（工程力学专业论文）静载荷作用下夹层圆板的非线性振动.pdf

摘要 摘要 本文主要研究受均布载荷和周边面内压力作用下夹层圆板的非线性 振动、屈曲问题。首先，给出了周边面内压力作用下夹层圆板静平衡问题 的控制方程和静力问题的精确解，在此基础上，导出了周边面内压力作用 下兴层圆板非线性振动的基本方程，同时采用修正迭代法对浚问题进行求 解，当周边压力使夹层圆板的最低固有频率为零时，就可得到分支解的临 界点( 即临界载荷) 和相应的屈曲波型。然后，对于受均布载荷和周边面 内压力联合作用的夹层圆板，给出了静力问题的精确解，在此基础上导出 了受均布载荷和周边面内压力联合作用的夹层圆板非线性振动的基本方 程，文中基于时间模态假设和变分法，将挠度和应力函数设为时间和空间 函数的分离形式，时间函数取谐函数，空间函数未知。所假设的振动模态 包含两个未知的内禀量，即振频和一个由于静变形而使板具有不对称刚度 特性的非线性振子的“漂移”的小量，这两个量均与载荷、边界条件和振 幅有关。将假定的模态函数代入本问题的变分方程，导出空间模态的控制 方程和求解“漂移”的代数方程，采用修正迭代法求出了该问题的近似解 析解，分别对均布载荷和周边载荷对频率的影响以及振幅对频率的影响进 行了分析。 关键词夹层圆板：非线性：幅频一载荷特征关系：均布载荷：周边面力 临界载荷；屈曲 签生查望：! 兰堡主堂焦笙兰 a b s t r a c t t h en o n l i n e a rb e n da n dt h el a r g ea m p l i t u d ef l e ev i b r a t i o nf o rc i r c u l a r s a n d w i c h p l a t e u n d e ru n i f o r m e d l o a d i n g a n d c i r c u m j a c e n tl o a d i n g i s r e s e a r c h e df i r s t l y f i r s to fa l l ，e x a c ts o l u t i o no fs t a t i cl o a d i n go fs a n d w i c hp l a t e u n d e rc i r c u m j a c e n tl o a d i n gi sg i v e nf i r s t l y b a s e do nt h es t u d i e sa b o v e ，t h e n o n l i n e a rv i b r a t i o nf u n d m e n t a l e q u a t i o n o fs a h d w i c hu n d e rc i r c u m j a c e n t l o a d i n g i se s t a b l i s h e d a tt h es a m et i m e ，m o d i f i e di t e r a t i o nm e t h o di s e m p l o y e d t os o l v et h i sp r o b l e ma n dt h ei n f l u e n c eo fs t a t i cl o a d i n go nn o n l i n e a r v i b r a t i o nf r e q u e n c yi sd i s c u s s e d c o n s e q u e n t l y , f o rt h es a n d w i c hp l a t eu n d e r u n i f o r m e dl o a d i n ga n dc i r c u m j a c e n tl o a d i n g ，e x a c ts o l u t i o no fs t a t i cl o a d i n gi s g i v e n ，o nt h i sb a s e dt h en o n l i n e a rv i b r a t i o nf u n d m e n t a le q u a t i o no fs a n d w i c h u n d e ru n i f o r m e dl o a d i n ga n de i r c u m j a c e n tl o a d i n gi se s t a b l i s h e d d u r i n gt h i s c o u r s e ，b a s e do nt i m em o d eh y p o t h e s i s ，t h ed e f l e c t i o na n ds t r e s sf u n c t i o na r e a s s u m e da st h es e p a r a t i o nf o r mo ft i m ea n ds p a c ef i m c t i o n ，t h et i m ef u n c t i o n e m p l o y st h es i m p l eh a r m o n i c ，t h