（应用数学专业论文）carnot群上及与广义greiner向量场相关的偏微分算子.pdf

摘要 摘要 本文的研究内容主要有以下两个部分： 一、c a r n o t 群上的偏微分算子 我们考虑了一类特殊的2 步c a r n o t 群一日型群上的偏微分方程。首 先，我们构造出了日型群上的一类极坐标，利用它显式地计算出了日型群 上球的体积和p 一次l a p l a c e 算子基本解中的常数。然后，我们讨论了日型群 上一些偏微分不等式弱解的不存在性。我们用“积分关系式法”证明了日型 群上退化椭圆型不等式和一阶及二阶退化发展不等式弱解的不存在性。粗 略地说，我们的方法基于推导出所考虑问题的可能弱解的一个合适的先验 估计，而这一过程是通过仔细地选择特殊的非负试验函数和伸缩讨论来完 成的。这种方法避免了使用比较原理或最大值原理，能被应用于一些更一 般的问题中。 接着，我们研究了c a r n o t 群g 上双非线性退化抛物型方程“一般正局 部解”的不存在性。这个方程有很强的实际背景，具有重要的应用价值。 特别地，我们考虑了奇异位势y = 1 翌萨( ，y o ) 。我们的结果说明 了，在可极化c a r n o t 群上，这类方程正解的不存在性与h a r d y 型不等式是 紧密联系在一起的。 二与广义g r e i n e r 向量场相关的偏微分算子 广义g r e i n e r 向量场为 均= 去+ 2 聊h 2 肛2 丕，巧= 亳一2 七蚓2 1 2 扣2 晏， j = l ，n 1 ) ， ( 其中1 ) 不是任何幂零l i e 群的基，不具有平移不变性，也不满 足h 6 r m a n d e r 条件。与之相联系的广义g r e i n e r 算子乱不再是任何幂零l i e 群 上的平移不变微分算子，但它是拟齐次偏微分算子。 与椭圆型方程的几何最大值原理类似的结果，在广义g r e i n e r 向量 场情形下是否成立，还是一个开问题。该开问题可叙述为：设qc 西北工业大学博士学位论文c a r n o t 群上及与广义g r e i n e r 向量场相关的偏微分算于 r 2 n + 1 是一个连通有界开集，l o ( q ) ，t l 搿( q ) nc ( 固，且在q 上 满足l 钍= o 巧u ，玎，则存在一个正常数c = c 旧，q ) ，使得8 u p “ s u p “+ + c0 州l 。我们通过构造与广义g r e i n e r 向量场相联系的一类非散 度型方程的非平凡解，指出在广义g r e i n e r 向量场情形下，在上式的右端 中，的印模是最佳可能的指标。 我们建立了广义g r e i n e r 向量场的h a r d y 型不等式和鼬l l i c h 型不等 式。h a r d y 型不等式和r e l i i c h 型不等式在偏微分方程的研究中都有着重 要作用。我们通过构造合适的辅助函数，给出了空间r 2 叶1 中拟球域内 外的h a r d y 型不等式；给出了相应于广义g r e i n e r 向量场的p 一次l a p 】a c e 算 子l 。的广义p i c o n e 型恒等式，并利用它得到了更一般的h 盯d y 型不等式； 证明了广义g r e i n e r 算子l 的h a r d y 型不等式中的常数是最佳的；给出了一 个具有紧支集的光滑函数的表示公式，然后建立了广义g r e i n e r 算子的一类 含部分变量的h a r d y 型不等式，并证明了其中常数的最佳性；研究了与广 义g r e i n e r 向量场有关的一些改进h a r d y 型不等式和r e l l i c h 型不等式：得到 了一些带有余项的h a r d y 型不等式和r e l l i c h 型不等式。 关键词：c a r n o t 群，广义g r e i n e r 向量场，不存在性，几何最大值原 理，h a r d y 型不等式，r e l l i c h 型不等式。 