（基础数学专业论文）数值域非端点的特征及相关问题的研究.pdf

y6 1 0 1 27 数值域非端点的特征及相关问题的研究 剥、秀红 摘要自0 t o e p l i t z 在1 9 1 8 年提出了一个复矩阵的数值域的概念和f h a u s d o r f f 在1 9 1 9 年证明了复矩阵是凸集以来，有关数值域的几何性质的研究 ( 7 】 2 2 3 0 】 6 】 2 1 】) 变得非常活跃这些研究涉及到了基础数学及应用数学许多不同 分支，如泛函分析，系统论，量子物理等等，并且在这些分支上得到了广泛的应 用随着数值域的发展，各种广义数值域也相继出现，象联合( j o i n t ) 数值域( 【1 】) ， c 一数值域( 2 0 】 5 ) ，极大数值域( 4 】 8 】) ，本性数值域，和本性极大数值域 1 9 9 8 年l a n g e 和t r e t t e r 在研究算子矩阵的谱理论的过程中提出了二次数值域的概念 ( 1 1 ) ，在2 0 0 1 年，l a n g e ，m a r k u s ，m a t s a e v 和n e t t e r 在 1 0 】中对二次数值域的基 本性质进行了初步的研究，同年还研究了数值域和二次数值域的角点( 1 2 d ，使得 人们对于二次数值域有了一个进一步的了解我们都知道h i l b e r t 空间上的正交 投影和h i l b e r t 空间的闭子空间是一一对应的对于h i l b e r t 空间上的任意两个算 子a ，b ，【1 9 】中证明了r ( a ) + r ( b ) = r ( ( a a + + b b + ) ) 【2 4 】给出了正则投影对的 概念并且【12 给出了正则投影对的刻画本文就数值域的非端点，n 次数值域 和正交投影对等问题进行了研究，主要内容如下： 第一章作为本文的预备知识，我们介绍了该文中所用的符号，概念和基本定 理 本文在第二章第二节研究了数值域非端点的特征如果我们知道了一个集合 的端点，就可以刻画这个集合相反的如果我们知道了这个集合的非端点的特征， 我们也就研究清楚了这个集合本文就是从数值域的非端点这个角度来研究数值 域的性质 在第三节里，我们研究了一种广义数值域；n 次数值域n 次数值域作为数值 域的一个推广，其最重要的性质是能够更好的估计出一个算子的谱的位置特征 我们研究了紧算子t 的谱与其n 次数值域的关系，并且得到n 面磊j 丽：a ( t ) d n 仉 n 兰1 在本文第三章里，我们研究了正交投影对( p j0 ) 的和，差和积的一些性质，同 时我们给出了正交投影对( p 0 ) 是f r e d h o l m 的刻画并研究了交换子a ：p 0 0 p 的谱和范数等一些基本性质 关键词：数值域端点n 次数值域正交投影正则对 ac h a r a c t e r i z a t i o no fn o n e x t r e m ep o i n t so fn u m e r i c a lr a n g e s a n dr e s e a r c h e so nr e l a t i v ep r o b l e m s x i u h o n g s u n a b s t r a c ti n1 9 1 8o t o e p l i t zg a v ean e wc o n c e p t so i lc o m p l e xm a t r i x ：n u m e r i c a l r a n g ea n di n 1 9 1 9f h a u s d o r f fp r o v e dt h a tt h en u m e r i c a lr a n g eo fac o m p l e xm a t r i x i sc o n v e x a f t e rt h a t ，t h er e s e a r c h e so nt h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fn u m e r i c a lr a n g e ( 【2 1 】 3 0 2 2 6 】 2 1 】) b e c o m ea c t i v e t h es u b j e c t i sr e l a t e da n dh a sa p p l i c a t i o n st om a n y d i f f e r e n tb r a n c h e so fp u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c ss u c ha sf u n c t i o n a la n a l y s i s s y s t e m t h e o r y , q u a n t u mp h y s i c sa