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数学物理中若干非线性微分方程的精确解 摘要 随着计算机代数理论的发展，众多物理学家、数学家和计算机科学家都相继投入到非线性数 学物理方程精确解的构造这一非线性科学领域的主要研究方向上来。由于对非线性微分方程没有 统一的求解方法，因此近五十年来一些特殊的方法相继被提出。利用计算机代数理论开发的符号 计算软件如m a t h e m a t i c a 和m a p l e 等被广泛应用。并结合特定的展开方法开发出了软件包，使得 某些特定形式的解的构造机械化了。但是这些方法太多没有考虑其深层的理论基础，也很少考虑 方法本身的局限性。同时某些新方法的应用还有待于进一步的推广。本文就是针对这些问题展开 了比较系统的研究并在具体的计算过程中对于某些困难的非线性代数方程组的求解使用了 m a t h e m a t i c a 软件，这也是计算机技术在数学物理中的重要应用。首先讨论了射影r i e e a t i 方程方 法。通过研究各种射影r i e e a t i 方程方法，给出了这一方法的统一格式，并且研究了这个方法的数 学基础，指出了射影r i e c a t i 方程方法的局限性。通过几个定理的形式，指出对于某些秩非齐次的 非线性微分方程射影r i e c a t i 方程方法是不适 j 的。作为该方法可以应用的例子，讨论了 b b m b u r g e r s 方程的求解。其次，利用刘成仕提出的多项式完全判别系统方法求出了五个非线性 数学物理方程( 组) 的精确解，将带有任意阶非线性项的混合k d v 方程、非线性耦合标量场方程、 2 + i 维b o u s e n i s q 方程、m a c c a r i s 方程组和( 2 + 1 ) 维广义h i r o t a 方程约化成初等积分形式，再利用 多项式完全判别系统求出精确行波解，有些甚至得到了所有的精确行波解，其中许多是新解。最 后，利j j 刘成仕提出的试探方程法求出了两个非线性数学物理方程的精确解，即1 + 1 维 c a m a s s a - h o l m 方程和j a u l e n t - m i o d e k 方程，这两个方程是不易或不能直接化成初等积分形式的。 利用试探方程将所求方程约化为初等积分形式，进而得到所求方程的精确解，这些解中含有其它 方法从未得到过的新解。 关键词：微分方程；精确解；射影r i c c a t i 方程方法；多项式完全判别系统方法；试探方程法 e x a c ts o l u t i o n st os o m en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n m a t h e m a t i c a lp h y s i c s a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e ra l g e b r a i ct h e o r y , m a n yp h y s i c i s t s ，m a t h e m a t i c i a n sa n d c o m p o t e rs c i e n t i s t sa r ea t t r a c t e dt os t u d yt h ec o n s t r u c t i o no fe x a c ts o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rm a t h e m a t i c a l p h y s i c se q u a t i o n s f i n d i n ge x a c ts o l u t i o n sf o rn o n l i n e a re q u a t i o n si so n eo fm a i na i m si nn o n l i n e a r s c i e n c e s i n c et h e r ei s n tu n i t e dm e t h o df o rs o l v i n gn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s o m es p e c i a l m e t h o d sa r ep r o p o s e di nr e c e n tf i f t yy e a r s w i t ht h eh e l p so fs y m b o l i cs o f t w e a rl i k em a t h e m a t i c aa n d m a p l e ，t h ec o n s t r u c t i o no fe x a c ts o l u t i o n st os o m en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sm e c h a n i z e d s o m e s o