（基础数学专业论文）有关亚纯函数正规族的几个问题.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 本文运用n e v a n l i n n a 的值分布理论研究了亚纯函数的正规族和值分布。在正 规族方面，作者讨论了涉及微分多项式的亚纯函数的正规定则，从而推广了顾永 兴和王跃飞的结果，另外又讨论了公共值与正规族，推广了陈怀惠和方明亮的结 果。在值分布方面，作者推广了h a y m a n 和王跃飞一个的结果。 关键词：亚纯函数，正规族，正规定则，微分多项式，值分布。 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t ra c t t h i st h e s i ss t u d i e st h en o r m a lf a m i l i e sa n dv a l u ed i s t r i b u t i o no f m e r o m o r p h i c f u n c t i o n sb yu f i n gn e v a n l i n n a sv a l u ed i s t r i b u t i o n w i t hr e g a r dt on o r m a lf a m i l i e so f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，t h ea u t h o r s t u d i e st h en o r m a lf a m i l i e so fm e r o m o r p h i e f u n c t i o n sc o n c e r n i n gd i f f e r e n t i o n a lp o l y n o m i a l s ，t h e r e f o r ew ei m p r o v e dt h er e s u l t so f g uy x a n dw a n gy e ，s e p a r a t e l yw es t u d i e st h en o r m a l i t ya n ds h a r e d - v a l u e ，t h ea u t h o r i m p r o v e dt h er e s u l t so fc h e r th u a i h u ia n df a n gm l w i t hr e g a r dt ov a l u ed i s t r i b u t i o n ， t h ea u t h o ri m p r o v e dt h et h er e s u l t so f h a y m a na n dw a n gy f - k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，n o r m a lf a m i l y , n o r m a lc r i t e r i a ，d i f f e r e n t i o n a l p o l y n o m i a l s ，v a l u ed i s t r i b u t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重庞太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：岛绚琦 签字日期： 哆年6 月乡日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重鏖太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权 重庆太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( 。 ( 请只在上述一个括号内打“”) 学位论文作者签名： l 铂瀚旖 导师签名：撤 签字日期： 弦哆年月，；日签字日期：叼年6 月f ) 日 重庆大学硕士学位论文1 绪论 1 绪论 1 1 值分布与正规族概况 全纯函数与亚纯函数的正规族理论是复分析的一个重要组成部分。