（光学工程专业论文）光孤子效应仿真软件设计与光孤子开关效应研究.pdf

南京邮电大学硕士研究生学位论文摘要 捅要 本论文以描述光脉冲在光纤中传输的广义非线性薛定谔方程( g e n e r a l i z e dn o n l i n e a r s c h r o d i n g e re q u a t i o n ) 为基础，讨论了该方程的分步傅里叶解法，并采用局部误差法 ( l o c a l e r r o rm e t h o d ) 对传统的分步傅里叶法进行了优化，使其在保持精度的前提下极大 地提高了计算效率。根据理论分析，在m a t l a b7 0 平台上设计出了光纤中光孤子传输 的仿真软件，该软件具有图形化界面，操作简便。利用该仿真软件，文中对简单光孤子和 在高阶效应作用下的孤子传输进行了仿真和分析，以及仿真了孤子对间的相互作用。此外， 本文还对光脉冲在光纤耦合器中的传输进行了数值分析和仿真。 正文包括六章。文中首先介绍了目前光孤子传输系统这一课题的国内外的研究现状及 描述光纤中光脉冲传输的非线性薛定谔方程解法的研究进展。第二和第三章从理论上分析 了光纤中光脉冲的传输，建立了数学模型，并给出了数值求解的分步傅里叶法及其优化， 还介绍了耦合模方程组的分步傅里叶解法。第四和第五章介绍了笔者设计的光纤中光脉冲 传输的仿真软件，并对简单的光孤子、高阶效应影响下的孤子和孤子对间的相互作用进行 了仿真，本文还对光脉冲在二芯和三芯耦合器中的传输演化进行了数值模拟。最后根据仿 真数据，验证了局部误差法能大大提高计算效率的结论。第六章对全文做了总结。 关键词：非线性薛定谔方程，光孤子，分步傅里叶法，局部误差法，仿真 南京邮电人学硕上研究生学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nd i s c u s s e st h es p l i t s t e pf o u r i e rm e t h o do fs o l v i n gt h eg e n e r a l i z e d n o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o nt h a td e s c r i b e st h et r a n s m i s s i o no fo p t i c a lp u l s e si na l lo p t i c a l f i b e r t h e nt h el o c a l - - e r r o rm e t h o di su s e dt oo p t i m i z et h et r a d i t i o n a ls p l i t - - s t e pf o u r i e rm e t h o d s oa st oi n c r e a s et h ec o m p u t a t i o ne f f i c i e n c yg r e a t l yw h i l et h ep r e c i s i o ni nc a l c u l a t i o ni sk e p t a s i m u l a t i o np r o g r a mw i t l lt h eg r a p h i c a lu s e ri n t e r f a c ew h i c hi se a s yt ou s ei sd e s i g n e do nt h e g r o u n do fm a t l a t7 0 w i t ht h es i m u l a t i o np r o g r a m ，t h et r a n s m i s s i o no fs i m p l es o l i t o n sa n d s o l i t o n sa f f e c t e db yh i g ho r d e re f f e c t s ，a n dt h ei n t e r a c t i o no ft h ed o u b l ep u l s e si ss i m u l a t e d f u r t h e rm o r e ，t h et r a n s m i s s i o no fp u l s e si nt h eo p t i c a lc o u p l e ri ss t u d i e da n dn u m e r i c a l l y s i m u l a t e d t h i sp a p e ri n c l u d e ss i xc h a p t e r s f i r s t ，i tp o i n t so u tt h ee v o l u t i o na n di m p o r t a n c eo ft h e r e c e n tp r o g r e s so fs o l i t o nc o m m u n i c a t i o ns y s t e mi n s i d ea n do u t s i d e0 1 