a b s t r a c t i h et h e 8 i sc o 璐i s t s0 ft w op a r t 8 一p d o so nc a r n o tg r o u p s p d e so n 皿t y p eg r o u p sw h i c ha r ea8 p e c i a lc l a s 8o fc a m o t 舻o u p 8o fs t e p t 、v o 甜ec o l l 8 i d e r e d ，f i r 8 t ，w ec o i l s t r u c tt h ep o l a rc o o r d i n 8 t e sf o r 日一t y p eg r o u p s u s i n gt h i sw ee x p l i c i t l yc o m p u t et h ev o l u m eo fb a l l si nt h es e n s eo ft h ed i s t a i l c e a n dt h ec o n 8 t a n ti nt h ef 1 1 n d 锄e n t a ls o i u t i o no ft h e p 8 u b l 印l a c i a no nt h e 日一t y p e g r o u p t h e nw ed i s c u 黯n o n e 】( i s t e n c eo fw e a ks o i u t i o n sf o r8 0 m ep a r t i a ld i 船r e n t i a l i n e q u a l i t i e so 日一t y p eg r o u p s w ep r o v en o n e ) 【i 8 t e n c er e b u l t 8o fw e a ks o l u t i o n sf o r 8 d e g 氆1 e r 8 把d 如p i cj n e q u d j 专y ad 黟嘴f a t e 矗r s to r d e re v d u t i o ni n e q u 8 】j t y8 n da d e g e n e r a t e8 e c o n do r d e re v o l u t i o ni n e q u a l i t yo nt h e 日一t y p eg r o u pb yt h em e t h o d o fi n t e g r a lr e l a t i o i l s 王幻u g h l ys p e a k i n g ，t h i 8a p p r o a c hi sb a s e do nt h ed 朗i v a t i o n o fs u i t a b l eap r i o r ib o u n 出o nt h ep o s s i b l ew e a ks o l u t i o n so ft h ep r o b l e mu n d e r c o 璐i d e r a t i o nb yc a r e f u l l yc h o o s i n gs p e c i 越n o n n e g a t i v et e s tf u n c t i o ma n ds c a l i n g a r g u m e n t i t 蚋- 0 i d su 8 e0 f m p a r i s o no rm 扣d m u mp r i n c i p i ea r g t 王m e 越sa n di 8 l l s e f u l i n t h es t u d yo f s o m eg e n e r mp r o b l e m 8 、 i ns u c c e s s i o nn o n e ) ( i s t e n c eo f g e n c r a lp o s i t i v el o c a ls o l u t i o i l 8 ”f o r8d o u b l yn o n u n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o no nc 锄o tg r o u pg i 8s t u d i e dt h i 8 e q u a t i o nh a sv e r ys t m n gr e a lb a c k g r o u n da n di m p o r t a n t 印p l i c a t i o nv 甜u e i n p a r t i c u l a rw et a k ei n t oa c c o u n tt h es i n g u l a rp o t e n t i a ly = 7 ! ! ；萨( 7 o ) o u rr e s u l t si n d i c a t et h a tn o n e ) d s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n st ot h i se q u a t i o ni s i n t i m a t e l yr e l a t e dt oh a r d y si n e q u a l i