（基础数学专业论文）一类非线性方程的分解及其拟周期解.pdf

摘要 本文从个新的3 3 谱问题出发，获得了一类新的非平凡的( 1 + 1 ) 一维孤子方程然 后利用特征值问题的非线性化方法，得到了一个在p o i s s o n 流形r 3 n 上的具有l i e - p o i s s o n 结构的有限维h a m i l t o n 系统通过引入a b e l - j a c o b i 坐标，对h a m i l t o n 流进行直化最后 根据代数曲线理论及分解定理，得到了一类新的( 1 + 1 ) 一维孤子方程的拟周期解 关键词；孤子方程；非线性化；l i e - p o i s s o n 结构；h a m i l t o n 系统；拟周期解 a b s t r a c t b a s e do i lan e w3x3e i g e n v a l u ep r o b l e m ，an e w ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o n a le o l i t o nh i e r a r c h yi sp r e - s e n t e d w i t ht h eh e l po ft h en o n l i n e a r i z a t i o na p p r o a c ho fe i g e n v a l u ep r o b l e m s ，an e wf i n i t e - d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a ns y s t e mw i t hal i e - p o i s s o ns t r u c t u r eo i lt h ep o i s s o nm a n i f o l dr a i s o b t a i n e d t h ea b e l - j a e o b ic o o r d i n a t e sa x ei n t r o d u c e ds u i t a b l yt os t r a i g h t e no u tt h eh a m i l t o n i a n f l o w s b a s e do nt h ed e c o m p o s i t i o na n dt h et h e o r yo fa l g e b r ac u r v e ，t h ee x p h d tq u a s i - p e r i o d i c s o l u t i o n sf o rt h ef l e w ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o n a le q u a t i o n sa x eo b t a i n e d k e yw o r d s ： s o l i t o ne q u a t i o n ；n o n l i n e a r i z a t i o n ；l i e - p o i a s o ns t r u c t u r e ；h a m i l t o f i i a ns y s t e m ； q u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o n o引言 可积系统是孤立子理论具有挑战性的研究课题，最早的一系列有实际意义和有深度的 完全可积的h a m i l t o n 系统的模型：如j a c o b i 关于椭球面上测地线方程，c n e u m a m a 关于 约束到球面上的谐振子的可积性研究，k o v a l e v s k i 关于一些类型的陀螺的研究等这些例 子都是常微分方程的可积模型，最终被纳入著名的l i o u v i l l e - a r n o l d 理论但是，寻找新的 并能与具有物理意义的方程联系起来的可积系统越来越难，这为进一步全面研究有限维 可积系统的理论带来了困难进入上世纪6 0 年代，随着孤子理论的兴起，从无限维可积 系统构造有限维可积系统的研究给这一领域带来了生机1 1 - 3 ，目前，比较系统的方法有 驻定流方法和l a x 对的非线性化方法 驻定流方法是前苏联数学家建立的关于孤子方程的驻定方程是完全可积的有限维h a m i l - t o n 系统的方法1 1 - 6 l a x 对的非线性化方法最早的启发源于j m o s e r 7 关于有限带位势 的s c h r s d i n g e r 方程导出历史上的c n e u m a n n 系统的研究曹策 可教授在上世纪8 0 年代后 期基于对s c h r & i i n g e r 方程谱问题的认识进一步系统提出孤子方程对应l a x 对的非线性化 技巧睁1 5 】，成功地得到了许多有限维可积系统，极大地丰富了有限维可积系统的内容之 后，曹在文1 1 6 - 1 