（物理电子学专业论文）低耦合强度下增加时空混沌的周期同步窗口.pdf

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像格子研究系统周期同步问题。本文在此基础上分别研究了无向耦合 映像格子和有向耦合映像格子拓扑结构的更新方式，使得耦合系统时 空同步周期窗口增大。 第四章进一步研究了低耦合强度范围下如何扩大耦合映像格子 系统周期同步的方法及更大程度上达到广义上地时空混沌控制的解 决方案。然后在双向耦合映像格子系统模型的基础上，讨论了用增加 网络平均度、网络平均相似度和增加网络动态更新间隔等三种方法来 扩大耦合映像格子系统的周期窗口并分析了对应的数值结果。并详细 的讨论了观察到的周期同步窗口增大的动力学行为。 北京邮电大学硕士学位论文 摘要 最后总结了本文中用到的时空混沌系统的周期同步方法、以及扩 大周期同步窗口的方法以及在研究过程中发现的一些不寻常的现象 及有趣的动力学行为 关键词：时空混沌，耦合映像格子，周期同步窗口，随机断边重连 一 北京邮电大学硕主堂篁鲨皇 丝兰里坠盟 二_ _ _ 。一一 e n h a n c e m e n t o fs p a t i o t e m p o r a lr e g u l a r i t y i na n w i n d o wb a s e do nl o wc o u p l i n gs t r e n g t h a b s t r a c t m o s te x i s t i n gc a s es t u d i e so fc o u p l e dn e t w o r k so fd y n a m i c a ld e m e n t si n d i c a t et h a tf e a t u r e s , 融a sd e g r e eo fs y n c h r o n i z a t i o n ，v a r ym o n o t o n i c a l l yw i t hp t h a ti s ，i ti so b s e r v e dt h a tm o s t d y n a m i lp r o p e r t i e si n t e r p o l a t eb e t 3 t c e a l lt h el i m i t so fr e g u l a ra n d r a n d o mc o n n e c t i o n s 肌妇o h f 。n a n ys e n s eb e i n g “o p t i m a l ”o rm o r ep r o n o u n c e d a ts o m ei n t e r m e d i a t ev a l u eo f p h lt h i sp a p e x , w ew i l lp r o v i d ee v i d e n c eo fs o m es y s t e m ，l i k eu n d i r e c t e dl o g i s t i c m a pa n dd i r e c t e dl o g i s t i cm a p ，w h e r e t h e r ee x i s t saw i n d o wo fr a n d o m n e s sw h e r eo n e o b t a i n ss p e c i a ld y n a m i c a lf e a t u r e sw h i c hc a n n o tb ea n t i c i p a t e d f r o mas i m p l e i n t e r p o l a t i o nb e t w e e nt h er e g u l a ra n dr a n d o ml i m i t s i np a r t i c u l a r , w ew i l ls h o w t h e p r o n o u n c e de n h a n c e m e n to fs p a t i o t e m p o r a l o r d e ri nt h es y s t e mi na ni n t e r m e d i a t e w i n d o wo fr e w i r i n gp r o b a b i l i t yp o u ro b s e r v a t i o n sa r em a r k e d l yd i s t i n c tf r o mt h e c o m m o n l yo b s e r v e dm o n o t o n i cd e p e