（测试计量技术及仪器专业论文）基于小波自回归谱的刀具故障诊断研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 随着计算机技术的进步，机床正朝着无人操纵制造系统方向发展，自动 化加工系统的最基本要求就是加工系统能自动地对生产过程中所出现的故障 进行有效的在线监测和调整。加工刀具是机械加工过程中最基本的加工要素 之一，在加工过程中刀具的磨损必然会影响加工质量，提高加工成本，降低 生产率，甚至造成事故发生。因此，对刀具状态进行在线监测显得尤为重要， 其中最重要的和关键的问题就是刀具测试信号的特征提取。从某种意义上讲， 切削加工条件的多样性、切削参数的多变性、刀具破损及磨损的随机性和复 杂性等因素使得刀具的特征提取成为是刀具状态监测和故障诊断研究中的瓶 颈问题，这直接关系到刀具状态监测和故障诊断的准确性和可靠性，是刀具 状态监测和故障诊断成功与否的关键所在。 对于测试信号的分析方法有很多，小波分析对非平稳信号具有良好的时 频特性，对于非平稳信号分析十分有效。小波变换以不同的尺度来观察信号， 将信号分解到不同的频带中，既看到了信号的全貌，又看到了信号的细节， 能够准确地反映信号时间和频率之间的关系。自回归模型反映了系统的运行 状态，能够对系统的未来状态和趋势进行预测。 小波包分析在通频范围内得到分布在不同频带内的分解序列，信息量完 整无缺，具有对信号进行局部化分析的功能。自回归谱具有外推预报功能而 善于处理短数据，它的频率分辨率可以任意提高。本文结合小波包分析和自 回归谱的优势，提出一种刀具状态监测的新方法：小波包自回归谱( w p - a r ) 分析法，将其应用于刀具的状态监测中，对刀具状态信号进行深层次分析， 提取有效的特征量，并准确识别刀具的磨损状态。 关键词：刀具状态监测；小波包自回归谱分析；特征提取 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n o l o g y , w ea r en o w a p p l y i n gm o r e a n dm o r eu n m a n n e dm a n u f a c t u r i n gs y s t e m s t h em o s ti m p o r t a n tr e q u i r e m e n to f a na u t o m a t i cm a n u f a c t u r i n g s y s t e mi st h a tt h es y s t e mc a l la u t o m a t i c a l l yc a r r yo u t o n l i n e m o n i t o r i n ga n da d j u s t m e n tf o r t h eb r e a k d o w n sa p p e a r i n gd u r i n gt h e p r o d u c t i o np r o c e s s t o o li so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tf a c t o r si n t h em a c h i n i n g p r o c e s s t o o lw e a r c a na f f e c tt h eq u a l i t yo ft h ep r o d u c t ，i n c r e a s et h ec o s t ，r e d u c e t h ep r o d u c t i o nr a t e ，a n dc a u s et h ea c c i d e n t t h e r e f o r e ，t h eo n l i n em o n i t o r i n go f t o o ls e e m se s p e c i a l l yi m p o r t a n t a n dt h em o s ti m p o r t a n ta n dk e yp r o b l e mi st h e f e a t u r ee x t r a c t i o no ft h et e s ts i g n a lo ft h et 0 0 1 i nas e n s e , t h ef e a t u r ee x t r a c t i o no f t h et o o lc a nb ec o n s i d e r e da st h eb o t t l e n e c k p r o b l e mi nt h e r e s e a r c ho ft h e m o n i t o r i n g a n df a u l t d i a g n o s i s ，b e c a u s e o ft h e d i v e r s i t y o ft h e m a c h i n i n g c o n d i t i o n ，t h ev a r i e t yo ft h em a c h i n i n gp a r a m e t e r , t h er a n d o mp r o p e r t ya n d c o m p l e x i t yo ft h e w e a ra n dt