（金融学专业论文）Copula函数在投资组合风险度量中的应用.pdf

摘要 近年来，我国金融市场逐渐对外开放，投资者可交易的金融资产越来越多，金融市 场之间的关系也越来越密切，任何一个开放国家的经济的巨幅波动都可能对我国的经济 带来冲击，都会影响到我国的金融市场，从而影响到投资者的资产价值。可以说金融风 险问题是经济全球化的背景下一个无法避免的问题。因此，金融风险问题引起了广泛的 关注，而金融风险管理中最重要的风险度量问题就成为一个重要课题。要解决这个问题， 必须首先借鉴国际上先进的风险度量标准。v a r 作为一个新的风险度量标准近些年被广 泛应用于金融机构，无论是理论上还是实践上都比较成熟，对我国的风险度量是一个很 好的借鉴。但在实际运用中，度量投资组合的v a r 时，人们最常用的方法就是假设组合 资产之间的相关关系为线性相关关系，这将导致风险的错误估计。随着c o p u l a 函数的 出现和应用，相关性领域的研究进入到一个全新的时代。c o p u l a 函数是一个全面度量变 量间相关性结构的方法，它的出现改变了传统的用一两个指标来表示相关性结构的方 法，使用一个完整的函数，全面的表示出变量间的相关性，不仅仅是相关的程度，而是 整个相关性结构。因此，将c o p u l a 函数应用于投资组合，可以得到一个与实际数据更 为接近的联合分布，从而可以建立起更为有效的风险管理模型。 本文首先介绍了v a r 及c o p u l a 的相关理论，指出c o p u l a 函数在投资组合风险管理 中具有很好的应用前景。并以上证指数和恒生指数作为一个资产组合，对两种资产的几 何收益率建模，通过建立一个c o p u l a 的模型来度量投资组合之间的相依关系，在此基 础上度量投资组合的v a r ，并比较基于正态分布与线性相关关系下计算出来的v a r 与基 于c o p u l a 模型计算出来的v a r 。针对分析结果，对我国的风险度量问题提出一些建议。 关键词：金融风险；相依关系；v 状；c o p u l a ；投资组合 a b s t r a c t i nr e c e n t y e a r s ，c h i n a sf i n a n c i a lm a r k e ti so p e n i n gu pg r a d u a l l y ，m o r ea n dm o r e f i n a n c i a la s s e t sc a nb et r a d e db yi n v e s t o r s ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ef i n a n c i a lm a r k e t si s m o r ec l o s e l y ，w ec a i ns a yt h a t ，a n yh u g ev o l a t i l i t yo nao p e n e dc o u n t r y se c o n o m yw i l la f f e c t c h i n a sf m a n c i a lm a r k e t ，t h u sa f f e c t i n gt h ev a l u eo ft h ea s s e t so fi n v e s t o r s i tc a l lb es a i dt h a t t h ef m a n c i a lr i s ki sa nu n a v o i d a b l ep r o b l e mu n d e rt h eb a c k g r o u n do fe c o n o m i cg l o b a l m a t i o n t h e r e f o r e ，t h ef i n a n c i a lr i s k sh a v ea r o u s e dw i d e s p r e a dc o n c e r n t h e r e f o r e ，r i s km e a s u r e m e n t p r o b l e mh a sb e c o m ea ni m p o r t a n ts u b j e c t t os o l v et h i sp r o b l e m ，w em u s tf i r s tl e a r nf r o mt h e a d v a n c e di n t e r n a t i o n a lr i s km e a s u r e m e n t i nr e c e n ty e a r s ，v a ra san e ws t a n d a r do fr i s k m e a s u r e m e n th a sb e e nw i d e l yu s e di nf i n a n c i a li n s t i t u t i o n s ；b o t ht h et h e o r ya n d p r a c t i c ea r e m o r em a t u r e ，i ti sag o o dr