（计算数学专业论文）二维对流—扩散方程的交替分组方法.pdf

山东大学颐【二学f 起论文 二维对流扩散方程的交替分组方法 牛智勇 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文采用交替分组并行差分法来求解二维对流一扩散方程。对流一扩散方程 是描述流体运动某些物理现象的一，类重要数学模型，在热传导、粒子扩散、渗流 力学等方面有广泛应用，因此，研究对流一扩散方程的数值计算方法有重要的科 学意义和应用价值，开展并行差分法的研究也已成为偏微分方程数值分析的重要 内容之一对于扩散方程和对流一扩散方程的并行差分方法的研究已有许多工作 2 , t - 7 , 9 , 1 0 , 1 2 , , i 本文使用的交替分组方法不但具有并行性质，而且绝对稳定特别 是利用本文对于对流项的处理及分组方法，还可以构造出对流一扩散方程绝对稳 定的交替分块c r a n k n i c o l s o n 格式 文章的结构如下： 第一章二维对流一扩散方程的一类交替分组方法本章共分五节 第一节是引言，给出了方程 娑+ n ( 黎+ 祟) ：j ( 象+ 黧) ，0 t sl ，0s 1 0 0 0 0 f 丁( 1 1 ) 瓦+ ”( 万+ 瓦) 2j ( 百+ 万) 1 s 。sl ，s 墨1 - 0 ，矩阵g 是非负实阵，则 ( j 。，g ) 一，l l 墨l ，( 4 1 ) l 2 i i ( i r g ) ( i + ，g ) 一。i 1 ( 4 2 ) 可以得到 定理1对任意r = 釜 0 ，由( 2 1 7 ) 和( 21 8 ) 定义的交替分组格式绝对稳定 第五节是数值算例。我们利用上述交替分组方法求解一个初边值问题。我们 把此结果与c h e n i i n ga n dz h a n gb a o l i n 4 j 的方法结果做比较，发现本文的方法 既有并行性，又有计算精度高的特点。 第二章一交替分块e m n 七一：v i c 0 1 ，o n ( a b c n ) 方法 扣 小 小 胁 k 眩h 弘 。川 肜r矗酲暖一出一舭 酬 晰一州一础一叫慨 山东大学硕t 学位沦文 本章共分三市。 第一节足引；i 。蜕明本章的基本格式，b 格式是第一章中的g 1 ，十? i 电组格 式“拉开”，每行每列增加2 。个点。在增加的点上使用f 一、格式或8 个新格式。 第二节是交替分块c r r m k i 、”d f s 厅法。首先给出8 个新格式，f 12 8 ) 一 ( 23 1 ) 和( 22 8 ) 一( 23 1 ) 其次，给出，b 格式子格式的图形图i 和，b 恪式的 图形图8 。然后，给出了利用i b 格式计算相邻两层节点近似值的分组模式最 后给出i b 格式的系数矩阵： ( ，+ r 正) 瓦了1 = ( ，一t 1 瓦) e ，+ 6 b ( 2 3 7 ) 第三节是截断误差分析和稳定性分析截断误差分析的分析方法与第一章类 似，得到，b 格式的整体截断误差的阶是o ( a t + h 2 + ( ) 2 h ) 此外，若加入 使用e 一= v 格式的点多一些，以及在靠近边界的点上使用c 一格式，那么， 利用i b 格式的求得的数值解的精度就高一些 在稳定性分析中，我们用类似第一章中的分析方法可知( 2 3 7 ) 绝对稳定 关键词：对流一扩散方程，交替分组差分格式，并行计算，绝对稳定 i l 东大学硕j 学似沦交 a na l t e r n a t i n gg r o u pm e t h o df o r t w od i m e n s i o n d i f f u s i o n c o n v e c t i o n e q u a t i o n a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ac l a s s o fa l t e r i r a t i n g g r o u pp a r a l l e l d i f f e r e n c em e t h o di s a p p l i e d t os o l v et h ec 、+ o d i m e n s i o n a ld i f f u s i o n c o i b 。e c t i o n e q u a t i o n t h ed i f f u s i o n c o n v e c t i o ne q u a t i o ni so n eo fm a t h e m a t i c a lm o d e l sw h i c hi su s e dt od e s c r i b es o m e p h y s i c i a lp h e n o m e n o no fi i q u i dn l o ；。