t yo np o l a r i z a b l ec a r n o tg r o u p s 二p d 0 8r e i a t e dt og e n e r a l i z e dg r e i n e rv e c t o rf i e l d g e n e r 翻i z e dg r e j n e rv e c o rl i d dj s 为= 南慨甜籼未，巧= 告地蚓砰眦妄， 七1 ，w h i c hi sn o tt h eb a 8 i sf o ra n yn i l p o t e n tl i eg r o u p i i i j = l ，扎( n 1 ) 里些三些查兰矍圭兰堡垒奎坠：! ! 璧圭垒皇呈兰呈堡! 竺窒塞丝垫叁塑堡堡坌篓垂 t r a n s i a t i o ni n v a r i a n c ea n dd o e sn o ts a t i s 矗e sh 6 r m a n d e r sh y p o e l l i p t i c i t yc o n d i t i o n g e n e r a l i z e dg r e i n e ro p e r a t o r lr e i a t e dt oi ti sn ol o n g e rt h et r a n 8 l a t i o ni n v a r i - a n c ed i 舵r e n t i a lo p e r a t o ro na n yn i l p o t e n tl i eg r o u p ，b u ti 8aq u a s i h o m o g e n e o l l 8 p d o i ti ss t i l la no p e np r o b l e mw h e t h e rt h er e s t l l t8 i m i l a rt ot h eg e o m e t r i cm a x i - m u mp r i n c i p l ef o re l l i p t i ce q u a t i o n 8h o l d si i lt h es i t u a t i o no fg e n e r a l i z e dg r e i n e r v e c t o rf i e l d t h i so p e np r o b l e mc a nb es t a t e da sf 0 1 l o w s ：l e tqcr _ 2 ”+ 1b ea c o n n e c t e d ，b o u n d e do p e ns e ta n d ，l o ( q ) s u p p o s et h a tu 二乏宇( q ) nc ( 回 s a t i 8 t i e sl 札= o 玎u ，玎，i nq t h e r ee ) ( i 8 t 8ac o i l s t a 肛tc = e ( q ，u ，q ) o 8 u 。h “a t8 u p “攀u + + g i i 刷l 。( t h 。u 曲。n s 。u 。1 n gs 0 1 u 。i 。n s 。n o “一 d i v e r g e n c ef o r me q u a t i o n sa s s o c i a t e dt og e n e r a l i z e dg r e i n e rv e c t o rf i e l d ，、v ep o i n t o u t h a ti nt 场sc a s et h e 二0n o 珊o f ，i nt h er j g h 岫a n d8 j d ei st h eb 箦tp o s s j b l e c h a r a c t e r ， h a r d yt y p ei n e q u a l i t i e sa n dr e i l i c ht y p ei n e q u a l i t i e sf o rg e n e r a l i z e dg r e i n e r v e c t o r 矗e l da r ee s t a b 】i s h e d t h e yp l a yi m p o r t a n tr o l e si nt h es t u d yo fp d e s w ey i e l d8 0 m eh a r d yt y p ei n e q u a l i t i e so nt h ed o m a i ni nr 2 n + 1b yc o n 8 t r u c t i n g 8 u i t a b l ea u x i l i a r yf u n c t i o n 8 ；w eg i 、，cg e n e r a l i z e dp i c o n et y p ei d e n t i t i e sf o rp s u b l a p l a c i a n l ，pr e l a 七e d t og e n e r a l i z e dg r e i n e rv e c t o r 丘e l da n da p p l y i n gi tg e ta g e n e r a l i z 。