（计算数学专业论文）几种特殊剖分上样条函数空间维数的研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 样条函数空间的维数，对研究样条函数逼近非常重要。然而一些特殊剖分上的样条 函数空间的维数，不仅依赖于剖分区域的拓扑结构，而且还依赖于剖分区域的几何结 构t 样条是s e d e r b e r g e t d 4 ”于2 0 0 3 年提出的，它是定义在更一般的t 网格上的样条函数空 间邓建松、陈发来、冯玉瑜9 4 利用b 网方法得到了，当光滑度小于样条函数次数一半 时，一种t 样条函数空间的维数公式。而且所得的维数公式，只与t 网格的拓扑性质有 关。但是由于条件的限制，当样条函数的光滑度接近次数时，此公式就不再成立。本文 利用光滑余因子方法，针对几种特殊t 样条函数空间，给出了更一般的维数公式。此外本 文还针对一种样条函数空间的奇异性，利用代数几何知识给出了更直观地解释 关键词：多元样条；光滑余因子；维数；t 网格。 a 1 张峰：几种特殊剖分上样条函数空间维数的研究 a b s t r a c t i t sw e l lk n o w nt h a t t h ed i m e n s i o no fas p l i n ef u n c t i o ns p a c ei s v e r yi m p o r t a n tf o r s t u d y i n ga p p r o x i m a t i o nt h e o r yo fs p l i n ef u n c t i o n s h o w e v e rs o m ed i m e n s i o n so fs p l i n es p a c e s o v e rp a r t i c u l a rp a r t i t i o n sn o to n l yd e p e n do nt h et o p o l o g i c a lq u a n t i t i e s ，b u ta l s od e p e n d0 n g e o m e t r i c a lq u a n t i t i e s i n2 0 0 3s e d e r b e r ge t a l “”i n v e n t e dt s p l i n e ，w h i c hi sas p l i n es p a c e o v e rt - m e s h u s i n gam e t h o db a s e do nb n e t s ，j i a n s o n gd e n ge t a l 1 0 lg a v et h ed i m e n s i o no f as p l i n ef u n c t i o ns p a c eo v e rat - m e s hi n2 0 0 4 w h e nt h es m o o t h n e s si sl e s st h a nh a l fo ft h e d e g r e eo ft h es p l i n ef u n c t i o n s ，t h ef o r m u l ad e r i v e di n v o l v e so n l yt h et o p o l o g i c a lq u a n t i t i e so f t h et - m e s h b e c a n s eo ft h ec o n s t r a i nt h ef o r m u l ad o e s n te x i s tw h e nt h es m o o t h n e s si sc l o s e t ot h ed e g r e eo ft h es p h n ef u n c t i o n s i nt b a sp a p e rw et a k ea d v a n t a g eo ft h es m o o t h i n gc o - f a c t o rm e t h o dt oc a l c u l a t et h ed i m e n s i o n so fs p l i n ef u n c t i o no v e rs o m ep a r t i c u l a rt m e s h e s a n dd e r i v et h em o r eg e n e r a ld i m e n s i o nf o r m u l a f u r t h e r m o r ew ee x p l a i nt h es i n g u l a r i t yo f as p l i n es p a c ef r o mg e o m e t r i cp o i n to fv i e w m a k i n gi tm o r ee a s i e rt ou n d e r