从p m o n e l 引进了正规族的概念以后，它便与函数的取值问题紧密联系在一起。一些理论和 实际问题的研究往往需要寻求某些整函数和亚纯函数的根。这就是说，对于一个 整函数或亚纯函数厂( z ) 与任意的复数a ，要研究方程厂( z ) = a 是否有根以及根的 多少与分布等问题。1 9 世纪末，著名数学家e b o r e l 成功的将e p i c a r d ，h p o m c a r e 和j h a d a m a r d 等人关于解析函数取值的若干独立结果结合起来，证明了b o r e l 定 理，从而产生了值分布的萌芽，以后有许多学者从事这方面的研究，因而形成了 整函数与亚纯函数值分布理论。在证实正规定则时，函数值分布论常常起着关键 的作用。 正规族也是复分析里的一个有力工具，例如在复动力系统里，就是以正规族 作为一个极其基本的概念。我们知道，平面上任一无限点集至少存在一个聚点( 有 穷或无穷) ，这就是点集的列紧性。但是，一族函数就未必具有这种性质。2 0 世 纪初，p m o n t e l 引进了正规族的概念，它是指一族全纯或亚纯函数的某种列紧性。 m o n t e l 成功地把函数族是否正规与函数取值问题联系起来，建立了重要的正规定 则：“设 ，( z ) ) 为区域d 内一全纯函数族，若对族中每个f ( z ) 在d 内恒有f ( z ) 0 ， 1 ，则族 厂( z ) ) 在区域d 内正规。”从而开创了正规族的研究，值得注意的是这个 定则把函数族的正规性与函数的取值问题联系了起来。以后j u l i a 把m o n t e l 定则 应用于整函数，对p i c a r d 定理作了本质的补充，证明了存在所谓的j u l i a 方向。这 也开创了辐角分布论的研究，而原来在全平面上对函数取值的研究则成为模分布 论。 在值分布论的发展中，r n e v a n l i n n a 有着巨大的的贡献。1 9 2 5 年他引进了亚 纯函数的特征函数，并建立了两个基本定理，被称为n e v a n l i n n a 理论。以往p i c 鲫d 、 b o r e l 的定理都成为它的简单的推论。从n e v a n l i n n a 基本定理也可以证明m o n t e l 正规定则。几十年来，值分布论在n e v a n l i n n a 理论的影响下取得了巨大的发展， 后来，n e v a n l i n n a 理论还促进了正规族理论更深入的发展。 法国数学家a b l o c h 曾注意到：如果开平面上的一个全纯( 或亚纯) 函数满足 某条件即蜕化为一常数，则在区域内一族全纯( 或亚纯) 函数一致地满足该条件 时应该是一正规族。简单地说，即相应于一l i o u v i l l e - p i c a r d 型定理，必有一正规 定则。这种规律被大家称为b l o c h 原理。虽然客观上来说b l o e h 原理不是完全正 确的，但是人们常常凭借这条b l o c h 原理从已知的l i o u v i l l e - p i c a r d 型定理来猜测 重庆大学硕士学位论文1 绪论 新的正规定则。值得高兴的是以往凭借b l o c k 原理所预言的有关正规定则问题相 继的得到了解决和证实。1 9 3 5 年，m i r a n d a 使用n e v a n l i n n a 理论证实了em o n t c l 的如下重要猜想：“设 厂( z ) ) 为区域d 内一全纯函数族，若对族中每个f ( z ) 在d 内恒有f ( z ) 0 ，”( z ) 1 。则族 f ( z ) 在区域d 内正规。”人们称此为m i r a n d a 定则。该定则的重要意义在于它把函数族的正规性与函数的导数的取值问题联系 了起来，从而开辟了正规族理论的新的研究领域。1 9 7 9 年，我国数学家顾永兴教 授把m i r a n d a 正规定则推广到亚纯函数族的情形，即证实了h a y m a n 于1 9 6 7 年提 出的猜想。