 设计步骤如下：设e 0 为单位空间 0 ，l 】，第一步，即n = l ，以昂的中间三分 之一线段为底，向上作一个等边三角形，然后去掉区间【l 3 ，2 3 ，得一条四 4 哈尔滨l 。：稃大学硕十学f 7 ：论文 折线段的多边形巨。e o 是处处可微的，但巨却有三点不可微。第二步，即n = 2 ， 对e 的四折线段重复上述过程，得一条十六折线段多边形最，它有1 5 个点不 可微。再重复上述过程，由e 到e + i ，当行趋于无穷时，便得一条k o c h l 抽线， 显然它是一条处处连续但是点点不可微的曲线，基本过程见图2 1 。 下面我们看看k o c h 曲线在e u c l i d e a n 中的长度是多少。显然， l e n g t h ( e o ) 2 1 ( 2 - 1 ) l e n g t h ( e z ) = 詈 ( 2 - 2 ) l e n g t h ( e 3 ) = 百1 6 ( 2 - 3 ) l e n g t h ( e ) = 舰( 1 e n g t h ( e ) ) = l i m k ( 4 3 ”= ( 2 4 ) 可以看出，k o c h 曲线在传统的e u c l i d 几何领域不可度量。 德国数学家g e o r g ec a n t o r 发现了这样一个集合，记磊- - o ，1 】，第一步 ( 甩= 1 ) ，去掉中间三分之一，得： 斗，劓纠 任5 ， 第二步( 刀= 2 1 ，重复刚才步骤，得： 岛= o ，吾 u 吾，三 u 詈，吾 u 罟，- c 2 6 ， 如此重复刚才一系列步骤，得e ，当刀- - o o 时，遂得c a n t o r 集e ( 见图 2 2 ) 。 - - - - - - - - - - - - 扇 巨 易 易 图2 2c a n t o r 集迭代过程 显然，c a n t o r 集有无数个点组成，在零维空间，其度量为无穷大。在一 5 哈尔滨警人学硕十学位论文 维空间，当其在第刀步时，共有2 一个小区间，每个区间长度为f 丢1 ”，所以 j 一 x n l e n 础( e ) = 。l i _ m 2 _ 3 j 20 (2-7) 要么为无穷大，要么为零，c a n t o r 集在e u c l i d 几何领域里也不可度量。 上述的怪物是数学家的创造物，然而在自然界，同样有不可思议的现象 存在。气象学家r i c h a r d s o n ( 1 8 8 1 1 9 5 3 ) 在测量英国西海岸长度时，发现了 一个规律：绘制地图的比例尺由大变小时，如由l e m 代表l o o k m 减小到l c m 代表l k m 时，海岸线长度却变得越来越长了。令a 为比例尺度，s 为海岸线 长度，s 为a = 1 0 0 0 时的长度，则英国西海岸长度s 的对数 l o g s = l o g s l 一0 2 2 l o g a ( 2 8 ) 这就意味着，当a 减小到其1 2 3 时，s 将增大一倍。按这个公式，海岸 线长度实际上是不确定的。也就是说，自然界的某些现象是不能用e u c l i d 几 何来描述的。 2 1 2m a n d e l b r o t 及分形几何 上述这些困惑数学家许多年的怪现象终于在2 0 世纪7 0 年代被法国数学 家b m a n d e l b r o t ( 曼德勃罗) 彻底解决，b m a n d e l b r o t 最早创造出来了分形 ( f r a c t a l ) 一词，来源于拉丁文f r a c t u s ， 由于不规则现象在大自然中普遍存在， 其原意是不规则、支离破碎的意思。 因此分形几何学又称为大自然的几何 学。类似于海岸线这样的不规则曲线很多，对于这种不光滑和不规则的“病态” 集和函数如何去描述和测量呢? 用以前经典几何图形的长度、面积、体积作 为标准去度量显然是不够的，这就必须引入分形的概念。 如果对于海岸线这样的不规则图形加以详细研究，我们会发现一个重要 的性质自相似性( s e l f - s i m i l a r i t y ) 。通俗的说，就是局部的形态与整体形 态的相似，即在所有的方向上按统一比例扩展或均匀线性变换。事实上，自 然界的许多实物具有自相似的层次结构。在理想情况下，甚至具有无穷多层 6 哈尔滨】。