7 中建立了驻定流方程和l a x 对的非线性化特征值问题等价性的理论 非线性化方法是利用位势和特征函数的约束关系，把谱问胚非线性化，而且，这种非线性 化的特征值问题被判定是l i o u v i l l e 意义下的完全可积系如k d v ，a k n s ，j a u l e n t m i o d e k ， k a u p - n e w e l l 族等该方法已被国内外许多孤子研究者采用并得到了众多的推广 特征值问题的非线性化是构造有限维可积系统的重要途径本文主要通过三个途径来 讨论l i e - p o i s s o n 框架下的非线性化特征值问题第一，l i e - p o i s s o n 结构；以往非线性化特 征值问题的研究是在事流形框架下通过j # 退化的p o i s s o n 结构展开的f 1 8 - 2 1 】本文以一个 3 3 特征值问题为例，说明了该特征值问题的非线性化是具有l i e - p o i s s o n 结构的p o i s s o n 流形i p n 上的广义h a m i l t o n 系统它具有个c a s i m i r 函数和个独立的两两对合的守 恒积分，因而是完全可积的利用l i e - p o i s s o n 结构讨论非线性化特征值问题有以下几个优 点；1 和谱问题对应的l i e 代数结构联系在一起，因而可以利用l i e 代数的有关性质讨论 可积结构；2 该结构下位势和特征函数的约柬十分简单，相当多的情况为线性约束，其 性质更接近孤立子系统；3 计算上的便利，把矩阵的计算转化为三维向量的计算，结论更 直接，应用更方便；4 该结构是多种结构的统一处理，可以把对应同一孤立子系统的不同 非线性化特征值问题纳入同一l i e - p o i s s o n 结构进行统一的研究【2 2 - 2 8 第二，母函数方 法；本文引入母函数方法，利用守恒积分母函数以产生的t 一流对应的h a m i l t o n 系统，获 得守恒积分对合性的证明，该方法还可用于守恒积分函数独立性的判定第三，超椭圆曲 线的0 函数的应用非线性化理论告诉我们孤子方程的解等价于两个相容的h a m i l t o n 系 统的解，只要获得孤子流的直化方程，便可利用r i e m a n n 定理反演孤子方程的0 函数解 全文框架如下t 第一节引入一个3 3 特征值问题并且获得与之相关的孤子族第二 节在特征函数与位势之间的b a r g m a n n 约束下，得到l i e - p o i s s o n 结构下的有限维h a m i l t o n 系统( 2 5 ) ，进步证明了该系统具有个两两对合且函数独立的守恒积分，以及个 函数独立的c a s i m i r 函数，从而证明了此h a m i l t o n 系统的完全可积性第三节通过引入一 族新的多项式积分 巩) 达到了对孤子方程的分解第四节借助椭圆坐标 蜥) i 吩) ，定义 了a b e l - j a c o b i 坐标毋，妒。并得到了a b e l - j a c o b i 坐标分别沿t 一流和t k 一流的演化方程，从 而为孤子方程的求解打下了基础第五节通过a b e l - j a c o b i 坐标反演，得到偶数次超椭圆 曲线情况下黎曼0 函数的表达式第六节得到了孤子方程的拟周期解 2 1l e n a r d 序列与孤子族 此部分通过引入谱问题，借助零曲率方程获得一类孤子族 考虑3 3 特征值谱问题 其中 妇= u ( a ) v 矿c 柚= ( 2 a i ”：0a 一2 a w m ) = ：w + w 您+ c 一，+ 蠡，如， m = ( ；三：) ，眈= ( ；i ) ，? = ( a 蚤；) ， ( 1 1 ) = 扩+ 詈，k 和8 为任意实数，且k - 1 定义映射l r ：r a s t ( 3 ，r ) 为：仃 ( 1 ) = 一y l d l + 1 2 盯2 + 7 3 0 3 ， 一y = ( ，y l ，加，) 丁，则 u ( a ) = a ( 曲，墅= ( 刚，一l + 芸) r 取v = 以( ，y ) ，直接计算可得 其中 k 一【以v 】= 口 【( a v ) 7 】= a a c k a j ) 7 l k = ”卜瞄) 定义l e n a r d 递归方程为 方程如一l = 0 有一特解 k g j 一1 = 嘞，j g 一1 = 0 ，j 0 = 3 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 由 西 满足的递归序列 可得协) 前几个值为 ( 1 5 ) 卯_ ( 二= h5 舻( - 3 w 2 u v 篡三耋兰i 瑟) 其中 令 9 22 ( 一 毗一3 w 2 v u z 一3 w 2 u v z 一：如砭+ 3 u z w z 一3 w v w x $ + 3 u 札h - w u z z 十2 w z 一3 伽2 札24 - w u 3 + g t l 矿t ，2 4 u v w 2 + 3 叫3 伊 + 敏1 2 t + 3 v w 3 + 2 w 2 + 3 “伽t k + 魄z z 一2 w v w x ) ( 9 w u v v z + 3 “z 一3 u v u z 一3 u 2 一3 w u 2 1 ) 2 十；u 2 t ，3 2 埘2 伊t k + 3 w 2 毗+ 3 2 一知地一3 谚+ 一3 w v 3 w z 一4 u w v 2 + 伽z z + 3 t k 一3 w v v x 。