（计算数学专业论文）逆m矩阵的几个问题和khatrirao积的不等式.pdf

电子科技大学硕士学位论文 摘要 特殊矩阵在矩阵计算中具有十分重要的意义. 它在计算数学、 应用数学、 经济学、 物理学、 生物学等领域都具有十分广泛的应用. 其中重要的有特殊 矩阵z - 矩阵、逆m- 矩阵、三对角矩阵、非负不可约矩阵等本文主要对逆 林矩阵的几个问题进行研究.研究了逆m- 矩阵的判定，得到了几个特殊矩 阵为逆m- 矩阵的条件，以及特殊三对角与逆m 矩阵之间的关系。 进一步讨 论了 矩阵 之间的 特殊运算: 张量积、 h a d a m a r d 积、 k h a t r i - r a o 积和t r a c y - s i n g h 积，得出了关于k h a t r i - r a 。 积的一些不等式. 本文主要包含两部分， 第一部分主要讨论了满足一些逆z - 矩阵和逆寿 矩阵性质的一类特殊矩阵:d 一 型矩阵.在满足这些性质的基础上将d 一 型矩 阵进一步推广，定义了更为广泛的一类矩阵:广义d 一 型矩阵.并研究了该 特殊矩阵在逆d - 矩阵，逆乙 二 矩阵，逆m_ 矩阵和对角占优理论方面的特性 并讨论了对称三对角矩阵与逆m- 矩阵的关系. 第二部分主要研究了h a d a m a r d 积的一些性质， 讨论了多个半正定矩阵 之间的k h a t r i - r a o 积和t r a c y - s i n g h 积不等式及半正定矩阵k h a t r i - r a o 积的 性质，并将其推广到广义矩阵之间的k h a t r i - r a o 积. 关键词逆m- 矩阵， 广义d 一 型矩阵，k h a t r i - r a o 积 电子科技大学硕士学位论文 ab s t r act s p e c i a l ma t r i c e s p l a y i m p o rt a n t r o l e s i n m a t r i x a n a l y s i s a n d m a t r i x c o m p u t a t i o n a n d h a v e w i d e a p p l i c a t i o n s i n c o m p u t a t i o n a l m a t h e m a t i c s , a p p l i e d m a t h e m a t i c s , e c o n o m i c s , p h y s i c s , b i o l o g y a n d e t c . t h e s p e c i a l ma t r i c e s i n c l u d e d i n v e r s e m- m a t r i c e s , i n v e r s e z - m a t r i c e s , t r i d i a g o n a l m a t r i c e s a n d n o n n e g a t i v e i r r e d u c i b l e ma t r i c e s . t h i s t h e s i s p r e s e n t s a s y s t e m a t i c r e s e a r c h o n s o m e t y p e s o f s p e c i a l m a t r i c e s s u c h a s i n v e r s e m- m a t r i c e s . i t i s s h o w n i n t h e s i s t h a t n o n n e g a t i v e ma t r i c e s w h o s e i n v e r s e s a r e m- ma t r i c e s . a n d w e o b t a i n e d s o m e s p e c i a l ma t r i c e s i n r e s e a r c h e s o n i n v e r s e m- ma t r i c e s . a n d w e p r e s e n t s s o m e p r o p e rt i e s o f i n v e r s e m- m a t r i c e s , t r i d i a g o n a l m a t r i c e s . t h i s t h e s i s p r e s e n t s a s y s t e m a t i c r e s e a r c h o n s o m e s p e c i a l a l g o r i t h m o f m a t r i c e s s u c h a s k h a t r i - r a o p r o d u c t s , t r a c y - s i n g h p r o d u c t s , h a d a m a r d p r o d u c t