由此我国对于亚纯函数正规性的研究更加活跃，一些重要贡献得到国 际同行的任可。 1 2 本文的主要结果 本文主要讨论了涉及微分多项式的亚纯函数的正规定则、分担值与正规族和 值分布三个方面。 定理1 设吼为区域d 上的一族亚纯函数，n ，k ( n k + 1 ) 均为正整数，b 为 一有限非零复数，a o ( z ) ，口l ( z ) ，a t - , ( z ) 为d 上的全纯函数，若对吼中的任意 函数厂，厂在d 内的零点重数至少为n ，厂的极点重数至少为2 ，且厶，1 = b j 厂= b ， 则倪在d 内正规。 其中丘，) ( z ) = ( z ) + q ( z ) ”( z ) 。 i - - 0 推论l 设9 t 为区域d 内一族亚纯函数，n ，k f n k + 1 1 是两个正整数，b 是一 有限非零复数，v f 9 1 有厂的零点重数均2 n ，f 的极点重数均2 且 f c ”= b j 厂= b ，则9 t 在d 内正规。 定理2 设倪为区域d 内一族亚纯函数，n ，k f n k + 2 1 是两个正整数，b 是一 有限非零复数，v 吼有厂的零点重数均n 且厶n = b jf = b ，则孵在d 内正规。 推论2 设吼为区域d 内一族亚纯函数，n ，k ( n k + 2 1 是两个正整数，b 是一 有限非零复数，夥吼有，的零点重数均n 且，( ”= b j f = b ，则孵在d 内正 规。 定理3 设吼为区域d 上一族全纯函数，1 1 ，k ( n k + 1 1 是两个正整数，b 是一 有限非零复数，v f 9 t 有厂的零点重数均n 且厶n b j f = b ，则吼在d 内正规。 推论3 设孵为区域d 上一族全纯函数，n ，k ( 栉k + 1 ) 是两个正整数，b 是一 有限非零复数，v f 吼有，的零点重数均n 且，= b j f = b ，则吼在d 内正 规。 定理4 设m 是区域d 上的一族亚纯函数，k 是一不小于2 的正整数，a ，b ，c 是有穷复数，a b ，如果对任意的f 吼，厂一c 的零点重级至少是k ，并且厂和厂似 在d 内i m 分担a 与b ，则吼在d 上正规。 定理5 设厂为有穷级超越亚纯函数，后是一正整数，的零点重级至少为七+ 1 ， 极点重级至少为2 ，则门一p 有无穷多个零点。 2 重庆大学硕士学位论文1 绪论 这里：q f = ，”4 - a i _ 厂耻- 1 + + q 厂。，q ，a k - 1 为，的一组小函数，p 为一 多项式。 重庆大学硕士学位论文 2n e v a n l i n n a 理论概要 2n e v a n l i n n a 理论概要 2 1 引言 亚纯函数俐在其孤立本性奇点的任一邻域内，至多除了两个值以外的一切其 他值都可以取到。这就是著名的p i c a r d 定理。受p i c a r d 定理的启发，r n e v a n l i n n a 所在的芬兰学派创立了著名的n e v a n l i n n a 理论以及后来的a h l f o r s 对这一理论 作了改进和处理，并且a h l f o r s 为第二基本定理给出了一个拓扑学解释，因而在 1 9 3 6 年赢得了菲尔兹奖。 n e v a n l i n n a 理论主要创新之处在于，它为圆内或无穷远点的邻域内的亚纯函 数引进了一个新的增长函数t ，其主要结果是第二基本定理，在此定理中，亚纯函 数的若干点处的非正常特性可以用一些项了表示，而t 则被用作这些项之和的一 个本质下界。p i c a r d 定理则成为它的简单推论。 n e v a n l i n n a 理论的建立，为值分布论的发展做出了划时代的贡献，构建了值分 布论的基本理论。8 0 年来，值分布论在n e v a n l i n n a 理论的影响下取得了巨大的发 展。近年来，这一理论不断发展和完善，一些历史遗留问题逐步获得解决；同时， 它向复分析的其他分支，甚至是数学的其他领域逐渐渗透。下面简要的介绍它， 具体请参阅【1 】 2 】【3 】【4 】。 2 2n e v a n l i n n a 理论的基本记号 设f ( z ) f f r d 在i z l r ，( o r 0 0 ) 上的非常数亚纯函数，a 为任意复数。 