a r ep a c k a g e sh a v eb e e nf i n i s h e d b u tm o s to ft h e s es p e f 2 1 a lm e t h o d sm i s ss t r i c tf o u n d a t i o n si n t h e o r y , a n dh a v el i m i t a t i o n si np r a c t i c e a tt h es a m et i m e s o m en 州m e t h o d sn e e dt ob ea p p l i e dt om o r e e q u a t i o n s i nt h i sp a p e r , t h e s ep r o b l e m sa r es t u d i e ds y s t e m a t i c a l l y f o rs o l v i n gs o m ed i f f i c u l ta l g e b r a i c e q u a t i o n ss y s t e m s , s y m b o l i cs o f t w a r em a t h e m e t i c ai sa p p f i e dt ot h e m t h i si s a l s oa ni m p o r t a n t a p p l i c a t i o no f c o m p u t e rt e c h n o l o g yt om a t h e m a t i c a lp h y s i c s f i r s t , p r o j e c t i v er i c c a t ie q u a t i o nm e t h o di s d i s c u s s e di nd e t a i l a c c o r d i n gt ot h es c h e m eo fe v e r yp r o j e c t i v er i c c a t ie q u a t i o nm e t h o d , au n i t e d s c h e m ei sg i v e n f u r t h e r m o r e ，m a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o no ft h i ss c h e m ei ss t u d i e d ，a n di t sl i m i t a t i o n si n p r a c t i c ea r ep o i n t e do u t t h r o u g hs e v e r a lt h e o r e m s ，t h ef a c tt h a tp r o j e c t i v er i c c a t ie q u a t i o nm e t h o dj a n t s u i t a b l et os o m en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hn o n h o m o g c o u n sr a n ki ss h o w e d a sa p p l i c a t i o n , b b m - b u r g e r se q u a t i o ni ss o l v e d s e c o n d ，u s i n gt h em e t h o do fc o m p l e t ed i s c r i m i n a t i o ns y s t e mf o r p o l y n o m i a l , an u m b e ro fe x a c tt r a v e l i n gw a v es o l u t i o n s t of i v en o n l i n e a rm a t h e m a t i c a lp h y s i c s e q u a t i o n sa r eo b t a i n e d ，w h i c hi n c l u dc o m p o u n dk d ve q u a t i o nw i t ha n yo r d e rn o n l i n e a rt e r m , n o n l i n e a r c o u p l e ds c a l lf i e l de q u a t i o n , 2 + 1d i m e m s i o n a lg e n e r a l i z e dh r o t ae q u a t i o n , m a a r i se q u a t i o n ss y s t e m a n d2 + 1d i m e n s i o n a lb u s s i o n e s qe q u a t i o n s o m es o l u t i o n sw e r en e w a tl a s t , u s i n