a n d k r o n e c k e r p r o d u c t s . t h e t h e s i s c o n s i s t s o f t w o p a r t s . i n t h e p a r t o n e , w e g e n e r a l i z e a c l a s s o f t y p e - d m a t r i c e s w h i c h h a s s o m e p r o p e rt i e s o f i n v e r s e z - m a t r i c e s , i n v e r s e l , - m a t r i c e s . a n d w e d e f i n e d a n e w c l a s s o f g e n e r a l i z e d t y p e - d m a t r i c e s t h a t h a s a n a l o g o u s p r o p e r t i e s . a c l a s s o f g e n e r a l i z e d t y p e - d m a t r i c e s i s i n v e s t i g a t e d a n d s o m e p r o p e r t i e s o f i n v e r s e z - m a t r i c e s , i n v e r s e l : - m a t r i c e s , i n v e r s e m- m a t r i c e s a n d d i a g o n a l l y d o m i n a n t m a t r i c e s a r e p r e s e n t e d . a n d w e s t u d y o f s o m e p r o p e rt i e s o f i n v e r s e m- m a t r i c e s , t r i d i a g o n a l m a t r i c e s i n t h e p a r t t w o , s e v e r a l i n e q u a l i t i e s i n v o l v i n g k h a t r i - r a o a n d t r a c y - s i n g h p r o d u c t s o f p o s i t i v e s e m i d e f i n i t e m a t r i c e s a r e i n v e s t i g a t e d . a f u r t h e r s t u d y o f t h e k h a t r i - r a o p r o d u c t s f o r p o s i t i v e s e m i - d e f i n i t e m a t r i c e i s m a d e . s o m e i n e q u a l i t i e s i n v o l v i n g t h e k h a t r i - r a o p r o d u c t s , t r a c y - s i n g h p r o d u c t , h a d a m a r d p r o d u c t s a n d k r o n e c k e r p r o d u c t s o f s e v e r a l ma t r i c e s a r e p r e s e n t e d . a n d s o m e i n e q u a l i t i e s i n v o l v i n g t h e k h a t r i - r a o , h a d a m a r d a n d k r o n e c k e r p r o d u c t s a r e p r e s e n t e d . k a y w o r d s i n v e r s e m- m a t r i c e s , g e n e r a l i z e d t y p e - d m a t r i c e s , k h a t r i - r a o p r o d u c t s i i i 电子科技大学硕士学位论文 主要的符号表 = 1 , 2 ， 二 。 c ( r ) : c 0 ( r n ) : 2 1 . 1 1 : a 7 : d e t 月: 2 ( a ) : p ( a ) : a20: a0: d : a ( i i i ) a a ( i i j ) e 7 a ; 自 然数集合 复 ( 实)数集合 n 维复 ( 实)向量集合 阿卜m( r ) : o f m a x a .，, : k n i ) ) ， i s ， 特 别 ， 如 果。 = 1 时 ， 3 ) 表 示 为a , 0 . 