+ 2 w v v z v z z z 一2 v 2 妣+ 3 w 2 可3 ) ( 4 u v w g 2 t 一2 口2 地一3 t k 一3 w 2 口2 2 w v z 十2 v w z ) y ( ”) = o a ( g 。) n 瓯= 毋一l 一+ 靠，靠= ( o ，0 ，如) r j = o 则( 1 1 ) 与玑。= y ( “) ”的相容条件 等价于 其中 一嘭”+ 盼y ( ”】= 以匦。一( k x d ) g n 】- 0 = ( 芸簪) 两南晶= 甄1 1 + ( k v k - 1 _ o l j 2 + ( 七+ 1 ) ”七靠】 4 ( 1 6 ) 硼嘲一赫 叶即吼 即 ( ：) k = r 其中向量场为 = j ， j 2 b 毋2 州) 即 ，t 、 ii = ， 。 蜀， ，“、 ii = 恐 ”几 ( 1 ，7 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 啦2 丽1 驴o 矿lo 、。k 一嘉) a 雌+ 1 ) 2 抛邓十1 ) d 熹a ( v k + 詈) + ( 膏十1 ) d ( ：一杀) 踟 相；一南) 咕州字扎刊一1 刊一i 3 秒十2 】+ ； 南【a 熹即- + 詈) 一a ( ：一南) 踟】+ 巩) 一( ”+ n ) u + u 2 十肛1 ) 扎警】+ 三r 生二旦k 0幂1酾k2-k2 a 2 搿1i：幕2a啪。一k甜+l、v讲yk+2拇。x91 m 啦2 赤曲a ( 矿+ 詈) ”+ 南) 训 u 2 + i ( ) 扎铷+ 丽( 1 讲斋) u 1 + 而2 ( 石k 一嘉) 州扩1 刊u + 南( 等十务) ) + 志- - 一【嘉狮t + ：) l - - - i v + ( 1 + 嘉) 钏+ 高砖a + 击【嘉a ( ：一南) 叫- + 嘉) a 去洲( 等扎：) 5 厩蒜 蚺电” 加竺抖 ， 一口 1 2 堡 生 南m n + 墨弋o 冉备嵯 ”舻 一 一州+曩 2 z 卫口肛滟寸f 。 啪为扎蚪垒一b 苎芦稚 挑奄溯 弦南而 = | i 0 令女= 0 ，o t = o ，则得前两个非平凡的( 1 + 1 ) 一维孤子方程【2 9 l 令k = 1 ，o 一0 ，则得前两个非平凡的( 1 + 1 ) 一维孤子方程【删 2 = 嘶2 t “= 仇= 扣山 ；( ”- 1 - - u i j 2 + 舻) 。， 1 3 ， 互“2 ”+ 毗一互”； 蓉1 二荽32 ：二；3 泛, 4 二苏：荔鼍二? 。_ 4 乒2 矿呐；+ ；u ”+ i t l 2 地伊一i 矿+ 萼札 6 u ；气户 扣驴针。7 。气 啪 + 。一 矿 一 一m 一。严 一 ! ! | 如 ；。甲昏牵 一 一 十 卜 卜：一 扣。铲。产。产 2l i e - p o i s s o n 结构下的有限维h a m i l t o n 系统 考虑谱问题( 1 1 ) 的分量形式取一组两两互异且不等于零的常数a 1 ，h 船z = u ( 如) 蜥， 鲫= ( 1 j ，物，w j ) t ， j = 1 ，n( 2 1 ) 命题2 j 设g x 2 9 - 1 + 三i 则 ( k x j ) g = ，( 9 b 一蚴) ( 2 2 ) j 2 l 证明 由于僻一a j j ) y j = ( a 一矿( ) ) = 0 ，及k g j l = j g j ，j g - 1 = 0 ，经过简单的计 算，我们有 n 1 ( k - a j ) g 垆j g o + 薹南畔。j ) 珊 = j g o 十磊南i ( k - 刎“m 玢 = j ( g o 一盼) 。 j = l 因为算子j 的核为一维，故由方程( 2 2 ) ，自然有( k x j ) g a = 0 等价于 c 为任意常数，为简单计算取c = 0 ，则可得b a r g m a n n 约束，即 ( 2 3 ) 口= ( 2 蚴一a ) 南 u ：南“2 n 蛳一。) 莆n 蛳一【( 2 n 蜘一。) 南+ 。( 2 n 蚴一。) 一篇】n 蚴) t 2 南“2 荟蛳一。) 莆吾蛳一荟蜘一a ) 南+ 雌暑蚴一。) 一篇1 丢蚴) + 2 脚+ 2 ( 2 蛳一n ) 南g 巧 ( 2 4 ) 把( 2 4 ) 代入( 2 1 ) 就得到非线性化的特征值问题一b a r g m a n n 系统 其中 v 讧= j 零j h ，= 1 ，n f o 乃= l2 脚 l - - y l j 7 ( 2 5 ) 一凹 j j 盼 纠 一 舌； 蛳 嘲。 