（基础数学专业论文）clean环的推广.pdf

j n a n j i n gu n i v e r s i t yo f a 咖a u t i c sa n da s t r o n a u t i c s t h eg r a d u a t es c h o o l c o l l e g eo fs c i e n c e t h eg e n e r a l i z a t i o n so fc l e a n r i n g s a t h e s i si n p u r em a t h e m a t i c s b y y a nx i a o h u i a d v i s e d b y a s s o c i a t ep r o f e s s o rx i a og u a n g s h i s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n t o ft h er e q u i r e m e n t s f o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e m a r c h ，2 0 1 0 1 1 i i i m 1 1 1 | l 川1 1 l i l 衄 y m l a i8 2 5 9 3 3 承诺书 本人声明所呈交的硕士学位论文是本人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。 本人授权南京航空航天大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名： 囡亟楚 e l 期：型2 2 ：丕：丝 南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 自1 9 7 7 年，n i c h o l s o n 提出c l e a n 环，国内外很多代数学家对其进行了深入的研究，且作为 单位正则环的推广，c l e a n 环有广泛的实际应用继c l e a n 环后，x i a o 和z h a n g 将c l e a n 环推广， 分别提出了n m e a n 环和广义c l e a n 环 本文第二部分首先将n - c l e a n 环和广义c l e a n 环进行推广，引入一类新的环一广义n - c l e a n 环如果v x r ，工= w + u t + “2 + + ，其中w 是单位正则的，“l ，u ( r ) 显 然n - c l e a n 环和广义c l e a n 环一定是广义n - c l e a n 环，且举例说明广义n - c l e a n 环不一定是广义c l e a n 环证明了幂等元是中心的，广义n - c l e a n 环是( n - 1 ) - c l e a n 环并讨论了广义n - c l e a n 的基本性 质，以及与n - g o o d 环之间的关系其次，主要讨论广义n - c l e a n 环的矩阵扩张我们知道，任 意环上的矩阵环帆( r ) 是3 - c l e a n 环，而文献1 2 0 1 中证明了行列有限的矩阵环是2 - c l e a n 环，因 此，任意环r 上的t m 矩阵环肘埘俾) 是2 - c l e a n 的，本文采取对矩阵进行分解的方法，给出 另外一种证明最后，主要讨论了广义n _ c l e a n 环的多项式扩张证明环r 是2 素环，多项式 环r x 】不是广义n - c l e a n 环 本文第三部分，主要是将半c l e a n 环推广到一般环上，定义了半- c l e a n 一般环称一般环， 为半c l e a n 的，如果坛i ，工= a + q ，其中a 是周期的，即对于某正整数k 和l ( k ，) 有 a = a 。，口i ，且q q 最后论及研究了半- c l e a n 一般环的性质，并证明半- c l e a n 一般环 上的矩阵环还是半- c l e a n 一般环 关键词：单位正则环，c l e a n 环，n - c l e a n 环，广义c l e a n 环，半- c l e a n 环 c l e a n 环的推广 a b s t r a c t h i1 9 7 7 ，n i c h o l s o np r o p o s e dc l e a n r i n g s al o to fa l g e b r as c h o l a r sa th o m ea n da b r o a db e g i nt o r e s e a r c hc l e a nr i n g s a n da st h eg e n e r a l i z a t i o no fu n i tr e g u l a rr i n g s ，c l e a nr i n g sh a v ep r a c t i c a l a p p l i c a t i