他们证明了严格超度量矩阵是对称的非奇 m- 矩阵且为严格( 行和列) 对 角占优的. 1 9 9 4年 n a b b e n和 v a r g e 0 6， 用线形 代数的常用 工具给出了 简短的 证明 1 9 9 5 年r . n a b b e n 和r . s . v a r g a 12 2 1 ， 和j .j . m c d o n a l d e t a l 0 9 1 把对称去掉， 将 其推广为广义超度量矩阵.即，a c- r ” 是广义超度量矩阵，如果 ( 1 ) a 有非负元; m a x f a i.k ; a k ,小 ( 4 )对 任意i e n ， 以 及 对 任意k # i 有a , _ m a x a ;.k 第3页 共3 2 页 电子科技大学硕士学位论文 当 。 = 1 时 ， ( 4 ) 变 为a , 0 . 若( 4 ) 中 的 大 于 等 于 换 成 大 于， 则 矩 阵 a 就是严格广义超度量矩阵 他们用图论中的加权图的一些性质给以证明. 用常规的方法来研究逆 m- 矩阵是比较困难的 因此， 除了通过研究特 殊矩阵以外， 很多人试图引入图论的方法来研究逆 m- 矩阵. 在 1 9 6 5年， m a y b e e , n o r m a n , c a r t w r i g h t 为了 构造图的结构模型提出了 唯一路有向 图 ; 1 9 8 8年， m a y b e e 对此有向图进行了 进一步的 研究， 指出唯一路有向图 是基 础无向图是树是森林的有向图的推广， 并强调唯一路可能成为组合矩阵分 析的一个新的研究方向， 2 . 1 逆z - 矩阵与逆m 矩阵性质 记z n . = a = ( a , ) e r l a , 0 , 1 p ( b ) , 则称为a为非奇异的m- 矩阵 ， 简称a为m一 矩阵; 记为a e k - ， 若: )p ( b ) ， 且 a为奇异， 则称a为准m一 矩阵. 定义 2 . 1 . 3 非奇异的非负矩阵 a，若a - e z 则称a 为逆m- 矩阵，记为 ae 尤_ , 定义 2 . 1 . 4令a e r - 为几矩阵 ( s = 0 , 1 , , n ) ， 如果a可以 表示为 a = ti 一 b , b 。 ， 且 p s ( b ) - t p s + , ( b ) , 其 中 p . ( b ) := r n a x p ( 扔: b 为 b 7 s 阶 主 子 阵 ，且定义 p o ( b ) = 和 r _ j b ) = 。. 其中参数t 和矩阵b 是不相同， 但是对于任意一个 z - 矩阵都属于一类 l , ( s = 0 , 1 , . , n ) ， 每一类l , 矩阵 都是非空的， 它将 z - 矩阵分成n + l 类 对于 具有 相同 矩阵b的2-矩阵 ， 由 于 p , ( b ) p , ( b ) - . . . - a _ , ， 一 al 由这类特殊的对称矩阵， 我们自 然联想到非对称情况， 我们来看类似的 非对称的情况， 矩阵如下: 第5页 共3 2 页 电子科技大学硕士学位论文 、一户/ al几巧气 a几气马 al气.气几 我们定义: 定义2 . 1 . 7 a e r ， 是广义d 一 型矩阵， 如果 i j 其中 a a - , . . . a , a . a ; - 二a 且a , -:i a , , ( i = 1 , 2 ， 一 ， n ) . 注 显然a , = a , ( i = 1 , 2 , . . . n ) 时， 广义d 一 型矩阵就是d 一 型矩阵. 引理2 . 1 . 3 若a为广义d 一 型矩阵， 则 d e t a = a , fl( a , 一 a ;_ , ) . 证明 如果a , = 0 ， 则d e t ( a ) = 0 . 显 然结 论成立.如果a , x 0 ， 对矩阵a 的 阶 数使用数学归纳法.k = 1 是平凡的;当k = 2 时，d e t a = a , ( a , - a , ) ，结论成立。 假 设k = 。 时 结 论 成 立 ， 则k 一 n + l 时 ， 用 第2 行 减 去 第1 行 元 素 的%倍 ， 并利用归纳假设可得 d e t a=( - 1 ) ( 1+ 2 ) ( a , 一 a 2 ) d e t ( . 4 ( i i j ) ) a , 1 1 a 2 (a , 一 a ,- ,) 故引理结论成立，证毕. 对于广义d - 型矩阵，有如下主要结果: 定理2 . 1 . 1若a 是 广义d 一 型 矩阵 ， 则当a , # 0 时， a - ， 的 所有元素 和为万 二 证明 有引 理2 . 1 .3 知a , $ 0 时 ， a可 逆 . 不 妨 令a为( n + 1) x ( n + 1) 阶方阵 ， 作如下分块: ， 一 ; a )a22 其中a = a ,e , ,6 = a ,e a n d a 22 e r . 由 a ; )a: ( 1 = 1 ， 2 ， ， 。 ) ， 气a _ , a t ， 和代代 _ ， 可 ， 可知a , - a ,e e 仍为广义d 一 型矩阵. 第6页 共 3 2 页 电子科技大学硕士学位论文 又a 7 一 a l 0， 则a 2 ， 一 a ,e e t可 逆 a e t ( a 22 一 。 .e e t )一 ，e a , ，因此，我们有 - e t ( a 2 ， 一 。 e e t ) 一 ， a ( a 22 一 。 ie e t ) 一 ，。 ( 1 ) ( a 2， 一 a ,e e t ) 一 ， 了一1.、 - .口 一 a 故由数学归纳法我们可得a一 ， 的元素和为 a e t ( 一 可0 , a为 逆z - 矩阵， 且a - ， 为 ( 行和列 ) 对角占 优的. 证明 对矩阵a的阶数k 使用归纳法当k = 2 时， 有 a- ， 二 下 a 2 a , l a 2 一a , ) - a , 易见a- ， 为对角占优的z - 矩阵. 由 引 理2 . 1 .3 可知a - a ;e e t 仍为 广义 优 ( 行和列都对角占优)的z - 矩阵， - e 7 ( a z z - - a ( a 22 假设k = n 时结论成立， 则当k = n + 1 时， d - 型矩阵，由 假设得( a , , - a ,e e t ) - ， 对角占 因此有 a ;e e ) 一 ， 毛。 ， a :e e ta , e e ) 一 ，e - 0 a , 由 ( i ) 式得a - ， 为z - 矩阵. a - ， 的第i ( i - 2 ) 行的行和r ; 为 a 一 ， ， k ; =一 一 ( ( am 一a , a , 一 ( 1 - a )( a zz - e e t ) 一 ， e ) ,- , + ( ( a . 一 a ,e e t ) 一 ， 4 - 1 a ,e e t ) 一 ， e ) ,- , )0 a , 同理可得第i ( i - 2 ) 列的 列和为。 ， 行元素都为a 。 可得a 一 ， 的 第一列 列 和风 当l = 1 时，由 a a - = i 以及a的第一 由引理 2 得 e 7 (a , 一 。 ,e e t ) e = 二了 a 2 一a , 第7页 共3 2 页 电子科技大学硕士学位论文 以及 e t ( 2 3 一 a ,e e ) 一 ， e 一 e 7 ( 2 2 一 a , e e t ) 一 ， e 可一al 1 ， ， a . . ， ， ，t - 1 =一 一k 1 一一 ) e k a 2 x 一a , e e) e a , a , 一 生 一 (， 一 a ; ) a , a ,a , 一 a = 一 三 三 0 a , ( a = 一 a ,) 由归纳法知a一 ， e z，即矩阵a 为逆z - 矩阵，且a一 ， 是对角占优得，证毕 定理 2 . 1 . 2不仅保证了a为逆 z - 矩阵性质，而且保证了a一 ， 具有行和列 都对角占优得优良 性质. 推论 2 . 1 . 1若矩阵a e r “ 为 广义d 一 型 矩阵， 则当 可0 或a , 可 0 时， a为逆m 矩阵. 证 由 定理2 . 1 .2 知a - 1 e z ，当可0 或a , 可妻。 时， 有a - 0 . 结 论 成立，证毕 推论2 . 1 .2 若 矩阵a = ( a , ) e r ， 且 i at，aii，aj， 11气es.es - 几 其中 a a . - , a , ， a n 试 _ ， 一可 且 a u a , a ( o r a , a , a ; ) ( i = 1 , 2 ， 二， n ) . 证明 令c = a 十 d , 、一 al几气气 al几几 马气.几 a 2 a 3 a.al.al，al zlles 叶= 其 且d 为 对角矩阵 ， 第i 个对角元的 值为a ,; - a , . 因为 a ,., a , a ( o r a , a ll a:)(i =1 , 2 ， 二 ， n ) . 所以de d 十 . 第8页 共3 2 页 电子科技大学硕士学位论文 又因为 aa n _ , a , , a n a n - , a j ( i =1 , 2 , ， 二 ， 心 因此有a为广义d 一 型矩阵. 根据引理2 . 1 . 1 可得 a = c 十 de k - . 定理2 . 1 . 3 若矩阵a为广义d 一 型矩阵， 且a i可-0 , a , # 0 , 则a为逆 z - 矩阵. 证明对矩阵a 得阶数k 使用数学归纳法. 当k = 2 时，有 i =1 , 2 , -, n , a 一井 二 a x 川 a , l a x 一a , ) l - a i a , ) 易见a - e z, 假设k = ， 时 成立， 则k = n + 1 时， 由己 知a ,. , a , 和a ,. , a , ( i = 1 , 2 , . . , n )得 4 2 一 a ,e e t 0 ， 即凡 z 一 可 e e 丁 为 广义d 一 型矩阵， 又因 为 其最小元素城一 叫0 . 