e a re t c i t d i r e c t l y r e l a t e st ot h ea c c u r a c ya n d c r e d i b i l i t yo ft h et o o lw e a l s t a t em o n i t o r i n g a n df a u l td i a g n o s i s ，a n di st h ek e yo f t h es u c c e s so ft h em o n i t o r i n ga n df a u l td i a g n o s i s p r o c e s s w a v e l e ta n a l y s i sh a st h eg o o dt i m e - f r e q u e n c yp r o p e r t yf o rt h et r e a t m e n to f t h en o n s t a t i o n a r ys i g n a l w a v e l e tt r a n s f o r mo b s e r v e st h es i g n a lw i t ht h ed i f f e r e n t d i m e n s i o n s ，a n dd e c o m p o s e st h es i g n a li n t od i f f e r e n tf r e q u e n c yb a n d t h r o u g h t h i s ，t h eg e n e r a lv i e wa sw e l la st h ed e t a i l so ft h es i g n a lc a nb er e v e a l e d s ot h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h et i m ea n df r e q u e n c yo ft h e s i g n a l c a l lb e a c c u r a t e l y r e f l e c t e d a u t o r e g r e s s i v e m o d e lc a r lr e f l e c tt h er u n n i n gs t a t eo ft h es y s t e ma n dc a n a l s of o r e c a s tt h ef u t u r es t a t ea n dt r e n do ft h es y s t e m w a v e l e tp a c k e ta n a l y s i sc a r l g e td e c o m p o s a b l es e q u e n c ed i s t r i b u t i n gi nt h e d i f f e r e n tf r e q u e n c yb a n d t h m u g h t h e p a s sf r e q u e n c y b a n d ，a n dt h ei n f o r m a t i o ni s i n t a c t s ot h ew a v e l e tp a c k e ta n a l y s i sh a sal o c a l i z e da n a l y s i sf u n c t i o nf o rt h e s i g n a l a u t o r e g r e s s i v es p e c t r u mh a st h ef u n c t i o no fe x t r a p o l a t i o nf o r e c a s ta n di s g o o da th a n d l i n gs h o r td a t a i t s r e s o l u t i o np o w e ro ff r e q u e n c yc a nb er a i s e d 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i i 页 a r b i t r a r i l y t h i sp a p e rc o m b i n e st h ea d v a n t a g e so fw a v e l e tp a c k e ta n a l y s i sa n d a u t o r e g r e s s i v es p e c t r u mt op u tf o r w a r dt h ew a v e l e tp a c k e ta n da u t o r e g r e s s i v e s p e c t r u ma n a l y s i st e c h n i q u e ( w p - a r ) ，w h i c hc a nb ea p p l i e dt om o n i t o rt o o l s t a t e s t h ew p a rt e c h n i q u ec a nc a r r yo u tt h o r o u g ha n a l y s i so fw e a rs t a t e ， e x t r a c te