es p a c ef u n c t i o ni s u n k n o w n t h ev i b r a t i o n m o d ea s s u m e di n c l u d e st w ou n k n o w nn a t u r a lv a l u e s ，t h a ti s ，t h e a m p l i t u d e f r e q u e n c ya n do n es m a l lv a l u eo f d r i f t o fn o n l i n e a rv i b r a t o rt h a tm a d et h e p l a t ea s y m m e t r i c a lr i g i d i t yp r o p e r t yc a u s e db yt h es t a t i c r e f l e c t i o n b o t ho f t h e ma r er e l a t e dw i t hl o a d ，b o u n d a r yc o n d i t i o n sa n da m p l i t u d e s u b s t i t u t i n gt h e a s s u m e dm o d ef u n c t i o n st ot h ec a l c u l u se q u a t i o n s ，t h e nt h ec o n t r o le q u a t i o no f t h es p a c em o d ea n dt h ea l g e b r ae q u a t i o ni sd e r i v e d t h ea p p r o x i m a t ea n a l y t i c a l s o l u t i o no ft h i sp r o b l e mu n d e rt h e s eb o u n d a r yc o n d i t i o n si s p r o v i d e di nt h i s p a p e rb y t h em o d i f i e di t e r a t i o n m e t h o d ，b a s e do nw h i c h ，t h en o n l i n e a r v i b r a t i o no ft h ec i r c u l a rs a n d w i c h p l a t e s u n d e ru n i f o r m e dl o a da n d c i r c u m j a c e n t l o a di n p l a t e u n i f o r mp r e s s u r ea tt h eo u t e r e d g e s i sm a d e r e s e a r c ho n 1 1 a b s t r a c t k e y w o r d s ：s a n d w i c hp l a t e ：n o n l i n e a r ：a m p l i t u d ef r e q u e n c y l o a dc h a r a c t e r i s t i c r e l a t i o n ；u n i f o r m e dl o a d i n g ：c i r c u m j a c e n tl o a d ：c r i t i c a ll o a d b u c k l i n g 1 1 1 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题研究的背景 随着科学的发展和技术的进步，对现代机械设备的设计提出了更高的 要求，即在结构设计过程中要充分考虑结构的动力特性，因此，关于新结 构设计和振动理论及复杂机械设备振动问题的应用研究均得到了飞速的发 展，特别是非线性振动理论及其应用的研究更是引人注目。 板壳是平板和壳体的总称，是最常见的物体形式。其外形特点是厚度 比其余两个方向尺寸在数量级上小得多。平分物体厚度的分界面称为中面。 若中面是平面，则称此物体为平板；若中面是曲面，则称此物体为壳体。 板壳有许多种形式，如波纹板壳、单层板壳、夹层板壳、复合材料层合板 壳等等。由于厚度小、质量轻、耗材少、性能好，使板壳成为具有优良特 性的结构元件，不仅广泛应用于各种工程结构作为最基本和最主要的构件， 而且在自然界和日常生活中也常常碰见，它们与每个人的生活休戚相关， 与人类的生存紧密相连。 按照厚度的大小，可将板壳分为薄板壳和厚板壳两大类，而大多数板 壳属于薄板壳范畴。按照隶属的理论范畴当板壳弯曲变形时，若其挠度 相对于厚度是小量，所建立的微分方程属线性性质，则纳入板壳线性理论 范畴；反之，若挠度不是小量，所建立的微分方程属非线性的，则纳入板 壳非线性理论范畴。 板壳分析是现代固体力学的一个重要分支，这门科学几乎与一切工程 设计都有关联，对航天、航空、航海、机械、石化、建筑、水利、动力、 仪表、交通等工业设计尤其具有指导意义。由于近代科学技术的飞跃发展， 板壳已经成为当前固体力学研究的一个最活跃的领域，倍受人们关注。