e l l l e n t a n d i ti s w i d e l yu s e di nm a n ya s p e c t s ， s 1 l c ha 8h e a tc o n d u c t i o n ，p a r t i c l ed i f f u s i o n m i s c i b l em e c h a n i c sa n ds oo ns o t h e r e i s i m p o r t a n ts c i e n t i f i ci n e a n i n ga n da p p l i c a t i o nv a l u et os t u d yo fn u m e r i c a lt o n i p u t em e t h o do fd i f f u s i o n c o i l * , e c t i o ne q u a t i o n i ti so n eo fi m p o r t a n tc o n t e n t so f n u m e r i c a la n a l y s i so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nt os t u d yt i l ep a r a l l e ld i f f e r e n c e m e t h o d t h e r ea r en l a l l r o r k s 2 , 4 - 7 ，。，l o 1 2 14 】a b o u t t h es t u d yo fp a r a l l e ld i f f e r e d c em e t h o do fd i f f u s i o n c o n * , 。e c t i o ne q u a t i o na n dd i f f u s i o ne q u a t i o n t i l ea l t e r n a t i n gg r o u pm e t h o du s e d i l lt h i sp a p e rn o to n l 3 c a l lb ep a r a l l e lc o m p u t e d ，b u t a l s oi su n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e s p e c i a l l y a c c o r d i n gt o t i l e d i s p o s a lo fc o u v e c t i o n i t e ma n dg r o u p i n gm e t h o dw ec a nc o n s t r u c tt i l eu n c o n d i t i o n a l l ya l t e r n a t i n gb l o c k c r ，a n k 一v i c o l s o ns c h e n l eo fd i f f u s i o n c o n v e c t i o ne q u a t i o n t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e r i d e di n t ot w oc h a p t e r s c h a p t e ro n e ac l a s s o f a l t e r m l t i n gg r o u pm e t h o df o rs o l v i n gt w o d i m e n s i o n a ld i f f u s i o n c o r n 。e c t i o ne o m t i o n t h ef i r s ts e c t i o ni si n t r o d u c t i o n w h i c hg i 、e se q u a t i o n s 祟+ k ( 譬+ 未) ：! ( 曩+ 象) ，( ) 曼z 茎1 、o s s1 o 丁( 1 j ) 瓦+ k ( 瓦+ 瓦j _ 三【面+ 丽) dsz 茎1 us s1 _ o 0gi s ；i l i ( m i l e g a c i y em a t r i x 。