s t a n d k e yw o r d s ：m u l t i v a r i a t es p l i n e ；s m o o t h i n gc o - f a c t o rm e t h o d ；d i m e n s i o n ；t - m e s h 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名： 导师签名： 圣堡蜡年旦月日 大连理工大学硕士学位论文 1 多元样条简介 所谓样条函数( s p l i n ef i m c t i o n ) 就是具有一定光滑性的分段或分片定义的多项式函数 1 9 4 6 年，数学家i j s c h o e n b e r g 较为系统的建立了一元样条函数的理论基础( 【? 1 ) 但是， s c h o e a b e r g 的工作刚开始时并未受到重视从6 0 年代开始，随着电子计算机技术的飞速发 展，样条函数也得到了迅速的发展和广泛的应用鉴于客观事物的多样性和复杂性，开展有 关多元样条函数的研究，无论在理论上还是在应用上都有着十分重要的意义现在，它在函 数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计、有限元及小波等领域中均有较为重要的应用 一般而言，多元样条研究的主要方法有：光滑余因子协调法、b 网方法及多元b 样条方法 下面我们分别对它们做简要的介绍 1 1 光滑余因子协调法 2 0 世纪6 0 年代至7 0 年代初，g b i r k h o f f , h l g a r a b e d i a n 和c a r ld eb o o r 等研究并建立 了一系列关于c a r t e s i a n 乘积型的多元样条理论c a r t e s i a n 乘积型多元样条虽然有一定的应 用价值，但有很大的局限性，且在本质上可以看作是一元样条函数的简单推广 1 9 7 5 年，王仁宏在文【1 】中采用函数论与代数几何的方法，建立了任意剖分下多元样条 函数的基本理论框架，并提出所谓的光滑余因子协调法( s m 0 0 t h i n gc o f a c t o r c o n f o r m m i t y m e t h o d ) 从这种基本观点出发，多元样条函数的任何问题均可转化为与之等价的代数问 题来研究 设d 为二维e u c l i d 空间贰2 中的给定区域以觋记二元k 次实系数多项式集合： kk t 致：= p = 矿 鸱 i = 0j = 0 一个二元多项式p 称为不可约多项式，如果除了常数和该多项式自身外没有其它多项 式可以整除它( 在复域中) 代数曲线 r ：z ( x ，y ) 一0 ，f ( o ，y ) p m ， 称为不可约代数曲线，如果f ( z ，) 是不可约多项式显然直线是不可约代数曲线 今用有限条不可约代数曲线对区域d 进行割分，将剖分记为，于是d 被分为有限个 子区域d 1 ，功，珊，它们被称为d 的胞腔形成每个胞腔边界的线段称为网线，网线的 交点称为网点或顶点若两个网点为同一网线的两端点，则称该两网点是相邻网点我们 将位于区域d 内部的网点称为内网点，否则称为边界网点如果一条网线的内部属于区 域d 内，刚称此网线为内网线，否贝h 称为边界网线 对区域d 施行割分以后，所有以某一网点y 为顶点的胞腔的并集称为网点y 的关联区 域或星形区域，记为s t ( v ) 多元样条函数空间定义为 嚣( ) ：= s c 掣( d ) 1s j a p k ，i = 1 ，) 1 张峰：几种特殊剖分上样条函数空间维数的研究 事实上，s 罐( ) 为一个在d 上具有肛阶连续偏导数的分片七次多项式函数 基于代数几何中b e z o u t 定理，王仁宏在文 1 中指出了多元样条函数光滑连接的内在本 质表现为如下定理： 定理1 1 ( f l 】) 设z = s ( z ，掣) 在两相邻胞腔吼和b 上的表达式分别为 z = 拂( z ，y ) 和2 = 珊( z ，笤) ， 其中a ( 。，) ，功( z ，g ) 殴为使s ( 。，y ) c 似( 西蕊) ，必须且只须存在多项式奶( z ，y ) 吼一( p 十1 ) d ，使得 p e ( z ，y ) 一乃( z ，y ) = 【b ( z ，掣) 肿1 一( z ，掣) ， ( 1 1 ) 其中瓦与面i 的公共网线为 如：l o ( z ，y ) = 0 ，( 1 2 ) 且不可约代数多项式b ( z ，y ) 觋 由定理1 1 q b ( 1 1 ) 式所定义的多项式因子( z ，可) 称为内网线：b ( 。