（基础数学专业论文）热方程的高斯扰动的大偏差.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 本文研究了高斯扰动下的热方程 掣= 笋砒小州蛐胁鼢r 的大偏差性 lu ( o ，x ) = 1 1 0x ) x r 质，并计算其作用泛函。我们首先介绍了高斯噪声以及关于鞅测度的随机积分。 在第二章中，我们验证了高斯噪声的大偏差性质。然后，在第三章我们给出了 上述方程的解的表达式，得到了上述热方程也满足大偏差原理，并求出了其作 用泛函。 关键词：热方程，高斯噪声，鞅测度，作用泛函，大偏差 浙江大学硕士学位论文 a b s t ：r a c t w es t u d yt h eh e a te q u a t i o ni nt h ei n f i n i t ei n t e r v a lo fs p a c es u b j e c tt oa g a u s s i a nn o i s e ，w h i t ei nt i m ea n dc o l o ri ns p a c e 尸= 丁0 2 u s ( t , x ) + 巾，x ) + s w ( d t ，出) u ( o ，x ) = ( z ) x r ，t 冠 工r f i r s tw ei n t r o d u c et h es t o c h a s t i ci n t e g r a la b o u tt h eg a u s s i a nn o i s e t h e ni n c h a p t e r2w es t u d yo fl a r g ed e v i a t i o n sa n dt h ea c t i o nf u n c t i o n a lf o rg a u s s i a nn o i s e i nc h a p t e r 3w eg i v eas o l u t i o no ft h ea b o v es t o c h a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ， d e d u c et h a tt h el a r g ed e v i a t i o n sp r i n c i p l eh o l d sf o rt h es t o c h a s t i cp r o c e s sd e f i n e d b yi ta n dc a l c u l a t ei t sa c t i o nf u n c t i o n a l k e y w o r d s ：h e a te q u a t i o n ，g a u s s i a nn o i s e ，m a r t i n g a l em e a s u r e ，a c t i o nf u n c t i o n a l ， l a r g ed e v i a t i o n s 浙江大学硕士学位论文 第一章高斯扰动和随机积分 1 1 引言 在概率论中，渐近问题一直发挥着很重要的作用。在经典的概率论中我们 经常遇到独立变量序列，和与之相关的大数定理，中心极限定理等等。随着近几 年，随机过程渐渐成为学者们研究探讨的热点方向，渐近研究依旧发挥着十分重 要的作用。甚至于我们可以说在随机过程理论中，渐近研究发挥着比在经典的概 率理论中更为重要的作用，由于对于一族随机过程来说，要去获得它的简单的精 确的公式，这很显然是不可能的。 随机过程理论中的渐近研究包括了大数定理和中心极限定理的结论，以及在 最近发展起来的关于大偏差的理论。本文中主要考察下面的热方程高斯扰动的渐 近问题。 j旦幽=旦兰三譬立垒+占矿(出，出)x尺，墨at 缸2 、7 ， 7 + 【u f ( o ，石) = ( 石) z 尺 掣一t a 2 u 苏c ( ：t , x ) 毗小州蛐卜如足 iu 占( o ，x ) = “o ( z ) x r 在第一章中我们主要是为了下文在做准备：关于高斯噪声的定义，关于鞅测 度的积分，从而给出关于上述方程的解的表达式。 在第二章中，我们首先验证了高斯噪声的大偏差性质，然后我们得到了上述 热方程也满足大偏差原理，并求出了其作用泛函。 