t l l ( 4i ) i ( ，r c ) ( f 上g ) 1 1 虬1 ( 42 ) w ec a ng e t t h e o r y1 f o ra n y7 = 券 0 ，t h e a l t e r n a t i n gg r o u pm e t h o d s d e f i n e db y ( 2 1 7 ) a n d ( 2 1 8 ) i su n c o i l d i t i o n a l l ys t a b l e t h ef i f t hs e c t i o ni st i l en u m e r i c a le x a m p l eai n i t i a l b o u n d a r y p r o b l e n li s s o l v e db yt h em e t h o da b o v ew e c o m p a r et h er e s u l t sw i t ht h eo n eo fc h e nj i n g a n dz h a n gb a o l i n 4 | a n dw ec o n c l u d et h e a l t e r n a t i n gg r o u p d i f f e r e n c em e t h o dk e e p s n o to n l yc o m p u t i n gp a r a l l e l l y ，b u ta l s oh i g ha c c u r a c y c h a p t e rt w o a l t e r n a t i n g b l o c kc r a n k n i c o l s o n ( a b c n ) m e t h o d t h i sc h a p t e ri sd e r i d e di n t ot h r e es e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni si n t r o d u c t i o nw ei n t r o d u c et h ei bf o t r e a ti st h eb a s i s f o r m a tw h i c hi sf o r m e db y p u l l i n 9 1 t h eg ms c h e m ea n da d d i n gt o2 s p o i n t sa t e v e r yr o wa n dl i n e w ea p p l yc j _ vf o t m a to r8n e ws c h e m ea tt h ep o i n t sa d d e d i nt h es e c o n ds e c t i o nw eg i v ea l t e r n a t i n gb l o c kc 7 a n k n i e o i s o n ( a b c n 1 m e t h o d f i r s t + w eg i v et h e8n e wf o r m a t s ( 22 8 ) 一( 2 3 1 ) a n d ( 2 2 8 。) 一( 2 3 t ) s e c o n d w eg i v et h ef i g u r e so fs u b s c h e m e so fi b f o t m a t ，f i g u r e7 ，a n dt h ef i g u r eo f i bf o t m a t ，f i g u r e8 t h e n ，w eg i v et t l eg r o u p m gm o d eo fc o m p u t i n gt h ea d j a c e n t t w ol a y e r sp o i n t s a tl a s t w e 百、。et h ec o e f f i c i e n tm a t r i xo fi bf o t r e a t ： ( ，+ r 五) 瓦j 1 = 【，一r 疋) 瓦，+ 醒， f 2 3 7 ) t h et h i r ds e c t i o ni st h ea n a l y s i so ft lu n c a t i o ne r r o ra n ds t a b i l i t y , t h em e t h o d o f a n a l y s i n gt r u n c a t i o ne r r o ri ss i m i l a r 、i t ht h eo n eu s e di nt h ec h a p t e ro n e ，a n d w ec o n c l u d et h eo r d e ro ft r u n c a t i o ne r r o ro fi bf o t m a ti s 0 ( t + h 2 + ( ) 2 h ) i fw ea d dm u c hm o r ep o i n t sf o rc 一、s c h e m eo rc o m p u t et h ep o i n t sn e a rt h e b o