，y ) = 0 2 的( 从d 到d j 的) 光滑余因子( s m o o t h i n gc o f 赴t o r ) ( 1 】) 说明内网线上的光滑余因子 存在，恒指形如( 1 1 ) 的等式成立 设a 为任一给定的内网点今按下列顺序将过a 的所有内网线 r ，) 所涉及的i 和j 进行 调整：使当一动点沿以a 为心的逆时针方向越过n f 时，恰好是从功跨入职 设a 为一内网点，定义a 点处的“协调条件”( c o n f o r m a l i t yc o n d i t i o n ) 为( 1 】) ：( z ，可) r 1 ( z ，y ) 兰0 ， ( 1 3 ) 。a 其中 表示对一切以内网点a 为一端的内网线求和，而q i i ( z ，可) 为上的光滑余因子 设的所有内网点为a 1 ，a m ，则“整体协调条件”( g l o b a l c o n f o r m a l i t yc o n d i - t l o n ) 为( 1 】) 白( 。，可) 胪q i j ( x ，分) 三0 ，u = 1 ，m ， ( 1 4 ) a 。 其中相应于内网点a 的协调条件之( $ ，可) 满足( 1 3 ) 所作的规定 下述定理建立了多元样条的基本理论框架： 定理1 2 ( 【1 】) 对给定剖分，多元样条函数s ( z ，y ) 罐( ) 存在，必须且只须s ( z ，掣) 在 每条内网线上均有一光滑余因子存在，并且满足由( 1 4 ) 所示的整体协调条件 王仁宏还在文 2 】中建立了多元样条函数的一般表达形式 设区域_ d 被剖分分割为如下有限个胞腔d 1 ，d 任意选定一个胞腔，例如_ d 。作 为“源胞腔”，从d 1 出发，画一流向图a ，使之满足： 1 d 流遍所有的胞腔d 1 ，d 各一次； 2 大连理工大学硕士学位论文 2 口穿过每条内网线的次数不多于一次； 3 百不允许穿过网点 流线d 所经过的内网线称为相应于e 本性内网线，其它的内网线则为相应于d 的可去内 网线显然所谓本性内网线与可去内网线都只是一个相对概念 设r 巧：吗( z ，y ) = o 为否的任意一条本性内网线将从源胞腔出发，沿a 前进时，只有 越过f 订后才能进入的所有闭胞腔的并集记作矿( 聪) ，将从源胞腔出发沿鳓进时，在越 过f 玎之前所经过的各闭胞腔的并集记为矿( ) 称v ( r 去) 矿( 啊) 为网线的“前方”，记 作 ( r 甜) 定义i i ( 【2 】) 设：2 d ( z ，可) = o 为相应于流向西的本性内网线多元广义截断多项 式定义为 硎? = 艚m ”嚣搿溉蹦 s ， 由此，有如下的样条函数表现定理 定理1 3 ( 【2 ) 任一s ( z ，y ) 磁( ) 均可唯一地表示为 s ( x ，可) = p ( 。，掣) + 瞰。，可) 旷蜘( 盘，s ，) ，( z ，可) d ， ( 1 6 ) d 其中p ( 。，y ) 耽为s ( z ，掣) 在源胞腔上的表达式，毒表示对所有本性内网线求和，而且 沿d 越过的光滑余因子为( 。，暑，) 巩一p - 1 在文献【3 】中，王仁宏给出t n 维样条函数的基本理论框架这些结果与上面关于二元 样条的结果类似在专著 5 中，详细介绍了光滑余因子协调法在多元样条中的理论及其应 用，包括各种多元样条空间的维数，基函数组，特别是具有局部支集的样条基函数组等等 1 2 b 网方法 所谓b 网方法，就是利用两个多项式在两个相邻单纯形上b e r n s t e i n 表达形式的系数 之间的关系，给出光滑拼接的条件最早将一元b e r n s t e i n 多项式推广到二元情形的是五 十年代d ec a s t e l j a u 的工作，但并未发表将b e r n s t e i n 多项式用于多元样条理论的研究，当 首推g f a r i n 在1 9 8 0 年完成的博士论文中的工作g f a r i n 在博士论文中考虑了多元样条 的b 4 z i e r 坐标和光滑性之间的关系，从而使b 网方法成为研究多元样条的重要方法之一d e b o o r ，h 6 1 1 i g 等人对b 网方法的发展起过重要的作用此外，中国学者苏步青、刘鼎元、郭 竹瑞、贾荣庆、常庚哲、冯玉瑜等人也作了许多有意义的工作 b 网方法要求剖分为单纯形剖分，一般不能考虑任意剖分下的样条空间但由于剖分 的针对性，b 网方法对处理单纯形剖分上的样条函数有其特殊的优越性迄今为止，单纯形 剖分上样条函数的一些问题的最佳结果，如任意三角剖分上二元样条函数空间的维数问题， 3 张峰：几种特殊剖分上样条函数空间维数的研究 多是由b 网方法得到的下面简单介绍二元b 网方法的基本思想关于面积坐标与b 网方法 的具体计算，会在后面的章节中继续介绍 设。，v 2 ，7 j 3 是三角形d 按逆时针方向排列的三个顶点，则任意。r 2 可唯一表示为 z = n 饥+ n 忱+ t 3 v 3 ， 其中，n + 亿+ a = l ，并不难得到 n=兰丛竺三裂，n=det(vl二-ixi,而va-x)，乃=get(v1=-ixi,而v2-石)det(v2v 3 v ld e t ( v l v 3 d c 4 , ( v 1 一口l ， 一 ) 一。 一忱， 一吨) 一一 3 ， 2 一) 称n ，死，n 为。