gi j u st r i a le q u a t i o n m e t h o d ，m a n ys i n g l et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n s t ot w on o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，l e ，1 + 1 - d i m e n s i o n a lc a m m n s a - h o l me q u a t i o na n dj a u l e n t - m i o d e ke q u a t i o n , a r eg i v e mh o w e v e r , r e d u c i n g d i r e c t l yt h e s et w oe q u a t i o n st oe l e m e n t a r yi n t e g r a l si sd i f f i c u l to ri m p o s s i b l e b yt r i a le q u a t i o nm e t h o d , a ni n t e g e r a b l es u b e q u a t i o nw a ss e p a r a t e df r o mt h ee q u a t i o nc o n s i d e r e d ，a n dt h e r e b yt h ec o r r e s p o n d i n g s o l u t i o n sa r eo b t a i n e d a m o m gt h o s es o l u t i o n s ，s o m ea r en e w k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a le q u a t i o n , c x a c ts o l u t i o n ，p r o j e c t i v er i c c a t ie q u a t i o nm e t h o d ，c o m p l e t e d i s c r i m i n a t i o ns y s t e mf o rp o l y n o m i a lm e t h o d , t r i a le q u a t i o nm e t h o d h i 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确 说明并表示谢意 作者签名：埠日期：。掣2 学位论文使用授权声明 本人完全了解大庆石油学院有关保留、使用学位论文的规定学校有权保留学位 论文并向国家主管部门或箕指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用 于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容 编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文 在解密后适用本规定 学位论文作者签名： 枇华 日期：2 d 口7 孑f 二 ， ， 1 导师签名：弘f 日期：7 ，z 创新点摘要 1 本文通过研究各种射影r i c c a t i 方程方法，给出了该方法的统一格式，并且研究了这个方 法的数学基础，证明了该方法的局限性。 2 本文利用多项式完全判别系统方法求出了五个非线性数学物理方程( 组) 的精确解，这些 解中含有其它方法从未得到过的新解，有些是该方程或方程组的全部精确行波解： ( 1 ) 在2 1 中，在求带有任意阶非线性项的混合k d v 方程的精确行波解中，对于情形1 ，文 献中得到的所有解在本文中用更初等的方法全部得到了。情形2 和情形3 中的所有解都是新解。 ( 2 ) 在2 2 中，对于非线性耦合标量场方程，得到了该方程大量的丰富的精确行波解，其中 包含有理函数型解、孤波解、三角函数型周期解和椭圆函数型周期解，其中 ( 1 5 6 ) ( 1 5 7 ) ( 1 5 9 ) ( 1 5 9 ) ( 1 6 0 ) ( 1 6 1 ) 是新解，本文求解的条件即 d 和a 的取值范围更广 ( 3 ) 在2 3 中，对于2 + 1 维b o u s e n i s q 方程，利用3 阶多项式完全判别系统求得了该方程的 所有精确行波解，其中包括有理函数解、三角函数周期解和j a c o b i 椭圆函数双周期解。这些解中 有一些是新的。 ( 4 ) 在2 4 中，对于m a c c a r i s 方程组，利用多项式的完全判别系统方法得到了该方程组的所 有精确包络行波解。 ( 5 ) 在2 5 中。得到了( 2 + 1 ) 维广义h i r o t a 方程的所有的精确包络行波解。 3 本文利用试探方程法求出了两个非线性数学物理方程的精确解，这些解中含有其它方法从 未得到过的新解： ( 1 ) 在3 1 中，对于1 + 1 维c a m a s s a - h o l m 方程，用试探方程法将方程化成初等积分形式， 求得了它的某些精确行波解，其中包括三角函数周期解和双曲函数解。