现 今，经典的薄板壳线性理论已较成熟，并在各种工程设计中起着指导作用。 然而，在薄板壳非线性领域和厚板壳研究领域，还有许多问题未被解决。 板壳结构分析包括板壳静力学和板壳动力学两大部分：板壳静力学是 研究板壳在静荷载作用下所产生的应力和变形，亦即通常所说的刚度、强 燕山大学工学硕士学位论文 度和稳定问题，通过分析计算，使板壳设计既美观大方，又安全经济；板 壳动力学是研究板壳在动载荷作用下结构的反应，其中一个重要问题是扳 壳的振动问题。 板结构分析随着工业的发展起源于18 世纪，e u l e r 最先探索板的弯曲 t a - j 题。但是，直到1 8 5 0 年，k i r c h o f f 给出第一个完善的板的弯曲理论。 接着，a r o n 【2 】做了薄壳的分析工作。此后，特别是在2 0 世纪，由于工业 的飞跃发展，极大地推动了板壳结构分析的发展与应用。上世纪六十年代 以来，出于航空、航天等工程中结构元件设计的需要，高强、轻质的复合 材料得到广泛的应用，复合材料板壳的非线性问题的分析由此成为研究者 们关心的一个热点。 近3 0 年来复合材料在航空、航天、船舶、能源、交通、建筑、机械、 生物医学和体育等部门已有广泛的应用。可以预言，2 1 世纪将进入复合材 料的时代。复合材料由于具有比强度高、比刚度大、耐疲劳和可设计性好 等一系列优点，而得到了飞速的发展。以复合材料层合板作为面板的复合 材料夹层结构，综合了普通金属材料夹层板和复合材料层合板的优点，既 有较高的结构效率，又有复合材料的新待点。因而在许多领域得到了广泛 的应用。近年来，有关学者对这种板进行了研究。但是，由于复合材料夹 层板的高度各向异性、边界条件的复杂性以及求解非线性赢阶偏微分方程 的巨大困难，仅有极少数人研究了夹层板的后屈曲问题。随着复合材料的 开发和应用，复合材料层合板壳的力学分析提到了日程，但目前的这些研 究大多属于线性理论，少数非线性分析也仅限于圆柱壳等，这样将需要更 精确的力学理论和方法。用来正确反映该类材料的力学性能。 到目前为止，板的非线性问题的研究主要基于小应变条件。对大应变 材料的分析，由于数学非线性的困难而仅有少数人进行研究过。这一领域 的问题相信会受到国内外研究者们的重视。另一方面，人们对一般( 各向同 性) 板的非线性问题的分析也在不断深入。尤其是具有非对称边界条件的单 层、双层和多层板的复杂载荷作用下的非线性问题将是今后的一个热门课 题。在2 1 世纪，世界正面临一场新的技术革命。现代国防和现代科技的更 大发展，将对板壳结构分析提出更多更高的要求。显然，目前的理论与方 2 第1 章绪论 法不能满足这些要求。因此，紧密结合工程需要，推动我国板壳结构分析 与应用事业继续向前发展是一项重要任务。 从本质上讲，板壳理论作为精确解理论而言，应该是非线性的。板壳 非线性力学的奠基者是2 0 世纪杰出的科学家v o n k a r m a n 。他 3 1 于1 9 1 0 年 最先提出了著名的薄板大挠度理论的微分方程。由于工程上未提出应用精 确理论的迫切要求，加之数学问题求解的巨大困难，所以此后的发展是缓 慢的。直到2 0 世纪6 0 年代，随着工业的发展工程上大量提出了非线性现 象与问题，它比线性情形更复杂，描述的现象更丰富，更具有挑战性，板 壳非线性理论的研究蓬勃兴起，直到今天，它仍然是固体力学研究的一个 最活跃的领域而备受人们关注，并推动非线性科学的发展。目前研究的中 心课题是扳壳的几何非线性弯曲、稳定和振动问题。 1 2 修正幂级数法和修正迭代法 由于几何非线性关系的引入，导致板壳弯曲问题理论的微分方程是非 线性的，这在数学研究上存在极大的困难，因而在v o n k a r m a n 提出板的大 挠度方程后，研究进展十分缓慢，寻求其解法便成为解决问题的关键。人 们将解法分为两类：解析法和数值法。数值法常见的有：有限元法、边界 元法和有限差分法等；解析法有精确解法和近似解法，常见的精确解法为 幂级数法和三角级数法等，常见的近似解法有摄动法、奇异摄动法、逐次 逼近法、r “z 法等。 寻求精确解一直是人们的希望，因为它不仅使问题得到圆满解决为 工程设计提供最可靠的依据，而且为近似解提供一个检验标准。1 9 3 4 年， w a y 最先使用幂级数方法求解了板壳非线性力学的经典问题：圆板大挠度 问题，给出了精确解的计算结果】。1 9 8 9 年，刘人怀 5 】发展了w a y 的方 法，提出修正幂级数法，求解了计及表层抗弯刚度的夹层圆板的大挠度方 程。在近似求解方面，代表性的工作为v i n c e n t t6 j 和钱伟长【7 1 在求解圆板大 挠度问题中分别提出的以荷载和中心挠度为摄动参数的摄动法。然而若使 用此法去处理壳体非线性问题中的经典问题，即扁球壳的非线性稳定问题， 则异常困难。1 9 6 5 年，刘人怀和叶开沅等f 8 ，9 】创立了修正迭代法，克服了 求解困难。这一方法结合了钱伟长摄动法和逐次逼近法的优点，不仅程序 燕山大学工学硕士学位论文 简单、计算量小，而且收敛快、所获解析解的精度高，而且经过证明，这 一方法是收敛的。 1 3 有关板壳研究工作的回顾 板壳方面的文献可以说是浩如烟海。据统计，近年来仅壳体的文章就 以每年数百篇甚至上千篇的速度递增，内容涉及静态和动态的各个方面。 