关于三角形6 的面积坐标，面积坐标变换具有仿射不变性 令可= z 2 一z 1 ，戤的面积坐标为7 i = ( 一，谬，矗) ，i = 1 ，2 ，并记a = ( 口l ，。2 ，3 ) = r ( 2 ) 一r ( ”函数，( z ) 的自变量z 用面积坐标r 替换后得到的函数仍用，( 7 - ) 表示，替换前后函 数的偏导数与方向导数有如下关系： 训加d 洲丁两- 掣怕筹均等， d r 。f ( - ：) = ：巧( c o d l ，( r ) f f = r 其中，b ：( 7 ) = 等_ r 1 = 即可n ! 再7 1 a 1 蕾2 母，a 1 + a 2 + a 3 = n ，丸z + 称b 2 ( r ) 为n 次b e r n s t e i 基 函数其具有如下性质： 1 b ( 7 ) 20 ，r d = 阻1 ，忱，t j 3 2 怍。毋( 丁) 三1 3 嚣( 7 ) ，= 礼) 是多项式空间致的一组基底 4 b ( 丁) 在点丁= ：处取唯一极大值 由性质3 可知，任一礼次多项式尸可唯一表示成 p ( r ) = ：以毋( r ) ， i l - - n 以，= 竹) 称为p ( 丁) 关于6 的b z i e r 坐标，插值予 ( ：，酞) ：= 竹) 的分片线性函数称 为p ( r ) 关于d 的b 6 z i e r 网，简称b 网下述定理显示了b e r n s t e i n 形式的升阶公式 定理1 4 令e 1 = ( 1 ，0 ，0 ) ，e 2 = ( 0 ，1 ，o ) ，e 3 = ( 0 ，0 ，1 ) 3 铲= 击m e l 川= 礼+ l i 则 6 a 磁( r ) = 刚砑+ 1 陋i = ni a l = n + l 定理1 5 ( d ec a s t e l j a u 算法) 假设亿次多项式p ( r ) = 。b b 2 ( 下) 若令6 粤( r ) = b ，礤( 下) = 釜。勺6 要( r ) ，a i = n r 1 刚 尸( 7 ) = 6 妒b ；一7 ( 7 - ) ，0 r n ， 特别地，取r = 礼，则得p ( 7 - ) = 泞( r ) 4 大连理工大学硕士学位论文 下述定理给出了次多项式p ( r ) 的方向导数 定理1 6 黜= 禹薹6 ，卅砥盘) 设t 为以u l ，可2 ，地为顶点的三角形，亍为以 l ，口2 ，抛为顶点的三角形，于与t 有公共边u 2 两个相邻三角形上的佗次多项式之间的c r 光滑连接条件为 定理1 7设p ( 下) 与声( r ) 分别是定义在相邻三角形丁= p l 也，地】和于= l ， 0 2 ，v 3 j ： 的n 次多项式， 纵，= n ) 和瓜，= n ) 分别是p ( r ) 和声( _ r ) 关于t 和于的b z i e r 坐标， 则p p ) 与声( r ) 之闻光滑拼接的充要条件是 瓦。= 嘲( ) ，8 = 0 ，l ，r ( i 7 ) 其中，尹是 l 关于r 的面积坐标，”= ( 8 ，a 2 ，a 3 ) ，a o = ( 0 ，a 2 ，a 3 ) ，a 2 + b = 几一8 1 3多元b 样条方法 b 样条方法起源= j = c u r r y 并 1 s c h o e n b e r g 关于一元样条的工作，是一种定义b 样条的几何 直观方法这种方法的本质是研究高维空间中的多面体在较低维空间投影的测度函数一 元b 样条是由c u r r y 和s c h o e n b e r g 在1 9 6 6 年引入的1 9 7 6 年d eb o o r 将其推到多元样条但这 种几何定义的推广不便于理论研究直到便于理论研究的泛函形式推广的出现，多元b 样条 的研究才开始活跃起来多元b 样条的泛函形式的推广有多种形式，如单纯形样条，b o x 样 条，锥样条等分别由m i c c h e l l i ，d eb o o r d ev o r e ，d a h m e n 等人给出与上面方法相比，b 样 条方法对剖分的要求更为严格，通常为均匀的剖分下面我们作一些简单介绍 令v = 地，1 i n ) c 群，其中挑可重复，使得s p a n v = 融多元b 样条。( 刮y ) 定 义为 l 乱( x l v ) f ( x ) d x = 伽( t ) ，( ：t i v i ) d t ，v f c b ( 月8 ) j 印 j q函 其中d t = d t l 出。，q 为舻的凸区域 若取叫( t ) = n ! ，q = 扩，则由此定义的b 样条就是m i e c h e l l i 弓入的单纯形样条，记 为m ( x i v ) 若取叫( t ) = l ，q = 一1 2 ，1 2 】“且。