（基础数学专业论文）几类中立型方程的振动性研究.pdf

摘要 微分方程及差分方程是用来描述自然现象变化规律的有力工具，由 于寻求其通解十分困难，所以从理论上探讨其解的性态一直是近年来研 究的热点问题我们的工作主要讨论以下两个方面：一方面是微分方程 的振动性理论；另一方面是差分方程的振动性理论本文由四章组成， 主要讨论几类中立型方程解的振动性 第一章简单介绍了泛函微分方程的一些历史背景知识及每章节所涉 及的主要内容 第二章研究形如 p ( t ) 一p ( t ) x ( t 一7 ) 】= q i ( t ) x ( g i ( t ) ) ，t t o 0 i - - - - 1 和 仇 ) - p ( t ) x ( t - r ) = 吼( t ) ，( z ( 仇( t ) ) ) ，t t o 0 i = 1 的二阶中立型时滞微分方程解的振动性，获得了方程每个有界解振动的 若干充分条件，拓广了有关文献的一些结果 第三章研究了两个具有多个变滞量的变系数的二阶中立型非线性差 分方程 a 2 ( 0 ( n ) z ( n ) + 6 ( n ) z ( n m ) ) + p i ( n ) f i ( x ( n 一( n ) ) ) = 0 ， 佗芝n o 和 mz a 2 ( o ( n ) z ( 礼) + 仇( n ) z 一岛) ) + 吼( n ) ，( z ( n c r f ) ) = 0 ， n 芝珊 j = l i = 1 的解的振动性，并得出了其解振动的充分条件及差分子振动的 判别依据 第四章研究了具多滞量的一阶时滞差分方程解的振动性，通过引入 一些新的方法和技巧，获得了直接通过时滞和系数来刻划方程振动性的 一些新的判据这些判据对已有文献中相应的结果进行了多种形式的改 进 关键词：时滞微分方程，时滞差分方程，振动解，正解 a b s t r a c t d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa r ep o w e r f u lt o o l st h a td e s c r i b e t h el a wo fn a t u r e ，b u ti ti sd i f f i c u l tt of i n dt h e i rg e n e r a ls o l u t i o n s t h e r e f o r e ，t h e r e h a sb e e na ni n c r e a s i n gi n t e r e s ti nt h es t u d yo ft h en a t u r eo fs o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n si nt h e o r y t h i sd i s s e r t a t i o nf o c u s e so nt w os i d e s ： o n ei st h eo s c i l l a t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h eo t h e ri st h eo s c i l l a t i o no fd i f f e r e n c e e q u a t i o n s t h ep a p e ri sm a d eu po ff o u rc h a p t e r s m a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，w eb r i e f l ya d d r e s st h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ra n dt h eb a c k - g r o u n d i nt h es e c o n dp a s s a g et h eo s c i l l a t i o no ft h es e c o n do r d e rn e u t r a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f i r s k ) - p ( t ) x ( t 一7 ) 】= 吼( t ) z ( 吼( ) ) ，t t o 0 i = 1 m 陋( ) - p ( t ) x ( t r ) 】= 