e f e r e n c ef o ro u rr i s km e a s u r e h o w e v e r , i np r a c t i c a la p p l i c a t i o n , w h e nw em e a s u r et h ev a ro fp o r t f o l i o ，t h em o s tc o m m o n l yu s e dm e t h o di st h a tw e a s s u m p t i o n st h el i n e a rr e l a t i o n s h i p ，w h i c hw i l ll e a dt oaf a u l t ye s t i m a t e w i t ht h ee m e r g e n c e o fc o p u l af u n c t i o n ，t h er e l e v a n tr e s e a r c hi nt h ef i e l de n t e r e dan e we r a c o p u l af u n c t i o ni sa c o m p r e h e n s i v em e a s u r e m e n to ft h ec o r r e l a t i o nb e t w e e nv a r i a b l e s ，i tc h a n g e dt h et r a d i t i o n a l w a yt h a tu s es e v e r a li n d i c a t o r st os h o wt h ec o r r e l a t i o ns t r u c t u r e t h e r e f o r e ，c o p u l af u n c t i o n w i l lb ea p p l i e dt ot h ei n v e s t m e n tp o r t f o l i o ，c a nb eam o r ec l o s e l yw i t ht h ea c t u a ld a t ao ft h e j o i n td i s t r i b u t i o n ，s ot h a tw e c a ne s t a b l i s ham o r ee f f e c t i v er i s km a n a g e m e n tm o d e l i nt h i sp a p e r ，w ef i r s ti n t r o d u c et h er e l a t e dt h e o r i e so fc o p u l aa n dv a r ，p o i n t e do u t t h ec o p u l af u n c t i o nh a st h ev e r yg o o da p p l i c a t i o np r o s p e c ti nt h er i s km a n a g e m e n to f i n v e s t m e n tp o r t f o l i o s t a k ea l la s s e tp o r t f o l i ob yt h es h a n g h a ic o m p o s i t ei n d e xa n dt h eh s i ， t h r o u g he s t a b l i s h e sac o p u l am o d e lt om e a s u r et h er e l a t i o n s h i po fp o r t f o l i o s ，t h e nm e a s u r e s t h ev a ro fp o r t f o l i o sa n dc o m p a r e sv a rw h i c hc a l c u l a t e sb a s e do nt h en o r m a ld i s t r i b u t i o n a n dl i n e a rc o r r e l a t i o n i nv i e wo ft h ea n a l y s i sr e s u l ta n dt h es i t u a t i o nik n o w ，p u t sf o r w a r d s o m e p r o p o s a l st oo u rc o u n t r y sr i s km e a s u r eq u e s t i o n k e yw o r d s ：f i n a n c i a lr i s k ；d e p e n d e n c e ；v a r ；c o p u l a ；p o r t f o l i o s h 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 论文作者签名：丁。