（固体力学专业论文）多宗量热传导反问题的数值求解.pdf

人连理t 夫学博t 学位论史 摘要 热传导反阈题是攒通过研究对象内部或翥边界的温度相必信息。确定边界初始条 件、导熬系数、内蒸源强度等寨量蕊束知部分，是一个涉及到传熬擎、裙理、数学、计 算机、实验技术等学科的交叉领域，禚航空航夭、核能工程、冶金铸造、化工领域、机 i 蠡割逢、无撰攘伤、痰瘸诊繇、本工程、冷冻褚藏等工程中有诲多藿要应瓣。 由于热传导反问蹶的不适定性和非线性，使得其求解远比正问题复杂和豳难。尽管 嚣蠢露热传导爱翔题瀵行了大藿静聚究工雩# ，劳取褥缓多残暴，毽奁撰论、诗算蠢瘦鹅 上都需要进一步深入研讨。 考崽至l 实骣霾题零霹 寺求岽量( 嚣煞系数、源顼、这赛携鲶条搏) 夔单一期组合爱 演需求，本文开展多宗量热传导反问髓研究，对定常和非定常热传导反问题，分别建立 了蠖予被疫分誊厅豹多塞羹数毽葳演模型，提出了摺应瓣求解繁路蠢计算方法，并采羽不 同的敏度类算法进行求解，着麓讨论丁多宗量识别时些因素对反演结果的影响，给出 了令人满意的数值验锻结果。疆静多裘璧热传搏反闯题豹研究楣对薄弱，摆关文献很少。 本文的工作，不仅为多宗量热传导反问题的理论研究，提供了宥价值盼参考，也为实际 工程中多宗量热传导反问题的求解提供了可能的途径。 本文研究内容主要包括阻下几个方面： 1 建立了定紫多宗爨热传导发问题以及湿热耦合反闽题的数值求解模型，对导热系数 ，澄传输系数，以及边弊条侔避行单一和组合谈翱：对于菲线性闯题，键出了两皴敏度分 析的求解模式。 2 建立了一除菲定鬻多宗量热传导爱淘题的数篷求解模鍪，瓣导熬系数与边赛条律进 行单一和组合识别，时域上分别采用商限差分和精细算法进行怍演数值分析。此外，对 与跨舞程关靛煞源矮鬯遴行了攀一稻缀合识鄹。 3 建立了二阶非定常多宗量热传导磁反问题的数值求解模型，对导热系数与边界条件 避行蕈零组会识襄，辩壤土莱霜露城耩缨算法送行瓣演数壤分辑。 4 在以上所建模型中，考虑了非均质和参数空间分稚的影响。在求解过程中尝试采 耀苓目懿嚣掭滋数。絮厶范数、三皿范数农基予转函数豹歪囊泛函；浚及不弱熬敏度类 算法，如高斯牛顿方法、同伦方法、同伦正则化方法、共轭梯度方法、b f g s 方法等。 较缮了满意懿数篷结聚。在多寨量情形下，探讨了酝捷算法翡诗冀鞲发效率裙获不遥 定性，以及误藏水平、测点位鬣、时间步长和变量初假等因素对反演结果的影响，并岛 攀宗量谈弱蓬行了毙较，为多祭耋熬馋等反簿繇豹迸步研究，提供了有穗镶靛参毒。 多宗量热传导反问题的数值求解 关键词：多宗量；热传导：反问题；敏度分析；定常非定常 i i 太连壤王太学潜士学位论文 n u m e r i c a ls o l u t l 0 n s0 f i n 、，e r s eh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m sw i t h m u i 覆l - v f a 辩淞b l 嚣s a b s t r a c t t h ei n v e r s eh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m ( i h c p ) i su s u a l l yd e f i n e da st h ee s t i m a t i o n so f b o u n d a r y i n i t i a lc o n d i t i o n s ，t h e r m a lp a r a m e t e r sa n dh e a ts o n r c eb yu t i l i z i n gt h ek n o w n t e m p e r a t u r em e a s u f e f n e l i 拄i n s i d et h eb o d yo ro nt h es u r f a c e t h es t u d yo ni h c pi sa l l i n t e r d i s c i p l i n a r yf i e l dr e l a t e dt ot h eh e a tt r a n s f e r , p h y s i c s ，m a t h e m a t i c s ，c o m p u t i n g ，a n d e x p e r i m e n tt e c h n i q u e ，e t c ，a n dh a ss i g n i f i c a n ta p p l i c a t i o n si nm a n ye n g i n e e r i n ga s p e c t s ，s u c h a sa e r o s p a c e ，n u c l e a re n g i n e e r i n g ，m e t a lc a s t i n g ，c h e m i c a l m a c h i n em a k i n g ，m e t a l l u r g y ， m e d i c md i a g n o s t i c s ，c i v i le n g i n e e r i n ga n df o o ds c i e n c e ，e t c 。 