1 2 高斯噪声的定义 ( e ，朋，) 为仃一有限的测度空间，令厨为朋中的测度有限的子集的集合， 基于测度i i 的高斯噪声定义为厨上的随机集合函数，满足：v a ，b m ( 1 ) ( 彳) 服从高斯分布( o ，( 彳) ) ； ( 2 ) 若彳厂、曰= a ，则形( 彳) 和形( 曰) 互相独立，且有 浙江大学硕士学位论文 w ( a u b ) = 矽( 彳) + 形( 曰) 由于我们讨论的是热方程的高斯扰动，因此取e = 【o ，o o ) x r 。其中j r 为实 数轴，m = 召( 【o ，o o r ) ，( 彳曰) = m ( 彳) 旯( 曰) ，其中名为召( r ) 上的有限 测度， m 为【0 , o o ) 上的l e b e s g u e 测度， ac o ，o d ) ，b 召( r ) ， a 一4 = b ，( 【o ，o o ) r ) = 么：么召( 【o ，o o ) r ) ，u ( a ) o 也就是说c 是半正定的。那么根据高斯过程的定理( 例如参考文献【5 】中的p 7 2 的定理3 1 0 ，可知存在概率空间( q ，厂，p ) 和( q ，厂，p ) 上面的随机过程 形( 彳) ；彳毽( 【o ，o o ) 尺) ) 形满足上述的条件( 1 ) 和( 2 ) 。另外，我们考虑 ( q ，厂，尸) 上的右连续的口一代数流( 五) 脚，其中每个五都包含厂中的零集，并 且满足以下两个条件： ( 1 ) 形( 彳) 关于五可测，其中彳层( 【o ，f 】r ) ； ( 2 ) 对于任意的f o ， 形( 彳) ；彳b r ( ( t ，) r ) ) 和互互相独立。 例如为 形( f ) ，f o ) 的自然代数流，其中形( f ) ：= 形( 【o ，f 】彳) ；彳缉( 尺) ) 对于任意的f o 和彳缉( r ) ，定义( f ，彳) ：= 形( 【o ，f 】彳) 。由参考文献【1 】 可知随机过程 ( f ，彳) ，( 五) 脚；f o ，彳磷( 尺) ) 为一个鞅测度，e ( 1 ) w ( o ，a ) = 0 ： 2 浙江大学硕士学位论文 ( 2 ) 对于每个f o ，w ( t ，) 是r ( q ) 上的仃有限测度； ( 3 ) w ( t ，彳) ，( 五) 脚；f o ) 是一个鞅。 1 3 关于鞅测度的随机积分的定义 ( e ，量) 为l u s i n 空间，( 五) 脚是右连续的代数流， 鸠( 么) ，z ，f o ，彳鲁) 是一个鞅测度，其中a ：是包含在辱中的仃域，并且对于任意的彳a ；，都有 e m ( 彳) 2 ) o ) 是正交的。可以看到我们上面考虑的高斯噪 声就是一个正交的鞅测度，由于任意两个不相交的集合a 和b ，m ( 彳) 和 m ，( b ) 互相独立，显然正交。 下面还要引入w o r t h y 鞅测度，原因在于我们还无法对于所有的鞅测度定义 积分，在本文中考虑的就是关于w o r t h y 鞅测度的随机积分。从参考文献【1 】中可 知正交的鞅测度是w o r t h y ，显然本文中所考虑的高斯噪声也是w o r t h y 的。 m 的协方差函数为 磊( 彳，曰) = ( m ( 彳) ，m ( 曰) ) ， 可以看到磊关于彳和曰对称并且是双加和性的：对于给定的彳，磊( 彳，) 和 磊( ，彳) 是具有加和性的集合函数：若曰n c = a ， 则有磊( 彳，曰u c ) = ( m ( 彳) ，m ( b ) + m ( c ) ) ， = ( m ( 彳) ，m ( b ) ) ，+ ( m ( 彳) ，m ( c ) ) ， = 磊( 彳，b ) + 磊( 彳，c ) 另外还有i 磊( 彳，曰) i 磊( 彳，彳) ；磊( b ，b ) ； 称集合彳占( s ，t ce xex r + 为矩形。定义矩形上的集合函数q ： q ( 彳b ( 叫) = 磊( a ，b ) 一磊( 彳，b ) 浙江大学硕士学位论文 根据q 的双加和性把o 的定义延拓到有限个互不相交的矩形的并，i e 若 4 ex ( s ，】互不相交，f = 1 ，刀令 q ( 忍( _ ，】1 _ 皇( 磊( 4 f ，忍) 一或( 4 ，尽) ) 。 