（计算机应用技术专业论文）几何敏感的laplacian网格变形方法研究.pdf

中山大学硕? l 论文 几何敏感的l a p l a c i a n 网格变形方法研究 论文题目 专业 硕士生 指导老师 几何敏感的l a p l a c i a n 网格变形方法研究 计算机应用技术 余奇明 高成英副教授 摘要 网格变形技术是近年来计算机图形学领域的一个研究热点，已广泛应用于影 视动画、游戏娱乐等商业领域。随着许多学者对网格变形技术的深入研究，在网 格变形领域出现了三次技术上的突破，分别出现了自由变形技术、多分辨率变形 技术以及基于微分属性的网格变形技术。基于微分属性的网格变形方法特别是 l a p l a c i a n 网格变形方法是近年来被广泛应用的。l a p l a c i a n 网格变形方法实现简 单，易于理解，能够很好的表示曲面的局部细节特征，通过求解最d , - 乘系统， 将误差分散到整个网格曲面，因此被广泛应用于曲面几何细节保持的变形。 本文对现有的网格变形技术进行了分析总结，深入研究了当今比较流行的 l a p l a c i a n 网格变形方法，针对l a p l a c i a n 网格变形方法在保持曲面几何细节方面存 在的缺点进行了改进，并对l a p l a c i a n l 网格变形方法的最小二乘系统求解进行了研 究和程序验证。本文分析t l a p l a c i a n 网格变形方法在变形过程中的几何敏感性， 针对用l a p l a c i a n 网格变形方法进行较大形变过程中出现的畸变情况，提出了基于 角度约束的l a p l a e i a n 网格变形方法；对于引入角度约束导致的非线性问题，本文 将其转化为线性问题求解，并实现了更好的变形效果：本文还针对基本l a p l a c i a n 求解框架的最小二乘系统，运用多目标优化理论分析，对基本l a p l a c i a n 求解框架 中的软约束权值进行了讨论，通过大量实验给出了一个合理的权值范围，在此范 围内可以获得满意的变形效果。 关键词：网格变形、几何敏感、平均曲率法线、微分坐标、拉普拉斯算子 中山大学硕j ：论文几何敏感的l a p l a c i a n 网格变形方法研究 t i t l e ： m a j o r ： n a m e ： s u p e r v i s o r ： r e s e a r c ho nm e t h o d so fg e o m e t r y - s e n s i t i v e l a p l a c i a n m e s h d e f o r m a t i o n c o m p u t e ra p p l i c a t i o nt e c h n o l o g y q i m i n gy u a s s o c i a t ep r o f e s s o rc h e n g y i n gg a o a b s t r a c t m e s hd e f o r m a t i o nt e c h n o l o g yi so n eo ft h er e s e a r c hf o c u s e si nc o m p u t e r g r a p h i c si nr e c e n ty e a r sa n dh a sb e e nw i d e l yu s e di nc o m m e r c i a lf i e l d ss u c ha sf i l m s a n da n i m a t i o n , g a m e sa n de n t e r t a i n m e n t ，e t c a sm a n ys c h o l a r sd or e s e a r c ho nm e s h d e f o r m a t i o n , t h e r ec o m et h r e et e c h n o l o g i c a lb r e a k t h r o u g h si n t h i sf i e l d ，w h i c ha r e f r e ef o r mm e s hd e f o r m a t i o n ，m u l t i r e s o l u t i o nm e s hd e f o r m a t i o na n dm e s hd e f o r m a t i o n b a s e do nd i f f e r e n t i a lr e p r e s e n t a t i o n s m e s hd e f o r m a t i o nb a s e do nd i f f e r e n t i a l r e p r e s e n t a t i o n se s p e c i a l l yt h el a p l a c i a nm e s hd e f o r m a t i o nh a sb r o a da p p l i c a t i o n s l a p l a c i a nm e s hd e