撕。 蚴 日= 2 蚴一f ( 2 y 3 # 一o ) 南十o ( 2 蜘一o j 毒j 物一( 蛳) 2 j = 1j = lj = l j = l j = l n n 一( 2 y 3 # 一n ) 南秒l j j = lj = l 下面我们来证明也是l i e - p o i s s o n 结构矩阵考虑l i e 代数 以( ) = 肘：m t 吼+ c k m = 口，m 面( 3 ，r ) ) ，j = j ，n 吼- = = ( ；一；) ，毫；( 2 0 0 ：0 ：0 ，= ( - ：10：0 【矗，l = 一2 ，日，】= ，随，矗】= 一 取z 4 ( ) 的对偶空间z 一4 ( ) 皇r 3 的相应于 毒，毫，) 的对偶基 4 ，以，以) 那么 y j = f f l j 4 + 物4 + 物以，v f = 丽o f + 署岛+ 器 根据文献f 2 5 】，乃是l i e 代数f 4 ( 如) 的l i e - p o i s s o n 结构矩阵而在z _ ( a j ) + x z a ( a ) = l 沪n 上的泊松括号定义为 f g ) = 鲫；隅f v j g 】) = ( v j f , j j v j g ) 2 蔷n 削, 丽o f 丽o g 一万o f 。，嘞o g ) + 蚓| 。葡o f 丽o g 一焉蔷) ( 2 6 ) + 蚴丽丽一面丽) j 其中( ；) 是z 一4 ( ) 和z 一4 ( ) + 之间的自然配对，f i 】是l i e 代数4 ( 知) 上的l i e 括号 8 因为 以。们：n。+加，。+：以(二0：-三73-|3了29303) 以( 1 ) = 饥口1 + 加口2 + = ( h1 o 一讯l 以：；d e t a 协，啄1 g ) = 二枨z 薹嘶一n ，南+ 薹芒葛z 薹翰一n ，南+ 。c 。蚤n 蛔一n ，融+ 善n 芒驽， 一a 2 ( 1 一至盏) 2 _ ( 2 登二一n ) 南壹一( 。量一。) 南兰y 。j - - c * ( z 登蛳一。) 南n y l j y 3 j y 2 j y 2 j = 一( 2 锄一n ) 南一( 2 一o ) 南 ( 2 蛳一。) 研， 一c 扣2 聃。薹蚴+ 薹忐+ 薹南 ：舻+ 量f m m = o ( 2 7 1 9 易：一( 2 壹蜘j 一。) 币1 圹一( 2 聊一n ) 南蚴一n ( 2 锄一a ) 币- 1 购一三蚴 一善塑望等兰警丝+ 。碍j - 蜘一犰聊n 蜘一。百塑等害竽， n n f m = 可1 易+ m - 1 ) 吁_ 2 吩，m = o ，1 ， j = l j = l ( 2 8 ) 因为乃码 j = 0 ，故由p o i s o n 结构( 2 6 ) 可知t v f c o o ( r s n ) ， f ，吩 ；0 ，又由b 的表达式可知， l ，h 函数独立因此我们有 命题2 3 l ，是p o i s s o n 结构( 2 6 ) 的n 个函数独立的c a s i m i r 函数 命题2 4记r 流的变量为k 则 瓦d 蜥= ( a ，) 鲫 ( 2 9 ) w ( a ，) = i 兰i 以( g ) + v o ( a ，) ， k ( a ，) = ( 馏) 3 x 3 ， 篆聋2 鹫：3 辫k 掣1 商静叼l 憎- = 增。= 糌，v 0 2 咯1 = 铲：。 证明 由( 2 7 ) ，记r 最= ( v 1 j ，v ，v 彰) r ，直接计算得 ：一c 。蚤n n，南一cz妻物一n，南芒鼍一万蚤nvl；f v 3 j j = l 蚴 = 一( 2 一n ) 南一( 2 物一n ) 市一万专圣蚴 j = 1 o 。j = 1 一点粪鼍， v 2 j ：一( 2 量物一d ) 南一q ( 2 n 锄一。) 币一( 2 n - 1蛳一a ) 南v 2 j = 一( 2 物一d ) 彘一q ( 2 锄一a ) 币一( 2 蛳一d ) 索f 专 j = li = 1 j = 1 。 邶j 壹= l 蛳刊南恶j 一薹蕊一点耋悬， v 巧= 等c ：薹物一。，一嚣著n 尝薏+ z 一是薹尝一z 芒再蚴- - i j 一篇嘻一，帚薹避一z 耋脚+ 袅一蕊薹 + 南c 。薹鳓一n ，一错丢n 蚴一而2c 。丢n 锄一。，赢薹芒鼍 一南c 。薹物一n ，南砉”u 一斋c 。薹物一n ，南薹蚴 则得 丢蜥= 弓v j a = f 去鲰( g ) + v o ( 气a j ) b j = ( a ，b 沏 翎z s 设瓯艰t + 丢n 煮，p c 则 丢g 一= 【击叭( 瞰) + ( a ，删郇= 吵( 川吼 ( 2 1 0 ) 南命题2 2 蜃命颁2 5 百r 租v ， f a 命题2 6 巧，最 = 丢昂= 一l d e t q 瓦d ( 吼，啄1 q ) = 。 易，厶 = 0 ，v j ，k ，n 晶，r ) = 0 ，v m ，n = 0 ，1 ，2 根据文献f 2 2 - 2 5 】的方法，可以证明下面结论 命题2 7 个1 形式d b ，1 jsn 是线性独立的。 