o n f o l l o w i n gc l e a nr i n g s ，x i a oa n dz h a n gg e n e r a l i z e dc l e a nr i n g st on - c l e a nr i n g sa n d g e n e r a l i z e dc l e a nr i n g s h ls e c t i o nt w o ，f i r s t l yt h en o t i o no fg e n e r a l i z e dn - c l e a n r i n g si si n t r o d u c e d t h e s er i n g sa r es h o w n t 0b ean a t u a lg e n e r a l i z a t i o no fn - c l e a nr i n g sa n dg e n e r a l i z e dc l e a nr i n g s ar i n gri s c a l l e d g e n e r a l i z e dn - c l e a ni fv x r ，z = w + u l + “2 + + 甜h ，w h e r ewi sau n i tr e g u l a re l e m e n ta n d u l ，“2 ，u u 俾) c l e a r l yn - c l e a nr i n g sa n dg e n e r a l i z e dc l e a nr i n g sm u s tb eg e n e r a l i z e dn - c l e a n r i n g s a n da ne x a m p l et h a tg e n e r a l i z e dn - c l e a nr i n g sn e e dn o tb eg e n e r a l i z e dc l e a nr i n g sw i l lb e g i v e n - w ew i l lp r o v et h a ti fi d e m p o t e n t sa r ec e n t r a lg e n e r a l i z e dn - c l e a nr i n g sa r e ( 计1 ) - c l e a n r i n g s t h eb a s i cp r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e dn - c l e a nr i 】n g sa n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ng e n e r a l i z e n - c l e a nr i n g sa n dn - g o o dr i n g sw i l lb ed i s c u s s e d s e c o n d l y ， w ew i l ld i s c u s sm a t r i xe x t e n s i o n so f g e n e r a l i z e dn - c l e a n 血萨i ti sk n o w nt h a ta n ym a t r i xr i n gi s3 - c l e a n a n di n 【2 0 ，i ti sp r o v e dt h a t t h e r o wa n dc o l u m n f i n i t em a t r i xr i n gi s2 - c l e a n t h u sa n ym a t r i xr i n gi s2 - c l e a n w ew i l ld e c o m p o s et h e m a t r i xa n dg i v ea n o t h e rp r o o f f i n a l l y ，w ew i l lm a i n l yd i s c u s s p o l y n o m i a le x t e n s i o n so fg e n e r a l i z e d n - c l e a nr i i l g s i tw i l lb ep r o v e dt h a tf o ra n y2 - p r i m a lr i n gr ，t h ep o l y n o m i a lr i n g r x 】i sn o t g e n e r a l i z e dn - c l e a n h ls e c t i o nt h r e e ，s e m i c l e a nr i n g sw i l lb ee x t e n d e dt og e n e r a lr i n g s a n ds e m i c l e a n g e n e r a lr i n g s w i l lb ed e f i n e d ag e n e r a lr i n gii sc a l l e ds e m i c l e a ni fv x ，z = a + q ，w h e r eai sp e r i o d i c ， i e ，a 七= a 。