（基础数学专业论文）非σ有限测度的乘积测度.pdf

摘要 本文设t ，x 是完备可分的度量空间，t x x 是乘积空间。设是t 上的完 备的b o r e l 概率测度，t 是x 上的预测度从u 和r 出发，我们可以通过两种 不同方式定义乘积空间t x 上的测度。我们证明在r 是一有限的情形下，这 两种方式定义的测度都等于t x 上的乘积测度v ，其中，表示由r 按方 法i 所构造的外测度；在r 是非一有限时，证明了在一定的条件下函数r ( 日) 与r ( 易) 都是t 上的可测函数，其中ec txx ，毋= 。x ；( t ，z ) 叼。 关键词 乘积测度；可测性；集的截口；f m 一条件 a b s t r a c t i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，l e tta n dxb ec o m p l e t es e p a r a b l em e t r i cs p a c e s ，a n d t xb et h e i rp r o d u c ts p a c e l e tpb eac o m p l e t eb o r e lp r o b a b i f i t ym e a s u r e o nta n drap r e m e a s u r eo nx f r o m a n drw em a yd e f i n em e a s u r e sf o rt h e p r o d u c ts p a c et xb yt w od i f f e r e n tw a y s i nc a s eri s 口一f i n i t e ，w es h o wt h a tt h e m e a s u r e sd e f i n e db yt h e s et w ow a y sa r ee x a c t l yt h ep r o d u c tm e a s u r e 丁+ w h e r e ri st h em e t h o dim e a s u r ei n d u c e db yr f o rtn o n - o 一f i n i t e ，w ep r o v e ，u n d e rs o m e a s s u m p t i o n s ，t h ef u n c t i o n sr ( e t ) a n d 丁+ ( e t ) a r em e a s u r a b l eo nt ，w h e r ee ct x ， e t = x x ；( t ，z ) 曰) k e yw o r d s p r o d u c tm e a s u r e ；m e a s u r a b i f i t y ；s e c t i o n so fs e t s ；f m - c o n d i t i o n s 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：装p 窜寸 时间：加啼6 年厂月尼日 i 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文： 在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 ( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名： 盖 孑糖铲 签名日期：6 年f 月l v 日 一引言 测度在数学研究的重要性表现在两个方面。一方面，测度可以估计一个集 合的大小，e b o r e l 9 早在1 8 9 4 年就说明了l e b e s g u e 外测度可以作为估计某 些集合的大小的一个重要方法；另一方面，测度也可以定义积分。1 9 0 4 年， l e b e s g u e 测度也是h l e b e s g u e 1 嘶构造l e b e s g u e 积分的必不可少的工具。当 然，这两个方匾在测度理论中的重要性是等同的 近百年来，人们尝试着在不同的集合与空间上构造各式各样的测度。并 且，许多学者对于测度的理解也有各自的观点j r a d o n 1 1 着重强调测度定 义在一个1 3 0 r e l 环上，而c c a r a t h e o d o r y 垤】则更关注定义在所有集合上的测 度。例如，以c a r a t h e o d o r y 构造为基础建立的h a u s d o r f f 测度与维数【8 可以对 任何集都有定义，甚至是对不规则的分形集以这为出发点，我们希望尽可能 多地得到一些可以应用于非一一有限的测度的结论 在不同的空间中也有不同的测度构造方法有许多测度的构造都是通过 预测度定义的，我们通常将这样的构造测度的方法称为方法i 与方法i i 。