dh a r d yt y p ei n e q u a j i t y ；w ep r o 、，ct h 舭t h cc o n 3 0 a 盛i s 出a r pi nt h c h a r d yt y p ei n e q u a h t yo fg e n e r a l i z e dg r e i n e ro p e r a t o r l ，ar c p r e s e n t a t i o nf o r - m u l af o rs m o o t hf u n c t i o n sw i t hc o m p a c ts u p p o r ti sf o u n d t h e nah a r d yt y p e i n e q u a l i t yi n v o i v i n gp a r tv a r i a b l e si 8e 8 t a b l i 8 h e da r i dt h eo p t i m a j i t yo ft h ec o n _ 8 t 锄ti sp r o v e d f i n 8 l l yw ed e v o t e 协r 部e a r c h i n gi m p r o v e dh a r d yt y p ei n e q u a l i t i 船 a n dr e l l i c ht y p ei n e q u a l i t i e 8a s s o e i a t e dt og e n e r a l i z e dg r e i n e rv e c t o r 矗e l d s o m e h a r d yt y p ei n e q u a l i t i e sa n d 鼬1 1 i c ht y p ei n e q u a i i t i 郫w i t hr e m a i n d e rt e r i i l sa r e 9 8 i n e db yi m p r o v i n gi n e q u a l i t i e se s t d b l i s h e d k e yw o r d s ：c a r n o tg r o u p ，g e n e r 以i z e dg r e i n e rv e c t o r 丘e l d ，n o n e x i s t e n c e g e o m e t r i cm a 撕m u mp r i n c i p l e ，h a r d yt y p ei n e q u a l i t y ，f k l l i c ht y p ei n e q u a l i t y i v 西北工业大学业 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文：l 作 的知识产权单位属于西北 ：业火! 学。学技有权保留井向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内弈编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北卫业 夫学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：j ! 里盟指导教师签名：鱼i l ! 堑必 6 口g 年“月，口日泸“年i f 月乞口目 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明；所呈交的学位论文，是本 人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表戚撰写过的研究成 果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均己在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名：i 墅强， 妒d 6 年f f 月p 曰 第一章绪论 第一章绪论弟一早硒了匕 1 9 6 7 年h 6 r m a n d e r 发表了他的经典文章【6 4 】，提出了著名的有限秩条件， 成功地解决了由非交换向量场构成的平方和偏微分算子的亚椭圆性问题。