要对其作全面的评述是很困难的。刘人怀对这方面做了一定的概述，本节 主要对板壳的研究进展作一个简要的介绍。 对圆板、椭圆板和环板的分析，近年来也受到重视。1 9 8 0 年，y n a t h 考虑了正交各向异性圆板承受步函数、正弦函数和n 型脉冲三种形式的载 荷作用而引起的动力响应。取c h e b y s h e v 技术展开的前五项，就得到了问 题的较精确结果，这是运用幂级数和三角级数展开所不及的。同年，g , v r a o 和k k r a j u 用有限元法分析了具有转动约束的正交各向异性圆板的非线 性振动。次年，m s t h y a m o o r t h y 利用b e r g e r 假设分析了横向剪切和转动惯 量对振动的影响，计算较用k a r m a n 理论更简单且结果更好。 周又和 1 1 1 讨论了中心集中力作用下圆薄板的微幅自由振动问题，基于 空间、时间模态假设，利用g a l e k i n 法获得了最低固有频率与载荷的特征 关系。 叶开沅、郑晓静等1 1 2 1 在研究集中载荷作用下圆板的大挠度问题时，通 过先将无量纲的k a r m a n 方程用格林函数法化为积分方程，引入解空间， 选取迭代格式后，最后分析得到该问题的精确解，并给出了解的收敛性证 明。对集中和均布载荷联合作用的圆板，郑晓静和周又和找到了大挠度问 题的精确解。叶开沅等人 1 3 - 1 5 l 还用修正迭代法和摄动法分别考虑了变厚度 圆板和矩形板的大挠度问题。此外，杜国君 i g l 讨论了均布载荷作用下圆薄 板在非线性弯曲静平衡构形附近的微幅自由振动，利用修正迭代法进行了 求解。杜国君和胡宇达i ”1 利用修正迭代法求出了具有多个阶梯厚度圆形和 环形薄板轴对称大幅度自由振动的一种解析解，导出了振幅和非线性振动 基频的解析关系式。王京 2 0 1 考虑到板的非线性大挠度效应，研究了一个周 边固支圆板的自由振动问题，计及静载变形对板动力特征的影响，得到了 板的关于时间的非线性动力方程。 第1 章绪论 王晋莹1 等研究了具有初挠度柔韧圆板的菲线性振动问题，基于空问 模态假设，利用g a l e r k i n 法导出了时间模态的控制方程，最后利用 l i n d s t e d t p o i n c a r e 摄动法求出了非线性振动的周期解，但文中忽略了静荷 载作用下的薄膜力。 树学锋和张晓晴1 2 2 1 对温度场中周边简支圆板的轴对称非线性热弹耦 合自由振动问题，运用伽辽金法求解，得到了一个关于时间的非线性常微 分方程组，求出了振幅随时间变化的数值解。 盛宏玉【2 3 l 从三维弹性力学基本方程出发，建立了弹性地基上周边自由 的横观各向同性层合圆板轴对称弯曲问题的状态方程，并将板面的法向载 荷展成傅里叶一贝塞尔级数，从而给出问题的解析解，而且此解满足弹性 力学全部方程，计及了所有独立的弹性常数，并满足层间连续性条件。 武兰河等1 3 3 1 针对周边固定层合复合材料椭圆板的自由振动问题，用伽 辽金法求出板弯曲时的格林函数，并用之推出自由振动的频率方程，并采用 了一阶剪切变形理论，研究了方法的收敛性和精度，数值结果表明，所用 方法思路清晰，程序简单，具有很好的收敛性和计算精度。 王卫东等1 6 7 1 推导出一种研究含振子及弹性支承圆板振动特性的新方 法，根据积分方程和富里叶一贝塞尔级数理论，首先用第一类贝塞尔函数 构造圆板的格林函数，然后由叠加原理将圆板的自由振动问题转化为积分 方程的特征值问题，进而将积分方程形式的特征值问题转化为无穷阶矩阵 的标准特征值问题，计算时根据精度的要求，截取无穷阶矩阵的标准特征 值为有限阶矩阵的标准特征值问题，采用q r 算法，此方法具有运算简捷、 精度高、适用性强的特点，而且能从整体上对系统的动态特性加以研究，为 这类系统的优化设计提供有力的工具。 杨平和许高翔1 6 8 1 采用样条有限点方法分析加筋壳体的动态稳定性问 题，基于能量原理，对离散的m a t h i e u h i l l 方程作了推导，从而得到加筋壳 体在周期性外载荷作用下的参数共振控制方程，并且通过选用适当方法获 得了1 临界频率方程并予以求解，从而确定了结构的动态不稳定性区域。 席丰等 6 9 1 以有限变形连续体的最小加速度原理为基础，得到了在任意 横向动力载荷作用下各类典型工程边界条件下的梁以及在任意轴对称横向 燕山大学工学硕士学位论文 动力载荷作用下各类典型工程边界条件下的圆板的有限变形运动方程。 所有结构物在静载作用下几乎都要发生形状的改变，从而引起其刚度 的变化，使其固有频率受到影响。r o s e n 和s i n g e r 曾分析了柱壳在非线性 静平衡状态附近的对称和非对称自由振动，文 6 】 讨论了具有初缺陷曲板 在非线性静平衡附近的微小振动，由频率方程的表达式中，令固有频率为 零，正好得到曲板受临界载荷失稳的表达式。文 6 2 对具有初挠度和外边 缘具有初位移的圆板大挠度非线性振动进行了理论和实验研究。 