程大学硕十学位论文 次，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。我们把这种在形态、 结构、功能和信息等方面具有自相似的研究对象统称为分形。b m a n d e l b r o t 在对这些数学怪物及许多物理和经济现象进行研究后，终于创立了这门重要 学科一分形几何( f r a c t a lg e o m e t r y ) 。1 9 7 5 年，m a n d e l b r o t 在巴黎h 板了 法文著作( ( l e so b j e c t s f r a e t a l s ：f o r m e ，b a s a r de td i m e n s i o n ) ) ，1 9 7 7 年在美国出 版了其英文版( f m e t a l s ：f o r m ，c h a n c e ，a n dd i m e n s i o n ) ，它们都可译为分 形，机遇和维数。同年，他又出版了t h ef m c t a lg e o m e t r yo f n a t u r e ) ) ，但 这三本书对社会的影响并不大。但在1 9 8 2 年，随着1 1 l e f r a c t a l g e o m e t r y o f n a t u r e ) ) 第二版的问世，在美国乃至欧洲迅速形成了“分形热”。 m a n d e l b m t 最初创立分形理论是为了描述自然界中传统e u c i l d 几何学所 不能描述的复杂无规则自然现象。比如蜿蜒曲折的海岸线、起伏不定的山脉、 变幻无常的浮云、眼花缭乱的繁星等，它们的共同特点是：极其不规则或极 不光滑，其实这些对象都属于分形范畴。由于不规则现象在自然界中普遍存 在，因此分形几何又被称为是描述大自然的几何学。新的几何学所反映的世 界粗糙而不圆润，凹凸而不光滑，这是“斑痕、麻点、破碎、扭曲、缠绕、 纠结的几何学”。图2 3 就是一幅应用分形技术通过计算机程序生成的风景 画，这个例子说明在生成自然真实的景物中分形具有独特的优势。 曩翟隅 生 要 幽2 3 分形技术应h 丁白然景物的绘制 7 哈尔滨r = 程入学硕十学位论文 b m a n d e l b r o t 曾经为分形做过两个定义： ( 1 ) 满足下式条件d i m ( a ) d i m ( a ) 的集合a ，称为分形集。其中，d i m ( a ) 为集合a 的h a u s d o f f 维数或分维数，d i m ( a ) 为其拓扑维数。一般说来，d i m ( a ) 不是整数，而是分数。 ( 2 ) 部分与整体以某种形式相似的形态，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此 丰富的内容。严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情， 现在人们一般采用著名分形几何家肯尼思法尔科内( k e u n e t h f a l c o n e r ) 在分 形集几何学喁1 中对分形集合f 的描述来判断某一对象是否是分形。他的观 点是最好把分形看成是具有某些特性的集合，而不用去寻找一个几乎概括所 有情形的精确定义。因此k f a l c o n e r 列出了五条用不确定性语言描述的分形 集的特性，其中前三项说明了分形在结构上的内在规律性，第( 4 ) 项说明了分 形的复杂性，第( 5 ) 项则说明了分形的生成机制： ( 1 ) 分形集都具有任意小尺度下的比例细节，即具有无限精细结构； ( 2 ) 分形集无法用传统几何语言来描述，它不是某些简单方程的解集，也 不是满足某些条件的点的轨迹； ( 3 ) 分形集具有某种自相似形式，包括近似和统计上的自相似； ( 4 ) 分形集一般可以用简单的方法定义和产生，如迭代； ( 5 ) 按某种维数定义，分形集的分形维数大于相应的拓扑维数。 针对不同的图形，有时它可能只具有上面大部分性质而不满足某个性质， 但我们一般仍然把它归入分形。实际上，自然界和科学实验中涉及的分形绝 大部分都是近似的，因为当尺度小到无法分辨时，分形性质也自然消失了， 所以，严格的分形只存在于理论研究中。 