吼( t ) ， ( 仇( t ) ) ) ，t t o 0 i = 1 a r es t u d i e d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eb o u n d e do s c i l l a t o r ys o l u t i o na r eg i v e no u t ， i m p r o v i n ga n dp r o m o t i n gs o m ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t s i nt h et h i r dp a s s a g et h eo s c i l l a t i o nf o rt w ok i n d so ft h es e c o n do r d e rn o n l i n - e a rn e u t r a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t hs e v e r a lv a r i a b l ed e l a ya r g u m e n t sa n dv a r i a b l e c o e 伍c i e n t s a n d 2 ( n ( 几) z ( n ) + b ( n ) x ( n m ) ) + a z ( a ( n ) z ( n ) + p t ( n ) z ( n - 如) ) j = l i i i ( 佗) ) ) = 0 ， 几n o 甄( n ) ，( z ( n a i ) ) = 0 ，n n o a r es t u d i e d o s c i l l a t i o nc r i t e r i o n sa r eg i v e no u tf o rt h ee q u a t i o n sa n dt h e d i f f e r e n c eo p e r a t o r b yi n t r o d u c i n gs o m en e wm e t h o d sa n dt e c h n i q u e s ，i nc h a p t e r4w eg e ts o m e n e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i o n sf o r m u l a t e dd i r e c t l yi nt e r m so ft h ed e l a ya n dc o e f f i c i e n t s f o rt h ef i r s to r d e rd e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n ，w h i c hi n t e n d st oi m p r o v et h ee x i s t i n g r e s u l t so ft h ep r e v i o u ss t u d i e s k e yw o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；d e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n ；o s c i l l a t i o ns o - l u t i o n ；p o s i t i v es o l u t i o n i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名：吉切舣一0 t 玉月讼日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部 分内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手 段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密形 ( 请在以上相应方框内打“、”) 篡兰导师签名：l7 7u jn 日期：叫。