（基础数学专业论文）约化李代数的幂零轨道在有限域上有理点的个数.pdf

摘要 本篇论文主要解决约化李代数的幂零轨道在n o b e 曲x s 映射下的 存理点个数的闰题幂零鞔道在摸李代数表示等方西鸯梗重要的作 用，本身又是一个令人感兴趣的课题在本篇文章中我们主要论述 了下面四个问题：1 对于具体的李代数，如g l 汛后) ，给出一个直接 两具体的计算公式，来计算幂零孰道在n o b e n i u s 映射下的有理点个 数2 将k a w a n a k a 的公式推广到幂零轨道的闭包上去3 给出幂零 轨道在n o b e i l u s 映射下的有理点的个数分类，即它由哪些量新决定 的? 决定到什么程度? 4 在第一个问题的基础上，刻画其幂零轨道 在n o b e n m 8 映射下确理点个数的特点本文将对卜- 述几个问题给出一个 明确的结巢， 当然还有很多课题值得继续研究，比如在第一个问题中能否给出其 余类型的李代数的幂零轨道在n o b e n i u s 映射下有理点个数公式? 关键字：约化李弋数幂零孰道有理点 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ew i l lt r yt oc o u n 七t h en u m e r so fr a t i o n a lp o i n t so f 1 1 i l p o t e n to r b i t so fr e d u c t i v el i ea l g e b r a su n d e rn o b e n i u sm a p si 1 1f i l l i t e 6 e l d s t h et h e o r yo f1 1 i l p o t e n to r b i t sp l a y sa ni m p o r t a l l tr o l ei nt h e r e p r e n t a t i o no fm o d u l a rl i ea l g e b r a sa n dl i eg r o u p s t h et o p i ci t s e l f h a sag r e a ta t t r a c t i o nt om a t h a m a t i a n 8b e c a u s eo fi t so w ni n t e r e s ta sa k i n do fg e o m e t r yo fl i et h e o r y w 6w i l lc o n c e n n t r a t eo u ra r g u m e n t so n t h ef o l l o w i n gp r o b l e m s ：1 w ew i l lg i v ead i r e c tf o r m u l a rf o rg l ( n ，尼) t o c a l c u l a t et h en u m b e ro fr a t i o n a lp o i n t so fn i l p o t e n to r b i t si nt h e6 l ：芝 f i e l d s 2 w eg e n e r l i z et h ek a w a n a k a sf b r m u l a rt ot h ec l o s u r eo fn i l p o t e n t o r b i t s 3 w eg i v es o m ed i s c r i m i n a t i o nf o ro r b i t sw i t ht h es a m en u m e ro f r a t i o n a lp o i n t s 4 w es t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h en i l p o t e n to r b i t so f g l ( n ，七) i nt h i st h e s i s ，w eg i v et h e s ep r o b l e m sas o l u t i o n k e yw 6 r d s ： r e d u c t i v el i ea l g e b r a n i l p o t e n to r b i t s r a t i o n a lp o i n t s 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除文中已经注明弓i 用的内容外，本论文不包 含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做啦重要贡献 的个人和集体，均已在文申作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东炳范大学黍关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电予版 和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入 学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用 本规定。