f f e c t i v e s i g n a lf e a t u r e s ，a n da c c u r a t e l yr e c o g n i z et o o lw e a rs t a t e s k e yw o r d s ：t o o ls t a t em o n i t o r i n g ；w a v e l e tp a c k e ta n da u t o r e g r e s s i v es p e c t r u m a n a l y s i s ；f e a t u r ee x t r a c t i o n 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第一章绪论 1 1 刀具状态监测的研究意义和研究内容 1 1 1 刀具状态监测的发展 随着生产自动化程度的提高以及计算机技术的进步，机床正朝着无人操 纵制造系统等方向发展，而自动化加工系统的最基本要求就是加工系统能自 动地对生产过程中所出现的故障进行有效的在线监测和调整。加工刀具作为 机械加工过程中最基本的m i 要素，由于切削加工条件的多样性，切削参数 的多变性，刀具破损及磨损的随机性和复杂性等因素使得刀具的工况监测成 为整个生产过程监测的重要环节。另外，加工过程中刀具磨损、崩刃等故障 时常导致加工过程中断，直接影响产品质量和生产效率，甚至造成重大停机 事故。因此刀具工况的在线动态监测及其实时分析是实现机械自动化加工和 高精密加工的重要保证”“3 1 。 刀具的状态监测技术发展一直很缓慢，直到频谱分析应用于刀具的状态 监测，国内外的工作者在刀具工况监测方面做了大量的研究工作”5 1 “。日本 牧野公司通过主轴负载电流监控器对切削过程的刀具磨损进行实时监测；美 国麻省理工学院利用监测原子放射性的方法进行诊断和监测刀具的磨损情 况；我国清华大学利用固体材料在发生变形、断裂和相变时迅速释放变能而 产生的声发射信号进行刀具监测；北京理工大学利用切削振动混合谱分析进 行刀具的状态监测。由于各种传感技术的发展，使得监测可以利用振动、噪 声、温度、力、光等多种信号，同时模式识别技术、模糊数学、灰色理论等 新的数学处理工具在刀具监测中得以应用，从而大大地促进了刀具工况监测 技术的发展。 1 1 2 刀具状态监测的方法 如何对刀具切削状态进行实时监控、如何合理指定刀具的耐用度、如何 避免过渡的刀具磨损，是多年在一直进行的课题”4 ”。刀具的磨损和破损是 指其切削刃部在切削中发生损耗而造成刀刃不再锋利的现象。刀具磨损是一 个逐步发生的过程，该过程比较缓慢，伴随着切削过程中刀具磨损的出现会 引起一系列的连锁反应：切削力增大、切削功耗增加；发生强烈振动或不正 常的声响、切削温度升高、切屑颜色和形状发生变化；工件尺寸超差，表面 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 粗糙度上升等等。其后果必然是影响加工质量，提高加工成本，降低生产率， 严重的甚至造成事故“。 自上世纪4 0 年代开始，对刀具状态的监测技术研究就已经开展起来了， 近年来，国内的研究也逐渐增多。针对不同的加工过程及刀具切削状态，相 应地出现了许多不同种类的监测方法，主要分为直接法和间接法： 直接法是通过一定的测量手段来确定刀具材料在质量上的减少或形状上 的改变，如监测刀具的切削刃是否磨损或检测刀具切削刃位置的变化，并通 过一定的数学模型来确定刀具的磨损状态。主要的方法有光学扫描法、接触 电阻测量法和计算机图像处理法等。如h t a k e y a m a 等人提出了电子千分尺 直接测量刀具磨损的方法“；w i l k i n s o n 教授和u e h a r a 教授利用刀具与工件 问的接触电阻进行观测“。但是，由于直接法需要直接检测刀刃的形状、位 移等参量，一般只能在不切削时进行，只能进行离线监测。 间接法则是测量切削过程中与刀具磨损或破损有较强内在联系的某一种 或者几种参数，或测量某种物理现象，根据其变化并通过定的标定关系来 检测刀具的磨损或破损状态。间接法能够在刀具运行时进行，不影响刀具切 削加工过程，目前，国内外采用的间接法主要有：切削力监测法、振动监测 法、声发射监测法、机械功率监测法以及多信息融合监测“”。如i t a n s e l “” 等人利用a e 信号来监测刀具磨损；文献 1 5 1 6 1 7 用声发射信号建立一个 综合刀具监测系统；文献 1 8 采用力信号进行破损研究：p a nf u “”同时采用 a e 信号、力信号、振动信号的多特征融合技术，较好地实现了刀具磨损量的 自动分级；c l o l w e l l 啪1 等人对切削力监测上进行了深入的研究。目前应用最多 的是力信号、振动信号和声发射信号，其关键技术是如何剔除监测中各种干 扰的影响。 对于测试信号的选取要考虑以下两个问题：一是信号的测取应当方便易 行，节约成本；二是信号能够充分反映刀具的磨损状态。“。切削力是切削过 程中与刀具磨损破损状态十分密切的物理量，但是力传感器价格比较昂贵， 在安装时往往要对机床结构加以改动，十分不便，切削力受到切削条件变化 等因素的影响，较难与刀具磨损破损性质分开使得设置监测阀值非常困难； 声发射信号监测的优势在于它避开了切剀过程中振动和音频噪声污染严重的 低频区。