由命题2 1 ，命题2 6 ，和命题2 7 ，我们知道h a m i l t o n 系统具有个两两对合且函数独 立的守恒积分弓，1s j n ，以及n 个函数独立的c a m m i r 函数，因而是完全可积的 3 孤子方程的分解 本节我们要把非线性方程分解为两个相容的有限维h a m i l t o n 系统 由( 2 8 ) ，我们得到 nn n nnn n f o = 2 蛔一2 ( 2 y 3 j o ) 帚y 3 i y 2 i 一( 物) 2 一( 2 y 3 j n ) 南1 j ， j = i1 = 1i = 1j = li = 1i = 1i = 1 n nn n nn f z 一一( 2 y 3 i n ) 南砖f 1 j - 2 ( 2 物一n ) 帚啊砖物+ 2 拳1 锄 i = 1j = lj = li = 11 = 1 j = 1 n nnn 一( 矽秘) ( 譬y 3 1 ) 一( 垮锄) ( 碍黝) ，”+ n = - jj = l 5 = t m + n = l - - ij = 1 j = l ( 3 1 ) 下面引入另一类多项式守恒积分 h k ) 设 则( 3 2 ) 等价于 h o = f o ，h 1 = r ， h k + l = f k + l + i 1 凰岛 “0 = 奄一t h x = 仇a 咄 k = 0 ( 圾一2 a 2 ) 2 = 一4 a 2 最 由泊松括号的定义及l e i b n i t z 法则得 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 风，以= 以一2 a 2 ，巩一2 矿 = 、仁孬瓦，、一4 p 2 耳 ：下冀 瓦，昂 姐 = ；= = = = = = = 1 ，1 ，tro v 、j 辩p f 、k 类似文献【2 1 】的方法可得以下命题 命题3 1 ( i ) b a r g m a n n 系统的守恒积分是两两对合的 以，瓯 2 0 ，搬，p c ( 3 5 ) h i ，h k ) = o ，k = 0 ，l ，2 ，。 ( i i ) h o ，日1 ，日_ 一1 是函数独立的 令 则 其中 由于k e r j = c g l l c r ) ，把j - i k 作用于( 2 3 ) k 次，每次产生一个积分常数勺得 _ 珊= 鲰+ c i g i 一1 + + c k g o + c k + l g l ，七2 1 j = l nn o ( a ) = ( a 一) = n 一k 妒，( 蛳= 1 ) j 2 1 k = 0 ( 3 6 ) _ 0 = 口( ) 玢= 鲫+ c n , l g n l + - 一4 - c l r , l f g o + c n , n + 1 9 - - 1 ， ( 3 7 ) j = l c - j = a n k c k - j o = o ，n 一1 ) = j 由( 3 7 ) ，我们有下面命题 命题3 2 设胁o = l ，) 是b a r g m a n n 系统的解，则 = 击 ( 2 登y 3 j - - ( ，) 南n 蛳一【( 2 n ) 南+ 。( 2 n 蚴一。) 一精1 n 2y 3 j - a 物， 雨“2 著赭丢们，_ 【( 2 纠) 帚+ “2 暑蚴一0 。一搿1 暑物 n n n + 2 y a + 2 ( 2 y 3 j 一口) 帚蚴 ( 2 n 蚴一。) 南( 2 蚴一n ) 南 满足定态方程 x n + c n , 1 x n 一1 十十c n j v x 0 2 0 证明把算子j p t 作用于( 3 7 ) 两端得到( 3 8 1 设 我们可以得到 c a = 1 + “a 一 拓1 g - 艰t + 薹n 救= 蝴 瓯= + 羔= 甄纵 j = l 。 ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 吐 d 脚 = 钳 其中 鲰= 9 j l a 一， j = l 显然一池= o ，所以瓦= ；如t 铱溆，钌1 鲰) = 一妒是争流的守恒积分 由( 2 7 ) 得 由( 3 4 ) 得 b = ：d e t a ，何1 舐) = 一a 2 以= ，一叁 分别记乃一流，蛾流的变量为圾，n ，则 命题3 3 其中 d1d 瓦。二再瓦 = 圣j j 可j h 、= 、j p r 弧 j = 1 = 于易= x m ，m = 0 1 j = t 于= ( 南0 ”“晶咕+ 0 嘉：。一。) i善了”j = 一番w 兹。薹铷+ 南旷“邶删一 弘南” 吨薹物 证明 由( 2 8 ) ，( 3 4 ) ，( 3 1 0 ) 得 扔巨q l lq 鬟1 2q 兰1 3 ) g - 1 4 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) n 、 u 付 钍 口 ，-i，-_iit、 物 倒 3驰 = 南” 薹”u 州例i ，、a j y 3 巧j ，矾z = 而- - 2 咭k 一嘉，薹蛳，q s = 一z a 薹芒驽， q z - = 南”一善n 物，锄- ，i 。