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太原理工大学硕士研究生学位论文 非对称直齿圆锥齿轮的啮合特性与应力分析研究 摘要 标准渐开线齿轮的左右两侧齿廓形状是对称的，可以用来实现双向传 动。但在实际使用中有相当数量的齿轮只传递单向动力或运动，这类齿轮 的工作齿廓与非工作齿廓的应力状态和啮合状态不同，若能根据这一特殊 性重新设计轮齿的两侧齿廓，齿轮的传动性能将得到进一步提高，进而发 挥出更高的工作性能。因此设计具有不对称齿廓形状的齿轮，开展非对称 齿轮的研究具有重要的理论意义和实际意义。 本文首次将非对称齿廓的设计思想应用于直齿圆锥齿轮的研究中，分 析比较了不同压力角对齿根弯曲应力和齿面接触应力的影响。 首先，基于平面齿轮的切齿原理，推导了应用广泛的“8 字啮合直齿 圆锥齿轮的齿面方程；利用a n s y s 软件提供的a p d l 语言，建立了以压力 角为参数的非对称直齿圆锥齿轮参数化模型；讨论了非对称直齿圆锥齿轮 的啮合特性。 其次，利用a n s y s 软件对非对称直齿圆锥齿轮齿根弯曲应力进行了分 析计算，分析比较了不同的非工作侧压力角对受拉侧齿廓和受压侧齿廓齿 根弯曲应力的影响，得到了些具有工程应用价值的结论。 再次，运用a n s y s 软件对非对称直齿圆锥齿轮的一对轮齿在节线处啮 合的接触应力进行了计算，分析比较了不同的工作侧压力角对齿面接触应 力的影响。 太原理工大学硕士研究生学位论文 最后，对本文所做工作进行了总结，探讨了本文可能存在的一些问题， 并对下一步的研究工作进行了展望。 关键词：非对称齿轮，直齿圆锥齿轮，弯曲应力，接触应力，a n s y s 太原理工大学硕士研究生学位论文 m e s h i n gc h a r a c t e i us t i ca n ds t r e ss a n a l y s i s0 f s t r a i g h tb e v e lg e a r w i t ht h ea s y m m e t i u ct e e t h a bs t r a c t s t a n d a r di n v o l u t e g e a rt o o t hp r o f i l e o ft h e r i g h ta n dl e f t s i d e sa r e s y m m e t r i c a ls h a p e ，w h i c hc a nb e u s e dt oa c h i e v et w o - w a yt r a n s m i s s i o n h o w e v e r , i na c t u a lu s e ，ac o n s i d e r a b l en u m b e ro fg e a ro n l yt r a n s f e rd i r e c t e d m o v e m e n to rd y n a m i c a lf o r c e ，s ot h es t a t eo fs t r e s sa n dm e s h i n go fw o r k i n g t o o t hp r o f i l ea n dn o n - w o r k i n gt o o t hp r o f i l ei sd i f f e r e n t i fa c c o r d i n gt ot h i s p a r t i c u l a r i t yt or e d e s i g nt h et w os i d e so ft h et o o t hp r o f i l e ，t h eg e a rt r a n s m i s s i o n p e r f o r m a n c ew i l lb ef u r t h e ri m p r o v e d ，t h e np l a yab e t t e rp e r f o r m a n c e t h e r e f o r e ， d e s i g n i n ga s y m m e t r i cs h a p eo ft o o t hp r o f i l eo fg e a r , a n dd e v e l o p i n ga s y m m e t r i c g e a rs t u d y i n gw i l lh a v e t h ev i t a lt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e f o rt h ef i r s tt i m e ，t h i sa r t i c l ea p p l i e st h ea s y m m e t r i c a lt o o t hp r o f i l ed e s i g n c o n c e p ti nt h es t r a i g h tt o o t hb e v e lg e a rr e s e a r c h ，a n da n a l y s e sh o wt h ep r e s s u r e a n g l e si n f l u e n c et h eb e n d i n gs t