n ds oo n ， a sar e s u l to ft h ed e v e l o p m e n to fn u m e r i c a lr a n g e ，v a r i o u sg e n e l i z e dn u m e r i c a l r a n g e ， s u c ha sj o i n tn u m e r i c a lr a n g e ，c n u m e i c a lr a n g e ，m a x i m a ln u m e r i c a lr a n g e ，e s s e n t i a ln u - m e r i c a lr a n g ea n de s s e n t i a lm a x i m a ln u m e r i c a lr a n g eh a v eb e e ns t u d i e d t h eq u a d r a t i c n u m e r i c a lr a n g e ，o n eo ft h e i m p o r t a n tg e n e r a l i z a t i o n so ft h en u m e r i c a lr a n g e ，w a sp u t f o r w a r db yl a n g ea n dt r e t e ri nt h ec o u r s eo f s t u d y i n go ft h es p e c t r a lt h e o r yo ft h eb l o c k o p e r a t o rm a t r i x a n di n2 0 0 1 ，l a n g e ，m a r k u s ，m a t s a e va n dt r e t e rg a v et h ee l e m e n t a r yp r o p e r t i e so fq u a d r a t i cn u m e r i c a lr a n g e ，a n da s ot h e yd i s c u s s e dt h ec o n e rp o i n t so f n u m e r i c a lr a n g ea n dq u a d r a t i cn u m e r i c a lr a n g e t h e r ei sab i j e c t i o nb e t w e e nt h es e to fa l lt h ep r o j e c t i o n so nh i l b e r ts p a c e “a n d t h es e to fa l lt h ec l o s e ds u b s p a c e so fh i l b e r ts p a c ew 1 9 s h o w e dt h a tr ( a ) + r ( b ) = r ( ( a a + + b b + ) ) g e n e r i cp a i ro ft w os u b s p a c e sw a ss t u d i e di n 2 4 】 1 2 g a v eac h a r a c - t e r i z a t i o no fg e n e r i cp a i ro ft w o s u b s p a c e s i nt h i sp a p e r ，n o n - e x t r e m ep o i n t so fn u m e r i c a l r a n g e ，n - n u m e r i c a lr a n g ea n do r t h o g o n a lp r o j e c t i o np a i ra r ed i s c u s s e d ，t h em a i nc o n t e n t a sf o l l o w s ： f i r s t ，i nc h a p t e ro n ew eg i v et h es i g n s ，d e f i n i t i o n sa n de l e m e n t a r yt h e o r e m su s e d b yt h i sa r t i c l e i nt h es e c o n ds e c t i o no fc h a p t e rt w o ，w eg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no fn o n e x t r e m e p o i n t so fn u m e r i c a lr a n g e i fw ek n o wt h ee x t r e m ep o i n t so fn u m e r i c a lr a n g e ，t h e nw ec a n c h a r a c t e r i z en u m e r i c a lr a n g e c o n v e r s e l y , i fw ek n o wt h en o n e x t r e m e p o i n t so fn u m e r i c a l r a n g e ，t h e nw ec a na l s oc h a r a c t e r i z en u m e r i c a lr a n g e w ej n s td i s c u s st h ep r o p e r t i e so f n o n e x t r e m ep o i n t so fn u m e r i c a lr a n g ei nt h i sa r t i c l e a n di ns e c t i o nt h r e e ，w es t u d yag e n e r i z e dn u m e r i c a lr a n g e ：n 。n u m e r i c a lr a n g e i t i sw e l lk n o w nt h a ti t c a nl o c a t et h es p e c t r u mb e t t e rt h a nn u m e r i c a lr a n g e w ed i 8 c u s 8 i i c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e ns p e c t r u ma n dn n u m e r i c a lr a n g eo fc o m p a c to p e r a t o r sa n dg e t n 。( t ) = o ( t ) u n e v “ n 1 i nt h et h i r dc h a p t e ro ft h i sa r t i c l e ，w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so f s u m ，d i f f e r e n c ea n d p r o d u c to fa no r t h o g o n a lp r o j e c t i o np a i r ( p ) q ) w ea l s og i v eac h a r a c t e r i z a t i o nt h a tt h e o r t h o g o n a lp r o j e c t i o np a i r ( p ，0 ) i sf r e d h o l ma n dd i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h es p e c t r u m a n dn o r mo f t h ec o m m u t o r a ：= p q q p k e y w o r d ：n u m e r i c a lr a n g e e x t r e m ep o i n tn n u m e r i c a lr m n g e o r t h o g o n a lp r o j e c t i o n g e n e r i cp a i r i l l 前言 自o t o e p l i t z 在1 9 1 8 年提出了一个复矩阵的数值域的概念和f h a u s d o r f f 在 1 9 1 9 年证明了复矩阵是凸集以来，有关数值域的几何性质的研究( 7 2 2 3 0 f 6 2 l 】) 变得非常活跃这些研究涉及到了基础数学及应用数学许多不同分支，如泛函分 析，系统论，量子物理等等，并且在这些分支上得到了广泛的应用也正是由于 数值域应用的广泛性，关于这方面的论文，书籍以及专辑不断出现，1 9 9 1 年h o r n 和j o h n s o n 在2 5 1 中专门在第一章讨论了数值域，1 9 9 7 年，g u s t a f s o n 和r a o 又 总结大家的工作( 见 1 7 ) d o n o g h u e 在【7 中证明了复矩阵数值域的s h a r pp o i n t 是 矩阵的特征值1 7 1 给出了数值域端点的刻画 随着数值域的发展，各种广义数值域也相继出现，象联合0 0 i n t ) 数值域( 【1 ) ， c 一数值域( 2 0 5 ) ，极大数值域( 【4 【8 ) ，本性数值域，和本性极大数值域 1 9 9 8 年l a n g e 和t z e t t e r 在研究算子矩阵的谱理论的过程中提出了二次数值域的概念 ( 【1 1 ) ，并且在2 0 0 1 年，l a n g e ，m a r k u s ，m a t s