2 2 分形的维数 众所周知，在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维，平面或球面看成 8 哈尔滨t 稃大学硕十学何论文 二维，直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引 入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这 类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念，将维数 从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。 分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、 正方形和立方体，它们的边长都是l 。将它们的边长二等分，此时，原图的 线度缩小为原来的1 2 ，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、 立方体分别被等分为2 a i 、2 a 2 和2 a 3 个相似的子图形，其中的指数l 、2 、3 ， 正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为 1 a 的相似的b 个图形所组成，有： a “d = b ( 2 9 ) d = l o g b l o g a ( 2 1 0 ) 的关系成立，则指数d 称为相似性维数，d 可以是整数，也可以是分数。 分形维是定量刻画分形特性的常数，它不是平常欧氏维数的简单扩充， 而且赋予了很多崭新的内涵。由于分形的确切定义尚未给出，因此其度量 分形维数也难以精确定义，人们也不得不回避这一问题，只是根据不同的研 究对象，借用不同的维数，如：h a u s d o r f f 维、信息维、容量维等来充当分形 度量。下面将分别介绍几种分形维数嗍： ( 1 ) h a u s d o r f f 维数巩 对于某客体，如沿其某个独立方向皆扩大三倍，从而得到k 倍于原客体 的新客体，则该客体的维数为d 巩= i n k i n l ( 2 1 1 ) 或者，按相反的方式，把一个客体划分为个大小和形态完全相同的小 客体，每一个小客体的线度是原客体的万倍，该客体的维数d 为： 耻嬲 陆 9 ( 2 ) 信息维数口 在h a u s d o r f f 维d h 的定义中，只考虑了所需万覆盖的个数n ( 6 ) ， 而不考虑每个覆盖中所含分形集元素的多少。设p 表示分形集的元素属于 覆盖u 中的概率，则信息维数皿为： p , l np , 口2 智( 2 - 1 3 ) ( 3 ) 关联维数坟 若分形中某两点之间的距离为万，其关联函数为c ( 万) ，则关联维数d g 为： q 2 器( 2 - 1 4 ， q 2 耐 式中： c ( 万) = 嘉差( 万一i 置一一i ) = 善只2 ( 2 一- 5 ) ( 4 ) 相似维数见 设分形整体s 是由n 个非重叠的部分s ，岛，墨，瓯组成，如果 每一个部分s 经过放大1 倍后可与s 全等( 0 i 1 ，i = l ，2 ，n ) ，并且 - - - - r ，则相似维数为： 妒尚 p 峋 相似维数皿与h a u s d o r f f 维数巩是一致的，但在某些情况下，特别是对 某些分形曲线，用相似维数似乎要更方便些。 ( 5 ) 容量维数见 容量维数是由k o l m o g o r o v 推导的，它的定义类似于h a u s d o r f f 维数，是 以包覆为基础的。假定要考虑的图形是, 维欧氏空间r ”中的有界集合，用半 径为s 的d 维球包覆其集合时，假定( 占) 是球的个数的最小值，则容量维数 口可用下式来定义： l o 2 3 分形的实现 2 3 1 分形的i f s 实现 哈尔滨1 - 仟j 人学硕十学何论文 现2 瑚 p 迭代函数系统( i f s ) 是描述分形结构的通用方法n 0 1 ，它建立在一系列自 仿射变换w 的基础之上，w 可用公式表示为： w ； = ：三 ； + ； ( 2 1 8 ) 或其等价形式 w ( x ，y ) = ( 锻+ 砂+ p ，饯+ 砂+ 厂) ( 2 1 9 ) 式中的吼b ，c ，d ，e ，f 都是实数，因此，自仿射变换w 由六个参数表示 酬爿 ( 2 - 2 0 ) 其中口，b ，c ，d 控制旋转和比例变换，p ，f 控制线性平移。 