r e s so ft h et o o t hr o o ta n dt h ec o n t a c ts t r e s so ft h e t o o t hs u r f a c e f i r s t l y , b a s e do nf a c eg e a rc u t t i n gt o o t hp r i n c i p l e ，t h et o o t hf a c ee q u a t i o no f i i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 o c t o i ds t r a i g h tt o o t hb e v e lg e a rw h i c hw e r ew i d e l yu s e dh a sb e e ne s t a b l i s h e d ； u s i n ga p d ll a n g u a g e ，t h ep a r a m e t e r i z e dm o d e lo ft h ea s y m m e t r i c a ls t r a i g h t t o o t hb e v e lg e a rh a sb e e ne s t a b l i s h e db yt a k i n gt h ep r e s s u r ea n g l ea st h e p a r a m e t e r ；t h em e s h i n gc h a r a c t e r i s t i co ft h ea s y m m e t r i c a ls t r a i g h tt o o t hb e v e l g e a rh a sb e e nd i s c u s s e d s e c o n d l y , t h eb e n d i n gs t r e s so ft h ea s y m m e t r i c a ls t r a i g h tt o o t hb e v e lg e a r h a sb e e na n a l y z e db yu s i n ga n s y s ，a n da n a l y s e sh o wt h ep r e s s u r ea n g l e so n t h en o n w o r k i n gs i d ei n f l u e n c et h eb e n d i n gs t r e s so fp u l l e ds i d ea n dp r e s s e ds i d e s o m ev a l u a b l ec o n c l u s i o n sa r ee d u c e d t h i r d l y , u s i n gt h es o f t w a r ea n s y so f f i n i t ee l e m e n t sa n a l y s i s ，t h ec o n t a c t s t r e s so fo n l yo n ep a i ro ft h ea s y m m e t r i c a ls t r a i g h tt o o t hb e v e lg e a rt e e t hh a s b e e nc o m p u t e dw h i c hw e r em e s h i n ga l o n gt h ep i t c hl i n e ，a n a l y s e sh o wt h e p r e s s u r ea n g l e so nt h ew o r k i n gs i d ei n f l u e n c et h ec o n t a c ts t r e s s a tl a s t ，t h e r ei sas u m m a r yo ft h i sd i s s e r t a t i o na n dp r o s p e c to ft h i sr e s e a r c h k e yw o r d s ：t h ea s y m m e t r i cg e a r ，s t r a i g h tt o o t hb e v e lg e a r ，b e n d i n gs t r e s s ， c o n t a c ts t r e s s ，a n s y s i v 声明尸明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 ： 论文作者签名：丞兰兹 日期：2 鲤丝2么丝： 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；。学校可以学术交流为目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签名：么苤日期：a 2 坦笸：么2 近： 导师签名：日期： 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 1 论文研究的目的和意义 第一章绪论帚一早三；百了匕 齿轮是机械产品的重要基础零件，齿轮传动是传递机器动力和运动的一种应用最为 广泛的形式。