a e v 和t r e t t e r 在【1 0 】中对二次数值域 的基本性质进行了初步的研究，也就是在同一年还是由l a n g e ，m a r k u s 和t r e t t e r 三人合作研究了数值域和二次数值域的角点( 【1 2 】) ，使得人们对于二次数值域有了 一个进一步的了解众所周知，研究谱理论的一个重要目的就是了解谱的位置特 征，根据数值域的性质我们知道，一个算子的数值域在估计它的谱的位置特征的 时候给人们带来了很大的方便，但人们发现二次数值域比数值域能够更好的给出 所给算子的谱的位置特征 我们都知道h i l b e r t 空间上的正交投影和h i l b e r t 空间的闭子空间是一一对 应的对于h i l b e r t 空间上的任意两个算子a ，b ，【1 9 】中证明了r ( a ) + r ( b ) = r ( ( a a + + b b + ) ) 2 4 】给出了正则投影对的概念并且f 1 2 】给出了正则对的刻画 本文在第二章第二节研究了数值域非端点的特征如果我们知道了一个集合 的端点，就可以刻画这个集合相反的，如果我们知道了这个集合的非端点的特 征，我们也就研究清楚了这个集合本文就是从数值域的非端点这个角度来研究 数值域的性质 在第三节里，我们研究了一种广义数值域：n 次数值域i i 次数值域作为数值 域的一个推广，其最重要的性质是能够更好的估计出一个算子的谱的位置特征 我们研究了紧算子t 的谱与其n 次数值域的关系我们得到n 谚吾丽：a ( t ) d 。口。 n 兰l 在本文第三章里，我们研究了正交投影对( p 0 ) 的和，差和积的一些性质，同 时我们给出t i e 交投影对( p q ) 是1 n e d h o l m 的刻画并研究了交换子且：p q q p 的谱和范数等一些基本性质 第一章预备知识 用w 表示一个复可分的h i l b e r t 空间d i m 7 t 表示h i l b e r t 空间丸的维数如 果d i m h 。且z h ，用产表示向量x 的转置b ( n ) 表示作用在w 上的所有 有界线性算子构成的b a n a c h 空间对于一个正整数n ，用m ( c “) 表示所有的n n 复矩阵对于一个算子a b ) ，a 4 表示且的共轭，并且用( a ) ，r ( a ) ，a ( a ) 和 唧( a ) 分别表示算子a 的零空间，值域，谱和点谱如果a m ( c n ) ，我们定义a 的 迹t r ( a ) ，是n n 矩阵4 主对角线上所有元素之和m h 表示m 是h i l b e r t 空 间w 的一个闭子空间设m w ，nsw ，如果m 和正交，我们表示为m 上 a i m 表示算子a 在闭子空间m 上的限制 定义1 1 设a b ) ，a 的数值域w ( a ) 是复数子集 w ( a ) = ( a ，s ) ：，“，l i 刘= l 用( a ) 。和o w ( a ) 分别表示w ( a ) 的内部和边界我们知道w ( a ) 是凸集对于 一个复数a ，我们定义就的子集：地= ze 爿：( a x ，z ) = l l = 1 1 2 ) 定义1 2 设aeb ( 爿) ，算子a 的约化极小模r ( a ) 是 啪) ：i n f 黜：h 上( 伽 定义1 3 设a 日何) ，如果r ( a ) 是闭的，并且要么d i m n ( a ) ，要么 d i m n ( a 4 ) o 。，则称a 是s e m i - f r e d h o l m 算子如果r ( a ) 是闭的，d i m n ( a ) o 。 而且d i m n ( a + ) o 在这种情况，由引理2 2 1 我们得到w c a ) = 一r ，r 】直接计算， ( a f ，) ：，= y ( t ，口) ，t ( 0 ，1 ) 且口r ) = ( 一r ，r ) 对于任意的a ( 一n r ) ，存在t o ( o ，1 ) 和0 0 r 使得( a ，( t o ，舶) ，f ( t o ，) ) = a 并且 ( a f ( t o ，如+ 1 ) ，( t o ，0 0 + 1 ) ) = a 显然( t o ，岛) 和，( t o ，0 0 + 1 ) 是线性无关的 第二种情形：a = ( ：；) ，。 o 对于第二种情形，由引理2 2 1 知( a ) = a c ，川g ) 直接计算有， “a ，) ，= 巾，目) ，t 【o ，丝2 1 l i f 望2 ，1 】勘r ) = a c ，i f 对任意的a a c ， o 由引理2 2 1 ，我们知道w ( 4 ) 是一个中心在( o ，o ) 短轴为o ，且焦点在( no ) 和 ( 一n0 ) 的椭圆面由引理2 2 2 我们知道 ) = ( 4 ，) ：，= ，( t ，口) ， o ，1 并且日蚪 令 q(t，日)：可(r(2t2-1)+at l v t 刁- t 2c o s 0 ) 2 + 塑兰! 