（电磁场与微波技术专业论文）片内互连频变电磁参数r和l提取及软件的制作.pdf

摘要 ( 互连封装结构的电特性对当前高速电路系统的总体性能具有 至关重要的作用厂幕琵文主要针对高速集成电路片内互连的结构 进行了电磁参数的提取，并在此基础上开发了一个用于片内互连 频变电磁参数( r 和l ) 提取的软件。该软件界面简洁友好，功 能强大，易于操作，适于工程应用。 本文的工作主要如下：第二章介绍了电磁参数提取方法，第 三章介绍了软件的设计及使用方法，第四章介绍了一些软件应用 实例，并将结果与文献或其它软件的结果进行了比较。 关键词：互连封装，高速集成电路，片内互连，电磁参数，软件 ；，山。；滤拳骚激鳟誊* 迁沧 学披u a b s t r a c t t h ee l e c t l i c p l o p e r t i e s o fi n t e r c o n n e c t sa n d p a c k a g i n g a r ev e l 、， i m p o r t a n tf o rt i l ep e r f o r m a n c eo fh i g h s p e e di n t e g r a t e dc i r c u i t s t h i s t h e s i si so r i e n t e df o rt h ee l e c t r o n i c m o d e l i n g a n d p a r a l n e t e r s e x t r a c t i o no f o n c h i pi n t e r c o n n e c t s as o f t w a r ei sd e v e l o p e df o l t h e e x t r a c t i o no ft h ef r e q u e n c y d e p e n d e n tp a r a m e t e r sr a n dlu n d e rs u c h c i r c u m s t a n c e 1 t s u s e r f r i e n d l y ，p o w e r f u l a n de a s yf o re n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n t h ec o n t e n t sa r ea n a n g e da sf o l l o w i n g s ：i nc h a p t e r t w o ，t h em e t h o do f e l e c t r o m a g n e t i cp a r a m e t e r s e x t r a c t i o ni s i n t r o d u c e d ；c h a p t e rt h r e e i l l u s t r a t e sh o wt h es o f t w a r ew a s d e s i g n e d a n dh o wt ou s ei t ：i n c h a p t m f o u l ，r e s u l t sf o rv a r i o u si n t e r c o n n e c t sa r ec o m p a r e du i t ht h o s e g i v e ni nt h el i t e r a t u r e so rb yo t h e rs o f i w a r e s k e ) | w o r d ：i n t e r c o n n e c ta n d p a c k a g i n g ，h i g h s p e e di n t e g r a t e d c i l c u l t ，o n c h i pi n t e r c o n n e c t ，e l e c t r o m a g n e t i cp a r a m e t e r ，s o f t w a r e 第一章绪言 1 1 研究背景 随着半导体材料科学和电子信息技术的飞速发展，高速超大规模集成电 路芯片的集成度和工作速度随着其功能的增加而不断提高。深亚微米技术的 出现，使得系统芯片( s y s t e m o n a c h i p ) 成为可能。今天，半导体技术已经 可以制造出同时包含c p u 、存储器和逻辑单元在内的单个芯片，单个芯片 的尺寸已达厘米量级，工作频率已达5 0 0 m h z 以上。