；1 一y 3 巧1 + 雨4 石k 一南，薹购，q = z a 薹蕊， 钆= 一蚤n 蕊，q 诒= 薹n 哉，锄= 。 所以 ( 。t l 卜j 墨= l 一= 堙一2 去嘲翎 分别将风与向量场j 靠的表达式代入上式，再比较a 的系数，便可得命题中的第二式 推论3 4设珊( 毛t m ) 是 v 讧= 3 零 h ，3 f 。= 3 j v j h m ，= 1 一，n 的相容解，那么由b a r g m a n n 约束( 2 4 ) 给出的“( z ，) ，w ( z ，r m ) 是孤子方程( 1 7 ) 的解 推论3 5当m = 1 时，记t o = 为q = ，设协( 甄) 是 v j = j j 可，h ，w j h = j j v j h , ，j = 1 ，n 的相容解，那么由b a r g m a n n 约束( 2 4 ) 给出的“( z ，g ) ，u ( ) 是孤子方程( 1 1 0 ) 的解 推论3 6当m = 2 时，记伯= 毛t 2 = t ，设鲫( z ，y ) 是 q 社= j 零j h ，w t = j j v j h 2 ，= 1 一- ，n 的相容馋。那么由b a r g m a n n 约束( 2 4 ) 给出的“( 。，) ，口f ) 是孤子方程( 1 。1 1 ) 的解 1 5 4a b e l - j a c o b i 坐标与流的拉直 这部分根据r i e m a n n 曲面的基本知识，引入a b e l - j a c o b i 坐标，然后利用椭圆坐标沿 以流的演化方程，得到a b e l - j a c o b i 坐标沿豫一流的演化方程 首先，我们引入a b e l - j a c o b i 坐标，由( 2 7 ) ，得 其中 b = 一穿+ 萎嘉= - 入a l a l 川g i ) 2 = 一裟m b = 一穿+ 器=一铲( g 3 ) 2 = 一罴 - - - - 0 叫v ， a 嚷叫蚤n 最) = 等 ( 4 t ) g h + 暑n 蕊= 等 n 口( a ) = ( q ) ， j = j m ( a ) = ( a 一心) ， j = l + 2 b c a ) = ( a 一岛) ， j = j n ( a ) = ( a 一吩) j = 1 丽蔬2 矿葡碉 蘅贰2 而葡酾 冗( a ) = 。( a ) “a ) = d 一知) ， 证明 把a = 心，吩分别代入( 4 1 ) 得 嚷= 嬲，g 3 j = 嬲 孥= ( 一霉+ 话，) g ：+ ( 霉+ 坩。) g 3 。 垒dgi_窑-#，：；嚣z辫a-#dtx a篙 、 一p “7 一p 。、 a 一“ ”p 1 6 ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 令p = 坳，代入( 4 4 ) 得 亟d t x - ( - 聋+ 鬻) 嚷、一p i 1 x p jx p j 。p i ：一兰堕型尘趔 a 一心口( a ) p j a ( p j j 因为 亟：型一d v 土塑盟 出 n ( a ) 出m c x ) d t 令a = 脚，则 舡钠一等嫠 同理可得( 4 2 ) 的第二式 因为 丛! 一一! 一 ! ( a p ) m ( p ) + 1 ( 1 一：) ( 1 一告) ( 1 一警) 当j 1 时，l a u r a n t 展式中芦。的系数为0 ，则由c a u c h y 积分定理得 耋丽i , - j = 熹j f 苦淼+ 丽a n - j = 丽a n - j 对于某一固定知的，引入拟a b e l - j a c o b i 坐标 蠢= 妻c 芍蒜妣磊= 著9 氏v j 诵u g - a 以s = ，移 ( a 5 ) 命题4 2 直化最一流 妥= 酉a 9 + l - - s ，丛d t x = 1 _ _ a g + 矿l - - s ，s _ 1 净 ( 4 6 ) d t n ( a ) n ( a ) 。 ” 对于本文中所对应的超椭圆函数曲线r ：2 4 r ( a ) = 0 ，亏格为g = n 取椭圆曲线r 上的正则闭链4 l ，a n ，6 1 ，6 _ ，使其满足 啦0 q = 0 ，“o6 j = 0 ，啦o b = 6 舀， 则r 上的n 个线性无关的全纯微分基底 磊：竺竺，(s：1，功2 一v - r - 两、5 1 训 令c 为周期矩阵( a 础) _ 的逆，即 c = ( a 。k ) i l ，a 础= 豳 ( 4 7 ) 则。