盎 日期：加8 年6 月午e l 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本：学校有权保存学位论文的印刷本和电子 版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存 学位论文；在不以赢利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文 在解密后遵守此规定) 作者签名： 指导教师签名： 丁，墨 利移 日期：沙明年纠午1 日期：阢蟠土7 第1 章绪论 1 1 研究背景及意义 第1 章绪论 1 1 1 研究背景 随着金融市场的不断深化，新型金融工具不断出现，可交易的资产结构变得越来越 复杂。这些变化极大地推动了国际金融市场的发展和繁荣，但同时也给金融机构带来了 前所未有的金融风险。 9 0 年代以来，国内外金融市场上接二连三的出现金融风波，如1 9 9 3 年德国金属股份 公司事件、1 9 9 4 年美国奥兰治县破产案、1 9 9 5 年2 月英国巴林银行破产事件、1 9 9 5 年9 月 日本大和银行事件、1 9 9 7 年英国国家威敏斯特银行事件、1 9 9 9 年加纳的阿散蒂省事件， 2 0 0 7 年美国的次级债危机。国内的如1 9 9 8 年海南发展银行事件，2 0 0 4 年“中航油事件 ， 2 0 0 7 年“国储铜事件等。日益凸显出金融风险的危害以及金融风险管理的重要性。 金融风险管理的基本过程包括风险识别、风险计量、风险的控制和转移，其中的核 心与难点是风险的计量，这是由于一方面风险计量是风险管理的前提，只有将风险量化 才能实现科学的风险管理：另一方面风险难于量化，只有借助复杂的数学模型与计算机 模拟技术才能实现。正是由于风险计量的重要性和复杂性使其具有巨大的研究价值，长 期以来国际上金融风险管理的重点大都集中于风险计量理论的创新和风险计量模型的 开发。 以金融工程和现代金融理论为核心的金融风险计量研究是目前国际金融学界的热 点问题。以往的风险衡量技术，如方差、卢系数、久期( d u r a t i d n ) 和d e l t a ，g a m m a ，v e g a 等方法都只能适应特定的金融工具或在特定的范围内使用，难以综合反映风险承担情 况。如应用方差来度量风险，依赖于对投资收益分布的严格假设，没有用货币明确表示 出投资组合的风险大小，也没有考虑投资者的不同风险偏好和指出投资组合可能的潜在 损失。而卢系数、久期( d u r a t i o n ) 、以及d e l t a ，g a m m a ，v e g a 等，则是分别针对股票、债 券等利率性金融产品以及衍生金融证券的灵敏度指标。它们只能应用于特定的金融工具 的特定的市场范围，也没有综合反映投资组合的风险承担状况。 在这种情况下，金融机构的管理者以及金融市场的监管者，越来越需要一种即简单 易于理解，又能全面反映金融机构或投资组合风险暴露情况的市场风险管理新工具。v a r 湖北大学硕士学位论文 是研究成果之一。 v a r 方法的全称是v a l u e - a t - r i s k ，即风险价值方法，简而言之就是指“在一定的置 信水平下和一定的目标期间内，预期的最大损失”i ov a r 方法能简单清晰地表示市场风 险的大小，以系统的概率统计理论作依托，因而得到了国际金融界的广泛认可。国际清 算银行巴塞尔委员会明确建议采用内部的v a r 模型来计算市场风险以设置应付市场风险 的资本量：美国的穆迪和标准普尔等资信评估公司以及财务会计准则协会、证券交易委 员会等都宣布支持v a r 为度量和管理风险的主要方法。值得提出的是，v a r 技术最初虽然 以衍生工具为主要控制对象，但其使用范围绝不仅仅限于衍生工具，而是可以计算任何 金融载体或组合头寸的市场风险。而且v a r 技术具有全面性、简明性和实用性，这些特 点决定了其成为银行、证券公司、投资基金等金融机构、市场监管者以及各类非银行金 融公司进行风险度量与管理、资产配置、绩效评价等的重要工具。 采用v a r 方法度量投资组合的一个关键因素就是各资产之间的相关性。投资者通常 持有多样化的投资组合，投资者对每种证券的期望回报率、回报率的方差和每一证券与 其他证券之间回报率的相互关系这三类信息进行适当分析，以辨别出有效投资组合。以 标准的方法，度量相关性的工具主要是线性相关系数，这个工具有着方便理解、容易计 算等一系列优点，在金融学的著作中一直起着一个举足轻重的作用。但它也有其致命的 弱点，就是从本质上来说，线性相关系数是和分布的多元正态性假设联系在一起的。使 用线性相关性作为相关性的度量指标，实际上就暗含了指标间多元正态分布的假设。而 前人的无数次的实证研究己经表明了金融数据所体现出来的尖峰厚尾性和时变性的。所 以使用线性相关性来度量相关性常常得到误导的结果，这在风险管理和资产配置的应用 中，将会是非常危险的。 随着c o p u l a 函数的出现和应用，相关性领域的研究进入到一个全新的时代。c o p u l a 函数是一个全面度量变量间相关性结构的方法，它的出现改变了传统的用一两个指标来 表示相关性结构的方法，使用一个完整的函数，全面的表示出变量间的相关性，不仅仅 是相关的程度，而是整个相关性结构。