假设w ，w 2 ，w n 是一系列线性仿射变换，同时彳表示最初的几何图形。 通过对彳应用变换得到w l ( a ) ，w 2 ( a ) ，w ( a ) ，把这些结果做并集就 得到了新的分形几何，用公式可表示为： ， w ( a ) = u ( a ) ( 2 - 2 1 ) n = l 式中的称为h u t c h i n s o n 算子。重复应用矽于前一级图形就得到了分形 几何。例如，如果4 代表初始的图形，那么 a i = ( 4 ) ，a 2 = w ( a i ) ，4 + 。= ( 4 ) 而最终得到以具有下列性质 以= 形( 以) 因此它被称为i f s 的“吸引子 。 一种非常简单的了解迭代公式的操作方法如图2 4 所示： l i ( 2 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) 塑兰：垒尘：鎏! ；兰坚! 兰 c h n g i n gn u m b e r + f i x e dn u m b e r ：r e s u l t 图24 选代系统示意图 迭代函数系统是分形天线设计的强有力的工具，因为它提供了一种描述、 分类和操作分形的通用方法。 2 3 2 分形的l 系统实现 通过参考文献 6 】可知，l - 系统的第一个字母l 源于美国生物学家 a l i n d e n m a y e r ( 1 9 2 9 一1 9 8 9 ) 姓氏中的l 字母。开始是作为描述植物的形态与生 长的种方法，继而发展成计算机图形学中一种模拟大自然景物的有效方法， 当然是一种重要的分形生成方法。图2 5 是使用l 一系统生成3 d 杂草的例子。 、l 专 | 璺| 2 5 使州l 系统生成的3 1 ) 杂草 记f 为左生成元，r 为右生成元，每个生成元又是由左向走符号r 和右 1 2 秽wl髂1 ：rf越o”i 哈尔滨t 稃人学硕十学付论文 向走符号r 及“+ 和“ 组成。要产生一张分形图，还需有一个初始元。 一般来说，这儿的初始元比较简单，常以r 或表示，程序中r 和足也分别 用和尺代替。 ( a ) 左生成元三 ( b ) 右生成元r 图2 6l e v e l = 2 的左右生成元示意图 设初始元：r ；左生成元三? + 三r ，右生成元r ? - l + + r ，压缩因子s ： 1 2 ，角度万：4 5 0 。对给定的单位长线段，分别经三? “月和足j 七十+ r 运 行后，得如图2 6 所示的两个图形( a ) 左生成元三和( b ) 右生成元r 。 在首次执行时，由于初始元是单位线段，所以在( + 上r ) 中，l 和r 表 面上看并无区别，它们都代表前进一步。 第一步，按左生成元三运行，得到图2 6 ( a ) 。记之为l e v e l = 2 ，注意l e v e l = l 为单位线段。 第二步，对l e v e l = 2 中的第一条线段执行r 生成元，接着对第二条边执行 生成元，于是有图2 7 。 图2 7 第二步生成图 第三步，对l e v e l = 3 中图形，从左到右，采取奇数段执行尺生成元，偶数 段执行工生成元，得l e v e l = 4 。该例的第三步图如图2 8 所示。 1 3 哈尔滨t 稃大学硕十学位论文 不。 图2 8 第三步生成图 重复执行第三步，经多次迭代后，得到一个形似龙的图像。如图2 9 所 图2 9 多次迭代后的生成图 2 4 几种分形结构的生成 2 4 1k o c h 分形结构 k o c h 曲线是一种不规则的曲线，它的分形阶数每增加一阶，每单位直 1 4 哈尔滨。l ：程人学硕十学位论文 线段的中间的l 3 段就分别绕着两个分段点旋转6 0 度和一6 0 度后连接形成高 一阶的分形天线，总的长度变为原来的4 3 倍。当迭代1 1 次时，天线总长度 为： z = ( ) “( 2 - 2 4 ) 可见，k o c h 曲线对减缩线天线尺寸是非常有利的。