1 1 n a t i o n t h e nt h e p r o g r e s s e so ft h em e t h o d so fs o l v i n gt h en o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o na l ep r e s e n t e d t h e s e c o n da n dt h et h i r dc h a p t e r sa n a l y z et h et r a n s m i s s i o no fp u l s e si no p t i c a lf i b e r , f o u n dt h em a t h m o d e l ，p r e s e n tt h es p l i t - s t e pf o u r i e rm e t h o da n di t so p t i m i z a t i o n t h ef o u r t ha n dt h ef i f t h c h a p t e r si n t r o d u c et h es i m u l a t i o np r o g r a m t h es i m u l a t i o n so fs i m p l es o l i t o n s 、s o l i t o n sa f f e c t e d b yh i g ho r d e re f f e c t sa n dt h ei n t e r a c t i o no ft h ed o u b l ep u l s e sa r eg i v e n t h et r a n s m i s s i o no f p u l s e si nt h et w o c o r ea n dt h et h r e e - c o r ed i r e c t i o n a lc o u p l e r si sa l s os t u d i e da n ds i m u l a t e d f i n a l l y , b a s e do nt h es i m u l a t i o nd a t a ，t h ec o n c l u s i o nt h a tt h el o c a l e r r o rm e t h o dc a ni n c r e a s e t h ec o m p u t a t i o ne f f i c i e n c yg r e a t l yi sv a l i d a t e d c h a p t e rs i xc o n c l u d e st h ep a p e r k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs c h o r d i n g e re q u a t i o n ，o p t i c a ls o l i t o n ，t h es p l i t s t e pf o u r i e r m e t h o d ，t h el o c a l - e r r o rm e t h o d ，s i m u l a t i o n i i 南京邮电大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得南京邮电大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：宏乞幽 日期：星婴邑杰笪 南京邮电大学学位论文使用授权声明 南京邮电大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留 本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其 他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权 南京邮电大学研究生部办理。 研究生签名：蕉幽 导师签名： 南京邮电人学硕：t ：研究生学位论文 第1 章绪论 1 1 光孤子通信系统 第1 章绪论 随着信息业务的快速增长，人们对高速率、大容量通信系统的需求日益增大，然而， 光纤损耗和光纤色散成为了两大障碍。掺铒光纤放大器( e d f a ) 的产生，解决了光纤损 耗问题。但光纤色散的问题却日益凸现。 光纤色散是指光脉冲经过光纤传输后，在光纤输出端发生能量分散，导致传输信号畸 变，在光纤数字通信系统中会使信号在光纤中传输一段距离后信号脉冲展宽，严重时，前 后脉冲将互相重叠，造成码间干扰，增加误码率，从而限制光纤的传输容量和传输距离。 1 9 7 3 年，美国贝尔实验室的a h a s e g a w a 首先提出将光孤子应用于光通信【i l 。光孤子 是光纤非线性效应和光纤色散相互平衡的产物。光纤的群速度色散( g v d ) 使孤子脉冲 在传输过程中不断展宽。光纤损耗亦使孤子幅度按指数衰减。光纤的非线性效应自相 位调制( s p m ) 使脉冲压缩。