这显示了试探方程法在不 易或不能直接化成初等积分的非线性微分方程求解方面的有效性，同时也显示了初等积分方法在 求精确解方面的简洁性。 ( 2 ) 在3 2 中，在求j a u l e n t m i o d e k 方程的新的精确行波解时，利用试探方程法此方程约化 成初等积分的形式，再利用四阶多项式的完全判别系统，求出了该方程的精确行波解，其中包括 椭圆函数双周期解和有理函数解，这是其它方法没有得到过的。 i v 人庆札油掌院城i 研究牛学位论殳 引言 随着计算机代数理论的发展，众多物理学家、数学家和计算机科学家都相继投入 到非线性数学物理方程精确解的构造这一非线性科学领域的主要研究方向上束。由于 对非线性微分方程没有统一的求解方法，因此发展了许多针对各种特殊类型方程的求 解技巧。例如反散射方法，h i r o t a 双线性方法，b a c k l u n d 变换方法，齐次平衡法，射 影r i c c a t i 方程展开方法，形式变量分离法，以及代数展丌方法等，特别是随着计算 机代数理论开发的符号计算软件如m a t h e m a t i c a 和m a p l e 等被广泛应用，结合特定的 展开方法开发出了软件包，使得某些特定形式的解的构造机械化了。但是这些方法大 多没有考虑其深层的理论基础，也很少考虑方法本身的局限性。最近，刘成仕提出了 两个求解菲线性数学物理方程非常有效的方法，即多项式完全判别系统方法和试探方 程法。对于能直接化成初等积分形式的方程得到了所有可能的精确行波解，多项式完 全判别系统方法显示了其简洁直接的特点。试探方程方法从方程的自身结构着手，对 非线性常微分算子进行因子分解，即使方程本身不可积，也可以分出来一个可积的子 方程，这样就得到了它的部分精确解，这在求解观念上是一个大的改变。目前的发展 趋势是继续寻找更普遍的求解方法，并研究这些方法的数学基础。这里的问题主要是 各种方法的适用范围需要研究清楚，而现有的文献对此很少涉及。同时一些新方法的 应用也需要更迸一步的拓展。例如多项式完全判别系统方法和试探方程法是可以应用 到更多的方程和方程组的。本文对于这些问题做了比较系统的研究，在理论上得到了 若干新结论，在应用上得到了若干新结果。主要研究内容表现在以下三个方面： 一是对射影r i e c a t i 方程方法的理论研究。对于多项式型的非线性微分方程，可 以分为两类：一类是秩齐次的，例如h i r o t a - s a z u m a 方程，广义g i n z b u r g - l a n d a u 方程 等；另一类是秩非齐次的，例如k d v - b u r g e r s 型方程，带耗散项的非线性波方程等。 对于不是多项式形式的非线性方程，很多可以通过变换化成多项式形式，因此研究这 些方程是有比较普遍的意义的。本文在广泛研究射影r i c c a t i 方程方法的基础上，以 多项式型的非线性微分方程为例，给出了射影r i c c a t i 方程方法的统一格式，并且研 究了这个方法的数学基础，指出了射影r i c c a t i 方程方法的局限性，并给出了这个方 法的一个应用。对于秩非奇次非线性常微分方程，如果所含多项式是高阶多项式，那 么用射影r i c c a t i 方程方法不能求出它的解，射影r i c c a t i 方程方法不再适用。对于秩 奇次非线性常微分方程，如果能够约化成初等积分形式，那么它的所有精确解都可以 用多项式完全判别系统方法求出，根本没有必要用射影r i c c a t i 方程方法求解。特别 地，某些由射影r i c c a t i 方程方法求出的解，根本就不是解。其原因可能是在利用 m a t h e m a t i c a 解代数方程组时产生增根造成的。 引言 二是多项式完全判别系统方法的新应用。利用这一方法求出了五个非线性数学物 理方程的精确解。其中包括带有任意阶非线性项的混合k d v 方程，得到的精确解中 有许多是用其它方法还没有得到过的新解：对于非线性耦合标量场方程，得到了该方 程大量的丰富的精确行波解，其中包含有理函数型解，孤波解，三角函数型周期解， 椭圆函数型周期解，其中许多是新解，而且本文求解的条件取值范围更广；对于2 + l 维b o u s e n i s q 方程的精确行波解，得到了丰富的结果，其中有些解其它方法还没有得 到过；( 2 + 1 ) 维广义h i r o t a 方程的所有包络行波解以及m a c c a r i s 方程组的所有包络行 波解都得到了。事实上，这几个完备的结果用其它展开方法是不可能得到的。 三是试探方程法的新应用。利用该方法求出了两个非线性数学物理方程的精确 解。首先利用试探方程法化1 + 1 维c a m a s s a - h o l m 方程为初等积分形式，进而求出其 精确行波解。其次用试探方程法将j a u l e n t m i o d e k 方程约化成初等积分的形式，再利 用四阶多项式的完全判别系统，求出了该方程包括椭圆函数双周期解和有理函数解的 精确行波解，其中一些新解。