根据c o p u l a 函数理论，由边缘分布和一个连接 它们的c o p u l a 函数，可以得到一个与实际数据更为接近的联合分布，从而可以建立起 更为有效的风险管理模型。而且通过c o p u l a 函数，不仅可以捕捉到变量间非线性、非 对称的相关关系，还容易捕捉到变量尾部的相关性变化。可见，运用c o p u l a 理论可以 1 菲利普乔瑞，陈跃译，v a r ：风险价值金融风险管理新标准【m 】( 第二版) ，北京：中信出版 社，2 0 0 0 2 第1 章绪论 方便的进行投资组合的风险分析从而达到风险防范和规避的目的。虽然c o p u l a 函数在 数学上已经出现了一段时间，最早可以追溯到1 9 5 9 的s k l a r s 引理，但将其应用到金 融领域还是近几年的事，但其显示出的广阔的应用前景己经开始引起学者们的重视。 1 1 2 选题的意义 就我国的实际情况而言，选择“c o p u l a 函数在投资组合风险度量中的应用 这一题 目，其意义在于： 第一、针对我国目前对于现代意义上的风险管理概念并不太了解，国内金融机构基 本上还没有建立起具有现代意义的风险管理部门，风险度量的理论与方法还没有全面系 统的被我国金融界所掌握的情况，试图从理论上对国外先进的风险度量方法的理论基 础、主要模型和技术方法进行较为全面的介绍，并分析其发展过程和特点。 第二、我国的金融市场已经逐渐走向开放，各种可交易的金融资产越来越复杂，金 融风险问题越来越突出。而我国的金融机构以及其他相关经济主体承受风险的能力都还 有待增强，在这种情况下，加强风险管理，提高风险管理意识，提倡防患于未然的风险 管理思想，对我国金融业的稳定和持续、快速、健康的发展具有重要意义。 第三、试图通过将c o p u l a ，v a r 的理论、模型和技术方法应用于我国金融市场的实 证研究，分析和揭示出其在我国的金融体系中有效运行的必要的前提条件和基本的制度 设施，从而为我国广大的金融机构建立起现代化的风险管理体系提出政策建议。 1 2 国内外研究现状 v a r 在上个世纪9 0 年代诞生于j p m o r g a n 的风险管理实践中。1 9 9 3 年，3 0 人小组 ( g - 3 0 ) 在其衍生产品的实践和规则中，竭力推荐各大金融机构在风险管理中应用v a r 。 不久，第一部系统介绍v a r 的概念及其应用的专著出自p h ili p p ej o r i o n ( 1 9 9 5 ) ，该著 从衍生产品市场谈起，对v a r 方法的数理统计基础、计算过程与应用途径进行了全面的 讨论，为类似著作建立了一个示范性的体例。k u p i e c ( 1 9 9 5 ) 提出用返回检验法来检验 v a r 的计算方法，并给出了不同持有期的置信区间；c l i e w & l i l i a n ( 1 9 9 6 ) 总结了v a r 计 算的参数方法、历史模拟方法和蒙特卡罗模拟方法；e m b r e c h t s ( 1 9 9 7 ) 将测量极端情况下 的极值理论( e x t r e m ev a l u et h e o r y ) 与传统的v a r 方法相结合，提出了在极端情况下度量 风险价值的新方法：j e a n - p h i l i p p eb o u c h a n da n dm a r e p o t e r s ( 1 9 9 9 ) 阐述了用金融资产的非 正态性的简便算法计算复杂的、非线性组合的v a r ；d a v i dl i ( 1 9 9 9 ) 提出了一种新的半 参数方法来计算风险价值；a r t z n e r ( 1 9 9 9 ) i 正明基础资产收益率分布不服从正态分布时 3 湖北大学硕士学位论文 v a r 不满足一致性，并提出了条件期望值模型( e s ) ；m i c h a l e s g i b s o n ( 2 0 0 1 ) 考虑了风险 事件( e v e n tr i s k ) ，并将其与v a r 模型相结合，提出了跳跃v a r 模型0 u m p v a rm o d e l ) ； g i o r g i oc o n s i g l i ( 2 0 0 2 ) 考虑了金融市场的剧烈不稳定性，分析了收益分布的厚尾估计， 并基于均值一方差的v a r 组合选择模型；c a r l o 和d i r k ( 2 0 0 2 ) 分析了条件期望模型的一 致性和连贯性，同时对它进行了很好的估计；c h e d fg u e r m a t 和r i c h a r dd f ( 2 0 0 2 ) 分析 了组合收益率的方差和峰度具有时变性的组合v a r 的预测问题；k e v i nd o w d ( 2 0 0 3 ) 研究 了长期v a r ( 1 0 n g t e r mv a r ) 的估计，提出了一个简单的估计方法来拓展长期v a r 的预测； c a r m e l a ( 2 0 0 4 ) 研究了与发达股票和债券市场收益相关的新兴债券市场的极端行为，考虑 序列分布的厚尾性以及在序列尾部的断点( b r e a k s ) 行为，并提出了个测试断点的统计量。 国内的v a r 方法研究始于九十年代末期。