n d e n c eo fs y n c h r o n i z a t i o np r o p e r t i e s o np a s s e e l l f o ri n s t a n c e ，i n t h es t r o n g - c o u p l i n gr e g i m eo f t h e v e r ys a m es y s t e m s p a t i o t e m p o r a ld y n a m i c so fad i r e c t e d l a t t i c eo fc o u p l e dc h a o t i cm a p sw h o s e c o u d l i n gc o n n e c t i o n s a r ed y n a m i c a l l yr e w i r e dt or a n d o ms i t e s ，a n da l s od i f f e r e n tf r o m t h o s ea p p e a rw i n d o wi nt h ev a l u eo fpw h e ni nt h el o wc o u p l e ds t r e n g t hb u t 谢t h u n d i r e c t e dl o g i s t i cm a p s a n da tt h es a m et i m e ，w eh a v ep r o p o s e d 俩od i f f e r e n t i n e t h o d sw h e nu p d a t et h et o p o l o g yo ft h en e t w o r k ，p n c ta n dp n o d e ，w h i c hd i dn o t r e f f e r e de v e r a n di nt h em e a n w h i l e ， r a n d o m n e s si nc o u p l i n gc o n n e c t i o n s ， w eh a v ee v i d e n c eo fa no p t i m a lr a n g eo f w h e r es p a t i o t e m p o r a lr e g u l a r i t y i sm o r e e 箍c i e n t l yo b t a i n e db yp n c tt h a np n o d e m e t h o d s f u r t h e r , i nt h i sp a p e r , w eh a v ef o u n d t h a tt h ew i n d o ws i z eo fpv a l u e si sg r e a t l ya f f e c t e db y d y n a m i cu p d a t ef r e q u e n c y t h i s i saw a yo fs e l e c t t i n gn e t w o r kt o p o l o g i e sy o u w a n ta f t e rr a n d o mc h o o s i n gs i t e si n c o u p l i n gc o n n e c t i o n s t h a ti s ，t h ef r e q u e n c yo fd y n a m i cu p d a t i n gn e t w o r kt o p o l o g ) ， c a nc o n t r 0 lt h eo p t i m a lw i n d o ws i z e ，w h i c hi sb o t ha p p l i e dt ot h et w om e t h o sp n e t a n dp n o d ei nt h ed i r e c t e dt i m e - v a r y i n gn e t w o r k k e yw o r d s ：c o u p l e dm a pl a t t i c e ，s p a t i o t e m p o r a lc h a o s ，t i m e v a r y i n gn e t w o r k i i i 北京邮电大学硕士学位论文 a b s t r a c t 北京邮电大学硕士学位论文目录 目录 第一章绪论一。一一。一。l 1 1混沌及其背景l 1 2 混沌应用一2 1 3课题介绍及研究意义2 1 4 本文主要研究内容4 第二章网络模型。 5 2 1混沌动力学系统5 2 1 1 序言。