（运筹学与控制论专业论文）基于习惯形成偏好的最优投资消费模型研究.pdf

硕士学位论文摘要 摘要 在金融数学中，一个最基本的问题就是最优投资消费问题。它的 研究一直受到普遍的关注。 本文主要研究基于习惯形成偏好的最优投资消费模型。首先，我 们利用直接构造的方法建立起在确定的投资区间【o ，丁】上的最优财富 增长模型，并得到了其最优投资决策；其次，考虑到了市场因素和其 它因素的多变性，投资者的投资时间范围很难在制定初始投资决策时 被确定，因此我们进一步地考虑了在有限金融时间区间【o ，丁】上不确定 投资时间范围下的最优投资消费问题，使之符合于金融实践，并得出 投资者在确定投资时间范围下和不确定投资时间范围下具有一致的 最优投资策略；接着，研究了将金融衍生工具作为投资工具的最优投 资消费问题，进一步丰富了金融理论和金融实践的研究成果；另外， 研究了基于习惯形成偏好的最优投资消费问题，并与传统效用函数下 的最优投资消费问题进行了对比分析，大大丰富了最优投资消费问题 的研究成果；最后，基于习惯形成偏好研究了雇佣劳动者在不确定寿 命下的最优消费、人寿保险、风险投资规则问题。对于一般的效用函 数，推导出了雇佣劳动者的最优可行策略对；对于瞬时消费效用为幂 线性型、遗产和终端效用函数为c r r a 类型，显式地得到了最优消 费、人寿保险及风险投资规则。 关键词最优投资消费，习惯形成，随机控制，期权 硕士学位论文a b s t r a c t a s t u d yo n t h eo p t i m a li n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o n m o d e lba s e do nh a b i tf o r m a t i o ni np r e f e r e n c e s a bs t r a c t a so n eo ft h em o s tf u n d a m e n t a lp r o b l e m so ff i n a n c i a lm a t h e m a t i c s ， t h es t u d yo f o p t i m a li n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o nh a sa l w a y sb e e na c o n c e m i n gp r o b l e m i nt h i sp a p e li tw a so u rm a i nw o r kt os t u d yt h eo p t i m a li n v e s t m e n t a n dc o n s u m p t i o nm o d e lb a s e do nh a b i tf o r m a t i o n a tf i r s t ，t h eg r o w t h o p t i m a lw e a l t hm o d e lw a se s t a b l i s h e db yd i r e c tc o n s t r u c t i o nm e t h o di n f i x e dt i m eh o r i z o n o ，丁】，a n dt h eo p t i m a li n v e s t m e n ts t r a t e g yw a sa l s o o b t a i n e d t h e n ，c o n s i d e r i n gt h ev a r i a b i l i t yo fm a r k e tf a c t o ra n dt h e o t h e rf a c t o r s ，i n v e s t o r sc o u l dn o tf i xt h e i rt i m eh o r i z o n sw h e nt h e i n v e s t m e n tc h o i c e sw e r em a d e ，s ow ef u r t h e rc o n s i d e r e dt h eo p t i m a l i n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o np r o b l e mt of i tt h ef i n a n c ep r a c t i c ew h e n t i m eh o r i z o nw a su n c e r t a i ni nf i n i t ef i n a n c i a lt i m ei n t e r v a l o ，刀，a n dt h e s a m eo p