k o c h 曲线的迭代生 成可以用下面的方式来进行2 1 ，它可以实现二维平面内任意的k o c h 曲线： w ； = ：三 ； + ； ( 2 - 2 5 ) x 和y 是分段点坐杯值，转抉天糸由矩陴2 【口，b ，c ，d ，e ，j 佣疋。，炬眸a 可写为： 么= 瞌善意) 在k o c h 曲线中，吒= r 2 = ，0 ， 1 ，而且b = b ，是收缩比例而口是 旋转的角度，由此有： ( x ，y ) = ( 圭+ ( 。) j ，+ 。，( o ) x + 三y + 。) ( 2 - 2 7 ) 吣川w 1 一譬y + 吾，铷1 。 ( 2 - 2 8 ) 呢( 训) ：【，丢x + 孚y + 互1 ，一笪6x + 否1y + 誓 ( 2 劣) 暇( 训) = 隆一( 。) y + ( 。) 五( o ) x + 三y + o ) ( 2 - 3 0 ) 哈尔滨一i ：程大学硕十学付论文 _i i i i i 形 形 形 图2 1 0k o c h 曲线的生成 图2 1 1k o c h 雪花的生成过程 把e ( x ，y ) ，( x ，y ) ，( z ，y ) ，形( x ，y ) 组合起来就是k o c h 曲线了， 如图2 1 l 所示。用同样的方法，可以生成k o c h 雪花等等，科赫雪花是以等 边三角形三边生成的科赫曲线组成的。科赫雪花的面积是2 3 s 2 5 ，其中s 是原来三角形的边长。每条科赫曲线的长度是无限大，它是连续而无处可微 的曲线。 2 4 2s i e r p i n s k i 垫 下图展示了曲线如何逼近s i e r p i n s k i 型”1 。 1 6 哈尔滨i ：稗大学硕十学位论文 图2 1 2s i e r p i n s k i 垫的l - 系统生成过程 这条曲线以l 系统来记述为： 变数：a ，b 常数：+ ， 公理：a 规则： a b a b b a + b + a a ，b ：向前 ：左转6 0 0 + ：右转6 0 0 上图所示的s i e r p i n s k i 挚是通过l - 系统生成，另外介绍一种通过i f s 迭 代系统生成的方法。生成过程如图2 1 3 所示，这个过程就是不断地移走位于 原始三角中心位置的小的倒三角形的过程。这个过程会产生3 。个更小的三角 形，面积为( 3 4 ) 。，其中k 为迭代次数。每一级的三角形与上一级的三角形 1 7 哈尔滨l ：程人学硕+ 学位论文 的边长尺寸比例1 2 。最终的s i e r p i n s k i 三角包含无数个小三角，并且在任何 尺度上都保持自相似性。其迭代函数系统如下”“： w ( x ，y ) = w i ( x ，y ) u w 2 ( 暑y ) v w ，( x ，y ) ( 2 3 1 ) 咖) _ 鬏1 力 ，tc x ，= ；x + i 1 ，j 1 ，+ 孚c ：- s z ， 嵋c t ，； ；，一i 1 ，i 1 ，+ 孚 么名， 2 43s i e r p i n s k i 毯 图21 3 i f s 生成s i e r o i n s k i 垫的过程 s i e r p i n s k i 毯的生成过程如图2 1 4 所示，它是由一个正方形建立的，不断 地移走位于原始j 下方形中心位置的小正方形，这个过程和s i e r p i n s k i 三角的生 成过程相似。如果把每一个稍大的j 下方形分为9 个小的正方形，s i e r p i n s k i 毯 就产生8 。个正方形作为辐射单元，面积为f 8 9 ) ，其中k 为迭代次数。它的 尺寸缩减比例为1 3 。最终生成的s i e r p i n s k i 毯包含无数多个小正方形，其迭 代函数系统如下： w ( x , y ) = w 1 ( x ，y ) u w 2 ( z ，y ) u 心( x ，y ) u w 4 ( 五，) u 岵( z ，y ) uw 6 ( 五y ) u w t ( x ，y ) u 心( x ，y ) ( 2 - 3 3 ) 呈尘鎏：；垒查兰至圭兰堡鎏圣 ( x ，) = ；z ，j 1 ， ，t ( x ，) = ；x + j 1 ，j 1 一 咖) = 防圳 ，“( 量，) = ；一j 1 ，+ j 1 ( ：，。) 岵( 五，) = ；x + ；，j 1 ，+ j 1 咖) = 雕，+ 司 s 2 s 3 幽