现在超大规模集成电路 的互连结构规模越来越大，越来越复杂。一般来说，高性能数字系统的互连 结构可以归为五大类：屏蔽电缆( s h i e l d e dc a b l e s ) 、印刷电路板( p r i n t e dc i r c u i t b o a r d s ) 、陶瓷载体( c e r a m i c ) 、薄膜电路互连( t h i n f i l mw i r i n g ) 和片内互 连( o n - c h i p ) 。与深亚微米高性能系统芯片密切相关的是片内互连。 目前，超深亚微米、超高速( 数g h z ) ，超长片内互连线( 数厘米) 、低 耗、特大规模集成电路芯片研制是当i i i 最尖端的研究课题之一，因为它融合 了微电子、微波与电磁场等学科，且由于其对集成电路的重要性，而成了当 前的研究热点之一。 1 1 1 多层互连结构 片内互连技术采用一个多层的互连结构( 如图1 1 所示) 3 1 ，在这个结构 中，金属间距、金属厚度和宽度由下而上增加，相应的线长变化是从局部互 连到全局互连。在较底的金属层上，布线主要是短的局部互连线，其r c 延 迟不明显，且小的金属间距使其布线密度最大。在较高的金属层上，布线主 要是全局的长互连线，宽松的金属间距使其r c 延迟特别明显。层数不同金 属间距也不同，这是出于密度、性能和制作可能性的折衷考虑。这种多层互 连结构设计要满足层数最少，同时性能又最佳的要求。总之第一层金属间距 最小，而最上层金属间距最大。若这一层设计不准确( 如：这一层的金属间 距比所要求的宽或窄) ，就会降低布线率，增加成本，影响性能和产量。另 外，上层的会属层较厚主要是出于功率分稚的需要，功率分布网由非常宽的 总线组成，它主要提供电源v d d 和接地g n d ，在接下来的层中，线j 下交 分布，功率分布总线把电压分配到各个单元。片内多层互连结构的发展趋势 i 貔纛蠡叠溢鋈墓峨娥融一 ，。蕊； uj 耳1 j 上人学坝t ：论- - 史 是电路将包含更多的会属层，每层将包含更多的会属线，这时互连电容尤 受注意。 为进一步提高芯片的性能，材料方面也作了改进1 3 ”，用c u 低k 取代 a l s i o ，已是不容置疑的发展趋势。传统的a l s i o ：已不适应系统芯片发展 的要求。c u 因为其优良的性能最终要取代a l 。c u 的电阻率低，损耗小， 可以获得更高的信息传输速度：c u 的寿命和抗电迁移性有利于提高可靠性： 实验证明，c u 的寿命比a l 佰线的寿命高两个数量级：c u 布线厚度比a l 薄 6 0 ，有利于平坦化。现在，几乎所有的电路都采用s i o ，作为层间介质， 低k 材料仅被用作层内介质。若全部介质都采用低k 材料，可使电路速度 增加，降低延时，减小电容，抑制串扰等等。互连的发展趋势是： a l 低k a l 低k + c u s i o i + c u s i o f c u 低k 口口口 二二二二二二 口口口口 二二二二二二二二= 二= 二 v - qv - qv - qv - q口口 = = = = = = = = = = = = 二= = = = 口口口口r - - - n 口r - n 二二二二二二二二二二二二 | 璺l 1 】一种可能的分层互连结构的截面幽 封装 全局布线 功能块互连 局部互连 晶体管 除了多层互连结构以外，通过在电路中加变换器( r e p e a t e r ) 和级联驱 动器也可以提高芯片的性能。最佳的变换器的数目可以使r c 延迟最小，并 减少损耗。其它技术还包括：专用接地线、微分信号技术、分割线、终端技 术和连续功率板及接地板的使用等等。 1 1 2 片内互连线的种类 片内互连线根据长度可以分为三种1 5 1 ： 种是短线，长度 ， 为信号波长线长小于l m m ，线宽小于0 9 m 。短线主要用于逻辑门之问的连接。芯片内布线大多属于短的局部电路 连接，其和线密度最高。限制短线的主要参数是线电容c 和电容耦合系数 速越蠹滋蕊| | | i 匿蘸蕊热 m m ! 呈m 川 k f 。使用较薄的且介电常数较低的介质，可降低尺c 和( _ ，从而降低时延和 提高整个芯片的功率。 第二科t 为中长线，线长1 0 1 3 r a m ，线宽大于1 8 1 m 。限制中长线的主 要因素是电容耦合和电感耦合。使用中等厚度的层间介质，低电阻率的会属， 如：c u 。 第三种为长线，线长大于1 0 m m ，线宽大于4 5 m 。长线主要有三种类 型：控制线、数据线和时钟线。