t i m a li n v e s t m e n ts t r a t e g yw a so b t a i n e dw h e nt i m eh o r i z o nw a s f i x e do ru n c e r t a i n w h a t s m o r e ，t h eo p t i m a l i n v e s t m e n ta n d c o n s u m p t i o np r o b l e mi n c l u d i n gf i n a n c i a l d e r i v a t i v e sa si n v e s t m e n t t o o l sw a sr e s e a r c h e d ，a n ds o m en e wt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a lr e s u l t so f f i n a n c ew e r ec o n c l u d e d c o n t r a s tt ot h et r a d i t i o n a lo p t i m a li n v e s t m e n t a n dc o n s u m p t i o np r o b l e m ，w ei n t r o d u c e dt h eo p t i m a li n v e s t m e n ta n d c o n s u m p t i o np r o b l e mb a s e do nh a b i tf o r m a t i o n ，w h i c hg r e a t l ye n r i c h e d i l 硕士学位论文 a b s t r a c t t h er e s e a r c hr e s u l t s a tl a s t ，w es t u d i e do p t i m a lc o n s u m p t i o n 、l i f e i n s u r a n c ea n dr i s ki n v e s t m e n tr u l e sf o raw a g ee a r n e rw h o s el i f e - t i m e w a sr a n d o mb a s e do nh a b i tf o r m a t i o ni np r e f e r e n c e s ，a n di n f e r r e dt h e o p t i m a la d m i s s i b l es t r a t e g yp a i rf o ru s u a lu t i l i t y f u n c t i o n f o rt h e i n s t a n t a n e o u s u t i l i t y f u n c t i o nb e i n gp o w e r - l i n e a ra n dt h e s p e c i f i c c r r ac a s ef o rl e g a c ya n dt e r m i n a lu t i l i t y , w eg o tt h ee x p l i c i tr u l e so f o p t i m a lc o n s u m p t i o na n dl i f ei n s u r a n c ea n d r i s ki n v e s t m e n t k e yw o r d s o p t i m a li n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o n ，h a b i tf o r m a t i o n ， s t o c h a s t i cc o n t r o l ，o p t i o n i l l 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名：墨至星日期：碰年卫月丛日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：丕叁复导师签名糊丞日期：2 竺绛丛月崖日作者签名：丕叁复导师签名缒! 登丛日期：2 竺缉卫月趔日 硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 本章主要介绍金融数学和最优投资消费问题的基础知识。首先介绍金融数学 的发展历史、研究现状；接着阐述最优投资消费问题研究的发展情况；最后将列 出本文的研究内容和章节安排。 