年f 月世日 日期：例9 年j 一月r 日 几类中立型方程的振动性研究 1 绪论 微分方程和差分方程都是用来描述自然现象变化规律的有力工具， 在众多科学技术领域有着非常广泛的应用它们在几何学、力学、天文 学、核物理、电子技术，空间技术和星际航空等许多尖端科技领域已成 为强有力的杠杆许多重要的动力系统都是由微分方程或差分方程来描 述的微分方程研究的历史较长，且形成了较完善的理论自1 9 7 7 年以 来，国内外文献大量出现，相继出版了许多有关泛函微分方程振动理论 的专门著作【3 5 ，4 l ，4 3 ，“一差分方程理论研究的历史非常短，大量开始研究 始于上世纪9 0 年代初期，近十多年的时间发展得较为迅猛，在文献中出 现了一大批研究成果 6 - 1 7 , 2 1 - 3 4 如果能够求出微分或差分方程的解，然后 再基于这些解进行研究是最理想、也是最有效的但众所周知，能求出 精确解的微分方程或差分方程毕竟为数不多因此对方程的定性分析就 变得非常重要，并且其研究成果已成为许多学科和尖端技术研究中不可 缺少的理论工具 振动性理论是微分方程和差分方程定性理论的一个重要分支，也是 近年来定性理论研究中一个十分活跃的方向不论在哪一种技术领域里， 不论在哪一个物理部门里，大都会碰到某种程度的振动过程无线电技 术、交流电工学以及某些其他技术部门的基础理论有些是建立在利用振 动过程的基础上的众所周知，由g s t o r m 建立的齐次二阶线性微分方 程解的零点分布的比较理论和分离理论为微分方程振动理论的研究奠定 了基础 对于中立型微分和差分方程，它们与时滞微分和差分方程密切相关， 而且在实际生活中有着广泛的应用近些年来，人们对研究一阶连续变量 的微分方程和差分方程的振动性越来越感兴趣，许多学者都研究了具有 1 硕士学位论文 连续变量的一阶微分方程和差分方程的振动性然而，对于二阶中立型 微分方程或差分方程的振动性工作并不多见，尤其是二阶中立型差分方 程的振动性因此考虑具有多时滞的微分方程和差分方程、二阶非线性 中立型微分和差分方程是非常有现实意义以及理论意义的 本文对几类中立型方程的振动性进行了探讨，获得了一系列的结果， 它们推广或改进了现有文献中的结果 下面仅就与本文直接相关的几个方面的研究作一简要概述 一、二阶中立型微分方程的振动性 近年来，中立型泛函微分方程的振动理论得到了很大的发展，许多 有关滞后型方程的振动性的比较好的结果推广到中立型方程 1 - 5 对于形 如 陋( ) 一p ( t ) x ( t 一7 _ ) 】= 口 ) z 0 ( t ) )( 1 1 1 ) 的二阶中立型时滞方程，文献【3 7 】给出了方程的两个有界振动性准则 本文第二章利用文【3 7 】的技巧研究了更一般的方程 i x ( t ) - p ( t ) x ( t 一7 ) 】= 吼( 咖( 吼( ) ) ，t t o 0 ( 1 1 2 ) i = 1 的解的振动性，获得了方程( 1 1 2 ) 所有解振动的充分条件所获得的结 果对方程( 1 1 1 ) 也是有效的此外，本文还将结果推广到如下非线性中 立型微分方程 陋( t ) - p ( t ) x ( t - ，- ) = 吼( t ) ， ( 仇( t ) ) ) ，t t o 0 ( 1 1 3 ) i = 1 式中r 0 为常数，p ( t ) c ( 肘，( 0 ，1 ) ) ，吼，g i c ( r + ，r + ) ，而且仇为非减 连续函数g = 1 ，2 ，m ) 2 几类中立型方程的振动性研究 二、具多变滞量的二阶非线性中立型差分方程的振动性 近年来随着近代科学技术的突飞猛进，在科学研究和社会实践中提 出了很多由时滞差分方程描述的具体数学模型，差分方程已经成为了一个 十分重要且实用的数学工具，因而对时滞差分方程稳定性理论的研究引 起了大批学者的广泛兴趣和高度关注【 一2 6 ，3 8 4 0 对一阶中立型时滞差分 方程的研究已有许多非常好的结果，参见文献 1 8 2 0 关于二阶中立型时 滞差分方程解的振动性虽然也出现了一些好的结果( 参见文献【2 1 ，2 2 ，3 8 ) ， 但相对研究较少l a l l i 和z h a n g 在文f 2 2 】中研究了方程 2 ( z ( 凡) 一c z ( 扎一m ) ) 一p ( 礼) z ( n 一七) = 0 ， 竹n o 解的振动性，其中c ，p ( 孔) 为实数，p ( 佗) 0 ，c 0 ，m ，七，伽是给定的非负 整数，且m 1 而申建华在文献 3 8 】中研究了较一般的方程 2 ( z ( 记) 一c ( n ) z ( n m ) ) 一p ( n ) x ( n k ) = 0 ， n n o 的解的振动性，其中c ( n ) 0 ，推广和改进了文献【2 