从 此，由非交换向量场构成的线性与非线性偏微分方程的研究引起了数学研究工 作者的广泛关注，并得到了迅猛的发展。 1 9 6 9 年，b o n y 对满足有限秩条件的平方和算子建立了最大值原理 ( 见【1 7 】) ，为许多问题( 如d i r i c h l e t 问题解的存在性、唯一性、正则性和 先验估计、建立解的几何性质等等) 的研究提供了有力的工具。 1 9 7 0 年，s t e i n 【1 0 0 】在法国n i c e 举行的第1 6 届国际数学家大会上，提出了把 群分析( 主要是群表示理论) 引入偏微分方程研究的思想，把偏微分算予的研 究与群分析联系了起来，使大部分研究与向量场的分析理论相关，使分析与几 何和代数的结合更为紧密。这引起了众多数学家的重视，并获得了许多重要的 结果。 另一方面，有许多向量场不满足h 6 r m a n d e r 的有限秩条件，例如广 义g r e i n e r 向量场、广义b a o u e n d i g r u s h j n 向量场等，与这些向最场相联系的 偏微分算子不再足任何幂零l i e 群上的平移不变微分算子，但足却具有某种伸缩 不变性，是拟齐次偏微分算子。 本文主要研究c a m o t 群上及与广义g r e i n e r 向量场相关的偏微分算子。与这 些算子相关的方程都有其具体的实际背景，有必要进行研究；这些算子都具有 退化性，是现代偏微分方程理论研究的前沿方向之一，值得我们研究。 ； 本文的研究内容主要有以下两个部分： 一、c a m o t 群上的偏微分算子 在第2 章，我们考虑了日璎群上的偏微分方程。 日型群是一类特殊的2 步c a r n o t 群，由k a p l a n 在1 9 8 0 年引进。它 是h e i s e n b e r g 群的一个直接推广，但是它比h e i s e n b e r g 群更加复杂。 我们首先构造出了日型群上的一类极坐标，它类似于r n 上的极坐标，但 与f l o 】中的极坐标是完全不同的。然后，我们利用此极坐标，显式地计算出 了型群一卜球的体积及p 一次l a p l a c e 算子基本解中的常数。 在第2 章的最后三节，我们讨论了h 型群上一些偏微分不等式弱解的不存在 性。不存在性结果在偏微分方程理沦中的重要性是众所周知的，它根源于调和 西北工业大学博士学位论文c a m o t 群上及与广义g r e i n e r 向量场相关的偏微分算子 函数的l i o u v i l l e 定理。我们用“积分关系式法”证明了日型群上退化椭圆型不等式 一g ( 。u ) i 乱1 9 ， 在g ( o ，o ) ) 上， ( 1 1 ) ( 其中口三o o ( g ) ) 和一阶退化发展不等式 u t 一等g ( 蚴) i “h 兰g ( o ，o ) i 【0 ，+ o 。) 上，( 1 2 ) 【“( z ，分，o ) = t 幻( 。，) ，在g ( o ，o ) ) 上， 、 ( 其中o r ) 及阶退化发展不等式 f “一告g ( o “) l “h 在g ( o ，o ) ) o ，+ o 。) 上， u ( z ，o ) = 咖( z ，) ， 在g ( o ，o ) 上， ( 1 3 ) iu t ( z ，可，o ) = l ( z ，可) ， 在g ( o ，o ) 上， ( 其中o l ”( g f 0 ，+ o o ) ) ) 弱解的不存在性。我们的方法基于推导出所考虑 问题的可能弱解的一个合适的先验估计，而这一过程是通过仔细地选择特殊的 1 f 负试验函数和伸缩讨论来完成的。这种方法避免了使用比较原理或最大值原 理，能被应用于一些更一般的问题中。这种方法另一个有趣的结果就是导出来 的弱解的先验估计还能用于证明存在性定理。 在第：j 章，我们研究了c a r n o 馏 g j ：的双非线性退化抛物型，亭程： f 象= v g ( “一1l v g 1 9 2v g u ) 十y “”+ p 一2 ，在qx ( o ，丁) 中， 扎( z ，o ) = u o ( 茁) o ， 在q 中，( 1 ，4 ) i ，“( z ，f ) = ：o ，在a q ( o ，t ) 一 ：， 其中n 是g 中具有光滑边界的有界区域，v g 是g 上的水平梯度，? o ，y 五k ( q ) ，u o 不恒等于零，m r ，1 o ，是c a r n o t 群上的齐次模) 。