u n d a r i e sb yc ns c h e m e ，t h ea c c u r a c yo fa b c nm e t h o dw i l ls h o ws o m e i m p r o v e m e n t i nt h ea n a l y s i so fs t a b i l i t y ，w ea p p l ) t h em e t h o do fc h a p t e ro n et oc o n c l u d e t h a t ( 2 3 7 ) i su n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e 山东大学硕 ：学位论文 k e y w o r d s ：d i f f u s i o n c o n v e c t i cj 1 l ( 1 ( p a r a l l e lc o n t l m l i n g u n c o n d i t i o n a l l 3 s l a i t a ti o n ，a l t e r n a t i n gg l o l l pd i f f e r e n c es c h e m e ( v i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：生垒，囊日期：垫熊盘臼 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：嶂导师签名：芝叁丝日期：垫呼堑上目如日 第一章 二维对流扩散方程的一类交替分组方法 1 1引言 对流一扩散方程是描述流体运动某些物理现象的一类重要数学模型，开展并 行差分法的研究也已成为对流一扩散方程数值分析的重要内容之一。f 1 4 1 对一维 情况提出了一类新的交替分组方法。f 4 】x , t - - - 维扩散方程提出了一类交替分组格 式。本文构造了一些新的非对称差分格式，给出了二维对流一扩散方程的一类新 的交替分组方法，是将【1 4 】中的方法推广到二维情况。本文对对流项采用特殊的 的处理方法。 本文将考虑如下初边值问题： 豢+ k ( 是+ 凳) ：( 熹+ 熹) o s 。s1 ，o s1 ，o f 丁( 1 1 ) 瓦+ k 【瓦+ 瓦) = ( 丽+ 丽) oszs1 ，o s1 ，o 0 ，k 和e 是与z 、t 无关的常数。初始条件和边界条件是 u ( z g ，0 ) = ，( z ，) ，0 曼z 墨1 ，0sfs l u ( 0 ，y ，t ) = g i ( ) u ( i ，口，t ) = 9 2 ( t ) 0s s 1 ( 工，0 ，t ) = 蜘( t ) u ( x ，1 ，t ) = 出( t ) ，01 。1 工2 交替分组方法 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 首先将区域d ： osz l ，0 1 ) 进行剖分，令a x ，9 和分别代 表x 一方向、y 一方向和t 一方向的步长，其中z = i m ，= 1 n ，m n 是正 整数“：，代表精确解“( z ，驴，t ) 在( 丑：珊，埘处的值，咯代表“! ，的数值解。 其中盈= i a z ，i = 0 ，1 ，m ；玑= j 口、j = 0 ，l ，n ；“= k a t = 1 ，2 本 文中，令z = a y = h ，即m = n 我们引入一些符号： 如u = ( u 。，一心) ，矗u 乞= ( u i ，+ 。一u ) ， 岛u = ( u 毛一u l 。j ) h ，岛”乞= ( u t 。b 一。) a ， 如u 如= ( u 鼻，一u l 。) 2 矗，岛u = ( “知+ ，一t 童，一。) 2 h 文乱毛= ( u 等1 一心) 1 山东大学硕l ：学位沦文 在构造交替分组方法时，我们用到下面l6 个在( “”t k 一；) 点迪- 地, - 刀r a ( 1 1 ) 的 非对称差分格式：其中格式( 2 1 ) 一( 24 ) 分别由图1 的( 1 ) 一( 4 。) 演示，格式 ( 25 ) 一( 2 87 ) 分别由图2 的( 。) 一( ) 演示。 跏o ；( 学+ o i 澎。+ ；( 学 = ；阪( 岛u ) 乞十h - 1 ( 5 。u 譬1 一曲u ) + ；( 屯( 岵u ) + 圹1 ( 如“譬1 一曲畦j ) ( 2 1 ) 文。+ i ( 兰学+ 以t 。