长线对线路性能起着关键的作用，因此长线 的作用尤为重要。长线使用厚的层问介质，从而减小时延。为了准确地预计 其串扰，必须考虑电容和电感耦合。 1 1 3 传输线形式 片内互连线的传输线形式有共面线，带状线，微带线，多导体传输线， 耦合线等。由于高速集成电路系统结构的各层次是通过多导体互连线来进行 信号和能量的传递，且芯片中多数的单元电路与电子器件也是通过多导体互 连线相互连接的，可以说，多导体传输线构成的互连系统是高速集成电路的 神经系统。因此，对多导体互连线准确的分析研究已经成为保证高速电子信 息系统正常工作的必要环节。 在直流或低频情况下，多导体互连线可以看作是简单的金属导线，仅起 着电连通的作用，但是在现代高速电子信息系统中，工作信号脉冲的频率已 达1 0 g h z ，其对应的频谱已至微波和毫米波波段，高频谐波的波长和互连 线的长度相当，信号脉冲将在互连线上呈现波效应。波效应具体表现为：延 迟，串扰，反射和畸变。此时互连系统不能再简单地被认为是仅起电连通作 用的会属导线，而应作为具有分布参数的信号传输线处理。 1 - 1 4 电磁场分析方法 众所周知1 6 】，对任何两个用于传输电磁能量的平行导体，都可被当作传 输线。在理想情况下，e 和日矢量都与传播方向垂直，且对层和日解麦氏 方程，称为t e m 波。对这种线必须解电压和电流波形，因为大多电子脉冲 电路中关心传输线两端的信号，通常一般是v 和i 。v 和都可以用单位长 度的r 、l 、c 和g 来表达。理想情况下，t e m 波只有在线横截面比 小得 多的情况下可以用。 在实际的布线中，导体的导电率有限，导体周围的介质可能是不均匀的 ( 如：空气和s i o ：) ，线电容由于片内正交布线层和s i 基片的存在而增加， 电感和电阻由于不均匀的功率总线分布而增加。这时导体e 和日沿传播方 向增加了一个分量。如果线横截面和不均匀的范围与我们所关心的频域内的 。j 曩螽致薹滋魑潼蘸熬：沁，：二旋 波长相比很小的话，对麦氏方程的解实际上仍是t e m 波或所谓的准t e m 波。对我们所研究的结构而言，波长 是厘米的数量级，即使对于一个血层 的结构，垂直高度大约有1 0 _ 7 7 左右，信号线与最大的功率总线的间隔为1 7 0 ，玎的数量绒，因此准t e m 波是有效的。 1 1 5 长互连线研究中存在的问题 系统芯片是半导体工业深亚微米技术和集成电路技术共同发展的产物。 一个芯片可以容纳微处理器和存储器等其他线路系统，可实现更多的功能， 这样芯片的功能更为强大。随之而来的是芯片尺寸的增加，现在芯片尺寸已 达2 0 2 0 r a m ，以便能容纳整个系统。这种趋势还将持续下去，这就使得长 线的研究更有意义。 1 在多层互连结构中，传输线结构极不均匀，如在相邻的导体层上采 用证交布线方式：宽功率总线稀疏地位于最上层，较窄的功率总线位于较低 层，利用它把功率分配到各个逻辑单元，这样一个不规则的功率总线的布置， 导致在参考网中存在随厂变化的电流分布；具有各向异性介电常数的介质； 芯片内的不连续性，如：通孔、焊点、弯头、沟槽等等。这些都增加了分析 难度。 2 随着多层互连结构中上层会属布线( 即长线) 宽度和厚度的增加， 使得r w l ，并且由于互连线材料铜的引入，这种情况将更加明显，电感 正成为一个大家关注的问题。计算电感的复杂性在于决定电感回路的路径， 电流将通过r + ，o a l 最小的路径返回，对于低“，回路将是最小电阻的路径， 随着u 的增加，在芯片回路内将寻找一个低电感( 高电阻) 的电路返回。在 大多数情况下，它将在一个功率或接地总线上返回，但是在功率和接地总线 缺少的情况下，电流将通过信号线返回。 3 随着信号速度的增加( 频率范围：直流1 0 g h z ) ，趋肤效应也变得 重要起来。当趋肤深度万 4j 这个假设不易满足。方程( 1 4 ) 在这旱不再适用，在这些情况下，需 采用数值方法。 u 了科 上人学坝i j 论业 圈图团口 偶模 奇模 幽1 5 左边是高频偶模耦合的电流分布( 电流同相流动) ：右边是高频奇模耦合的 电流分布( 电流反相流动) ：颜色越深电流密度越人。对丁相同的儿佃结构 奇模的电流密度的最人值比偶模的高。 1 2 2 电感参数 众所周知，在电路理论中，电感元件起着低通滤波器的作用。随着高密 度、超高速集成电路的出现，i c 中互连封装结构的寄生电感已成为阻碍集 成电路工作速度进一步提高的一个重要因素。电感效应已经变得r 益明显， 这是因为： 1 出于性能方面的考虑，一些全局的较宽较厚的信号线和时钟线分稚在上 层。