d u et ot h ei l l - p o s e d n e s sa n dn o n l i n e a r i t y s o l v i n gi h c pi su s u a l l ym u c hm o r ed i f f i c u l t t h a n s o l v i n g d i r e c th e a tc o n d u c t i o n p r o b l e m ( d h c p ) 。a l t h o u g hl a r g e a m o u n t so f a c h i e v e m e n th a sb e e nm a d ei nt h i sa r e a ，f u r t h e ri n v e s t i g a t i o na n de f f o r ta r eg r e a t l yd e m a n d e d 。 w i t ht h ec o n s i d e r a t i o no fp r a c t i c a l r e q u i r e m e n t s o fb o 出s i n g l ea n dc o m b i n e d i d e n t i f i c a t i o no f t h e r m a lp a r a m e t e r s ，h e a ts o u r c e ，a n db o u n d a r y i n i t i a lc o n d i t i o n s ，i n v e r s eh e a t c o n d u c t i o np r o b l e m sw i t hm u l t i - v a r i a b l e sa 豫i n v e s t i g a t e di nt h i sd i s s e r t a t i o n 。ac o u p l eo f n u m e r i c a lm o d e l s ，f a c i l i t a t i n gt ot h es e n s i t i v i t ya n a l y s i s ，a r ed e v e l o p e dt os o l v ei n v e r s e s t e a d y t r a n s i e n t h e a tc o n d u c t i o n p r o b l e m sw i t hm u l t i - v a r i a b l e s b yu t i l i z i n gd i f f e r e n t s e n s i t i v i t yb a s e da l g o r i t h m s ，an u m b e ro fn u m e r i c a lt e s t s ，c o n s i d e r i n gt h ee f f e c t so fs o m e f a c t o r so nt h er e s u l t s ，a r ec a r r i e do u tt ov e r i f yt h ep r o p o s e dm o d e l sw i t hs a t i s f a c t o r yr e s u l t s s i n c et h e r es e e m st ob eq u i t ef e ww o r kd i r e c t l yr e l e v a n tt oi n v e r s eh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m s 谢t l lm u l t i v a r i a b l e sb ya u t h o r sb e s tk n o w l e d g e ，t h ew o r kp r e s e n t e di nt h i sd i s s e r t a t i o ni sn o t o n l yt h e o r e t i c a l l yv a l u a b l e ，b u ta l s op r a c t i c a l l ya p p l i c a b l e ， t h em a j o rw o r ko f t h i sd i s s e r t a t i o ni n c l u d e s ln u m e r i c a lm o d e l ss o l v i n gi n v e r s es t e a d yh e a tc o n d u c t i o na n dc o u p l e dh e a t m a s s t r a n s f e rp r o b l e m s 、i mm u l t i v a r i a