但是声发射监测系统对设备要求较高，成本较高，传感器安装困难， 在实际中应用的范围很有限：振动信号中包含刀具磨损破损的信息，敏感度 较高，而且，振动信号监测系统的成本较低，传感器安装方便，信号易于测 试，测试仪器简单，因此在实际的工程应用中，振动信号使用十分普遍”4 ”。 故本文选取刀具振动信号进行分析。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 1 1 3 刀具状态监测的内容 刀具状态监测的最根本任务是通过测取刀具运行的信号来识别刀具的运 行状态。刀具状态监测的基本过程如图1 1 所示，可以看出刀具状态监测 的过程主要有以下j l 个方面。“： 设备干预( 诊断、调整、控制) 图1 1 刀具状态监测过程框图 川具 运行状态 ( 1 ) 诊断信号获取：刀具运行的切削状态信号是反映刀具运行状态信 息的唯一载体，其获取主要是依靠传感器或其他检测手段进行。 ( 2 ) 特征提取：特征提取是指从检测信号中提取最能反映刀具状态信息 的特征数据。刀具工况检测在切削过程中受到许多因素的干扰，有用的刀具 状态信息常常被淹没。工况监测系统检测到的信号是被各种噪声污染的信号， 无法直接用于刀具磨损、破损的监测，必须经过适当的处理，从中提取出反 映刀具工况的特征数据，提取的特征数据品质好坏将直接影响整个刀具工况 监测系统的性能和可靠性。与刀具状态有关的特征量很多，但没有必要全部 考虑，在实际生产中，各个特征量对刀具状态变化敏感程度不同，应当选择 易于检测并且敏感性强的特征量。 ( 3 ) 状态识别：对特征量加以处理，构成判别准则，对刀具的运行状态 进行分析，根据分析正确地做出决策。 1 1 4 刀具状态监测的意义 随着制造业的发展，为最大限度提高切削加工自动化水平，切削加工系 统正在全面迅速地朝着连续化、高速化、精度化、自动化方向发展，从而， 切削加工系统本身的性能指标变得越来越高。这一方面提高了切削过程的柔 性和加工精度，增加了切削加工的自动化程度，大大地减少了人为对切削过 程的直接干预；但另一方面若切削加工系统对刀具切削状态不能自动识别和 监测，则切削加工过程就无稳定可言。因此，为确保切削加工安全有效地运 行，提高机床可靠性和安全运转率，就必须对刀具进行监测。刀具工况监测 的意义体现在以下几个方面： 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 1 降低刀具的事故发生率，保证切削加工安全高效进行。一旦发生故障 而停产，其造成的经济损失巨大； 2 促进刀具运行预知维护的发展，它避免了类似失修造成的故障，也可 防止过剩维护造成的浪费，能够显著地提高刀具的利用效率，是一种理想的 刀具运行维护方式。 3 提高切削加工的质量，刀具工况监测技术的另一个重要目的是实时保 证被加工零件的加工质量，降低加工过程中的次品和废品率，提高已加工表 面的加工精度和表面质量。因此刀具状态监测技术的应用蕴含着巨大的经济 效益。 1 2 本论文的研究内容和结构 1 ，2 1 刀具状态监测中的关键问题 刀具状态监测技术中最根本任务是通过测取刀具运行的信号来识别刀具 的运行状态。在刀具工况运行过程中，主要过程主要分为：诊断信息获取， 运行：状态特征提取，状态识别和故障诊断。其中最重要和关键的问题之一就 是特征信号的特征提取。从某种意义上讲，特征提取是刀具状态监测和故障 诊断研究中的瓶颈问题，它直接关系到刀具状态监测和故障诊断的准确性和 故障预报的可靠性，是系统状态监测和故障诊断成功与否的关键所在。本文 的主要工作就是根据对测取的刀具信号进行分析，提取能够准确反映刀具运 行状态的特征量，并对刀具运行状态进行准确的识别。 1 2 2 国内外研究现状 信号分析与处理是进行特征提取的核心技术，在信号处理中，最重要的 也是最基本的两个变量就是时间和频率，信号的时间和频率的表达是信号分 析的关键。对于大多数的确定性信号和平稳的随机信号，经典的傅里叶变换 能够快速而有效的进行分析，是进行信号分析和处理最行之有效的工具。但 是刀具的状态信号大多是非平稳的，而以傅里叶变换为代表的传统的信号分 析方法要么完全在时域，要么完全在频域，无法表述信号的时频特性，因此 人们对傅里叶变换进行推广，提出了一系列信号时频分析的方法，如短时傅 里叶变换、o a b o r 变换、小波变换等。随着新技术、新理论的应用，国内外 学者在信号的分析、特征提取等方面进行了广泛而深入的研究。i s s a m ”“等人 提取振动信号的时域均值、方差和小波系数均值，最大小波熵谱峰值特征作 为特征量；文献 2 6 利用自适应小波分析提取振动信号生成特征：文献 2 7 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 对振动信号进行分解和重构处理，获得振动信号在不同频段的重构分量，提 取高频段重构分量的功率谱的频域统计量以及特征频段内重构分量的局部极 大模线对应的平均l i p s c h i t z 指数作为刀具状态特征；王太勇。“2 9 3 等人对声 振信号的时频统计参数分析、相关分析、a r 分析及频谱、相关和a r 等特 征参数有机结合的多极判断模式；文献 3 0 l 研究了多种小波在刀具状态监测 中的特征提取；w a n gz h o n g m i n ”等人运用小波包频带技术提取刀具状态信 号深层次的特征量；文献 3 2 利用改进自适应小波进行特征提取；吴学忠o ” 等用振动信号的双谱估计法监测刀具状态；杨叔子，吴雅。”