半， 。，1 且口r 直接计算，我们得到q ( t ，口) 1 ，其中t 【0 ，1 且0 豫( a ) 的边界o w ( a ) 是 椭圆： ( a f ( t ，日) ，f ( t ，目) ) ：t 0 ，1 1 且口豫使得q ( t ，0 ) = 1 ) 并且w ( a ) 的内部 ( a ) 。是开椭圆盘 ( a f ( t ，日) ，f ( t ，叫：t 0 ，1 且0 豫使得q ( t ，0 ) 1 ) 因此任意的 a 彤( a ) 。，存在t o 0 ，l 】，0 0 r 使得q ( t o ，o o ) 0 我们 甚至可以进一步假设( a u o ，u 1 ) 的虚部为o ；否则，选取适当的r 0 ，7 r ，并用e ”u l 代替u - 因为( a u o ，“o ) ( a u l ，u 1 ) ，因此向量u o 和u l 是线性无关的，这样对任意 的【一”2 ，7 r 2 ，c o s t o + s i n t l 0 定义一个单位向量族 c o s t 0 + s i n t u l 啦2 丽丽i 再i ；而丽 和一个实值函数 坤) _ ( 舢洲扣堕逝世锰等掣蒜竽刿w ( a ) ， 其中t 一”2 ，”2 】_ 容易验证一a ( o ) = a ( ) = a ( 一) = ( a u l ，u 1 ) 0 由实值函数 的连续性知，存在t 一( 一7 r 2 ，0 ) 和t + ( 0 ，7 r 2 ) 使得a ( t 一) = 0 = a ( 4 ) 因为若u o 和u l 是线性无关的，o t i ，屈c ，啦，屈0 ，i = 0 ，1 ，则o o o 4 - 卢o u l 与a 1 “o - f 卢l “1 线 性无关的充要条件是鲁= 鲁观察到t a n ( t 一) 0 ，则 u 一2 器篙嵩和u + = 陌c o s t 而+ u o 而+ s i n t + u ： 是斜中的线性无关的单位向量 这样我们就证明了必要性 若h i 7 4 是n 个线性无关的向量，我们用标准的方式把v h f ，i = 1 ，2 ，n ， 等同于c ”令p 表示到v 峨，i = 1 ，2 ，n ) 上的正交投影设a 日) ，则 p a i r ( p ) m ( c n ) 推论2 2 6 如果a b ) ，d ，b ，a w ( a ) 且a b ，a ( ，b ) ，( a x ，z ) = 口 ( a y ，) ： b ，蚓l = = 1 ，那么存在两个线性无关的单位向量，v 。，y ) 使得， ，地 证明：因为o b ，则z 与y 是线性无关的令m = v 如，9 ) ，则r f a l m m ( c 2 ) 这样o ，b w ( p m a m ) ，因此a w ( p m a i m ) 不是w ( p u a i m ) 的一个端点由定理 2 2 5 ，存在两个线性无关的单位向量，m 使得，1 ，地 由推论2 2 6 ，我们可以得到如下结论 推论2 2 ，7 设a b ( 丸) 且a w ( a ) 不是数值域( a ) 的端点，则至少存在两 个线性无关的单位向量 ，2 使得，。，2 地 7 现在，我们用推论2 2 6 给出f 1 7 】中定理1 5 2 的另外一个证明 定理2 2 8 ( 17 ) 若 以是线性的，则a ( a ) 是w ( 4 ) 的端点 证明；假设a 不是( a ) 的一个端点，那么存在n ，b w ( a ) 且。b 使得 ( n 1 6 ) 假设( a z ，z ) = a ，( a y ，g ) = b ，且吲l = i l y l l = 1 由推论2 2 6 ，存在两个线 性无关的单位向量，v z ，y ) 使得，地故v z ，y = v f ，) 因为地是 线性的，因此就有z ，y 地因此( a x ，z ) = a = ( a y ，) ，则n = b ，与假设。b 矛 盾 下面我们讨论一般h i l b e r t 空间上线性算子数值域非端点的性质，首先我们给 出两个引理 引理2 2 9 如果a = 日+ i k 是算子a 的笛卡儿分解，且k 0 ，那么 m o = $ w ：( h x ，$ ) = o ) n n ( k ) 证明，事实上，由于( 嚣) = 茁w ：( k x ，z ) = o 因此我们有 a 如= 。7 4 ：( a x ，$ ) = o ) = “：( h x ，z ) + i ( k z ，。) = o ) = w ：( h ，$ ) = o ) n ( k ) 引理2 2 1 0 设a = 日+ 是算子a 的笛卡儿分解，则( a ) 。= 0 的充要条 件是要么t t 要么k c i 定理2 2 1 1 设爿是一个复i t i l b e r t 空间，d i r n d l = n 曼0 0 ) 如果a b ) ， 令a = h + i k 是算子 的笛卡儿分解，则； ( 1 ) 若日隹c i 且k 簪1 2 1 ，则 w 似) 。