故凡 z - a ,e e 满 足定理1 的 条件， 所以 ( 毛一 a ;e e t ) 一 ， 。 z 且为对角占优的矩阵. 从而 - e 7 ( 人 一 三 ( 一 a ,e e r ) 一 ， (0 一 a ,e e ) 一 e 。 1 + e 一 a ,e e t )一 。 0 a , 由( 1 ) 式知k = n + 1 时a - e z ， 证毕 引 理2 . 1 . 4 1 设c e r ” 是 逆z - 矩阵 . 那么c 的 逆 矩阵 属于l : 一 矩阵 当 且仅当它满足( 1 ) 或 2 ) 1 ) ( 1 ) d e t c0 , ( 2 ) c的所有大于等于n - s 阶的主子式非负， ( 3 ) 存在一个c的n 一 s - 1 阶主子式， 其值为负数 第9页 共3 2 页 电 子科技大学硕士学位论文 类似以上的结果， 我们可以得出广义 d 一 型矩阵与逆 z - 型矩阵的相关性 质， 具体如下: 定理 2 . 1 . 4设矩 阵 a e r ,” 为广义 d 一 型矩阵，且 a ; 司)0, a ; s 0 个数， , ( i = 1 , 2 ， 一 ， n ) . 令: 为 参数 a a - , . . . a , ( i = 1 , 2 , . . . ， n ) 中非 正数的 则a为逆l , - ， 一 矩阵. 特别令l _ , :=l 证明 如果: = 0 ， 由推论2 . 1 . 1 知 a是逆m- 矩阵. 如果s - l ， 由引理2 . 1 .3 知d e t a ulvlulv:ulv，:ulvn c= 也就是 u +v i 气i =、 l o f v ; 第1 0 页 共3 2 页 电子科技大学硕士学位论文 2阵阮1国1.卜以 一- u 以及 、lesesesesseleeweeses忿，j 咋咋vn帐 向阮盯冲卜以 一一 v 则有 c=u - v 定理2 . 2 . 1 如果对称矩阵a e r. 满足a = u - v ， 其中u , v 为( 1 ) 式构成， 则 d e t a 一 (- 1)二 ，u ,v r - i， (- i i, ， 一 u i, iv i) 证明构造矩阵 v 2 u , 叭 u 2 玛 u 2 v 3 u 2 气 v 3 u , v 3 u 3 v 3 u 3 v 3 u 3 w v u , v , u 2 v u 3 v n uv vlulvl叭ulv3:叭 自尸阳百冈厂口 一- a 用 第一行乘 - u i 加到的i t l 行 整理即 可得 d e t a = ( - 1 )二 ，u ,v n 笼 ， ( u i v, 定理 2 . 2 . 2如果对称矩阵a e r 二 ， n ) 同号且不为0和 满足a二 一 u i, , v i ) . u - v ， 其中u , v 为( 1 ) 式构成 且有u i , v i ( i = 1 , 2 , u i v i, : 一 u t+ tv r 0 ( i = 1 , 2 ， 二 、 n 一 ) 则a为 逆m 矩阵且a - ， 为对称三对角矩阵. 证明 用定理 1 由 定理1 及u , , v , ( i = 1 , 2 , . . ., n ) 同 号且不为。 可得d e t a # 。 且a 0 . 的证明方法类似的可以求出月的伴随矩 月 = ( a u ) , 其中 第1 1 页 共3 2 页 电子科技大学硕士学位论文 ( 一 1) 二 ， u l: fl n-,u ,v n 1- l l-r k= ,k s i (u k v k+ ， 一 、 + ,v k ) i i 一 i i= 1 ! i 一 j 卜1 由a - = 为逆 m- 矩阵 生 易知a - ， 为z - 矩阵且为对称的三对角矩阵 al ， 又由a 0 可知a 一- 马才 上面研究了对称矩阵为逆m- 矩阵的条件. 那么类似的， 对于非对称的 情况是否也有类似的结果昵? 对于非对称的 三对角矩阵， 存在一个类似于1 9 3 7 年g a n t m a t c h e r 和 k r e i n给出的结 果( 参 4 0 ) ， 逆矩阵c = a - ， 可以 有四 个有限的 序列 u ; ) , v ; , x , , y i 决定， 它们满足u , v , = x , y , ( i , j e ) ， 其中 u , v , x , 乃 x , y 3 x l y n u l 性 u 2 v 2 x 2 乃 u , v 3 u 2 朽 u 3 v 3 x 3 凡 u l 从 : u 2 v u 3 v u n v n 戈.j多 毛 2.1.一.、 一 c 也就是 对于非对称矩阵， 其逆与上面所引用的【 3 9 中的表示形式有类似的表达 式， 若令 、，十j一j. ul热叭气 肠xlxlxl /!lwewe.es.l、 - u 以及 、!llj 咋咋vn气 朽几巧 性性乃 vl乃乃; y . y y . 2口十一、 一- v 则 c =u - v 第1 2 页 共3 2 页 电子科技大学硕士学位论文 但是对于非对称的三对角矩阵， 由于不是其不是充要条件， 不能用类似 的方法来讨论其与逆 m- 矩阵的关系. 