综合来看国内对于v a r 的研究可以从三个层 面来看。研究的一个层面是关于理论的介绍与探讨，最早对于v a r 的介绍性文献开始于 牛昂( 1 9 9 7 ) 、郑文通( 1 9 9 7 ) 等对v a r 内涵和意义的探讨，并对v a r 计算的三种基本方法进 行了比较；姚冈i j ( 1 9 9 8 ) 、马超群( 2 0 0 0 ) 等介绍了v a r 的背景、计算、用途以及引入中国 的必要性。 第二个层面是关于方法的改进。王春峰等( 2 0 0 0 ) 针对现有v a r 计算中主流方法的缺 陷，创新性地提出了一种基于马尔科夫链蒙特卡洛( m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l o ，m c m c ) 模拟的v a r 计算方法，以克服传统m o n t e c a r l o 模拟的高维、静态性缺陷，以提高估算 精度；王春峰等( 2 0 0 2 ) 还提出用分布拟合法来估计金融市场风险的v a r ，克服了传统分 析方法在估计v a r 时所要求的正态分布假设的缺陷；汪飞星等( 2 0 0 2 ) 把p e a r s o nv 1 1 分布 应用到v a r 模型的计算中，得到了很好的估计效果；彭寿康( 2 0 0 3 ) 分别应用加权正态 模型、l o g i s t i c 分布模型来计算v a r ；叶五一等( 2 0 0 4 ) 应用b o o t s t r a p 作为非参数方法改 进了历史模拟方法；杨永愉等( 2 0 0 5 ) 以- - 项分布为参数统计模型，选取b 分布为先验分布， 给出了超参数的矩估计法，得到了贝叶斯因子和后验机会比的表达式。 国内对v a r 研究的第三个层面就是它的应用层面，包括度量风险可靠性与应用思路 研究。涉及前者的文献主要采用实证分析的方法，检验不同v a r 方法在我国金融市场的 应用性。刘宇飞( 1 9 9 9 ) 介绍了v a r 模型的基本内容，并在此基础上着重论述了其在金融 监管中的应用；范英( 2 0 0 0 ) 讨论了度量投资风险的v a r 方法的概念和计算方法，在股票 价格随机游动的假设下计算了深圳股市在不同置信水平下的风险值，并与实际投资收益 做了对比；y i n g f ( 2 0 0 0 ) 研究了方差一协方差方法在深圳综合指数风险度量上的表现； 赵明华、杜海涛、韩延河( 2 0 0 2 ) 探讨了r i s k m e t r i c s 模型应用于我国四种主要股票市场 4 第1 章绪论 指数时的衰减因子选择问题。在应用思路方面，戴国强、徐龙炳、陆蓉( 2 0 0 0 ) 讨论了v a r 在我国金融市场风险管理中可能的应用领域；陈守东等( 2 0 0 2 ) 应用方差一协方差法及历 史模拟法计算了上海证券交易所综合指数的v a r ，并对计算结果进行k u p i e 姒然比检验； 袁丽胜、朱世武( 2 0 0 2 ) 对v a r 模型的事后检验问题进行了深入的研究，并对上证指数的 收益状况运用历史模拟法进行了计算和检验；龙海明、黄卫( 2 0 0 2 ) 探讨了c r e d i t m e t r i c s 方法应用于我国消费信贷业务信用风险控制的可能性；王志诚( 2 0 0 3 ) 将v a r 应用于股票 质押贷款业务中质押率的确定，颇具创新意义；陈收等( 2 0 0 4 ) 分别运用e g a r c h 和 c o r n i s h f i s h e r 扩展的v a r 模型对中国深、沪股市的期望收益率与风险进行了实证比较研 究，发现结合异方差的c o r n i s h f i s h e r 扩展的v a r 模型与仅用波动率描述的v a r 计量方法 比较，具有较好修正作用。 对于c o p u l a 在风险度量中的应用，1 9 9 9 年，n e l s e n 首先提出7 c o p u l a 理论在金融上 的应用，并做了较好的总结。此后c o p u l a 理论在统计上得到广泛应用并开始应用于金融 领域。b o u y ee ( 2 0 0 0 ) 系统介绍了c o p u l a 函数在金融领域的各项用途；m a l e v e r g n e 和 s o r n e t t e ( 2 0 0 1 ) 在他们的实证中显示在大多数的情况下，g a u s sc o p u l a 作为连接函数的 假设是可以被接受的；e m b r e c h t s ( 2 0 0 4 ) 用c o p u l a 进行了风险分析；r o b e r t o ( 1 9 9 9 ) 对 c o p u l a ，特别是对a r c h i m e d e a nc o p u l a 做了较好的总结；b e a t r i z ( 2 0 0 5 ) 再次用c o p u l a 函数度量了金融风险，并比较了几种不同的c o p u l a ，s t e f a n od e m a r t a ( 2 0 0 4 ) 介绍了 t - c o p u l a 函数的一些性质，提出了t - c o p u l a 函数的应用优势。 