光纤特性对光孤子的形成、传输演化与通信能力有决定性影 响，是支撑光孤子通信的决定性因素。 光孤子通信作为一种新型的全光非线性通信方案，它与线性光纤通信系统相比有一系 列显著的优点e 2 , 3 1 ：首先，传输容量比最好的线性通信系统大1 2 个数量级；其次，误码 率低、抗干扰能力强：再次，可以不用中继站，只要对光纤损耗进行增益补偿，即可将光 信号无畸变地传输极远距离。因此，利用光孤子进行通信将成为今后最有发展前途的通信 方式。 光孤子通信系统的基本结构由发送终端、接收终端和传输线路组成。光孤子发送终端 由超短脉冲半导体或铒光纤激光器、光调制器、信息源和光纤放大器构成，用于产生光孤 子脉冲信号；光孤子接收终端由宽带光接收机或分析仪、误码仪及条纹相机构成，用于接 收光孤子信号及测试系统传输特性；光孤子传输线路由光隔离器、线路放大器、传输控制 装置、前置放大器以及光纤构成。 9 0 年代初期，孤子通信系统普遍采用色散位移光纤( d s f ) 传送光孤子，传输的普 通孤子波形为双曲正割( s e c h ) 形。为实现高速长距离传输，需要采用频域、时域和非线 性增益控制技术来降低系统中的放大器自发辐射( a s e ) 噪声和交叉相位调制( x p m ) 。 上述控制技术的系统结构与设计比较复杂，系统工程化、实用化难度较高。虽然不采用控 制技术也能达到1 0 0 0 0 k m 以上的通信距离，单速率均低于5 g b s ，一般为2 5 g b s 。 1 南京邮电大学硕士研究生学位论文第l 章绪论 1 9 9 5 年前后出现了色散管理孤子( d m s ) 系统。色散管理孤子的振幅、脉宽和啁啾 都会周期性变化。d m s 系统的g h ( g o r d o n h a u s ) 定时抖动低，信道内和相邻信道间的 孤子相互作用弱，比特率高，路径平均色散值低，信噪比( s n r ) 高，易于实现密集波分 复用( d w d m ) ，是下一代高速长途通信的优选方案【4 1 。 光孤子通信系统要实现实用化，必须解决以下关键技术【5 1 ： ( 1 )光孤子源。除了早期研制的各种特性优良的半导体光孤子源和掺铒光纤环形激光 器孤子源，近期还研制出了采用掺v b ( 镱) 的光子带隙( p b g ) 光纤用于增益和色散补偿 的锁模激光器、微结构光纤孤子激光器和锁模范围达到1 3 g h z 的孤子激光器。 ( 2 )光孤子能量补偿放大器。已研制成功各种性能优良的e d f a 、拉曼放大器( r a ) 和半导体光放大器( s o a ) ，均可作为孤子能量补偿放大器。 ( 3 )高速、大容量孤子脉冲信号的复用解复用技术。采用平面波导器件( 二级马赫一 泽德干涉仪m z i ) 实现高速光孤子脉冲的时分复用，采用电吸收强度调制器实现了高速 o t d m 光孤子脉冲信号的解复用，采用光纤或平面光波导器件w d m d w d m ，实现了多 波长信道光孤子脉冲的复用和解复用。 ( 4 )光孤子传输控制技术。采用固定频率导频滤波器和滑频滤波器实现了光孤子传输 的频域无源控制，采用幅度和相位调制构建了3 r 全光再生中继器，实现了光孤子传输的 时域有源控制；采用非线性光纤环境( n o l m ) 实现了超高速光孤子的强度滤波控制。此 外还实现了信号频率滑动控制和相位共轭传输控制。 光孤子通信的研究大致可以分为三个阶段。第一阶段提出了光孤子传输的通信理论， 预言了在光纤反常色散区光孤子的存在。第二阶段成功研制了色心孤子激光器、e d f a 、 导频滤波器和滑频滤波器，为光孤子通信的实用化铺平了道路，并提出了平均孤子理论， 发现了g o r d o n h a u s 极限。现阶段处于第三阶段。在这个阶段，半导体激光器和e d f a 在 光孤子通信系统中的成功应用使得光孤子通信开始走向实用化阶段，解决了光孤子通信所 用元器件的实际问题，并使光孤子通信所使用的元器件逐步商品化。此外，光孤子通信系 统是采用全光纤系统还是继续采用半导体激光器和e d f a 组合的系统，这要由成本来决 定。 美国贝尔实验室m o l l e n a u e r 研究小组的实验系统是世界上最早的光孤子实验系统【6 1 ， 首次检测出脉宽为1 0 p s 的光孤子经1 0 k m 传输无明显变化，从而首次从实验上证实了光 孤子传输的可能性。 首先进行实地光孤子通信试验的是日本n t t 实验室。其方案是在已铺设的光缆上采 2 南京邮电大学硕士研究生学位论文第l 章绪论 用色散管理技术，实现了10 g b s 3 0 0 0 k m 和2 0 g b sxl0 0 0 k m 低误码或无误码传输。之 后各国都开展了重要的研究计划1 7 1 。 日本的科学技术行动计划中提出了星计划( s 1 = 胀p r o j e c t ) 项目，日本七家大公司 和两所大学参与了该项发展计划，其目标旨在采用孤子技术构建全球距离的t b s 全光网， 以满足急剧增长的多兆比、多媒体业务的需求，要求比特率距离积( b l ) 比现有的网络 提高1 0 倍，使现有的通信网改建升级为下一代通信网基础设施。该计划自1 9 9 6 年开始， 历时1 0 年。 