， 学位黻储张糊；级导师挠乌 姒 日期- 型堑掣 日期： 塑生、 5 0 简介 k a w a n a k a 在1 9 8 2 年i n v e n t i o nm a t h ( v o l6 9 ) 上发袭一篇文章( 参考f l o 】) ， 在这篇文章中健在函数空闺g 国f ) ( 见后面) 上覆上定义“形变”豹搀立 叶变换与对偶算子，并证明了在上述空间的一个子空间上傅立叶变换 与对偶算子是相等的作为这个结果的推论，他给出了李代数的幂零轨 道在o b e n i u s 映魁下的不动点豹个数关系式， 本文的主要思路就是从这篇文章出发，致力于解决以下四个问 题：1 对于其体的李代数，如g l ( 扎，) ，能否给出一个崖接丽数体的 计算公式，来计算幂零轨道在f r o b e n i u s 映射下的不动点个数? 2 能否 将k a w a n a k a 的公式推广到幂零轨道的闭包。卜去? 3 能否给出鞯零轨 道在h o b e n i u s 映射下的不魂点的个数分类结果? 即它由哪些量所决定 的? 决定到什么程度? 4 如果第一个问题已经解决，那么其幂零轨道 在n o b e n i u 8 映射下不动点个数有何特点? 本文将对上述几个问题给出 一个明确的结果， 本篇论文的组织结构也足按照上述思路进行的，只不过在第一节给 出些基本的概念和用列的预备知识 l 预备知识 关于代数群与李型有限群的基本知识，可参考【1 或 2 】或 3 】或1 5j _ 为 了下嚣讨论的方镬我们置鬼分绍分划的援念 定义1 1 绘定自然数n ，如果有自然数序列a 一铆t ，z 2 ，蚌) 满 一 r 足n 1 佗2 n ， o ，且竹= 啦，则a 叫做n 的个分划，其 d = 1 中n ；目q 傲 的部分汜作冈= 札l + 觋+ + 脚 对于给定的n ，我们可以给分蚓一个编序，设a t 一协l ，礼。，n ，) ， f a 2 一l ，m 2 ，m 。) ，则a l a 2 当且仅当m m t ，对于任意 z 竺lt = 1 l f r 定义l ，2 设a = ( n l ：2 ，n ，) 燕n 的一个分翊，设n ( a ) 一# 脚： 一i ，i 1 ) ，m ；= o ( a ) ，则我们稼= ( m l ， ；2 ，) 是分划a 的 ，2 0 埘偶我们不难罨出i a ，i = 川事实上，a 与a 7 可以用y 0 u n g 图简单地实 现( 参考f 4 ) 我们令 辩( a ) = 砂 = 掣， o l 疆妣( ) z 刚 其中办：( 1 一t ) ( 1 r 2 ) - - ( i 一，7 ) ， 下面介绍李型有限群和代数群及n o b e n i u 8 映射的一些预备知识 设妒 3 ，( ? 蔻瓦( 有限域) 上的单代数群，f 是固拘满代数群自同 态，且g f ( 即( ? 在f 下的不动点) 是一个有限群，即f 是g 的n 。b e n i u s 跌 射可以选择b o r e l 子群口与极大环面r ，使得曰和丁在f 下稳定，胤丁 b 设g 的授予群为f 玩，班垂 ，我们知道f 必定 起撮子群的鬟按， 而且是正根的置换，而且是单根系的一个置换在p 3 时，这种置换 2 必定是d y k i n 图的自丽构7 ，7 - 可敬自然的扩充为代数群g 的自闷构我 们仍记为r 我们有f = r 日= 娲r ，这里是指将根子群的元素对应的矩阵 提升q 次方的标准b e n i u s 映魅，即曩( ( 0 ) = 玩( f e ) ， 下面我们要将f 的作用诱导到李代数g = l i e ( g ) 上去，由于g 可 以实现为左不变向量场，在e 处的切空间或点导子这累我们设o = ，( g ) 。，鄹e 处的切空翊我们有一个玛陡玛线性作瑁舀+ 在g 上作闫如 下： 设，y 丁( g ) 。