在模拟技术方面，e m b r e c h t s 使用m v tc o p u l a 生成一个五维分布，其中二维广义 p a r e t o 边际，三维b e t a 边际，而且通过模拟得到了分布的形状。在非参数估计方面，经 验c o p u l a 最初是由d e h e v v e l 提出来的，g e n e s t 和r i v e s t p ( 1 9 9 3 ) 通过使用a r c h i m e d e a n 经 验c o p u l a 的例子来识别最优的c o p u l a ，发展了经验c o p u l a 的方法。在参数估计方面， d a v i d s i o n ( 1 9 9 8 ) 介绍了c o p u l a 的极大似然估计和矩估计，进而对于c o p u l a 函数的极大 似然估计，j o e ( 2 0 0 0 ) 提出了二步极大似然估计，并说明它比极大似然估计更加有效。 国外学者的研究结果表明，c o p u l a 理论在实际应用中具有许多优点，如运用c o p u l a 理论构建金融模型时，可以将随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究， 其中边缘分布的选择不受限制，而且若对变量做单调增变换，由c o p u l a 函数导出的一致 性和相关性测度的值不会改变，c o p u l a 能够全面描述随机变量的联合性质及一个分布中 的每一点的随机变量的相关性，使得我们可以借此研究用线性相关或v a r 不能描述的相 关极端事件的一些问题。此外，c o p u l a 还可以进行组合风险的研究。因此建立在c o p u l a 5 湖北大学硕士学位论文 理论上的模型更实用、更有效，可以广泛应用于风险管理、资产定价和多变量金融时间 序列分析等方面。 但是国内对c o p u l a 的研究还不是很多，张尧庭( 2 0 0 2 ) 从理论上探讨了c o p u l a 在金 融上应用的可行性：韦艳华、张世英( 2 0 0 4 ) 将c o p u l a 应用于g a r c h 模型，来度量金融 时间序列的自相关结构；缪柏其等人( 2 0 0 4 ) 用a r c h i m e d e a nc o p u l a 分析了外汇市场中 最小风险的投资组合；李平( 2 0 0 6 ) 则探讨了二元数字期权定价与c o p u l a 函数的关系；詹 罗瑞( 2 0 0 5 ) 将极值理论和c o p u l a 结合起来探讨了灾难风险的建模问题。但对c o p u l a 函 数分类研究以及相关的实证研究还没有完全开展起来。 可见，c o p u l a 函数显示出良好的应用前景。但对c o p u l a 函数的研究并不完善，在应 用中也还存在许多有待解决的问题，属于进一步研究的前沿领域。 1 3 本文的基本结构安排 第一章绪论。介绍研究背景及研究现状。 第二章v a r 及c o p u l a 的相关理论。主要介绍了v a r 的基本概念，性质，算法以及 v a r 在投资组合风险度量中的应用；c o p u l a 的基本概念，性质，参数常用的c o p u l a 函 数以及c o p u l a 在金融风险度量中的应用。 第三章我国上证指数和恒生指数相关关系的实证分析。通过构建上证指数，恒生 指数的投资组合，首先对历史数据进行描述性的统计分析，估计几种常用的c o p u l a 的 参数，并采用q - q 图的检验方法和k - s 方法对数据进行拟合，选择最优的c o p u l a 来度 署两釉珞声乡闻的妇肪兰虿 堂r 7 j ，i i 纵，k i h j j i i n j 、o 第四章基于上证和恒生指数的风险度量及分析。在选择合适的c o p u l a 之后，首 先，通过模拟技术对投资组合进行风险分析，具体度量了以下三个风险指标：v a r ，e s ， d ( 工，y ) 。其次，对基于正态分布假设下的v a r 和c o p u l a 模型下的v a r 做了比较分析。 再次，选择风险最小的投资组合。 第五章结论及展望。对本文的实证分析做出总结，同时结合实证分析提出一些政 策建议，并提出进一步的研究方向。 6 第2 章v a r 方法及c o p u l a 函数的相关理论介绍 第2 章v a r 方法及c o p u la 函数的相关理论介绍 2 1v a r 的基本理论 2 1 1v a r 的含义 v a r 是指在一定的置信水平和一定的目标期间内，某一资产或资产组合的预期的最 大损失。更严格地说，v a r 描述可在一定的目标期间内收益和损失的预期分布的分位数。 如果c 代表置信水平，v a r 对应的是较低的尾部水平1 一c 。例如，置信水平为9 5 ， v a r 应该超过分布的所有观测值总数的5 。 用公式表示为： p r o b ( a p 0 ，则 批 c 工l ，j 工，工= c 1 ( 工1 ) ， 。( x ) ， ( 工) ， 其中，q ，一柳表示连接“，一 x n ，h ) 的c o p u l a 函数，吒( 而卜 魄) 一) 表示连接 h i ( 工1 ) ，i i i 。