1 1 金融数学的简介 金融数学是运用数学工具来定量研究金融问题的一门学科，是当今数学应用 的最重要的领域之一。其主要内容有：市场的描述以及一些基本性质的讨论、资 产的定价、投资消费效益的最优化等等。 b a c h e l i e r ( 1 9 9 0 ) i l l 首先提出用布朗运动来描述资产价格的波动和进行衍 生资产定价。尽管他是第一个对布朗运动进行了相关的刻画，然而，他的工作没有 引起金融学界的重视达5 0 多年。2 0 世纪5 0 年代初，s a m u e l s o n 通过统计学家 s a v a g e 重新发现了b a c h e l i e r 的工作，这标志了现代金融学的开始，奠基人物也 都先后获得过诺贝尔经济学奖。现代金融学随后经历了两次主要的革命，第一次 是在1 9 5 2 年，m a r k o v w i t z l 2 1 发表了他的博士论文，提出了“资产组合选择的均值 方差理论 ( m e a n v a r i a n c et h e o r y o fp o r t f o l i os e l e c t i o n ) ，稍 后，s h a r p ( 1 9 6 4 ) 1 3 1 和l i n t n e r ( 1 9 6 5 ) 1 4 1 进一步拓展了m a r k o v w i t z 的工作，提出了 “资本资产定价模型 ( c a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e l ，简称c a p m ) 。s a m u e l s o n ( 1 9 6 5 ) 1 5 1 建议用指数布朗运动来描述股票价格，从而更进一步地加快了金融市场 理论的发展。数学金融学的第二次革命发生在1 9 7 3 年，那年，b l a c k 和 s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 1 6 1 发表了著名的b l a c k s c h o l e s 公式，给出了欧式期权定价的显 式表达式。在指数布朗模型中，他们构造了一个复制策略并给出了金融衍生资产 的一个“公平”价格。b l a c k 和s c h o l e s 的思想得到了m e r t o n 7 1 8 1 ，1 9 1 进一步的发 展，其核心结果为：如果衍生资产的收益能被一个动态的、自融资的的套期保值策 略复制，那么此动态的、自融资的的套期保值策略的初始财富就为期权的无套利 价格。h a r r i s o n 和k r e p s ( 1 9 7 9 ) ( 1 0 j 、h a r r i s o n 和p 1 i s k a ( 1 9 8 1 ) i l l 进一步将上 述思想发展到数学理论中去，他们强调了概率论和鞅的重要性，其核心结论为：期 权的价格可以用一个期望给出，此期望不是关于现实的原本测度，而是关于风险 中性测度。在此测度下，标的资产的贴现价格过程是一个鞅。由于美式看跌期权 硕士学位论文第一章绪论 无法用b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式进行精确定价，c o x 、r o s s 和 r u b i n s t e i n ( 1 9 7 9 ) 1 1 2 1 提出了二叉树期权定价模型。这些研究成果将金融学带进 了一个全新的理论发展阶段。而m a r k o w i t z 资产组合理论和b l a c k 和s c h o l e s 期 权定价理论都是建立在一定的假设基础上，本身存在着局限性，而且伴随着金融 市场的不断发展，传统的金融理论已不能满足新金融市场的要求，因此最优投资 消费问题和期权定价的进一步研究成为当前金融研究的热点问题。 1 2 最优投资消费问题研究的发展情况 最优投资消费问题是金融数学中的一个最基本的问题。这个问题的研究起源 于m e r t o n l l 3 1 的研究，投资者的资产在消费和投资之间进行分配，期望在时间区间 【o ，j r t 】或【o ，o d ) 上的消费效用或终止财富效用最大化。最优的投资消费问题的研究 在当今经济和金融活动中有着重要的意义。随着金融市场的不断发展，涌现出了 各种各样的金融投资产品及新的投资需求，同时伴随着消费效用理论的发展，我 们将不断地面临许多新的最优投资消费问题。经过几十年的发展，最优投资消费 问题在以下几方面取得了丰硕的成果： 1 ) k a r a t z a s 【1 4 】将m e r t o n 模型系数为常数推广为是时间的函数。 2 ) 由常数利率改进为随机利率的研究。在m e r t o n 研究的最优投资组合模型，他 假定无风险证券价格的回报率为常数。