超快孤子多接入网计划于1 9 9 8 年开始由美国m i t 林肯试验室主持，该计划研究单信 道1 0 0 g b s 的时分复用( t d m ) 多接入网的网络结构、节点与收发设备等关键技术，首 先是高速光孤子源、光开关、光存储器和速率变换器等单元技术，以实现超高速高性能光 孤子t d m 网，实现网络管理智能化，并能向非均匀用户群、高速终端用户、高速v i d e o 业务、t b s 媒体群、超级计算机网等提供可变带宽( 1 一- 1 0 0 g b s ) 和分组业务，支持大数 据信息的快速转移和低速用户的灵活接入。 欧洲环网中孤子传输高速通道计划( e s t h e r ) 是一项国际合作计划，目的是使现有 欧洲环网的低速通道升级为高速孤子传输通道，将网中的g 6 5 2 光纤线路的速率提高到 1 0 g b s ，将g 6 5 3 光纤线路的速率提高到4 0 g b s ，将现有的网升级为未来的泛欧网。该计 划至1 9 9 8 年已完成了全部野外试验。 欧洲的升级计划( u p g 凡如e ) 的目标也是在欧洲网中采用光孤子传输，在已铺设的 单模光纤( s m f ) 上采用光孤子传输，为欧洲的通信干线增大容量，但是工作波长为 1 3 0 0 n r n ，所采用的孤子能量补偿放大器是1 3 0 0 n m 的s o a ( 以前所有光孤子传输系统都 是采用1 5 5 0 n m 孤子脉冲和e d f a ) ，此项目由荷兰菲利普光电子研究中心主持。 欧盟先进通信技术与设施( a c t s ) 计划( m i d a s ) 的目的是发展先进通信系统和设 施，以推进欧共体内部的经济发展与社会的结合，研究重点是从基本概念的探索和具体的 系统工程开始，直到先进系统和一般业务应用等相关的各种实际问题。具体任务是在 1 0 0 0 k m 已铺设的s m f 和d s f 线路上将通信容量升级到4 0 g b s ，探索新概念和新技术， 完成4 0 1 0 0 g b s 孤子传输野外现场试验。计划主持单位为英国南安普敦大学光电子研究 中心，参加单位有瑞典、意大利、法国、希腊、英国等五国的八个单位。 2 0 0 2 年，由贝尔实验室开发，朗讯公司推出的基于色散控制孤子的下一代光核心传 输产品l a m b d a x t r e m et r a n s p o r t 正式面世，它是新一代1 0 4 0 g b s 核心光网络d w d m 设 备，它将多种超大容量和超长距离的应用集于一个统一平台，大大降低了传输成本。由于 南京邮l 乜大学硕士研究生学位论文第l 章绪论 采用了色散控制孤子、喇曼放大器、动态增益均衡等新的技术，可以实现超大容量和超长 距离的传输。通过与l a m b d ar o u t e r a o s 协同工作，可以支持基于波长业务的控制和管理。 在不需要再生设备的普通传输平台上，可以配置成1 2 8 1 0 g b s 的系统，传输距离达 4 0 0 0 k m ，也可以配置成6 4 4 0 g b s 的系统，传输距离达1 0 0 0 k m ，对于配置成1 0 g b s 信 号的传输系统，光复用段长度可达4 0 0 0 k m 。德国电信采用朗讯公司的l a m b d a x t r e m e 传 输系统于2 0 0 2 年5 月进行了野外试验。它在无中继器的条件下，通过标准光缆( s s m f ) 将4 0 g b i t s 的信号传送到7 3 4 k m 之外。 在中国，光孤子通信也取得了一定的研究进展。 1 9 9 4 年e d f a 在武汉通过鉴定。由武汉邮电科学研究院研制的e d f a ，具有增益高、 噪声低、增益特性与光偏振状态无关、在多路系统中信道交叉串扰通常可以忽略等一系列 优点，达到世界先进水平。在光端机的发送端加后置式e d f a ，在接收端加低噪声前置 e d f a ，则可以使2 4 8 8 g b i t s 系统具有跨越1 0 0 一- - 2 5 0 k m 距离无中继的能力，可大大降低 中继成本。 1 9 9 9 年“8 6 3 ”研究项目“o t d m 光孤子通信关键技术研究”通过了专家验收。该项 目成功地研制了增益开关激光器和2 5 g b i t s 的归零码( i 屹) 脉冲光接收机。 在我国，由于技术条件的制约，在光孤子通信方面的研究工作只做了一小部分，其中 包括天津大学先后完成的伪随机码孤子源和孤子传输技术的研究；北京邮电大学、清华大 学、北方交通大学合作进行的光时分复用( o t d m ) 光孤子通信技术的研究；北京邮电大 学进行的2 5 g b s 5 2 k m 孤子系统的误码测试实验；上海大学尝试使用正常色散光纤对光 源脉冲自然整形、消啁啾，成功地观察到整形后脉冲的孤子压缩现象等。但我国对孤子技 术尤其是系统传输的研究相对较少，而且大多限制在理论分析和数值模拟计算上。本文也 是对光纤中光脉冲的传输的数值仿真进行研究。 1 2 描述光纤中光脉冲传输的n l s e 解法的研究进展 光脉冲在光纤中传播受到色散、损耗和非线性效应综合作用的影响，脉冲包络的演变 规律遵循非线性薛定谔方程( n l s e ) 。