i = 1f - l 称e x e x r 上的带号测度k ( 函舭) 为半正定的，如果对于任意的有界可 测函数厂，都有下述积分有意义且 ，厂( 邵) 厂( y ，j ) k ( d x d y d s ) 2 0 。 对于这样的半正定的带号测度k ，定义 ( ，g ) x = ，f ( x , s ) g ( y ，s 弦( 妣触) ， 由k 的定义知( 厂，) r o 。 称鞅测度m 是w o r t h y 的，如果存在一个随机的仃- 有限测度k ( 人，缈) ， a e ：e xe ：xb ：，国q ，其中邑是足上的b o r e l 域，满足 ( 1 ) k 是半正定的，并且关于工和y 对称； ( 2 ) 对于给定彳和口， k ( 彳b ( o ，f 】) ，f o ) 是可测的 ( 3 ) 对于所有的甩，e k ( e e 【o ，f 】) ) ： ( 4 ) 对于任意的人，有l q ( 人) i k ( 人) 称k 为m 的控制测度。 下面我们还需要一些辅助概念。称函数厂( x ，j ，国) 的基本的( e l e m e n t a r y ) 如果它可以表示成下面的形式 f ( x ，s ，国) = x ( 缈) 咖】( s ) l ( x ) ， 其中o 口6 t x 是有界的并且关于互可测，彳量厂称是简单函数，如果 厂可以表示有限个基本函数的和，记所有简单函数的集合为詈 浙江大学硕士学位论文 定义互2 e x r 上的司测矿域詈为由s ；生成的仃域。称为司测的，如果 厂是皇。可测的并且对于可测函数定义如下范数 i l s l l m - - e ( i f l ，i s l ) k ) - 注意在0 厂忆的定义中用的是厂的绝对值l 厂i ，因此有 ( i 厂l ，i s l ) q - l l s l l 2 m 。 记量膨为所有可测厂的集合并且满足l i 厂忆 可以证明p ：肘是是完备的， l l p - - + b a n a c h 空间，并且在p ； f 中稠密。 下面来定义关于w o r t h y 的鞅测度的随机积分。 s t e p1 ，对于基本函数( x ，s ，缈) = x ( 国) 口，6 l ( s ) l ( 工) ，定义鞅测度厂m 为f m ( b ) = x ( ) ( m ，柚( ac 、b ) - m r 口( 彳厂、b ) ) 。 l e m m a l 1f m 是一个w o r t h y 的鞅测度。它的协方差测度g 肼和控制测度 巧肘分别如下 绣棚= f ( x ，s ) f ( y ，j ) 纵( d 冀d y d s ) ( 1 1 ) k s m = l s ( x ，s ) 厂( y ，s ) i 如( 蚴) ( 1 2 ) 并且 e 厂m ( b ) 2 - v i l 2 肼( 1 3 ) ，其中曰e 一，t t 。 s t e p2 ，根据线性定义厂彤，堇同理可以证明上述的三个结论( 1 1 ) ， ( 1 2 ) 和( 1 3 ) 同样成立。 s t e p3 ，对于厂巧肘：l s ( x , s ) s ( r ，s ) i ( 西舭) ，由于在p ：肼中 稠密，因此存在一列 无) c 满足l i s - ，1 l ，专o 。因此由( 1 3 ) 知，对于 任意的彳辱，t o o 。 s ( x ) 为x 上的取值于【o ，】的函数。当办一。时，我们称 ) i i 。满足大偏差 原理，如果以下三个条件成立： ( o ) 对于任意的s o ，集合( s ) = z ：s ( x ) j ) 是紧集； ( 1 ) 对于任意的6 o ，7 o ，工z ，存在 0 ，使得对于所有的 0 o ，s 0 ，存在j j l d 0 ，使得对于所有的o o 。当j l o 时的作用泛函。根据v a r a d h a n s 的 论文【2 】可以知道在条件( 0 ) 下，上述定义中的条件( 1 ) 和( 2 ) 可以被下面的 ( i ) 和( ) 取代，l i p 在条件( 0 ) 下，( 1 ) 等价于( 1 ) ，( 2 ) 等价于( 1 1 ) ： ( i )对于x 中的任意开集a ，有 l i m 名( j 1 1 ) 1l n z 6 ( 彳) 一i n f s ( x ) ：x 彳) ： h $ o 。 ( )对于x 中的任意闭集a ，有 丽名( ) 。11 1 1 6 ( 彳) 痂f s ( x ) ：z 彳) 如彩是一族定义在概率空间( q 一p ) 上取值于x 的随机变量，分布 函数6 ( 彳) = 尸6 孝6 彳) ，h 的作用泛函就定义为6 的作用泛函。此时，上 面四个条件就转变为 浙江大学硕士学位论文 p h 户( 善6 ，x ) 万) e x p 一无( ) s ( x ) + 7 ) ，( 2 3 ) 户6 p ( 尹，( j ) ) 万) e x p 一旯( j z ) ( s y ) ) ， ( 2 4 ) 和对于x 中的任意开集a ，有 l 枷i m 允( h ) - 1l i l p 6 矽彳) 一时 s ( z ) ：z 彳) ； 对于x 中的任意闭集a ，有 丽h 4 , o 名( ) 。1h l 尸 矽彳) 也f s ( 工) ：z 彳) 我们称s ( x ) 为正规化作用泛函，力( h ) 为正规化系数。很显然，将作用泛 函分解成s ( x ) 和兄( h ) 两个因子的方法并不唯一。可以看到若对于每一随机过 程都一一去验证作用泛函的三个条件来寻找作用泛函，这存在很大的困难。下面 这一定理给我们带来了很大的方便，能够让我们确定一个随机过程的作用泛函时， 很便捷地去确定许多随机过程的作用泛函。 t h e o r e m 2 1 ( c o n t r a c t i o np r i n c i p l e ) ( x ，所) ，( y ，所) 为两个度量空间。 允( ) s ( z ) 为x 上的一族测度6 的作用泛函，当j i ljo 。设妒为( x ，风) 到 ( 】，风) 上的连续映射，定义y 上的测度矿：y ( 彳) = 6 ( 缈一1 ( 彳) ) 。则y 6 的作 用泛函为旯( i j l ) s ”( y ) 当 一o ，其中s y ( y ) = m i n s ( 石) ，x 缈一1 ( y ) ) 。i 定 义空集上下确界为- b o o ) 举一个该定理的最简单的应用：当x ，】，为相同的空间，但是不同的度量。 由t h e o r e m2 1 知若旯( ) s ( x ) 为度量岛- f f l 勺一族测度 的作用泛函，当 h o ，且度量仍满足：岛( z ，y ) 争o ，当一( z ，y ) jo ，则兄( 矗) s ( x ) 同样 也为度量岛下的一族测度6 的作用泛函。 在考虑高斯噪声的作用泛函前，我们还需要一个辅助工具g i r s a n o v 变换。 8 浙江大学硕士学位论文 2 2 g i r s a n o v 变换 g i r s a n o v 变换描述了若改变i t o 过程的漂移系数，则该过程的分布不会发生很 大的变化。事实上，新过程的分布关于原过程的分布绝对连续，并且我们能够给 出它们之间r a d o n n i k o d y m 导数的确切的形式。 t h e o r e m2 2 ( t h eg i r s a n o vt h e o r e mi ) 设】，( f ) r ”为i t o 过程： d r ( t ) = a ( t ，缈) 班+ d b ( t ) ，t t ，y o = o ，其中f 是给定的常数，b ( t ) 为n 维的b r o w n a n 运动。令m ，= o x p ( 一f 口( s ，国) 担一i 1f 口2 ( s ，缈) 出) ， t t ，并且假设口( s ，国) 满足n o v i k o v s 条件 e e x p gj c r 啪国) 凼) ，其中e = 知是关州的期望。 定义( q ，互) 上的测度q ：坦( 国) = m r ( 国) 卯o ( 国) ， 那么有关于概率分布q y ( t ) 为n 维b r o w n i a n 运动，当f r ( 参考文献 称变换尸u q 为测度的g i r s a n o v 变换。下面我们来考虑对于本文中所考 虑的高斯噪声是否也存在类似的测度变换。 设g ( f ，x ) 为【o ，丁】r 到r 上的连续函数并且r 上9 2 ( f ，z 矽 o o 。定义 测度户：驴= z r d p ，其中 z r 唧( 眦g 训蛐) 一三m 2 咖卜斛删有 钇= 1 ，且 互) ，卸是鞅。