等用自回归谱的 峰值因素作为刀具监测的特征；王江萍”等提取刀具振动信号的频谱参数、 自回归模型参数和残差方差作为刀具状态特征，对刀具进行运行状态的识别。 1 2 3 本文研究的内容和结构 信号分析技术是刀具状态监测中的核心技术，信号分析方法有多种。小 波分析对非平稳的信号具有良好的时频特性，在所谓的时间一尺度平面上反 映非平稳信号于时间t 时刻位于分解频带中的幅值或能量，小波变换以不同 的尺度来观察信号，将信号分解到不同的频带中，即看到了信号的全貌，又 看到了信号的细节。小波分析能够准确的反映信号时间和频率之间的关系， 对于非平稳的信号分析十分有效。自回归模型是对响应系统的一种数学描述， 它反映了系统的运行状态一方面可基于自回归模型对系统进行动态分析， 另一方面还可基于自回归模型对系统的未来状态和趋势进行预测与控制，特 别是对监测的系统运行状态中建立的数学模型。 本文提出了刀具磨损监测的一种新的方法：小波包自回归谱( w p a r ) 技术。小波包技术能够把任何信号映射到一个由小波伸缩而成的一组基函数 上，信息量完整无缺，在通频范围内得到分布在不同频带内的分解序列，具 有对信号进行局部化分析的功能。自回归谱是由自回归模型预测值导出的， 特别适合短数据的分析与处理，它的谱峰尖锐，频率定位准确、清晰，不要 求严格按周期抽样，时序长度也无需满足2 的整数次幂。小波包自回归谱技 术结合了两者的优势，可以广泛的适用于信号的分析与处理中，特别是对于 刀具振动信号的特征提取与状态识别，有良好的效果。 论文从刀具的状态监测出发，分析了刀具的状态监测方法以及刀具监测 过程中的振动信号，对刀具振动信号的特征提取进行深入的研究，实现了对 刀具磨损状态监测。本文所研究的主要内容包括：第二章介绍小波分析理论， 运用傅里叶变换和小波分析技术对刀具振动信号进行分析；第三章运用自回 归谱的直接法分析刀具磨损状态；第四章结合两者的优势，提出了小波包自 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 回归潜分析方法，在刀具的实例分析中，能够有效地提取出刀具运行状态中 的特征量，并对刀具运行的状态进行识别。 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 第二章基于小波变换的刀具状态特征分析 在信号处理中，最重要的也是最基本的两个变量就是时间和频率，信号 的时问和频率的表达是信号分析的关键。对于大多数的确定性信号和平稳的 随机信号，经典的傅里叶变换能够快速而有效的进行分析，是进行信号分析 和处理最行之有效的工具。但是在实际的工程应用中，所研究对象运行的不 稳定，载荷的变化以及许多故障产生的冲击和摩擦，导致非平稳和非线性的 产生，所以实际测取的信号都是非平稳的随机信号。而傅里叶变换为代表的 传统的信号分析方法要么完全在时域，要么完全在频域，无法表述信号的时 频特性，因此人们对傅里叶变换进行推广，提出了一系列信号时频分析的方 法，如短时傅里叶变换、g a h o r 变换、小波变换等。其中小波变换是一种信 号的时间一尺度( 时间频率) 分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而 且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变， 但其形状、时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。小波变换在 低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高 的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合对非平稳的信号进行分析与处理， 所以被誉为分析信号的显微镜。4 “。在近2 0 年来，小波变换已被科学家和工 程师们证明了是处理工程信号的良好工具。 2 1 小波变换的发展 任何理论的提出与发展都有一个漫长的过程，小波变换也不例外。其发 展过程可以大致归纳如下n ： 1 9 3 0 年以前：1 8 0 7 年，j o s e p hf o u r i e r 提出频谱分析理论，之后人们又 从频谱分析慢慢转向尺度分析。a h a a r 在1 9 0 9 年的论文附录中第一次提到 “小波”，h a a r 小波的一个特点是它是紧支的，但不是连续可微的，这一点 从某种程度上阻碍了它的应用。 2 0 世纪3 0 年代：物理学家p a u ll e v y 在研究布朗运动时发现，变尺度的 h a a r 基函数要优于f o u r i e r 基函数。l i t t l e w o o d ，p a l e y 和s t e i n 在研究函数能 量时发现一种函数，可以随着尺度而变化，计算能量时可以维持能量不变。 1 9 6 0 到1 9 8 0 年：在这期间，数学家g u i d ow e i s s 和r o n a l dr c o i f m a n 对 函数空间的最简单的元素进行了研究。g r o s s m a n 和m o r l e t 发展了连续小波 变换的几何体系。 1 9 8 0 年之后：1 9 8 5 年，s m a l l a t 对小波的发展起到了很大的推动作用， 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 他发现二次镜象滤波、金字塔算法和正交小波基之间存在密切的关系。 