这显示了试探方程法在不易或不能直接化成初等积分的 非线性微分方程求解方面的有效性，同时也显示了初等积分方法在求精确解方面的简 洁性。 大庆石油学院硕士研究生学位论文 第1 章射影r i c c a t i 方程方法的统一格式及其应用 对于给定的非线性偏微分方程 0 ，h ，以，“。，) - 0 ，( 1 - 1 ) 考虑它的行波解 u ( x ，f ) - “( 亭) ，亭一w x + c t ，( 1 2 ) 那么，方程( 1 - 1 ) 就变成如下非线性常微分方程 肘0 ，u t , ”，) - 0 ( 1 - 3 ) 人们在求解方程( 1 3 ) 方面提出了许多方法b - t 5 i 在这些方法中，各种射影r i c c a t i 方程方法被广泛研究0 6 - 2 3 1 文献 1 6 中，c o n t c 等提出了一种具有一般性的寻求某些非 线性偏微分方程更多新孤立子解的方法，那些解能表达成一个由满足射影r i c c a t i 方程 【1 7 1 的两个初等函数构成的多项式后来，y a h f l 8 1 发展了c o n t e 的方法并提出了更一般 的射影r i c c a t i 方程方法许多作者1 2 z - 2 5 1 利用y a n 的方法求解了许多非线性偏微分方程 在文献 2 1 中，一些非线性偏微分方程或方程组都被约化成如下椭圆方程 中弋宇) + 七1 m ( 亭) + 岛中3 ( 亭) 0 ， ( 1 4 ) 利用y a h 的技术，e m m a n n e l y o m b a 得到了方程( 1 4 ) 的1 6 种精确解然而，下文将会指 出其中1 1 种根本就不是解 本章讨论了射影r i c c a t i 方程方法的几个方面。首先给出了射影r i c c a t i 方程方法 的统一格式，其次研究了这个方法的数学基础，接着指出了射影r i c c a t i 方程方法的局 限性，并给出了这个方法的一个应用对于秩非奇次非线性常微分方程，如果( 1 3 ) 中 即的多项式是高阶多项式( 在很多情况下，方程( 1 - 3 ) 包含m 的多项式) ，比如是四阶或 更高阶多项式( 详见本文1 2 ) 那么用射影r i c c a t i 方程方法不能求出它的解，射影 r i c c a t i 方程方法不再适用如果方程( 1 - 3 ) 是能够约化成初等积分形式的秩奇次非线性 常微分方程，那么它的所有精确解都可以用多项式完全判别系统方法求出t g - ”! ，根本 没有必要用射影r i c c a t i 方程方法求解特别地，某些由射影r i c c a t i 方程方法求出的解， 比如文献 2 1 1 h b 方程( 1 - 4 ) 的1 6 种解中的1 1 种解( 详见本文1 4 ) ，根本就不是解其原 因可能是在利用m a t h e m a t i c a l 解代数方程组时产生增根造成的 3 第1 章射影r i c c a t i 方程方法的统一格式及其应用 1 1 射影r i c c a t i 方程方法的统一格式 根据射影r i c c a t i 方程方法的格式下面给出射影r i c c a t i 方程方法的统一格式： 第一步将方程( 1 - 3 ) 的解表达成以下形式： 峭咀( ，) + g h ：( ，) i , 羹b l f i + g 薹c ， 这里，佶) 是下面常微分方程的一个解 f 一f g ， 0 - 5 ) ( 1 6 ) 9 2 一f ( ，) 一霎q ，g 一三f ( ，) ， ( 1 - 7 ) 其中，槐。，m ：，m ，是非负整数由方程( 1 - 5 ) ，( 1 - 6 ) ) 及( 1 - 7 ) 可以得到以下方程 盯a ；( ) i g + 委f ( f ) f a ：( ，) + h 2 ( f ) f f ( f ) ，( 1 - 8 ) ”- 日：( ，) ，2 f ( ，) + 月j ( ，) 正f ( ，) + h m ) 1 2 f l ( ，) + 1 z f ( f ) h ：( f ) f 2 94 i f f ( ，) 日：( f ) f g + 吾，x ，以( ，) ，2 9 + h ：( ，妒( ，) ，2 9 + h z ( f ) f ( f ) f g( 1 - 9 ) 等等把这些方程如( 1 - 5 ) ，( 1 - 8 ) 和( 1 - 9 ) 带入方程( 1 3 ) 并利用方程( 1 - 6 ) 和( 1 7 ) 得到如下方程 g l ( ，) + g g ：( ，) - 0 ，( 1 - 1 0 ) 这里g i ( ，) 和g ：( ，) 都是，的多项式 第二步根据平衡原则，可以求出m ，m 。和历：的关系，从而确定它们各种不同的 取值 第三步令g 1 ( ，) 和g ：( ，) 的各幂项系数为零，会得到一个代数方程组，解方 程组可得a i ( f o ，1 ，所，) ，b j ( i - o ，1 ，m 。) ，c j o - o ，1 ，册：) 的值当然，方程组可能 会无解，这说明当川，m 。