5 2 1 2l o g i s t i c 映1 象6 2 1 3小世界网络7 2 2耦合映像格子系统模型9 2 2 1 概念介绍9 2 2 2 本文采用的耦合映像格子模型9 2 3系统网络拓扑结构随机重组1 l 2 4时变网络拓扑结构随机重组方式分类1 3 2 5本章小结1 4 第三章基于耦合映像格子模型的时空混沌同步 1 5 3 1研究背景1 5 3 2耦合映像格子模型时空混沌同步的进展情况1 6 3 3混沌同步方法l7 3 3 1 混沌的精确同步1 7 3 3 2混沌的广义同步1 7 3 3 3利用动力学的方法研究混沌同步1 7 3 4时空混沌l8 3 5 随机性对网络格点动力学的影响2 0 3 6周期同步窗口2 0 3 6 1无向耦合映像格子系统周期同步数值结果图2 l 3 6 2无向耦合映像格子系统周期同步时空图2 4 3 6 3无向耦合映像格子由时空混沌态走向周期同步态时间对比图2 6 3 6 4有向耦合映像格子系统周期同步数值结果图2 7 3 6 5有向耦合映像格子系统周期同步时空图2 9 3 6 6有向耦合映像格子由时空混沌态走向周期同步态时间对比图3 0 3 7 本章小结3 l 第四章扩大耦合映像格子的周期同步窗口 3 2 4 1概述3 2 4 2混沌控制的概念及背景介绍3 2 v 北京邮电大学硕士学位论文目录 4 3 混沌控制的方法。3 3 4 3 1 一般方法3 3 4 3 2网络相似度3 4 4 3 3 增加网络拓扑结构更新的时间间隔3 8 4 3 4通过增加平均度的方法扩大周期同步窗口4 0 4 4 。本章小结4 4 结束语 致谢 参考文献 攻读学位期间发表的学术论文目录 4 5 北京邮电大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 混沌及其背景 第一章绪论 混沌运动广泛存在于自然界，社会科学并涉及到物理、化学、生物、生态等 各个学科中，混沌运动也与人们的日常生活习习相关，如天气变化，股票涨落， 心脏的跳动等。混沌( c h a o s ) 是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统 1 中，不需附加任何随机因素亦可出现类似随机的行为( 内在随机性) 。可以说， 基于其动力学形态对于初始条件的高度敏感性，混沌现象隶属于确定性系统而难 以预测，基于其具有稠密轨道的拓扑特征，隐含于复杂系统但又不可分解，以及 呈现多种“混乱无序却又颇有规则”的图像，如具有稠密的周期点。从动力学上 讲，对于确定的初始值，由动力系统就可以推知该系统长期行为，甚至追溯其过 去性态。但在1 8 世纪末，法国数学家p o i n c a r 6 在研究三体运动时，得出了双重 解，这种极其复杂的解便是混沌的雏形。后来，他把动力学系统和拓扑学两大领 域结合起来，提出了p o i n c a r e 猜想，指出了混沌存在的可能性，然而，由于当时 条件的限制，他的预言未引起人们的重视。直到1 9 6 3 年，美国气象学家l o r e n z 在 上发表了“决定性的非周期流 一文：指 出气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就 是非周期性与不可预见性之间的联系：同时清楚地描述了“对初始条件的敏感性 这一混沌的基本性态，这就是著名的“蝴蝶效应”。通过长期反复地数值试验和 理论思考，l o r e n z 揭示了该结果的真实意义，在耗散系统中首先发现了混沌运 动，这为以后的混沌研究开辟了道路。 7 0 年代是混沌科学发展史上光辉灿烂的年代，1 9 7 1 年d r u e l l e 和f t a k e n s 提出了奇异吸引子的概念。1 9 7 5 年中国学者李天岩和美国数学家j a y o r k 在 上发表了“周期三意味着混沌“的著名论文，深刻揭 示了从有序到混沌的演变过程，使混沌一词为后来学者普遍接受。1 9 7 8 年美国 物理学家m j f e i g e n b a u m 发表题为“一类非线性变换的定量普适性论文，具 有里程碑意义，给出了倍周期分叉通向混沌的两个普适性常数。此后关于混沌的 研究得到了进一步发展，混沌理论打破了不同学科之间的界线，包括哲学、物理、 化学、电子技术、信息科学、天文学、气象学、经济学、乃至音乐、艺术等领域， 其覆盖面之大、跨学科之广、综合性之强、发展前景及影响之深远可以说都是空 前的。正如混沌科学的倡导者之一，美国海军官员m s h l e s i n g e r 所说的那样“2 0 世纪科学将永远铭记的只有三件事，那就是相对论、量子力学与混沌。