“方 法i ”与“方法i i ”的概念是m e m u n r o e 1 4 】在1 9 5 3 年给出的 在抽象空间中，利用方法i ；集函数在非常弱的条件下就可以定义一个测 度。设c 是抽象空闻n 上的一个子集类，我们将定义在c 上的集函数r 称为 预测度，如果r 满足； ( o ) 0 c ； ( b ) 0 r ( c ) + ，c c ； ( c ) r ( 0 ) = 0 那么，集函数 p ( e ) 。聪r 鼢) e c u qi = i 是n 上的测度我们将测度p 称为由预测度r 构造的方法i 测度。并且，空 间中的每一个测度都可以被看作是由方法i 构造而成的 在度量空间中，我们往往借助于度量定义测度 设( q ，p ) 是一个度量空间，任意的子集e 的直径定义为 d ( e ) = s u pp ( x ，) r 是定义在q 的子集类c 上的一个预测度集函数 u ( e ) = s u p # 6 ( e ) 6 0 o o 其中出( e ) 5q 。蕊涎；至r ) ecogi 是c 上的测度我们将测度p 称为由预测度r 构造的方法i i 测度。方法i i 测 度也称为度量测度h a u s d o r f f 测度就是一个由预测度构造的方法i i 测度。方 法i i 的优点在于可以构造出使b o r e l 集可测的测度人们常常利用这两种方 法构造的测度进行研究 在本文中，我们考虑在乘积空间中用方法i 来构造乘积测度。 在一般测度理论中，在两个d r 一有限的测度空间的乘积空间上定义乘积测 度，可以唯一地得到一个d r 一有限的乘积测度 本文在两个完备可分的度量空间t 与x 中，设v 是t 上的完备的b o r e l 概率测度，r 是x 上的预测度t x 是t 与x 的乘积空间从r 和r 出 发，我们可以通过两种不同方式定义乘积空间t x 上的测度我们很容易 证明在r 是一有限的情形下，这两种方式定义的测度都等于txx 上的乘积 测度v 一，其中，表示由r 按方法i 所构造的外测度 但是，正如我们前面所说，希望将研究的结论尽可能的应用到非a 一有限 的测度上，所以，我们期望能够在乘积空间中构造非。一有限的测度的乘积测 度。那么，在预测度r 是非一有限时，能否给出一定的条件，使得函数r ( 毋) 与 r + 慨) 仍然是t 上的可测函数? 其中ect x ，且= 协x ；( t ，。) 目。 f a j c o n e r 与m a u l d i n 1 】对预测度给出了一些限制条件，我们将其称为f m 一 条件f a l c o n e r 与m a u l d i n 证明了在f m - 条件下，如果x 是局部紧的，且 t x 的子集e 满足e 的每个t 截口日都是p 紧的，那么r ( 黾) 是p 可 测的，且得到了由非口一有限的测度构造的乘积测度 本文利用完备可分的度量空间中解析集的性质，进一步简化了f a l c o n e r 和 m a u l d i n 的结论 2 二预备知识 在这一章中，我们将介绍一些必要的术语和结论。 2 1 乘积测度与f u b i n i 定理 设x 与y 是任意的两个集合，由一切序对( z ，y ) 组成的集合，其中z x ，y y ，称为笛卡儿乘积空间记为xxy 乘积空间最为熟知的例子就 是欧几里得平面，它也常被看作是两个坐标的乘积。若a x ，b y ，使得 axb cx y ，我们将形如a b 的集称为x y 中的矩形。 现假定冗与乒分别是由x 与y 的子集组成的a 一代数，我们用记号 冗，表示一切形如a b 的集合的类产生的口一代数，其中a 冗，召，。 这个一一代数是由x y 的子集组成。 若( x ，与( y ，) 均为可测空间，那么( x r 冗，) 也是可测空间， 称之为可测空间( x ，冗) 与( y ，) 的笛卡儿乘积空间，简称( x ，冗) 与( y ，) 的 乘积空间若a 冗，口，则a b 称为可测矩形。而两个可测空间的乘 积空间中的全体可测集类冗，就是由全体可测矩形类产生的a 一代数。 定义2 1 _ 1 设( x ，冗) 与( r 刁均为可测空间，( x r 冗，) 是它们的乘 积空间，设e 是x y 的个子集，任取z x ，y y ， 令易= 扫：( z ，y ) 研，现cy ；岛= 伽：( 。，y ) 研，b ycx ，则称琶 为e 的x 一截口，蜀为e 的y 一截口 注：截口不是乘积空间中的集，而是分支空间中的子集。并且，截口的概 念可以不依赖于可测概念而直接定义 定义2 1 2 设，是乘积空间x y 的子集e 上的任意一个函数，。是x 中 的任意一点，则定义在截口e t 上由等式厶( f ) = ，( z ，y ) 得出的函数厶称为， 的z 一截口同样的，由y 中的点y 确定的，的y 一截口定义为疗( z ) = ，( z ，y ) 。 截口具有以下性质： 定理2 1 1 ( i ) 乘积空间中的可测集的几乎每个截口都是可测的； 3 ( 2 ) 乘积空间中的可测函数的几乎每一个截口都是可测的 研究乘积空间的性质，不仅考虑乘积空间的分支空间是可测空间，而且考 虑分支空间是测度空闻的情形。