，a if o rs o m ep o s i t i v ei n t e g e r ska n d ，( 后da n d g q i nt h eo t h e r h a n d ， s o m ep r o p e r t i e so fs e m i c l e a nr i n g sw i l lb ed i c u s s e d a n di ti s p r o v e dt h a tt h em a t r i xr i n go v e r s e m i c l e a nr i n gi ss e m i c l e a n k e y w o r d s ：u n i tr e g u l a rr i n g s ，c l e a nr i n g s ，n - c l e a nr i n g s ，g e n e r a l i z e dc l e a nr i n g s ，s e m i c l e a nr i n g s 南京航空航天大学硕士学位论文 目录 第一章绪论。l 1 1 来源与背景1 1 2 主要工作3 1 3 基本定义和常用符号6 第二章广义n - c l e a n 环。8 2 1 广义n - c l e a n 环及其性质8 2 2 广义n - c l e a n 环的矩阵扩张1 3 2 3 广义n - c l e a n 环的多项式扩张。1 8 第三章半c l e a n 一般环2 3 3 1 半c l e a n 一般环的定义2 3 3 2 半c l e a n 一般环的基本性质。2 4 总结和展望2 8 参考文献2 9 致 射3 2 在学期间的研究成果及发表的学术论文。3 3 一 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 来源与背景 环类作为代数学的重要分支，其理论和方法在数学的许多领域中有着广泛的应用近几十 年来，越来越多代数学家对环类给予很大的重视，并且出版和发表了许多重要的，影响深远的 著作和论文，如文献 1 】，【2 】，【3 】，【4 】和【5 】在环类的研究中，单位正则环和c l e a n 环的研究 占有尤其重要的地位 早在1 9 3 6 年，v o nn e u m a n n 为了研究在希尔伯特空间代数运算中出现的一些投射格之间的 关系，在美国科学院院刊( p n a s ) 上首次提出了v o n n e u m a n n 正则环的概念称环只是正则环， 如果对于任意的工r ，存在y r ，使得z = x y x 这类环对于研究某些算子代数的结构问题 特别有用，而算子代数的代数性质又进一步推动了正则环的发展目前，代数学家对正则环的 一些漂亮性质还是很有兴趣的 在1 9 6 8 年，e h r l i c h 提出了单位正则环的概念( 见文献 6 9 称环r 是单位正则环，如果对 于任意的工r ，存在“u ( r ) ，使得石= 工纵所以单位正则环一定是正则环这类环有很 好的应用价值，在拓扑和代数的代数上的应用很广泛，在无限域和c 代数上也有一定的意 义另外，单位正则环与模消去有很大的关系，模消去是同调代数及代数1 c 理论中一个非常重 要的研究课题，因此单位正则环自提出以来就倍受数学工作者的重视和推崇，它的内容也随之 得到了不断的丰富和发展，相继出现了许多与之有关的环 1 9 7 4 年，h e n r i k s e n 在文献 7 1 q b 提出了( s 曲一环的概念，称环r 是( s 神环，如果对于任意 的x r ，x 可以写成r 中k ( k 拧) 个单位的和近年来，许多代数学家都在研究由单位生成 的环( 见文献 7 1 2 】) 1 9 7 7 年，n i c h o l s o n 在文献【4 】中提出了c l e a n 环的概念，称环r 是c l e a n 环，如果对于任 意的x r ，有x = e + u ，其中已i a ( r ) ，“u ( r ) 例如半完全环( 见文献 3 8 9 和单位正 则环( 见文献【3 6 】) 都是c l e a n 环另外，c l e a n 环一定是e x c h a n g e 环c 见文献【3 7 】) ，而e x c h a n g e 环 不一定是c l e a n 环，但是幂等元是中心的e x c h a n g e 环一定是c l e a n 环我们知道，e x c h a n g e 环 在泛函分析，尤其是c 一代数中有很广泛的应用( 见文献【4 2 】) ，所以c l e a n 环作为e x c h a n g e 环 的一类，近年来也倍受许多数学工作者的重视，他们通过研究c l e a n 环来代替这种模类 1 9 7 9 年，g o o d e a r l 在文献 2 l o p 提出了满足稳定度l 条件环的概念，称环足满足稳定度l 条件，如果积+ 掀= r ，口，b r ，则存在y 【，( r ) ，使得a + 砂u ( r ) 同时证明了单 位正则环一定是满足稳定度1 条件的环文献【4 6 】( 定理2 ) 证明了，如果任一模上的自同态环满 足稳定度1 条件，则在直和中，此模是可消去的，即moa 兰mob 。