这是由于g ( f ，x ) 是非随机的，因此随机变量 f 工g ( f ，石沙( 班，出) 服从均值为o ，方差为了1f 上9 2 ( f ，x 矽的正态分布，因 此磁= 1 。任取o j f r ，由于f 工g ( f ，x 沙( 衍，出) 服从正态分布且和 f 相互独立，那么 9 浙江大学硕士学位论文 e 【z fl 正】= e e x p lff r g ( r ，戈) 形( 出，出) 一互1f 工9 2 ( r ，z 矽 i = e x p ( 一三fm “胁 e e 坤( 跏“洲岫) + m “z 沙( 蛐) 肛 一p ( r 【酏砂( 蚴卜吾m 2 ( f ，工肌) 吐唧( m “x 沙( 蛐：) 肛 一p ( e 脚砂( 破删 fi c 9 2 ( 柚矽m x p ( fl 比，工沙( 出州) 一p g ( 啦沙( 蛐：) 一三r 【酢工州= 乙 另外，在五上有z r d p = z , d p ，t t 。任取为有界关于z 可测的函数， 则有l 厂( 彩场( 国) 护( ) = 研屏】一e e m lz 1 - e ： z , iz 】 = e 【尼】- l 厂( 国炻( 缈) 护( 国) 。 定义矿( 彳) = 形( 彳) 一r 。i c l g ( t , x ) d g 彳b ( 【o ，r 】尺) 。 t h e o r e m2 3 在p 下，形仍是一个基于的高斯噪声。 p r o o f 若要证明形在p 下是一个基于的高斯噪声，只需证明它满足高斯 噪声定义中的两点： ( 1 ) 给定的c 召( r ) ， 矿( 【o ，f 】c ) ：f o ) 是正- b r o w n i a l l 运动，并且 其方差为觑( c ) ： ( 2 ) 若彳，曰召( 【o ，丁】尺) 。且彳厂、曰= g ，则旷( 彳) 和矿( 口) 相互独立； 对于( 1 ) ，我们只需要证明在户下，增量旷( o ，f 1 】c ) ，矿( 【，t ：】c ) ， ，旷( 【乙一p 乙】c ) 的联合分布和n 个互相独立，服从期望为0 ，方差分别 为f 。旯( c ) ，( 乞一 ) 旯( c ) ，( 乙- t 一) 兄( c ) 的正态分布的随机变量的联合分 浙江大学硕士学位论文 布相同，其中0 = t o 乞 乙。也就是要证明 r 廓e x p l 七= 1( 矿( 【】c ) ) ) - 们对刀使用归纳法，先证明当，l = 1 的情形， 兀 量= le 冲仨( 乙1 。) 邶) ) ，我 廓e x p 口矿( 叩】c ) ) = 廓e x p 口形( 【o ，小cc ) 一口【g ( ) d ) = 科e x p ( m c ) 一口f g ( 蹦) d 蚓 = 科唧p ( 【叫c ) 一口r g ( 叫础) 互 = 砟e x p m ( 吐( 小郎，x )( 凼，出) 一i 1f 工( 2 吐( z ) g ( 叫( 蹦) 叫 = p 华驷p 嘶) 嘶工) 沙( 蛐) 一虿1 肚1 c ( z ) 啡x ) ) 2 础) = 唧仨以乖) ) t 最后一步中用到了一个正态分布的基本性质：如果栅从 c r 2 正态分布( o ，仃2 ) ，则有眈x = e t 已证明刀= 1 时结论成立，现假设n 情形成立，考虑力+ 1 情形。 廓e 冲t r n + l k = 1 ( 旷( 【】c ) ) ) 廓e x p ( 旷( 【气，】c ) ) lj = 岛e x p 喜( 形( 【“，气】c ) 一口。工g ( = 岛e x p ( 形( 【气小气】c ) 一口上g ( l 七= i 、 一。 = 廓 e x p r 芝k = l 吒( ( 气一。，气】c ) 一口。j i g = b t r 廓t r 叫i - 善, + i 】c ) 一口。 1 l 蹦) 础计 b 栌) h 龇妒啪五) 浙江大学硕士学位论文 = 廓 = 耳 = 廓 o 【p 。 t o ，t l 岛， c ) c ) q 旷( 【，t 1 c ) 窆k = 2 旷( 【“，气】c ) 乙i 气) ) lj j j 瞽啾以1k=2c ) mlj jj 睁嗽坤1k=2 c ) ) ) l j ji = 耳p ( 【锚1 c ) z f j 罂n + le 冲黔( 气1 。) 