匕) + ；( 兰学+ 如“) = ；阻( 岛u ) + 1 ( d ：“b 一岛“譬1 ) 】+ ；p v ( 曲u ) 十 一1 ( 如札譬1 一曲“) 1 ( 2 2 ) 文u b + ；( 兰学+ 如u ) + ；( 学+ 如u ) = ；【以( 岛u ) 岛+ h - t ( 以u b 一岛u 譬1 ) 跏+ ；( 2 h + ；【屯( 与扎) + h - 1 ( 5 ，让一曲钍：j 1 ) 】( 2 ，3 ) + 6 i 。) + i ( 兰学+ 如u b ) = ；阻( 砖“) 乞+ h - 1 ( d z “譬1 一曲“如) + 瓢毛( 岛“) 岛+ h - 1 ( 矗u 一g u i , j + 1 ) ( 2 4 ) 文。毛+ ；( 兰学+ 以晦t ) + i ( 譬+ 南u ：；1 ) = ；睡( 曲“) 譬1 + 一1 ( d ：u 乞一曲“譬1 ) + ； 毛( 曲“) 譬1 + 一1 ( 矗u b 一曲u 等1 ) 】 以。+ ；( 兰学+ 如。：j ) + i ( 兰学+ 如“：；1 ) ( 2 1 ) = ；归。( 器u ) 譬1 + 一1 ( 6 。u 对1 一岛u ：，) 1 + ； 曲( 咖) 对1 + 一1 ( 如u 一曲“譬1 ) ( 2 2 ) 文。如+ ；( 兰学+ 如t z ；j t ) + ；( 兰学+ 屯t t ：j 1 ) = ； 瓦( 岛u ) 譬1 + 一1 ( 疋k 。4 - 1 6 z 畦，) + ； 屯( 曲u ) 对1 + l _ 1 ( 矗让譬1 6 f u ) 】( 2 - 3 ) 2 山东大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = _ ：= = = = = 一一一 溅+ ；( 掣 2 i ( 6 叫) 譬1 + h - t ( d 一 ，一岛r 哇j 1 ) + i 吼( 曲，r ) 譬1 十l - t ( d ，u i 于1 6 f t 。) 】( 2 j ) 倪u 易+ ；( + 如。譬t ) 十；( 盟警+ 南。b ) 2 ；限( 岛u ) 譬1 + 一1 ( j 刈譬一6 z u ) 】+ ； d ，( d f “) 十圹1 ( “u 譬曲畦，) 】( 2j ) 吼+ i ( 掣地吨) + ；( + 咖) 2 ；【疋( 砖u ) i k + + h - 1 ( b u 0 一曲u 譬1 ) + ；【毛( 曲“) 等1 + 扩1 ( 毛“孑1 岛屿) 】( 2 6 ) 函n b + ；( 兰学+ 如。：；t ) + ；( 兰学+ 毛。o ) 。；睡( 岛u ) 笞1 + 一1 ( 6 “一岛u 譬) 】+ ；吼( 6 弘) + h 一1 ( u 。k 。一曲u 譬1 ) 1 ( 27 ) 文“+ i ( 挚+ 以。_ ：j ) + ；( 兰学+ 如畦j ，) = ； 矗( 砖u ) 易+ 一1 ( 以u 孑1 一岛u b ) + ；峨( 曲“) i k u t l + 一1 ( 毛心一曲“譬t ) 】( 2 8 ) 文峨k ，+ ；( 兰学+ 如q k ，) + ；(2 h = ；【以( 岛u ) 十九一1 ( l u 一o - 罩u k + 1 ) + ；【6 ，( 岛“) 等1 + 一1 ( 屯“易一曲u 譬，) 】( 2 5 ，) 文u ：，+ i ( 兰挚十如“：；t ) + ；( 竺学+ d 。) 2 ；陋z ( 畦u ) 譬1 + 一1 ( 疋畦亨1 一岛u 易) ) + ；阮( 与 ) 矗+ 一1 ( o ”一曲“：j 1 ) 】( 2 文“+ ；( 兰挚+ 如n 易) + ；( 学+ 如。：；，) = i 【疋( 岛) + 九- 1 ( 6 z “譬1 岛u 岛) 】十；【d 。( 曲) 笞1 + h - t ( 5 ，“譬1 6 弘) 3 ( 27 ) 山尔火学硕i 二：随沦文 ；k ( 砖“) 譬1 i 1 j ，k ( i l j ，k i 一1 ：j ，k + ：“i 一心 2 h2 h 西z ) + 弧9 。嘛z 雌+ hi “譬1 一啪( 2 8 h 。1 霉 o 孕t(id,k+1)- 叠2 ( i ，j ，k ) ( 1 ) 格式( 2 17 ) 1 )( i ljk + l i 一1 d ，k l d ，k k + l ( i j , k ) ( 2 ) 格式( 2 2 ) ( 】+ l 小k ) ；l 小k k 1 i k 一笋参 一 一 j 一 j 一 - 一一一一 山东大学硕十：学位沦文 弘l j ，k ) ( j 一1 j ，k + 1 ) ( ；一l j ，k ) _ 7 广一 l x + ， i l ，k 二_ 。】l k f ， j 一1 ，k ( c 1 格式( 2 7 ) + 1 1 图i ( j + l j ，k + 1 )1 1 j ，k + 1 ) + l j ，k + i 一1 j ，k i + l j ，k )( i - 1 j ，k ) a ( i j ，k j ( d ) 格式( 2 8 ) + i i - k + + 1 j k + 1 j ，k + + l j ，k i i i 东大学硕士学位论文 j _ k ( j l j 。