，6 ，2 ，岛瓦， ，2 ，n g 】，令 ( 矿( 毫 ) = 6 寸( 川a 设只= 打咒+ ，其中打指r 的微分，则我们得 到士在g 上的诱导作利用只，以后在不b l 起混淆的倦况下+ 只在g 上的 作用我们仍汜为尸在不引起混淆的情况下，我们有时用“”来表 示a d 作用，如善y = a 妇( y ) 其中z g ，y g 定义1 3 设x g 是鬈零元，夏| 魄g ，芗- x g 是举零元，称 g - x = x ：v g ) 是x 的幂零轨道，记作o x 3 2g l ( n ，或) 的幂零轨道的不动点个数 在这一节中，我们设g = g l ( n ，雨) ，g = 9 1 ( n ，弱) 我们知道g l 扭( g ) 设f 是g 上的标准的o b e n i u s 映射，即f ( ( ) 。) = ( 哂。) 。 我们知道g 的幂零轨道可以唯地用n 的分划( 参考第一节) 来刻厕，这 一节我们将要决定任意的幂零轨道在作用下( f 诱导作用见第一节) 的 不动点的个数公式 引理2 ，1 ，在李代数g 上的作用与在g 上作用是致的，即 f ( ( o 订) 。) = = = ( 9 ) ， 其中! 【= ( n ) 。g 诞明： 在证弼g = l i e ( g ) 时，袋饲是将x g = ，( g ) 。与( x ( ) ) 。 等同的( 参考 8 ，93 ) ，其中面。 q 足坐标函数然而在g 中根子群 元素的形式为厶十a 正舀，其中厶为单位矩阵，置，为第( i ，j ) 个位茕为1 其 余位嚣为o 短阵所以由第一节中尸的诱导方式，我饲可戳知道 x f ( ) = ( ) 。 即f 在g 上的作用是将元素提刃口次方与对g 的作用是一致的 口 设j 是分划为a 所埘应的，l o r d 籼标准趟，j 魁。的幂零元，设j ( a d g ( j ) ) f | 表示幂零软道( ) j 在f 的作角下的不动点个数，我们要次定： i ( a d g ( 了) ) 9 i = l ( gj ) f | = l ( ( ) j ) f i 引理2 2 ( h u m p h e r y s ，【8 ，1 0 3 】) 设。g ，x g ，则a d z ( x ) = z x 刃 i l 理2 3 + g 的幂零轨道在f 的作用下不动点与g 的幂幺共轭类在f 的 作用下不动点可以建立一个一一对应 4 ，e f e 。，= ，c e 8 “。，“x n ，= c n 订9 ，n n 一，2 c。1兰：；三1；。三主， 5 0 l n 口2 n 8 。，一l 所以，( f ( z ) ) = f ，( z ) 步骤4 ，是满射 即证，( g ( 7 + 了) ) = g - j 一方面，v m g ，( 。( ，+ ，) ) = - ( ，十，) 一，一z ( ，+ t ，) z 一1 一，= i 七t ? 1 l = m 3 g j 另一方嚣，地g ，可容易证得，( 掣p + 刃) 一2 + j ，所以g ，j ，旧( ，十j ) ) 步骤5 ，( ( g ( ，+ j ) ) f ) = ( g ，) 9 一方露，任意。( ，十t ，) ( g ( ，+ 了) ) ，则有f - ( ，+ ，) ) 一 z ( ，+ ，) ，所以有，( z ( ，+ j ) ) = ，( f ( z ( ， ul ，) ) ) = f ，( 茁( ，+ j ) ) = f ，( ，+ l ，) ) - ；- ；二f ( z - 。力，而，( 茹( j + j ) ) = 。，所以f 渖+ ，) 一l ， 所以( g ( ，+ j ) ) 9 垦( g t ，) 9 另一方西任意z - j ( g j ) f ，可以证 明z ( ，+ j ) ( g ( ，十j ) ) f ，( 。( ，+ j ) ) = z - j 国步骤垮l 步骤5 ，我们可以看出，是一个一对应且保持不动点， 所以l ( a d g ( j ) ) f i = l ( g ( + l ，) ) 9 1 口 日i 理2 4 ( s p r i n g ，s t e i n b e r g g 9 中任两个元素必在g f 下共轭 【1 6 】) 设g 是g 的一个共轭类则g n 基器v 茹，譬g n g f ，赋必有：g f ， 6 口 l一 铲 ， 8 i；il；|i l g 口 一。 0 一 嗡 啪 卜吖 瞄 n 峨 f = 1 | 0 ， f 使得z 一。- ，其中为共轭作用印内自同构 定理2 ”i n ( 矿一矿) r 脚g ( j ) ) f | 2 寿碥 ( 符号见第一节) 证明： 由引理2 4 ，( g ( ，+ j ) ) 9 = g 9 - u + j ) ( 我们取a = g ， ( ，+ 繇可) ，所以l ( g - ( ，十) f f = | g 尸口+ 删而由引瑷2 3 可 知f ( a d g ( ) f i = l g f ，( + 刃i 。 