隹y 则由此定义的b 样条就是d eb o o r d ev o r e g j 入的b o x 样条，记为b ( z l v ) 若取叫( 亡) = 1 ，q = 霹e o 隹v ，则由此定义的b 样条就是d a h m e n 引入的锥样条，又称 为多元截断幂，记为t ( x i v ) 下面以b o x 样条为例，介绍多元b 样条的基本性质 5 张峰：几种特殊剖分上样条函数空间维数的研究 定理1 8 b o x 样条b ( x l v ) 具有如下性质： l _ s u p p b ( x l v ) = ：。屯吼i 一 岛 ) ； 2 b ( z l v ) 的函数值非负，且在支集内部严格大于o 3 b ( z l y ) 是次数不大于n s 的分片多项式 4 令肛= m i n n ( v ) l s p a n ( x v ) 帮) 一2 ，贝, j s ( x l v ) 是弘阶光滑的 5 b ( 。i y ) 十b ( $ i w ) = b ( x l vu ) 对于二元样条函数空间s 磁( l x ) ，曲线 f ： ( z ，y ) i s ( 。，y ) = 0 ，s ( x ，y ) 量0 ( ) ， ( 1 8 ) 称为分片代数曲线。事实上，这里定义的分片代数曲线其实也就是二元样条函数的零点 集合。 6 大连理工大学硕士学位论文 2 几种特殊剖分上多元样条函数空间的维数 2 1 贯穿剖分上样条函数空间的维数 若区域d 的剖分是这样形成的：其所有网线为一些贯穿区域d 的直线切割而成。则称 这样的剖分为贯穿剖分。 设( l ，历) ，一，( 蛳，风) 是两两线性独立的数偶，即q 晒叼屈0 j ) ，t ，j = 1 ，2 ，设 在一点处的协调条件解空间为 ：= ( 口1 i 一，射) i 哦( 驯) ( 啦。+ 展可) 计1 - - 0m q ，g 耽巾1 ( 2 1 ) l l s c h u m a 。k e r n l 讨论和给出了饿m b 的公式。王仁宏、崔锦泰在文献口中也给出了出m 嗡便 于应用的公式。 引理2 1 历m 驰卜；( 脚一 糊) + 。( n - i 舻( i v 删州“黠 ) 定理2 1 删t 蚺( 奄言2 ) + ( 时21 ) + 砉枞 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 其中己为贯穿线的条数，( m ) 由公式( 2 2 ) 所给出，而扎t 为相交予第t 个内网点处的贯穿线 数，矿为内网点数。 称始于内网点、终止于d 的边界扣的线段为d 内的射线。在文献中，我们称一个 剖分为拟贯穿剖分( q u a s i - c r o s s - c u t ) ，如果该副分中的每一条网线、或者是贯穿线的一部 分、或者是d 内某射线的一部分。常以口。记拟贯穿剖分。 定理2 2 设。为单连通域d 的拟贯穿割分，它由l 条贯穿线及岛条射线所构 成。设。的y 个内网点为a 1 ，a ，且过内网点a 的贯穿线及射线的总条数为m ，i = 1 ，矿则有如下的维数公式 删c 蚺( 岛言2 ) 地( n + 砉她， 其中( m ) 有公式( 2 2 ) 所给出。 不失一般性。设矩形域d 是一个开正方形 ( z ，) j o z ，y 1 ) ，取 0 z l - o m 1 ，0 y l y m ( k 一2 ) 2 ，则 q n ( x ，y ) + q 3 4 ( x ，分) 三q z 3 ( x ，y ) + q 4 1 ( z ，y ) 三0 定理2 3 成m 碟c 。，= ( 2 言2 ) + c m + n ，( 七一：+ 1 ) + m 忆( 忌j 2 芦) c 。a ， 一个贯穿剖分。说是简单贯穿剖分，如果于其中每一个内网点处仅有两条贯穿线 相交。常以。记简单贯穿剖分( s i m p l ec r o s s - c u t ) a 。显然是矩形剖分的相当一般化的推 广，而且有关后者的所有结论又可完全推广到前者上。 推论2 1 砒m 躞c 劫= ( 2 言2 ) + 厶( 忌一：+ 1 ) + y ( 。乙2 肛) c z 同 其中l 为。中贯穿线总数，y 为内网点数。 8 大连理工大学硕士学位论文 i l 2 2t 样条函数空闫 图2 1 在一般的矩形网格中如果允许t 交叉，就形成了t 网格。例如图2 1 所示。一直以来张 量积形式的b 样条函数在自由曲面设计中是一种非常重要的工具，它可以看作是定义在一 种特殊的t 网格上的样条。但是由于采用了张量积形式，给曲面的设计带来一些困难。例 如不能对剖分区域进行局部细分。因此如果一个曲面在一个小区域变化突兀，而在其他 区域是非常平坦的，在进行曲面设计时就会增加许多冗余的控制点。这给曲面设计带来 了很大的负担。为了克服这些不足之处，在2 0 0 3 年s e d e r b e r ge t a l 在文献f 1 1 1 中提出了t 样 条，它是定义在更一般的t 网格上的样条函数空间，而且在t 网格的每个胞腔上不再单纯 是多项式。而成为分片多项式。 图2 2 组成t 网格最长的线段，我们称为网线。网线的交点称为网点。其中位于边界上的称 为边界网点，位于t 网格内部的称为内网点。