定义1 、n ( r ，f ) ：f ( z ) 在l z i r ，( 0 ， r 0 0 ) 的极点数，重级极点按其重数计算； n ( r ，f ) ：f ( z ) 在h r ，( o r r o o ) 的极点数，重级极点只计算一次； 定义2 、疗( r ，书：，( z ) 在h ，( o ， r 。) 的零点数，重级零点按其重数计算； ”( r ，) ：厂( z ) 在h ，( o ， r 。) 的零点数，重级零点只计算一次； 定义3 、对于x 0 ，定义正对数如下： 地k ：g 五慧“ 由这个定义易看出对任意的正实数x 有： l o g x = l o g + x - l o g + 一1 ； 定义4 、坍( ，力：2 去r 4 l o g + i 厂( 憎。) l d 口，珊( r ，厂) 亦记作肌( ，o o ) ，m ( ，7 三) 亦记 作m ( r 。口) 5 4 重庆大学硕士学位论文 2n e v a n l i r m a 理论概要 定义5 、( ，力： 堕生堕；! 堕卫出+ 刀( o ，力l 。g ，( ，力称作，的计数函数， 叫 亦称作厂的密指量，( r ，力亦记作( r ，o o ) ，( ，) 亦记作( ，4 ) 5 j 一 定义6 、丙( ，力- 【丛生翌亭型堕h + 磊( o ，力l 。g ，- n ( r , 力称作厂的精简密指量， ” f n ( r ，门亦记作n ( r ，o o ) ，( ，三一) 亦记作u ( r ，口) 。 定义7 、r ( r ，力：= m ( r ，力+ n ( r ，f ) ，t ( r ，) 称作，的n e v a n l i n n a 特征函数； 定义8 以= 匦等笋， ，：地堕里盟， l o g r 分别称为_ ，的( 上) 级与f 级； m ( r 土)( r ，土) i g y 9 “”) _ l i m 可筹1 一匦1 并， j ( ，) ：l i m 业：1 一f 面m n ( r , f ) ， 互焉r ( ，力 ，呻mr ( r ，) 分别称作厂在a 点与m 点的亏量，容易看出：0 6 ( a ，f ) 1 ； 定如、。( 硼- l _ 甄黑， = 磐等耕半； 显然，0 ( 口，d 1 ，0 o ( a ，f ) 1 ，以及占( 口，厂) + 曰( 口，厂) o ( a ，f ) ； 定义1 1 、设厂( ：) ，n ( z ) 在开平面上亚纯，如果t ( r ，口) = s ( r ，) ， 则称口( z ) 为f ( z ) 的小函数。定义1 2 、特征函数基本性质：设工( z ) ( v = 1 , 2 ，p ) y o p 个于h r ( o o ) 内亚纯的函数，则对于o ， r ，有： t ( r ，翌工) t ( r ，工) t ( r ，工) r ( r ，f , ) + l o g p 。 2 3 一些重要定理 ( d j e n s e n 等式 m ，力叫，争+ 1 0 蚓 其中厂在零点附近的t a y l o r 展开为厂( z ) = c , z + e 。z ”1 + ( e o ) ； ( 萤n e v a n l i n n a 第一基本定理 重庆大学硕士学位论文 2n e v a n l i n n a 理论概要 设函数厂0 ) 于h r ( 0 0 ) 内亚纯。若a 为任一有穷复数，则对于0 ， 3 ) 个 判别的复数( 其中可以有一个复数等于无穷) ，有 国一2 妒( ，力 蔷( 了壬i 卜双，力 6 重庆大学硕士学位论文 2n e v a n l i n n a 理论概要 或 ( g 一2 ) r ( ，门喜丙( 7 与) + s ( r ，力 其中s ( r ，f ) 性质如上所述。 ( 互) m i l l o u x 不等式 上述n e v a n l i n n a 第二基本定理指出，亚纯函数的特政函数可被其计数函数所 界囿，而用亚纯函数及其导数的计数函数来界囿其特征函数的问题，就是下面的 m i l l o u x 。1 不等式： 设函数厂( z ) 于h r 6 ) 内亚纯。