它与皮带、摩擦、液压等其它传递形式相比，具有功率范围大、传动效率 高、使用寿命长、安全可靠性高等优点。由于齿轮在工业、农业、国防、科学技术等领 域中得到了广泛应用，尤其在机械传动装置中，其性能和质量将直接影响到整机产品的 经济技术指标。轮齿的齿廓形状对齿轮传动性能具有非常重要的影响，因此它是齿轮创 新设计的重要内容。 因为直齿圆锥齿轮的设计和制造都比较容易，并且能够传递任意交角的两轴间的运 动和动力，所以在汽车、拖拉机、机床和其他许多机械产品中得到了广泛应用。但是， 这类齿轮由于自身结构的原因也存在着以下缺点：制造精度较低、承载能力较差、振动 和噪音较大、传递速度不高。因此研究如何能够提高这种齿轮的承载能力、延长其使用 寿命，具有重大的实际意义。 常规的渐开线齿轮左右两侧齿廓形状是相同的，但在实际使用中有相当数量的齿轮 是传递单向动力或运动的，这就造成了齿轮的工作齿面与非工作齿面的应力状态、啮合 状态和承载能力是不同的，往往不能充分发挥材料的性能，因此有学者提出了非对称齿 轮的设计思想。在渐开线直齿轮中，非对称齿轮可以分为双压力角非对称齿轮( 工作侧 齿廓与非工作侧齿廓的压力角不同) 和双模数非对称齿轮( 工作侧齿廓与非工作侧齿廓 的模数不同) 1 1 2 d 2 l 。本文研究的是双压力角非对称直齿圆锥齿轮。双压力角非对称直 齿圆锥齿轮是一种新型齿轮，这种齿轮具有承载能力高、体积小等优点，应用双压力角 非对称直齿圆锥齿轮可以提高齿轮的承载能力和使用寿命。因此，开展双压力角非对称 直齿圆锥齿轮的啮合原理与承载能力的分析研究就具有了重要的意义。 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 2 国内外非对称渐开线齿轮的研究现状 目前，齿轮传动装置正朝着高速度( 圆周速度2 0 2 0 0 m s ) 、高精度( 精度等级达 到4 5 级以上) 、大功率( 1 0 0 0 3 0 0 0 0 k w ) 、高性能、高可靠性以及小型化方向发展， 这一趋势对齿轮的材料、设计、加工、热处理和润滑等诸多方面提出更高的要求1 3 引。 如何改善齿轮的受力状况、提高轮齿的承载能力一直是齿轮齿廓创新设计的基本要 求和发展方向。所以，对齿廓曲线的理论研究一直是齿轮研究的主要内容和方向。其中， 非对称齿轮的研究得到了国内外学者们的普遍关注。 非对称渐开线齿轮的研究最早开始于上世纪七八十年代。在双压力角非对称齿轮研 究的早期，学者们一般在工作侧采用较小的压力角，而在非工作侧采用较大的压力角， 这种齿廓形状与对称齿形相比，在保证齿面接触应力基本不变的同时，可以降低齿根弯 曲应力【l 删。 非对称的齿廓形状在齿轮泵中的应用也是学者们研究的个热点。刘元伟，徐克圣 在文献 5 中针对非对称齿轮泵的特点进行了理论研究，确定了非对称齿廓齿轮泵中齿轮 的基本参数。1 9 9 4 年，褚世华在一种新型非对称齿形的齿轮泵研究中，分析了非对称渐 开线齿廓的特点，对非对称齿廓渐开线齿形齿轮泵的排量等相关参数进行了计算，并指 出了采用非对称齿轮来提高齿轮泵工作效率的途径1 1 引。 a l e x a n d e rk a p e l e v i c h 和f a y d o rl l i t v i n 等作者分别指出：当采用大压力角作为非 工作侧时，必然会增加啮合刚度、传动时的噪音和振动，因此建议采用大压力角作为工 作齿侧，小压力角作为非工作齿侧，并指出：渐开线齿轮的承载能力主要是由压力角决 定的，随着压力角的增大，渐开线的曲率半径将会增大，同时赫兹接触应力将会降低， 并且中心油膜的厚度也将增大陋酗1 1 2 一i 矧。因此，究竟采用较大的压力角作为工作侧压 力角，还是采用较小的压力角作为工作侧压力角，学界还没有取得较为一致的结论。 目前，国内学者对非对称齿轮的研究主要集中于直齿圆柱齿轮。张玉梅和徐晓东在 文献 1 】、 2 】中利用a n s y s 软件对非对称直齿圆柱齿轮的弯曲应力和接触应力进行了分 析，并总结了工作侧与非工作侧压力角的变化对齿轮弯曲应力和接触应力的影响。肖望 强在文献【1 3 】中对非对称齿轮的动力学特性进行了理论分析，并与同种工况下的标准齿 轮的动力学特性进行了比较。 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 3 齿轮的应力分析研究概况 由于直齿圆锥齿轮的齿廓曲线不能展开成平面曲线，这给设计和制造带来了很多困 难。为了简化，工程中一般将一对直齿圆锥齿轮传动转化为一对当量直齿圆柱齿轮传动 进行设计和校核。因此，了解国内外关于圆柱齿轮应力计算的研究概况对分析和计算直 齿圆锥齿轮的应力具有一定的借鉴意义。 1 3 1 圆柱齿轮弯曲应力的研究概况 在齿轮弯曲应力分析方面，国内外学者做了大量的工作，采用不同的研究方法，获 得了许多重要的成果，概括起来主要有以下三个研究方向：解析计算方法，试验分析方 法和数值计算方法 3 7 j 。 解析法主要分为材料力学方法和弹性力学方法。1 8 9 3 年，l e w i s 首次应用材料力学 方法推导出了齿根应力计算公式，其基本出发点是将齿轮简化为等强度悬臂梁，即齿轮 在齿根固结，以载荷与轮齿对称线的交点为顶点，作抛物线与齿根过渡曲线相切，连接 两切点即为齿根危险截面，这个危险截面是平截面；并且认为只有一对齿啮合，把全部 载荷作用在一个齿的齿项上，只考虑危险截面上的弯曲应力。 