可经线性变换规范为 使其满足 数 g 岣= q 如，( s = 1 ，) ，u = ( u 1 ，忱，吻) t = l 屿：5 俸1 j a k l | b m j b k 由r i e m a n n 双线性关系知，矩阵( b j 女) n n 对称且虚部正定，因此可定义r 上的口函 一( e ) = 唧7 r 行( + 2 ) ， ( 伊( 4 8 ) 此时，对于固定的知点，引入a b e l - j a c o b i 坐标如下 曲= 壹虑圳= 砉虎u 由于d e g r ( a ) = 2 n + 2 ，所以对于同一个a ，在黎曼曲面r 的上下两叶分别存在两点 p + ( a ) = ( a ， r ( a ) ) ，p 一( a ) = ( a ，一r ( a ) ) 因此，在m 处的局部坐标z = a - 1 下，r 的仿射方程为 p r 。( z ) = 0 其中 = z n + i f ，见0 ) = n + 2 r 0 - 1 ) = 故两个无穷远点可表示为 o o l = 0 = 0 ，f = ( 一1 ) 一1 ) ，l = 1 ，2 命题4 3 令钆= 砖+ + a 知+ 2 = 砖，则有下列展式 志：妻船t 丽2 色a 昭 1 8 ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 其中系数满足递归公式 其中 ( 4 1 1 ) 设a ，g 为由( 4 7 ) 定义的矩阵c 的列向量，可以得到如下结论 互了去丽( a ：+ q + + g ) 2 三吼声“ h 1 2 n = ；( a k c l + a k l c l + + a k 一9 c g ) ( 4 1 3 ) 其中定义a 一。= 0 ，8 = 1 ，2 ， 特别地 n 。= ；g l ，q = ；( a 1 g + c 2 ) ，n 2 = ；( a 2 c 1 + a l q + g ) 因此有如下命题 命题4 4利用a b e l - j a c o b i 坐标吼一流得以直化 蓑= 。q * ，差一。n t c a j a ， 证明由( 3 1 1 ) 和( 4 1 ) 得 、r ( a ) = x a ( a ) c 再由( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 得 d1d d 7 、以d t x 堕d t b = 丽t g + 1 ( ，朋t ， 芸：噪( 一，一) t ， 瓦2 丽 一。j 等= e 关= 淼( c 1 a - 1 + - 1 - 旷甲 = 高( c l 抖+ 掣) _ 2 薹r 2 刁茏蓊p p 十一扎铲“色“ ( 4 1 5 ) 。尹珏 = ： a l 三驰 = = 肺 觚 通过比较的a 一系数，可得( 4 1 4 ) 的第一部分，同理可得第二部分 经过直化的方程( 4 1 4 ) 可以很容易被积出 = 如+ 2 f t - k ，妒= 粕一2 暾礓 在。a b e l - j a c o b i 窗口”中观察。风流与流二者的解都是线性函数 风流t 毋= 如+ 2 n k r k 讯流t 毋= 加+ 2 1 1 z + 2 f k v k 5 反演 设由2 n 个向量 屯，b j 张成的格点集是r ，则r 同构于z 的加群因此商空间 ，( r ) = c t 是n 维环面，称为j a c o b i 簇取r 上一固定点p o = p ( 知) 。定义a b e l 映射 a = 鬈u 其中u = p l ，u 2 ，螂) t ，p o ，p r a b e l 映射的定义域可经线性扩张到因子群d i v ( r ) 上 其中m r ，n k z 重写a b e l - j a c o b i 坐标如下 a ：d i v ( r ) 一j ( r ) nn a ( n k p k ) = k a 0 k ) k = lk - - - - i 妒= a p ( 心) ) ， j = 1 n 妒= a p ( 吩) ) j = l ( 5 1 ) 则由r i e m a n n 定理1 3 1 3 2 】知，存在常向量m ，使得 ( 1 ) ：口( a ( p ( a ) ) 一砂一m ) 有n 个零点，分别为a = p l ，p ( 2 ) ：口( a ( p ( a ) ) 一妒一m ) 有n 个零点，分别为a = 2 1 ，v n 那么由留数定理可得反演公式 rg 2 i 心= l ( r ) 一r e s ) 、：。a 5 d l n o ( a ( p ( a ) ) 一一m ) ；1 2 乏1 ( 5 2 ) l q = 厶( r ) 一r e s x = m 。 8 d l n 口( a ( p ( a ) ) 一妒一m ) lj = l f = l 其中 x k ( r ) = r 岣 j = l 。吖 是一常数 由于 蛳) = a = r p o u e u + o o l u ， a ( p ( a ) ) = ( 力= ，= 一u + ， j j l ， 2 1 西 仍 甜 l l= u c - ，= 三n g 瓯一 =剑耋gr而za2 如 - j nz 屑两 =(-1)tzo。志鼢+-+2 j o z _ 1 胁 、嘻t 夏” ” j u “ = ( 叫。z 。