2 ，4 1 1 的结果韩振来， 孙书荣在文献【3 9 】中用不同的技巧研究了具多变滞量的二阶中立型差分 方程 l5 a 2 i x ( n ) + q ( n ) z ( n m t ) ) + 所( 佗) z ( n 一如( n ) ) = 0 ，礼n o i - - - - i j = 1 解的振动性，其中q ( n ) ( z = 1 ，2 ，z ) ，p j ( n ) ( j = 1 ，2 ，s ) 是非负实数： m t 0 = 1 ，2 ，1 ) ，如( 仃) u = 1 ，2 ，8 ) 是非负整数推广和改进了文献 4 1 】 的结果 本文的第三章将用不同于文【3 8 的方法研究更为广泛的如下形式的 两类带有多个滞量的二阶非线性差分方程 f 2 ( 。( 佗) z ( n ) + 6 ( 扎) z m m ) ) + q i ( n ) f ( x ( n - ( n ) ) ) = 0 ， n n o( 1 2 1 ) i = 1 3 硕士学位论文 和 ml 2 ( n ( n ) z ( 扎) + p jc n ) x ( n - 吻) ) + q i ( n ) f ( x ( n - 盯i ) ) = 0 ， 佗n o ( 1 2 2 ) j = li = 1 的振动性其中a ( 佗) ，6 ( 礼) 为实数序列，锄( 佗) 0 = 1 ，2 ，m ) ， 岱( n ) ) g = 1 ，2 ，f ) 均为实数序列，叽白o = 1 ，2 ，m ) 是非负整数；l ，仇是给定 的自然数，为向前差分算子a x ( n ) = x ( n + 1 ) 一z ( n ) ，f 是r 上的实的连 续函数 三、具多滞量的一阶时滞差分方程的振动性 近二十年来，一阶时滞差分方程 z 。+ 1 一x n + q ( n ) x 。一七= 0 ，n = 0 ，1 ，2 ， 的振动性被广泛地研究，获得了许多振动性准则，见文献睁1 6 】对一般 的具多滞量的一阶时滞差分方程 z 。+ 1 一z n + g i ( n ) z n 一= 0 ，n = o ，1 ，2 ， ( 1 3 1 ) i = 1 已有大量文献大都是通过把方程( 1 3 1 ) 化为具单时滞k = w a n 【k l , k 2 ，) 和系数口( n ) = 銎。q i ( n ) 的一阶时滞差分不等式 m 。+ 1 一+ 吼( 礼) 札h 0 ，佗= 0 ，1 2 ( 1 3 2 ) = l 来处理，并利用对应的方程z n + 。一z n - 4 - q ( n ) x ”七= 0 的结果来获得方程 ( 1 3 1 ) 的振动性准则，例如，文献 1 1 ，1 3 ，1 5 】等由于多时滞导致方程本身 复杂化，致使对于时滞一阶差分方程的振动准则的改进一直未见进展 本文主要在已有结果的基本上，通过引入一些新的方法和技巧来讨论如 下方程 x n + 1 一z n + q i ( n ) f ( x n 咄) = 0 ，n = 0 ，l 川2 ( 1 3 3 ) = 1 获得了方程( 1 3 3 ) 的两个振动性准则 4 几类中立型方程的振动性研究 2 二阶中立型微分方程的振动性 2 1 引言及预备 近年来，中立型泛函微分方程的振动理论得到了很大的发展，许多 有关滞后型方程的振动性的比较好的结果被推广到中立型方程 i - 5 对于 形如 【z ( t ) 一p ( t ) x ( t 一7 ) 】= 口( t ) z ( 9 ( t ) ) ( 2 1 1 ) 的二阶中立型时滞方程，文献 3 7 】给出了方程的两个有界振动性准则 本文第二章利用文 37 】的技巧研究了更一般的方程 m 陋( t ) 一p ( t ) x ( t r ) 】，= q i ( t ) x ( g i ( t ) ) ，t t o 0 ( 2 1 2 ) i = 1 的解的振动性，获得了方程( 2 1 2 ) 所有解振动的充分条件所获得的结 果对方程( 2 1 1 ) 也是有效的 此外，本文还将结果推广到如下非线性中立型微分方程 p ( ) 一p ( t ) z o 一丁) 】= 乏二吼( ) ，( z ( 肌( t ) ) ) ，t 之t 。 