德国学者尼曼在计算齿根应力时，是采用3 0 。切线法来确定危险截面位置的。与轮 齿对称中心线成3 0 。作齿根过渡曲线的切线，两切点连线即为危险截面。尼曼认为，计 算齿根应力时，如果不考虑剪应力，对于变位齿轮得出的承载能力将偏高，且随着载荷 作用点向齿根靠近，剪应力的影响逐渐增大。因此，尼曼公式中考虑了剪应力的影响， 名义应力由弯曲应力、压缩应力和剪切应力组成。 国际标准化组织( i s o ) 的齿根应力计算公式分为载荷作用于齿项和作用于单齿啮 合最高点两种情况，推荐采用平截面法，危险截面的位置由3 0 。切线确定，只考虑弯曲 应力一项。 大量实验表明，齿根弯曲疲劳裂纹发生在局部应力最大的地方，且沿着过渡曲线的 法线方向。因此，有学者提出了折截面法。这种方法是根据齿根弯曲疲劳裂纹的方向来 确定危险截面的位置，在推导齿根应力计算公式的过程中考虑了几何因素对应力集中的 影响。折截面法的特点是：( 1 ) 危险截面的位置按照齿根弯曲疲劳裂纹的方向来确定， 比较接近实际情况；( 2 ) 几何因素引起的应力集中已同时反映在齿根局部应力系数的计 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 算中；( 3 ) 可以求出过渡曲线上各点的应力，从而能够了解齿根应力沿过渡曲线的分布 规律；( 4 ) 不能求得轮齿齿体内各点的应力状态。折截面法的公式虽然比较复杂，但通 过和光弹试验数据的比较，其计算结果比平截面法要准确一些。 应用材料力学的方法来分析齿轮的应力和变形，由于模型与实际齿形相差较大，因 而较难准确地反映复杂齿形、过渡曲线以及传动系统等因素对齿轮应力和变形的影响。 于是，许多学者根据平面弹性理论，利用适当的映射函数对直齿轮齿内部的应力状态进 行了研究，得出了不少有价值的结论。在各种不同的方法中，保角映射法得到国内外学 者的普遍关注。保角映射法是求解齿轮应力和位移的解析方法，其实质是将轮齿的齿廓 映射到半无限平面的边界上，由作用在半平面上的集中力的复变函数求解出半平面的位 移场，从而得到轮齿受载点的应力和变形。这种解比将轮齿简化为悬臂梁的方法要精确 很多。 轮齿应力与变形分析属于几何形状复杂、载荷工况多变的力学范畴，具有非线性和 动态的特征。上面介绍的各种求解方法及其力学模型，都是在作了一定的假设和简化的 基础上得到的。因此，在应用上述方法进行齿轮的设计或齿轮齿根弯曲强度的校核以前， 最好进行实验研究。目前，常用的实验方法主要有电测法和光弹法。电测法是通过在被 测齿轮表面贴置应变片的方法来测量应力，这种方法的测试精度及测试灵敏度都很低。 光弹法是指利用具有暂时双折射效应的材料制成与实际齿轮相似的实验模型，通过模型 检测零件产生的应力。这种方法具有较高的测试精度和测试灵敏度，并能检测出全场应 力【3 引。 随着计算机技术的迅速发展和应用，数值计算方法为齿轮应力和变形分析提供了一 种方便、可靠的研究途径。目前有以下三种数值解法得到了广泛的应用：有限差分法 ( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ) 、边界元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) 和有限元法( f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ) 。 有限差分法的特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似值，但它用于几何形 状复杂的问题时，精度将降低，甚至发生困难，因此在复杂齿轮系统的强度分析方面应 用不多。边界元法则是先将求解域内的控制方程用数学方法( 如格林公式或加权余数法) 转化为求解域边界上的边界积分方程，再用数值解法求出边界节点上待求量的近似值， 然后根据边界节点量计算得到区域内任一点的待求量。这种方法输入数值少，直接性较 好，适合于大应力梯度的边界问题。有限元法的特点是把研究的对象划分成有限数量、 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 有限大小的单元组合体，以便用统一的模式进行分析处理。这种方法是一种通用的工程 数值分析方法，应用最为广泛，能够处理复杂的载荷工况和边界条件，较全面地反映齿 轮实体的应力场、齿根应力集中和轮齿变形。随着商用有限元软件的大量问世，这种方 法迅速发展起来。 1 3 2 圆柱齿轮接触应力的研究概况 为了进行齿面接触强度计算，分析齿面失效和润滑状态，必须首先分析齿面的接触 应力。经典的齿面接触应力计算公式是以两圆柱体接触的接触应力公式为基础，结合齿 轮的参数导出的。关于两弹性圆柱体接触应力的计算问题，均以h e r t z 公式为基础。1 9 0 8 年，威迪基( e v i d e k y ) 首先把h e r t z 公式应用于直齿圆柱齿轮的齿面接触强度计算中， 明确提出了齿面接触应力的概念，为以后的齿面接触强度计算方法奠定了基础 1 1 4 0 。目 前，各国研究人员对各种可能影响齿面接触应力的因素采取了不同的处理方法，得到了 各种各样的齿轮设计公式。