其次，作轨道映射g f g f ( ，+ ，) 照然此映射的核正好为，+ j 在g f 鼹中心化予所以 i g f i z g n f + 。珀 然而f g ；剩f 扬，( ，+ j ) ! 是已知灼( 参考阻5 ，e h l ，s e c t 2 ，2 】) ，其中 n l 妒 = h 矿) 1 强( n 州= 矿协( 1 以矿) ， t = ( ) 这梯就得到我们的结果，口 推论2 6 定理25 对s 厶( n ，瓦) 依然成立 证明：s l ( n ，或) 的幂零轨道亦可用7 7 的分划来刻画，我们可以证明 它与( n ，霹) 豹幂零孰邋稠同 s l ( n ，k ) t ，sg l ( 札，取) j 是显然的，另一方面比g ： g 二( ，蚝) ， 一l 护扛蚶z 。南，( 南) 。蠢。印协_ 所以s 二( n ，瓦) - ，一g 己( ”，砭) ， 口 注记2 7 珏o l ta n ds p a l t e l l s t e i n 在1 9 8 5 年( 参考 1 8 ，2 1 ) 曾给出一个公 式，但此公式相当复杂蔼且很难具体计算 7 3k a w a n a l ( a 公式的推广 在本节中，我们设g 是域上的单代数群，其中k 是代数闭域，p = c l l a 麒 k a w a n a k a 在假设3 1 的条件下证明了定理3 3 f i n v e n t i o nm a t h ，v o l 6 9 ，1 9 8 2 ) ，我们在本节将其推广到轨道的闭包上去( 仍在假设3 1 的条 件下) 。 假设3 1 ：( i ) p 对于根系西来说是安予的 ( i i ) 如果g 是4 f 型，驯f + 1 ，则g 是单连通的 ( i i j ) 如果g 是珞，易，岛，霸，g 2 ，耍晒4 f 他+ 3 ，其中，n 是垂+ 中最岛根的高度 定义3 2 我们用表示g = l i e ( g ) 的f 目自同构，阶为2 ，且满足以下 条件： ( i ) r = t ( i i ) o 三= g 一。，n 中 其中t 表示极大环面，4h q 做g 的反鸯磷构 定理3 3 ( k a w a n a k a ，f l 。】) 设( ? 是磊上豹单代数群，其中p 满足假 设3 1 ，g 定义在玛上，对应的n o b e n i u s 映射为，1 ，c ) 是f 稳定的g 的幂 零轨道，则我们有 0 f 。制f 小( ”y ) ) 、) 2 x ( 9 9 ) o y 0 p 其中x 是峙的非平凡的加法特征标，k ( ，) 是g 上的a d g 不变的双线性 型，+ 是定义3 2 中给出的反自蠲构，白f ) o 是g f 中豹幂零元集是正 根的个数 引理3 4 若y o x ，0 x 是x 所在的幂零轨道，f ( y ) o x ，则0 x 8 是f 稔定的 证明：设y z x ，茹g ，蕊4 f ( y ) = f 扛t x ) 一f 扛) f ( x ) 设f ( y ) = x ，则f ( x ) = f ( 。) - x ，所以v z x 0 x ，我们有f ( z tx ) = f ( 。) rf ( x ) = f 0 ) f 扛- 1 ) 掣- x 0 x ，所以0 x 是f 稳定的， 引理证毕 口 由引理3 ，4 可知，当0 x 不是f 稳定的时候，则0 x 中不可能有f 1 的固 定点，所以公式3 3 的两边均为零公式依然成立，所以k a w a n a k a 的公 式3 3 可以推广到任意幂零孰道上去 引理3 5 幂零轨道。的闭包西满足巧= u j o ，其中= 弘：( 砖 ( ) ，其中幂零轨道 ! | 勺偏序定义为d ，d 。当慝仅当石1 巧2 证明： 首先上述偏序的定义是经典的( 见【3 】或圈) 。 其次证百足一些幂零轨道的不交并由闭轨道定理( 参考1 8 】) 移是一。些 轨道的并考虑最大的幂零轨道0 。，它在幂零簇( 所有8 幂零元的集 合) 中是稠密的( 参考【9 ，8 5 舞u 0 g 。，蘑以移至珥。，= ，掰 以西中的元素都是幂零元 最后我们证明万= u 址o ，其中，如上定义 右边包含在左边是显然的。由上述泛述，假设万一u 。so ，f 垂s ， 取t s ，则o t 石，所以万万，所以( ) t ( ) ，所以t ，与以 上的取法矛盾所嗡，一s ，所以巧= u ，o 引理证毕， 口 定理3 6 在假设3 1 的条件下，设p 足g 的幂零轨道尉我钌有 、2 f 矿i = g 2 f x f ，y ) ) ， x ( 矿) oo ! o y o 9 其中符号的含义参见定理33 证明： 由弓| 理3 5 可箱，西= u o ，! o ( ) ，所噬套移f = u 。