后来有部分学者在这方面进行了推广， 例如k o r n l l 5 j 在其模型中假定利率过程满足t 0 过程，引入随机利率。 3 ) 具有随机收入的最优投资消费问题的研究。m e r t o n 只考虑了投资者拥有确定 性的工资情况，并没有考虑投资者拥有随机工资收入时的最优投资消费问题。 d u f f i e 和z a r i p h o p o u l o u l l 6 1 研究了在无限时间区间存在随机收入的最优投资 消费问题，k o o ，m u n k t 1 等也在这一方面做了进一步的研究工作。 4 ) 借贷利率不同的投资消费问题的研究。在m e r t o n 研究的最优投资组合模型 中，他实际上是假定了借贷利率是相同的，这个假设太理想化了。f l e m i n g 和z a r i p h o p o u l o u1 1 s 1 以及w e n s h e nx u t l 9 】研究了借贷利率不同时的最优投资消 费问题。f l e m i n g 和z a r i p h o p o u l o u 除了考虑借贷利率不同，还考虑了存在 卖空限制时的情形。 5 ) 存在着投资约束的投资消费问题的研究。在m e r t o n 研究的最优投资组合模型 中，没有考虑投资约束的情况，只是在完备的会融市场上来考虑投资消费问 题。x u 、k a r a t z a s l 2 0 l 、s h r e v e1 2 1 1 等等都在这一方面做了一系列的工作。 6 ) 考虑交易费用影响的投资消费问题的研究。在m e r t o n 研究的最优投资组合模 型中，没有考虑交易费用。当引入交易费用时，交易费用对最优投资消费控 2 硕士学位论文第一章绪论 制的值函数有着非常大的影响。x u 、s h r e v e 、c v i t a n i c 、j o u i n i 等做了很多 的研究工作。 7 ) 考虑习惯性效用的投资消费问题的研究。在m e r t o n 和其他作者研究的投资消 费问题中都是假定投资者拥有时间可加性的效用函数，然而，许多经济学家 认为投资者的偏好可能不是即时分离的，投资者在一给定时刻消费率的效用 不仅依赖于当前消费的消费量，还依赖于过去的消费。m a r s h a l l1 2 2 1 、j i n1 2 3 1 、 m u n k 1 7 l 等在这一方面做了许多重要的工作。 8 ) 考虑保险因素投资消费问题的研究。在m e r t o n 和其他作者研究的投资消费问 题中没有考虑到保险因素，f i s c h e r1 2 4 1 、r i c h a r d f 2 5 1 、c a m p b e l l1 2 6 1 等研究了 考虑保险因素下的最优金融决策问题。 最优投资消费问题是一个定量研究问题。从本质上讲，这是一类最优控制问 题，因此，许多的最优控制理论中的工具可以成功地运用到最优投资消费问题的 研究。在离散市场模型下，对于单时段的最优投资消费问题常采用l a g r a n g e 乘 子法等方法，而对于多时段情形下可以利用b e l l m a n 的动态规划等方法加以解 决；在连续市场模型下，鞅方法和随机控制方法是两个主要的方法，鞅方法是一 个静态最优的方法且限于完备市场情形。因此对于连续市场上的最优投资消费问 题往往更多地采用随机控制方法。对这一类问题经典的思路就是通过运用动态规 划原理和随机分析的方法，解决对应的最优控制问题，最优策略可通过对应的 h j b 方程得到。然而，对于一般的效用函数，我们往往很难求出相应问题的显式 解，需要借助于数值方法。常见的近似随机控制问题解的基本方法：( 1 ) m d p ( m a r k o vd e c i s i o np r o b l e m ) 方法；( 2 ) p e r t u r b a t i o nt e c h n i q u e ；( 3 ) m o n t ec a r l o 方 法和随机近似。此外凸对偶方法也是研究最优投资消费问题的重要工具。再者消 费效用函数理论的发展也进一步拓展了最优投资消费问题的研究，m a r s h a l l l 2 2 1 首先提出了习惯效用的概念，紧接着很多学者在习惯效用下去研究了一些最优投 资消费问题，并将习惯效用结合到具体的模型中解释了一些经济行为。 1 3 本文的主要工作及研究意义 我们的研究是先在传统效用函数基础上进一步丰富最优投资消费问题的研究 成果，然后基于习惯形成偏好考虑投资者的最优金融决策。以往的研究都是在传 统的效用函数下去研究投资者的消费决策都是假定投资者拥有可加时间分离 ( a d d ! t i v e l yt ! m e s e p a r a b l e ) 的效用函数，即e1 4p 叫“( c ，) d r ，u 为c r r a ( 常数 0 1 0 相对风险厌恶) 型函数。