( ) ，h n ( 工 r ) 的c o p u l a 函数。 c o p u l a 函数c 中连续随机变量间的一致性测度和相关性测度的重要性质就来源于这 个定理，即由c o p u l a 函数导出的相关性指标，是严格单调增变换下的相关性指标，比 线性相关系数的范围要宽。 ( 2 ) 有界性( f r e c h e t - h o e f f d i n g 界) 设任意的二元c o p u l a 函数c ，若对于五，石：【o 1 】有： 矽瓴，x 2 ) - m a x “+ x 2 - 1 , 吣墨c 瓴，屯) sl i l i n 协，工2 卜m 阮，屯) 则称随机变量而，而称为有界的。 有界的的随机变量是指它们的联合分布是一类特殊的分布f r e c h e t 分布。即若 边际分布为e 瓴) ，e 也) ，则联合分布就是f “，吒) = 曲e “) ，这时相应的连接 函数就有c 1 一，口。) 一蝉n 峨。f r e c h e t 分布是一个“上限 ，虽然一些风险资产不知其 真实的连接函数，但可以用n l i n “；去估计从而不会低估风险情形。 ( 3 ) 递增性 对于变量而和吃，c ( u ，y ) 都是递增的；即若保持一个边缘分布不变，联合分布将伴 随着另一个边缘分布的增大而增大。 2 2 3 相关性指标的比较 相关性分析是多变量金融分析中的一个中心问题，线性相关系数方法是常用的相关 性分析方法。线性相关系数首先要求变量间的关系是线性的，而且其方差为有限，否则 就没有定义，但是金融市场中出现的不少数据往往是厚尾分布，方差有时并不存在，因 此不能用线性相关系数来反映相关性。实际上，它是线性变换下不变的一种相关性指标， 但是涉及到非线性函数的相关性时，它就会导出错误的结论。 例如，x 一( 0 ，1 ) ，y ；x 2 ，由于c o v ( x ，y ) = 0 ，因此，x 和y 之间的线性相关系数为 1 2 第2 章v a r 方法及c o p u l a 函数的相关理论介绍 0 。而事实上它们是密切相关的，所以用相关系数度量相关性，在超出了线性相关的范 围就会出现误导错误。下面重点介绍朋中由c o p u l a 函数导出的相关性指标。 ( 1 ) k e n d a ll 秩相关系数f 设瓴，乃) ，如，y 2 ) 是独立同分布的变量，毛，te x ；y l ，y 2e y ，令 f 一尸 “- x ：) ( y l - y ：) 0 一p 瓴- x 2 ) ( y l - y 2 ) 0 ，则说明它们的变化是一致的； 若“一x ：) c v l - y 2 ) 0 铮“一工：) ( y l - y ：) 0 所以f 的值对严格单调增的变换是不变的，这就充分说明了f 作为x ，y 的相关性指标 所具有的优点。 ( 2 ) s p e a r m a n 秩相关系数以 dd 设0 ，y ) 有联合分布日0 ，y ) ，它们相应的边缘分布是f 0 ) 和g ( y ) ，x oe z ，y o y 且 ( x o ，y o ) 一f o ) g ( ) ，) ，即，蜘独立。假定o ，y ) 与( x o ，y 。) 也独立，令 以一3 【p o - x o ) ( y - y 。) o ) 一p 一而) ( y y 。) ( u ) l 。i 川m 掣 ( 2 6 ) a 如一她刚 2 ) ，则有：砷+ 嘉z ， 湖北大学硕士学位论文 其中p e r , s 一局2 ，z 一虬( o ，) ，s 与z 独立；x 的c o p u l a 函数为： ) - 如也。1 。) ，t v 1 。”； 其中，- ，1s f ，_ s 儿，以是随机向量告y 的多元分布函数。 s 一彳，l ，一 ( o ，r ) ，s 和y 相互独立。 当n - 2 时，t - - c o p u l a 为： 哪一p，j翟+罾等拗2 = 0 一) 2 叶1 川 ( 2 9 ) 2 2 4 2 阿基米德o o p ula ( a r c h i m c d c a nc o p u l a ) a r c h i m e d e a nc o p u l a 是应用最广泛的c o p u l a 族，主要原因是：容易构建；许多c o p u l a 函数属于此族；该族中c o p u l a 函数的相依结构差异很大；该族中的c o p u l a 函数具有良好 性质。 a r c h i m e d e a nc o p u l a 的定义： 所有连续函数驴- o ，i i 【o ，】的集合记为m ，考虑凸的严格单调降函数妒，且满 足：驴( o ) 一，妒( 1 ) = 0 ，任意驴垂都存在逆函数- 1 ：【o ，叫- - o ，1 】，驴。1 也具有同样的性质， 且妒1 ( 0 ) = 1 1 ( ) 一0 。对于m 中任意元素，s c h w e i z e r f f = i l s k l a r 给出了以下方式定义的 c o p u l a ： c ，y ) ；妒1 ( 妒 ) + 驴( y ”，0s “，墨1 ( 2 1 0 ) c ( u ，v ) 即为a r c h i m e d e a nc o p u l a ，妒称为c 的生成元。