它在整 北京邮电大学硕士学位论文第一章绪论 个科学中所起的作用相当于微积分学在1 8 世纪对数理科学的影响，混沌学的创 立，将在确定论和概率论两大科学体系之间架起桥梁。著名物理学家j f o r d 认为， 混沌是二十世纪物理学第三次最大的革命，如果说相对论消除了关于绝对时间和 空间的幻想，量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦，混沌则彻底消除 了拉普拉斯关于决定论式的可预测幻想。 1 2 混沌应用 随着人们对混沌运动的规律及其在自然科学各个领域的表现有了丰富的认 识，人们不再满足于得到混沌和了解混沌。最近十年，混沌研究的一个重要发展 方向是要驾驭和应用混沌，其原因是：混沌研究的深入需要其应用产生的激励， 也需要混沌应用开拓出新的研究领域，同时如何利用这种认识为人类服务，即如 何实现混沌应用成为这一领域的关键问题。九十年代初提出的混沌控制与同步正 是朝向混沌应用目标进行基础研究的中心环节，在许多实际情况中需要抑制和削 减混沌行为，因为混沌行为的不规则性和类随机性可能导致系统性能下降甚至产 生灾难性地后果，如镇定混沌能够避免电力网中的电压崩溃和致命的心脏无规则 跳动；能够引导不规则电路阵列( 如多耦合振子 2 和细胞神经网) 代表某一个期望 的模式信息；能够调节机械和电子装置的动力学响应( 如二极管和激光器) 。在这 些情形下我们应当通过控制来尽可能的削减或完全抑制混沌行为。任何事物都是 辩证存在的，混沌也不例外。在很多情况下，混沌行为往往是有利的，甚至是必 不可少的东西，这时我们希望通过控制来增强或产生期望的混沌行为。比如混沌 信号由于具有确定方程形式、类随机、宽频谱、难预测等特性使其在保密通信方 面具有广阔的应用前景，在发送端将信号调制到混沌系统中去，在接收端则利用 混沌控制产生的同步信号来进行解调。 混沌系统以上特点使得它在许多实际问题中，既有可以利用方面例如加速化 学反应、流体的混合等；也存在有害的影响，例如心脏搏动的紊乱、电子线路中 的类噪声干扰等。因此人们千方百计地一方面产生或强化混沌，而另一方面想消 除或抑制混沌，由此就产生了关于对混沌控制和反控制的研究。此外，利用混沌 的基本特性以及它还具有的同步性，又使得它在保密通信的应用方面受到青睐， 有关混沌同步的研究也作为混沌控制研究的一个特殊问题成为非线性领域的又 一热点课题。 1 3 课题介绍及研究意义 2 北京邮电大学硕士学位论文第一章绪论 自从1 9 9 0 年p e o c r a 他们发现两个相互作用的混沌系统在相互作用下失去初 值敏感性而达到完全同步以来，人们揭示了耦合混沌系统中许多丰富的动力学行 为包括各种形式的同步( 如完全同步，相同步，广义同步，预测同步，滞后同步， 反向同步等) 以及耦合作用下由于系统间参数改变而出现周期同步窗口和时空混 沌之间的切换并对相互作用下系统的这些丰富动力学的研究，在混沌控制，混沌 加密通信，生物系统内在机制的探索等方面都具有极其重要的理论和应用价值。 因此，对大量小系统的相互作用后的动力学行为的研究显得更具有一般性和重要 性。 同时研究时空混沌的控制与同步具有重要意义。实际系统绝大多数具有时间 和空间变量，只有研究时空系统才能真正解决大量混沌应用的实际问题，高维时 空混沌运动的复杂性使人们对它的认识远不如对低维混沌运动那么透彻，所以时 空混沌及其控制的研究具有广阔的未知空间，而有更大的研究价值。时空混沌系 统具有大量可供选择的斑图( p a t t e n l ) 和时间序列，这为实际应用提供了巨大潜力， 而这种潜力只有人们有能力驾驭时空混沌时才有可能真正利用，因此时空混沌系 统的协作效应及其控制是目前非线性科学中的重要而且有广泛意义的问题。 过去2 0 年里空间扩展系统的动力学已经作为研究重点做出了大量的报告。 近年来，采用有限维格子且完全随机的网络对大型交互性系统建模很明显已经不 能够达到要求，因为很多网络，从科学家合作网到代谢网络等，都不适合于用这 些网络模型建模。一些替代方案也已经被提出，如小世界网络，这是一种网络初 始状态是规则的一维格子模型，例如，最近邻交互模型。然后每个格点的规则连 接的边以概率随机断边重连，这一模型的提出是为了模拟现实生活中，非本地连 接与本地主要连接的相互作用。有许多证据表明，即使在一小部分圈子内，随机 的非本地连接显著的影响着几何结构属性例如路径长度。然而，还有许多动力学 特性仍然不明确，甚至相互矛盾。虽然耦合振子和规则格子的耦合映像动力学特 性已经得到了广泛研究，但却有很少关于网络拓扑结构方面非线性元素的时空特 性的研究。 经过对耦合网络动力学特性的分析结果表明，有一部份动力学特性如耦合映 像格子随时间变化达到同步的程度与断边重连概率p 的值呈正比，也就是说，大 多数观察到的动力学性质出现在以规则和随机连接方式构成的网络之间，而不会 有任何“最佳 的处于p 值域中间值的动力学特性出现。