f o r m a t i o nm e t h o dw h i c hi ss i m p l ea n de a s yt ou n d e r s t a n d ，c a n p r e s e r v et h el o c a ld e t a i l so fs u r f a c e sw e l la n dd i s t r i b u t et h ee r r o ra c r o s st h ee n t i r e d o m a i nb ys o l v i n gal i n e a rl e a s t - s q u a r e ss y s t e m ，s oi ti s w i d e l yu s e df o rt h e d e f o r m a t i o no fp r e s e r v i n gt h es u r f a c eg e o m e t r i cd e t a i l s i nt h i s t h e s i s ，p r e s e n tm e s hd e f o r m a t i o nt e c h n o l o g i e s a r ea n a l y s i s e da n d c o n c l u d e d l a p l a c i a nm e s hd e f o r m a t i o nm e t h o di sr e s e a r c h e d t h i st h e s i sp r o p o s e s t h ei m p r o v e m e n tf o rt h es h o r t c o m i n g so fl a p l a c i a nm e s hd e f o r m a t i o ni np r e s e r v i n g s u r f a c eg e o m e t r i cd e t a i l s ，b e t i d e si ta n a l y z e st h es o l u t i o ni ns o l v i n gt h el i n e a rl e a s t - s q u a r e ss y s t e ma n di m p l e m e n t sa l lt h em e t h o d s t h ea u t h o ro f t h i st h e s i sa n a l y z e st h e g e o m e t r y - s e n s i t i v e o f l a p l a c i a nm e s h d e f o r m a t i o nm e t h o da n d p r o p o s e s t h e a n g l e c o n s t r a i n e dl a p l a c i a nm e s hd e f o r m a t i o nm e t h o dt os o l v et h ed i s t o r t i o n so ft h e m o d e l s ，a n dc o n v e r t sn o n l i n e a rp r o b l e mt ol i n e a rp r o b l e m ，a n dm o r ed e s i r a b l ee f f e c t i sg o t a l s ot h em u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o nt h e o r yi sa p p l i e dt od i s c u s st h es o f t c o n s t r a i n tw e i g h ti nt h el a p l a c i a nf r a m e w o r k a f t e ri m p l e m e n t i n gm a n ye x p e r i m e n t s ， ar e s p o n s i b l ew e i g h ts c o p ei sg o ta n das a t i s f a c t o r yd e f o r m a t i o ne f f e c ti so b t a i n e di n t h i ss c o p e 1 1 1 中山大学硕士论文 几何敏感的l a p l a c i a n 网格变形方法研究 k e y w o r d s ：m e s hd e f o r m a t i o n ，g e o m e t r y - s e n s i t i v e ，m e a nc u r v a t u r en o r m a l ， d i f f e r e n t i a lc o o r d i n a t e s ，l a p l a c i a no p e r a t o r i v 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：盆盔塑 日期：群垒蝴幽 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论文的内容编入 有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：客喝明 日期：咖7 年，月记日 导师签名：彦7 j 驭炎 日期2 。