若，( o ) 0 , o o ；f 非( o ) 1 ；f 耻删( o ) 0 ， 0 r r r ( 7 ，力 ( 7 ，门+ ( 7 ，+ ( 7 ，7 御 一( ，：壶而) + s ( ，门。 对数导数引理 设函数f ( z ) 于h r ( o o ) 内亚纯。若f ( 0 ) o ，0 0 ，则对于0 r p r 有 研争 c k 1 + - o g g + 网1 礼g + 扣g + 击+ l o g + p + l o g + t ( p ，厂) ) 其中q 是仅依赖于k 的常数。 此引理的形式由熊庆来0 1 给出。 b u r e a u 引理 设t ( r ) 是区间0 r p 内的非负且非减的函数，又设a 和b 均为正数，使 b 2 a 且b 8 a 2 ，若不等式 m ) 如l o g _ ( r ) 扣l o g 击+ 6 于区间0 ， r p 成立，则不等式 m ) 2 山g 击+ 2 b 于区间0 ， r p 成立。 ( z ) h a y m a n 不等式 设函数厂( z ) 于h r ( o o ) 内超越亚纯，不蜕化为多项式。若七为一正整数， 且 f ( 0 ) 0 ，o o ；f ( 0 ) 1 ；f “( 0 ) 0 以及 ( k + 1 ) f “( o ) ( ，( 0 ) 一1 ) 一( 七+ 2 ) f “( 0 ) 2 0 7 重庆大学硕士学位论文 2n e v a n l i n n a 理论概要 则对于0 ， r 有 r ( ，力 ( 2 + ( ，争+ ( 2 + 昙) 丙( ，了：害j ) + s ( 门 杨乐不等式 虽然h a y m a n 不等式中仅用了两个计数函数便可界囿特征函数r ( r ，门，但是不 像通常n e v a n l i n n a 第二基本定理中计数函数的系数等于i ，针对这种情况，杨乐 建立了更精密的用来界囿t ( r ，门的基本不等式，推广了h a y m a n 不等式。 设函数f ( z ) 于h 0 时，有 毗) n 时，在，内部正( z ) 和f ( z ) 的零点个数是相同 的。 重庆大学硕士学位论文 3 亚纯函数的正规族理论概要 3 亚纯函数的正规族理论概要 3 1 引言 正规族理论是复分析的一个重要组成部分，从p m o n t e l 引进正规族，它便与 函数取值的问题紧密联系在一起，以后的发展也是如此。在证明正规定则时，函 数值分布论常常起着重要作用。 众所周知，平面上任一无限点集至少存在一个聚点( 有穷或无穷) ，这就是点集 的列紧性，但一族函数就未必具有上述性质。2 0 世纪初，p m o n t e l 引进了正规族 的概念。他把具有某种列紧性的函数族称为正规族，在正规族理论中，这是一个 非常重要的概念。下面简要的介绍它，具体请参阅【l o 】。 3 2 正规族理论的基本概念与性质 定义1 设l ( z ) o = l ，2 ，) 为一函数序列均在一区域d 内亚纯。我们称z ( z ) 在 d 上内闭一致收敛，如果对任一点z o d ，存在一邻域n ( z o ) c n c z o ) c 7 d ) ，使l ( z ) 或在n ( z 。) 上按通常意义一致收敛。 j 。t z ) 一个亚纯函数序列在一区域内闭一致收敛，其极限函数有下列性质： 定理i 在区域d 上内闭一致收敛的亚纯函数序列z ( z ) 0 = l ，2 ，) 的极限函 数胎，要么是一个亚纯函数，要么恒为无穷。 有了亚纯函数序列内闭一致收敛的概念，下面我们就可以给出亚纯函数族正 规的定义： 定义2 设 厂( z ) ) 为区域d 内一族亚纯函数。如果从这个族中每一个函数序列 z ( z ) ( n = l ，2 ，) 均可以选出一个子序列厶( z ) ( 肛1 ，2 ，) 在区域d 上内闭一致收 敛，则称族 厂( z ) ) 在区域d 内正规。 在亚纯函数正规族理论中还有一个比较重要的概念，那就是函数族在一点正 规的概念。有了这个概念，就可以简化函数族在一个区域正规的定义，下面我们 就给出这个定义： 定义3 设 厂( z ) ) 为区域d 内一族亚纯函数。我们称族 厂( z ) ) 在区域d 内一 点气正规，如果存在一个属于d 的以气为心得圆内部c ( 知) ，使族矿( z ) ) 在c ( z o ) 内 正规。 