周又和”6 1 基于y o nk a r m a n 薄板理论，处理了圆薄板在周边均布面内压 力作用下的自由振动、屈曲和后屈曲，其屈曲前后的稳定静平衡解以其精 确解形式给出；在稳定静平衡构形附近，讨论了其微小轴对称自由振动采 用幂级数解法，可以精确地获得其固有频率和振型函数当周边压力使圆 薄板的最低固有频率为零时，就可获得分支解的临界点( 即临界裁荷) 和相 应的屈曲波型，然后求得了后屈曲的路径 马连生等1 6 ”基于经典板理论，推导了功能梯度材料圆形板在边界面内 均布压力作用下的轴对称屈曲方程。假设功能梯度材料性质沿板厚度方向 按成分含量百分比的幂指数形式连续变化，用打靶法求解所得方程，得到 了功能梯度材料圆( 环) 板的临界屈曲载荷，并分析了材料的梯度性质、内 外半径比以及边界条件对板临界载荷的影响。 李跃宇1 5 8 】研究更复杂的受载情形，即有压缩载荷、又有弯曲载荷作用 下的局部屈曲问题，用基于一阶剪切层板理论的几何非线性有限元法分析 了受压一弯载荷作用下含穿透脱层层板的屈曲临界载荷。给出了在不同压弯 载荷比条件下的临界载荷曲线。 杨骁等p 町研究了简支正交各向异性矩形板在两对边受中面压力作用 下的屈曲和过屈曲性态，得到了载荷的稳定性区域，证明了临界载荷最多 为二重的。利用多参数摄动方法求得临界载荷附近板的过屈曲状态的渐近 解，分析了在二重临界载荷附近，当载荷按比例变化对，板的可能的过屈 曲状态及其与参数的依赖关系。 1 4 有关夹层板壳研究工作的回顾 夹层板壳是由三层材料组合而成，上、下两块表面层很薄，中间是一 6 第1 章绪论 块软而轻的厚夹心。这是一种新型的结构元件，具有较高的强度、较轻的 质量和较大的刚度等许多突出的优点，在航空、宇航、船舶工业和包装等 工程中起了重要的作用。 夹层板的研究主要是对夹层矩形板和夹层圆板的研究。对于夹层矩形 板的研究，已经取得了一定的成果，自从1 9 4 0 年开始，已经发表了一些关 于夹层矩形板的论文。早在5 0 年前，r e i s s n e r 首先建立了具有软夹心和极 薄表层的夹层矩形板的大挠度理论。此时，视表层如薄膜一样，而且忽略 了表层的抗弯刚度。然而由于非线性数学的困难，直到1 9 6 7 年，刁有k a n 和h u a n 9 1 2 4 1 用摄动法讨论了在均布荷载作用下的夹层矩形板的大挠度问 题。除此之外，h o f f 2 ”、l i b o r e 和b a t d o r f t 2 6 1 提出的著名理论以及b h i m a t a d d i 和c h a r td r a s h e k n a r a 2 7 l 等人所获得的解，都是对夹层矩形扳进行研究所取 得的成果。刘人怀等人在这方面也进行了一定的研究，文献 2 8 1 中，应用 了h a m i l t o n 原理建立了具有软夹心和薄表层的夹层矩形板的非线性理论， 之后对简支和铰支两种边界条件下的夹层矩形板的非线性自由振动问题进 行了研究，且获得了非线性周期与振幅的关系式。文献 2 9 1 中，应用变分 法导出了具有软夹心的夹层矩形板的非线性弯曲理论的基本方程和边界条 件，并且使用摄动法研究了均布横向载荷作用下的简支夹层矩形板的非线 性弯曲问题，得到了相当精确的解。 研究夹层矩形板的同时，对于夹层圆板的研究同样b 1 起了一些人的兴 趣，但大多数均局限于线性分析，仅有很少几篇涉及到夹层圆板的大挠度 问题。中国科学院力学研究所板壳组1 3 4 1 对夹层圆板的非线性弯曲问题用摄 动法进行了分析。刘人怀、a l w a n | ”1 和k a m i y a ! 圳等人也先后讨论了夹层 圆板的非线性弯曲和振动问题。在1 9 8 0 年和1 9 8 1 年，刘人怀口7 ，3 8 1 进一步 在这方面做了一些工作，首次建立了均布荷载和边缘力矩作用下的夹层圆 板的非线性弯曲的基本方程，并且用叶开沅和刘人怀在1 9 6 5 年提出的修正 迭代法进行了求解。文献 3 7 1 中，刘人怀建立了计及表板抗弯刚度的具有 软夹心的夹层圆板的更精确的非线性弯曲理论，并且给出了忽略表层抗弯 刚度的简化理论。接着，刘人怀和施云方p s 应用幂级数方法得到了承受均 布荷载的夹层圆板的精确解，验证了文献 3 2 1 中用修正迭代法所得的解析 燕山大学工学硕士学位论文 解的精度，并得知解析解的精确性是十分令人满意的。刘人怀口9 i 还用摄动 法讨论了更困难的承受同心圆载荷的夹层圆板。然而这些工作均将夹层板 的表板视为薄膜，即忽略了表板的抗弯刚度。对于不同类型的大挠度的夹 层板而言，这一近似的适用性便成为一个疑问。为此，在文献 5 4 】中，刘 人怀导出了计及表板抗弯刚度的夹层圆板非线性弯曲的一般方程。由于数 学的复杂性，此时尚未得到这些方程的解。于是，刘入怀和朱高秋1 4 0 提出 了幂级数法，得到了均布荷载作用下的具有滑动固定边界条件的夹层圆板 的解。并且与文献 4 0 1 中的结果进行了比较，最后可知此解在工程应用中 可用作更精确的基础。 杜国君1 4 l l 对夹层圆板的轴对称大幅度自由振动加以探讨，利用哈密顿 原理导出了夹层圆板轴对称大幅度自由振动的基本方程，并且给出了表板 很薄情况下的简化形式，利用修正迭代法求出了具有滑动固定边界条件的 夹层圆板轴对称大幅度自由振动的一种解析解。在此基础上，杜国君等m 1 对夹层圆板大幅度振动问题做了进一步的研究，使用修正迭代法给出了具 有滑动固定边界条件并计及表板抗弯刚度的夹层圆板的轴对称大幅度自由 振动问题的解。