，s d o ”， 9 所以 矿| 。磊旧卜磊a 棚x 嘉，文点，烈可，y ，) ) o s oo7 3 ， 则此时p 为图自同构( 参考 1 7 ，1 l 】) ，g ( ( y ) = g ，v 所以n = 丁1 如，玛= 功日，其中丁1 ，亿为g 的自同构，且引起图自同构相同但由半单代数群 1 4 自同构结构定理( 参考 8 ，2 7 4 1 ) ，n ，n 相差内自同构此定理立即得 证下面我们的证明对特征没有特别的限制 证明：以下证明的基本思想就是对典型单代数群逐个验证此时可 以证明这个内自同构就是极大环面中的元素引起 由引理4 ，1 1 可知： f 1 x 。( t ) = x ( c 。t 9 ( 。) ，局x 。( t ) = x p 。( 矿( “) 其中，c 。7 k + ，k 而我们知道v 丁， ( z ) ，。_ 1 = x 。) ) ， 所以 c kf 1 x 。( t ) = x p 。( p q ( ) 9 ( 。) 然而g = ，故我们仅需证对单根对应的根子群 满足：存在 t ，使得g k 日= f 2 即可即证明p 。( 1 ) 气= 7 ，因 为 p n ，。 = ，所以即是证明存在 丁，满足毗( f # ) = o 。，其 中v 毗，啦+ 是给定的一组数 下面分别我们验证上述h 的存在性 肌1 1 5 对 h i | ，no m 抖 、，。 “ 。 ；| 陬 应的方程组为 急= o l 鲁= 。 燕= 。n l 2 - t n + l = 1 由于是代数闭域，方程维显然有解，所以 是存在的 ( i i ) 当g 为c k 型时 设 = 1 0 0 2 0o 0o oo oo 。 o 0 ， 二1 o 0 o 0 单根系为 ( 毗，2 3 ，n 。，口。= = 碍) ，则o 。( ) = 吼对应的方程组为 急= 。 鲁= n 。 等= n 醒= o 。 由于是代数闭域，方程组显然有解，所以 足存在的 对于其余的典型单代数群，我们可以一一验证，我们在此略去 口 注记4 1 3 这样我们就得到1 0 9 i 的分类结构，即它是由g ，g 及p 的作 用决定的，这是一个与李型有限群的分类完全平行的结果下面我 们要举出一个反例，即若日，焉是g 的f r o b e n i u s 映射，同时定义在b 】6 上0 是毋，f 2 稳定的幂零轨道，如果f l ，尼在根系中上引起的p 作用不 同，则1 0f 1 i i o 凡| 这就是说我们所得到的分类结果从这个意义上来 说是比较理想的 例4 1 4 设g = g l ( 3 ，或) ，f = 7 ，娲是g j 上的标准的提升口次方 的n o b e n i u s 映射，y ：g g ，7 ( 9 ) = n o ( 9 7 ) _ 1 n o ，其中9 表示矩阵的转 置， n 0 = 则f 足定义在瓦上的n o b e n i u 8 映射 在幂零轨道( ) 满足1 0 l ( ) “i 证明：f 的确是6 的定义在b 上的跏b e n i u s 映射( 参考f 5 ，4 1 】) 由 于b 诱导的是平j 、l 的图自同构，且在第二节我们已经给出其计算公 式，所以我们可以分以下步骤来完成证明 步骤1 f 引起非平凡的图自同构 设7 1 是g 的标准的极大环面，即可逆的对角矩阵全体，b 是标准 的b o r e l 子群，即可逆的上三角矩阵全体我们可以直接验证( 在此略 去) f 保持丁和b 稳定的，所以f 诱导标准形式单根系的景换 f 根系+ = f “，卢，c 。+ p ) ，对应的根子群为，+ 口，可 1 7 存构同自图的同1 1 吒 与、起 1 o o 引 0 l o 且 得 f ( ) = x = ( i i ；) g ( ，+ x ) ， 的 我们不难 应 其中左边为a d 作用，右边为共轭作用，此时作用是一致 验证# 是定义合理的，而且是单射满射所以是一个一一对 1 8 0 r、 、，l1 0 o 0 0 l 0 1 0 z l o 0 o 1 1 0 oflll一 n 1 o 0 ， z 聃 帅 。 q ， = 0 1 0 u o哪。 ，o o 小， 日 日 步骤3 上述作用妒将不动点映到不动点 f ( x ) =a d 7 ( x ) = a 出 所以 f ( 擘( f + x ) ) =f ( 9 ) f ( ，+ x ) ) = f ( 曲 设口x 在此等式两i 所以 尸( 口) ( ，十 ，l _ 1o 、i ： 哟) 1 ol l l o o l f ( 9 ) 0l 0 0 o0 ，o l o 、 li 、， 卵+ lo o l 1 ) 9 。 