而关于一函数族在一区域内正规与其在区域内一点正规的关系如下： 定理i i 设矿( z ) ) 为区域d 内一族亚纯函数，则 ，( z ) ) 在区域d 内正规的充要 条件为它在区域d 内的每一点正规。 9 重庆大学硕士学位论文3 亚纯函数的正规族理论概要 上面这个性质称为亚纯函数族正规性的局部性。 最后我们引进球面距离的概念： 定义4 设z 1 ，z 2 为两复数( 有穷或无穷) ，设呐，m ：分别为球面上与毛，z 2 相应的 点则直线段瓦面的长度称为毛，毛的球面距离并以符号i 毛，乞i 表示。 i 五，z 2 1 = ( 毛o o ，z 2 = 0 0 ) ( z 1 = c o ，z 2 。o o ) 根据定义不难验证 气，z 2 1 - l z , - - z 2 i ( 毛o 。，z 2 m ) l 毛，弓l l 五，z 2 i + i 乃，z 3 i z l , z 2 1 2 蚓1 。g 南札g + i 刁l + 1 0 9 + 俳。g 南( z - 鸲乞蛔毛吲 3 3 正规族基本定理 一个函数在什么样的条件下正规? 这是人们关心的问题。到目前为止，人们 已经找到了很多这样的条件，也就是现在很多的正规定则。在这诸多的正规定则 中有一个比较著名的，就是m o t e l 定则和m a r t y 正规定则。 下面我们先给出m o t e l 定则。 定理i i i 【1 1 】设f 为区域d 上的全纯函数族，若对任意的f f 有f ( z ) 0 及厂( z ) 1 ，则f 在d 上正规。 m o n t e l 建立了正规族理论后不久就提出一个猜想：若把上述定则中的条件 f ( z ) 1 改为f 似( z ) l ( k 1 ) ，其余条件不变，则族 厂( z ) 仍正规。1 9 3 5 年，m i r a n d a 完全证实了这个猜想，我们称为m i r a n d a 正规定则： 定理【1 2 】设 ，( z ) l 为区域d 内的全纯函数族，k 为一正整数，若族中的每 个函数f ( z ) 在d 内满足：f ( z ) o 及，( z ) 1 ，则f 在d 内正规。 对于一个亚纯函数族 厂( z ) l ，当族中每个函数满足m i r a n d a 定则的条件时，族 厂( z ) 是否仍保持正规性? h a y m a n 也于1 9 6 7 年提出这个猜想，顾永兴于1 9 7 9 年 证实了这个猜想。 定理v 1 3 】设 ，( z ) 为区域d 内的亚纯函数族，k 为一正整数，若族中的每个 l o 南。 重庆大学硕士学位论文3 亚纯函数的正规族理论概要 函数厂( z ) 在d 内满足：f ( z ) o 及，( z ) 1 ，则f 在d 内正规。 下面给出m a r t y 正规定则，这个正规定则之所以出名，是因为它所需的条件 不仅是充分而且是必要的。 定理v i “”设 ，( z ) ) 为区域d 上的一族亚纯函数，则族u ( z ) ) 在d 内正规的充 要条件是，对任一有界闭域k t - - d ，存在一正数m = m ( 足) ，使对每一 ，( z ) ( z ) ，有 ，( z ) 肘( 足) 这里，厂( 加上臻。 1 + l f ( z ) l 随后，李松鹰和谢晖春推广了m a r t y 正规定则，这就是： 定理v i i “”设 ，( z ) ) 为区域d 上的一族亚纯函数，且族中每一函数，砂在d 内的一切零点的级均不小于k 。则族 厂( z ) ) 在d 内正规的充要条件是，对任一有界 闭域k c d ，存在一正数m = m 晖) ，使对每- - f ( z ) ，( z ) 1 ，有 鹦m ( z 蚓。 l ( ji7 ck1 1 + i f ( z ) j + 1 1 。 3 4z a l c m a n 引理及发展 以往，在证明正规定则时所贯用的方法是先建立界囿定理，再消去原始值。 而z a l c m a n 开辟另外的途径，从m a r r y 正规定则出发建立了一族亚纯函数不正规 的一个充要条件，我们称之为z a l c m a n 定理。