可推出彳。曰近年 c l e a n 环的推广 来，满足稳定度1 条件的环被许多数学家所研究( 见文献【4 7 】和 4 8 1 ) 1 9 8 8 年，g o o d e a r l 和m e n a l 在文献【1 3 】中证明了，满足稳定度l 条件的环一定是( s ，n ) - 环， 所以单位正则环是( s ，1 1 ) 环 1 9 9 4 年，c a m i l l o 和y u 在文献【1 4 】中证明了单位正则环一定是c l e a n 环因此，c l e a n 环和 ( s 神环都是单位正则环的推广，这样研究c l e a n 环和( s ，n ) 环就有一定的意义和价值最近，许 多数学工作者对c l e a n 环和( s ，n ) 环进行了一定的推广 2 0 0 5 年，x i a og s 和t o n gw t 将c l e a n 环和( s ，n ) - 环进行推广，提出n - c l e a n 环的概念称 环r 是n - c l e a n 环，给定正整数疗，如果协r ，有x = p + + “2 + + “。，其中e x d ( r ) ， ，“2 ，“。6u ( r ) 显然c l e a n 环和( s 柚一环一定是n - c l e a n 环，但群环z ( p ) g ( 其中g 是3 阶循环群，p 2 是素数) 是2 - c l e a n 环，不是c l e a n 环；群环z ，、g ( 其中g 是3 阶循环群) 是2 - c l e a n 环，不是( s ，2 ) _ 环也就是n - c l e a n 环不一定是c l e a n 环也不一定是( s 神一环( 见文献【5 】 和【1 5 】) 另外，还研究了n - c l e a n 环的一些基本性质及其矩阵扩张和多项式扩张证明了如果环 r 满足( s d 条件，则对于正整数甩，多项式环尺lxi 不是n - c l e a n 的，以及n - c l e a n 环上的矩阵环 m 。俾) 还是n - c l e a n 的 同在2 0 0 5 年，z h a n gh b 。和t o n gw t 将c l e a n 环和( s ，2 ) 环推广，提出广义c l e a n 环的概 念称环j i c 是广义c l e a n 环，如果对于任意的z r ，有x = w + “，其中w 是单位正则元， “u 俾) 显然c l e a n 环和( s ，2 ) 环一定是广义c l e a n 环，但广义c l e a n 环不一定是c l e a n 环和 ( s ，2 ) 环，文献【1 6 】给出了具体的例子， 例如，设置= 五7 ) g ，其中z t 7 ) = 扰ni7 不整除刀 ，g 是3 阶循环群文献 1 7 】中y e 证明了r l 是( s ，2 ) - 环但不是c l e a n 环设r 2 = z 2o z 2 ，因为r 2 的每个元素是幂等元，所以r 2 是c l e a n 环但不是( s ，2 ) 环 令r = r lor 2 ，因为尺的同态象r 不是c l e a n 的，r 2 不是( s ，2 ) - 环，所以r 既不是c l e a n 环也不是( s ，2 ) 环因为r 是( s ，2 ) 一环，r 2 是c l e a n 环，所以尺是广义c l e a n 环 另外还具体研究了广义c l e a n 环的基本性质，证明了交换环上的多项式环不是广义c l e a n 环， 及广义c l e a n 环上的矩阵环还是广义c l e a n 的 基于以上这些环的重要性，我们继续对n - c l e a n 环和广义c l e a n 环的推广进行研究，引入一 类新的环一广义n - c l e a n 环称环尺为广义n - c l e a n 环，给定正整数乃，如果对于任意的石r ， 有x = w + u 1 + “2 + + “。，其中w 是单位正则的，u i “2 ，u 。