y o m e y e r 构造了一种具有一定衰减性的光滑函数，其二进伸缩与平移构成 l 2 ( r ) 空间的规范正交基。i d a u b e c h i e s 在m a l l a t 工作基础上，构造了一系列 的小波正交基函数，成为当今小波应用的基础。 2 2 小波变换基本理论 2 2 1 从f o u r i e r 变换到小波变换 1 f o u r i e r 变换 一般来说，傅里叶变换通常是指傅里叶级数和傅里叶变换两种分析技 术，它们分别用于对周期性信号和非周期性连续信号作频谱分析。 ( 1 ) 傅里叶级数 考虑定义在( o ，2n ) 上的满足如下条件的可测函数或周期性信号，“) r 1 2 d x c 伸 ( 2 - 1 ) 这种函数的全体构成的集合，按照2 范数生成的函数空间为三2 ( o ，纫) 。由傅 里叶变换知：l 2 ( o ，纫) 中任何一个信号，( f ) 都具有一个傅里叶级数表达式 ，( f ) 一罗c 。e 加 ( 2 2 ) 禺 其中，级数的系数c n 定义为c - - - 扣f ( t ) e - j * d t ，称之为厂( f ) 的傅里叶系数。 傅罩叶级数作为数值等式，在函数或者信号的连续点上是成立的。这对于平 常的数值计算来说，除极少数例外，已经完全能够满足应用的需要。 函数的傅里叶变换系数序列 c 。；再z 和原来的函数，( f ) 之间有完全对 等的关系，从范数的定义出发，得到著名的p a r s e v e l 恒等式 # l 衙d t = 萤盯i 协s ， 因此，傅里叶级数方法为周期信号的分析提供了一种简明的工具，即频谱 分析。另外，傅里叶级数据袁达式在理论上给出函数空间2 ( 0 ，劢) 的一个堪 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 称经典的表达，即仅凭一个函数g ( f ) 就可以生成整个空间已2 ( 0 ，研) ，而且 可以将空间( 0 ，抚) 等同于序列空间 f 2 ( z ，2 卜膨) ；墨川2c + 叶 c z 一4 ， 即前述由函数g o ) 经过膨胀生成的基将函数空i 自j l 2 ( 0 ，新) “序列化”了。 ( 2 ) 傅里叶变换 对于空间l 2 ( r ) 中的任何函数f ( t ) ，它的傅里叶变换定义是 f ( 棚) = 正+ 。，v 尸- j t o t d f ( 2 5 ) 这时，傅里时变换的逆变换是 ，( r ) ；扣 ) e j o “d m ( 2 - 6 ) 直观地看，函数e “好像是空间r 僻) 的基，而且，当频率。取整数；n 时， 它就变成了傅里叶级数中的基函数e ”，因此，可以把g 胁看作函数8 ”按频 率意义的连续形式，而e 埘则是函数e 皿的整数离散形式。但是，这两者显然 有很大差异。首先，函数空间l 2 ) 和2 ( o ，2 力是完全不同的，其次，因为 上2 泣) 中的每个函数在无穷远处必须“衰减”到零，所以，e 一不在信号空间 三2 俾) 中，特别是各种整数频率的“波”g 。( f ) - e ”肯定不在l 2 僻) 中。因此， 虽然# 肌；n z j 构成2 ( o ，幼) 的正交基，但是，无论如何p 胁也无法生成 2 僻) 的正交基。 ( 3 ) 傅里叶分析在故障诊断中的应用 傅里叶变换主要针对平稳的测试信号，它是用平稳的正弦波作为基函数 去分解信号，这一变换建立了一个从时域到频域的通道，如果测试信号是平 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 稳的，则傅里叶变化能得到较好的结果，虽然多数的设备运行数据都为动态 的信号，在非平稳不太严重时，傅里叶变化也能得出较理想的结果。下面是 一些常见的故障诊断分析量： 峰值： f = m a x l f ( t ) i ( 2 7 ) 平均幅值： 多，一知心) 陋 ( 2 8 ) 均方根幅值： k = 辱弦斑 阽渺酬；m ) 偏度( 偏斜度指标) ： n 3 一e ：p ( t ) d t 峭度： 妒e 4 p t ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 式中t 为采样时间，p f ) 为，( f ) 的概率密度函数。 对上述几个指标作一些说明： 利用系统中某些特征点的响应函数的均方根幅值作为故障诊断 的判断依据是最简单，最常用的一种方法。 对于波形较为复杂的振动信号，常常采用峰一峰值( 双振幅) ， 即最大幅值与相邻的最低谷值之间的幅值作为振动大小的特征量。 在某些多信号源的情况下，还可利用一些无量纲示性指标进行 故障振诊断和趋势分析：波形因数k _ f r m s ，脉冲因数，毒，峰值因 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 ff 数c t 二，裕度因数三= 二 ? 。 2 短时傅里叶变换 短时傅里叶变换( s t f r ) 是最早和最常用的一种时频分析方法，是傅里 叶变换的自然推广。为使变换具有时域局部性，它先将时间信号加时间窗， 然后将时间窗滑动做傅里叶变换，就得到信号的时变谱或短时谱。因此，短 时傅里叶变换是用时间窗的一段信号来表示它在某个时刻的特性。