然而本文我们将提供一 种系统，它存在个随机窗口可以得到特殊的动力学特性，这种特性不能从规则 网络和随机网络得到。特别是，我们将在p 值域的某个小部分区间内展示出显著 增强系统中时空同步的现象，这些结果有别于一般观察到的高耦合强度下随断边 重连概率p 单调递增的动力学特性，因为它是运行在低耦合强度上的。 3 北京邮电大学硕士学位论文 第一章绪论 1 a 本文主要研究内容 本论文的所有研究工作都是在阅读并分析y s w a r u pp o r i a 在2 0 0 8 年发表的文 章【3 】后开展的，文中提出了在低耦合强度下从规则网络出发，以概率p 对网络的 拓扑结构重组并动态更新，数值结果表明系统中的耦合映像格子会出现周期同步 窗口，并进一步分析了其中的动力学机制。这些数值结果为后续的研究提供了非 常有价值的思路。本文主要针对时空混沌系统讨论了以规则的耦合映像格子为模 型的时空混沌动力学行为的研究，在系统各个耦合振子随机初始值的情况下利用 网络拓扑结构随机重组来实现从时空混沌态走向周期同步态、不同的网络拓扑结 构对耦合映像格子系统的时空周期同步窗口的影响。以及通过调整系统参数来扩 大系统耦合振子周期同步的窗口以增强时空周期同步的范围，同时对时空混沌控 制问题及其中携带的动力学行为也做了一些探讨研究。其具体内容如下： 主要考查以下几种动力学行为：( 1 ) 通过实验设计，研究了几种不同网络拓扑 结构如基于无向耦合映像格子、有向耦合映像格子、无向不稳环和固定环下，通 过动态更新网络拓扑结构，研究时空混沌系统的耦合振子的动力学行为达到周期 同步的可行性并给出数值结果图具体地进行了分析：( 2 ) 以耦合映像格子系统为 研究对象，分别利用数值计算和仿真实验方法来研究耦合混沌系统中的丰富动力 学行为如低耦合强度下扩大耦合映像格子系统周期同步窗口大小的方法，如延长 网络拓扑结构动态更新的间隔、提高网络平均相似度以及提高网络格点的平均度 等。并分析了产生这些动力学行为的内在机制及条件。( 3 ) 研究了系统参数如何 控制耦合振子从时空混沌走向周期同步的动力学行为及其在转变过程中携带的 开关阵发现象，并粗略地分析了影响耦合映像格子系统时空混沌及周期同步的动 力学机制。本文的创新之处主要是提出了低耦合强度下以概率p 按照每网方法 ( p n e t ) 动态更新网络拓扑结构方式的提出，这一方法使得基于以无向耦合网络 拓扑结构为研究对象基础上出现的周期同步窗口范围加大。提出以有向耦合网络 为模型作为网络拓扑结构初始状态，数据表明低耦合强度下这种网络拓扑结构也 可以得到很明显的周期同步窗口。在时变网络拓扑结构基础上提出了一种混沌控 制方法，这一方法主要是利用低耦合强度下适度改变时变网络拓扑结构更新的频 率，这一方法能够以理想的效果将系统时空混沌运动控制到同步轨道上去。 4 第二章网络模型 2 1 1 序言 络模型 过去人们认为动力学方程确定，其所描绘的运动行为就确定，随机现象是由 随机外因引起的，与确定性方程本身无关。然而在确定性方程中出现的混沌现象 动摇了这种机械决定论的观点。混沌运动貌似随机，这种随机性完全由系统本身 决定，与外界干扰无关，即系统自身具有内在随机性。混沌运动的基本特性之一 是对初值的敏感性，其表现为：初始条件的微小差别，随着时间的演化将引起混 沌轨道按指数规律分离，这也意味着对运动轨道的预测是困难的。但由确定方程 决定的运动轨道仍具有一定的规律性，表现为混沌吸引子中包含无穷多不稳定的 周期轨道。可以这样认为混沌系统中既包含使系统发散的部分使得混沌系统对 初值敏感) ，又包含使系统收缩的部分( 使混沌轨道表现出一定的规律性) ，这两部 分的共同作用使得混沌轨道具有遍历性，其混沌吸引子也呈现多姿多彩的图案。 非线性理论的发展使人们对自然界中的许多复杂现象有了新的认识，过去人们总 是试图将复杂现象分解或分离成许多简单系统的问题，期望通过对简单系统结果 的组合能够理解复杂现象的本质。但是，随着我们对自然界的探索，一些系统的 运动形式出现了随机性，经典的规律在解释这些现象时遇到了困难。实际情况是 在确定论系统中，相空问轨道有可能呈现高度不稳定性，随着时间的发展，相邻 的相空间轨道之间的距离可能指数增大，初始条件的任何微扰都会在未来的发展 中引起完全不同的结果，这种现象被称作确定论系统中的内在随机性，也被称为 混沌行为。混沌的发现使人们突然醒悟到对经典力学实际上知道得太少。近几十 年来，随着混沌理论的不断发展，人们设法通过对时空混沌的研究来探讨时空复 杂系统。 时空系统具有无穷多自由度，它不仅包含时间变量，还有空间变量，系统的 时空混沌行为是指系统不仅在时问方向上具有混沌行为 4 】，而且在系统长时间 发展之后，其空间方向上也具有混沌行为。