这样布线会使延迟最小，但同时也减小了线电阻，从而使得线阻抗 的电感项和电阻相当，电感效应变得明显。 2 随着时钟频率的增加，电信号包含了越来越多的高频成分，这也使得电 感效应更加明显。 3 出于电路性能方面的要求，一些低电阻率的金属( 如c u ) 已取代a l 。这 将使得电感项与电阻相当，甚至比电阻大，电感效应变得明显。 因此，为了确保电路的性能和电路设计的准确性，必须考虑片内电感， 并注意以下几点： 1 必须考虑片内互连线的内电感。 2 由于片内互连缺乏高导电率的接地板，线间的电感互耦覆盖了很长的一 段区域，并且随着线间隔的增加减小得非常缓慢。此外，由于片内互连 线的长线耦合效应。几乎在相同平行方向上的每条线之间都彼此耦合。 3 片内互连线的电感与线长不是成正比变化的。 如在( 1 5 ) 式f 7 1 中所表明的，片内互连线的自感随长度以n l o g n 的速率 变化。超过一定的长度( 如8 0 0 0 a m ) ，由于n l o g n 函数的特性，电感就会随 长度呈线形变化。因此，p c b 设计者经常提到电感是与长度成正比的。但 由于片内线大部分是短线，比8 0 0 0 u m 短得多，所以正比性不再适用。 矗 ! ! ! 型! ! ! ：塑! ! ! l ( n h ) ：2 1 f l l l ( 二l ) + 0 一 1(1l(nh 2 10 5 5 ) = 【1 n ( 兰) + 一 】 ( 5 ) _ ，+ ， 填； l ，ki h ，、，决定，o k o 0 0 2 5 。，i ，w ，以c 为单位。 1 3 参数提取方法简介 参数提取非常匝要，因为它是卜| 一步用微波网络理论或者分们参数电路 理论建立互连和封装的等效网络模型的基础，为最终布线提供指导。高效而 又应用广泛的参数提取方法对建立新一代i c 系统设计的分析方法有非常 重要的意义。 参数提取的具体分析方法很多，有矩量法( m o m ) 、边界元法( b e m ) 、 有限差分( f d m ) 、有限元法( f e m ) 、时域有限差分法( f d t d ) 、直线法 ( m o l ) 、谱域法( s d m ) 和部分元等效电路( p e e c ) 法等。下面仅就部 分元等效电路( p e e c ) 法作一简述。 部分元等效电路法是利用部分元等效电路原理，将电磁结构等效为许多 部分电阻、部分电容、部分电感等集总元件组成的网络，然后利用已有的电 路模拟软件如s p i c e 来分析。其中部分电容对应于复杂结构导体分元后各个 分元之f 日j 的电容矩阵。部分电感则是针对计算复杂回路的电感而提出的。部 分电阻在忽略趋肤效应时，可直接从欧姆定律得到。 这种方法存在的主要问题是形成的等效网络规模太大，计算效率较低， 它要求有一个更有效的网格划分技术。但是，基于部分元的概念却可以发展 计算电阻和电感的有效算法。由于片内互连横截面尺寸小，所以网络规模不 是很大。本论文所制作的软件所用的w e e k s 方法1 8 1 就是基于p e e c 方法的。 基于上述算法，国外还推出了若干软件，如t m a 的r a p h e l 用有限差分 法计算二维和三维结构的电容、电感和电阻矩阵；m i t 的f a s t c a p 和 f a s t h e n r y 用边界元法结合多极子加速技术计算二维和三维结构的电容、 电感和电阻矩阵；a n s o f l 公司的m a x w e l ls p i c e l i n k 用有限元法计算二维和 三维结构的电容和电感矩阵并形成s p i c e 可接受的文件；h p 公司的h f s s 用有限元法提耿封闭结构的s 参数，等等。这些软件只能计算单个结构的电 磁参数，并不能直接根据布线计算其电磁参数，还无法直接与已有的布线软 件接口，因此距离实用还有相当的距离。 1 4 本文的主要工作 本论文的主要工作是用电磁场理论计算片内互连结构中的电磁参量 ( 电感和电阻) ，即所谓的参数提取，并在此基础上，针对长的多导体互连 线，制作了一个c a d 软件。由于长的多导体互连线是二维的准t e m 传输 线，所以本论文制作的软件是一个二维片内长互连线多导体结构的电磁仿真 软件。该软件操作简单、功能强大、界面友好，具有m i c r o s o f tw i n d o w s 的 风格，适于工程应用。 全文共分五章，各章主要内容如下： 第一章概述了本课题的背景、片内互连电磁参数的特点及提取方法介 绍，并简要介绍了作者的研究工作。 第二章电磁参数提取方法 第三章软件设计及使用 第四章软件应用实例 第五章结论 0 ! ! 