显然，窗 越宽，时间分辨率越差，但为提高时间分辨率而缩短窗宽时，又会降低频率 分辨率。这样，短时傅里叶不能同时兼顾时间分辨率和频率分辨率。 设g ( t ) e l 2 ( r ) 而且恻i ：一0 ，如果 e 皓盯d t t + m ( 2 1 3 ) 则称g ) 是一个窗函数，而g o ) 的中心e 乜) 和半径( g ) 的定义分别是 一f + 。t l g 雠( e t ) r d t ( 2 1 4 ) 和 衄= 。( t - e ( g ) ) 2 g ( 砸t ) 1 2 d t 1： ( 2 1 5 ) 而数值2 a ( g ) 称为窗函数占( ，) 的宽度，简称为窗宽。 如果窗函数g ( ) 的傅里叶变换g 沏) 也满足窗函数的条件并引入记号 c p ，甜，町) = e - j a ( , 7 - 。) g ( 卵一) ( 2 1 6 ) 那么，对任何固定的b 和u ，c ( b ，弩) 作为习的函数是中心为晖( g ) + ) 且 半径为( g ) 的一个频域窗口函数。由傅里叶变换的p a r s e v a l 恒等式可得 1 c ，p ，) ；，c p ，f ) = 亡f ，c p ，f ) ( 2 1 7 ) 当窗口函数的时域中心和频域中心都在原点时，时频窗的中心f 好就是 参数对o ，0 3 ) 。这时，窗口傅里叶变换c ，p ，m ) 就真正给出了信号在时间点 t - b 附近和在频率点r = 附近而且时一频窗为 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 b 一( 占) ，b + ( g ) i x p 一( g ) ，+ a ( a ) 】 ( 2 - 1 8 ) 这是称窗口傅里叶变换为时一频分析方法的原因之所在。对于窗口傅里叶变换 的时一频分析能力，用时一频窗的面积4 a ( g ) a ( a ) 来衡量，在时频窗的形状固 定不变时，窗口面积越小，说明它的时一频局部化的描述能力就越强，相反的， 窗口面积越大，说明它的时频局部化的描述能力就越差。 根据h e i s e n b e r g 测不准原理；如果g ( o 及其傅里叶变换g ) 同时满足窗 函数的要求，那么 a ( g ) ( g ) 2 = 1 ( 2 1 9 ) 海森伯格测不准原理说明了一个基本事实“”，即g a b o r 变换是具有最小 时频窗的窗口傅里叶变换，当然，这里还没有考虑时一频窗窗口形状的变化 与信号时一频分析的需要之间的关系。进一步的研究发现，短时傅里叶变换没 有离散正交基，这决定了它在进行数值计算时没有类似于h 可那样有效的快 速算法，使其应用受到必然的限制；另一方面，当窗口函数选定后，时频窗 的窗口形状是固定的，它不能随着所欲分析的信号成分是高频信息或低频信 息而相应变化，而非平稳信号都包含丰富的频率成分，所以，它们对非平稳 信号的分析能力是很有限的。 2 2 2 连续小波 小波是函数空间l 2 ( r ) 中满足下述条件的一个函数或者信号妒( f ) c ，哏哗 协z o ， 这里，r = r 一 o 表示非零实数的全体。有时，1 ；f ( t ) 也称为“小波母函数”， 前述条件也称为“容许条件”。对小波母函数作伸缩和平移变换，设伸缩因子 为a ，平移因子为b ，a ，b r ，且a 0 ，则可得函数族 妒。8 ) 1 a l 。1 ”妒( 上兰) ( 2 ，2 1 ) “ 称妒。( f ) 为分析小波，或者连续小波，简称为小波。所谓小波，“小”指其 具有衰减性，“波”指其波动性，具有振幅正负相间的振荡形式。 对于任意的函数或者信号，o ) ，其小波变换定义为 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 啊( a 6 ) 2 上r ( f 万神( 。m4 丽1 正，o 万 手渺 ( 2 _ 2 2 ) 因此，对任意的函数，o ) ，它的小波变换是一个二元函数，这是小波变 换和傅里叶变换很不相同的地方。另外，因为小波母函数妒o ) 只有在原点的 附近才会有明显偏离水平轴的波动，在远离原点的地方函数值将迅速衰减为 零，所以，对于任意的伸缩因子a 和平移因子b ，小波函数妒。( r ) 在t = b 的 附近存在明显的波动，远离t = b 的地方将迅速地衰减到0 。因而，函数的小 波变换伟00 ，6 ) 数值表明的本质是原来的函数或者信号，o ) 在t = b 点附近按 妒。( f ) 进行加权的平均，体现的是以妒。( f ) 为标准快慢的，o ) 的变化情况， 这样，参数b 表示分析的时间中心或时间点，而参数a 体现的是以t = b 为中 心的附近范围的大小。一般称参数a 为尺度参数，而参数b 为时间中心参数。 设小波函数妒( f ) 及其傅里叶变换v ) 都满足窗口函数的要求，它们的 中心和窗宽分别记为目印) 和缈) 与e ( v ) 和a ( ) ，容易验证，对任意的参 数a 和b ，连续小波妒一k r 2 妒( 兰) 及其傅里叶变换 。赤序( 等“出丽a e 巾嘲删 ( 2 _ 2 3 ) 因此，连续小波妒。o ) 的时窗是 6 + 4 占 ) 一缈) b + 口e 似) + h ) ( 2 2 4 ) 频窗是 产一臀，挈+ 眢】 沼z s ， i 口 k i 口。j 口i i 。 由此可见，连续小波妒。