如图2 2 所示：良，t = 1 ，1 0 是t 网格的边 界网点，讧，i = 1 ，7 是t 网格的肉网点。除边界网线外，我们可把t 网格中网线分为以 下三类：若网线的两端点都是边界网点我们称此网线为贯穿线；若网线的一端点是边界网 点，另一端点是内网点，我们称此网线为拟贯穿线；若网线的两端点都是内网点我们称此 9 张峰：几种特殊剖分上样条函数空间维数的研究 网线为t 网线。如图2 2 所示：b g b s ，b 2 v 4 ，口7 协分别为贯穿线、拟贯穿线、t 网线。除边界网 点外，根据内网点所在网线的不同，又可将其分为以下三类；若通过内网点的两条网线 是贯穿线或拟贯穿线，我们称此内网点为单点；若通过内网点的两条网线，一条为t 网 线，另一条为贯穿线和拟贯穿线，我们称此内网点为1 重网点；若通过内网点的两条网线 都是t 网线，我们称此内网点为2 重网点。如图2 2 所示：口2 ，v 4 ，是单点，口l ，姐，讹是1 重 点，嘶是2 重点。根据网点处是否是t 交叉，又可将网点分为贯穿网点和t 交叉网点两类。 如图2 2 所示：地是贯穿网点， 1 v 3 ，v 4 ，钝，狮是t 交叉网点。连接两内网点或连接内网 点和边界网点的最短直线段，我们称为内网线。如图2 2 所示： 1 口2 ，v 5 6 7 分别为水平内网 线和垂直内网线。此外，如果一条网线由多条内网线组成，而且内网点都是t 交叉网点， 我们称最长的一条为复合网线如图2 2 所示：v 2 b l o ，b 5 b o 和忱饥是复合内网线，v l b 4 和 v l b l o 不 是复合内网线。此外如果t 网格的边界都是矩形，我们称这种t 网格为正规的t 网格。本 文的维数公式适用于此种t 网格，对般的t 网格也可以用本文介绍的方法推导。 对给定的t 网格剖分丁，我们用，表示丁中的所有胞腔，用q 表示在丁中所有胞腔所包 含的区域。令 s ( 盯l ，n ，盘，p ，7 - ) ：= = s ( o ，y ) c 卢( q ) j s ( 茹，暑，) j 毋。，勺够尸 ( 2 6 ) 其中p 。表示如下二元多项式的全体， p 秽) = a # x y j = oj = o c a ，4 m ) 表示所有在区域q 上沿z 方向口阶连续，沿y 方向卢阶连续的二元连续函数空间。显 然s ( m ，豫，0 1 ，反丁) 是线性空间，我们称其为定义在给定t n 格丁上的样条函数空间，它与 传统意义下的样条函数空间有一定的区别，因为其只要求沿z 和y 两个方向连续。在以下 的讨论中我们将具体的给出这种空间的维数。 2 3 几种特殊剖分上t 样条函数空间的维数 2 3 1 由b 网方法得到的结果 图2 3 如果此时t 网格中不存在矩形网格以四个2 重点为顶点，我们称其为没有循环的t 网 格否则称其为含有循环的t 网格。如图2 3 所示。目前我们只能就不含循环的t 网格给出 1 0 大连理工大学硕士学位论文 维数公式，含有循环的t 网格还需继续研究。 引理2 2岫1 对给定的t 网格剖分丁和样条函数空间5 ( m ，n ，a ，卢，如果其中一条 水平复合网线由f 条内网线组成，且有c + 1 个相邻的胞腔，那么在每个胞腔上的口十 1 行b d z i e r 坐标，确定相同的二元多项式( m 卢) ( 如图2 4 ) 。同理可得，在与垂直复合网线 相邻的每个胞腔中的- f1 列b d z i e r 坐标，确定相同的二元多项式( 0 f ，礼) 图2 4 ( m = 3 ，卢= 1 ) 表2 1t 网格的几点说明 磁水平边界网线的条数 磅垂直边界网线的条数 晶水平内网线的条数 玩垂直内网线的条数 e h水平复合网线的条数 玩垂直复合网线的条数 九第i 条水平复合网线上内网线的条数，i = 1 ，玩 m第i 条垂直复合网线上内网线的条数，i = 1 ，或 y + 贯穿内网点的个数 y 上t 交叉网点的个数 y 内网点的个数( y = v 上+ y + ) ft 网格中胞腔的个数 引理2 3给定t 网格及其如表2 1 中的说明，那么有下面公式成立 ( 2 7 ) 2 f 一磁一赢= e h ，2 f 一或一直= 风，( 2 8 ) 1 1 玩 = 赢谶 勖 = 磊 张峰：几种特殊剖分上样条函数空间维数的研究 e e h e 。= v 1( 2 9 ) 定理2 4 1 0 l 给定正规的t 网格，及相应的样条函数空间s ( m ，礼，口，p ，刁，若满 足m 2 口+ 1 ，n 2 p + 1 贝0 有： d i m s ( m ，佗，口，卢，丁) = f ( m + 1 ) ( n + 1 ) 一j ( m + 1 ) ( 厣+ 1 ) 一日，( n + 1 ) ( 口+ 1 ) + y ( a + 1 ) ( p + 1 ) ( 2 1 0 ) 其中f 是t 网格中胞腔数，取和风是相应的水平及垂直内网线数，慢内网点的个数 2 3 2 由光滑余因子方法得到的结果 引理2 4 对给定的t 网格剖分丁，设曲1 ，妒2 ，e 是剖分丁的内网线。 