卫! 垫叁型坐! 兰 第二章电磁参数提取方法 2 1 引言 现代技术f 在向电路速度更高，上升时帕j 更短，脉冲宽度更短和电路的 封装尺寸更小的方向迅猛发展着。随着频率的提高，电路内布线的宽度和厚 度与趋肤深度已经非常接近。这极大地使封装的电磁分析复杂化。在我们所 使用的频域中，实际的布线电阻比直流电阻高得多。 2 2 1 环路电感 2 2 基本概念 互连遵循麦氏方程： v e ：一丝 ( 2 1 ) a v h ：望+ j ( 2 2 ) 研 v 四= 0 ( 2 3 ) v d = 0 ( 2 4 ) 假定介质是均匀的，各向同性的，线形的和非时变的，有d = s e 和口= 口， 其中r 和各自是介质介电常数和磁导率常数。由此正弦稳态下的麦氏方程 为： v e = - j c u , d - v i - = ，西+ ， v 日= 0 v e ：旦 s 氛漉鍪鬣淄鹾囊萏整数麓巍一。、， * 。菇溉 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 然后使用准磁静态假设：位移电流在总电流中只占很小的一部分，可以忽略。 即只考虑交变磁场到电场的耦合而不考虑交变电场到磁场的耦合。所以方程 ( 2 6 ) 变为 v h = j( 2 9 ) 从方程( 2 7 ) 可看出，h 必是另一个矢量的旋度。因此引入矢量位4 ，那么 “日= vx a( 2 1 0 ) 代入( 2 5 ) 式，有 v r e + ，刚，= 0 ( 2 1 1 ) 由上式可知存在一个标量位函数中，这样 一v 曲= e + ，“1 4 ( 2 1 2 ) 从方程( 2 8 ) 和在介质中没有电荷存在的事实可以得到： v e = 0( 2 1 3 ) 采用矢量位a 和标量位中，使得求解电磁场的六个分量变为求解爿和中的 四个分量，且由于一和中并不是相互独立的，所以引用库仑规范： v a = 0 ( 2 1 4 ) 从( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) ，有 ，= 工f v 日= v v a = v r v a j 甲2 a ( 2 1 5 ) 代( 2 1 4 ) 到上式，有： 一v ：a = “，( 2 1 6 ) 这个方程是三维泊松方程。通过使用格林函数，对介质中r 处一点有 的j = 焘j ：篙咖 眨 其中v 是所有导体的体积。 考虑图2 1 中的两个一般的电流环路f 和。环路，贡献给导体i 一点处 的矢量位由a 。表示为： 铲等等 华 眨 这罩两个环路的横截面假定是常数且各自等于口，和a j ，电流密度在横截面 的不同点处改变。如等于坏路i 上的点到环路上用柬积分的点之1 1 日j 的距离。 1 2 图2 1 耦合导体坏路系统 在蚪路i 中的平均磁通量与矢量位a 。有关。 吼2 “a 删地 2 1 9 ) 那么，耦合电感 l = = 古去州i ，等，砌， b z 。， 珊巩是两个矢量办和嘶的矢量内积，方程( 2 2 0 ) 还表明了互感是相等 的，即l 。= l 矿自感上用，取代i 后通过( 2 2 0 ) 式也能计算。 2 2 2 部分电感 尽管电感是对电路环路定义的，但是因为片内互连中缺乏接地板，所以 很难确定其环路( 或回路) 。几乎每一条线都对许多其它线产生耦合。为了 避免这个困难，a l b e r tr u e h l i 在它的部分元等效电路( p e e c ) 中提出了部 分电感的概念。部分电感很适合计算机电路模拟。 考虑图2 2 中的两个环路口b c d 和e f g h ，两个环路之问的电感三。可计算 如下： 矿去卷c f 半蛐。+ i 警蚋 饥n 警蚋+ i 警蛐，+ 。u ；。矗n i “矗幽凼雠；蠡。；。t 蚋驼 幽2 2 任同一傲上f l 3 阳个皑流h 始a b c d 千e t g h 儿，n 半电幽+ l l “半出胁。+ 儿n 华电峨+ 儿儿华幽础+ 儿“半电”j ：，lf l 半出以+ n m 华电”n “华电出t + 虬姓j 半唧d ：+ 蛙l j 半如丸+ 半电蚶f ? 蛳k 锗n t 如砂( 2 ：， 总共有1 6 项，因为一个坏路四个边中的每边需要同另一个环路的四个边 中的每一边进行积分。用下标口和p 分别表示环路口b c d 和e f g h 。假定口d 和 b c 与盯垂直( 虚线p p ，如图所示，它与口d 和b c 平行，它们都与盯垂直) 。 同样，假定詹和e h 都与口b 垂直。