下蔼我们弓l 出乘积泓度懿概念 定理2 1 2 设( x ，冗，p ) 与( y 芦，) 均为o - 一有限的可测空间，e 是x y 中的可测子集，令，( 善) = v ( 毋) ，g ( 9 ) = p ( 日) ，z x ，y y ，则，g 分别是关 于“，”的可测函数，且有 ( z t ) 上，( z ) 舡= 上，( “) 缸或上二地( 茹m d 一咖= 二上凇( 。，v ) 咖咖 从而可以得到乘积测度的定义。 定理2 1 3 设( x ，冗，p ) 与m 芦，v ) 均为a 一有限的可测空间，对于冗， 中的每一个可测子集e ，定义集函数 rr ( 2 2 )a ( 国) = ”( 屁) 舡= p ( 现) 毗 j x4 y 则集函数 也是一个一一有限的测度，并旦具有下述性质：对每一个可测矩形 a b ，有a ( a b ) = p ( a ) v 旧) ，这就唯一的确定了a 则测度 称为测度肛 与的乘积测度，也记为卢p 测度空间( x r 兄芦，i z 1 1 ) 称为( x ，兄，p ) 与( y j ，v ) 的乘积测度空间 通过讨论乘积空间上的积分与分支空间上的积分的联系，期望这同乘积 空间上的测度与分支空间上的测度联系是一样的，下面就是著名的关于重积 分易序的f u b i n i 定理； 定理2 1 4 设( x ，冗，芦) 与( y ，p ) 均为a 一有限的测度空间，设，( 。，y ) 是xxy 上的可积函数，则( z ，y ) 的几乎每个截口是可积的，记( 。) = 矗厶( 9 ) 咖，妒( g ) = ，x 九( ) 咖，z x ，口y 且有 prr ( 2 3 ) ，( 。，) d ( p p ) = ：西( ) 4 p = f 妒( ) d l 4 一般地，在定理2 1 3 与2 1 4 中，一一有限这一条件不能删去。下面举出 一个反例【1 8 】来说明这一点 例设x = y = 0 1 】，测度芦是 0 , 1 上的l e b e s g u e 一测度，a 是y 上的计 数测度。若z = y ，令，( z ，y ) = l ；若。y ，令，y ) = 0 则 ，( 。，g ) d 卢( ) = 0 ，( 。，g ) d ( 9 ) = 1 。，y o ，1 则 二d ( f ) x y ( z , y ) 咖( 。) = 。1 = 五咖( 。) 二，( z m n ( n 因为a 不是a 一有限的测度，定理2 1 3 与2 1 4 不成立。 2 2 s o u s l i n - 运算 定义2 2 1 【4 】若4 是任意的一个集类，s o u s l i n a 集是指形如 o 。 ( 2 4 ) a = un a 记哦矗 l l ，1 2 ，1 3r - n = l 的集合。其中，对每一个有限的正整数列i t ，i 2 ，i 。，a i 。：，o 。a ；其中 的并是对全体正整数列而言的集合a 也称为集合a i ，i 。l 。的s o u s l i n - 运算 的结果 注：尽管集合a 是建立在 中集合a 也。h 的可数的系统上，但在( 2 4 ) 式中是对且中的可数的集合作不可数的并运算。 由于( 2 4 ) 式中的符号书写繁琐，以下给予一些符号上的约定 定义i 是所有具有正整数分量的无穷向量i = i l ，i 2 ，的系统。给出一个 i 中的向量z 。我们用in 定义有限向量in = i l ，i 2 ，i 。，它由i 的前n 项 得到，读作“i 限制到n ”，从而可以得到 ( 2 5 ) 定义2 2 1 若4 是任意的一个集类，s o u s l i n a 集是指形如 a = u n a h i e ln = l 的集合。其中，n 1 ，j j ，a i 。a 5 在完备可分的度量空间中，若4 是一个闭集簇，则将这样的s o u s l i n - a 集 称为解析集 解析集都是l e b e s g u e - 可测的，这一结论早在1 9 1 7 年已由n l u s i n 得出， 由此产生了许多结论。s 。s a k s ( 1 9 3 t ) 与e m i c k l e ( 1 9 5 8 ) 进一步得到，对给定的 一个测度，其可测集在s o u s l i n 运算下是封闭的。 下面的引理表明这个结果对正则的测度是成立的。 引理2 2 1 4 1 令p 是一个正则的测度，令m 是芦一可测集类，那么所有的 s o u s i i n m 集都是p 一可测的 证明：令e = un 抛l 。，其中，n 1 ，i i ，鸠l 。朋 1 n = l 记n ( in ) = n 磊旧，n 1 ，i i ，秀b 么 p = l ( 2 6 ) e = un ( i in ) ， l ，n = l 其中，n l ，i i ，n ( i ln ) 3 4 。 设a ，b 是两个有限的芦一可测集，满足ac e ，b c a e 。 