b l e sa r ep r e s e n t e d a n ds i n g l e c o m b i n e di d e n t i f i c a t i o n sa r e i m p l e m e n t e df o rt h et h e r m a l m o i s tp a r a m e t e r sa n db o u n 妇- - yc o n d i t i o n se t c as o l v i n g s t r a t e g yf o rn o n l i n e a ri n v e r s es t e a d yh e a tc o n d u c t i o nv i a2 - c l e v e ls e n s i t i v i t ya n a l y s i si s p r e s e n t e d 。 硅 多索麓燕传导度褥辣豹数德采样 2an u m e r i c a lm o d e ls o l v i n gi n v e p s eo n e - o r d e rt r a n s i e n th e a tc o n d u c t i o np r o b l e m sw i t h m u l t i - v a r i a b l e si sp r o p o s e d , a n ds i n g l e c o m b i n e di d e n t i f i c a t i o n sa r ec a r r i e do u tf o r t h e t h e r m a lp a r a m e t e r sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n se t c f i n i t ed i f f e r e n c et e c h n i q u ea n dap r e c i s e a l g o r i t h mi nt h et i m ed o m a i na r ce m p l o y e di nt h et i m e - d e p c n d c ma n a l y s i s ，l na d d i t i o n s i n g l e c o m b i n e di d e n t i f i c a t i o n sa l ea l s oc a r r i e do u tf o r t h et i m e - ，( 妒n ，那么退出循环：否则回到第二步继续循环。 其中：以 ) 为器标避数； 移 为待反演静楚董；群为反演变量迭代的步数；辨为渊量 大连理工人学博七学位论文 点的个数；为待反演变量的数目；l 为已知测点的温度信息。 与式( 2 1 ) 对应的是多宗量定常热传导反问题求解的目标函数，对于非定常热传导问 题，多宗量反演的目标函数还与时间相关，目标函数应该进行修正，即式( 2 - 1 ) 应修一为 8 4 】 州= 丢，( ( ) 一聃( 础) ) 与之相对应的，目标函数对各未知量的阶敏度计算公式( 2 2 0 ) 也应修正为 w 加，( 。筹删吲) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 共轭梯度方法在求解多宗量非定常热传导反问题时，其求解步骤与求解定常热传导 问题基本相同，由于目标函数里面多了与时间相关的部分，不同的部分是目标函数和其 敏度表达式，以及步长因子的表达式不同，在求解过程中式( 2 2 2 ) 应修正为式( 2 2 6 ) f 8 4 1 。 式中 庐 为待反演变量，”为待反演变量的迭代步数，卅为测点个数，为待反演变量数 目，n t 为选取的时间步数，出为选取的时间步长，l ，为测点的温度信息。 2 4 同伦方法 ( 2 2 6 ) 同伦是拓扑学中的一个概念，同伦方法作为一种数值算法已经被应用于求解非线性 方程组。该方法的主要思路是将非线性算子方程问题的求解转化为其同伦函数的求解， 进而从一个简单的初值问题出发。通过连续的转换，最终得到原问题的解。相对于传统 的局部收敛迭代法( 如牛顿法等) ，该方法具有全局收敛性，即使从一个距离真实值较远 的求解初始点出发，也能收敛到一个很好的解点m ”。 对于非线性方程组，( 们) = 0 ，构造的同伦函数：r ”“- r ”应该满足： 型 嗍筝 一r 卜一 “旺0 肌三 芝k 滢哥呸 兰 “一 一 =扩 多宗苴热传导反问题的数值求解 1 日( ，0 ) = e ( 册) = 0 易解，其解为 ( o ) = 妒 o ； 2 h ( ，1 ) = f ( 奶) = 0 的解 庐( i ) 为所求之解 3 同伦方程日( ( r ) ，r ) = 0 ，对0 s t s l 有解 ( f ) ) 存在，且当r 增加时， ( ，) 从 ( o ) 到 庐( 1 ) 。 