进一步假定两个环路都趋于无穷远处， 这意味着c d 上的每一个点和盯上的每一个点之白j 的距离是无穷大。口b 和柏 上的每一点之间的距离也是无穷大。基于这些假设，方程( 22 1 ) 中的许多 项都为零，因为是两个互相垂直的矢量的矢量内积或位于分母的距离是无穷 大。因_ 【 | ：有： 1 4 基菇滤麓绷幽鎏整隧虢。i 。勰； 。= 石1 石1 1n “半幽础 ：z ， 也就是说，在上面这些假设下，l 仅依赖于线础段和矿段的几何结构，不 需要环路信息。方程( 2 2 2 ) 实际上是导体段的部分电感的定义。对于由直 线段组成的环路，( 2 2 0 ) 式的坏路电感可写成( 2 2 3 ) 式，这些段允许有不 同的横截面。 “= 荟k 刍m 石g 石1f 膳f 。警慨帆 ：， 其中，第i 个环路假定包括部分，而第，个环路被分割为部分。以、6 。， 是积分回路中段的起始点，印是积分回路中段的终点。当k 段和m 段没 有形成回路时，方程( 2 2 3 ) 是整个导体的部分电感的定义式。 由这个定义，可以很容易用计算机模拟互连电感，因为它不需要环路息， 并且部分电感仅依赖于几何结构。 2 2 3 部分电感与环路电感的关系 为了说明部分电感与环路电感的关系，先解释在p e e c 模型下电感提耿 的过程。由于电感仅是对封闭电路定义的，所以一条线的部分电感可被视为 它与无穷远处形成的回路电感。如图2 3 所示的结构，我们假定其相邻层的 线是正交的，这层包括n 条线，这些线有相同的长度，最外面两条线t 和 t ，是专用接地线。由于邻近层的线与这层的线是正交排列的，所以n + i 和 n 1 层的线不会影响n 层中的线的电感。如果在t 。和t 。中电流密度是均匀 的，那么在p e e c 模型下，互感。为 l 。= 考击j i ：i 。c l 警d a * d a 。 晓z 4 ， 吼和口。是横截面积，巩和b 。是起始点，和是终点，另外， 砒和砒，是 t k 和t m 线长度的微分元，“。是砒和砜之间的距离，。当k = m 时，( 2 2 4 ) 给出的是自感。如果一条线的电流是非均匀的，那么应该把一条线分成矩形 丝。假定也流在每丝中以恒定的电流密度沿每条丝的长度方向流动。因此 ( 2 2 4 ) 可以用于每一丝。很容易看到，每一丝的自感仅出这一丝单独决定， 两丝问的互感仅由这两丝决定。这个结论适用于一条线和多条线的情况。 若我们假定线瓦有p 丝，线l 有q 丝，那么三。由下式给出： 口口口口口口 t it 2t 3 丁4 t 肛1t 。 幽2 3 一个医n 条线的横截面幽，t 平t ：是专川接地线，每一条线的宽度为 w l ，w 二，w ，i h q 口5 j js i ，s ：， s 。 u 工。，= 三。 ( 2 2 5 ) 其中，l 。为t k 的第i 丝和，的第，丝之i n j 的互感。当k = 时，( 2 2 5 ) 计 算的是线的自感。因此有以下的结论成立： 由于一条线的部分自感仅依赖于它本身，即一条线的部分自电感仅由这 条线( 它的长度，宽度和厚度) 单独决定：而互感依赖于两条线，即两条线 的部分互电感由两条线( 它们的长度，宽度和厚度，以及它们之i b j 的间隔) 单独决定。 通过这两个结论，能把n 条线的电感问题转化为一条线自感问题和两条 线的互感问题。 一般来说，自感可以通过下式川解决： 9 1 l ( n h ) = 2 l 1 n ( = ：一) + 0 5 一k ( 2 2 6 ) 募中k = 厂( 州) ，0 k 0 0 0 2 5 ，w ，为线的长度，宽度和厚度，单 位为c m 。有相同宽度和长度的两条线的互感l ，l 为 l ( n h ) ：掣 1 n ( 型) + 了s ( 2 2 7 ) z 石sl 其中s 为两条线之间的间距，单位为。o 。 这些方程给了我们两点启覆i 第一，片内互连电感不是线能变化的。自 感和互感都是线的长度的非线褪涵数。第二，由于对，w 和l s 取对数，自 感和互感对线的宽度和间距的变化不敏感。然而，使用这两个方程有限制。 首先，它们没有考虑趋肤效应和内电感：其次，互感没考虑宽度因素。因此， 只能通过数值电感提取工具求自感和互感。 下面通过一个例子来迸一步说明部分电感和环路电感的转换关系。图24 表示的是高速数字集成电路设计中常用的一个片内时钟树共面波导结构。这 l 6 ! ! 型! ! ! ：塑型堡! 一 一。 燃繁芎磊荠鬈嚣萼鏊篇各装京嚣繁惹迟l 曩端淼避翟瓣1线i ! 论需计算信号线的有效环路f 乜感。p 皿】找1 寻出m 疋二二尔域 - t 二+ t ，的自感蹦函数。 