邪) ) ) c 根据归纳 = 廓m c ) ) 越e 冲髀( 删c ) ) 月+ l r1、 = n e x p 寺( 气一t k - , ) 五( c ) ，即刀+ 1 情形成立，则有条件( 1 ) 成立。 t = ll l j 我们仍需证明条件( 2 ) 若彳，b 召( 【o ，丁】尺) ，na n b = o ，则矿( 彳) 和 矿( b ) 相互独立。分两种情况来考虑：第一种，彳和b 在时间【o ，丁】上的投影不 相交，不妨假设彳- o ，t i ) c ，曰= 【 ，t 2 ) xc ，0 o ，y o ，k o ，t 0 ，存在民 0 ，使 得对于所有的占 ，翻f f p p o rx f ，) 万) e x p - - 6 - 2 s o r ( 厂) + y ) ， 其中厂c o r ，i ；t _ f ( o ，x ) = o 。 p r o o f 若s o r ( 厂) = 佃，则结论显然成立。不失一般性，下面我们假设 蹦小佃棚丢e 栏g x ) 1 2 小佃。 令r ( f ，x ) = x ( f ，x ) - f ( t ，x ) 。用来表示在c o r 上的由 x 6 ( f ，x ) = 占矿( f ，x ) 诱导的测度( 即对于任意彳b ( c o r ) ，有段w ( 彳) = p 缈：x 8 彳) ) ，用以。来表示由rt , x ) 诱导g r 上的测度，则由上一节的 浙江大学硕士学位论文 薏蛔卜r 工纂矽( 畔t 。fj 四h l a t o x 卜 d 舭, c o r ( e 小万) - p , c o r ( 叫 s 卜竽测对于高斯噪声黼有 尸融叫剖鞲帅万) 舰驾掣孚， 嗍鄹盖黼尸净胁i 万陆1 婶涪删讹铆 有尸彤叫三 另一抵p pr 工丽a = f 形( d t d x ) h 皿1 厕 尸pr 工纂形( 抛) l 2 厄一佤丽) 8 占2 品r ( 厂) 1 4 2 1 = 一， 4 浙江大学硕士学位论文 记即) 全p e x p 卜1r 工嘉形( 酬) 唧 一2 厄叫佤丽) ) ， 那么有尸( 彳) 三。 将上述对被积分项和积分集合的估计结合起来，便有 k 删e 冲卜1j c r 上丽a 2 f 形( d t d x ) t p ( d w ) k 删e x p p j c rj f r 塑a t o x 形( d t d x ) p ( d w ) k 舡小一e x p 一2 厄一佤丽) p ( 州 三e x p 之厄。1 厄丽) 。 因此，尸, c o rx 占，厂) 0 ， 令( s ) = 厂g r ，f ( o ，x ) = o , s o r ( ) j ) 。 对于任意的万 o ，y o ， 0 ，存在 o 使得对于所有的0 s o ，使得当x 三，有1 2 ( - x ，x 卜肘l 占令 ，( f ，石) = 占旷( f ，m ) ，其中o t t ，h ，矿( f ，m ) 服从正态分布 ( o ，晰) 。v ( f ，z ) ，o t t ，- l x l ，肯定存在j 毛z + ，恕z ，使 浙江大学硕士学位论文 得毛l f ( 毛+ 1 ) l ，屯2 0 ，即乞z + m x ) = 占( “蚰：一“d 希矗不赢碉+ 舭： 当x 0 即乞z 一时， m x ) = 占( 川却c 榔一岷札d 斋矗东南+ 占岷， 蕊t a 2 f f = 雨而蒜丽( 啪班：一地) 那么事件 岛r ( x 暑，( s ) ) 万) 可能发生在两种情形下：岛r ( x f ，l ) 万或 岛r ( x 占，l f ) s ) 的概率，计算& r ( j 占) ： 帅) = 三r 叫篆似x ) 卜 =三2警篁k2=01ijii：iji_：；翻(岛+，c如+，厶：一，。，如：)2畚厶( 白+ 1 ) 2 ；名( o ，( 哎+ 1 ) ：r m + 1 弘他+ 1 肛2 “舭p 舭2 ， 。旯( 乞：，( 乞+ 1 ) 2 浙江大学硕士学位论文 + 三2 亨k ；= o 也邑- i ：雨翻( “”蚰：氐) 2 。