产， 月z z 日 中山大学硕士论文 几何敏感的l a p l a c i a n 网格变形方法研究 引言 网格变形技术是近年来计算机图形学领域的研究热点，尤其在三维动画和计 算机可视化研究方面应用广泛。随着计算机硬件和各种捕获设备的发展，离散网 格已经成为几何造型和计算机图形学领域中物体表示的主要方式之一，这使得基 于网格的变形技术在计算机辅助几何设计、计算机动画以及影视、游戏等领域中 得以快速发展。 三维网格模型变形技术源于计算机辅助几何设计( c a g d ) 中的自由曲线曲 面造型技术【l 】，随后在离散的网格模型中得以广泛应用。计算机游戏中流畅的角 色动作，三维动画电影中逼真的动作效果都离不开变形技术的应用。近年来一些 大型游戏的开发、大型三维动画影片的制作，促使人们从原来效果生硬呆板的角 色动画技术中不断创新，以获得更加丰富逼真的角色形象。三维动画影视、游戏 近年来飞速发展，因其三维逼真效果，在数字娱乐领域有很大的发展前景，这些 领域的快速发展离不开网格变形技术的应用。 鉴于游戏、三维动画等多个应用领域的需求，三维网格变形技术取得了极大 进展。越来越多的网格变形技术用于工业造型设计、计算机动画领域，相继出现 了自由变形技术、多分辨率变形技术、基于微分属性的变形技术等变形技术。将 这些变形方法用于三维网格模型，对已有模型进行变形操作，根据用户需求快速 地生成各式各样新的模型。 l a p l a c i a n 网格变形方法是基于微分属性的网格变形方法中应用最为广泛的 变形方法。l a p l a c i a n 网格变形方法实现简单、操作简便、效果良好，使用l a p l a e i a n 坐标代替笛卡儿坐标可以很好的表示曲面的局部特征，由于l a p l a c i a n 坐标本身 蕴藏了曲面局部的几何形状，因此l a p l a c i a n 网格变形方法被广泛应用于曲面几 何细节保持的变形当中。研究l a p l a c i a n 网格变形方法对曲面局部几何细节特征 的保持，对于游戏、动画等领域都有重要的现实意义。 中山大学硕士论文 几何敏感的l a p l a c i a n 网格变形方法研究 第1 章综述 网格变形技术在计算机动画、游戏等领域的广泛应用，使得网格变形技术的 研究进展迅速，在网格变形领域出现了三次技术上的突破，分别出现了自由变形 技术、多分辨率变形技术以及基于微分属性的变形技术。本章将介绍网格变形技 术产生的背景及研究意义，说明本文的研究对象，讨论自由变形技术、多分辨率 网格变形技术以及基于微分属性的网格变形技术等三维网格模型变形技术的研 究发展情况，在论文研究内容与结构中，指明本文的研究内容和各章安排。 1 1 研究背景及意义 三维数字几何处理主要是利用计算机对三维几何数据进行处理，主要研究内 容有三维几何数据获取与重建，三维几何数据存储与压缩，三维几何数据表示， 三维几何数据编辑等【2 】。近年来在数字几何处理方面，对三维几何数据进行处理 的技术日趋成熟。随着三维扫描技术的发展，获得三维几何数据变得容易，大量 三维几何模型可以由三维扫描设备获得。由三维扫描设备所得的三维几何模型， 一般由多边形曲面片组成，多边形网格曲面因其简单的表示形式及其较强的形状 表达能力已经成为三维数字几何模型的主要表示形式。 多边形网格表示方法的出现，使得三维数字几何处理方面的研究取得极大进 展。三维网格模型的简化与细分【3 1 ，网格平滑【4 】，三维模型的网格编辑【5 1 ，稠密 点云数据的几何建模和绘制【6 】等技术日趋完善。近年来由于三维动画，影视，虚 拟现实等领域的迫切需求，三维网格编辑技术获得了极大的发展。研究三维网格 模型编辑技术，不仅仅具有理论意义，其在工业造型、影视动画、游戏娱乐以及 虚拟现实等领域都有很好的应用前景。 本文的主要研究对象是三维三角网格模型，针对工业造型、影视动画、游戏 娱乐等领域的模型编辑问题，对比较热门的l a p l a c i a n 网格变形技术进行深入研 究，通过分析l a p l a c i a n 网格变形方法的几何敏感性，研究几何敏感的l a p l a c i a n 网格变形方法。本研究对工业造型、影视动画、游戏娱乐等领域具有积极意义。 3 ! 坐墨兰堡! ：堡兰凸塑璧璺竺垡e ! 竺墅竖堡茎堂互堡竺蔓 1 2 三维数字几何处理相关问题 本节对本文所涉及的三维数字几何处理的相关问题进行介绍，主要包括三维 几何模型表示，三维几何模型获取与处理，三维几何模型编辑等。 1 2 1 三维几何模型表示 三维几何模型表示是三维数字几何处理的核心问题，模型的表示方法决定了 模型的处理方法。三维几何模型一般包括模型的几何形状和模型的纹理属性，在 三维几何造型和处理中所有的工作都是针对三维模型的两个属性展开的【7 i 。 