困t 地线 幽2 4 共面波导的俯视幽 第裂鬻嚣鬻鬻t ：，嚣i 鬈l龇晶第二部分有两个平行分支，即：电流心流过3 ，电流况坦t t 。帐抛州叫 甜：k 百d i 2 = k ：警+ k 鲁+ k ，百d i a k ，鲁- - l i ，u 等- l p l ，等 由两接地端有相同的压降，有： h 。鲁+ k ：鲁十k ，警= k 鲁+ k ：等+ k ，鲁 ：伪 最后，根据k c l 电流守恒有 l i + i 2 “= 0 ( 2 3 0 ) 联立方程( 2 2 6 ) 、2 ) 、( 2 3 d ) 可解出上。当t ，和气是对称结构时，卵 k 咆：吼。+ l ：p l i + 争 c z 引) 数值实验表明：通过( 2 3 1 ) 得出的部分电感的结果与用数值提取工具提取 的结霎淼的电流在指定的区域内返回的假设下，可以用下面n 个方总之，在所有的电流在指定的区域内返回的假设r ，口j 以用r 圆n 1 、方 蟹y a 怖p b ( n - 条2 2 鸳徽狲2 7 鲁程是k v l 芋勰锻；燃揣!) 个方程( 如( 2 ) ) 基于 ，除t 以外所伺酮登召! 翼? ”u 的压降：还有一个方程( 如( 2 2 8 ) ) 基于k c l ，所有的电流都是守恒的。 。蹴溅致潮幽罄强谶燃囊瓤。：、 ，躐 m 幽舭 u 了科j t 人学“i ! i + 论迁 2 3 长线的参数提取方法 本论文制作的软件计算模块使用的是w e e k s 方法，其基本思想为：对 导体的截面进行剖分，导体被分成矩形子导体，这些子导体相互平行，且具 有很小的横截面。假定通过每一个子导体的电流密度是常数，且电流密度随 子导体的不同而不同。最后，计算出每一个子导体的直流电阻和自感以及所 有子导体之i i 白j 的互感，并且建立起所有子导体的单位长度的阻抗矩阵。导体 系统单位长度的阻抗矩阵通过把子导体矩阵的相应的行和列的相加而求得。 这样子导体电流的计算就可以忽略。理论推导是针对具有矩形截面的平行导 体系统，但是却很容易扩展到有任意截面的导体。 2 3 2 方法简介 先把每个导体分成许多有小的横截面积的平行段，然后对导体从0 到 编号。导体0 为接地导体，剩余的个导体为有源导体。现在把第i 个有源 导体分成j 段( i = l ，2 ，) 。把接地导体分成f j + 段，选择接近导体 中心的作为参考段。( f ，j ) 指的是第f 个导体的第，段( 其中1 = 1 ，2 ， m ，i = o ，j ，2 ，) ，( 0 ，0 ) 指的是接地导体上的参考段。共有斛 个导体段，其中 m = n ， ( 2 3 3 ) ，1 0 肘是除了参考段以外的所有的段的和。 取与导体段的长度平行的方向为x 轴，考虑长度为, d x 的段。令e 。为长 度为z s x 的段( i ，) 上的电压降，厶为通过段( i ，) 的电流。假定所有的 电流沿x 轴方向流动，也就是说，电流都从段的端面流进和流出，并不沿段 的其它面流动。 为了逼近导体中的真实的电流密度分御，把每个导体分成多段。假定 个段中的电流密度是均匀的且是常数，但随着段的不同电流密度也不同，这 样就近似得到了导体中实际电流密度。于是段f f ，) 单位长度的直流电阻 为： r 2 1 ( o ，a “) 嚣 ( 2 _ 3 4 ) ! ! 型垫叁兰! 业堡兰一 填中一，是导体i 的电导率，a ，是段f “，) 的横截面积。在相同的假定 = ， 段“，j 和段似，”，j2 _ i j 自p - 位长度的部分电感为： 上似户一彘删1 帕叫) 2 + ( 卜瑚2 彬触 心3 5 其中对y 和= 的积分是针对段( f ，) 的截面的，而对y 和= 的积分是针对 段f 女，m j 的截面的。对于矩形截面的段，方程( 2 3 5 ) 中的多重积分能通 过闭合形式计算出来。令： f ( y ，：) = ( 羔二二掣) l n ( y 2 + z 2 ) 一3 ( y2 t a n 1 号+ z 2 t a n 。1 考) ( 2 3 6 ) 那么 鼍掣0 7 刊n 【( 中心叫) 】等一v 韶c v o 方程( 2 3 5 ) 的导出，源自磁场能量表达式，要求通过导体段的电流总和为 零；否则，不能用面积分代替体积分。 电压e 。和电流，。以下方程相联系： n “ p 。= ( o 氏占，+ ，碰) ，。缸+ 础。o 缸 ( 2 3 7 ) ；0 t z l e 。= ( t o o + ，m 础k ) 缸+ ，础o 。出 ( 2 3 8 ) - 0h ，= 1 其中，占，= 1 ，占口= 0 ( 当f j 时) ，是一l 的平方根，下标产j ，2 ， i = o ，| v 。