若s ( z ，可) s ( m ，n ，。，卢，丁) ，j l s l o ，= s l ( x ，) ，s f 2 = s 2 ( x ，y ) 则当e 是垂直内网线，所在的直线方程为x a = o 时，存在q ( x ，y ) p m 一。吐。满足： s 2 ( x ，y ) 一s l ( x ，y ) = g ( 。，g ) ( o 一口) 。+ 1( 2 1 1 ) 当e 是水平内网线时，所在的直线方程为y b = 0 时，存在p ( x ，y ) 矗p 口一1 满足： s 2 ( z ，y ) 一s l ( x ，y ) = p ( 。，可) ( 一6 ) 口+ 1 ( 2 1 2 ) 其中p ( 。，) ，q ( x ，可) 称为内网线e 上的光滑余因子。 图2 5 b 证明：若e 为垂直内网线，将8 l ( z ，掣) ，8 2 ( z ，s ) 分别按z n 的降幂整理得到如下形式， s l 扛，y ) = 。0 0 ) 一口) ”+ 血1 白) ( z 一口) 一1 + + a m - 1 ( ! ，) 一a ) + 。m ( g ) s 2 ( z ，y ) = 6 0 ( ) ( z 一口) + 6 1 扫) 一口) ”一1 + - + b m 一1 ) 扛一a ) + 6 m 扫) 由s ( $ ，) 在丁上沿z 方向阶连续，术寺另l i s ( z ，y ) 在e l 连续可知：a m ( y ) = 6 m ( ) 对霉= 口上的 一切点都成立，故a 。( 可) 兰b m ( 可) 。因此可知存在9 1 ( z ，y ) 使得 s 2 ( z ，y ) 一s 1 ( z ，y ) = ( z n ) 9 1 ( ，y ) ，其中g l ( z ，y ) p ( 。一1 ) m 同理若s ( z ，可) 在上沿z 方向1 阶连续，可知 未s - ( 刮= 0 = 兰s 2 ( 刮：。 1 大连理工大学硕士学位论文 即，a m - 1 ( ) = 6 m i ( s ，) 对茁一a = o 上的一切点都成立，故一1 ( ) = b m - 1 ( ) 故可知存 在9 2 ( z ，y ) p c 。一2 ) ，。使得 s 2 ( z ，y ) 一8 1 ，y ) = 0 一。) 2 q 2 ( x ，y ) 逐步利用s ( z ，! ，) 沿z 方向的2 阶，3 阶一直到a 阶的连续性，得到g ( z ，y ) 矗- - c 。- - 1 ，。使 得( 2 1 1 ) 式成立。同理易证，当e 是丁中水平内网线时，( 2 1 2 ) 式成立。 引理2 5 设也 ，量，) ，q 扛，y ) j ) 仇一。一1 ，。一口一1 且瓤巧0 j ) ，玑协0 j ) 则解空 间 n 如( 。，暂) 扛+ ) 州三0 ( 2 1 3 ) i = l 的维数为一卢) ( ( m 一) 一( 仇+ 1 ) ) + ，解空间 q ( 删) ( f + y d 阳兰0 ( 2 1 4 ) 的维数为( m 一口) ( 一卢) 一+ 1 ) ) + 其中z + = m a x ( o ，z ) 满足 因此 故 证明：n 为d i ( z ，) p m n l ，。一口一1 ，所以存在嘭扛) p , n 一。一l ( z ) ，j = 0 ，m a 一1 也( z ，y ) 面( z ) + 口i ( z ) + 口； ) 2 + + - b - 1 ( z ) 可”一4 1 = ) 矿 j = o n n - 卢- - i 也扛，可) 扛+ 戤) 。+ 1 = 弓( z ) + ) 。+ 1 三0 若a ( z ) 晶。一。一1 ( z ) 考虑方程 将( 。) 展开得： a i 扛) = 矗+ 西( z + 翰) + 连忙+ 黾) 2 + - - - + 岛一。一1 ( z + 观) ”一。一1 其中弓冗，j = 0 ，1 ，m a 一1 由此可知， 设 c = ( c i ，c 2 i ，c ) t 岛= ( c 一。一1 ，一，日，晶) 1 3 l 一 卢 一 忆o=0三 +口 茁+z茁 。m1 汹 o 三 + 尸 z+ zzo 试 张峰：几种特殊剖分上样条函数空问维数的研究 at。q嚣一兰1一。一。乏：薹：一。；羔；。+，。一。， 表2 2t 网格中几种常用的记号 ft 网格中的胞腔数vt 网格中内网线的个数 e t 网格中的内网线的条数 t 网格中单点的个数 取t 网格中水乎内网线的条数t 网格中1 重网点的个数 邑t 网格中垂直内网线的条数t 网格中2 重网点的个数 磁t 网格中水平贯穿线的条数 水平t 网线上1 重网点的个数 霹t 网格中垂直贯穿线的条数，垂直t 网线上l 重网点的个数 死t 网格中水平t 网线的条数 m 第t 条水平t 网线上内网点的个数，t = 1 ，2 ，靠 露t 网格中垂直t 网线的条数第i 条垂直t 网线上内网点的个数，i = l ，2 ，蜀 引理2 6对任一给定的t 网格有下列等式成立 e i + y 一孔= 晚，霹+ v e = 鼠( 2 1 5 ) 砭十e ：+ y 一霸一蜀- t - 1 = f( 2 1 6 ) 证明：l _ 由于在水平贯穿线上内网点数比水平内网线的条数少l ，在水平拟贯穿线上 内网点数与水平内网线的条数相等，在水平t 网线上内网点数比水平内网线的条数多1 ， 故鹾+ y 一磊= 晶成立。