然而，许多经济学家认为投资者的偏好可能不是即时分 离的( i n t e r t e m p o r a l l ys e p a r a b l e ) ，投资者在某一给定时刻的消费率的效用不 3 硕士学位论文第一章绪论 仅依赖当前的消费量而且还可能依赖过去的消费。因此在原来的模型中，用 甜( q ，屈) 来代替z f ( q ) ，其中忽是过去消费率的加权平均，代表过去生活水平的测 度或者过去消费的习惯水平，因为过去高的生活水平导致现在对高消费水平的需 求。习惯形成偏好最早由m a r s h a l l 提出，后来许多学者结合习惯形成偏好去研究 投资消费问题。在国外的主要研究现状如下：s u n d a r e s a n ( 1 9 8 9 ) 2 7 1 、 c o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 0 ) 1 2 s 1 和i n g e r s o l l ( 1 9 9 2 ) 2 9 1 在投资机会集是常数的情况下 得到了无限时间区间上的最优消费和投资组合策略；d e t e m p l e ( 1 9 9 2 ) 1 3 0 1 和 m u n k ( 2 0 0 2 ) d t 对i j f 面考虑的模型作了进一步的推广，他们研究了投资集为随机 投资集( s t o c h a s t i ci n v e s t m e n to p p o r t u n i t i e s ) 时，投资者有习惯形成偏好时 的最优消费投资策略；y a n g ( 2 0 0 0 ) 1 3 1 1 又引入了随机收入，在此基础上研究投资 者的最优消费、投资问题；a y l i ns e c k i n ( 2 0 0 1 ) 1 3 2 在工资的不确定和习惯形成 消费效用下建立跨期消费休闲模型，研究了习惯形成消费效用对消费和休闲决策 的影响；w i l l i a nt s m i t h ( 2 0 0 2 ) 1 3 3 1 基于习惯形成和耐久性研究消费和储蓄， 建立了基于习惯形成和耐久性的预防储蓄模型；j e r o m eb d e t e m p l ea n di o a n n i s k a r a t z a s ( 2 0 0 3 ) 3 4 1 研究了考虑消费为非负限制下的消费和投资组合问题；z v i b o d i e ，j e r o m eb d e t e m p l e ，s u s a n n eo t r u b a ，s t e p h a nw a l t e r ( 2 0 0 4 ) 3 5 1 在 习惯形成、随机投资机会集、随机工资和劳动力自由供给的情形下讨论了生命周 期内的消费和投资策略，推出了最优消费、劳动力供给和金融投资组合；d o n a l d j m e y e r ，j a c km e y e r ( 2 0 0 5 ) 3 6 1 研究了一个多时段的消费模型；c l a u s m u n k ( 2 0 0 8 ) 1 3 7 1 研究了随机投资机会和习惯形成偏好下的投资组合和消费策略问 题。然而在国内基于习惯形成偏好的金融决策优化理论与模型研究却却非常少， x i a oz h e n g y a n ，x ux u s o n g ( 2 0 0 3 ) 1 3 8 建立了一个同时依赖于历史消费和财富 的代表性投资者偏好模型，在此模型下去考虑最优投资组合规则；陈彦斌，肖争 艳，邹恒甫( 2 0 0 3 ) 1 3 9 1 构造了基于财富和习惯的消费一资产组合投资模型，利用 随机动态规划求解模型，并给出了最优的消费和投资组合规则，另外还使用此模 型计算了消费与财富波动率，发现习惯形成和较弱的财富偏好均能导致更加平滑 的消费行为，从而解释了消费平滑之谜；熊和平( 2 0 0 5 ) 1 4 0 ，1 4 1 1 在纯交换经济模 型下研究了消费习惯对投资者的最优消费规则的影响以及对资产价格的确定。尽 管国外在这一方面取得了一系列的成果，但大多都还只是理论上的，缺乏实际的 指导意义。基于国内在习惯形成偏好的金融决策优化理论与模型研究的缺乏性， 再加上我国金融市场发展起步比较迟，发展还很不健全，因此我们完全有必要围 绕这一主题去进行深入的研究，结合我们国内的实际情况，建立一些适当的金融 模型，基于习惯形成偏好去研究最优的金融决策，这无论是对于广大投资者还是 生活中的个人来说都具有十分重要指导意义。 4 硕十学位论文 第一章绪论 本文主要分为五章。