三维模型的表示方法，有不同的分类方法口】，最主要的方法有边界表示法 ( b o u n d a r yr e p r e s e n t a t i o n ，简称b - r e p ) 和构造实体几何( c o n s t r u c t i v es o l i d g e o m e t r y , 简称c s o ) 等。其中边界表示法应用最广泛。边界表示法是以物体边界 为基础定义和描述几何形体的方法。边界表示法表示的是实体的边界，它是几何 造型中最成熟、无二义性的表示方法。在边界表示法中，描述形体的信息包括几 何信息和拓扑信息两部分p 】。几何信息描述形体的太小、尺寸、位置和形状等信 息，拓扑信息则描述几何元素之间的连接关系。在边界表示法中，物体的形状信 息是通过其表面来描述的。而物体的表面又可以有多种表示方法，如参数曲面、 代数曲面、隐函数曲面、细分曲面、点几何表示以及多边形网格等。图卜i 是常 见的三维几何模型表示方法。 9 镑固 蕊螽 c ) 点云求示( d ) c s g 丧小。“ 尉1 1 常见三维几何模型表示方法 4 中山大学硕_ 上论文 几何敏感的l a p l a c i a n 网格变形方法研究 在边界表示法中，多边形网格是三维模型的经典表示形式【_ 7 1 。多边形可以任 意精度逼近曲面物体，表示拓扑结构复杂的物体。并且只需存储多边形顶点的位 置坐标和属性就可表示物体的几何信息，能有效地进行明暗处理，又是机器表示 方法，因此常用来表示三维模型，其他一些模型表示方法可以根据需要转换成这 种方式。多边形表示方法中，物体用多边形小平面组成的网格来表示，这些小平 面是对物体表面的近似。在实际应用中，基于速度方面的考虑，为了发挥硬件最 优性能，很多绘制硬件要求多边形在提交之前分解成三角形。 三角形网格表示方法中包含顶点、三角面等基本信息，顶点描述了模型表面 空间位置的离散采样，三角面描述离散采样点之间的拓扑连接关系。通过增加顶 点与三角面的数量可以描述更丰富的几何细节，来描述复杂的几何模型。在数字 几何处理中，获取三角网格模型每个顶点的信息和外观属性，对其进行编辑，得 到具有新形状的网格模型。三角网格是多边形网格的基本表示形式，也是本文研 究和处理的对象。 1 2 2 三维几何模型获取与处理 三维几何模型获取方式的手段多种多样。影视娱乐领域，艺术家通过建模工 具建模，但需要专业的建模知识，手工干预较多；模拟仿真领域，利用探测仪获 取物体表面的几何信息，人工耗费较大，有很大误差；医疗诊断领域可以通过医 疗影像自动抽取：也可以通过扫描仪扫描点云自动创建。近年来，三维扫描技术 有了极大发展，各种扫描仪获取的三维数据足以满足用户需求，因此三维扫描获 取的方式逐渐成为获取三维几何模型信息的重要手段。 通过扫描获得的三维模型数据，由于人为或者仪器等方面的原因，往往有大 量的噪声存在，为了更好地满足各种实际需求，需要对这些原始数据进行进一步 加工处理。数字几何处理主要是对几何数据进行去噪声、压缩、传输、分析、编 辑等处理，以达到不同应用所要求的数据转换、模型表示或场景绘制等目的【3 】。 三维数字几何处理主要的研究有网格压缩【13 1 ，网格参数化1 4 , 1 5 】，网格光顺15 1 ， 网格去噪【16 1 ，网格编辑【1 7 1 ，网格重构和重网格化等，图1 2 列出了三维数字几 何处理的主要内容。 5 ! ! ! ! ! ! ：! ! ! ! ! ! ! 生堕! ! ! ! ! i ! ! 堕 囊囊暂 ( a ) 网格压缩 ( b ) 网梏参数化【i h l l 话盛 ( 曲网格光顺( 由网格编辑i 州 幽1 - 2 三维数字儿何处理研究内存 本文主要研究网格编辑中的三维刚格模型的变形技术，在网格变形过程中保 持网格模型的局部细节特征。 1 2 3 三维几何模型编辑 三维几何模型编辑一般是对多边形网格进行编辑，更多的是对三角形网格进 行编辑，即在已有的3 d 网格数据上进行操作r 丌。三维几何模型编辑方法多种多 样，主要有自由网格空间编辑、多分辨率网格编辑、基于微分属性的网格编辑等 方法。其中基于微分属性的网格编辑方法主要有l a p l a c i a n 蝴格编辑方法和泊松网 格编辑方法，l a p l a e i a n 网格编辑方法是近年来计算机图形学领域的研究热点，是 本文的研究重点。 网格编辑主要包括网格变形、m o r p h i n g 、融合等，本文主要研究网格变形， 在1 3 节将会对自由变形技术、多分辨率变形技术、基于微分属性的变形技术进 行综述。 中山火学硕士论文 几何敏感的l a p l a c i a n 网格变形方法研究 1 3 网格变形技术 网格变形属于网格编辑的研究内容，主要是通过交互操作，对初始网格模型 进行变形，达到用户满意的效果，在变形过程中要求尽可能地保持模型的局部细 节特征。网格变形的内容很丰富，在网格变形技术领域，出现了三次技术上的重 大突破，分别是自由变形技术阶段，多分辨率变形技术阶段，以及基于微分属性 的变形技术阶段，本节主要介绍有关自由变形( f f d ) 、多分辨率网格变形、基 于微分属性的网格变形等技术。 