2 . 3逆m 矩阵的h a r d m a d 积 h a d m a r d 积出现在广泛而多样的方方面面之中， 诸如周期函数卷积的三 角矩阵， 积分方程核的积， 概率论中的特征函数， 组合论中的结合方案研究， 算子矩阵的h a r d m a d 积等 定 义2 .3 . 1 设a 一 ( a , ) c c , b = 鸣 ) c c . 用a o b 表示a和b的 对 应 元 素相乘而成的。x n 矩阵: ao b= a i2 a 2 a 2 2 h 2 2 c. . 、一2 月.口刀 a比礼 入习乓二 al几 71 氏, a 2 b , 2 a o b 称为a和b的h a d a m a r d 积， 也称为s c h u r 积. h a r d m a d 积的可相乘条件只有两个矩阵有相同的行数和相同的列数. 其 中重要的性质有 s c h u r 积定理1 4 5 1 , 1 )若a , b e c 是半正定矩阵， 则a o b 也是半正定矩阵. 2 )若b是正定矩阵，a 是半正定矩阵且没有零对角元素， 则a o b 也是 正定矩阵. 3 )若a , b e c ” 是正定矩阵， 则a o b 也是正定矩阵. h a d a m a r d 积在m- 矩阵类和逆m - 矩阵类中有着重要的意义.由s c h u r 积 定理的结果引导我们去研究逆 m - 矩阵类在h a d a m a r d积的封闭性. 在 1 9 9 1 年r . h o r n和c . r . j o h n s o n 14 4 1 指出m- 矩阵类和逆m- 矩阵类在h a d a m a r d 积 下是m - 矩阵类， 同时给出了在h a d a m a r d 积下两类矩阵类的性质。 其中， 著 名的s c h u r 定理指出:当a , b 是半正定矩阵， 则a - b 是半正定矩阵，即半正 定矩阵在 h a d a ma r d 积下是封闭的。从而导致了对逆 m- 矩阵类在h a d a m a r d 积下封闭性的研究。c . r . j o h n s o n 2 7 1 指出了逆 m - 矩阵为二阶和三阶时在 h a d a m a r d 积下是封闭的，并给出了两个6 阶逆m- 矩阵在h a d a m a r d 积下是 不封闭的，表明了一般逆m一 矩阵类在h a d a m a r d 积下是不封闭的。更进一 步，在 2 0 0 0 年我国著名的矩阵理论专家王伯英等人证明了:对于一切阶数 第1 3 页 共3 2 页 电子科技大学硕士学位论文 n 3 的逆 m- 矩阵的 h a d a m a r d积是不封闭的。在此基础上，在 1 9 9 8年 m. n e u m a n n 2 8 ) 提出一个猜想:设矩阵a是逆m- 矩阵，则a - a是逆m- 矩 阵.同时给出了一些特殊逆m- 矩阵在 h a d a m a r d 积下是封闭的.最近著名 的矩阵论专家c . r . j o h n s o n 等给出m一 矩阵和逆m- 矩阵许多优美的性质 7 ,2 ， 一 ， 9 ,4 4 和一般的逆m - 矩阵类在h a d a m a r d 积下是不封闭的结论 2 8 . 在2 0 0 0 年王伯英等人也提出了一个类似的猜想:如果 a是逆 m- 矩阵，则 a a = ( 可 ) , r ? 1 也 是 逆m - 矩阵 现 在对 逆m一 矩阵 类 在h a d a m a r d 积 下的 封 闭性的研究主要是一些特殊矩阵( 如三对角矩阵等) 以及对一般逆m一 矩阵 a = ( a , ) , _ ， 来 研 究a - a , a - 的 封 闭 性 ( 其 中 a . = ( a ;j ) _) 逆m 一 矩 阵 a . 对a - a ， 在 h a d a m a r d积下是否是封闭的也是一个很有意义的研究课题，但 是a - a 在一般情况下并不满足h a d a m a r d 积的 封闭 性. 下面给出一个反例: 例 2 . 3 . 1 令 、!leseseseseseseseseses少产 34316 1.1，气j，、 ，一4，4 6j，一11内，1 了lse连esesesll、 - a 求得a的逆c为 、lesesesesesselleslwej -l001 0月20 qz刁。 c二a - , 9169256 ，ld.0了q 416416 0了4，iq /j!一、 - b二a- a b - 1 = 一 止一 2 3 9 3 6 0 水 4 0 0 - 7 0 4 0 - 6 4 0 4 0 0 - 7 0 4 0 - 7 0 4 0 - 7 0 4- 6 4 0 - 6 4 0 - 7 0 4 - 6 4 0 * 由于非负矩阵a的逆矩阵为 z - 矩阵， 所以a为逆 m- 矩阵，但由于 b - = ( a o a ) - ， 中 ( 1 , 3 ) , ( 3 , 1 ) 元素为正， 它不是 z - 矩阵 所以非负矩阵a - a 不 第1 4 页 共3 2 页