k ) ( a ) 格式( 2 5 ) ( 1 j - 1 k ( c ) 格式( 2 一) 令r = 筹，a l = s 一譬 形式： ( i , j 1 ，k o j l ，k ) ( b ) 格式( 2 67 ) + 1jk4 - k + 1 ( j + i j ，k ) ( d ) 格式( 2 8 ) 图2 a 2 = i 4 - 警，则上面的1 6 个式子可以改写成下面的 ( 1 + 2 r ) u 譬1 一a i r u 蹴j n l r u k + + 1 1 = 2 0 2 r u 易一l + 2 2 r 乱i i ，j + ( 1 6 r ) 心+ a l r 札l ，j + a l r ? _ k i , j + l ( 2 9 ) 一n ：r “2 z ，+ ( 1 + 2 r e ) t z ：j2 一a i r u 。k ，+ + l 。 = 2 n 2 r u 一1 + a 2 1 “l + ( 1 6 r = ) u b + 2 0 1 r u o l ，+ a l r u i ，十t ( 2 1 0 ) 一n 2 r u k + 一1 1 一n 2 r u 爿，j + ( 1 + 2 r ) u 譬1 = a 2 r u ：d l + 0 2 r u l l ，j + ( 1 6 r s ) “+ 2 a l r “i u + 2 n l r 咄，+ 1 j i 廷 茗雾 薹【 山东大学硕士学位论文 ( 21 2 2 。2 r u ，k ，+ 一l l 一2 1 2f ：! 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) “：j 1 一a l r t t 。k + 。l ，一o t r t t ：髯 = 2 n 2 r u 一l + ( 1 4 r 三) “+ o l r u l j + a l r u ：, j + ( 2 1 67 ) 为了计算每层节点上的近似值，我们将每层上的节点分组，相邻两层的分组 方法不同例如，当第k 层的近似值l ! ，已知，计算雌o 时，我们先将第( k + 1 ) 层的节点分组，计算出其近似值，我们再用另一种分组方法将第( k + 2 ) 层节点分 组，利用磴产1 计算出罐产2 然后交替使用第( k + 1 ) 层和第( k + 2 ) 层的差分格 式每层节点分成若干个独立计算的节点组，每个节点组中的节点个数不一定相 同，有的由1 6 个内点组成( g m 十六点组) ，有的由8 个内点组成( 靠近边界， r 八点组，l 八点组、u 八点组和d 八点组) ，有的由4 个内点组成( 靠近角， r u 四点组和l d 四点组) 每个节点组都有各自的几何形状，它们都是g m 十 六点组的一部分一个节点组中的各个节点的近似值可以通过非对称格式来独立 计算由1 6 个内点组成的基本格式g m 十六点组格式如图3 中的( 1 ) 所示， 由8 个内点组成的r 八点组格式、l 八点组格式、u 八点组格式和d 八点组格 式分别由图3 中的( 6 1 ) 、( 6 2 ) 、( 6 3 ) 和( 6 4 ) 所演示，由4 个内点组成的r u 四 点组格式和l d 四点组格式分别由图3 中的( c 1 ) 和( c 2 ) 所演示 ( 4 )( c )( 3 ) ( d ) ( c ) ( 2 )( 1 ) ( 37 )( 4 ) ( 1 )( n )( d j )( 2 ) 8 山东大学坝上学他沦文 ( c ) 1 ) g1 十六点绀莘分恪， c )( 3 )( 1 )( b ) j ( 1 )( n )( c ( 2 ) ( b 1 ) r 八点组差分倍式。( 6 2 ) 上八点组差分恪式( 6 3 ) u 八点组差分格式 ( 硝) d 八点组差分格式( c l 口口 ( 1 】( a ) r l 四点组差分恪式 图3 ( i ) ( k + i j 层分组模式 图4 9 2 ( 1 1( n7 ) ( c 2 1 l d 四点组差分格式 ( i t ) ( k + 2 ) 层分组模式 i j 东火4 1 # l ，t 位沦艾 现在我们i 时沦交替分组差分格式号虑分点数，是奇数的情h 。 若 7 一l - ：4 、+ 2 ( | 、一= 11l ，我们在两个时间层1 - _ 交替构造分组差分 格式。我们采用如f 的分组方法：当第( k ) 层已知，计贸：第l k l l 层时，采用图 4 中( i ) 格式，计算第( k + 2 ) 层时，录用圈4 中( i i ) 格式。我f fj 庄f + l 层上戈 分( + 1 ) 2 个独立计算组，这些独立汁算组具有并行本性，可以在多个处理器并 行计算机上直接使用。在图4 ( i ) 中，从下至上，前、f 行，每行从第1 组至