杜国君等 4 3 1 讨论了均布荷载作用下夹层圆板在非线性弯曲 静平衡构形附近的微幅自由振动，并利用修正迭代法进行了求解，给出了 其固有频率和载荷的特征关系。 李跃军等 4 5 1 根据h o f f 提出的夹层板理论和胡海昌、柳春图对该理论 的简化理论，提出了矩形夹层板弯曲问题解析解的一般格式，它可以用于 求解各种边界条件下矩形夹层板弯曲问题的h o f f 理论的解析解，从而使得 考虑表层抗弯刚度的夹层矩形板弯曲问题求解格式化。 吴晖等【4 9 1 给出了一种把具有波纹型夹心的正交各向异性夹层板的控 制方程组化为仅包含一个位移函数的单一方程的简单方法，获得了在四边 简支条件下其自由振动固有频率的精确解，并且还对两种具有重要实际意 义的特殊情况进行了讨论。 吴建成等j 还建立了多夹层壳体小应变状态下的中转动二阶大挠度 的理论，接着进行适当的简化。获得了中转动、中小转动的一阶大挠度的 理论，并将这一理论具体地运用到多夹层扁壳中去，给出了正交异性材料 8 第1 章绪论 的多夹层扁壳的大挠度问题平衡方程和边界条件及宏观各向异性材料多夹 层扁壳的大挠度方程，同时求解了各种载荷及边界条件下矩形底面多夹层 扁壳的非线性弯曲问题和多夹层板、扁柱壳在轴向压力作用下的稳定问题 以及一般形状的板壳在边界作用力下的变形。 徐加初、王乘和刘人怀1 研究了均布载荷作用下边缘可移夹支具有f 交异性复合材料表层和软夹心的夹层圆锥壳非线性轴对称屈曲问题，利用 变分原理导出具有正交各向异性表层夹层圆锥壳在均匀外压作用下的非线 性轴对称屈曲问题的基本方程，采用修正迭代法求得了可移夹支边界条件 下壳体临界屈曲载荷的解析表达式，对几种典型的纤维增强复合材料表层 夹层圆锥壳给出了数值结果和图表。 杨静宁等1 4 4 1 研究了夹层圆板的非线性轴对称弯曲问题，采用打靶法和 解析延拓法对周边滑动固定和周边固定两种边界条件下圆板的弯曲进行求 解，获得了有意义的数值解，并与采用修正迭代法得到的解析解和采用幂 级数方法得到的精确解进行了比较，结果非常令人满意。 王志伟和刘人怀【4 8 1 考虑面层横向剪切变形以及横向剪应力在面层和 芯层粘结处连续，应用h a m i l t o n 原理建立了正交铺设复合材料面层夹层扁 壳新的非线性精化理论，在静力问题情形，控制方程和边界条件化简为用 四个基本未知函数表述，而且分析了简支边界条件下正交铺设复合材料面 层夹层圆柱壳和夹层球壳的非线性弯曲，得到了其挠度响应和层间应力响 应。 郭金树 6 4 1 使用能量变分原理建立了非线性稳定性控制方程和边界条 件，然后采用广义傅里叶级数法研究了在面内载荷作用下四边夹支复合材 料夹层板的后屈特性，得到了相当精确的解答。计算结果表明，夹支夹层 板的失稳为分叉型失稳，在后届曲阶段仍有较强的承载能力。 徐加初等 5 0 1 研究了夹层椭圆形板的非线性自由振动问题，在以五个位 移分量表示的夹层椭圆板的运动方程的基础上，采用伽辽金方法得到非线 性振动周期与振幅关系的解析表达式。 唐俊和王学林 6 5 1 构造了一个考虑面板抗弯刚度及耦合刚度的三角形 复合材料夹层板单元，对复合材料夹层板的总体稳定性进行了计算和分析， 燕山大学工学硬士学位论文 计论了面板铺设、夹心与面板厚度比对临界载荷的影响。还导出了复合材 料夹层板内力与应变的关系式，分折并指出了即使夹层板总体铺设为对称 铺设时忽略面板耦合刚度对临界载荷带来的影响。 1 5 选题的总体思想和理论依据 前面对板壳力学以及板壳非线性振动的研究现状做了简要介绍，虽然 在板壳非线性问题的研究上取得了很多成果，但对于板壳结构以及复杂结 构在静载荷作用下动力学特性的研究工作还很有限，有着大量的理论和实 践问题有待研究解决。目前，需要解决的主要问题有： 1 、各种板壳结构的力学性能研究，即研究各种板壳结构在外载荷作用 下的静力学特性和动力学性能。 2 、静载荷作用下结构非线性动力学方程的建立，即研究结构在静、动 载荷作用下耦合问题的非线性微分方程的建立。 3 、静载荷大小和形式对结构非线性刚度的影响，即研究各种载荷对结 构振动固有频率、振型和非线性振子“漂移”的影响。 4 、静载荷作用下结构非线性振动问题的定性研究，即在相平面上研究 结构在静载荷作用下非线性振动解的稳定性、分岔和混沌等问题。 5 、复杂结构在静载荷作用下动力学特性的研究，即研究该类问题的参 数辨识、数学力学建模及有效的数值计算方法。 基于以上介绍和待研究的课题，选择下节所介绍的几个问题作为本论 文的研究内容。 1 6 本文研究的内容 近年来，随着航天、航空和航海等工业部门的飞跃发展，作为其重要 结构元件而且具有刚度高、质量轻等优良特性的夹层板得到了更广泛的应 用并受到极大的关注。因此。许多研究者对这种板进行了研究。但是面临 非线性微分方程和夹层结构复杂的巨大困难，以往人们大多数研究较简单 的夹层板的线性力学问题。仅有少数人研究了夹层板的非线性问题。显然， 这种研究状况还不能满足工程实际的需要。因此，对其非线性静力动力特 性进一步的研究具有重要的理论和实际意义。 本文主要研究受均布载荷和周边面内压力作用下夹层圆板的非线性振 1 0 第l 章绪论 动、屈曲问题。