这种类型的 位势的奇住属丁边界情形( b o r d e rl i n ec a s e ) ，此时，强最人值原理和【7 】及【7 3 】中 的g a u s s 界均失效。这种类型的y 也不属于已得到广泛研究的k a t o 类。我们的结 果说明了，在可极化c a r n o t 群上，这类方程正解的不存在性与h a r d y 型不等式是 紧密联系在起的。 二与广义g r e i n e r 向量场相关的偏微分算子 广义g r e i n e r 向量场为 玛= 差慨绯p 。象，巧= 杀兹珈严。2 晏，j - 1 ) 棚( n 1 ) ， 。 ( 1 5 ) 2 第一章绪论 r 。1 其中z = 。+ 户i 暑，c ”，巧，鳓，r ，例= i ( 弓+ 谚) j ，七1 。广 义g r e i n e r 算子为 l = ( 群+ 弩) ( 1 6 ) = l 当是 = l 时，l 即为h e i 8 e n b e r g 群h “上的次l a p i a c e 算子驴； 当七 = 2 ，3 ，时，l 为g r e i n e r 算子，是g r e i n e r 在研究一类弱拟凸区域上的反问题时自 然出现的；对任何别的 1 ，l 不是任何幂零l i e 群上的平移不变微分算子， 但是它具有伸缩不变性，是拟齐次偏微分算子；向量场 玛，巧) 0 = 1 ，n ) 不 是任何幂零l i e 群的基，不具有平移不变性，也不满足h 6 r m a n d e r 条件。这已经 表明，广义g r e i n e r 算子l 在本质上不同于h e i s e n b e r g 群上的次l a p i 艄e 算子。 在第 章，我们考虑了广义g r e i n e r 向量场的几何最大值原理。类似于 椭圆型方程的a i e l 【s a n d m v b a k e i m a n - p u c c i 原理( 也称几何最大值原理) ，在 广义g r e i n e r 向量场情形下是否成立，还是一个开问题。我们通过构造与广 义g r e i n e r 向量场相联系的一类非散度型方程的非平凡解，指出在广义g r e i n e r 向 量场情形下，l o 模是最佳可能的指标。我们证明了 定理1 1 对任意的o e o 有 ， 2 n 蚝l e l 2 o 玎0 ，f ) 岛白啄1l r ( 1 7 ) ，= 1 ， 卜孽圹0 蒜? ， 有一个非零解= 旷l 2 ，q 一( b 1 ) n g ( 酉) 。 8 翌p u ；凹“+ + e0 ，l 。( 口，) ， ( 1 9 ) b l8 风 1 ， 右端中的l o ( b 1 ) 模不能用较小的模l 日。( b 1 ) 来代替。 在第5 章和第6 章，我们建立了广义g r e i n e r 向量场的h a r d y 型不等式 西北 业大学博士学位论文c a r n o t 群上及与广义g r e i n e r 向量场相关的偏徽分算子 研究函数和它的导数之间的关系的不等式频繁出现于数学的各个分支， 是这些领域进行研究的一个十分有用的工具，例如在微分方程、逼近论等 中。h a r d y 型不等式和r e j l i c h 型不等式就是这些不等式其中之一。 h a r d y 不等式是由h a r d y 首先证明的，至今已有大量的改进和推广工作。它 们在许多数学分支和应用领域中都扮演着极其莺要的角色。例如，在f 0 u r i e r 分 析中，它们足证明h a r d y _ l i t t l e 、= l ，o o d 极大定理( h a r d y l i t t l e w 0 0 dm a x i m a lt h e r e m l 的关键：算子插值中m a r c i n k i e w i c z 定理的证明也需要它们。事实上，它们 是现代插值理论一实方法的基本工具之。在函数空间的研究中，它们也是不 可缺少的。此外，g e l a n d 问题和h a r d y 不等式之间也有着重要的联系。h a r d y 不 等式及它的改进和推广在线性和非线性偏微分方程的研究中也有着重要的作 用，例如在研究带有奇异位势的偏微分方程解的存在性、不存在性、正则性、 渐近行为、椭圆型和抛物型偏微分方程的临界现象、半线性椭圆型和抛物型方 程解的稳定性、特征值问题、特征函数的工2 边界衰减等时，它们都是非常有用 的。欧氏窄间上的r e l l i c h 1 ：等式是由r e l l i c h 任1 9 6 9 年首先证明的，它也被用于 偏微分方程许多问题的研究中。 