由于本文在证明中多次用到z a l c m a n 定理，故在此特别给出。 z a l c m a n 引理“”： 设，为单位圆盘上的亚纯函数族，对任意的f f ，f 的所有零点重数， ，的所有极点重数_ ，。设口为任一实数满足- l 0 使得g ( 善) 在 b = 刮掌一晶l j ) 上全纯，从而当j 充分大时秽( 善) 在喀上全纯且硝( 善) 在见上 一致收敛于g ( ( 善) ( i = 0 , 1 ，2 ，k 一1 ，g 0 ( 善) = g ( 孝) 以下同) 。 由g ，( 孝) = 所f ，( z j + 岛舌) 得乃。( ：，+ 乃孝) = 力。g y 侈) ， 当j 充分大时，g y ( 善) 在珐上全纯又因为q ( z ) 在上全纯， i z i 0 + 使得毋( 善) = 巧f _ ，( z j + d 善) 在复平 面c 上内闭一致收敛于非常数的亚纯函数g ( 善) ，g ( 考) 的零点重数均k + 1 ，g ( 孝) 1 5 重庆大学硕士学位论文 4 涉及微分多项式的亚纯函数的正规族 在内全纯，且满足矿( 孝) g ( 0 ) = 翩+ 1 。由引理4 知g ( 善) 为有穷级亚纯函数。 证明g ( 孝) b 与定理l 相同，从略。以下分两种情况讨论： 若g ( 善) 为有理函数，因为g ( # ) 为全纯函数，因此g ( f ) 只能为多项式函数， g ( 善) 的零点重数至少为k + 1 ，那么g ( 毒) 至少为“1 次多项式，这与g 忙( 亏) b 矛盾， 譬僧) 不能为有理函数。 若g ( 4 1 不能为有穷级超越亚纯理函数，与定理1 的讨论相同。 综上所述g ( 亭) 必为常数，矛盾。故孵在内正规，定理证毕。 推论1 至推论3 是相应定理显而易见的结论，证明从略。 1 6 重庆大学硕士学位论文 5 分担值与正规族 5 分担值与正规族 5 1 引言及主要结果 设厂与g 为平面区域g 上两个非常数的亚纯函数，a 为有穷复数，定义 e r ( 口) = z g ：厂( z ) = 4 ) 。 称，与g 以a 为i m 公共值，是指f a 与g a 的零点相同，记作 耳( 4 ) = 疋0 ) ；称厂与g 以a 为c m 公共值， 是指f - a 与g - a 的零点相同，且零点的重数也相同。 我们研究了分担值与正规族。在1 9 9 2 年，s c h w i c k 最先把分担值与正规族联 系起来，他证明了 定理c 啪1 设吼为单位圆盘上的亚纯函数族，a i ，a 2 ，a 3 为三个互为判别的 有穷复数。如果任意的f 9 t ，q ，a 2 ，a 3 为厂和，在上的i m 分担值，则孵在 上正规。 在1 9 9 9 年，徐焱证明了下述定理： 定理d 。7 1 设吼为单位圆盘上的全纯函数族，a 和b 为两个互为判别的有穷 复数。如果任意的厂孵，a 与b 为厂和厂1 在上的i m 分担值，则吼在上正规。 庞学诚和z a l c m a n 证明了如下定理： 定理e 设孵为单位圆盘上的亚纯函数族，a 和b 为两个互为判别的有穷 复数。如果任意的厂孵，a 与b 为厂和厂1 在上的i m 分担值，则吼在上a 正规。 陈怀惠和方明亮证明了如下定理： 定理f 捌设吼是区域d 上的一族亚纯函数，k 是一不小于2 的正整数，a ，b ， c 是有穷复数，a s b ，如果对任意的厂吼，f c 的零点重级至少是k + l ，并且厂 和厂在d 上i m 分担a 与b ，则孵在d 上正规。 自然地，我们会问定理f 中的条件厂一c 的零点重级至少是k + l 是不是最佳 的? 能否改成k ? 在本文中我们回答了这个问题，证明了： 定理4 设吼是区域d 上的一族亚纯函数，k 是一不小于2 的正整数，a ，b ，c 是有穷复数，a b ，如果对任意的厂9 t ，f c 的零点重级至少是k ，并且厂和，耻 在d 上i m 分担a 与b ，则吼在d 上正规。 5 2 引理 引理5 t 3 0 】设厂是开平面c 上一亚纯函数，k 是一正整数( k 2 ) ， 若厂0 , f 0 ，则厂( z ) = p 。”或( z ) = ( 船+ 6 ) 一，这里口，b c ，a o ，厅n 。 