比较常用的设计公式主要包括1 4 0 j ： ( 1 ) i s o 公式：国际标准化组织( i n t e r n a t i o n a lo r g a n i z a t i o nf o rs t a n d a r d i z a t i o n ) 的 公式，这个计算公式和以前的计算公式相比，更多的定量引入了影响齿轮强度的因素， 成为比较精确的和综合性的圆柱齿轮强度计算公式。 ( 2 ) a g m a 公式：美国齿轮制造者协会( a m e r i c a ng e a r m a n u f a c t u r e r s a s s o c i a t i o n ) 的公式。此公式具有较丰富的使用经验，经受了实践的考验。在国际上也获得了较高的 评价。 ( 3 ) b s 公式：英国标准( b r i t i s hs t a n d a r ds p e c i f i c a r l o n ) 的公式。 ( 4 ) j g m a 公式：日本齿轮工业协会的公式。 上述各标准及我国的齿轮标准中，齿轮接触强度计算公式均是以h e r t z 公式为依据， 辅以不同的影响因素推算得出的。由于各公式对影响因素考虑的侧重点不同，计算所得 到的结果也不同。 由于齿轮副啮合齿面的几何形状十分复杂，采用上述的方法准确计算轮齿应力和载 荷分配等问题非常困难甚至无法实现1 4 l j 。因此，齿面接触问题的数值解法，因计算机的 普遍采用而获得了越来越广法的应用。数值解法可以求解复杂的齿面接触问题，但不能 得出一般性的函数关系。在工程应用上数值解法具有很大的实用价值，已经取得了很多 重要成果，例如有限元法、边界元法、有限差分法以及与数值方法相配合的各种变分法、 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 实变函数法、泛函分析法等。在所有这些方法中，有限元法的应用最为广泛，可以求解 边界条件、几何形状和载荷方式复杂的工程接触问题。 有限元法在接触问题中的应用始于上世纪6 0 年代末1 3 9 】。1 9 7 0 年，w i l s o n 和p a r s o n 首先研究了二维弹性无摩擦接触问题的有限元解法。继而c h a n ，t u b a 以及o h t e 等人先 后将有限元法推广到带摩擦的二维和轴对称的弹性接触问题。但上述工作均未考虑加载 过程中的不可逆性。在工程接触问题中，通常存在有摩擦力，而摩擦力所做的功一般体 现为能量耗散，因此若不考虑摩擦力的影响或不考虑加载过程中摩擦力的不可逆性，就 难以准确的反映工程问题。1 9 7 3 年，t s u t a 等人提出了一种基于载荷增量理论的有限元 法，用于求解带摩擦的接触问题，较好地解决了加载过程中的不可逆性。 二十世纪七十年代的末期以后，基于有限元法的一些数值方法相继出现，具有代表 性的主要有以下几种方法1 3 9 】： ( 1 ) 传递矩阵法 该方法是一种直接法，它直接根据接触条件通过迭代来确定节点的接触状态； ( 2 ) 间隙有限单元法 它在接触体系的间隙之间引入了一种人为添加的，虚拟的，只能受压不能受拉的间 隙单元。它的开和关取决于接触物体的特性和载荷状况，通过迭代调整该单元的压缩弹 性模量。间隙单元组成的子区域对应的矩阵方程经过变换后和其它单元的矩阵方程具有 相同的形式。此方法概念简单，便于使用，但在处理复杂的实际问题时收敛性不能得到 保证； ( 3 ) 罚函数法 这种方法也称为罚有限元法。该方法取符合一定条件的接触单元为罚单元，将接触 区的非嵌入条件作为罚项引入接触系统的总势能中，将约束变分问题转化为罚优化问题 来求解。罚单元的节点可以由属于不同单元的节点组成，也可以由某个实际单元内的一 些节点之间的约束来候城。因为这个原因，罚单元在接触问题中应用起来有其优越性。 但是对罚因子的选取直接决定了方程的求解精度，因此有时会造成病态方程而无法求 解。 ( 4 ) l a g r a n g e 乘子法 此方程将接触问题考虑为有约束的最小值问题，通过引进l a g r a n g e 乘子来构造 l a g r a n g e 函数，使上述问题转化为l a g r a n g e 函数的无条件极值问题，并将一组变分不 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 等式转化为适合有限元计算的一组等式来对接触问题求解。 当前，利用有限元法求解弹性接触问题，不仅在数值方法上而且在数学理论上已经 比较成熟，而且伴随着a n s y s 等大量商业有限元分析软件的问世，有限元法在处理工程 实际问题中得到广泛的应用。 1 3 3 圆锥齿轮应力分析的研究概况 直齿圆锥齿轮作为机械传动的重要零件，历来是设计、研究的重点。但是由于圆锥 齿轮自身形状结构的独特性和复杂性，因而对它的研究比直齿和斜齿圆柱齿轮要少。近 年来，随着计算机技术的迅速普及和大型c a d c a e 商业化软件的飞速发展，人们借助 在c a d 软件中建立圆锥齿轮的模型，然后导入到c a e 软件进行分析的方法，开展了直 齿圆锥齿轮的应力分析研究。 文献 4 6 1 、 4 8 1 、【4 8 、【5 0 1 介绍了在当今比较常见的几种c a d 软件中建立直齿圆锥 齿轮三维模型的方法，比如p r o e 、u g 、s o l i d w o r k s ，并采用有限元分析方法对轮齿的应 力进行了分析。