1 3 1 自由变形技术( 肿) 早期几何造型领域，常常需要用变形技术处理一些易于弯曲伸缩的物体，模 拟力学中的拉伸、扭曲、压缩等操作。1 9 8 4 年b 一2 0 】在几何造型领域引入了变 形的思想，提出并使用c s g 树表示的整体和局部变形算子方法，在对模型变形 时运用了可分层的变换方法。b a r r 用简单模型的位置向量和法向量来构造复杂模 型的位置向量和法向量，按层逐步由形状简单的物体变成复杂的物体。这种方法 只适用于特定的场合，是一种非自由变形。在b a n 变形思想的启发下，1 9 8 6 年 s e d e r b e r g 和p a n 严1 1 提出自由变形( f r e e f o r md e f o r m a t i o n ，简称f f d ) 方法，开 创了自由变形技术领域的先河。图1 3 是这种方法的变形过程。 图1 - 3 2 2 1f f d 变形过程：( a ) 确定模型顶点在f f d 空间的坐标( s ，t ，u ) ；( b ) 通过移动控制 顶点变形f f d 空间；( c ) 根据坐标( s ，t ，u ) 确定模型顶点变形后的位置。 s e d e r b e r gp a r r y 提出自由变形的思想是将要变形的物体嵌入到一个控制网 格内，通过操纵控制网格，来实现原始模型的形变，控制网格是原始网格模型的 代理模型。这种方法通过建立原始模型和代理模型之间的映射，操作代理模型发 7 中山大学硕士论文几何敏感的l a p l a c i a n 网格变形方法研究 生形变，然后将形变映射到原始模型上得到变形结果。这种自由变形方法与物体 的表示无关，能作用于多边形表示的物体和参数曲面表示的物体。利用自由变形 技术，用户便能方便地通过对代理模型的操纵来对原模型进行变形，可以对变形 任意夸张，并且可以不受物理定律的约束【8 】。根据代理模型的类型不同，自由变 形技术可以分为基于控制网格的变形技术【2 3 1 ，基于控制曲线的变形技术2 0 1 ，以 及基于控制点的变形技术【2 4 1 。 s c d c r b e r g 和p a r r y 的自由变形思想是对网格变形领域的一大贡献，但是它只 适合于平行六面体的网格形状，适用范围狭窄。为此，1 9 9 0 年c o q u i l l a r t 2 5 】提出 了e f f d ( e x t c n d c df r e e f o r md e f o r m a t i o n ) 方法，扩展了最初的f f d 方法。e f f d 方法可以选择更多的初始变形空间的形状，使用了非平行六面体网格，增加了初 始网格的形状，如棱柱体、圆柱体等。1 9 9 2 年h s u 等人【2 6 】提出了直接操纵的f f d ( d i r e c tm a n i p u l a t i o no f f r e e f o r md e f o r m a t i o n ，d f f d ) 算法，可直接控制嵌入 曲面上的点的变化位置，然后反求格子顶点的变化以实现变形，使得变形更为灵 活有效。此外，还有很多学者对自由变形进行了研究，1 9 9 4 年l a m o u s i n 等人【2 7 l 研究了基于n u r b s 的f f d 方法( n f f d ) ，结合整体与局部变形，能更有效地控 制所嵌入的物体。l a z a r u s 等人f 2 8 】提出一种外插形式的自由变形技术，控制物体 的轴线来控制变形，c h a n g 和r 0 c k w o o d 【2 9 】提出比较类似的变形方法，弯曲的轴 线则由用户来定义。1 9 9 6 年m a c c r a c k c n 和j o y 等人【2 3 】提出用任意拓扑的格子来 控制变形，给变形增加了灵活性。1 9 9 7 年m o c c o z e t 3 0 】提出的d i r i c h l e t 自由变形 算法是f f d 的变形，使用更为一般的s i b s o n 局部坐标系( s i b s o nl o c a lc o o r d i n a t e s y s t e m ) ，具有更大的灵活性和通用性。1 9 9 8 年s i n g h t 3 1 】等人提出一种基于网格表 面曲线控制网格变形的方法，已经应用与图形软件m a y a 和3 ds t u d i o 中。 自由变形技术是图形学领域中重要的变形技术，在m a y a ，3 ds t u d i o 等软件 中都有应用。但是对于大形变中要保持模型的局部几何细节特征，自由变形方法 具有不足，达不到满意的变形效果，为此出现了多分辨率变形技术。 1 3 2 多分辨率网格变形技术 多分辨率网格变形方法( m u l t i r e s o l u t i o nm e s hd e f o r m a t i o n ) 比自由变形方 法多了对模型几何细节的表示，可以编辑几何细节丰富的网格模型，这在网格变 8 ! 些盔堂堡! ：塑! 些塑堡里堕生_ 竺竺竺壁壅丝查些堕壅 形领域是一个突破。 多分辨牢网格变形方法是受图像中小波分析的启发而引出的，在网格变形领 域得到了广泛的应用。