同理易证，或+ y 一正= 玩成立。 2 由欧拉公式知f e + y 一1 = o , x n e = 玩+ 鼠及公式( 2 1 5 ) ，易证( 2 1 6 ) 式成立。 下面将具体地给出几种特殊t 剖分的维数公式： 1 若t 网格中的内网点都是单点，此时t 剖分退化为拟贯穿剖分，记此种t 网格 为? 0 如图2 6 所示 1 4 大连理工大学硕士学位论文 辄 图2 6 对情况a 而言，由内网点处的协调方程，可知下式成立： ( a 1 + a 2 ) 一y i ) 9 + 1 + ( 仉1 + 仍2 ) 一以) 叶1 = o 由于 一) 卧1 与( 掣一矾) ( p + 1 ) 互素，故 ( 缸1 + 纯2 ) = 一龟) 时1 q 0 ，譬) ，( 9 1 + 吼2 ) = ( y 一纨) 4 + 1 盔0 ，型) 其中c f ( 茹，可) ，吐z ，y p 丌。一。_ 1 。一口一1 因此有 岛如，y ) + 哦z ，y = 0( 2 1 7 ) 同理对情况b ，也有( 2 1 7 ) 式成立。故在内网点处解空间的维数为( m 一口) 一p ) 所以 d i m s ( m ，礼，o l ，p ，t o ) = ( m + 1 ) + 1 ) + 磁( m + 1 ) ( 扎一p ) + 霹( 死+ 1 ) ( m a ) + y ( m q ) 一夕) = ( 娥+ 露+ v + 1 ) ( 。+ 1 ) ( 几+ 1 ) 一( 霹+ y ) ( m + 1 ) ( p + 1 ) 一( 毯+ y ) ( + 1 ) ( 口+ 1 ) + y ( 盘- f 1 ) ( p + 1 ) 由引理2 6 可知： d i m s ( m ，n ，o ，p ，7 乙) = f ( 盯。+ 1 ) ( 佗+ 1 ) 一点k ( m + 1 ) ( p + 1 ) 一既( n + 1 ) ( a + 1 ) + y ( o + 1 ) ( p + 1 ) 2 若t 网格中内网点仅有单点和1 重网点，不含有2 重网点。记此种t 网格为死 此时单点处的协调方程同( 1 ) 中的考虑，我们只要考虑每条t 网线上1 重网点处的协调方 程。如图2 7 所示 ”y l 琢 加2 加l 弘一 悬气捌： ，迄 图2 7 对情况a 而言，由内网点处的协调方程，可知下列关系式成立 p l ( x ，y ) = 扛一2 c 1 ) 蚪1 d l ( 茁，y ) p l ( x ，y ) + 抛0 ，y ) = ( 。一x 2 ) 斟1 d 2 ( x ，y ) 1 5 张峰：几种特殊剖分上样条函数空间维数的研究 p 。一l ( x ，y ) = ( z 一。m ) 。+ 1 c h ；( z ，y ) 整理可知，存在d x ，f ) 焉一。吐。一口_ 1 】j = 1 ，2 ，他满足 如( 。，掣) 一) 州= 0 ( 2 1 8 ) j = l 同理对情况b ，存在白( z ，y ) p 竹。一。- 1 。一口一1 ，= 1 ，2 ，啦满足 白( 删) 国一珊) 趴= 0 ( 2 1 9 ) j = l 由引理2 5 知此时协调方程的自由未知量的个数分别为： ( n 一) ( m e ( r n a ) 一( m + 1 ) ) +( 门q a ) ( 啦( n 一声) 一( 礼+ 1 ) ) + 所以此时 d i m s ( m ，n ，q ，卢，t 1 ) = ( m + 1 ) ( 珏+ 1 ) + 磁( 7 n + 1 ) ( n p ) + 域( 礼+ 1 ) ( m 一。) + ( m 一) ( 礼一p ) t hr + 一卢) ( m t ( m q ) 一( m + 1 ) ) + + ( m q ) ( 啦一卢) 一+ 1 ) ) + ( 2 2 0 ) 设m = m i n ( m l ，m 2 ，m 靠) ，n = m i n ( n l ，n 2 ，他) 则当m 等等，几! 塑n - 丝1 时，( 2 2 0 ) 式 化为： d i m s ( m ，r 6 ，口，p ，t i ) = ( m + 1 ) ( 砧+ i ) + 壤( m + 1 ) ( 扎一卢) + 霹( + 1 ) ( m 一口) + ( m 一口) ( 死一p ) 霸孔 + m t ( n 一卢) ( m 一。) 一孔( n p ) ( m + 1 ) ) + 啦( m 一。) ( n 一卢) 一兀( m q ) ( 亿+ 1 ) 一( m + 1 ) ( 礼+ 1 ) + 研( m + 1 ) 一卢) + e ( n + 1 ) ( m 一口) + v o ( m a ) ( n 一口