在上述文献中，一般都是首先建立在背锥面上的渐开线齿廓，然后生成 整个齿轮实体模型，因而是存在误差的。夏巨谌、陈霞等人在文献【1 6 、【1 8 、【4 7 中 采用a n s y s 提供的a p d l 语言，建立了齿廓曲线为球面渐开线的直齿圆锥齿轮，对静 态接触和动态接触作了详细的分析，并与赫兹接触应力理论值进行了比较，结果表明误 差较小。 1 4 本文的主要内容及特点 本文首次将非对称齿廓的思想应用到直齿圆锥齿轮的设计分析中，实现了基于 a n s y s 的非对称直齿圆锥齿轮的参数化建模，并分析比较了不同压力角对齿根弯曲应 力和齿面接触应力的影响。本文的主要研究内容有以下几个方面： ( 1 ) 本文首先推导了理论球面渐开线的方程式，然后基于平面齿轮的切齿方法， 根据直齿圆锥啮合原理，推导了实际应用较广的“8 字”啮合直齿圆锥齿轮齿面的参数 方程，并讨论了以大端分度圆压力角作为参数的非对称直齿圆锥齿轮的齿面方程： ( 2 ) 应用a n s y s 提供的a p d l 参数化设计语言，实现了非对称直齿圆锥齿轮的 参数化建模； ( 3 ) 应用a n s y s 软件，分析比较了非工作侧压力角对受拉侧齿廓和受压侧齿廓齿 根弯曲应力的影响； 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( 4 ) 应用a n s y s 软件，分析比较了工作侧压力角对在节线啮合处的轮齿的齿面接 触应力的影响。 本文研究的主要特点在于： ( 1 ) 利用平面齿轮的切齿原理，推导了以大端分度圆压力角为参数的非对称直齿 圆锥齿轮齿面方程； ( 2 ) 在利用a n s y s 软件分析齿轮应力的过程中，其模型是利用a p d l 语言根据 齿面方程建立的，省去了从其它c a d 软件绘制出模型再导入a n s y s 的过程。 ( 3 ) 分析了非工作侧压力角对齿根两侧弯曲应力的影响和工作侧压力角对啮合节 线处齿面接触应力的影响。 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 第二章非对称直齿圆锥齿轮的齿面方程及几何建模 2 1 引言 直齿圆锥齿轮的理论齿廓曲线是球面渐开线，这种球面渐开线要在专门的机床上采 用点切削刀具才能加工出来，加工比较复杂，效率偏低，难于实际使用。因此，在实际 中应用的齿廓形状多为上述齿形的近似齿形，根据加工原理的不同可以分为以下几种： 1 格利森( g l i s s o n ) 齿形，这种齿形是在格利森刨齿机上切制的；2 “8 ”字啮合线( o c t i o d ) 齿形，这种齿形是采用平面齿轮原理切制的；3 普通齿形，这种齿形是采用平项齿轮的 原理切制的1 3 3 j 。本文只对“8 字啮合直齿圆锥齿轮进行了分析研究。本章首先推导了 球面渐开线的方程和“8 字啮合直齿圆锥齿轮的齿面方程，然后在a n s y s 中建立了具 有“8 ”字啮合线齿形的非对称直齿圆锥齿轮的实体模型，最后讨论了非对称直齿圆锥 齿轮的啮合特性。 2 2 球面渐开线齿形的齿面方程 2 2 1 球面渐开线及坐标系的定义 图2 - 1 球面渐开线的形成原理 f i g 2 1f o r m a t i o np r i n c i p l eo fs p h e r i c a li n v o l u t e 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 球面渐开线的形成与常见的平面渐开线相似加】。如图2 - 1 所示，圆平面q 与锥角为 y o 的基圆锥k 。相切于d ，该基锥的底圆圆心为0 7 ，锥轴为0 0 ；设圆平面q 的半径 与基圆锥的锥距相等，并且圆心0 与基圆锥的锥顶重合。当圆平面q 绕基圆锥k 作纯 滚动时，其上的任一径向直线，如o a ，将在空间展出球面渐开线锥表面，而o a 上的各 点将在空间展出球面渐开线。 设在初始位置时，圆平面q 与基圆锥k 。相切于o c ，则当圆平面q 绕基圆锥k 。作 纯滚动时，建立如下两个坐标系( 图2 1 ) ，取定坐标系r ( o 一彬) 如下：坐标原点与锥 顶d 重合，z 轴与基锥轴线0 0 重合，在平面0 0 c 中确定x 轴，最后按照左手法则确定 j ，轴的位置。同时，取与圆平面q 固联的动坐标系r7 p - x y z ) 如下：坐标原点也是与 锥项d 重合，z7 轴沿着基圆锥母线o n 的方向，它是圆平面q 沿基锥k 。外表面作纯滚动 时的瞬时回转轴，工轴是平面9 上的一条直线，y 轴按照左手法则确定。则在图2 1 中 的任意位置处，定坐标系尺( d 一驴) 与动坐标系r7 ( d x y z ) 的关系为： 式中m 为坐标变换矩阵，即 r = m r ( 2 1 ) 一c o s 缈 c o s y os i n 缈 s l n y os i n 缈 径向线o a 在动坐标系r ( d 一工乡2 ) 中的的方程为： 甓y ， 式中，y 是o a 与瞬时回转轴o n 之间的夹角，是一个随着圆平面q 的转动而变化的参 数。 当圆平面q 绕基圆锥k 。作纯滚动时，径向线o a 相对于固定的基圆锥k 。