的充要条件是：存在一个线性无关的 单位向量序列饥) 墨l 使得 ) 冬1 m x 且v ) 鍪1 = 7 - i ( 2 ) 若a 芒c i 且要么h c ，要么k c ，则a w ( a ) 不是数值域w ( a ) 的 端点的充要条件是；存在一个线性无关的单位向量序列 ，l 冬1 使得 ， 饕。c 奴 且v 坠。= 丸 证明；( 1 ) 必要性因为入w ( a ) 。，总存在一个单位向量 m 假设存在一 个线性无关的单位向量序列 ) 翟1 使得 ) 罂1c 地，m n 那么存在一个单位向 量z 使得上v ，i ) 銎1 设( a z ，z ) = o 如果a = a ，则令，m + 1 = 。否则存在b w ( a ) 。 且。b 使得 ( a 1 6 ) 这时，存在一个单位向量y 使得( a y ，y ) = b 由推论2 2 6 ， 存在两个线性无关的单位向量9 1 ，9 2 v ( z ，订使得9 1 ，9 2 a 靠那么至少存在一个 j o ，1sj o 2 ，使得鲫。u ) 墨1 是线性无关的否则，v g l ，9 2 ) = v z ，y ) cv ) 銎1 因为口上v ) 坠1 ，矛盾设，m + l = 甄，那么f ) = 1 m - - l - 1c 众是线性无关的，由数学 归纳法我们总可以找到一个线性无关的单位向量序列 ， ) 譬。使得 ， ) 坠1c 地 8 下面我们将证明存在一个线性无关的单位向量序列 ) 坠1 使得 ) 坠，cm x 且v f d 坠1 = h 如果n 0 0 ，结论显然 如果n = 。，设吼= g = 协 凳l ： 玑) 仁i t t lc 尬、是一个线性无关的单位向量 序列，m 曼o 。) 显然关于集合的包含关系吼是一个偏序集由曹恩引理可以得 到一个极大元g o 假设g o = ，l 耀。，那么显然m = o o 如果v ) o q 7 - 1 ，那么存 在一个单位向量。使得。上v ( d i = 。由上面的证明方法知，存在一个单位向量， 使得，u ) 墨1 是线性无关的这样，u ) 墨l 甄且 ) 罂1cf u ( i d i 1 这与 ( i d 墨，是极大元矛盾 充分性设a w ( a ) ，存在一个线性无关的单位向量序列 ) 翟1 使得 ) 饕lc 众且v ， ) 坠1 = 州假设a 芒( a ) 。不失一般性，我们可以假设k 0 由引理 2 2 9 知： m o = 如e “，( h x ，z ) = 0 ) n ( k ) 因此m o ( ) 这样k = 0 ，与条件 k 聋c j 矛盾故 彬) 。 下面我们来证明命题( 2 ) 必要性由引理2 2 1 0 知，w c a ) 。= o 又因为a 隹c i ，则可设w ( a ) 的闭包 是闭线段h 绯其中o ，卢c ，a 卢对a ( a ，卢) ，我们知道a 不是w ( a ) 的一个 端点相似的，存在一个线性无关的单位向量序列 j d i = 。使得 ) 叁。c 螈且 v d 坠l = 7 - 1 充分性设 w ( a ) ，存在一个线性无关的单位向量序列 ) 坠。使得 准。c 地且v 饥) 饕l = 7 - t 假设a 是w ( a ) 的一个端点，由引理2 2 4 知， 厶是线性 的因此慨= 觎则a = m 这与条件a 圣c i 矛盾证毕 例2 2 1 2 设a m ( c 3 】且 a = ( _ t 。) 则w ( a ) 是一个顶点在( 0 ，i ) ，( 0 ，一f ) 和( 1 ，0 ) 的三角形面显然0 o w ( a ) 且0 不是数值域w ( a ) 的端点设n = ( a 1 ，o t 2 ，0 3 ) r 且i o t i = 1 使得( a a ，口) = 0 ，则 f l i o l l l 2 一i f i n 2 | | 2 + f 1 0 3 | 1 2 = 0 且i i a l i l 2 + 0 n 2 i 2 + l 1 0 3 1 1 3 = 1 因此4 0 1 l = 1 0 2 i = 乎故 m o = ( 孚e 讴，孚e 证，o ) t ：n ，口r ) 显然 如不是线性的且v m o c 3 推论2 2 1 3 设d i m 7 4 = n 如果a b ) ，则缈( a ) 。o 的充要条件是：对任 意的 o w ( a ) 不是w ( a ) 的端点，不存在一个线性无关的单位向量序列 坠， 使得 ) 鍪l 奴且v ， 墨1 = 7 t 推论2 2 1 4 如果d i m t - t = 。、那么对任意的 丽；存在一个线性无关的单 9 位向量序列 ，l 墨1 使得( a 五， ) 叶a ，n _ 。 证明：首先假设w ( a ) 。0 若a w ( a ) 。，则由定理2 2 1 1 ，只须证a o w ( a )