首先，给出了周边面内压力作用下夹层圆板静力问题的精 确解，在此基础上，导出了夹层圆板非线性振动的基本方程，同时采用修 正迭代法对该问题进行求解，当周边压力使夹层圆板的最低固有频率为零 时，就可得到分支解的临界点( 即临界载荷) 和相应的屈曲波型。然后， 对于受均布载荷和周边面内压力联合作用的夹层圆板，给出了静力问题的 精确解，在此基础上导出了受均布载荷和周边面内压力联合作用的夹层圆 板非线性振动的基本方程，文中基于时间模念假设和变分法，将挠度和应 力函数设为时间和空间函数的分离形式，时间函数取谐函数，空阳j 函数未 知。所假设的振动模态包含两个未知的内禀量，即振频和一个由于静变形 而使板具有不对称刚度特性的非线性振子的“漂移”的小量，这两个量均 与载荷、边界条件和振幅有关。将假定的模态函数代入本问题的变分方程， 导出空间模态的控制方程和求解“漂移”的代数方程，采用修正迭代法求 出了该问题的近似解析解，分别对均布载荷和周边载荷对频率的影响以及 振幅对频率的影响进行了分析。 燕山大学工学硕士学位论文 第2 章夹层圆板几何非线性的基本理论 2 1夹层圆板几何非线性问题的基本方程 在推导基本方程和边界条件时，引进下列假设： ( 1 ) 材料服从虎克定律。 ( 2 ) 夹心横向不可压缩。 ( 3 ) 夹心沿板面方向不能承受载荷。 ( 4 1 表板为直法线假设，夹心中面法线在变形后保持直线。 现在，考虑在均布载荷作用下半径为日的夹层圆板，其坐标、尺寸如 图2 1 所示。 图2 1夹层圆板的儿伺尺寸 f i g 2 - 1t h eg e o m e t r i cd i m e n s i o n so f c i r c u l a rs a n d w i c hp l a t e 在轴对称和上述假设下，夹层圆板中任意一点的位移为【” 上表板 铲”+ 每州z 一争警一o ，w 。= w 下表板 圹“一导州z + 争警- o ，m = w 夹心 ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) 第2 章夹层圆板几何菲线性的基本理论 铲“+ 云( y 岫等) ，v ：_ o ，w ：圳( 2 - 3 ) 几何方程为： 铲警+ 吉c 警) 2 = 等_ ，咄a 砒，矾地c 渤 = 掣+ 华。8 r 2 = = 6 2 2 = y , e 2 = = o ( 2 - 4 ) z 。i + 彳 邓一z 22 2 z 圳 物理方程为： 盯，f e 丁( “+ 惯。) 盯a = f e 丁( + 惯。) 盯。= f ，a = f ，= f 。= 0 ，( i = 1 , 3 ) f 口2 = g 2 y 。2 盯，2 = 盯目2 = 盯：2 = f 坩2 = f 隆2 = 0 ( 2 - 5 ) 式中 g ：为夹心的剪切模量。 实屡网板的总势能为： u = 鲁黔w 2 - 2 ( 即沙搠d j l ( 窘弓茅2 叫，叫；警窘】肋d 曰十詈f 【( 警+ 2 _ 2 ( 训兰r 坐d r ，加臼 + 导肌p + 警，2 胁d 弘。i q w r d r d 占 式中w 夹层圆板中面上的挠度 妒夹层圆板的中面法线在径向平面内的转角 c 夹层圆板中夹心的抗剪刚度 ( 2 - 6 ) 燕山大学1 ：学硕士学位论文 d 夹层圆板中兴，t l , 的抗弯刚厦 d ，夹层圆板表板的抗弯刚度 d s = 蔫2 ( 1 ，。= 篙，c = 盟h 1一v2 ) 2 ( 1 一v 2 ) a 。夹层圆板中面内的径向应力 o 。夹层圆板中面内的环向应力 且径向应力盯。和环向应力o - 乩分别满足 吒= 土l - v 2 k l d r 叫别 岳卜d u 捌2 式中“夹层圆板中面r 点的径向位移 ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) 根据势能原理，以“、w 、作自变量，对总势能变分为零，有 乳，= 0 ( 2 - 9 ) 将式( 2 6 ) 代入，经一系列数学运算，可得央层圆板在均布横向载荷q 作用 下的大挠度理论的平衡方程和边界条件： 一导( 叫= o 2drd。，导!r旦dr，警一2h昙cr吒警，一c导叭y+警，】-qr=r o u rd rd r 1 d r 、d r 4 d r d r 。 。石d 了l 万d ( m - c ( + 参= 。 当r = 0 时或当r = a 时， r 盯= 0 ，或缸= 0 1 4 第2 章夹层圆板儿何非线性的基本理论 2 r d ，d - - ，- ! d - - ，了d w 一2 r 啊害一似i i f ，+ 当：o ，或却：o j d rr 出d r 1 1 d r 、 出 r m ，：d r ( 望竽+ ! p ) ：o ，或j y ：0 怫一州窘+ 詈警一o t 或昙c 舢) i o 应变协调方程为： 吒一熹( 一) 一了e i d w ) 2 = 。 方程( 2 1 0 ) , n ( 2 1 2 ) 就是夹层圆板大挠度理论的基本方程 简支、固定、滑动固定和自由等) 由式( 2 1 1 ) 决定。 引入应力函数妒： 1dd2 q 。2 7 i 0 0 0 。 