满足条件1 和2 的同伦函数有多种形式，下面的三种是最为普遍的 i e m ，t o n 同伦：日( 庐) ，f ) = f ( ) ) 一( 1 一f ) f ( ) o ) 2不动点同伦： ( 妒) ，) = ( 1 一以 妒 _ ) o ) + 旷( ( 辨) 3线性同伦： h ( 辨，f ) = ( 奶) + ( 1 - - t ) e ( o ) 多宗量热传导反问题，一般作为优化问题求解 1 6 2 1 。对于多极值目标函数，提高求 解算法的全局收敛性，十分必要。对非线性多极值目标函数，同伦优化方法是提高全局 收敛性的有效方法之一【 9 18 0 1 。近年来，同伦方法已被成功地应用于求解某些领域的非 线性反问题，如波动方程反演问慰1 8 8 2 1 这里我们将同伦方法引入多宗量热传导反演 问题的求解。 将式( 2 1 ) 对未知参量求微分，并令其为零，可以得到： 】器) 7 阶) - o ( 2 2 7 ) 上式的解即为反问题( 2 1 ) 的解。根据同伦方法的思想，构造式( 2 - 2 7 ) 的不动点同伦函数 如下： ”似船7 咿) - 硼州州 o ) = 。 ( 2 - 2 8 ) 其中：五为同伦参数， ) o 为求解的初始值。当同伦参数为1 时，方程( 2 2 8 ) 的求解对 应一个平凡问题：当同伦参数为0 时，方程( 2 2 8 ) 的解即为原问题的解。 同样采用迭代法求解方程( 2 2 8 ) ，整理后可得： 大连理工大学博l ：学位论文 p 似【】器罗 】器+ ( 【】粉气阁阶跗 _ o ( 2 - 2 9 ) 将上式进行熬理，得到同伦方法求解多宗量热传导反问题的迭代公式： ( a 一句隅】+ 五i ) 矗辩= l 一句舄7 ( 圈7 潲一【三】7 ) 劬”“= 。+ a 辨 ( 2 3 0 ) 其中：i 是单位矩阵，g 。和岛与式( 2 - 8 ，2 9 ) 相同。 采用同伦方法求解反问题时，同伦参数虚从l 稳定地下降到0 。在求解的过程中， 同伦参数的修正应该遵循的原则为：取值范围为( o ，1 ) 之间；闻伦参数应该停隧于一个4 零的数值；嗣伦参数豹下降成该是稳定的。搬据这几条原则，同伦参数有如下的几种修 正方滋( 1 ”1 ： 拟信赖域方法：同伦参数县有讴则化参数的效应，可以仿照梯度f 则化参数的修正 方法，蓄先穆强论参数给定予个跑较蓬( 等予或者接遥予1 ) ，之蜃不瑟穆聂该参数筐， 是一种比较机械的方法，只要两个比例因子选择合适，一般可以保证求解稳定地进行a 拟s i g m o i d 函数调整方法：s i g m o i d 函数是入工神经元网络中的神经元传递函数， 该函数是一个连续光滑的函数，取值分子( o ，i ) 之间，仅当疗越近于无穷时，嫡数值爿为 零。檄据s i g m o i d 函数的性质，对箕避行修澎，将冀糟于计算中修无同伦参数可褥： 刀。南e1 十一p ”扩” ( 2 - 3 i ) 其中：h 为迭代步数，为修正步长调整参数。式( 2 - 3 1 ) 给出的函数邂由s i g m o i d 函数演 化嚣张的，因磷拣其为拟s i g m o i d 函数。该函数赍于( o 1 ) 之间，且隧羲迭代不断地减小； 该函数是连续光滑的能稳定地下降，随着逡代的深入，同伦参数会缓慢地向0 靠i 曛， 但不会等于零，可在迭代结窳时停馨予一个会适的位置。采嬲该方法修正同伦参数，建 议取假介于0 5 0 8 ，n 。为对腹同伦参数预估计初值的调整参数，建议取值介于1 5 。这 释方法在迭代嚣期，羧敛翡速疫将会交褥缀缓漫，庭籀当程度上影桶诗算效率。 计算残茇相关方法：在迭 弋计算中，将嗣伦参数的值选择为计算残差，这是一种蠡 适应的调整方法，有较好的计算效率，计算公式为： 多宗置热传导反问题的数值求解 肚啬器 m 似( 愀 庐圳r ( 庐圳一) ( 2 3 2 ) 这种方法可以保证较高的计算效率，但是同伦参数仅与计算残差相关，同伦参数的变化 是一种间断变化过程，如果迭代中相邻两迭代步所得结果差别较大，那同伦参数将会有 一个很大的跳跃过程，而这很有可能造成迭代计算的发散，因而该方法虽然计算效率相 对高，但难以保证计算的稳定性。 两段修正方法：该方法是针对拟s i g m o i d 函数调整方法和计算残差相关方法的优缺 点，将这两种修正方法结合使用，在反演迭代初始阶段采用拟s i g m o i d 函数调整方法， 当迭代进行到一定阶段，同伦参数下降到某一门限值后，采用计算残差相关方法，进而 提高计算效率，修正公式为： 爿= 1 1 e - 口( n - n 1 噬业圣旺、 m a x 际) w 一 爿五 五 五 ( 2 3 3 ) 其中：万为同伦参数调整的门限值。 综合前面的分析讨论，不动点同伦方法在求解多宗量热传导反演问题时的相关过程 可以归纳如下： 算法2 3 不动点同伦方法的迭代过程 s t e p1 ：选取待反演变量的初值o ( 这里代表未知变量) 和同伦参数的初始值( 包含同伦 参数修正门限值) ，并设置迭代步n = 0 ，设定收敛准则以及迭代终止误差占。 s t e p2 ：求解孔矿) ，并利用( 2 3 0 ) 式求解。 s t e p3 ：修j 下同伦参数 s t e p 4 ： ”“= 庐) ”“+ 声) ，并令n = n + l 。 