( f ) 的时- 频窗是时- 频平面上一个可变的矩形 时频窗的面积是 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 2 川x 眢砒( 哪( 2 - 2 6 ) 它只与小波母函数妒( f ) 有关而与参数a 和b 毫无关系，但是，时- 频窗口的形 状随着参数a 而变化，这是与短时傅里叶变换和g a b o r 变换完全不同的时 频分析特性。具体地说，对于较小的a o ，这时，时间域的窗宽k ) 随着 a 一起变小，时窗陆一l a b ) ，6 + h a ) 变窄，主频( 中心频率) 兰掣变高， “ 检测到的主要是信号的高频成分，由于高频成分在时间域的特点是变化迅速， 因此，为了准确检测到时域中某点处的高频成分，只能利用该点附近很小范 围内的观察数据，这必然要求在该点的时间窗比较小，小波变换正好具备这 样的自适应性；反过来，对于较大的a o ，这时，时间域的窗宽( 妒) 随着 a 一起变大，时窗陆一| 口i ) ，6 + k | ) 】变宽，主频( 中心频率) 兰盟变低， “ 检测到的主要是信号的低频成分，由于低频成分在时间域的特点是变化缓慢， 因此，为了完整地检测在时域中某点处的低频成分，必须利用该点附近较大 范围内的观察数据，这必然要求在该点的时间窗比较大，小波变换也恰好具 备这种自适应性。这是小波变换作为时频分析方法的独到之处，也称为小波 变换的变焦性。图2 - 1 显示了采用不同的分析方法时所对应的时频窗。 f o 图2 1 短时傅里叶交换时一频窗与小波变换时频窗的对比 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 2 2 3 正交小波 在实际应用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化“。 需要强调指出的是这种离散化都是针对连续的伸缩因子a 和平移因子b ，而 不是针对时间变量t 的，这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。 将连续小波妒。 ( f ) 伸缩因子a 进行离散化为序列t a f = 2 一。；j z ，这时， 连续小波函数变为二进小波函数妒一o ) ，对应的频带是 【27 口( 研一矗( 掣) ) ，2 仁( 柳+ a ( 耳，) ) ( 2 2 7 ) 显然，对一般的二进小波妒o ) ，这种划分虽然比连续小波的划分从数目上减 少了许多，但仍然还有大量的重复，只有在二进小波妒( f ) 的傅里叶变换v ) 作为频窗函数满足 e ( 1 王) = 3 a ( w ) ( 2 - 2 8 ) 时，频域的二进频带划分 ( o ，+ a 。) f = ) 2 川a ( o a ) ，2 卜：( v ) ( 2 2 9 ) j - 。 才是没有重叠的。这是一种真正的二进划分，相应的分析就是二进小波分析。 2 2 4 多分辨率分析 多分辨率分析概念。1 是由s m a l l a t 和y m e y e r 于1 9 8 6 年提出的，它可将 在此之前所有正交小波基的构造统一起来，使小波理论产生了突破性进展。 同时，在多分辨率分析理论基础上，s m a l l a t 给出了快速二进小波变换算法， 称为m a l l a t 算法，这一算法在小波分析中的地位很重要，相当于快速傅里叶 算法( f f t ) 在经典傅里叶分析中的地位。 分辨率取决定于信号所包含的频率范围的大小，即滤波器的带宽。宽带 滤波后的信号的分辨率高于窄带滤波后的信号的分辨率，高分辨率的信号中 包含有低分辨率信号。信号的分辨率越高，逼近原信号的程度越高。将信号 逐次从高分辨率变为低分辨率，称为多分辨率分析。 多分辨率分析的实质是满足一定条件的上2 僻) 中的一系列子空间，其条 件如下： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 6 页 单调性：= _ 1 ，对任意j z 渐近完全性：u r 僻) ， j - 一。 t $ n f t ：对任意j e z ，f ( t ) e v j 一 ( 2 0 e v j 。 平移不变性：，( f ) j ，0 2 k ) c v j ，k z ； 正交基：存在函数，使得知扛一k ) l k e z 构成k 的一组正交基。 2 2 5m aj j e t 算法 m a l l e t 算法即为正交小波变换的快速算法，m a l l e t 算法在小波分析中的 地位相当于快速傅里叶变换算法在经典傅里叶分析中的地位。 对于任意信号f ( t ) e l 2 ( r ) ，记。卅和d 卅分别为，( f ) 的尺度系数和小波 系数，则 c 1 ，e 2 上，o ) 妒m ( t ) d t ，d j ，女2 f 月f ( t ) 7 i ，t ( t ) d t ( 2 - 3 0 ) 同时，将，( f ) 在闭子空间和上的正交投影分别记为f j ( f ) 和g ，( f ) ，这样 f j ( t ) 。t 邑。， 伊j ( f ) ( 2 3 1 ) 和 g i ( t ) 。荟蛐肚( ) 2 。3 2 其中，妒m o ) = 2 i 2 妒( 2 t - k ) ，妒似( r ) = 2 1 1 2 妒( 2 t 一女) 。根据空间f 交直和 v j e z ，+ 。；o ，可得 + 1 ( f ) 一，( r ) + gj ( r ) ( 2 3 3 ) 信号的