和肌：取相应的值时，用本文提出的射影r i c c a t i 方程方法不能 4 大庆石油学院硕士研究生学位论文 求解方程( 1 3 ) 第四步由方程( 1 - 6 ) 和( 1 - a 方程( 1 6 ) 可写成以下形式 ( ，) 2 一，2 ，( ，) ，( 1 1 1 ) 那么，方程( 1 1 1 ) 就可以约化成初等积分形式 土停一晶) 。编d f ( 1 - 1 2 ) 第五步把q ( fno ，1 朋，) 代入方程( 1 1 2 ) ，并利用i f ，阶多项式的完全判别系统 将f ( f ) 的根进行分类，就可以求解方程( 1 - 1 2 ) ，并且能够求出方程( 1 - t 1 ) 的精确解 从而，方程( 1 3 ) 的精确解就能相应的求出来 注1 ：易知，一般的射影r i c c a t i 方程方法是本文提出的方法的特殊情况：如果令 - 一，- n - 1 ，册3 - 2 ，那么射影r i c c a t i 方程方法的统一格式就给出文献 2 1 中 提出的射影r c c a t i 方程方法：如果令竹- 所，优2 一辨一1 ，鸭- 2 ，那么射影r i c c a t i 方程方法的统一格式就给出文献 2 3 中提出的射影r i c c a t i 方程方法，等等 1 2 射影r i c c a t i 方程方法统一格式的主要结论 为了清晰地表达这些结论，不妨考虑方程( 1 - 3 ) 的如下形式 矿+ 绷。荟即， ( 1 - 1 3 ) 这里a ，d l ( f o ，1 ，七) 都是任意常数，七是正整数许多实际模型比如b b m b u r g e r s 方 程都能约化成这个方程本文得到了方程( 1 - 1 3 ) 的一些奇特的结果下面的那些定 理表明射影r i c c a t i 方程方法有某些局限性对于方程( 1 1 3 ) ，由第一步和第二步可 以得到m 。，研：和i f 3 的一些关系比如，如果k 一2 ，那么m ：等及鸭- ；如果 二 k - 3 ，那么刖：一。及1 啊等于是，小，m ：和鸭的各种可能的取值就可以得到 二 了在小，m ，和肼，的这些取值中，当取其中的某些值时，方程( 1 - 1 3 ) 就可以用射影 r i c c a t i 方程方法的统一格式求解；但是，当取其中的另外一些值时却无法用这种方法 求出方程( 1 - 1 3 ) 的解本文得到了以下定理 定理1 至少在以下几种情形下，利用射影r i c c a t i 方程方法的统一格式可以求出 5 第1 章射影r i c c a t i 方程方法的统一格式及其应用 方程( 1 - 1 3 ) 的解： 情形1 ：当k - 2 时，( 1 ) m 3 一= 1 ，脚2 - 0 ；或( 2 ) m 3 一一4 ) m 2 0 ； 情形2 ：当七一3 时，m 3 2 ，- 1 , m 2 - 0 证明：简单起见，这里仅证明情形2 当k - 3 时，方程( 1 - 1 3 ) 变成 n + c 霸v - d 3 “3 + d 2 “2 + d 1 + d o ， ( 1 - 1 4 ) 把方程( 1 5 ) ，( 1 - 8 ) ；g l ( 1 - 9 ) 代入( 1 - 1 4 ) 并利用方程( 1 6 ) f t l ( 1 - 7 ) ，得到方程( 1 一l o ) ， 这里。 g ，( 厂) 一日i ( ，) ，2 f ( ，) + 日：( ，) 伊( ，) + 三日：( ，) ，2 ，( ，) + 三2c z f ( f ) h ：( ，) + a l l 2 ( f ) f f ( f ) 一d ，p ，。( ，) r d ：【日，( ，) 】2 3 d ，f ( f ) h ，( ，) 旧：( ，) 】2 一d 2 f ( ，) 阻：( ，) 】2 - d 。h 。( f ) - d 。 ( 1 - 1 5 ) g ：( 厂) - i 2 f w 泌：( ，) ，2 + ( ，渺：( ，) ，+ 扣( ，) 咄，) ，2q h 2 ( ，) + 月：( ，) f ( ，) 厂2 + 月：( ，) f ( ，) ，+ 日：( ，) f ( ，) ，2 + 础：( ，) ， 一豺，阻。( ，) 】2 h ：( ，) 一d ，( ，) 阻：( ，) 】3 2 d ：塌( ，矽：( ，) ( 1 - 1 6 ) 由第二步知，m 3 可取2 ，m l 可取1 ，m 2 可取o ，即，鸭一2 ，愧- l , m 2 - 0 于是有 日- ( ，) 。荟包，4 ，日z ( ，) 。c 0 ，( ，) 。荟4 j ， ( 1 _ 1 7 ) 把( 1 1 7 ) 代入( 1 - 1 5 ) 和( 1 - 1 6 ) ，再利用第三步，令，的各幂项系数为零，可得以下代 数方程组： 知2 c o 一材3 砰c o d 3 a 2 c 0 3 0 ， ( 1 - 1 8 ) a 6 l 一6 d 3 b i b o c o d 3 a l c ；一2 d 2 b l c o 一0 ， ( 1 - 1 9 ) 3 d 3 b ；c o + d 3 a o c ：+ 2 d 2 b o c o + d 1 c o 一0 ， ( 1 - 2 0 ) 2 b l a 2 一d 3 睇- a c 0 2 d 3 a 2 b l 0 ， ( 1 - 2 1 ) 岛4 14 t m l 2 c o 一3 d 3 6 ：一3 d 3 c ；口b o 一3 d 3 c ；口l b l d _ 砰- d 2 a 2 c 0 2 0 ( 1 - 2 2 ) 玩4 0 一3 d 3 岛瑶一3 d 3 c 2 a l b o 一3 d 3 c ：a o b l 一2 d 2 6 1 6 0 d 2 4 l c ；- d l b l - 0 ( 1 - 2 3 ) 大庆石油学院硕士研究生学位论文 d 3 b 。