s t e p5 ：如果雌蚓怿s ，则停止迭代；否则执行s t e p2 。 在算法2 - 3 中，同伦参数的修正方法可以根据实际情况进行选择。 大连理工大学博1 ：学位论文 2 5 同伦正则化方法 d 一函数( 即距离函数，d i s t a n c e f u n c t i o n ) 是由前苏联学者b r e g m a n 首先提出的1 1 8 3 】， 之后主要用于优化问题的求解，它表达的是一种距离的概念，也称做b r e g m a n 距离。实 际中，最常用的b r e g m a n 函数包括下面的三种形式： f ( 一) = 一! ( 谚) = 谚l o g 妒 ( 以) = 一l o g 庐, 其相对应的d 一函数分别为： b i ( 庐) ， 矿) ) = i | ( ) 一 妒 8 2 垦c t ，t ，+ ，= 苹 谚- 。 参) 一谚+ 拜 l i竹 b c t 册，t 钟，= 苹l 谚t 。g ( 参 + 等一，l il、”，竹i r 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 - 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 - 3 9 ) 将待反演参量的计算值与真实值之间的b r e g m a n 距离作为正则项，引入到多宗量非 定常热传导反演问题的求解。 ) 可利用极小化如式( 2 2 4 ) 定义的泛函来求解，引入 b r e g m a n 距离作为正则化泛函后，根据同伦方法的思想，则有泛函 8 】： 州 ) ：( 1 一五) 要，( 。( ，( ) 一乙) ( 丁( ) 一l ，) ) + a b ，( 搬 ) ( 2 - 4 0 ) 这里 ) 代表待识别的参量，l 代表测点的温度信息；，睚，) 表示在空间s ( s p a c e ) 和 时间t ( t i m e ) - 懈, ，五为同伦参数。 对于如式( 2 3 7 ) ( 2 - 3 9 ) 给出的三种形式的d 一函数，与之相对应的泛函( 2 4 0 ) 分别变 化为： 多宗重热博学覆橱瓤静教值求解 厶( 麓) 一( | 一固喜，( s ( 琏麓) 一瓦) l 彀麓) 一乏) ) + 是l 辫一铲2 文c 谚，= c t 一固圭，匹，暇螃，一磊，。鼹，一瓦羚+ 磷t 。皤 一谚+ 菇 硼瑚一固主皿缎鼢粥锛蝴+ 替t 。瓣绷 ( 2 4 1 ) ( 2 - 4 2 ) ( 2 - 4 3 ) 对式( 2 。4 2 ) 和( 2 - 4 3 ) ，因箕正燹项分掰为k u t t b a c k - l e i b t e r 距离和r a k u r a - s a i t o 距离，分剐 称其为同论一k l 正则化方法( h k l ) 和同伦- i s 正则化方法( h i s ) 。如果将式( 2 4 1 ) 对 多 鞭偏导并令其为零，直接可以得到与不动点同伦相同的寝达形式，其求解方法也完全可 以采趣裁露敷绘斑垂冬方竣。这量仅绘出h k l 窝h i s 方法数雄导秘求解过程。 对式( 2 - 4 2 ) 和( 2 4 3 ) 做局域线性化，当迭代进行至第h 步时，将第n + l 步计算得到的 计算结果在第埠步计算德刘的计铎结暴附近展开为一阶t a y l o r 缴数，并赂去赢除小量， 褥： 础m r ) + 矧”l _ ) 对式( 2 - 4 2 ) 和( 5 - 4 3 ) 求导，可眺得到相应的雅戈比矩阵和汉森矩阵分别为 。( 妒) ”“) = ( 1 一t ) g7 f g ”“一g ”+ r ( 庐 ”，o 一瓦( f ) 】+ r - o v j ，( 删”) = ( 1 - 2 ) g7 g ” ；o l o g ( 嬖j 热 l o g r 等， l y l ， ( 2 - 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 - 4 6 ) 一 一 土疗上榷 p，。，。，。l + 一 妒 r+ 妒 g 一 夫连琏工夫学博士学位论熏= v 2 j 。( ”) = ( 1 一五) g 7 好+ 五 f 1 0 v 2 j ，( “) = ( 1 一 ) g 7 g 十 f - 0 方旷一。 0i ；0 o o 去 瓢 两1 。 0。 j ；。0 。高 其中：g = 亟警篝堕，为温度场对米知量的敏度阵。 算法2 。4 同伦正则拢方法( h k l 和h i s 方法) 的迭代过程： ( 2 - 4 7 ) ( 2 - 4 8 ) s t e pl ：给定特反演参量的初贻僮黟 o ，同伦参数量的扭始值毛，迭代中止误差，鼹迭 代步竹= o ： s t e p2 ：蔽豢露藏题控裁方程，透过数蓬 舅求褥诗簿结栗及 珙”。为，妇暴瀵是爨霆条 件妒( 移) ”，f ) 一瓦，( ) 8 s ，则终止计算，此时得到的参量 ”目口为反演得到的正则解，否 则继续。 