鉴于这些不等式在理论及应脚中的巨大作用，我们在奉文的最后两章建 立了相应予广义g r e i n e r 向量场的这些不等式。第j ，2 节，通过构造合适的辅助 函数，给出了窄闯孵时1 中拟球域内外的h a r d y 犁不等式，其中在拟球域外分 成1 2 ， q 和p 两种情形加以研究；第5 3 节给出了相应于广义g r e i n e r 向 量场的p 一次l a p k i c e 算子，p 的j 。义p i c o n c 型恒等式，这推j r ( 7 1 1 在椭圆算予 情形的p j c o n e 型恒等式；利用这里建立的恒等式，得到了比f 1 0 4 ) 中结果更 一般的h a r d y 型不等式；第5 4 节，基于【32 1 中的思想，证明了广义g r e i n e r 算 子，的h a r d y 型不等式中的系数是最佳的：第5 5 节，首先给出了一个具有紧 支集的光滑甬数的表示公式，然后建市了广义g r e i n e r 算子的一类含部分变量 的h r d y 型不等式，最后证明厂其l f i 常数的最佳性；第g 2 节，我们致力于与广 义g r e i n e r 向量场有关的一些改进的h a r d y 型不等式和r e i l i c h 型不等式的证明。 h a r d v 型不等式通常都不是精确的，其中的常数都是决不会达到的。也就 是说，对任何一个1 平凡函数，该不等式总是严格成立的。因此，自然就产生 了些问题：是否可以在该不等式的右端增加一些项来改进它等? 在第6 ，3 节， 我们对6 2 节建立的不等式加以改进，得到了一些带有余项的h a r d y 型不等式 和r e l l i c h 型不等式。 4 第二章日型群上的极坐标及一些 偏微分不等式弱解的不存在性 第二章日型群上的极坐标及一些 偏微分不等式弱解的不存在性 2 1 引言 本章我们首先构造出了型群上的一类极坐标，然后利用此极坐标，显式 地计算出了日型群上球的体积及p 一次l a p l a c e 算子基本解中的常数，最后讨论 了h 型群上一些退化椭圆型不等式及一阶和二阶退化发展不等式弱解的不存在 性。 。 不存在性结果在偏微分方程理论中的重要性是众所周知的，它根源于调和 函数的l i o u v i l i e 定理。把“线性l i o u v i i i e 定理”推广到非线性问题，一个重要的目 的就在于这种结果能用于证明有界域上相应的d i r i c h l e t 问题解的存在性。如果所 考虑的问题不能用变分法，这将是特别有用的。研究不存在性的另一个重要原 ：因是，它可以用于证明抛物型问题中的“爆破”估计，见 2 4 】【4 8 】，【4 9 1 等。 。 欧氏空间r n 上某些奇异和退化椭圆型偏微分不等式 一“黔， 在舻 o 上， 一4 “2 4 ，在r ”上 弱解的不存在性已被许多作者广泛地考虑过 ( 见【7 9 1 ，f 8 0 】，【8 2 】1 8 3 】，【8 4 】，f 1 6 】) ，抛物型和双曲型偏微分不等式的 类似问题 。 啦“2 龄， 在耙 o ) i o ，+ o o ) 上， 坦2 、 u t i z l 。“2i u l 4 ，在瓞“【0 ，+ o o ) 上 、 和 啦t u 辟， 在r n o ) 【0 + o o ) 上， f 2 3 1 t 一l z l 4 “i 让f 4 ，在r “f 0 ，+ o 。) 上 、 也已经有了大量的研究工作( 见【8 2 】，【8 3 】，【8 4 】，【8 5 】，【9 3 】 【1 0 3 】) 。这类问题 一个典型的结果町以叙述为：当1 口 9 0 或者1 g g o 对，上述问题没有非 平凡正解，其中的依赖于n ，盯和方程。例如，如果仃 1 ，那么( 2 1 ) 没有 非平凡弱解当且仪当q q 0 ，其中咖= 糟；如果盯= 2 ，l q 9 0 = + ， 那么( 2 1 ) 没有非i f 凡弱解( 见【8 4 】) 。显然，此时口。不依赖于维数n 。因此，盯= 5 西北工业大学博士学位论文c a f n o t 群上及与广义g r e i n e r 向量场相关的偏微分算子 2 常被称为是临界情形。当口= 2 ，g = 2 时，b 砖z i s 和c a b 瞎在【1 8 】中还讨论了有 界域qc p 上方程f 2 1 ) 的解的存在性与不存在性问题。 对于抛物型和双曲型类似的问题，相同的现象也会出现。如果初值满足 一些舍适的条件，口 2 ，那么当l q 碍。时，阀题( 2 2 ) 和( 2 3 ) 没有非平凡弱 解，其中卯存抛物犁情形下为= 旦竽，在双曲犁情形下为卯= 宇；如果 初值满足一些合适的条件，口= 2 ，那么当1 g q o = 3 时，问题( 2 2 ) 和( 2 3 ) 没 有解。