多分辨率网格变形方法的基本思想是把曲面当做几何信号 来处理将信号的低频从高频部分分离出来，将信号域中的不同频带对应于网格 分层的几何细节，即形成基网格和由若干精细层次的多分辨率网格基网格反映 了模型的大致轮廓，精细层的网格由粗至精描述了网格模型的局部几何细节。在 对网格变形时，首先将网格模型表示成多分辨率的形式( 如图1 4 ) ，对基阿格进 行操作变形，再通过细化算子将各层细化网格的几何细节成分自动恢复到变形后 基刚格上【”】得到最终的结果。这一变形过程使得原始网格模型在不同层次上 的细节得到了保持。图1 - 5 是多分辨变形方法的变形过程图。 图1 - 4 m lb u n n y 模型的多分辨牢表示：从左至耵为基网格取1 符精细层网格 图1 5 1 ”l 多分辨变形过程：首先，低频曲面和高频曲面分离然后，对低频曲面进行变形 操作，最后将高频细竹恢复到变形后的低频曲而l 拿呻 叫，一 e - 一c 呈1 丽邀 嘶一 曲一 一啦一 ! | | | 圜 删，一 ，牡 中山大学硕士论文 几何敏感的l a p l a c i a n 网格变形方法研究 多分辨率网格变形方法必须要把三维网格模型表示成多分辨率的形式。1 9 9 5 年e c k 和d e r o s e 等人【3 3 】研究了可为任意网格构造多分辨率细分结构的方法。1 9 9 8 年k o b b e l t l 3 5 】对任意拓扑结构的网格进行简化、光顺处理来构造多分辨率层次结 构。2 0 0 6 年k i r c h e r 和g a r l a n d 等人【3 6 】提出动态划分层次结构的方法等。用多分 辨率方法进行变形具有开创性的代表作是1 9 9 7 年z o r i n 等人旧提出的交互性多 分辨率网格编辑方法。随后在1 9 9 9 年l e e 等人【3 8 ，3 9 1 用m a p s 算法【3 8 】对网格模 型进行m o r p h i n g 操作，分别对原始模型和目标模型进行多分辨率表示，实现光 滑的m o r p h i n g 效果。2 0 0 2 年b i e r m a n n 等人【加】提出了基于剪切的多分辨率编辑 算法，2 0 0 6 年s a u v a g e 等人【4 l 】针对曲面褶皱的变形提出了长度约束的多分辨率 变形方法，2 0 0 7 年m a d n o v 等人瞰】，提出了基于g p u 的多分辨率网格变形方法。 多分辨网格变形方法由于多了对局部几何细节的表示，因此可用于对几何细 节保持的变形，但多分辨率网格变形方法需要将原始网格模型表示成多分辨率的 分层结构，增加了变形的困难性，因而这种变形技术应用受到了限制。 1 3 3 基于微分属性的网格变形技术 基于微分属性的网格变形方法的出现使网格变形技术进入一个新的阶段。动 画大片的上映以及大型网络3 d 游戏的发展，要求角色动作逼真，每一动作完成 后都要保持其几何细节特征，自由变形技术和多分辨变形技术在保持几何细节方 面都未能令人满意，因此出现了基于微分属性的网格变形技术。 基于微分属性的变形技术的基本思想是用微分属性来描述几何曲面，在指定 一定的约束条件下，通过对曲面微分属性的操纵，尽量保持变形前后曲面的微分 属性保持不变，因为微分属性包含了曲面的局部几何细节，因此这种变形技术有 效的保持了曲面的局部几何特征。基于微分属性的变形技术在对模型进行变形 后，需要将变形后的微分坐标恢复成笛卡尔坐标，即模型重建。 p o s s i o n 网格变形技术【4 2 ，4 3 1 和l 印l a c i 觚网格变形技术是基于微分属性的变形 技术里面应用最多的两种变形技术。这两种变形方法分别用p o s s i o n 方程和 l a p l a c i a n 坐标来定义能量最小化，都要通过求解最小二乘系统来重建全局坐标， 最小二乘优化将误差分散到整个网格表面，这样因局部修改而产生的误差被扩散 到整个几何模型上面，从而可以产生高质量的变形效果。 1 0 ! ! ! 点兰竺! 堡苎! ! 旦望堡塑塑! ! ! 坠竖堡壅丝变些! ! 塞 lp o s s i o n 嘲格变形技术 p o s s i o n 网格变形技术是在网格表面构建p o s s i o n 方程，所操纵的微分属性是 梯度场，通过对梯度场操纵柬对原始网格模型进行编辑变形，囚此也有人称为梯 度域的变形方法1 4 2 】，变形日u 后尽量使网格三角形的梯度的散度变化最小。2 0 0 4 年y u 等人h 2 魄出了基- 于p o s s i o n 方程的梯度场操纵方法来进行网格编辑，通过求 解晟小二乘系统柬重建模型，引起了研究者的兴趣。2 0 0 6 年b o r s c h 等人m l 在 p o s s i o n 方法的基础上，将多分辨率网格变形方法和p o s s i o n 罔格变形方法结合起 来，实现了很好的细节保持的效果。p o s s i o n 网格变形技术方法如图卜6 所示。 p o s s i o n 方法在网格变形领域的应用是网格变形技术的一大进步，但是 p o s s i o n 网格变形方法无法处理局部旋转问题，在各种变换中需要显式指定旋转 量，对有些复杂模型不能实现理想的变形效果。