该方程可由麦克斯韦方程组加上非线性关系推导得 到。n l s e 在极少数特定情形下可以利用逆散射变换方法( i s t ) 获得它的孤子解。 在1 9 7 1 年，z a k h a r o v 和s h a b a t 用逆散射方法求解了n l s e i s 。逆散射方法是由入射 场得到初始的散射数据，然后通过解线性散射问题获得其沿传播方向的变化，再由变化的 散射数据重新建立传播场，这个过程在一般情况下需要解复杂的线性积分方程，数学过程 4 南京邮电大学硕士研究生学位论文 、 第l 章绪论 非常复杂。n l s e 还可以采用其它方法得到其精确解。文献【9 】利用形变映射法，通过建立 n l s e 与三次非线性k l e i n g o r d o n ( n k g ) 方程及其解的简单代数映射关系，由n k g 方 程的已知解，获得了某些n l s e 的显式精确行波解。近来，学者们又提出了许多其它方法 得到了n l s e 的某些精确解0 0 - i s ，如r i c c a t i c 方程映射法，h i r o t a 法，分数变换法，双曲 函数展开法，j a c o b i 椭圆函数展开法，行波解法等。 虽然n l s e 在某些情况下可以得到其精确解，但当输入光脉冲包络为任意形状时，方 程的求解只能依靠各种数值解法。一般说来，这些方法大体可以分为有限差分法和伪频谱 法两大类。传统的有限差分法需要对方程中包含的时间和空间变量进行差分表示，并将方 程转化为代数方程进行求解。虽然这种方法能够同时考虑色散和非线性的作用，但收敛较 慢，其计算精度的提高是以计算量的极大增加为代价的，计算速度比较慢一直是其十分不 利的方面。 对于伪频谱法，现在已获得广泛应用的是分步傅里叶法( s s f m ) ，由于它采用了有 限快速傅罩叶变换( f f t ) 算法，因而比大多数的有限差分法拥有快得多的计算速度。t h i a b 和m a r k 于1 9 8 4 年比较了当时几种流行的算法【1 6 1 ，得到分步傅里叶算法最好的结论。文 献 1 7 】给出了多种步长选取方法，对传统的s s f m 进行了改进，并对各种方法进行了比较， 讨论了各种方法的适用范围。近年来学者们提出了许多其它的数值方法。文献 1 8 】给出了 建立在小波变换算法基础上的分步小波方法( s s w m ) 。这种方法从信号的多尺度小波分 解和正交小波变换出发，将n l s e 表示为小波域中的分步算符形式，然后用迭代公式进行 求解。和s s f m 相比，s s w m 变换复杂度较低，且能消除傅里叶方法的周期性限制。文 献 1 9 提出了将两段分析法应用于求解n l s e ，将传输过程分为自相位调制( s p m ) 和色 散各自独立起作用的两个过程段，它可以揭示入射光功率和系统距离带宽积之间的本质联 系，具有很强的可操作性，可以在光传输系统的工程设计中估算系统容量、确定功率分配 方案以及所需光放大器增益等设计指标。n i e l s o n 于1 9 9 7 年提出了利用微分矩阵法【2 0 】求 解二维n l s e ，文献 2 1 】就这种方法与s s f m 进行了数值比较，指出虽然s s f m 还是具有 明显优势，但微分矩阵法是一个很有前途的方法。需要指出，以上方法大都有一个共同之 处，即它们均是建立在同一光纤传输区段上色散和非线性先后分别作用时其综合效果等效 于二者同时作用的基本假设的基础上，这和实际过程中色散作用和非线性作用是同步发生 的情形具有实质性的区别。 南京邮电火学硕十研究生学位论文第l 章绪论 1 3 本论文的主要工作 论文对光纤孤子传输理论进行分析，给出了非线性薛定谔方程( n l s e ) 的分步傅里 叶解法，并采用局部误差法的步长选取方法对传统的分步傅里叶法进行了改进。在上述理 论分析的基础上，设计出了基于分步傅里叶法的光孤子传输演化的仿真软件。最后，论文 还对光纤定向耦合器中的光孤子传输进行了初步研究，给出了耦合模方程组的分步傅里叶 解法，并给出了该解法的数值仿真结果。 第一章为绪论部分，对光孤子通信系统及n l s e 的解法的研究进展做了简单介绍，并 介绍了本论文的主要工作。 第二章首先导出了描述光脉冲在光纤中传输的数学模型，描述了影响光孤子形成的主 要因素，包括光纤群速度色散( g v d ) 和光纤非线性效应( s p m ) 。然后介绍了在g v d 和s p m 共同作用下光孤子的形成机制。 第三章先给出了简单光孤子传输的解析解，然后详细介绍了求解广义n l s e 的分步傅 旱叶法，并采用局部误差法对传统的分步傅里叶法进行了改进。最后给出了耦合模方程组 的分步傅里叶解法。 第四章介绍了笔者设计的光脉冲传输仿真软件，并讨论了用m a t l a b 进行数值仿真 时需要注意的几个问题。 第五章根据前面介绍的仿真软件，对各种孤子进行了仿真，并分析了高阶效应对孤子 传输的影响、孤子对的相互作用及光脉冲在双芯和三芯耦合器中的传输，还对局部误差法 进行了详细的分析。 第六章是总结。 在笔者之前已经有很多人对光纤中光脉冲的传输进行了数值仿真，提出了很多数值方 法，但是他们都只是针对某些现象进行了仿真，没有普遍适用性。