s t e p3 ：对于h k l 方法，依据式( 2 4 5 ) f f l ( 2 4 7 ) 计算该迭代步的雅戈魄矩阵和汉森矩蹲； 对于h i s 方法，依据斌( 2 4 6 ) 和( 2 4 8 ) 计算该谜代步的雅戈比矩阵和汉森矩阵： s t e p 4 ：采雳瓣愿牛顿法求解麓遂f 2 4 2 ) 或( 2 - 4 3 ) ，褥到下一迭健步筑参量蠖 辩“； s t e p5 ：调整同伦参数，得到 并嚣r t = n + l ，转s t e p2 在采用h k l 和h i s 方法进行求解时，一共包含三层迭代过程，最外一层迭代为间伦 参数，乏循环；中闻一层为当燃伦参数固定时，采用腿尼牛顿法求解问题( 2 * 4 2 ) 和阏题 ( 2 4 3 ) ，这个过程也怒一个迭代过程；最内一层迭代过程为采用阻尼牛顿法求解时颁进 行的一维搜索过程。因为迭代层数较多，这类方法在计算效率上较为逊色。 在采用蔺伦_ f 则化方法进行求解时，需黉用到阻尼牛顿法和一维搜索过程，下蕊将 多宗重燕转替反问题由奄数值求解 麓要介终一下。 维搜索【1 7 8 l 维搜索就悬求解单变量函数的极小问题，以如下单变量函数的极小化问题来表达 一维搜索戆基据： r a i n 厂( 秀)夔e “( 2 4 9 ) 常用的一维搜索方法包含黄金分割法、害i 线法、牛顿法、f i b o n a c c i 法等等，可分 为两类：直接法和解析法。仅利用，( 痧) 的值，称为直接法，能适应厂( 谚) 不可微的情况， 解析法还要秘蠲，橇) 酌导数值，僵萁效率高，这罩议给出所瀚到的黄金分割法( 也称 0 6 1 8 法1 。 算法2 5 黄余分割法： s t e p1 ：鼢初始区间【q ，b l 】及精度要求，0 ，置h = l ，计算试探点 和m ，计算函数值 ，( ) 和厂( ，) ，计算公试： a = d l + o 3 8 2 ( b 1 - - a 1 )l = a i + 0 6 1 8 ( b i a i ) s t e p2 ：蒋巨，- - i t 。 ，_ ( 。) 时，转别s t e p3 ，当 f ( 2 。) o ，并设置迭代步n = 0 s t e p2 ：计算可厂( ) ”) ，v2 厂( 辨”) ： s t e p3 ：若l v ( ( 妒 ”) j | 0 s t e p2 ：置h l = ，计算在 彩1 处的梯度g i = v 厂( ) 1 ) ，置萨1 ； s t e p3 ：令d ”= 一h ，g ， s t e p 4 ：从 册”出发，沿方向d ”搜索，求步长 ，使它满足 f 2 5 7 ) 州+ 矗如) 2 哿曾，( w + 2 d ”) 令 ) ”“= ”+ 2 d ”，计算g 。+ = v 厂( 妒”“) s t e p5 ：检验是否满足收敛准则，若满足怯。忙占，则停止迭代，得到 刃= r l ， 否则，转s t e p6 ； s t e p 6 ：若n = n ，令形 1 = r 1 ，返回s t e p2 ，否则，进行s t e p7 ； s t e p7 ：令p ”= 辨”“一 押，q “= g 。l g 一利用公式( 2 5 7 ) 计算风置”= n + i ，返 回s t e p3 。 2 7 小结 多宗量热传导反演问题最终可转化为一个优化问题，本章根据最小二乘问题和极大 极小问题分别确立优化目标函数，针对所研究的多宗量热传导反演问题，简要地介绍了 几种敏度型的反演算法，分别给出了这些算法的具体实施过程。虽然这几种反演算法相 爹采薰热传婷反墒题的数藏求解 对来说都悬传统的优化方法，在很多领域都有应用+ 但鼹垮谴靠】应用于多寨量热传导反 演闯题的求解还不多见。 大连理t = 学博 ：学位论史 3 定常多宗量热传导反问题 3 1 引言 本章主要目的是建立定常多宗量热传导反问题的数值模型，进行多宗量反演研究。 进行反问题研究时，首先要有一个较好的正演模型，获得精确程度较高的正演解。定常 热传导问题是与时间无关的，其求解过程实际上就是一个空间问题的求解。对于几何形 状和边界条件简单的热传导问题，可以利用解析法得到严格的解析解，但随着实际工程 问题的复杂化，这类问题常常要借助数值方法求解，常见的方法有有限差分法和有限单 元法。等参数单元是采用等参数变换的单元，它能使局部坐标系内的形状规则的单元变 换为总体坐标系内形状为扭曲的单元，从而为求解任意形状的实际问题提供了有效的单 元形式【i “”“。对于定常多宗量热传导反问题，其研究相对较少，文 8 3 对导热系数和 边界条件构成的多宗量组合反演问题进行了初步研究，并取得了满意的数值结果，但还 远远不能够满足实际工程的需要，还有待进一步地深入。 在建立多宗量组合反演数值模型时，f 演分析中，将借助八节点等参数单元分别 建立定常线性月 线性热传导问题有限元模型，所建模型不仅可考虑复杂的边界条件和形 状，也便于进行敏度分析；反演分析中，采用多种基于敏度的反演算法进行多宗量反演 分析，对多个宗量进行单一和组合反演识别，探讨了测量信息和迭代初值等因素对反演 结果的影响，并且给出了相关的数值验证。取得了满意的数值结果。 3 2 定常热传导问题正演分析 定常热传导问题的控制方程可写为【懈1 8 7 1 ( “r ，) ，+ a = 0 x ，q( 3 - 1 ) k 。