k = o n 出 = ( 一1 ) q “ 因此，a ( p ( ) = 一枷+ ( 一1 ) ；毗1 声 其中琅：一尸。，( f ：l ，2 ) v c u j 故在局部坐标z = a 一1 下，( 5 2 ) 在o o f 附近的幂级数展开式为 l n p ( ( a p ( a ) ) 一曲一 彳) 一i n 0 ( b + m + r a + ( - - 1 ) 一1 ；n e 一】z ) k = 1 “ 4 - o o = l n 口( + m 十叩f ) + 矗z 。 。一佃， ( 5 3 ) l i l p ( ( a p ( a ) ) 一妒一m ) = l n 口( 一妒一m 一哺+ ( 一1 ) q k l z ) k = l 。 。 + o o = l n 0 ( 一妒一m 一班) + 矗 其中，t a y l o r 展示的系数， 与可矗由求导的链式法则计算得到 将( 5 3 ) 带入到( 5 2 ) 得 若记 岛= 砉颤= 最 ( 5 4 ) 鬈 詹 占 s 一 一 露 露 s s 一 一 d u 厶 l f f 瞄 哼 管闩 那么由e i n s t a i n 求和约定，最终可得 j = l n j = l 卯) 一；噶驰象 卯) 一；嘶驰笔一：噶q 猿- n 吩= j 1 ( r ) 一互1s - 岛l n 嚣 喀= 如( r ) 一；硝岛l l l 筹一i 1 s 龟 a 幻k 镶l n 秽；呓 ( 5 5 ) 其中( = 1 ，2 ) o t = 0 渺+ m + 】1 ) = 口( q 知亿+ 如+ m + 聊) ( 5 6 ) 卵= 口( 一妒一m 一饥) = o ( e q 一咖一m 一，) 1 ) 若记z = 强，y = 1 ，t = 2 ，则由复合函数的求导法则，5 5 ) 式可被简化为 蚤n 心= ( r ) 一互1 如瓦0 1 i n t t l 心= ( r ) 一石如瓦 = i 。 妻店：9 ( r ) 一；吼l i l 瓦0 1 一五1 罐i n 0 1 0 2店= 如( r ) 一；吼1 1 1 磊一五罐 1 = 1 。 蓦n 吩= + 五1 i i ( f ) 讪嚣v 1 吩= + 虿如l “丽 ，= l 塞哼= j 2 ( f ) + ；驴筹一i 1 讪2 口1 0 2 哼= j 2 ( r ) + ；岛l n 象一五l n 口 f = l ( 5 7 ) | | | i 晰 碍 学州 6 拟周期解 比较( 4 1 ) 的l a u r e n t 系数得 。( 内一知) = 一翰 j = lj = l nn ”( 一吻) = l j 争h 桫+ ：) 纠= 幻一吩) u=4量一2三n(心+吩)+2(“ain俨vj=1 巧 u = 4 一2 ( 心+ 吩) + 2 ( 矿+ ，一4 百 j = l 。 。” 胁+ 1 刊圳n 筹， 吲塞一一n 筹+ 2 ( v k + l + 4 i i ( r ) 0 1) + o l n 熹 乱= 4 一 一 n 器+ 2 ( ) + 赤 ，= l 巾) _ 【+ l ( 0 ) + a ) 黼叫南， 心) = a t - a l n 簇aa + 2 ( - i - z 刊仙高， 岛= o ( a o z + 如+ m + 啦) ； o t = 口( 加+ m + 町1 ) ， 靠= o ( f ! o x 一咖一m 一叩f ) ；卵= 0 ( - 奶。一m 一叩f ) ， a l = 4 一4 j l ( r ) 命题6 2( 1 + 1 ) 一维孤子方程( 1 7 ) 的拟周期解为 巾 ) _ i ( 帅，? ! 刊叫矗 u ( 圳呐墙嚣+ 2 ( 批删刊+ 棚n 高， 画= o ( n o z + f 2 n t n + o o + m + r t t ) ；田= o ( f 2 0 z + n n 一怕一m 一功) ( 6 1 ) ( 6 2 ) ( 6 3 ) ( 6 4 ) ( 6 5 ) 如剐刈帅，紫糕一0 矗 咖l 墙嚣+ 2 ( k 刊彻n 蒜， 巾，t ) = l ( 帅，? 黼一卅矗一 婚m - 墙嚣+ 2 ( v m ) + 弛躁， ( 6 6 ) ( 6 7 ) 参考文献 1 h f l a s c h k a ，r e l a t i o n sb e t w e e ni n f i n i t e - d i m e n s i o n a la n df i n i t e - d i m e n s i o n a li s o s p e c t a le q u a t i o n s ，p r o c 1 u m s y m p o nn o n l i n e a ri n t e g r a b l es y s t e m s ，k y o t o ，j a p a n ，w o r l ds c i p r ，s i n g a p o r e ，1 9 8 3 ，2 1 9 - 2 3 9 【2 】2 h a i r a u l t ，h p m c k e a n