笔者设计出了描述光纤 内光脉冲传输的仿真软件，求解了广义非线性薛定谔方程，具有一般性，而且具有图形化 界面，使用简单，具有一定的教学和演示的价值。 6 南京邮电大学硕二i 二研究生学位论文 第2 章数学模型的建立 第2 章数学模型的建立 2 1 光纤中光脉冲传输模型的建立 光孤子是群速度色散( g r o u pv e l o c i t yd i s p e r s i o n ，g v d ) 和自相位调制( s e l f - p h a s e m o d u l a t i o n ，s p m ) 在一定条件下相互作用所表现出来的一种特殊的包络脉冲，具有保形 稳幅的特征。在不考虑损耗的情况下，光纤中的g v d 使光脉冲在传输的过程中宽度不断 地展宽，而光纤中的非线性则可使光脉冲向中间收缩，使脉冲的宽度减小。由于电磁波在 介质中传输满足麦克斯韦方程组，则光脉冲在光纤中传输时，如果在麦克斯韦方程组中同 时考虑到g v d 和s p m 的影响，就可以得到光脉冲在光纤中传输所满足的非线性薛定谔 方程【2 2 1 。 根据光的电磁理论，光纤中光脉冲的传输规律遵从麦克斯韦方程组： v 豆：一塑 乱 v 疗：歹4 - 一o d ( 2 1 1 ) o t 飞d = p f v 云= 0 式中，豆、疗分别为电场强度矢量和磁场强度矢量；西、雪分别为电位移矢量和磁感应 强度矢量；电流密度矢量- 歹和电荷密度p ，表示电磁场的源。光纤是无自由电荷的介质， 因此7 = o ，乃= o 。 介质内豆和霄分别与西和雪的关系由物质方程来表示： 2 2 氏 十p 一 ( 2 1 2 ) b = o h + m 式中占。和。分别是真空中介电常数和真空中磁导率；户和府分别为感应电极化强度和磁 极化强度。在光纤这种无磁性介质中，庸= o 。 利用式( 2 i i ) 和( 2 1 2 ) ，可得到光纤中光传输的波动方程： v 珏古警嘣喾 眩， 7 南京邮电大学硕士研究生学位论文第2 章数学模型的建立 式中，c 2 三l _ ，c 为真空中的光速。由于石英光纤各向同性， 则 p e s 。 v x v 云兰v ( v 豆) 一v2 舌= 一v 2 豆，式( 2 1 3 ) 可以化为： v 2 雷专雾确喾= 。 ， 为完整表达光纤中光波的传输，还需要找到电极化强度户和电场强度豆的关系。当光 频与介质共振频率接近时，户的计算必须采用量子力学方法。但在远离介质的共振频率处， 户和豆的关系可以写为： 卢= e o ( z 1 豆+ z 舶：五雹+ z 3 i 腼+ ) ( 2 1 5 ) 式中，z “( j = 1 ，2 ，) 为j 阶电极化率。z ”影响折射率和衰减常数；z t 2 ，在分子对称结 构中不存在，故在石英光纤中为零；z ( 3 引起最低阶的非线性效应。0 5 2 m 2 2 m 波长范围 远离石英光纤的共振频率，户和e 的关系可以由式( 2 1 5 ) 表示。若只考虑与z ( 3 ) 有关的 三阶非线性效应，电极化强度可分为两部分： 声( 尹，f ) = 豆( 尹，f ) + 晚( 尹，f ) ( 2 1 6 ) 式中，线性部分豆( 尹，f ) 和非线性部分& ( 尹，f ) 与场强丘的普适关系为： 丘( 尹，f ) = 占。z b ( t - t ) 云( 尹，f ，) d r 7 ( 2 1 7 ) 民( 尹，f ) = 占。力z ( f f ，f f ：，f f 3 ) ；雷( 尹，f 。) 五( 尹，f ：) 豆( 尹，q ) d t 。a r t ：a c t ， ( 2 1 8 ) 三阶极化率z 3 为四阶张量，含有8 1 项，但是对于立方型单模光纤介质，可以简化为一 项。 为了求解方程( 2 1 4 ) ，需要做几个假设。首先，把毛( 尹，f ) 处理成对丘( 尹，f ) 的微扰， 实际上，折射率的非线性变化小于1 0 一。其次，假定光场沿光纤长度方向其偏振态不变， 因而其标量近似有效，但实际上需要采用保偏光纤才能满足要求。再次，假定纤芯和包层 折射率差别很小( 弱波导近似) 。最后，假定光场的中心频率远大于光谱宽度( 准单色近 似) ，在时域中采用慢包络近似。由于光场的中心频率约为1 0 4 h z ，最后一项假定对脉宽 0 1 p s 的脉冲成立。 在慢变包络近似下，电场可以写成 南京邮电火学硕i ：研究生学位论文第2 章数学模型的建立 廊m = 扣即，f ) e x p ( 一帆卅c 卅 ( 2 1 9 ) 式中，i 为假定沿x 方向偏振的光的单位偏振矢量，e ( 尹，f ) 为时间的慢变函数( 相对于光 周期) 。注意到，本文中的电场强度采用负频表示。正负频表示将影响其对应的傅里叶变 换等。类似地，极化强度矢量丘( 尹，f ) 和毛( 尹，f ) 可以表示成 豆( 尹，f ) = 圭研只( 尹，f ) e x p ( 一劬。f ) + c c ( 2 1 1 0 ) 瓦( 和) = 三可气( 印) e x p ( 一帆f ) + c c 】 ( 2 1 1 1 ) 把式( 2 1 1 0 ) 代入式( 2 1 7 ) 得到 只( 尹，t ) = 占。