3 + 3 d 3 c ；4 0 + d 2 瑶+ d 2 口o c 0 2 + d l b o + d o - 0 ， ( 1 - 2 4 ) 解方程组( 1 - 1 7 ) - ( 1 2 3 ) ，至少有以下解： - 瓦1 加盟笔2 蒜等2 蔗焉制3 瓮恭笺铲2 ， 铲麴学弛一鲤铲心- 器 ( 1 2 5 ) 这里，6 1 是任意非零常数这表明方程( 1 1 3 ) 在七- 3 同时鸭- 2 ，鸭- l , m 2 一o 时有解 定理2 ：至少在以下几种情形下，利用射影r i c c a t i 方程方法的统一格式不能求出 方程( 1 - 1 3 ) 的解： 情形1 ：当七一2 时，( 1 ) 鸭- - 2 , m ：- 0 ，或( 2 ) m 3 - 呐一2 ，- 1 ，或 ( 3 ) m 3 - 啊- 3 , m 2 - 1 ，或( 4 ) 鸭- ，l l - 4 ，埘2 - 1 ，或( 5 ) 鸭- m - 4 , m 2 - 2 ； 情形2 ：当七一3 时，( 1 ) m 3 - 3 , m a - 1 , m 2 - 0 ，或( 2 ) m 3 - 4 啊- 1 , m 2 - 0 ，或 ( 3 ) 1 3 4 ，l i - 2 , m 2 0 证明：简单起见，这里仅证明情形2 的( 1 ) ，即当七一3 同时鸭- 3 , m _ i - 1 , m 2 一o 时， 利用射影r i c c a t i 方程方法的统一格式不能求出方程( 1 1 3 ) 的解当七- 3 时，方程( 1 - 1 3 ) 变成 i , n - i - 口f m - 如3 + d 2 u 2 + 即+ d e ， ( 1 - 2 6 ) 相应地，有 q ( 厂) 。荟岛，4 ，日z ( ，) - c o , f ( ，) 。荟q ， ( 1 2 7 ) 由第三步，可得以下代数方程组： 昙口3 c 0 一以昏，。o ， 2 a 2 c 0 一材衍- d 3 a 2 c ：- 0 ， ：1 + 呜一6 d 3 b p o d 3 c 3 0 a l 一豺a o ， 材薪+ d 3 c ：a o + 2 d g , o c o + d l c o - 0 ， 7 第1 章射影r i c c a t i 方程方法的统一格式及其应用 c 妄如，- 3 d ，4 办一0 ， 却：+ 扣3 c o _ d 薪一材，n 硝一材，口麻一d ：口彳- o ， 三呐+ 口口2 c 0 一蜊一射，n 州2 一材，n a 一d 片一d 一彳一o ， b ：o + 1 a 4 。c 0 3 d 3 6 归；一3 d ，4 1 6 扩；一3 如口。魄c 0 2 d a b o d ：口。c ；一d ，岛- o ， d 扣0 + 3 c 屯口o c ；+ d 2 碍+ d 2 a o + d l b o + 磊一o ，( 1 2 s ) e a g y 程组( 1 - 2 8 ) 可得c 2 一云及一壶，这是矛盾的故方程组( 1 - 2 8 ) 无解于是易 知，当七- 3 同时- 3 ，- 1 , m 2 - 0 时，利用射影r i c c a t i 方程方法的统一格式不能求 出方程( 1 1 3 ) 的解其它几种情形可以类似证明定理2 证毕 定理3 ：当k 之4 时，利用射影r i c c a t i 方程方法的统一格式不能求出方程( i - 1 3 ) 的解 证明：当k 4 时，很容易知道，不管，和m ：取何非负整数，都无法平衡 g l ( ，) 和g ：( ，) 的最高阶导数项和最高阶非线性项 注2 ：由以上结果可知。射影r i c c a t i 方程方法具有局限性 注3 ：前面提出的射影r i c c a t i 方程方法的统一格式还可以进一步发展，如，在方 程( 1 - 5 ) 和( 1 7 ) 中取日。( ，) ，h 2 ( f ) t f t f ( f ) 为有理函数 1 3 椭圆方程西憎) + 毛垂( 亭) + 岛垂3 皓) 一0 的解的讨论 在这部分，首先列出椭圆方程中弋亭) + 毛中( 宇) + 毛矿皓) 一o 即方程( 1 4 ) 的所有解， 特别地，指出文献【2 1 】中许多解根本不是解 将方程( 1 - 4 ) 积分两次，可得 ( 亭一岛) 。席 ( 1 2 9 这里，d 是积分常数由初等积分法l ”“，可以得到方程( 1 2 9 ) 的所有解： 8 大庆石油学院硕士研究生学位论文 压鼬c 尽剖， 一压州尽创， 一雁t a n c 再伊枞 吼停) 一 2 ( 1 - 3 0 ) ( 1 - 3 1 ) ( 1 - 3 2 ) ( 1 - 3 3 ) 啭) i 屈劬压) ) - 2 南 ( 捌) - 肛砰愕) ) _ 2 盘 ( 1 3 5 ) 吣卜序粗2 店伊跏2 盘 m 3 6 ) 西。