p o s s i o n 方程对所处理的网格也 有特殊的要求，另，b p o s s i o n 网格变形方法由于引入梯度场的概念，在数学形式 上也增加了复杂性，不容易理解，因此p o s s i o n n 格变形技术并没有在计算机图 形学领域内广泛被应用。下面介绍的l a p l a c i a n 网格变形技术容易理解，实现简单， 得到了广泛的应用。 夤餐 ( c )( d ) 幽l 矿2 p o s s i o n 网格变形技术“) 为韧婧阿格选定编辑区域，图中曲线部分。( m 将上方曲 线作为p o s s i o n 方棵的边羿条仆下方曲线是变形后的形状。( e ) 3 j 变形_ | 亓的同格形状郎分 三角同格田为娈形裂开门) 通过p o s s i o n 方程重建模型的效果。 - ! 生兰堡! ：丝三些旦壁坚塑生生竺竖塑苎堡互望里墨 2l a p l a c i a n n 格变形技术 l a p l a e i a n 网格变形技术是i 维网格变形领域比较流行的方法。因其易于理 解，实现简单，又能实现良好的变形效果，被广泛用于变形。 l a p l a c i a n 网格变形技术悬早在2 0 0 3 年被a l e x a 引入到变形领域。a l e x a 提出 辟 l a p l a c i a n 坐标取代苗卡尔坐标，用于描述曲面的局部几何形状，因为l a p l a c i a n 坐标反映了网格顶点及其邻接顶点的拓扑连接关系，因此比全局坐标更能描述曲 面的局部几何形状，在变形过程中能够报好的保持曲面的几何细节。图1 7 是 l a p l a c i a n 网格变形方法的应用。 静瀚谧 ( a )( b )( 0 幽 - 7 m 1l a p l a c i a n 网格变形方法( 耐选定感兴趣区域，同定某些部分彻操纵选定的顶点 变形。( c ) 变形后艘果 l a p l a c i a n 坐标描述了几何模型的局部几何形状，其有保持儿何细节的能力， 但是l a p l a c i a n 坐标是在全局坐标系下定义的，当顶点的局部发生相对与全局坐标 系的旋转时，l a p l a c i a n 坐标不能很好的感知这样的变化，即使平移操作也应产生 某些部分的微小旋转来达到视觉自然但l a p l a e i a n 在平移较大的情况下也无法达 到很好的变形效果。因此许多学者提出了相应的改进做法，这些做法将在第二章 中详细介绍。 基于微分属性的网格变形方法还有一些类似于上面两种的方法。2 0 0 4 年 s h e f f c r 等人p ”提出了盒字塔坐标方法，m 法线和局部曲面的切线描述金字塔坐标 系中的顶点，可以获得理想的变形效果，但是其定义顶点坐标关系是非线性的 跳出t l a p l a e i a n 方法的线性框架。2 0 0 5 年l i p m a n 等人1 4 q 提出基于标架的表示方 法在每个网格顶点处建立正交标架，并通过系数表示标架之间以及顶点一圈邻域 上邻接顶点之阃的联系，解决了部分局部旋转问题。 基于微分属性的网格变形方法由于能够描述曲面的局部几何信息因此得到 中山大学硕士论文 几何敏感的l a p l a c i a n 嘲格变形方法研究 了广泛应用，但是其对局部几何信息的描述往往是不够的，在对几何模型进行较 大尺度变形尤其对复杂模型进行变形时也会出现畸变现象，这种变形方法仍然需 要完善和发展。 1 3 4 网格变形技术比较 自由变形技术、多分辨率变形技术、基于微分属性的变形技术作为网格变形 领域的三大变形技术，代表了网格变形技术发展的三个阶段，每个阶段的网格变 形技术都是该领域的一次重大突破。表1 1 是对三大变形技术的一个简单比较， 分别列出了自由变形技术、多分辨率变形技术、基于微分属性的变形技术的变形 思想及其优缺点。 表1 1 各种网格变形方法比较 戮熏簸露 缪缪缨够懒? 4 ”“篓貉秒缈 一爵缈三，强 缺点一：麓 j ，变形思想，7 娩l c g 荔盔二如盔d t4 缘磊觞童i 庇，锄。搋蕊“。弛“轧i 船珏。觏盘敬瓿# 强琶磁_ 荔 i 搋篇，二j 二口。，彤：，“ 变形的物体嵌入到一 个控制网格内，通过操纵控 制网格，来实现原始模型的与几何形体表 形变，控制网格是原始网格示方式无关，自保持局部细节 自由变形技术模型的代理模型。通过建立由，几何直观性能力有限，难以精 原始模型和代理模型之间高，局部操作方确控制物体形状。 的映射，操作代理模型发生便。 形变，然后将形变映射到原 始模型上得到变形结果。 将原始网格形成基网 格和由若干精细层次的多 通过多分辨率 选择的编辑区域 分辨率网格，对基网格进行 表示，可以对层次和边界约束受限， 操作变形，再通过细化算子 多分辨率变形技术的细节独立地编多分辨率表示过程 将各层细化网格的几何细 辑，能得到丰富的复杂，运算缓慢， 节成分自动恢复到变形后 基网格上，得到最终的结 编辑效果。操作复杂。 果。 用微分属性来描述几 可以自由的选 何曲面，在指定一定的约束 基于微分属性的变形 条件下，通过对曲面微分属 择边界约束和编大形变时容易 性的操纵，尽量保持变形前 辑区域，通过操纵产生体积缩小及局 技术微分属性来间接部自交现象，需要 后曲面的微分属性保持不 操纵顶点，保持局添加较多的约束。 