z 婴( f - f ) e ( e f ，) e x p i w 。( 卜f ) 训 ( 2 1 1 2 ) = 丢名跏) 营( 咖一w o ) e x p 卜i ( w w o ) f 】咖 式中，豆( 尹，w w 。) 是e ( e ，f ) 的傅里叶变换。 假定非线性响应是瞬时作用的，因而式( 2 i 8 ) 中的z 3 的时间关系可由三个万o t t ) 函数的积得到。则式( 2 1 8 ) 可以变为 毛( 尹，f ) - - - - 8 。z 3 ；后( 尹，f ) 豆( 尹，f ) 豆妒，f ) ( 2 1 1 3 ) 瞬时非线性响应的假定相当于忽略了分子振动对z 3 的影响( 拉曼效应) 。一般来说，电 子和原子核对光场的响应都是非线性的，原子核的响应比电子的响应慢。对石英光纤，振 动或拉曼响应在6 0 声7 0 厣时间量级，这样方程( 2 1 1 3 ) 在脉宽大于1 p s 时，基本有效。 把式( 2 1 1 1 ) 代入式( 2 1 1 3 ) ，发现最( 尹，) 有一项在w o 处振荡，另一项在三次谐 波3 w 。处振荡，后一项由于需要相位匹配，在光纤中通常被忽略。利用式( 2 1 1 1 ) 得到 民( 尹，f ) 的表达式 ( 尹，f ) 8 0 8 舭e ( p ，t ) ( 2 1 1 4 ) 式中，占舭为介电常数的非线性部分，由下式给定 “= 三z 2 阶卅1 2 ( 2 1 1 5 ) 在推导慢变振幅e ( p ，f ) 的波动方程的过程中，n - - i p a 把占舭处理成常量，这种方法从慢 9 南京邮电大学硕士研究生学位论文第2 章数学模型的建立 变包络近似及民( 尹，f ) 的扰动特性来说可以认为是合理的。把式( 2 i 9 ) 、( 2 i 1 0 ) 、( 2 i i i ) 代入方程( 2 i 4 ) ，并利用傅里叶变换雪( 尹，w - w o ) = e ( 尹，f ) p ”v d t ，得到 v 2 营+ c ( w ：(ivc ( w ) k ：e0 21 1 6 )2 e + = ( ) 式中，七。= 一w ，s ( w ) = l + 孑竺( w ) + 占舭。 利用分离变量法求解方程( 2 1 1 6 ) 。假定解的形式为 豆扩，w 一) = f ( 而y ) 彳( z ，w w o ) e x p ( i f l o z ) ( 2 1 1 7 ) 式中，2 ( z ，w ) 是z 的慢变函数；屁是波数。将式( 2 1 1 7 ) 代入方程( 2 1 1 6 ) ，分别得到 关于f ( x ，y ) 和2 ( z ，w ) 的方程 警+ 警小( w 爝节肛。 ( 2 1 1 8 ) 2 溉掣十( 万：一p 3 ) 2 ：o ( 2 1 1 9 ) 式中，万= ( w ) + 筇。在推导方程( 2 i 1 9 ) 的过程中，由于假定彳( z ，w ) 为z 的慢变函数， 因而忽略了其二阶偏导数軎。方程( 2 1 1 8 ) 是光纤模式的本征方程，可以通过一阶微 扰理论求解。本文主要研究光脉冲的传输演化，只对方程( 2 1 1 9 ) 进行求解。 方程( 2 1 1 9 ) 可以改写为 娶：f 掣彳：f 鱼掣垂盟彳坝万一p o ) a ：拟w ) + 筇一屈】彳( 2 1 2 0 ) 瑟 2 屈 2 层 ” 。 上述推导过程中把( 万+ 屁) 近似为2 从。从方程( 2 1 2 0 ) 可以看出，脉冲沿光纤传输时， 其包络内的每一谱成分都得到一个与频率和强度有关的相移。 传播常数觑w ) 可以在中心频率处按泰勒级数展开 厦叻= 层+ ( w 一) 屈+ ：1 ( w 一1 4 o ) 2 屈+ ( w w o ) 3 屈+ ( 2 i 2 1 ) 20 其中，尾= 防l ，二阶传播常数尾用来计算光纤通信系统的色散效应，根据反的符 号不同，色散区域可以分为正常色散区( 厦 o ) 和反常色散区( 及 3 ) 高阶项，得 到 掣= 一p l 掣一吾履学+ 吉屈学+ i a f l a ( z , t ) ( 2 1 2 4 ) 式中，项包含了光纤的损耗及非线性效应。利用 可得到 筇= 一 亿忱5 ， a n = n 2 e 2 + 薏 筇却：j 纠2 古+ 等 ( 2 1 2 6 ) 上式代入( 2 1 2 4 ) ，得到 t o a ( z , t ) + 届掣专屈掣一吉屈学+ 弘，f ) = f 枇私印) ( 2 1 2 7 ) 其中，=r刊zwo为非线性系数，彳够=等端为有效纤芯截面。 方程( 2 1 2 7 ) 即为光脉冲在光纤中的传输方程。但是要注意到，在方程( 2 1 2 7 ) 的 推导过程中，作了一系列的假设及近似，其中包括假定脉冲宽度大于1 p s 。当脉冲宽度小 于1 p s 时，方程( 2 1 2 7 ) 已不适用，特别是应该考虑拉曼效应。对于谱宽大于0 1 t h z 的脉冲，通过从同一脉冲的高频分量转移能量，其拉曼增益能放大其低频分量，这种效应 称为脉冲内拉曼效应。脉冲内拉曼散射的结果是，脉冲在光纤内传输过程中，脉冲频谱移 向红光一侧，这种现象称为自频移。下面推导最一般的光脉冲传输方程。 不考虑需要相位匹配才发生的非线性现象。