时空复杂系统一般是由偏微分方程来 描述的。对比常微分方程系统，这些系统是无穷多自由度的非线性系统。尽管人 们对偏微分方程进行了数百年的研究，却只对极少数几个线性偏微分方程的通解 有较好的认识，绝大多数偏微分方程解的一般行为，还基本没被了解。由于实际 问题的需要，人们对偏微分方程的近似解法也进行了大量的研究，所做的近似简 5 北京邮电大学硕士学位论文 第二章网络模型 化往往是对连续变量离散化以及对无穷系统进行截断。耦合映像格子模型，是一 个将空间变量和时间变量离散化，状态变量仍保持连续的动力学系统，由于它数 值实验的高效率和能较直接的利用现有的混沌理论，备受广大学者的青睐【5 】。 在这一节里，我们主要介绍本文涉及到的混沌动力学系统以及在它基础上定义的 模型及拓扑结构特点，同时介绍各模型系统下的网络拓扑结构随机重组模式，并 简单说明这些随机重组模式对时空混沌系统动力学行为的影响，另一方面这也为 后面章节里详细介绍我们的工作打下基础。 2 1 2l o g i s t i c 映像 在客观实际问题中，存在许多动力学系统，其状态变量随时间的变化是离散 的，人们称这种系统为离散动力学系统。离散动力学系统可以用映像来描述，我 们来看下一个简单的离散动力学系统： f ( x ) = 地o - x ) ，( 1 ) 其中九是系统的参数，这个模型叫l o g i s t i c 映像，又叫虫口模型。这个模型起 初是用来描绘昆虫的数量随时间的变化，由于资源的有限性，昆虫的数量不可能 无限制的增加，当到达一个数量后，它们之间就会因为食物的缺少而竞争，所以 这个模型描述了繁殖和竞争同时存在时昆虫的数量随时间的变化情况。对于这样 一个简单的映像，我们关心其最终状态是什么。在图2 1 中，我们给出了l o g i s t i c 模型状态变量随参数变化的分岔图。 图2 - 1l o g i s t i c 映像分岔图 我们简单讨论在参数变化时，系统的演化情况。当以冰1 时，这个系统除了 不动点外，再也没有其他的周期点，此时虫子不可避免的要成为“物竞天择”的 牺牲品( 随时间增加，映像迭代的极限为0 ) 。当l 琳3 的时候，系统存在两个不 6 北京邮电大学硕士学位论文第二章网络模型 动点：不稳定不动点，稳定不动点，这时虫子的数量将一直维持在一定量附近。 当入继续增加到捂3 5 7 的时候，虫子的数量则会随不同迭代次数“混乱力变化 系统进入了混沌。从图2 1 可以看出，即随着人的增加，系统状态由周期1 ，周 期2 ，通过倍周期分岔，向周期2 逐渐演化，当入增加到大于费根鲍姆汇聚点入 ( 九- - 3 5 6 9 9 4 5 6 ) 时，系统变成混沌解，且此时，系统处于多带混沌态，而且混沌带 中还会出现倒的倍周期分岔。而前面周期一到周期二的参数点是l - - 3 ，周期二到 周期四的参数点为拮3 4 4 9 4 1 。许多动力学系统都是通过这种倍周期分岔的方式 进入混沌态的，而且在k - - 3 6 7 8 时，我们可以看到两带混沌合并成一带混沌现象。 这一复杂的动力学行为，经过物理学家f e i g e n b a u m 利用重整化的思想仔细研究发 现其却具有很好的标度规律，并具有确定的普适的常数：f e i g e n b a u m 常数。这一 模型对揭示混沌运动的特点有其普适性，另外比较典型的混沌映像模型还有等 等。 值得指出的是，直到目前，人们还没有给混沌以确切的定义，人们普遍接受 的观点就是把混沌的典型性质：蝴蝶效应，作为混沌的定义，即：混沌运动是确定 性系统中存在随机性，它的运动轨道对初始条件极端敏感。耦合时空混沌振子是 典型的混沌系统，所以在后面的具体工作部分，我们将以它为基本模型研究耦合 系统的周期同步窗口问题以及增强周期同步窗口大小及控制混沌的问题。 2 1 3 小世界网络 1 9 9 8 年，w a t t s 和s 拍g a t z 在 上提出了基于人类社会网络的网络 模型一小世界网络模型( s m a l l - w o r dn e t w o r k s ) 6 ，我们称之为w s 模型，它描述 从规则网络到随机网络之间的转变，这一模型在不改变节点或边的数量的情况 下，在规则网格和随机网络之间插值。我们从n 个节点开始，每一点都连到它四 个最近的邻点上。对于p = 0 。原始环不变；随着p 值的增加，网络也变得越来越无 序，直到p = l 时，所有边均随机重新连线。模型描述如下： w a t t s 和s t r o g a t z ( 1 9 9 8 ) 建议在一个有限维规则网络和随机网络图之间插入一 个一元参数模型。模型的算法如下： ( 1 ) 从规则网开始：从具有n 个节点的环形网络开始，其中每一节点都 与它初始的k 个邻点相连( 在每一边有靴) 。