lo oo f 白，( ii l ) = 9 ( ii ；) = s c ，+ x ， 、， 0 o o l o o o 0 o ，一 珊 、f 0 o 0 o o 4 o d o ，。，。一 、， 0 _ 0 _ o o 0 0 0 ，一 0 r l 一 、， o 0 l 0 l 1 l 1 o ，一 0 7 以所 、) 瞵；l卜， ， o l o 、， l 0 一 o 1 0 o o o o 所以我们有f ( g ( ，+ x ) ) = 9 口十x ) ，即步骤2 建立的对应将不动 点映到不动点 步骤4 i ( g x ) f l i ( g x ) 凡1 由步骤3 可知，j ( g x ) f l = 旧( + x ) ) 9 | _ 而由引理2 4 可知j ( g ( ，+ x ) ) f i = l g f ( ，+ x ) | ，所以i ( g x ) f = i g ( ，+ x ) l 同第一 节一样，我们可以建立轨道映射并且得到 i g ( ，+ x ) i = 酉黑 而g p = 9 3 0 + 1 ) ( q 2 一1 ) ( 9 3 + 1 ) ( 参考 5 ，4 2 ) ，在第二节我们可以计 算 ( g ，x ) 如l = 垡竺二摹；= a ( 9 2 1 ) ( q 3 1 ) 假设i ( g fx ) f i = i ( g x ) r l ，则我们得到 删f = 茫= 掣拦业 显然足不能保证此值永远为整数的所以 i ( g x ) f l i ( g - x ) 岛 例题证毕 口 5 5g l ( 礼，或) 的幂零轨道性质 在这一节中，设g = g l ( n ，瓦) ，g = g l ( ”，或) = l i e ( g ) ，我们讨论 由第一节公式所求得b 的幂零轨道不动点个数性质 设由”的分划a 决定的g 的幂零轨道为o ，记o ( 乳) = 0 0 ，表示 标准的n o b e n i u 8 映射 设a = ( a 1 ，a 2 j ，) 是，；的分划，a = 1 ，m 2 ，m 。) 表示a 的对 偶，n 为 a ，：1sj r 中出现的t 的个数，则我们必定有m ，= s 7 1 + r 2 + - + k ，竹。2 = 7 2 + - + ，竹l s = n ，而且n = 哦 t = l ，产一m ； i = 1 定理5 2 1 0 ( ) z 嘲，而且i 仇( ) i 对应的多项式 ( z ) ( 见定 理2 5 中的表达式) 满足d e g ( ( z ) ) = d i m ( = ) ，其中d e g 表示多项式的 次数 证明：由定理2 5 可知 仉( ) 一i q 时董“t ”1 ( 1 一g 一1 ) ( 1 一p ) ( 1 一g 一1 ) ( 1 一一) 而由下面定理53 的证明过程可知 掣嘻掣孤+ 黔t 又因为o ( 峨) l 必为自然数，我们可以证明 9 ( q ) = i o ( ) l q h 事实上，我们不妨设9 ( g ) = ， ( q ) + 器，其中 ( g ) ，s ( g ) ，( g ) q m ， 而且d e 9 ( 5 ( g ) ) d e g ( ( q ) ) ，通分之后，可得印( q ) = c ( g ) + 器c ，其 2 1 中c 是一个常数自然数。这样对于v g = p ，c g ( q ) 和c 0 ) 都是整数 令g 充分大时，嚣一+ o ，所以菇= o ，9 ( g ) q 然后我们对比系数立刻可知，i o ( 峙) z m 所 三l 0 译。) i z n ( 凡一1 ) n ( n + 1 ) 广十f 一+ 一n 一观陬一t ) 一 = 扎2 一一，n ；+ ，n ； l ；l江1 = 矛一m ； t = 1 = d j m o 定理5 3 i 巩( ) ；有常数项当且仅当a ；( i ”) 或a = ( 2 ，l “一9 证明： 从下面的计算性证明我们可以看出， 掣+ 壹每掣拗+ 壹嘣一1 ) 。 t = l 。 l ；1 所以由i ( ) ，、( n ) f 的表达式我们只需证明 心一1 ) = 2 ，n ；一n ( 1 ) 当且仅当a w ll - 1 因为n ：壹。n ，m 。：n + + 所以 诗l 当且仅当 口 + n r 。 一m 。m 2 | j 一玮访 十 rr 。 一 r ，日 ，芦 2 | l d r ，汹 r 。 当且仅当 当且仅当 机 = 1 1 ) n = o 因为n o ，所以“一1 ) 2 0 1 ) n ，所以上式成立当且仅 当“一1 ) n = o 或1 ，当且仅当r 2 = 0 或1 ，n = o ，。