通过假设式( 2 1 8 ) 中的三阶极化具有如 下形式 z 3 o o t - t 2 ，t - t 3 ) = z r ( t - t 1 ) 文f - t 2 ) 万( f - - t 3 ) ( 2 1 2 8 ) 南京邮电大学硕十研究生学位论文第2 章数学模型的建立 可将非谐振的不相干的( 与强度有关的) 非线性效应包括进去。上式中，r ( f ) 是非线性响 应函数，满足广r ( t ) d t ：1 。将式( 2 1 2 8 ) 代入式( 2 1 8 ) ，得到 毛( 尹，t ) = 6 0 z ( 3 ) 应( f ，t ) l r ( t - t , ) e , ( f ，t ) 1 2d t i ( 2 1 2 9 ) 式中，假定电场和感应极化矢量方向相同。 将式( 2 1 2 9 ) 代入式( 2 1 4 ) ，并进行傅里叶变换，得到 v2 茁+ 1 7 2 ( w ) 碍豆 ：一岍z 7 w 2 尬肌w 胁盹驴( w i + w 2 - - w , z ) 机咖：2 心 式中，天( w ) 是尺( f ) 的傅里叶变换。 定义慢变振幅a ( z ，t ) ，则单模光纤内脉冲演化的方程为： 上式等号右边的时间导数项，与脉冲边缘的自抖和冲击形成有关。此项还包含了脉冲内拉 曼散射引起的非线性能量损耗，即使不满足慢变包络近似条件，式( 2 1 3 1 ) 也成立。 非线性响应函数尺( ，) 应包括电学和振动( 拉曼) 的影响。假设电学的影响几乎是瞬时 的，r ( t ) 的函数形式为 r ( t ) = ( 1 一九) 8 ( t ) + 厶h r ( f ) ( 2 1 3 2 ) 厶表示延时拉曼响应对非线性极化的贡献；h 拧为拉曼响应函数，与测得的拉曼增益谱 g r ( w w 。) 满足关系式g 月( w w 。) = 旦厶z ”i m h r ( w w 。) 】。 c ，2 对窄于5 p s 、但又包含多个光学周期的足够宽的脉冲( 脉宽 l o f s ) ，可以利用泰勒级 数展开方程( 2 1 3 1 ) 中的i 彳( z ，f 一，) 1 2 项，并定义非线性响应函数的一次矩为瓦三t r ( t ) a t ， 这样，方程( 2 1 3 1 ) 可以近似为 1 2 2l 学 屈 哆一 出 笋州 2 一 一 竺 卜 屈 忙 弘陬 丝西。尉。 汇 d 乜 纠 m 彳 ，一踏 争卫渺o ，一 亿万加丝a 嘶 掣 i 拟 燮p 鸣 坐贸 卜 丝。 聊笋材 丝砑舭 铲一 生玎 萨播，瓦 d n 乙 岛 酢 钺 ) 一 z 警川 南京邮电大学硕士研究生学位论文第2 章数学模型的建立 式中，r = f 一考i 卜屈z ，是以群速度k 移动的参考系。项是由包含了气的一阶导 数引起的，和脉冲沿的自抖和冲击产生有关。疋项的起因与延迟拉曼响应有关，对应于 脉冲内拉曼散射诱发的自频移效应。方程( 2 1 3 3 ) 一般被称为广义的非线性薛定谔方程 ( g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o n ，g n l s e ) 。 当脉冲宽度瓦 5 p s 时，高阶非线性效应和三阶色散可忽略( 载波波长不十分接近光 纤零色散波长) ，方程( 2 1 3 3 ) 可简化为 警+ 詈心 厦笔笋= i y l a 亿丁籼z ( 2 1 3 4 ) 当光脉冲峰值功率很高时，须将式( 2 1 5 ) 中的五阶和更高阶包括在内。 尽管方程( 2 1 3 3 ) 作为飞秒脉冲在光纤内传输的模型是比较成功的，但它仍然是近 似结果，更精确的近似应该用方程( 2 1 3 1 ) ，其中尺( f ) 考虑了光纤非线性的时间响应。在 简单的模型中，假定r ( t ) 遵循方程( 2 1 3 2 ) ，因此无论是电子( 克尔效应) ，还是分子( 拉 曼效应) ，对光纤非线性的贡献均要考虑在内。分子响应的延迟特性不仅会导致孤子自频 移，而且还影响相邻孤子的互作用。方程( 2 1 - 3 1 ) 用于研究脉冲内拉曼散射是如何影响 光纤中的飞秒脉冲演变的。若脉冲窄于2 0 f s ，这个方程的使用也成为问题，因为在推导该 方程的过程中，应用了慢变包络近似。对仅包含几个光学周期的超短脉冲，必须抛弃脉冲 包络的概念，而是通过适当的数值方法，直接求解麦克斯韦方程组( 2 1 1 ) 。 2 2 光纤的群速度色散 前面- d , 节通过建立脉冲传输方程，讨论了光脉冲在光纤内传输时，群速度色散 ( g v d ) 和自相位调制( s p m ) 是如何结合的。在考虑一般情况以前，本节先只考虑g v d 效应对沿光纤长度方向传输的脉冲演变的影响，即通过把光纤处理成线性介质来讨论脉冲 传输问题。 色散是指不同频率的光波以不同的相速度和群速度在光纤中传播的物理现象。更一般 的来说，当光波与介质的束缚电子相互作用时，介质的响应与光波频率有关，即不同的频 谱分量对应的折射率不同。色散导致光脉冲在传播过程中展宽，致使前后脉冲相互重叠， 引起数字信号的码间干扰。在光纤的输入端，一个脉冲的能量分配到不同的模式上，以不 同的速度传播到输出端，同样导致光脉冲的展宽。这种效应与波的不同频率