更多的细节、参考文献和进一步的推广可参看文献 8 4 】，【8 5 】，1 8 2 】。 h e i s e n b e r g 群上与( 2 1 ) 类似的问题为 一_ f f n “妒鼯，在 o ) 上， ( 2 4 ) 其中肿为h e i s e n b e r g 群上的次l a p l a c e 算子，卵为日“在日“中的模，妒= 糕。g a r o 蹦。和l a n c o n e m 在【4 4 】中研究了当u 满足某些限制条件时，( 2 4 ) 的 正解的不存在性。后来，b i r i l l d e u i ，c a p 皿z od o l c e t t a 和c u t r 在 1 5 】中在只要 求“为止的条件下也研究了这一问题，证明了：如果口 2 ，l g 咖= 】+ 警，那么( 2 4 ) 没有正解。在【4 4 j 和【l5 】中，都要求是正的。 2 0 0 0 年，p o h o z a e v 和v 6 r o n 在f 94 】中研究了h e i 8 e n b e r g 群“上的椭圆型偏微 分不等式 一肿( 叫) 高数，在h “ o j ：， ( 2 5 ) 其中n 是n 上的一个有界可测函数。他们证明了：如果口 2 ，l 苦焉时，( 2 i ) 存在正 解。t ) 他们还把此结果推广到了抛物型和双曲型情形： t 一肿( 8 乱) 篙，在h “ o ) 【o ，+ o o ) 上， ( 2 6 ) 其中o = 口略f ) 是日n r + 上的一个有界可测函数； 钍“一盯n ( o 钍) 之j 剁，在月” o ) 【o ，+ o o ) 上- ( 2r 7 ) 他们证明：如果口 2 ，初值和边值满足一定的条件，那么当l q 啦笋 时，( 2 6 ) 没有解，当1 口笔圭平时，( 2 7 ) 没有解。 d a l b r o s i o l 3 4 】处理了下面的不等式： c 1 2 i ! 警月。( 口) i 1 9 ，在日” l ，q ，= 矗是与q 相对应的h 6 l d e r 指数。 2 2 日型群简介 日型群是一类有趣的与亚椭圆问题相联系的2 步c 8 m o t 群。这类 群由k a p l a n f 6 6 1 在1 9 8 0 年引进，是h e i s e n b e r g 群的一个直接推广，但它 比h e i s e n b e r g 群更加复杂。随后，人们进行了大量的研究这类群的工作。 设g 是一个2 步c a m o t 群，它的l i e 代数为9 = 0k 。 是g 卜 给定的一个内秘，使得，k 正交。令m = d l m ，= 出m ，x = x l ，) 和y = m ，k 分别是m 和的一组基。设f 1 和6 分别是 9 在“和k 中的投影，l 住基 局， 下的坐标记为。= 0 l ，。) r ”；如在基 m ，k ) 卜的坐标已为= ( 可h ，蜘) 础。 定义一个线性映射j ：k e n d ( m ) ( e n d ( ) 表示上的自同态半群) ： = ，g ，髫，如k 一个2 步c a m o t 群g 称为h 型群，如果对每一个已，i 2 l = 1 ，映射j ) ： 一是止交的( 见【6 6 】) ，。 如【4 5 】中所述，我们有 码= 毫+ ；妻 毫，= k 棚， ( z - s ， 对g 上的一个函数，记水平梯度为x 乱= ( x l 乱，“) ，并令i x 乱i = ( 三ll 玛“1 2 ) 2 。日型群g 上的次l a p l a c e 算子为 g = 一碍， ( 2 1 6 ) g 上的p 一次l a p l a c e 算子为 8 ( 2 1 7 ) 巧 2p ux 玛 。 一 | i p g 第二章日型群上的极坐标及一些 偏微分不等式弱解的不存在性 其中就为g 上的函数。 ， g 上的一族各项异性伸缩为 氏( 。，3 ，) = ( a z ，a 2 ) ，a o ，( z ，y ) g ， ( 2 1 8 ) g 的齐次维数为q = m + 2 。令 d ( z ，可) = ( 1 2 1 4 + 1 6 l 可1 2 ) ，( 2 1 9 ) 那么d 是g 上的齐次模。a 中半径为冗、球心在( 0 ，o ) g 的开球记为 h = ( z ，可) g l d ( z ，) r ) 令妒= 学，由简单计算可得 i xd 1 2 = 啦 7 ( 22 0 ) 我们需要下面的概念。一个函数“：qcg 一心隆为是圆柱函数，如 果“( z ，可) = u ( ，) 。特别地，“称为是径向