变，变形后从微分坐标重建 部细节能力较好。 模型。 中山大学硕士论文 几何敏感的l a p l a c i a n 网格变形方法研究 1 4 论文研究内容与结构 网格变形技术广泛应用于计算机动画、游戏娱乐等领域，因此对应用于这些 领域的变形技术的研究具有重要的现实意义。本文深入研究比较热门的l a p l a c i a n 网格变形技术。 本文研究l a p l a c i a n 网格变形方法保持曲面局部细节特征的几何敏感性，分 析l a p l a c i a n 网格变形方法在对模型进行较大尺度的形变时不能实现几何敏感的 变形效果的原因，提出基于角度约束的l a p l a c i a n 网格变形方法，引入角度约束 导致的非线性求解转化为线性求解，保持l a p l a c i a n 网格变形方法的线性求解框 架。 本文还对l a p l a c i a n 网格变形方法的求解系统研究，运用多目标优化理论分 析其软约束权值对求解的影响，研究l a p l a c i a n 基本求解系统中的软约束权值能 够实现良好变形效果的范围。 本文的内容一共分成五章。各章节的安排如下： 第1 章：介绍网格变形技术出现的背景、意义以及本文研究对象，综述各种 网格变形技术的研究情况，并在论文的组织与结构里简要说明了本论文的内容。 第2 章：介绍l a p l a e i a n 网格变形方法的相关问题，分析l a p l a e i a n 网格变形 方法的几何敏感性，提出基于角度约束的l a p l a c i a n 网格变形方法。 第3 章：实现第二章提出的基于角度约束的l a p l a e i a n 网格变形方法，说明 本文所处理网格的数据结构，加快求解速度采用经典的c h o l e s k y 分解方法，并 通过一些实验对本文的方法进行验证，并对线性系统求解进行性能分析。 第4 章：运用多目标优化的理论对l a p l a e i a n 网格变形方法的最 b - - - 乘系统 分析，讨论求解系统中软约束权值的大小对求解的影响，给出一个权值范围，在 此范围内可以实现满意的变形效果。 第5 章：总结论文的研究工作，说明存在的不足，并指出未来的研究方向。 1 4 中山人学硕二仁论文几何敏感的l a p l a e i a n 网格变形方法研究 第2 章基于角度约束的l a p l a c i a n 网格变形方法 l a p l a c i a n l 网格变形方法实现简单、易于理解，因此被广泛应用在网格变形上， 本章主要介绍l a p l a e i a n l 稠格变形方法，分析l a p l a c i a n 网格变形方法的几何敏感 性，提出基于角度约束的l a p l a c i a n n 格变形方法，针对引入角度导致的非线性求 解问题，将其转化成线性问题求解，保持t l a p l a c i a n n 格变形方法的线性求解框 架。 2 1l a p l a c i a n 网格变形方法 l a p l a c i a n 网格变形方法是基于微分属性的网格变形方法中应用最为广泛的， 由于l a p l a c i a n 坐标携带了曲面的局部几何形状，在变形过程中通过对l a p l a c i a n 坐标的操纵来间接操纵顶点，保持变形前后l a p l a c i a n 坐标的损失最小，因此可 以保持曲面的局部几何细节。第一章中已经提到2 0 0 3 年a l e x a 最先将l a p l a c i a n 方法用于网格变形上，使用网格顶点的l a p l a e i a n 坐标形式取代笛卡尔坐标，是 网格变形领域的一大进步。 用基本l a p l a c i a n 网格变形方法进行变形，通过求解最小二乘系统，将误差 扩散到整个网格表面，可以获得比较好的变形效果。但是l a p l a c i a n 坐标是在全 局坐标系中定义的，对局部细节的描述过于粗糙，使得l a p l a c i a n 坐标仅对整体 平移变换具有不变性，但不是旋转和缩放不变的，因此在大尺度的平移变换和大 角度旋转情况下，不能很好的保持曲面的几何细节，且需要指定较多的控制顶点。 但是由于l a p l a c i a n 方法简单、易懂，许多学者沿着l a p l a c i a n 的方向对如何保持 模型的几何细节进行了研究。s o r k i n e 4 7 1 ，l i p m a n 4 s 1 以及z h o u 4 9 1 等人在基于 l a p l a c i a n 框架的基础上提出了保持几何细节的方法，将在2 1 3 节中详细说明。 本节将介绍l a p l a c i a n 网格变形方法的基本问题，包括l a p l a c i a n 坐标定义、构 造方法，以及前人提出的l a p l a c i a n l 网格变形算法等内容。 中山大学硕士论文 几何敏感的l a p l a c i a n 网格变形方法研究 2 1 1l a p l a c i a n 坐标定义 l a p l a c i a n 坐标又称微分坐标，或平均曲率法线【5 0 1 ，本小节给出其具体定义。