为了获得一个稀疏但任何时刻总 是连接的网络，考虑n k l n ( n ) l 。 ( 2 ) 随机化：以概率p 随机为网格的每条边重新布线，同时保证没有自连 接和重复边。这一过程引进了p n m 条长距离边，它们连接那些属于不同邻点 的一部分节点。通过改变p ，人们可以仔细观察规则网( p = 0 ) 和随机网( p = 1 ) 之 间的变化。 7 北京邮电大学硕士学位论文 第二章网络模型 小世界网络的提出是复杂网络研究中的重大突破，从而j 又掀起了一股复杂 网络研究的热潮。它们通过将规则网络中的每条边以概率p 随机连接到网络中的 一个新节点上，构造出一种介于规则网络和随机网络之间的网络( 简称w s 网 络) 。它同时具有较小的平均距离和较大的聚集系数，而规则网络和随机网络是 w s 网络在p 为0 和l 时的特例。后来物理学家把较大的聚集系数和较小的平均 距离两个统计特征合在一起称为小世界效应，具有小世界效应的网络就是小世界 网络。 复杂网络研究发展很快。尽管做出新的、重要的发现的可能性很高，对该领 域作一个必要的和适当的综述已获得很高程度的认同。该领域已经获得足够多的 研究结构，作为选择，我们集中讨论了描述网络拓扑结构的机制和模型。以下我 们将对未能涵盖的，但对此领域很重要的一些问题作简单讨论。 2 1 4 网络上的动力学过程 许多网络提供了动力学过程的基础，且其拓扑结构对其系统的动力学特性至 关重要。可能的动力学过程非常广泛，w a t t s ( 1 9 9 9 ) 研究了集群对一些过程的影响， 包括博弈、合作、囚徒悖论、元胞自动机和同步，w a n g 和c h e r t ( 2 0 0 1 ) 指出非匀 质的无标度拓扑结构在决定复杂网络上的同步时非常重要，复杂网络上的搜寻和 随机行走也是一个有许多研究的主题。当描述网络拓扑变化的时间标度与网络上 动力学过程的时间尺度差别很大时，在固定的拓扑上模拟动力学就是合理的了。 网络结构在决定思想、革新、甚至病毒的扩散时起着至关重要的作用。在这 一方面，传播和扩散在几种类型的网络上都得到了研究：规则的、随机的、小世 界网、以及无标度网。一个特别令人吃惊的结果是由p a s t o r - s a t o r r a s 和v e s p i g n a n i 做出的，他们研究了网络拓扑对疾病传播的影响，发现在随机网上，只有当扩散 率大于某个临界值时，局域的感染才会扩散到整个网络，但对于无标度网络，任 意的扩散速率都会导致整个网络的感染，也就是无标度网的临界扩散速率减到了 0 ，这是一个非常意想不到的结果，与原来的许多相关研究相抵触。 当网络上动力学的时间尺度与刻画网络结构的时间尺度可以相比时，动力学 过程会影响网络结构的演化，许多讨论群体演化、细胞拓扑的涌现等生物学模型 都是这种情况。在目前的模型中，通常不允许这些系统“增长”，只是他们所存 在的状态可以具有不同的网络拓扑。但有趣的是，这些模型不能产生无标度网络， 尽管已知细胞网络是无标度的。因此，在选择或优化机制下，设计一个网络演化 模型，能产生与实际网络类似的拓扑结构仍然是一个挑战。 一般地说，当我们理解了网络动力学，以及动力学和网络结构之间的耦合， 也仅仅是万里长征走完了第一步( s t r o g a t z , 2 0 0 1 ) 。到目前为止，我们还缺乏能给 出网络结构一致性和普适性的简单组织原则。鉴于问题本身的重要性，以及在网 8 北京邮电大学硕士学位论文第二章网络模型 络拓扑描述方面的快速发展，我们相信这会是一个迅速发展的领域。 2 2 耦合映像格子系统模型 2 2 1 概念介绍 一 耦合映像格子模型( c o u p l e dm a pl a t t i c e 简称c m l ) 7 ，最初是由金子帮彦 ( k a n e k o ) 等在1 9 8 3 年提出的用于描述时空系统的复杂动力学行为特别是描述时 空混沌问题的有力工具，这是一种时间和空间变量离散，状态变量连续的动力 学系统。由于这种模型具有数值模拟计算效率很高，能近似描述连续时空系统的 动力学行为，解析讨论方便等优点，现已成为非线性动力学领域中一个重要的分 支。许多学者对其进行了深入的研究，取得了很多成果，其作为演示时空系统动 力学基本行为的简单模型，备受人们的广泛关注。其中包括一维耦合映像格子和 二维耦合映像格子。一维耦合映像格子是最简单的耦合映像格子模型，也是研究 的最早的模型，因此是发展最完善的模型之一。