则方程( 2 1 0 a ) 自动满足，而方程( 2 1 0 b ，c ) 和( 2 1 2 ) 成为 ( 2 一1 1 ) ( 2 - 1 2 ) 而边界条件( 如 2 d ，要7 i d li d7 了d w 一2 岛di & p 了d w ) 一c 要 ，缈+ 掣) 卜矿：o i 毋毋r 由d r：击、毋d r l毋一d r “j d _ d i _ d ( ，) 一c ( y + 掣) ：o d rrd rd r d j l dr 塑+ 一e 【一d w d r d rd r2 rd r ) 2 = o， 、 7 ( 2 1 3 ) ( 2 - 1 4 a ，b ，c ) 将方程( 2 1 4 a ) 乘以d r ，积分一次，可解得 y = 了2 d i d id r 坐一2 h 1 石d p d rrd rd r - - - t + 1 ) 警一去矿( 2 - 1 5 )y 2 了7 一一石+ 1 ) 石一面矿 将此式代入方程f 2 1 4 b ) ，得 1 5 2 d d i d 了1 一dr旦专旦r坐一(_d+2。，卜d了i石d，idwcd rd rd r d rd r c l r 一 ( 2 _ 1 6 1r ， 。 ra r ( 2 6 ) 2 h r i d d r 1 d(、dodw，)+一2hi d o dwdrd rd rd r rd rd r + 三2 旷o c ， 、 7 于是，基本方程( 2 1 0 ) 和( 2 1 2 ) 被简化为( 2 1 6 ) 和( 2 - 1 4 c ) n d t y ；程。 2 2夹层圆板轴对称振动的基本方程 对于夹层圆板的轴对称运动情形，如果略去夹层圆扳的径向运动动 能，则其动能表达式为 则哈密顿函数可以表达为 r ：p 2 l m r i 咖d t 、) 2 2 c f r = 2 p u 因此，由哈密顿原理有 d h = 0 为了得到应变协调方程的表达式，现将( 2 8 ) 中的“消去，则有 中吾一罢( 警) 2 = 。 佗一1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 御叭一o ，所滢十v 争叫窘+ 剖。0 i 亿2 ，曲 2 r d ，导叠导( r 警) 一z 以吒警一，c ( 妒+ 警) 5 。j r ：口时，函：0 却扎却= 。，导) = o ( 2 - 2 1 b ) 则可得到 第2 章夹层圆板几何非线性的基本理论 ，m 窘+ ：。，昙 ，昙 昙( ，警) 一z 导( ，警) 一c 瓤p + 剽= 。 一丢慨) = o 。北导p ) 卜( + 警 = 。 方程( 2 2 0 ) 和( 2 2 2 ) 即是夹层圆板大幅度振动的基本方程。 若夹层圆板的表板很薄，即h i h ，则在( 2 2 1 ) 、( 2 - 2 2 ) 0 7 可取d ，= 0 则可得到下面的简化方程和边界条件 一窘锄。昙( 舟g ：瓤+ 别= 。 时一一啾( 妒+ 期卅忡。万d w ，所+ v 予 = o l ，= 日时，函= 0 ，却= 0 ，6 q ：o j 佗一2 4 ) 式中g ，夹层圆板的夹心的剪切模量 而应变协调仍为( 2 2 0 ) 。 2 3 本章小结 本章对于夹层圆板问题，介绍了静力问题和动力问题的基本方程。较 详细介绍了非线性弯趋问题平衡方程的建立，并给出了夹层圆板轴对称大 幅度振动的运动微分方程。 塑办 缈 弋如矗t ， y h 知 旦咖b 旷唾 燕山大学：l 学硕士学位论文 第3 章周边面内压力作用下夹层圆板 的静平衡问题 本章将研究滑动固定基础上周边面内压力作用下央层圆板的非线性静 平衡问题，给出受周边面内压力兴层圆板非线性振动的微分方程和边界条 件，应用幂级数方法求解精确静态解。 3 1基本方程 。r 。蠢! z 图3 1夹层圆板的坐标和几何尺寸 f i g 3 1d i m e n s i o n s a n dc o o r d i n a t eo f c i r c u l a rs a n d w i c hp l a t e 考虑半径为a ，承受周边面内载荷q ，的夹层圆板。应用文献【3 7 】所给 的简化方程，即可得到以夹层圆板中面上的挠度w o 和径向应力a ? 为基本 未知量的非线性微分方程组 喙b 昙( ，警) + 型g 2 h o 旦d r l 三r 旦d r f ( 叫警 _ ：”? 警= 。 旦d r 阻l r d rp 2 盯? 愕( 等 2 = 。 式中h o 夹j = d n 板上下表板中面间的距离 h 。夹层圆板的表板厚度 ( 3 1 ) 铷qi“一_司q 了fi 蜜 f l 第3 章周边面内压力作用下夹层圆板的静平衡问题 g ：夹层圆板中夹心的剪切模量 e 夹层圆板表板的杨氏模量 。一夹层圆板的帔 。= 鹣 为了将微分方程组( 3 - 1 ) 转化成无量纲的形式，引入下列符号 p = 言，班嗣等= 等一- - o - o 百2 h a 2 0 k = 赤件警吼 其中 盯；夹层圆板中面内的环向应力 ( 3 2 ) v 夹层圆板表板的泊松比 将( 3 2 ) 中的各式代入( 3 1 ) ，并对其进行化简，则得到夹层圆板的无量 纲非线性静平衡方程组 上呻) + 譬= 。l 三b 陋+ 川一i ：卜o j 撕= 旦d p l 土p 旦d p ( ) 3 2 边界条件 滑动固定基础上边界条件为： r = 口时，w o = 0 ，p