共有m + ，个方程，肘+ 段中的一段对应一个方程，包括 参考段( 0 ，0 ) 。 上面已指出，为了得到方程( 2 3 5 ) 所有导体段电流的总和须为零。这 个条件可通过下式解决： 9 ，。= 一，。 ( 2 3 9 ) ，= 【j i 把方程( 2 3 9 ) 代入方程( 2 3 7 ) 平l 】方程( 2 3 8 ) 中，再用a x 除，得： 鲁= 砉薹【。氏，+ j 珊( 吼一川k ， r ， n h l“ 芸2 萎萎 一+ 肋( 础i 扩e ) 】7 t m ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) 在传输线理论中，沿线的长度方向在定点x 处引入从一个导体到参考导 体的电压降是很方便的。那么，令：k ( x ) = 在x 处的段f f ，j 相对于参考 点佃，0j 处的电压降。因为： 所以 口o o + ( z ) = ( 工+ x ) + e 。 一v 。= v ，( x ) 一v 。( x + a x ) = e “一eo ( i 方程( 2 4 0 ) ，( 2 4 1 ) ，( 2 4 3 ) 联立求解有 其中 一尝= 砉扣。+ j k r “ = r + r q 6 * 6k 三，椭= 三弦，三垆品一上苗：。+ w ( pj 0 0 如果定义 那么 z = r u ? h 产| l m m 一等：量魏。k 女o l i ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) 其中，i = o ，n ，= ，2 ，n 。由方程( 2 4 7 ) 定义的矩阵z 是 个m m 矩阵，m 由方程( 2 3 3 ) 决定。也就是况，z 的阶数比导体段 ! ! 业! ! ! ：型坐! ! 数的总和小1 。总之，这个阶数应当尽可能大。 计算的下步是对方程( 2 4 7 ) 的矩阵z 求逆得： y ：z l ( 2 4 9 ) 那么由方程( 2 4 8 ) 司解出，。， ，一一争每) ，垒鳖 - | 一包缸“缸 导体f 中的整个电流是导体n ，个段中的电流的总和，于是有 ( 2 5 0 ) ，= ， ( 2 - 5 1 ) 是第i 个导体中的总电流。方程( 2 5 0 ) 对求和并由( 2 5 1 ) 有 ，= 一荟n 荟n , 荟n 。瓮 c ：s ：， 假定导体截面与x 轴垂直，并且是等势面。即任一段( i ，) 上的电压降e 。 与同一导体的任意其它段( i ，) 上的电压降p 。是相等的。换句话说，也 就是假定e i 只决定于导体下标i ，而不是下标，其中户，2 ， 这个假设与方程( 2 4 3 ) 中的定义可得出： ，( x ) = 0 产，2 一，n o ( x ) = k ，-，= ，2 一，。 方程( 2 5 3 b ) 可写成 k ，( z ) = _，= ，2 ，n ， 那么方程( 2 5 2 ) 可写为 扣一缸尝 ，。如疑，藏 捶藏燃潮瀚i 。，。 由 d 洲 m 渤 量i 呓 眩 具中， n 3 _ = ， 方程( 2 5 6 ) 中的矩阵j ，是一个n n 的矩阵，通常n 比m 小得多。 现在对矩阵y 求逆， z = y 那么方程( 2 5 5 ) 可写为： 一尝= 静l 方程( 2 5 8 ) 与下列传输线方程很相似。 一警= 静 ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) ( 2 5 8 ) ( 2 5 9 ) 计算结果的准确度随着段数m 的增加而提高，因此为了得到准确的结果， 导体所分的段的尺寸应不小于我们所考察的角频率的趋肤深度。高频情况 下，这可能是不切实际的。段的总数m 是方程( 2 4 7 ) 中复数阻抗矩阵z 的维数。m 的最大值受计算机系统的存储容量的限制。 2 3 3 类矩形导体参数的提取 对于类矩形结构，用前面所述的方法进行参数提取是不够的，因为 w e e k s 方法只局限于计算规则的矩形结构，不能计算形状不规则的导体， 要处理这类问题得对前面所述的方法作些改变。 处理这类问题，我们采取对类矩形分割导体的方法，具体步骤和方法如 下：首先，对类矩形导体进行分割，把它分割成规则的矩形导体，如图2 5 所示结构中的类矩形导体，我们可以沿横向或纵向进行分割，把它分割成两 个矩形导体；接着对结构中所有的矩形导体编号，并对它们的截面进行剖分， 把这些矩形导体剖分成矩形的予导体，具体剖分规则与w