代表导热系数，t 代表温度q 代表热源的相关项，q 和z ，分别代表所论问题的域和 坐标向量，下标f ，( f = 1 3 ) 为求和指标。 边界条件可写为1 8 6 1 8 7 】： t = t ”，( i ，r ，) + q + h ( t l ) = 0 x ，r x f ， ( 3 - 2 ) ( 3 3 ) 多崇置热传导艇问题的数值求解 这毽f = + 疋我表q 翁透赛，零，譬，女耧瓦分翳寝示第一粪这器温度、祭二类遍赛热 流、第三类边界的热交换系数和环境温度，它们都是给定函数，其中包含已知的部分， 氇w 能龟岔未知弱部分。 通过g a l e r k i 总变分，对控制方程和边界条件进行变分，利用加权技术【1 8 7 1 ，式( 3 1 ) 茸麓残有戳元甍式： 【式】 f ；= 【定，】 霸+ 【嚣】 鼋 + 【器；】 玉； + 嚣：】 q 邸4 ) 其孛： 霸麓不毽攒络定篷程蠹熬麓赢溢蠹窝量，留j ， 蕊， 磊 和i 谚分裁代表t ，吼蠹瓦 和q 的节点向量，式中相关的矩眸分别为： 置】= 且1 ，】7 女，】 ，】d v + 且】7 n h d f ( 3 _ 5 ) 。- ej【m7ndv(3-6) 【置j = 蠢f 【w ( 3 - 7 ) 【b ，】= 【】7 【】藏， ( 3 - 8 ) 嘲代表有激元夔形丞兹矩簿，【矽f 】必形避数矩簿豹导数簸薄，【是。】是导热系数麓阵， k 。】是一个与导热系数有关的矩阵。在二维有限元分析中t 采用八节点等参单元撼导上 述列式，详细的推导见附录1 - 2 。 3 3 定常熟传导问题反演分祈 3 3 1 多宗豢反演模懑 煞传导爱溺蘧磷究兹主簿。是僚劲菜塑已知韵信惠煮爱演技术，信算籀确定采知豹 导热系数、边界条件、热源年日边界形状等等。在式( 3 4 ) 中，来知量可能是 棚或【k ，】中的 导热系数，或是第类边界条件f 、第二类边界热流密度口、第三类边界对流系数 、第 三类迭器环罐温度捆关颈曳和热源颈q ，或者是他们的组含。梅定常热传爵的有戳元离 火连理t 大学博十学位论文 散形式( 3 4 ) 进一步地进行整理，将已知量和未知变量进行分离，可写为 秽孵】- t - 。i t 畔】+ 咿】) 毋= 匹秽孵”l + 孵。】) 旷“) + 匹蟛u l n 2 p “ ，+ 耐 ) + ( f 】白” + 陋k 科) ) ( 3 - 9 ) + ( 眵】 g 。 + 陴址 群) ) + ( 垆】) + 垆】秽 ) 其中k ? 代表未知的导热系数， k ? 】，隧】， k i p “】，【k ! ” ， 足r 】， 日? 】，【日】陋，】 占“】， b “】， b ， b “ ， b “ 和陋2 ”】是已知的矩阵， 尹 和 尹) 分别代表第一类边界 的边界温度 霸的未知和已知部分，幻“) 和臼 分别是第二类边界的热流密度( 叮 的未知 部分和已知部分，砷” 和 h ) 分别是第三类边界的对流系数 的未知部分和已知部分， 和 分别是第三类边界环境温度相关项 h ， 的未知部分和已知部分， q ”) 和 q ) 分别是热源( q ) 的未知部分和已知部分。 将所有未知量统一记作 ，并表达为： 妒) 7 = ( 妒。) 7 ，( 2 ) 7 ，( 妒3 ) 。，( 妒4 ) ”，( 声5 ) 7 ，( 一6 ) ”) 其中： 1 = 肚? 3 = w ) 3 ) = q ”) 形4 _ 于“) 庐5 ) = h ” ( 6 ) = q ” ) 可通过极小化如式( 2 1 ，2 - 2 ) 所定义的泛函来确定。 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 一1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 多宗量热传导反问题的数值求解 3 3 2 一阶敏度分析 本文采用的反演算法均是敏度型的优化算法，采用此类算法进行反问题求解时，一 个必不可少的部分就是进行敏度分析。对于定常热传导问题，按导热系数是否与温度相 关，可分为线性问题和非线性问题下面将分别阐述其分析过程。 3 3 2 1 线性热传导问题敏度分析 定常线性热传导问题的敏度分析包括两部分的内容：一部分是目标函数对各未知变 量的敏度，经式( 2 - 1 2 - 2 ) 直接微分，可以得到目标泛函对未知变量的导数，其具体的 表达式如( 2 - 2 4 ) 和( 2 5 5 ) 所示；另一部分是温度场对未知变量的敏度，经式( 3 - 9 ) 直接 微分，可以得到温度f r 对各未知变量的导数，温度场对各未知变量的一阶敏度表达式 可分别写为： ( 1 ) 温度场对热传导系数的敏度： 器稍协一2 ) 其中： g ：= ( k ，”】 k ，“】n f “ g ；= ( 【足，】， k ! ”】帆】 f ) g ；= ( 岸? 】 彭：。盯( r ( 2 ) 温度场对第一类边界温度的敏度 器锕1 ( 州m 郴阳 ( 3 ) 温度场对第二类边界热流密度的敏度： 黑：盯- o q “ 。 ( 4 ) 温度场对第三类边界热交换系数的敏度： ( 3 1 7 ) ( 3 - 1 8 ) ( 3 一1 9 ) ( 3 - 2 0 ) ( 3 2 i ) ( 3 2 2 ) 大连理下大学博 ：学位论文 器邛一( m 哪吲) ( 5 ) 温度场对第三类边界环境温度相关项的敏度： 黑：町t 【b t ”】 a ? 。1 ( 6 ) 温度场对热源项的导数 芷 = k ? 足? 】+ 【足+ 】+ h ? ? + 【】 3 3 2 2 非线性热传导问题敏度分析 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 有些情况，导热系数不是一个常数而是随着温度变化而变化，也就是说导热系 数是温度的函数，这就成了一个非线性热传导反问题。假定七。为非线性，其它非线性宗 量的处理可按以下相同的方式进行。简明起见，以下推导中略去了【足。 和h 的有关项， 这并没有原则上的影响。 记k 。2 k ，( r ， 矽 ) ，将其重新排列并进行离散积分，式( 3 4 ) 可写作： 。( 蛾t 7 枷 r = 厂) ( 3 2 7 ) 其中f 。，是一个已知函数， 妒) 代表非线性传热系数向量，是单元级的节点温度向量， m 。，肿为常数矩阵，( ， 为当量右端向量。i j , m 1 为求和指标，i , j = l ，2 3 ，m 朋取决于高斯 积分点的个数。 泛函的两边同时对未知参量一，微分得到目标函数对未知量的一阶导数： 兰奎苎垫堡璧基塑望鳖墼堕查坚 。一一 w ( ，) = g7 l 。 东一 r ) 这熙弘筹可蜮3 羽艄： ( 3 - 2 8 ) 磐叫莩+ 砂“；跗。莓霸鲁 c s 2 9 ) 指标，不袋茅疆。 因为在求解反问题时，需要多次求解证问题，可以看到，在g 的形成中i 首先要求 解一争关于 蛩懿黪线牲委蟪踅，这可逶遂n e w t o n r a p h s o n 算法棒l 寒实瑷： r 汁1 = r + r 嚣 盯卜r 这墨下黎i 代表迭找次数。 霆= ( 泐，t 渺洳 乃一 ， 霞对 玲懿敏度可出式( 3 - 2 7 ) 的童接微分褥至 丽o r = ；，( 淤) 材脚军材。轴 玲等叉 其孛：t = 只 r ；，s 。，怒一令转换矩辫。 ( 3 - 3 0 ) ( 3 - 3 1 ) ( 3 - 3 2 ) ( 3 - 3 3 ) 3 - 3 4 ) 出于g 与r 相关。在整个反演过程中，需腰进行两级敏度分析。第一级分孝斤对妒的当前 值进行求解，第二级用第级求出的丁产生6 ，并由此确定妒。 3 3 ，3 测点倍息分析 反闯题研究豹主要目的是由已知的浏燕信息来识别采知的变薰，研究如何选敬测点 位鼹，提高观测信息的质凝，得到满意计簿结果具有很重鬻的实际意义。最然有很多学 3 4 大连理t 大学博_ ：学位论文 者已经注意到测点位置的选取对反演计算精度和解的稳定性产生巨大的影响，但尚未充 分展开进行研究。文献 2 】只是给出了测点位置的选择原则，但是文中没有给出如何进一 步地选择计算模型及其求解方法。文献 1 8 8 给出了参数可辨识条件的一般性数学描述， 给出了数学上的判断准则，但所提方法仅限于正问题解析解能够给出的情况，且隐含要 求待求参量和各点处的观测物理量之间具有一一映射关系。文 8 2 1 也仅从原则上探讨了 测点位置的选取。在多数情况下，人们是根据经验来判断某些区域应该布置测点，如何 选取最好的测点和布置较好的观测位置是一个需要探讨的问题。本节针对定常热传导反 问题，初步探讨了测点布置和测量信息提取对多宗量热传导反演结果的影响。 以一维杆为例，由不同的材料组成，现将其划分为两个单元( 每个单元代表不同材 料的导热系数) ，杆的左边是第二类边界或第三类边界，左边为固定温度边界，以1 ，2 ，3 为节点的有限元方程为： k 。 一k ， l k 1k i + k 2 0 一k ， r 3 3 5 ) 其中：只是与边界热流或热交换系数相关的等效载荷，只，只是中间节点的等效载荷， 当内热源强度为零时，p ，只均为零，瓦是固定的边界温度，k l , k ：是不同材料的热传导 系数。由式( 3 3 5 ) 可以求得材料热传导系数的表达式( 假定内热源强度均为零) ： k = 鼻“正一t ) k 2 = 只，( 瓦一l ) ( 3 - 3 6 ) ( 3 3 7 ) 对于由两种不同材料构成的杆，式( 3 3 6 ) 和( 3 3 7 ) 给出了导热系数的计算表达式，从 式中可以看到： 1 在边界条件己知时，即只和五为已知条件，若仅给出点1 和2 的温度信息互和疋 那是可以唯一确定导热系数k ，和k 2 ；若仅给出点l 或者点2 的温度信息，那将无法反演 出导热系数毛和k ：。 2 在边界条件部分已知的情况下，即只和疋其中一个为已知条件若仅给出点l 和 2 的温度信息z 和l ，那也将无法同时识别未知的导热系数和边界条件，如：当同时识 、rlj 只只只 ，j、【 = 、，、，tj 正l 。e ，、l1，j o 咕k 多宗置热传导反问题的数值求解 别k l , k ：和0 时，仅能得到导热系数k ，和t 的关系表达式k