见( 如：，( 也+ 1 ) 2 丢篆_ 警- 雨蕊丽8 2 ( 州叫心一：) 2 + 冀2k , = o 屯麦：丽赢而( “旧她氓一2 e ( + 1 ) 讹帆一岷“) = 0 ， 当也z + 时，e ( k 毛+ 1 ) 厶i ，化+ 1 ) 厶：一呢a i 也a ：) 2 = ( 毛+ 1 ) 。名( o ，( 乞+ 1 ) ： + 毛。a ( o ，乞： - 2 k , a 。名( o ，如：】 = ( 白+ 1 ) 兄( o ，( k 2 + o a ： 一毛。名( o ，恕：】 e 2 = 1 - j 当如z 一时有e ( 局) 1 化+ 1 ) ：一w k i “屯：) 2 l = ( 白+ 1 ) 。旯 ( 心+ 1 ) ：，o ) 十毛。a k 2 a ：，o ) - 2 岛a 。旯 ( 包+ 1 ) ：，0 ) = ( 一毛+ 0 a 。旯 ( 也+ 1 ) ：，o ) + g a 。旯【哎：，0 ) d 穗粝茜 2 = 燕+ 一- 令氧乜为均服从正态分布( o ，1 ) 的随机变量，根据正态分布的性质可知 1 7 w ( k i + 1 ) ，( 刎：一厶。，如： + 1 ) l 孵1 ) ：一哌l l 。如： 贝, j p s o r ( ，5 ) 对 ( 岛 尸阵羔：幺 浙江大学硕士学位论文 2 口) 尸 孝：口) ，v 口 。，如z + ； 2 口) 尸 乜口) ，v 口 。，岛z 一 ( w ( k + 1 ) a , , ( h + o a 2 - - 岷) 2 k南+。，。，。如+。，：一髟。，屯：)2) 十篷羔：乞 我们有 眦州叫 州茗笺乜 因此存在岛 0 ， e s o r 1 2 6 - 2 s j 1 2 s 2 s j c x p 6 s ( 1 一口) ) = 蟛1 e x p - s - e s ( i - a ) ) 使得对于v s s ) 互1e x p - - b - 2 ( 州) ) ，。i，。l ，j、【，【 尸 p 笙即 泛、 尸v i 丽上舭可 一咏 b笙忡 1 2 u z 唧 比 扪 慷 唧 q v 声毛 簟 y 一一2 b _ 一 兰2 h厂，l 浙江大学硕士学位论文 然后我们来估计另一项p p o rx f ，l 占) 万) 。根据，的构造方法可知，取占 充分小，使得当h 1 s w ( t ，x ) 一l 占( t , x ) l - i 占( f ，工) 一s 陟( f ，m ) i 万，口s 。 k ( w 声) = 户 戮阻忙0 警驯国：岫兮万 当毛l t - ( k l + i ) a l ，o - k 2 a 2 x ( 乞+ 1 ) 2 时，e ( x 占一，f ) = o ， e ( x 5 一，占) 2 = e 占形( f ，x ) 一s 呢l 也2 一机归一驯冯氐) 南赢) 2 = 占2 e 形2 ( r ，工) + ( _ 毛+ 。，山i 乞+ 。p ：一山，蛐：) 2( 南 2 ( 赢确 2 e w 3 - 2 w “x ) ( w ( k t + 1 ) a t , ( k 2 + 1 ) a ：- - 尉南翻 + 占2 e 1 2 如a ：( + - m 纠h 一 挑) 。而t 习可网x 一2 a , a a , w ( 啦) j 卜卅+ ( 赤 2 ( 南州舭 c 叫) 2 檎印酬 + s 2 l _ 霸- 名( 。，如z 卜2 毛- 五( 。，屯：】一2 而t j i i 灭翻( f 旯( 。，工卜毛- 五( 。，岛：】) j 进行变量替换，令s = f k , a l 。y = x - - 如2 ，则o s a l ，0 y g a 2 ， e ( x c 一，s1 2 = 浙江大学硕士学位论文 = 占2 ( s + 毛。) a ( 0 , y + k 2 a 2 】+ 占2 ( i 毛专矧2 ( j 褊 2 ( 毛+ ) 。五( 。，( 乞+ t ) ： 彳( 箍 2 ( 褊卜砌圳 一2 占2i 丢专三号蓦j 可瓦y 百+ 乏碉k 2 a 2 ( j + 毛- ) 兄( 。，y + 乞z 】一毛五( 。，如：】 。地砌舭z k 2 谢+ 耦 当霸。 f ( 岛+ 1 ) 。，如： z ) 差e x p ( 彳2 仃2 ) 眦啪孵叫叫= d 冀l x l 阻伞0 i l 警。