当驴( 0 ) 为有限时，由妒生成 的a r c h i m e d e a nc o p u l a 由妒的伪逆给出： 矽一1 ，暑 妒。，- 妒l 。, 0 。s ，t - ，# ( 。) 常用的a r c h i m e d e a nc o p u l a ： ( i ) f r a n kc o p u l a 令驴o ) t 一觑菩；，口尺 。 ，那么可得出， 1 6 第2 章v a r 方法及c o p u l a 函数的相关理论介绍 守飞小一扣+ 坚差等】 缇 从定义我们可以看出，f r a n kc o p u l a 的结构为对称相依，当0 0 时为正相依，当 0 0 ，则矿( 0 ) 一，那么上式就可以简化为： 掣嗍 ， ，) - + ，一1 ) ( 2 1 4 ) ( 4 ) m o r g e n s t e r nc o p u l a c 尹蝴 ， ，) 一u + y + o u v o u ) o v ) ( 2 1 5 ) 其中，参数口与k e n d a l l 一致性相关系数为：0 一言f 。 2 2 5c o p u l a 函数在金融风险度量中的应用 自从马克维茨创造性地提出多样化投资可在一定的收益下降低风险水平，多样化投 资策略即成为一种主要的风险管理与规避手段。投资者从根本上讲是回避风险的，这从 投资者通常持有多样化的投资组合或个人购买各种类型的保险说明其合理性，投资者对 每种证券的期望回报率、回报率的方差和每一证券与其它证券之间回报率的相互关系 ( 用协方差来度量) 这三类信息进行适当分析，以辨别出有效投资组合。大量的研究表明， 选择相关性小的资产进行组合，可以降低投资风险。因此在选择投资组合的资产时，首 先应当对资产之间的相关性进行分析，选出备选资产，然后再选择适当的风险测度和相 1 7 湖北大学硕士学位论文 应的金融模型，对备选资产的各种组合方式进行风险分析，最后根据投资者对风险的厌 恶程度选出适当的投资组合。可见相关性分析对投资组合的风险分析至关重要，而 c o p u l a 理论对相关性分析特别是尾部的相关性分析有特殊优势，由c o p u l a 函数导出的 一致性和相关性测度可以更广泛、更有效的捕获各种金融资产的相关信息。 另外，作为投资组合的风险测度，投资组合v a r 的值现在已经得到大多数投资者的 认可，而通过边缘分布模型和c o p u l a 函数，容易得到组合资产的联合分布进而求出投 资组合v a r 的值。大多数风险管理模型都假设多个资产收益序列或风险因子的联合分布 服从多元正态分布，但大量的实证表明，这种假设经常与客观事实相违背，特别是当极 端事件发生时，因此在正态分布假设下进行的资产组合的风险分析及其v a r 计算与实际 情况偏差较大。运用c o p u l a 理论，由边缘分布和一个连接它们的c o p u l a 函数，可以得 到一个与实际数据更为接近的联合分布，从而可以建立起更为有效的风险管理模型。而 且通过c o p u l a 函数，可以将风险分解成两部分：单个金融资产的风险和由投资组合产 生的风险。其中单个金融资产的风险可以完全由它们各自的边缘分布来描述，而由投资 组合产生的风险则完全由连接它们的c o p u l a 函数来描述。这使建模问题大大简化，同 时也有助于我们对很多金融问题的分析和理解。例如，若投资组合中的金融资产己经确 定，那么市场风险就相当于投资组合中资产结构的风险，可以完全由一个相应的c o p u l a 函数来描述。假定随机变量x 和y 分别代表两种金融资产的损失，它们的边缘分布分 别为f ( x ) 和g ( y ) ，具有c o p u l a 函数c ( f ( x ) ，g ( y ) ) ，则投资组合超过一定阀值的概率进而 投资组合的v a r 很容易求出： p 6 x + ( 1 6 ) y ， 一fd c ( ，o ) ，g ( y ) ) 6 z + ( ) b r ( 2 1 6 ) 其中6 代表资产x 在投资组合中的权重，为限定值，它与置信水平口有对应关系。当 然若c o p u l a 函数己知，但v a r 的解析式很难求出，这可以通过仿真的方法来求取v a r 的值。可见，运用c o p u l a 理论可以方便的进行投资组合的风险分析从而达到风险防范 和规避的目的。 1 8 第3 章恒生指数与上证指数相关关系的实证分析 第3 章恒生指数与上证指数相关关系的实证分析 3 1 模型的构建 3 1 1 数据的选取 在股票市场上，股票指数是衡量股票价格水平的一种技术工具，在股票价格分析中 得到广泛的应用，是衡量股票价格水平的一种技术工具。而且一定意义上，股市指数相 当于一定市场的投资组合，可以体现整个市场的综合风险。金融学上通常将收盘价作为 统计指标，这里，我们也将使用股票市场的收盘价作为分析对象，展开对股票市场综合 风险的度量分析。 在股票市场及指数的选择上，我国沪市指数和深市指数无疑具有很大的相关性，甚 至完全可以将两个市场看作一个市场，因此研究它们之间的相关性没有太大意义。而由 于我国早些年金融市场长期封闭，国内市场和西方国家市场之间不会有太大的相关性， 因此对它们之间相关性的研究也没有太