0 ( 2 1 3 ) i = 1 式中7 0 为常数，v ( t ) c ( r + ，( 0 ，1 ) ) ，吼，g i c ( 舻，r + ) ，而且玑为 非减连续函数 = 1 ，2 ，m ) 令g ( t ) = m a x g i ( t ) ，i = 1 ，2 ，m 且函数 五，( i = 1 ，2 ，m ) 满足： ( h 1 ) f ( u ) ( r ，r ) ，且当u 0 时，u f ( u ) o ； ( 飓) ，( u ) 关于u 非增，使得1 i mi n f 五笋1 _ + “ 定义2 1 1 方程的解称为最终正解( 或最终负解) ，如果存在常数口 0 ， 使得当t a 时，x ( t ) 0 ( 或x ( t ) o ) 5 硕士学位论文 定义2 1 2 若方程的有界解既不为最终正解，也不最终负解，则称 方程的有界解是振动的，否则称方程的有界解是非振动的 定义2 1 3 方程的平凡解z ( 亡) 称为振动的，如果它有任意大的零点， 否则称为非振动的；若方程的所有解都是振动的，则称该方程是振动的 2 2 主要结果 定理2 2 1 对方程( 2 1 2 ) 若存在整数n 0 及常数c ( 0 f 万 ( 2 2 1 ) 扛1 文t ) 。 证明：不失一般性，假设方程( 2 1 2 ) 存在有界最终正解z ( t ) ，则存在 t l t o ，使得z ( t 一丁) 0 ，z ( 9 i ( t ) ) 0 ( t = 1 ，2 ，m ) ，t t 1 令 z ( t ) = x ( t ) 一p ( t ) x ( t r ) ，t t o( 2 2 2 ) 则由方程( 2 1 2 ) 得z t t ( t ) = q i ( t ) x ( g i ( t ) ) 0 ，t t 1 此时若z t ( t ) 0 最终成 立，则有1 i 理z ( t ) = 0 0 ，这与z ( t ) 的有界性相矛盾，因此最终名他) t o ，选择适当的正整数m ，使得t + f t 7 t ，那么由p ( t ) 的定义得 z ( 厶+ ( m + k ) r ) 一口+ x ( t 。+ ( 仉+ k 一1 ) 7 i ) ，这就意味着 x ( t 。+ ( 佗。+ k ) r ) - ( k + 1 ) a4 - x ( t 。+ ( 扎。一1 ) 7 ) ，一。o ， 这与z ( t ) 最终正矛盾 6 几类中立型方程的振动性研究 是： 如果情形( i i ) 成立，由式( 2 2 2 ) 得x ( t ) = z ( t ) + p ( t ) x ( t 一7 - ) ，t t l ，于 m z t t ( t ) = eq i ( t ) x ( g i ( t ) ) i l = e 吼( ) 【z ( 玑o ) ) + p ( g i ( t ) ) x ( g i ( t ) 一r ) 】 暑 吼 ) k ( 肌 ) ) + c z ( 吼 ) 一7 ) 】 暑 m = q i ( t ) z ( g i ( t ) ) + c q i ( t ) z ( g i ( t ) 一7 - ) + p ( 吼( 亡) 一r ) x ( g i ( t ) 一2 丁) 】 需。嚣 q i ( t ) z ( g i ( t ) ) - t - ceq i ( t ) z ( g i ( t ) 一7 - ) + c z ( 吼( ) 一2 7 ) 】 暑 暑m = 吼 ) z ( 吼( ) ) + c q i ( t ) z ( g i ( t ) 一丁) + c ；2 q i ( t ) x ( g i ( t ) 一2 7 ) 有限次重复上述过程可得 因此 t ，lnm 州( t ) c j q i ( t ) z ( 优( t ) - j 丁) 1 - c n “q i ( t ) x ( g i ( t ) 一( 佗+ 1 ) 7 - ) z ，( t ) c j q i ( t ) z ( g , ( t ) - j r ) i = 1j = o 记k ：量，注意到z ( t ) 的单调性，由上述不等式可得： j = o 刎( t ) k 岱( t ) z ( 吼( t ) ) ( 2 2 3 ) 对式( 2 2 3 ) 从s 到t 积分，得名他) 一z ，( s ) 曼j k 吼( t ) z 慨( u ) ) d u 再对s 从 i = 1o 7 硕士学位论文 吼( t ) 到t 积分，有 影如磁嘶础 k q i ( s ) ( s - g i ( t ) ) z ( g i ( s ) ) d s 忙1 小j ( t ) k 名( 夕( t ) ) 卜( s ) ( s 一阢( ) ) d s 当t t l 时，可得 o 州以卜绯) ) z + 如) 暇妻儿( s ) ( s 一种) ) d s - 1 】 ( 2 2 4 ) 扫1 9 i t 注意到式( 2 2 1 ) 和z ( t ) 0 ，这不可能因而定理2 2 1 成立 下面寻求方程( 2 1 2 ) 在条件( 2 2 1 ) 不成立时一切有界解振动的另一 充分条件记： r ( t ) c ( t o ，o o ) ，矿) ，r t ( t ) 0 ，p ( t ) c ( t o ，o o ) ，r + ) ，p t ( t ) 0 ( 2 2 5 ) 定理2 2 2 在方程( 2 1 2 ) 及定理2 2 1 的假设下，若存在函数，( t ) 和 p ( t ) 分别满足式( 2 2 5 ) ，且满足： ( a ) p ( p ( t ) ) 夕( ) m m ( b ) k q ( 亡) 鬻南【圣，岱( s ) ( s 一矶( t ) ) 一1 + r ( t ) r ( j d ( 亡) ) p 心) ，k = l , - - - - 1 t 2 1 玑( t ) 羔o 且一阶微分不等式 秽，( ) + r ( p ( ) ) p ，( ) 口( p ( ) ) o( 2 2 6 ) 8 几类中立型方程的振动性研究 无最终负解，则方程( 2 1 2 ) 的一切有界解振动 证明：设z ( t ) 为方程( 2 1 2 ) 的有界最终正解，z ( t ) 由式( 2 2 2 ) 定义， 则由定理2 2 1 的证明可知，最终z t t ( t ) 0 ，z t ( t ) 0 ，可得( 2 2 4 ) 式成立由式( 2 2 4 ) 得： mj o z t ( t ) ( t 一9 ( t ) ) 名( 9 ( t ) ) 【k 卜( s ) ( s g i ( t ) ) d s 一1 】- ( 2 2 7 ) 江1 9 叁) 令可( ) = 名也) 一r ( ) z ( p ( ) ) ，则对充分大的t ，有( t ) 0 因此，微分不等式 州一而r t ( t ) 删+ r ( 洲洲删。 ( 2 2 1 0 ) 存在最终负解y = ( t ) 令y ( t ) = r ( ) u ( t ) ，( 2 2 1 1 ) 则不等式( 2 2 1 0 ) 化为 式( 2 2 7 ) ，而变换式( 2 2 1 1 ) 保持负解的存在性，故导致与题设矛盾对于 z ( t ) t o ，使得z 一7 - ) 0 ，z 慨( ) ) 0 ，t t 1 ，再由( 玩) 得，( z ( 吼( ) ) ) 0 令 ( 2 2 2 ) 式成立，则由方程( 2 1 3 ) 得z t t ( t ) = q i ( t ) f ( x ( g i ( t ) ) ) 0 ，t t 1 由定 理2 2 1 的证明过程知最终有z t ( t ) t o ，选择适当的正整数n 。，使得t 。+ m7 - t ，那么由p ( ) 的定义得 z ( 以+ + 七) 7 - ) 一a + z ( t 。+ ( m4 - k 一1 ) 7 - ) ，这就意味着 x ( t 。+ ( 扎。+ 七) 7 - ) - ( k - 4 - 1 ) n + x ( t 。+ ( n 。一1 ) 7 ) + 一。o 这与z ( t ) 最终为正矛盾 如果情形( i i ) 成立，由式( 2 2 2 ) 得x ( t ) = z ( t ) + p ( ) z ( 一7 - ) ，t t o ，于 是： m 。 z t t ( t ) = 吼( t ) ，( z 慨( t ) ) ) l = l m 吼( ) z ( 吼( ) ) i = l m = q i ( t ) z ( g i ( t ) ) + p ( 吼 ) ) z ( 吼0 ) 一7 ) 】 - l q i ( t ) z ( g i ( t ) ) + c x ( g , ( t ) 一7 i ) 】 i l 。 = q i ( t ) z ( g i ( t ) ) + c q i ( t ) z ( g i ( t ) 一7 ) + p ( 吼 ) 一7 ) z ( 吼( t ) 一2 r ) 】 - 1：1 q i ( t ) z ( g i ( t ) ) + c q i ( t ) z ( g i ( t ) 一7 - ) + c z ( 鲰( t ) 一2 7 ) 】 - l1 1 。 = 吼 ) z ( 仇 ) ) + c q i ( t ) z ( g , ( t ) 一7 ) + c 2 q i ( t ) x ( g i ( t ) 一2 r ) 有限次重复上述过程可得 1 0 几类中立型方程的振动性研究 mnm 名，( t ) 吼( 啪( 仇( t ) - j f ) + 矿+ 1 z ( 吼( t ) 一+ 1 ) 7 - ) i = 1j = oi = 1 因此 z ， ) 吼( 亡) z ( 吼 ) - j r ) i = 1j = o 记k = ，注意到z ( t ) 的单调性，由上述不等式可得： j = o 彳，( 亡) k 岱( t ) 名( 夕t ( t ) ) ， ( 2 2 1 2 ) i = 1 对式( 2 2 3 ) 从s 到积分，得名心) 一z ，( s ) m ，tk 吼( 乱) 名渤( 让) ) 砒再对s 从 i = 15 吼( t ) 到t 积分，有 影加嘶舳如 h ( s ) ( s g i ( t ) ) z ( g i ( s ) ) d s 扛1 9 l ) z ( 夕( ) ) 知( s ) ( s g i ( t ) ) d s 当t 之t i 时，可得 m 皇 o2z ， ) - g i ( t ) ) z ) + 名o ) ) 【k 芝二岱( s ) ( s - g i ( t ) ) d s 一1 】 ( 2 2 1 3 ) 扛1 z t ) 注意到式( 2 2 1 ) 和z ( t ) 0 ，这不可能因而定理2 2 3 成立 定理2 2 4 在方程( 2 1 3 ) 及定理2 2 3 的假设下，且r ( t ) 和p ( 亡) 分别 满足式( 2 2 5 ) 并且满足定理2 1 2 中的两个不等式一阶微分方程不等式 ( 2 2 6 ) 无最终负解，则方程( 2 1 3 ) 的一切有界解振动 1 1 硕士学位论文 证明：设z ( ) 为方程( 2 1 3 ) 的有界最终正解，z ( t ) 由式( 2 2 2 ) 定义， 则由定理2 2 3 的证明可知，最终z t l ( t ) 0 ，z 心) 0 ，可得( 2 2 1 3 ) 式成立由式( 2 2 1 3 ) 得 m之 o z ，( ) ( t 一夕 ) ) z o ) ) 【k 吼( s ) ( s 一函( t ) ) d s 一1 】 ( 2 2 1 4 ) b 1 9 轰t ) 令y ( t ) = z 他) 一t ( t ) 2 ( p ( t ) ) ，则对充分大的t ，有秒( t ) 0 ，m ，k ，n o 是给定的非负 整数，且m 1 申建华在文献【3 8 】中研究了较一般的方程 2 ( z ( 佗) 一c ( n ) z ( n 一仇) ) 一p ( 佗) z ( 佗一七) = 0 ， n n o 解的振动性，其中c ( n ) 20 ，推广和改进了文献【2 2 ，4 1 】的结果韩振来， 孙书荣在文献 3 9 】中用不同的技巧研究了具多变滞量的二阶中立型差分 方程： l5 2 ( z ( 佗) + c f ( 死) z ( 佗一m i ) ) + p 3 ( n ) z ( n - k j ( n ) ) = 0 ， 扎n o i - - 1 j = l 解的振动性，其中q ( n ) 0 = l ，2 ，j ) ，p j ( n ) ( j = 1 ，2 ，s ) 是非负实数， m t ( i = 1 ，2 ，? ) ，如( n ) o = 1 ，2 ，8 ) 是非负整数推广和改进了文献 4 1 】 的结果 】3 硕士学位论文 本章将用不同于文【3 8 】的方法研究更为广泛的如下形式的两类带有 多个滞量的二阶非线性差分方程 l a 2 ( 他) z ( n ) + 6 ( n ) z ( n m ) ) + 吼( n ) 厂( z ( n 一( 佗) ) ) = 0 ， 佗n o ( 3 1 1 ) i = 1 和 ml 2 ( n ( n ) z ) + p j ( n ) z ( n - 岛) ) + q i ( n ) f ( x ( n 一以) ) = 0 ， 佗n o ( 3 1 2 ) j = li = 1 的振动性其中o ( 扎) ，b ( n ) 为实数序列，锄( n ) ) o = l ，2 ，m ) ， 吼( 礼) ) ( z = 1 ，2 ，z ) 均为实数序列，吼如o = l ，2 ，m ) 是非负整数；l ，m 是给定 的自然数，为向前差分算子a x ( n ) = x ( n + 1 ) 一x ( n ) ，是r 上的实的 连续函数 如通常一样，方程( 3 1 1 ) ( 或( 3 1 2 ) ) 的解x ( n ) 称为非振动的，如果 x ( n ) 最终为正或最终为负；否则，称z ( 佗) 为振动的，即z ( n ) 既不是最终 为正，也不是最终为负；称方程( 3 1 1 ) ( 或( 3 1 2 ) ) 是振动的，如果方程 ( 3 1 1 ) ( 或( 3 1 2 ) ) 所有解都是振动的；称差分算子是振动的，如果对 方程( 3 1 1 ) ( 或( 3 1 2 ) ) 的任意解z ( 亿) ，a x ( n ) 是振动的 3 2 方程( 3 1 1 ) 振动的充分条件 对于方程( 3 1 1 ) ，我们首先给出其振动的充分条件，然后给出其差分 算子振动的充分条件 为叙述方便，首先给出下列条件： ( a ) ：u f ( u ) 0 ，u 0 ； ( b ) ：对某n n o ，有- i 0 0 n o壶揣 1 一考端】_ + o 。；( b ) ：对某n ，有东絮b 1 一采端】_ + o 。； n ：= t 1 0l = 1 ( c ) ：存在常数6 0 ，使得l ，( t ) l 5 u ； 几类中立型方程的振动性研究 ( d ) ：躐器( 佗) 0 ，( 3 2 2 ) fz 2 ( 佗) = 一吼( 佗) ，o ( 佗一觑( 咒) ) ) 一吼( 佗) 如( 扎一m ) ) 0 ， ( 3 2 3 ) i = 1i = 1 从而 y ( 佗) 是单调递减的，且 a y ( n ) 0 ( 3 2 4 ) 事实上，若上式不成立，则存在自然数n 。n o ，有a y ( n ) 0 ，因当 n 佗1 时，有a y ( n ) a y ( n 1 ) ，由此推出u ( n 1 + n ) 可( n 1 ) + n ( 佗1 ) ，所以 l i m 秒( n 1 + n ) = 一。，这与( 3 2 2 ) 式矛盾现将方程( 3 1 1 ) 改写成 n - + + 从而由( 3 2 3 ) 式得： z 2 y ( 佗) + q i ( n ) f ( x ( n - - ( 扎) ) ) = 0 ， i = 1 l 2 可( n ) + 6 吼( 扎) z ( 扎一( n ) ) 0 ， ( 3 2 5 ) i = 1 由( 3 2 1 ) 式得： a ( n 一觑( 佗) ) z ( 佗一k i ( n ) ) = y ( n - k t ( n ) ) 一b ( n 一觑( n ) ) z ( n k i ( n ) 一m ) ，i = l ，2 ，l ， 1 5 硕士学位论文 将此式代入( 3 2 5 ) 式，得方程 2 咖妻揣叭护删- 6 ( 删如叫小m ) 】 0 ，所以有 2 咖m 妻揣叭肛酬- 6 ( 呲( 蝴等等端】 扎。时，有 y ( 他一f ) ( 砌一k i ( r o ) ( n 一觑( 死) ) ，( 3 2 8 ) 其中f = m ：掣a x 。s u n 。p k i ( n ) ) 竹2 ) 求和，并注意到( 3 2 8 ) 式，得 0 a y ( n ) 山( 咖6 塞窑揣咖叫栅一而b ( 叫n - k 旷i ( n ) ) 叫1一吲锄) + 6 善揣咖叫栅一而喇加刑 山忆) 删砌卅兰n 喜1 a y ( n ) 群 1 - 芒蒜岛】- 一可( 扎。) + 曲忆一f ) 忑篓 1 一蔫当煞】- n = t 1 2l = l 、- 、，7 所以，当佗_ + 。时，得 薹妻犁卜端h o 。， 这与( 3 2 1 ) 式矛盾这就证明了在已给条件下，方程( 3 1 1 ) 是振动的 几类中立型方程的振动性研究 推论3 2 1 设方程 z a 2 ( z ( n ) + 6 ( n ) z ( n m ) ) + g t ( 扎) ，( z ( n 一( n ) ) ) = 0 i = 1 当n n o 时，0 b ( n ) 1 ，q i ( n ) 0 ( i = 1 ，2 ，2 ) 且满足q i ( n ) ( 1 6 ( 礼一概( 佗) ) ) = + o 。和罂a xs u p ( 佗) ) 0 或y ( n ) 0 且a y ( n ) 0 专= 。m s a 掣xn s u n o p ( n ) ) 则 可( n ) 】- 是单调递增的，且 丁( 佗) 0 ，a z ( n ) 0 ， 从而 记丁( n ) = 鹣，其中 ( 3 3 4 ) 州= 止堂锛岩堂幽而a 2 z ( r o ， 即 时揣纠妻茄 对上式两边中的n 从充分大的自然数n 3 到任意自然数n ( n n 。) 求和， 得 7 ( ) - 丁肛6