皓) 。( 一2 屯) 1 1 【口+ ( 卢一口) 蚰z ( 匕( 一2 岛声( 亭一岛) ，小) 】_ 1 ， 似。卢r ，肼：生竺) ，( 1 3 7 ) 吣争( - 地) 【尘亟正煎垫毕堕业# ， c n 2 “y 一口“一2 七3 ) 3 - 言o ) 2 ，m ) 。户。y ，肼：。生竺) ，( 1 3 8 ) 中。( 宇) 。浮) 【_ 丢一一手( 1 - 3 9 ) - r 3 1 + c n ( ( 一8 d k 3 ) 一4 ( 亭一晶) ，m ) 以上是方程( 1 4 ) 的所有精确解下面将指出在文献【2 1 】中方程( 1 - 4 ) 的许多解根本 不是解 在文献【2 1 】中，利用射影r i c c a t i 方程方法( 实际上，它是本文提出的射影r i c c a t i 方程方法的统一格式在a t , 。雄，r n ，。雄一1 ，- 2 时的特殊情况1 ，e m m a n n u e ly o m b a 9 第1 章射影r i c c a t i 方程方法的统一格式及其应用 得到了方程( 1 - 4 ) 的1 6 种解：m 。，中：，m 。( 详见文献【2 1 】) 然而，实际上这些解中许 多都是错误的 经简单的计算很容易证明，文献【2 1 】中的解呜，中。，m ，中。，o 。根本不是方程 ( 1 4 ) 的解例如，在文献【2 1 】中， 啪) - 坛鼬噼) ，叩 于是有 叫吨，层型唔等詈固， c 4 - ， 将方程( 1 - 4 0 ) 及( 1 - 4 1 ) 代入( 1 4 ) 得 2 瓴- i ) 一0 ， 由方程( 1 4 2 ) 知，一定有白- 1 因此，文献【2 1 】中的解中，根本不是方程( 1 4 ) 的解 用荚似万_ i 去口j 以让明，又默【2 1 】甲万栏( 1 - 4 ) 的群中，垂7 ，m 8 ，t l , ”肴i s 卜是( 1 川网 解 这样，实际上文献【2 1 】中只有5 种解是方程( 1 - 4 ) l 的解： 卟压蛐唇：- 压洲居，- 压t a n c 序， 卟雁州序一层詈， 显然，它们都属于前面列出的方程( 1 - 4 ) 的所有解 注4 ：在方程( 1 - 3 2 ) 中，若令磊- 。，则啦停) - 、荨柚( 一争) ，它恰好就是文献 【2 1 】中的解若令晶一去，则吣亭) i 雁州二争) ，它恰好就是文献【2 1 】 中的解m 。也就是说西。和m 。是方程( 1 3 2 1 的特殊情况 大庆石油学院硕士研究生学位论文 1 4 对b b m - b u r g e r s 方程的应用 考虑b b m - b u r g e r s 方程 口t + h ，+ 删，一勉曩一肛脚_ 0 把方程( 1 2 ) 代入方程( 1 4 3 ) 得 n + o 豇- d 2 u 2 + d l u ， 这里。 1+ c 万d 2 。五面d l 。丽。 由定理1 ，若取鸭- ，l l 一1 ，m ：一0 ，则方程( 1 4 4 ) 有解故有 f ( ，) a l f + 口o ，h 。( ，) - 魄，+ 6 0 ，h ：( ，) 一c 。 ( 1 - 4 3 ) ( 1 _ 4 5 ) ( 1 - 4 6 ) 将方程( 1 4 6 ) 代入方程( 1 - x s ) 和0 1 6 ) ，并令，的各幂项系数为零，则得到下面的代数 方程组： 1 去4 l c o + a b i 一2 d 1 6 1 c o - 0 ， 2 d l b o c o + d 1 。o 一0 ， 吾岛4 。一d ：砰- o ， “+ j 1 伽，c 。一扰：一饥c 。2 一d 。钆- o ， d 2 配+ d 2 a o c 0 2 + d l b l + d o - 0 解方程组( 1 4 7 ) ，得如下解： -一j1，c。-i磊3a，口。一三d：+詈d；c。2一jlbo c 。d ：， 一j ，。o 。i 夏_ = j = - ，口o 。j d ：+ j d ；吒一j 。：， b l d 2 叼+ 4 l d o 一 9 d 2 口2 a o d l ( 6 d 1 一d 2 ) 2 由方程( 1 4 6 ) ，方程( 1 1 2 ) 变成 峥珈礁 4 。一丝h c o ( 1 4 7 ) ( 1 - 4 8 ) 1 1 第1 章射影r i c c a t i 方程方法的统一格式及其应用 解方程( 1 - 4 9 ) 得 晦珈去- n 黥、a l l4 - a 04 -， 、口。 增引一击一氏， a o o ) ， ( 0 ) ( 1 - 5 0 ) ( 1 - 5 1 ) 土售吲一寿，( a o = 0 ) ( 1 - 5 2 ) 根据方程( 1 5 ) ，并利用方程( 1 4 6 ) ，( 1 - 4 8 ) 及( 1 - 5 0 ) - ( 1 - 5 2 ) ，就可以得到方程( 1 - 4 4 ) 的解， 进而可以写出b b m - b u r g e r s 方程( 1 4 3 )