副躐阢y 酬 岛- o 如一z 【泛；蕊j 浙江大学硕士学位论文 s 2 b 鸶 唧卜石函 取合适的8 , a i , a 2 , 则有p 风r ( x ，z 占) 万) i 1e x p - - e - 2 ( s 一7 ) ) ， 所以尸k ( e ( s ) ) 占) 圭e x p 卜2 ( s 一枷+ 虿1e x p - 6 - 2 ( s 一纠 = e x p - e 之( j 一厂) ) t h e o r e m2 6 ( a ) 泛函& r ( 厂) 是下半连续的，i e e l 在c o r d o o 蚴：u f ，则有 s o r ( f ) - l i m s o r ( z ) 。 ( b ) ( ) = 厂c o r ，f ( o ，x ) = o ，s o r ( ) ) 是紧集。 p r 。可( a 成们只需要考虑极限万l i r a s o r ( ) - _ rr l o v 。f 2 d 存在且有限 的情况。i g h = c 掀3 2 f ，那么就有在r ( 弦】汛) 上，扣| 1 2 有界，贝| j 存在 吃) 的子列，仍记为 吃) ，弱收敛到某一函数，记为j l ，那么就有六弱收敛到 h d t d x 。n l 此有f = f h d t d x 。 = 另- 7 y i $ ，由于2 ( k ，h ) - l l h 1 1 2 + 肛0 2 ，则有忙1 1 2 0 。 掣= 丁0 2 u ( t , x ) 毗小州蚴) x r , t o 【“( o ，x ) = “o ( x ) 石r 同理，有【厂( f ，x ) = 工g f ( 石，y ) ( 少) 砂+ c 上q 一，( x ，y ) f ( y ，s ) d y d s + s f g t 一。( z ，y ) w ( d y d s ) 。 x r ，t 0 。 另外，可以看到v r 。，艿 。，有l f i 寸m 。p i 【m ! 蔷a x ri u 5 ( ，戈) 一“。，z ) i 万) = 。 f u lu s f s i 由于u ft , x ) 一“( f ，x ) = 占f 工q 一，( x ，y ) w ( d y d s ) ，那么 浙江大学硕士学位论文 p 紧旷矿咖炒i 万) - p 警叭吒( 训m 螂，i ) = l i mp k m a _ xm 训职蛐杠1 【j 【一万。一】。 。 j 站2 占2 舰吐rh 少) 矽( 蛐) 1 2 占2 ：受e ( j c r 工吼y ) 础) 2 s 万- 2 占2 口( r ) 。口( 丁) 为丁的有界函数。 3 2 热方程的大偏差性质 在上一章中我们给出了高斯噪声的作用泛函，下面我们根据t h 2 1 给出含有 高斯扰动的热方程的作用泛函。 一ovo,x)=鲨掣m(出，dx)ot o x圳肛r 8 ， 2、 77 十 ( 3 8 ) l iu ( o ，工) = ( x ) x e r 则由第一章中可知， u ( “) = 工“。( y 虹( x , y ) d y + 占f 工q 一，( x ，y ) w ( d y d s ) 任意取厂为【o ，丁】尺到r 上的具有紧支集的光滑函数，考虑q 咿】) c 凡( 尺) 上 的算子： 氏：厂j v = a o f = 工“。( y 虹( 训) 砂+ f 工q 一，( 训, o 弹s o ，y ( ， 骅碣。将倒黼蚴o t = 掣o x + 塑o t o x 川肛r 懈即算子色。将厂映射为方程 2 。 一r + 的解， l -u ( o ，x ) = “ox ) z 尺 也就是说厂滟孚= 警+ 丽0 2 f 珊鼾氏是连纨黝舸 浙江大学硕士学位论文 以知道由于方程的解存在且唯一，因此上述映射存在逆映射： 如0 2 v a 1 v 一= 一1 。一 a ta #a t a x 为了区分我们记高斯噪声的作用泛函为- 蟛似( 厂) 。在q 盯m ( 尺) 上定义泛 嘛( 班三r 略一劁& 21 2 m 若瓦a f ，等嵇且巾一铂， 对于其它厂令& r ( ) = - b o o 。 t h e o r e m3 1 当占jo ，占s o 7 ( f ) g u 占( f ，x ) 的作用泛函。 p r o o f 由t h2 1 知，u 。( f ，x ) = & ( 占( f ，石) ) 作用泛函具有以下形式占s o r ( 厂) 品r (