3 ，所以 a 。) 只可能 出现2 个数1 2 若任意a i = 1 ，则5 = 1 ，a = ( 1 “) 若九中l 和2 同时出现，则a = ( 2 ，1 ”2 ) 定理证毕 口 j扩 甜 。瑚 2 2 ； c = 乏 。 。“ 一 2 z 。：i j吼 m 。瑚 2+ 辨 。 夏 | | 。m 0咖 一 0 。脚 2 + 、 研 l一 。沮 参考文献 1 】b o r e i ，a ， l i n e a ra l g e b r a i cg r o u p s ，s p r i n g e r v 宅r l a g ( 1 9 9 1 ) 2 c a r t e r ，r w ，s i m p l eg r o u p 8o fl i et y p e ， j o h nw i l e y ，l o n d o n ( 1 9 7 2 ) 3 】c a r t e r ，r w ，f i n i t eg r o u p 80 fl i et y p e ，w i l e y i n t e r s c i e n c e ( 1 9 8 5 ) 4 1c o l l i n g w o o d ，d ，ha n dm c g a v e r nw m ，n i l p o t e n to r b i t si ns e m i s i m p l el i ea l g e b r a s ，、r a n ( 1 9 9 3 ) 5 】g e c l ( ，m ， a ni n t r o d u c t i o nt o a l g e b r a i cg e o m e t r y a n da l g e b r a i c g r o u p 8 ， o x f o r du 1 1 i v e r 8 i t yp r e s s ( 2 0 0 3 ) 6 1 万哲先，李代数，科学出版社( 1 9 7 8 ) 7 1i u m p h r e y s ，j ，e ，i n t r o d u c t i o nt ol i ea l g e b r a sa n di 毛e p r e s e n t a i o n t h e o r y ，g t m v 0 i9s p r i n g e 卜r l a g ( 1 9 7 2 ) 8 】h u m p h r e y s ，j ，e ，l i n e a ra l g e b r a i cg r o u p 8 ，g t m v o l2 l ( t h i r dp r i n t i n g ) s p r i n g e r v e r l a g ( 1 9 8 1 ) 9 1j a n t z e n ，j ，c ，n i l p o t e n to r b i t si nr e p r e s e n t a 土i 。nt h e o r y l i n “l i e t h e o r y ，l i ea l g e b i aa n dr p r e s e n t a t i o nt h e o r y ”，p a g e s1 1 6 8 ，b i r k h o l l s e r ( 2 0 0 2 ) 1 0 1k a w a n 础池，n ，f b u r i e rt r a n s f o r m so fn i l p o t e n t l yi n v a r i a n tf u n c t i o n s o nas i m p l el i ea l g e b r a 。惝ra6 n i t e6 e l d ，i n v e n tm a t h6 9 ( 1 9 8 2 ) 1 l 】l e h r e r ，g ，i ，t l l es p a c e 。fi l w a r i a 工l tf u n c t i o n 8o na 石n i t el i ea l g e _ b r a n a n s a c t i o no fa m s ，3 4 8 ，( 1 9 9 6 ) 1 2 】l e t e l l i e r ，e ，f 0 u r i e rt r a 工1 s f o r m so fi n v a r i a n tf u n c t i o n 8o nar e d u c t i v e l i ea l g e b r a ，l n m ，1 8 7 9 ，( 2 0 0 5 ) 【1 3 】k a n e d a ，ma 1 1