第一章为绪论，简单介绍了金融数学的背景、现状、当 前存在的问题和最优投资消费问题研究的发展史；第二章预备知识主要介绍效用 函数和最优投资组合问题的基本知识与基本方法；第三章在传统效用函数下建立 了最优财富增长模型，分别构造了确定的和不确定的时间范围下的金融模型，以 及研究了引入金融衍生工具作为投资工具的最优投资消费问题；第四章基于习惯 形成偏好研究相关的金融模型，并在一定程度与第三章的传统效用下形成对比， 得出相应地最优金融决策原理及对比分析结果；第五章为结论，总结本文的主要 研究成果，并在习惯形成偏好模型下与在现有传统模型下进行了比较分析。 5 硕士学位论文第二章预备知识 第二章预备知识 这一章主要介绍最优投资消费问题的基本知识和基本方法，首先引入所谓的 效用函数，然后介绍最优投资消费问题的鞅方法和随机控制方法。 2 1 效用函数 某样东西对其所有者的效用是指它给其所有者带来的某种满意程度。财富对 于理性的人们而言总是多多益善，也就是说，财富越多，其所有者越满意。效用 函数理论旨在研究这种满意程度。需要指出的是，不同的人对财富的贪婪程度是 不同的，因此，财富的效用也是因人而异的。 2 1 1 现代效用理论 贝努里认为，人们关心的是财富的效用( 即拥有的财富所产生的令人满意程 度) 而并非财富本身的价值。容易知道对于一个富翁来讲，增加1 个单位的财富 对他所能产生的满意程度的增加量是微乎其微的，而对于一个贫穷的人而言，增 加1 个单位的财富对他所能产生的满意程度的增加量相对是巨大的。这表明，同 样1 个单位的财富其效用的大小依赖于已有的财富，已有的财富越多，该个单位 财富的效用就越小，这个原理称为“边际效用递减原理”。用严格的数学语言， 可以这样来描述：假定用“( x ) 表示财富额x 带来的效用，则有 f 材( 屯) u ( x 1 ) ，v x 2 五 虹刿， w o ( 2 川) l 工工 若假定“( ) 光滑，称“( x ) 为投资者的财富额为x 时的边际效用，且有 材。( x ) 0 ，材1 ( x ) 0 ，x 【0 ，o o ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 1 ) 表明人们是理性的，即财富多多益善；而( 2 1 2 ) 则表明边际效用递 减。当( 2 1 2 ) 中第二式成立时，可以证明必成立下式： u ( 2 x + ( 1 - 2 ) y ) a u ( x ) + ( 1 一五) 甜( y ) ，x ，y o ，o o ) ，旯 o ，l 】 ( 2 1 3 ) 满足( 2 1 3 ) 的函数称为是个凹函数。当( 2 1 3 ) 中成立严格不等式时，称 “( ) 为一个严格凹函数。如果( 2 1 3 ) 中的不等式反向，则称扰( ) 是一个凸函 数；而当( 2 1 3 ) 中成立反过来的严格不等号时，称“( ) 是一个严格凸函数。 6 硕士学位论文第二章预备知识 以后称严格单调上升的凹函数甜：r 专【- - 0 0 ，o o ) 为一个效用函数，此时还称甜( x ) 为 边际效用函数。 2 1 2h a r a 效用函数 下面介绍两类常用的效用函数( 均称为h a r a 效用函数) ： ( i ) “幂函数 形式：对于7 ( 0 ，1 ) ，定义 材。x ；7 ，： 亏；，x 。 【- - o o ，x 0 【- - 0 0 ，x o 而对于y = 0 ，定义 嘶，_ 芝劣 ( 2 ) “指数函数”形式：对于7 ( - - 0 0 ，0 ) ，定义 ，( x ；7 ) = l ，x 欠 7 而对于y = 0 ，定义 v ( x ；7 ) = x ，x r 容易验证，甜( ；7 ) 是严格单调上升和严格凹的， 当y o ( 2 1 1 0 ) 一= 一一= 一y r ) ，- 一i ， 甜( x ；7 ) 石 ，( x ；7 ) 。 2 2 最优投资组合问题的方法 2 2 1 最优投资组合问题的基本知识 对于一个给定的初始资本x 0 ，连续时间投资组合问题就是要在给定的连 续金融市场上去决定个最优的消费和投资策略。因此，对于一个给定的初始资 7 硕士学位论文 第二章预备知识 本z 0 ，投资者就是要寻求一个自融资策略对( 万，c ) 么( 功来极大化期望消费和 终端财富效用或期望终端财富效用 t j ( x ；z ，c ) = e ( i u ( f ，c ( ，) ) ) 刃+ 叱( x ( r ) ) ) ( 2 2 1 ) 6 其中x ( t ) 是相应初始财富x 和自融资策略对仞，c ) 的财富过程。u 和假定为下 面所定义的效用函数。 定义2 2 1 1 4 3 l ( 1 ) 令u ：( o ，) 寸r 是一个严格凹的、连续可微的函数且 满足 u ( 0 ) - l i m u ( x ) = + o o ， u ( ) - l i m u ( x ) = 0 则称u 为一个效用函数。 ( 2 ) 一个连续函数u ：【0 ，丁】( o ，0 0 ) 专r 满足对于 v t 【0 ，t 】，函数u ( t ，) 在( 1 ) 的意义下是一个效用函数，那么u 也被称为一效 用函数。 定义2 2 2 t 4 3 l 问题 m a x j ( x ；z ，f ) ( 2 2 2 ) f ，c ) e a 【x ) 称为连续时问投资组合问题。其中 0 a ( x ) = ( 万，c ) 彳( x ) le ( 1 u ( f ，c ( f ) ) 一a r t + u 2 ( x ( 丁) ) 一) 0 和z ( y ) 0 。定义r ( x ) ：= z 一( x ) ，那么对于 b ：- 1 2 ( y ( x ) 日( 丁) ) ， “最优终端财富 c ( ，) ：= 厶( ，r ( x ) 日( ，) ) “最优消费” 则存在一个自融资投资组合过程万( ，) ， o , t 】满足 ( 万+ ，c + ) a 。( x ) ，x 。，c ( 丁) = b a s p 且( 万，c ) 是投资组合问题( 2 2 2 ) 的解。其中x + ，。( ，) 是相应自融资对仞，c 。) 和 初始财富x 的财富过程。 推论2 2 5 1 4 3 1 ( 1 ) 问题 m a x 以( x ”( 丁) ) ) ( 2 2 3 ) 的最优终端财富为 b ：厶( y ( x ) 日( 丁) ) 。 其中在z ( y ) 的定义中令( ，y ) 三0 。 ( 2 )问题 t m a x e ( i u ( f ，c ( ，) ) 西) ( 2 2 4 ) ( 石，c ) e 月( j ) ： 的最优消费过程c ( ，) 为 c o ) ：= ( f ，】，( x ) 日o ) ) 。 其中在z ( 少) 的定义中令厶( y ) 兰0 。 2 3 随机控制方法 由于鞅方法只适用于完备市场的情形，因此在很多情形下要借助于随机控制 方法来解决最优投资组合问题。为了能更好的介绍这一重要的方法，引进如下记 号： 9 硕士学位论文 第二章预备知识 q ：= t o ，t , ) xo ，q 一【t o ，t , ) xo ，f - i n f t t ol ( ，x ( ，) 芒q ) ，开集o r ”， o = o u 0 0 。 定义2 2 6 4 3 1 令x ( ，) 为一个r l 一维的i t o ，随机微分方程 a x ( t ) = ( f ，x o ) ，甜( f ) ) 西+ c r ( t ，x ( ，) ，甜( ，) ) d ( ，) ( 2 2 5 ) 称为控制随机微分方程。其中w ( t ) 是一个m 一维的布朗运动、“( r ) 是一个d 一维的 随机控制 随机控制问题 刚r a ( i ，0 n j ) j ( ，x ；甜) ( 2 2 6 ) f 且j ( t o ，x ；u ) = e 杌( 1 三( s ，x ( s ) ，甜( s ) ) 西+ y ( f ，x ( f ) ) 。其中a ( t o ，x ) 表示起始时间 f 0 ( t o ，x ) q 的所有可行控制甜( ) 集，l ( s ，x ( s ) ，“( s ) ) 为流动费用，y ( f ，x ( r ) 为终 端费用。 定义2 2 7 t 4 3 1 函数 v ( t ，x ) ：= i n f 、j ( t ，x ；“) ，o ，x ) q a t ，j ， 称为最小问题( 2 2 6 ) 的值函数。 对于随机控制问题( 2 2 6 ) 的求解，h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程是此类问 题的经典方法。对于v g c 1 , 2 ( q ) ，( f ，x ) q ，a ：= 而。，u ucr d ，令 么“g ( i , x ) ：= g ，( ，x ) + 寺( 1 , x , u ) 吒，+ ”，( ，训) q ( f ，x ) 厶j ，j = l ，宣l a q ：= ( i t o ，x a o ) u ( ) o ) 定理2 2 8 4 3 1 设g c 1 , 2 ( q ) n c ( q ) 且对于某个适合的常数k 0 ，k n ， i g ( t ，x ) l k ( 1 + l x l 。) 满足h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程 i n f ( 彳“g ( t ，x ) + l ( t ，x ，甜) ) = 0 ，( ，x ) q ( 2 2 7 ) g ( t ，x ) = ( ，x ) ，o ，x ) a q ( 2 2 8 ) 那么有 ( 1 ) 对于v ( t ，x ) q 和材( ) a ( t ，x ) ，g ( t ，x ) j ( t ，x ，u ) 。 ( 2 ) 如果对于v ( t ，x ) q 且存在一个“+ ( ) a ( t ，x ) 使得对于v s r ，r 】有 “( s ) a r g m i n ( a “g ( s ，x ( s ) ) + 三( s ，x + ( s ) ，“) ) ，其中x + ( s ) 是甜+ ( ) 通过 ( 2 2 5 ) 相应的控制过程，那么可得 g ( t ，x ) = v ( t ，x ) = j ( t ，x ；u ) 特别地，甜+ ( ，) 是一个最优控制且g ( t ，x ) 为相应的值函数。 l o 硕士学位论文 第三章传统效用函数下的最优投资消费模型 第三章传统效用函数下的最优投资消费模型 在金融数学中，最优投资消费问题是一个最基本的问题，而最优投资消费问 题中又包含了纯消费和纯终端财富最大化问题。作为投资者，他( 她) 往往非常 关心自己的财富增长情况，那么如何在已有的金融市场上和投资时间内去实现财 富的最大化是一个十分重要的研究课题。 本章首先利用直接构造的方法建立起在确定的投资区间【o ，丁】上的最优财富 增长模型，并得到其最优投资决策。然后考虑到了市场因素和其它因素的多变性， 投资者的投资时间范围很难在制定初始投资决策时被确定1 4 4 - 4 6 ，因此进一步地 研究了在有限金融时间区间【o ，丁】上不确定投资时间范围下的最优财富增长模型 及含期权的最优投资决策1 4 7 1 。 3 1 确定的投资时间范围下的最优财富增长模型 假定 ( ( r ) ，f ) ) l 蜘) 是定义在给定的完备的概率空间( q ，f ，尸) 上的m 一维标 准布朗运动。考虑一种无风险证券( 债券) 和m 种风险证券( 股票) ，对于 t 【o ，丁】，t 0 ，无风险证券的价格p 0 ( t ) 和风险证券的价格p ( f ) ，待1 ，m 分别遵 循如下微分方程 t r ( f ) 1 1p o e x p ( 1 厂( s 灿)( 3 1 1 ) 5 p , c t ) = p ，e x p ( t b j ( j ) 一导兰盯：( 跏凼+ 兰p 扣川( 呦 ( 3 1 2 ) 其中函数，( ，) ，6 ( ，) = ( 阢( ，) ，b m ( ，) ) ，盯( f ) = ( ( ，) ) 巧是关于域 只) ，的循序可测过 程且一致有界。进一步地，假定仃( ，妙( f ) 是一致正定的。为了便于下面的讨论， 引进如下记号： 7 ( r ) - e x p ( - i ，( s 涉) 秒( f ) ：= c r 1 ( f ) ( 6 ( f ) 一r ( t ) 1 ) z ( f ) ：= e x p ( 一p ( s ) d w ( 5 ) 一i 1 ( 1 l 护( 踯2 d s ) ( f ) ；厂( ，) z ( ，) 定义3 1 1 令( 缈，c ) 是相应财富过程x ( ，) 0 ，p 一口j v t o ，t 】且由一个交 易策略和一个消费过程所构成的自融资对，那么尺”一实值过程 硕士学位论文第三章传统效用函数下的最优投资消费模型 砸州椭州，) ) 舴 0 ，孔其中硼) = 驾铲 称为相应自融资对( 仍c ) 的自融资投资组合过程。 定义3 1 2 对于初始财富x 0 ，如果相应的财富过程满足( ，) 0a s p ， v t 【0 ，t 】，那么称由一个投资组合过程万和一个消费过程c 所组成的自融资对 仞，c ) 是可行的，且所有的可行自融资对( 万，c ) 的集合记为a ( x ) 。 定义3 1 3 4 3 1 ( 1 ) 如果对于v ，【o ，t 】 g ( ，) = c ( ，) a s p ， x ( 丁) = b a s p 。 其中x ( f ) 是自融资对( 万，c ) 对应的财富过程，那么( 7 l ，c ) 称作未定权益( g ，b ) 的一 个复制策略。 ( 2 ) d ( x ) - d ( x ；( g ，b ) ) ：= o r ，c ) a ( x ) l ( 万，c ) 是未定权益 ( g ，b ) 复制策略) ，d ( x ) 称作价格为x 的复制策略集。 r 定理3 1 4 t 4 3 】 ( 未定权益的公平价格) p = e ( h ( t ) b + l h ( ，) g ( ，) ) 0 0 是未 苔 定权益( g ，b ) 的公平价格，且存在一个唯一的复制策略( 万，c ) d ( p ) 。 根据以上的假定和定义，下面将在不考虑消费的情况下来建立投资者的最优 财富增长模型，由于完备市场上未定权益的价格和复制策略具有可加性，因此为 了简单起见，不妨假定投资者的初始财富为1 ，终端财富效用函数u ( x ) = i n x ， 可选择的投资对象为上面所给出的一种无风险证券和m 种风险证券，因而投资者 的问题就是如何构建投资组合过程来极