它具有六种典型的时空动力学行 为，即： 一莹 1 冻结化随机图案模式( f r o z e nr a n d o mp a t t e r n ) ， 2 图案选择模式( p a t t e r ns e l e c t i o n ) ， 3 缺陷混沌扩散模式( d e f e c tc h a o t i cd i f f u s i o n ) ， ，7 4 缺陷湍流模式( d e f e c tt u r b u l e n c e ) ， 5 图案竞争阵发混沌模式( p a t t e r nc o m p e t i t i o ni n t e r m i t t e n c y ) ， 、 6 完全发展湍流模式( f u l l yd e v e l o p e dt u r b u l e n c e ) ， j 2 2 2 本文采用的耦合映像格子模型 本文中的耦合映像格子系统，是指一个一维且具有周期边界条件的耦合映像 格子系统。局部非线性映像函数是l o g i s t i c 映像如式( 1 ) ，入取值为4 ，对应区 域所有格点动力学行为均处于混沌态，将混沌态作为模型初始态目的在于期望通 过调整系统相关参数以发现由混沌走向有序的可能性，并期望能够发现一些特殊 的动力学特性。任意耦合振子i 在第n 个时刻的动力学行为状态变量用x n ( i ) 来刻 画。若从网络拓扑结构初始状态进行分类，可分为： 1 ) 无向耦合映像格子 一维规则最近邻无向耦合映像环，它是以单向驱动耦合l o r g u a z 振子一维链为 原型改变的研究对象，进行分析混沌动力学行为特性的。本文的最近邻无向耦合 映像环采用5 0 个格点数目，每个耦合振子i 的出度入度始终保持为2 ，且格点i 的邻居格点标号分别是i + l i - 1 9 北京邮电大学硕士学位论文第二章网络模型 图2 - 2 无向耦合映像格子 2 ) 有向耦合映像格子 一维规则最近邻有向耦合映像环，它是以单向驱动耦合l o r e n z 振子一维链 为原型改变的研究对象，进行分析混沌行为特性的，每个格点出度入度均为 2 ，且格点i 的邻居分别是i + l ，i 1 。例如，格点l 的邻居格点标号为2 和5 0 。 图2 - 3 有向耦合映像格子 以上两种网络都是以耦合映像环为基础构建而成，然后以一定的断开重连概 率，动态更新网络，试图在复杂的时空混沌行为中找出周期窗口，跟踪耦合映像 格子的某些规则行为。目前许多规律还有待进一步深入研究，看来不同网络拓扑 系统的情况无疑对动力学特性产生不同的影响，目前各自的影响程度还无法一概 而论，这些内容将会在后面章节中具体讨论。 1 0 北京邮电大学硕士学位论文第二章网络模型 2 3 系统网络拓扑结构随机重组 过去的几十年来，虽然人们对耦合映像格子模型的研究已经取得了丰硕的成 果，但近年来，随着人们对复杂网络的研究，耦合映像格子模型仍然是研究的热 点。耦合映像格子模型中格点的耦合方式是严格的最近邻耦合( 规则耦合) ，为 了更好的模拟现实中的网络系统，我们把随机概率引入到该系统中。于是，我们 按照小世界中的耦合方式，进行处理，构造出空间耦合连接具有随机性的耦合映 像格子系统，研究它的同步及控制问题。本文中的具有随机性耦合连接的耦合映 像格子系统的局部更新规则由下面的映像给出： 系统动力学公式： x 厅+ l ( f ) = ( 1 6 ) f ( x 。( f ) ) + ( 6 2 ) x 。( f + 1 ) + x 。( f 1 ) ) ( 2 ) 其中e 为耦合强度，实际上表示了当前格点与关联格点相互影响的程度，局 部非线性动力学函数采用的是逻辑斯蒂( l o g i s t i c ) 映像模型，系统参数入- - - 4 时耦 合映像系统处于混沌状态，且满足周期边界条件：x o ( i ) = - x ( i ) 。 “ 我们将上述模型的耦合连接按照概率p 进行随机重组，研究随机连接对系统 的动力学特征有哪些重要影响。在环状最邻近耦合连接中，对于每一个格点i ， 首先以概率p 断开其两个连接，再从系统中随机挑选两个格点与其相连。也就是 说，以随机概率p 的耦合连接代替原来的规则最近邻耦合。这样，就得到一个随 机耦合系统，当p = o 时，系统是规则的最近邻耦合；当p = l 时，系统是完全的 随机耦合；当p 取值很小( p 0 0 1 ) 时，类似于小世界耦合。新系统可以表示 为：以概率p 断边重连的系统动力学公式是： x 。+ i ( f ) = ( 1 6 ) f ( x 。( f ) ) + ( g 2 ) x 。( r 1 ) + 工。( 孝) ) ，( 3 ) 以概率1 - p 断边重连的系统动力学公式是： x 。+ l ( f ) = ( 1 6 ) f ( x 。( f ) ) + ( 6 2 ) x 。u + 1 ) + x 。( f 1 ) ( 4 ) 其中，q 和号是均匀的从【l ，n 】随机抽取的整数，表示当前格点需