欲证e 是一个p 一可测集，即证明u ( aub ) = p ( a ) + p ( b ) 成立，而 u ( a u b ) u ( a ) + p ( b ) 显然成立，则只需证明p ( a u b ) p ( a ) + p ( b ) 。 首先，令5 0 定义i ( 1 ，k ) 垒 i = i l ，i2 7 ；1 i 1 k ，i 1 1 ，那么， 0 0o o e = uun ( k = l i e l ( 1 ，) n = 1 又因为a e ，a n e = a ，则序列 0 0 a n un ( jn ) ( = 1 2 ) i e r ( 1 ，女) n = l 是一个不减的序列由于肛是一个正则的测度，满足递增集引理，则可选取一 个正整数h ，满足对七k 1 ，有 p ( a nun a in ) ) p ( a ) 一 i e l ( 1 ，) n = l 记g ( 1 ) = j ( 1 ；女) ，那么 p ( a nun an ) ) p ( a ) 一e 6 现假设对某个正整数r 1 ，可选取正整数k 1 ，k 2 ，k ，使得 ( 27 ) o o p ( a nun n ( i in ) ) p ( a ) 一 i e k ( r 、n = 1 其中k ( r ) = 0 = 1 ， 2 ；1 i l k 1 ，1 i 2 k 2 ，1 i ，k r ，i n 。 令j p + l ，k ) = 0 = i l ，t 2 ，；1 n k l ，1 i 2 k 2 ，l i ，+ l k ，+ 1 ，i j ，那么序列 a n un ( in ) ( = 1 2 ，) i e i ( r + l ，k ) n = l 是一个不减的序列，且随着k _ ，序列anun 墨ln ( in ) - an i e l ( r + l ，七) u nn ( in ) ) 所以，我们可以选取足够大的k r + l ，使得 p ( a n un on ) ) p ( a ) 一 i e k ( r + i ) n = l 其中k ( r + 1 ) = o = l ，i 2 ；1 i l k l ，1 i 2 k 2 ，1 辞+ l 辟+ ， ” 从而，我们可以以这种方式归纳地选取k 1 ，k 2 ，使得对r = 1 ，2 ，都 有( 2 7 ) 式成立 然后，我们将讨论转移到另一个系统上 对于每一个r 1 ，有 n ) cun ( in ) i e k ( r ) 使得 芦( 且) 一5 p ( a nur 1 ( in ) ) 0 ， 0 t ：y ( t ) - 4 v ) 。根 据度量妇的定义，对任意的f k ( x ) ，如果妇( e k ) 充分小，则有fcv 。 由条件( g 1 ) ，立得 t i m s u pr ( f ) t ( y ) r + ) ，由引理1 的证明及耳的紧性，存在k 的一个开覆盖 u 阢，使得n r ( 巩) 。由度量妇的定义，对任意的f j c ( x ) ，若妇( f ，k ) 充分小，则有f cu 矾，所以 1 1 罂蛩? 。r + ( f ) 一( 阢) r ( 阢) 0 ， t t ：一( 皿) o ) 是解析集。 定义函数，：尼) “【o ，o o ，( ( 墨) ) = e ：r ( 恐) 。由引理1 及g 旧) 的 定义，有 0 t ：f + ( 岛) o ) = p t ：j 恐) ，( 雹) 使得，( 蚝) ) 8 = p r ( g ( e ) n ( t i - i 【o ，) ) ) 其中，毋是t j l ：僻) n 到t 上的的坐标投影。 由引理2 知，r 是上半连续的，可得函数，是b o r e l 可测的。所以， t 1 - 1 o ，a ) 也是b o r e l 集 令a 是乘积空间t x 咒) “上的子集，定义如( 4 5 ) 式因为e 是 t x 的一个b o r e l 子集，所以由引理3 的证明可知，a 也是b o r e l 集，又因 为e 的t 一截口e t 都是a 一紧的，则a 的( t ， 蜀) ) 一截日也是口一紧的 由s a i n tr a y m o n dt h e o r e m 可知，且到t 厄) n 的投影g ( e ) 。是b o r e l 集，则g ( e ) 也是b o r e l 集 所以9 ( e ) n ( t f - 1 【o ，凸) ) 是b o r e l 集，则它在t 上的投影 t t ；r ( 最) 易见g 是日在t x 上的投影。 注意到 ( 4 6 ) h = n 。nn un 巩，k n l女l 1 n 其中，对每一个n ，集合 a n = ( t ，。，a 1 ，x 2 ，) ：( t ，z 。) e ) 且对每一个正整数对( m ) ， 甄，k = 始。，乱，z 2 ，) ：( ，2 。) e 且d 。) i 1 ) 1 9 显然，每个b 。， 是开集，且每个a 是解析集，因为e 是解析集 所以由( 4 6 ) 式，h 也是解析集。