引理6 t 3 1 1 设，是一亚纯函数，k 是一正整数，y f j t f 4 ( z ) o ，则对任意的 1 7 重庆大学硕士学位论文 5 分担值与正规族 占 0 ，有 丙( ，门去( ，i - ) + 妻( ，刃+ 订( ，力+ s ( r ，门口 5 3 定理4 的证明 无妨设d = a ，令= z = f c ；9 1 ，显然吼在上正规当且仅当吼l 在上 正规。由己知条件易得： 对任意的石毗。，反d c , f o = 面( 4 ，石”) ，- e ( b c ，f ) = - e ( b ，z ”) 。 假设吼1 在不正规，据引理1 ，我们有石，飒。，乃a * o 乃专o + ，使得 g ，( 考) = 鼻7 ( 2 ，+ p ，考) g ( 考) 按球面距离内闭一致收敛，这里的g ( 掌) 是复平面c 上的非常数亚纯函数满足 g ( 掌) 0 ，并且g ( 善) 的级至多是2 。 我们可以断言g ( 毒) 0 ，g ( 善) a c ，g ( 毒) b - c 。 事实上，假设g ”( 彘) = 0 ，因为g i ) ( 掌) 一所”口专g ( 善) 和g ”( 善) 0 ， 故存在旬，白斗彘使得：g j ( k ) ( 彭) 一乃耻口= oi c z 似( 乃+ p a a = a 。 由e ( a - c ，石) = e ，石似) ，可得z j ( 乃+ 乃白) = a - c 。 因此：g ( 磊) = 1 i i i 】断( 每) = 口一c ； 同样地可得g ( 器) = 6 一c ，有口6 知，矛盾，所以g 竹( d 0 。 现在，我们证明g ( j ) a - c ，g ( 善) b - c 。 假设存在点磊，使得g ( 磊) = 口一c ，又g ( 手) a - c ，根据h u r w i t z 定理，存在 点列善，+ ，善，斗磊，满足 矗f 心f + p i ；1 = a c ， 由致口一c ，鼻) = 面( 口，五”) ，我们有岛z ”( 勺+ 乃乞+ ) = 乃k 令_ ，一0 0 ，我们有g ( 彘) = 0 ，矛盾。 同样地，g ( 孝) b - c 。 至此，我们有g 一一c ) 0 ，【g - ( a c ) 】【”0 ， 据引理5 ，所以g = g “4 + 一c ) 或g = ( 眩+ d ) 1 + 0 一c ) 。 这里c ，d c ，c o ，t n 。 这都是不可能的，事实上，g 一( b - 0 = e “4 + 4 一b 或g 一( 6 一c ) = ( 凹+ d ) 一”+ 4 6 都是有根的，与g ( 善) 6 一c 矛盾。定理证毕。 另法： 根据n e v a n l i n n a 第二基本定理及引理6 ，我们有 r ( ，g ) ( ，g ) + ( r ，；：而1 ) + ( 7 ，；：而1 ) + s ( 7 ，g )g 一一c )g 一婶一c g - 两( r ，g ) + s ( r ，g ) 玄，方) + i 1n ( ，g ) + 订p g ) + 取 曲 重庆大学硕士学位论文 5 分担值与正规族 ( ，g ) + e t ( r ，g ) + s ( ，g ) 疗 取占= 丢，i 1 + 丢) m ，g ) + 跗，g ) 又k 2 ，所以t ( r ，g ) 墨o ( 1 ) s ( r ，g ) 。因此，g 为一常数，矛盾，定理证毕。 1 9 重庆大学硕士学位论文 6 亚纯函数的值分布 6 亚纯函数的值分布 6 1 引言及主要结果 1 9 5 9 年，h a y m a n 。首先讨论了超越亚纯函数f 尸) 的值分布，他证明了对于 以4 ，f 厂4 l 取任一非零有穷复数无穷多次。在文 3 2 中h a y m a n 又猜想对于n = 2 或3 上述结果仍成立。1 9 7 9 年，m u e s 。”解决了n = 3 的情形，对于n = 2 的情形，随 后也被b e r g w e i l e r 和e r e m e n k o ，c h e n 和f a n g 口4 1 以及z a l c m a n 。”解决。 在1 9 9 5 年，b e r g w e i l e r 和e r e m e n k o 证明了下述定理