即相对于 定坐标系r ( o 一班) 形成了球面渐开线锥表面，所以式( 2 1 ) 经过坐标变换，转换到定坐 标系尺( d 一舻) 中，即可得到球面渐开线锥表面的方程式，如下： y 涵 缈傩 差i咖焉 o o s ，。l =m 太原理工大学硕士研究生学位论文 f x ( s i n c o s 6 p s i n t ot a n y ) 一y ( c o s e p + s i n6 p s i n ? ot a n v ) 一z c o s y ot a n v = 0 【x c o s e p c o s y o + y s i n p s i n 7 0 一z c o s y o5 0 式中，伊是圆平面q 在基圆锥k 。上转过的角度。 ( 2 3 ) 在上式中，y = p s i n 7 。，这是因为：在球面渐开线形成的过程中，圆平面q 沿锥体 k o 滚过的弧长等于锥体k o 上被滚过的弧长，即弧c 等于弧m ，而弧n c = l 妒s i n 7 0 ， 弧m = i v ，所以y = e p s i n y o 。 2 2 3 球面渐开线的方程 径向线o a 上的点a 在动坐标系r p x y z ) 中的的方程为： 睇x = r s i n y l z = r c o s l g 式中，r 为长度参数。 经过同样的坐标变换，即可得到球面渐开线的方程式为： f x = r ( s i n vs i n + c o s vc o s 0 s i n 7 0 ) y = r ( _ s i i l y c o s 9 + c o s v s i n o s i n y o ) i lz = r c o s vc o s y o 2 3 “8 ”字啮合直齿圆锥齿轮的齿面方程 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 2 3 1 “8 ”字啮合直齿圆锥齿轮的切齿原理及坐标系的定义 在直齿圆柱齿轮中，当齿数z 变为无穷多时，齿轮变为齿条，作为齿廓曲线的渐开 线也变成直线。在直齿圆锥齿轮中也有类似的情况发生。当一个圆锥齿轮的分度圆锥角 万= 9 0 。时，分度圆锥面变为圆平面，齿廓曲线变为直线，齿面也变为平面，这种圆锥齿 轮称为平面齿轮( 或冠轮) ，其背锥变成一圆柱面，将此圆柱面展开，其当量齿轮就变 成一个z ，= 的具有直线齿廓的齿条阻她j 。 正如齿轮与齿条的啮合是直齿圆柱齿轮用范成法加工的基础，平面齿轮与直齿圆锥 齿轮的啮合是直齿圆锥齿轮用范成法加工的基础。范成法的具体原理为：如图2 - 2 所示， 被切齿轮1 与平面齿轮2 的啮合，相当于齿轮与齿条的啮合。若把平面齿轮2 变为刀具去 太原理工大学硕士研究生学位论文 切制齿轮1 ，齿轮2 就是一种具有直线刀刃的齿条型刀具。平面齿轮2 与被加工齿轮的轮 坯1 作范成运动时，其齿面的包络就是被加工齿轮的齿面。 r 时 图2 - 2 平面齿轮切齿原理 f i g 2 - 2g e a rc u t t i n gp r i n c i p l eo ff a c eg e a r 实际力n - v _ 时，采用两把单边直刃的刨刀彳和曰组成一个平面齿轮的齿间，如图2 3 所示，刨刀彳和曰与被切齿轮1 作范成运动的同时，又沿着分度圆锥母线方向作往复的 切削运动，并由此形成平面齿轮的齿面。每切完一个齿后，被切齿轮1 自行退出，由机 床分度机构转过一个齿，再送进切削第二个轮齿。这样依次进行，直至被切齿轮l 的轮 齿完全切制完成。刀具的切削运动及平面产形齿轮与被加工齿轮轮坯间的展成运动就可 将直齿圆锥齿轮切制出来。 采用这种加工方法加工得到的直齿圆锥齿轮，称为“8 ”字啮合直齿圆锥齿轮。本 文只针对这种齿轮进行研究。 ab 图2 - 3 平面齿轮切齿示意 f i g 2 3g e a rc u t t i n gd i a g r a mo ff a c eg e a r 1 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 在图2 4 中，对“8 ”字啮合直齿圆锥齿轮的加工原理进行了数学描述，并显不了 各坐标系间的相对位置。其中，圆平面瓯是平面齿轮的分度圆锥面，墨是与氏固连并 与之倾斜成矽角的齿面，坐标系r o0 一y 。z 。) 与之固连，平面而位。与平面品重合，z 。 轴是平面齿轮的齿面与其分度圆锥平面的交线。k ，是被加工齿轮的分度圆锥，其锥角 为n ，坐标系r l ( d x l y ，z 。) 与之固连，坐标原点。与其锥顶重合，z 。轴与其锥轴重合。 坐标系r ( o 一驴) 是与机架固连的定坐标系，其z 轴与瞬时啮合轴d 尸重合。在初始位置 w tz 轴与z o 轴重合，1 f 1 y 。o z l ，y o z 和y 。o z 。在同一平面上，此时对应于y = 0 和缈= 0 ，其 中，y 为平面齿轮即刀具转过的角度，妒为被切齿轮转过的角度。在不考虑变位的情况 下，当平面齿轮的分度圆锥面& 在被切齿轮分度圆锥k l 上作纯滚动时，其齿面墨在与 轮坯分度圆锥相固连的坐标系r i ( d x 。y z 。) 中的一系列相对位置的包络面就形成了被 加工齿轮的齿面k ，。 系： 图2 - 4 平面齿轮切齿原理几何关系 f i g 2 - 4g e o m e t r yr e l a t i o no ff a c eg e a r sg e a rc u t t i n gp r i n c i p l e 在图2 - 4 中的任意位置处，坐标系尺( d 一班) 与坐标系r ( d x 。