又因为g 是h 在t x 上的投影，立 得g 是tx x 的解析子集。口 参考文献 1 k j f a l c o n e ra n dd r m a u l d i n f u b i n n t y p et h e o r e m sf o rg e n e r a lm e a s u r e c o n s t r u c t i o n s ，m a t h e m a t i k a4 7 ( 2 0 0 0 ) 2 5 1 2 6 5 2 p r h a l m o s m e a s u r et h e o r y ( g t m1 8 ) 印r i n g e v e r l a gn e wy o r k n c ( 1 9 7 4 ) 3 p m a t i l l aa n dd r m a u l d i n m e a s u r ea n dd i m e n s i o nf u n c t i o n s m e a s u r a b i l i t y a n dd e n s i t y , p r o c c a m b r i 幻ep h i l 3 0 ( 1 9 9 8 ) 3 9 7 _ 4 0 3 f 4 】ca r o g e r s ，殇绷魄德绷溯h a u s d o f fm e a s u r e s ，c a m b e r i 由eu n i v e r s i t t y p r e s s ( 1 9 7 0 ，1 9 9 8 ) 1 - 4 9 5 nl u s i n s u rl ac l a s s i f i c a t i o nd em b a l r e ，c o m p t e sr e n d u e 1 6 4 ( 1 9 1 7 ) 9 1 4 6 1s 。s a k s t h e o r yo f t h ei n t e g r a l ，2 n de d n 。，h a f n e r 。n e wy o r k ( 1 9 3 7 ) 3 4 7 7 】e j 、m i c k l e o nac l o s u r ep r o p e r t yo fm e a s u r a b l es e t s ，p r o c a m e r m a t h s o c 9 ( 1 9 5 8 ) 6 8 8 9 8 】k jf a l c o n e r t h eg e o m e t r yo ff r a c t a ls e t a ，c a m b e r i 曲eu n i v e r s i t t y p r e s s ( 1 9 8 5 ) 7 1 3 7 2 3 9 e b o r e l s u rq u e l q u e sp o i n t sd el at h e o r yd e sf o n c t i o n s ，a n n e c o l e n o r m s u p ( a ) 1 2 ( 1 8 9 8 ) 9 - 5 5 1 0 h l e b e s g u e l e c o n ss u rl i n t e g r a t i o ne tl ar e c h e r c h ed e sf o n c t i o n sp r i m i t i v e s ， g a u t h i e r - v i l l a r s p a r i s ( 1 9 0 4 ) p 3 4 2 1 1 j r a d o n t h e o r i eu n da n w e n d u n g e nd e ra b s o l u ta d d i t i v e nm e n g e n f u n k t i o n e n ，s b e r a k a d w i s s w i e n1 2 2 ( 1 9 1 3 ) 1 2 9 5 1 4 3 8 【1 2 c c a r a t h e o d o r y u b e rd a sl i n e a r em a s sv o np u n k t m e n g e n e i n ev e r a l l g e - m e i n e r u n gd e sl a n g e n b e g r i f f s ，n a c h g e s w i s s g o t t i n g e n ( 1 9 1 4 ) 4 0 4 4 2 6 1 3 w e n z h i - y i n g m a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o n so ff r a c t a lg e m e t r y , ( c h i n e s e ) s c i t e c e d u p u b s h a n g h a i ( 2 0 0 0