y 。z 。) 存在如下的关 r = m l r o 1 3 ( 2 6 ) 太原理工大学硕士研究生学位论文 _l_ 一一 式中m 。为坐标变换矩阵，即 m 1 = 坐标系r 。0 一x 。y 。z 。) 与坐标系r ( d 一驴) 存在如下的关系： 式中m ：为坐标变换矩阵，即 炉降 r l = m 2 r s l r l 9 c o s y m c o s 妒c d s y l s m 妒s m n c o s 伊s l ny 1 一s m 乃c o s n 坐标系r0 一x l y 。乙) 与坐标系r ( o - x o y 。z 。) 存在如下的关系： 式中m ，为坐标变换矩阵，即 r l = m 3 r o c o s y ls m 伊 c o s 扎c o s 9 一s l n y i ( 2 7 ) ( 2 8 ) 2 3 2 “8 字啮合直齿圆锥齿轮齿面的方程 将图2 4 中的平面& 、平面& 和与之固连的坐标系氐o - - x 。y o z 。) 单独拿出来考虑， 就可以得到图2 - 5 。 图2 - 5 平面齿轮的分度圆锥面与其齿面关系 f i g 2 5t h er e l a t i o no fs t a n d a r dp i t c hc o n es u r f a c ea n dt o o t hs u r f a c e 1 4 y 矿 吣。叫 s 0 亏i o | 矿 y 宝0 蜀 、 渺吵 珧哗啪 妙 s o 矿 l c v舭p 叫 n y 峨严 幽 n 旷h 粥 眦y a 粤姗 s 譬 鸟 y w 刚衄 s 矽 鲫叩 蜀 p 吵 n 哆皿 m 旺 “悯 叭 叫 凇 哪婶 叫 ， m 太原理工大学硕士研究生学位论文 在图2 - 5 中，以s 1 平面中一r 向量的模尺和幅角秒为参数，在坐标系民0 一x 。y o z 。) 中， 建立s 。平面的参数方程如下： 其法向矢量为： r s i n f l r e o s f l o ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 因此，平面齿轮的齿面墨的法矢量为： n 一0 = 一i s i n f l + j c o s f l( 2 1 1 ) 触线上每一点的公法线应通过该啮合轴。因此，在图2 4 中，可以通过o p 上各点向s ，平 面作垂线，这些垂线的垂足就形成了瞬时接触线。由于s 。为平面，所以接触线就是通过 o p 作s 。的法平面与s ，平面的交线。又因为直线o p 和平面墨都经过锥项0 ，所以过o p 作s 。的法平面与s 。的交线必定通过锥项d ，因而直齿圆锥齿轮的瞬时接触线总是一条通 瞬时啮合轴d 尸在坐标系r 。o 一y 。z 。) 中的方程式为： fx o = t s i n y 虼= o( 2 1 2 ) 【z o = t c o s q 将齿面s 。的法矢量方程代入到瞬时啮合轴o p 的方程中，得到： 1 5 疗廖 璺 c s 们侈旧掣5 | | ； r r r i i i l i i 力一们0、i一心吖型掰婴删 i i i i l l 知 儿 砘 玎 疗 玎 太原理工大学硕士研究生学位论文 x o - x o ：生笪：兰凸 ( 2 1 3 ) 玎而刀蜘刀2 0 式中，g 。，y 。，z 。) 为齿面和被切齿面的接触线上点的坐标，因为其位于齿面s 。上，所以 满足产形面的方程( 2 5 ) ；( 芦。，k ，z o ) 为瞬时啮合轴卯上点的坐标，满足瞬时啮合轴的 方程( 2 8 ) 。 所以，将式( 2 5 ) ，式( 2 8 ) 和式( 2 7 ) 代入到式( 2 9 ) 中，得到啮合条件关系式， 如下： t a n 0 = e o s f l t a n y( 2 1 4 ) 在上式中，角是平面齿轮的分度圆锥平面与齿面的夹角，对于确定的平面齿轮， 这是一个确定的值，也可以通过改变这个参数的值，来达到改变圆锥齿轮压力角的目的； 角l f ，是平面产形齿轮旋转过的角度；角p 是s l 平面参数方程中的幅角参数。最终，上面 的关系式表达了当角y 给定时，在s ，平面上可以确定一个角度0 ，进而确定了一条直线 作为瞬时接触线。 在平面啮合原理中，啮合线是两齿廓瞬时接触点的集合，同样，在空间啮合原理中， 啮合线成为啮合面，啮合面是齿轮副在啮合过程中瞬时接触线的集合。将啮合条件关系 式( 2 1 0 ) 与产形面的方程式( 2 5 ) 联立求解，得到以y 为参数的在坐标系r o0 一y 。z 。) 中的啮合面方程式，如下： r s i n 沙c o s 2 口 x = = = = = = = = = 三= = = = = = 三= = = = = = ” c o s 2y + c o s 2f l s i n 2y 蜘：粤丝弊 ( 2 - 1 5 ) 胪忑万意赫 仁15 j 气2 忑露磊季萧零 将式( 2 1 1 ) 经过坐标变换，转换到与k 。固连的坐标系r , ( o - x 。y 。z ) 中，即可得 到被切齿轮的齿面方程，如下： 1 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 f