u ( 犬) 本文第二部分主要 讨论和研究广义n - c l e a n 环的一些基本性质及其矩阵扩张和多项式扩张 我们用下面的图可以清楚地表示出这些环之间的关系： 2 南京航空航天大学硕士学位论文 单位正则环 c l e a n 环 满足稳定度1 条件的环 o 一矿 n 广义n - c l e a n 环舻1 ) n 1 ) 舻1 ) 另外，2 0 0 3 年，y e 在文献 1 7 o p 定义了半- c l e a n 环，称环r 为半- c l e a n 环，如果对于任意 的x r ，有z = a + 甜，其中a 是周期的，即对于某正整数k 和1 ( k z ) 有a 七= a ，a r ， r u 是r 的一个单位例如群环z i p ) g 是半- c l e a n 环，其中g 是3 阶循环群，p 是素数并且 讨论了半- c l e a n 环的一些性质，证明半- c l e a n 环上的矩阵环还是半- - c l e a n 的 近几年来，许多代数学家开始研究一般环( 有单位元或没有单位元的环) ( 见文献【1 8 】，【1 9 ， 【4 3 一【4 5 】) 2 0 0 5 年，n i c h o l s o n 和z h o u 将c l e a n 环推广到一般环上，定义了c l e a n 一般环称环 ，是c l e a n 一般环，如果对于任意的x ，有x = e + q ，其中e 2 = e ，g q ( d 并研究了 c l e a n 一般环的相关性质( 见文献【1 8 】) 2 0 0 7 年，王静将n - c l e a n 环推广到一般环上，定义了n - c l e a n 一般环( 见文献【1 9 】) 称环，是n - c l e a n 一般环，如果对于任意的工i ，有x = e + q 1 + 9 2 + + g 。，其中e 。= p ，g l ，留2 ，g 。q u ) 类似地，本文的第三部分，我们将半= c l e a n 环推广到一般环上，定义半- c l e a n 一般环，主要 研究半- c l e a n 一般环的一些相关基本性质称环，是半= c l e a n 一般环，如果对于任意的x i ， 有x = a + q ，其中a 是周期的，即对于某正整数后和z ( 七1 ) ：f f a 七= a i , a r ，k q q 1 2 主要工作 回顾对c l e a n 环的研究历史过程，我们不难发现数学工作者不但研究了c l e a n 环的基本性质 和矩阵扩张，而且对c l e a n 环进行了多次推广 3 c l e a n 环的推广 本文共分为三章 第一章绪论部分，主要阐述了课题的来源背景，发展现状，以及本文的基本结构，研究思 路和主要结论 第二章，主要是将n - c l e a n 环和广义c l e a n 环进行推广，引入一类新的环一广义n - c l e a n 环 本章分为三节第一节，定义广义n - c l e a n 环环j 5 c 称为广义n - c l e a n 的，如果v 戈r ， 石= w + u l + “2 + + “。，其中w 是单位正则的，u 1 ) n 2 ，“。u ( r ) 显然n - c l e a n 环和广义 c l e a n 环是广义n - c l e a n 环，我们举例说明广义n - c l e a n 环不一定是广义c l e a n 环由于单位正则 元可以写成一个幂等元和一个单位的乘积，所以我们可以称环r 为广义n - c l e a n 环，如果 v x r ，有x = e u o + + 吃+ + “。，其中e i a ( r ) ，“o ，“l ，“2 ，”。u ( r ) 在研究 广义n - c l e a n 环的性质中我们经常用到此结论另外，我们推广n - c l e a n 环和广义c l e a n 环的性质， 得到广义n - c l e a n 环的性质如下： ( 1 ) 广义n - c l e a n 环的同态象是广义n - c l e a n 环( 见命题2 1 7 ) ( 2 ) 环战 趣，o g l er = y i 佬，骂是广义n - c l e a n 环当且仅当每个母是f - y n - c l e a n 环( 见命 题2 1 7 ) ( 3 ) 如果环r 是幂等元模- 厂似) 可被提升的，则尺是广义n - c l e a n 环当且仅当r j ( r ) 是广 义n - c l e a n 环( 见命题2 1 8 ) ( 4 ) 如果r 是e x c h a n g e 环，则r 是广义n - c l e a n 环当且仅当r j ( r ) 是广义n - c l e a n 环( 见 命题2 1 1 0 ) ( 5 ) 对于正整数玎，环r 是广义n - c l e a n 环当且仅当叫o 俾) 是广义n - c l e a n 环( 见命题 2 1 1 1 ) ( 6 ) 对于正整数栉，如果x r 是广义n - c l e a n 的，则石是广义( n + 1 ) - c l e a n 的( 见命题2 1 1 2 ) ( 7 ) 对于正整数以，m ，n 的直和，= o 口乞是半- c l e a n 的当且仅当每个l 是半- c l e a n 的( 见命题 3 2 1 ) ( 3 ) 设彳是，的理想，as ，( ，) 如果1 a 是半- c l e a n 的且，的周期模a 是可提升的，则 ，是半- c l e a n 的( 见命题3 2 3 ) ( 4 ) 一般环让【x 】 是半_ c l e a n 的当且仅当，是半一c l e a n 一般环( 见命题3 2 5 ) ( 5 ) 如果，是半- c l e a n 一般环，则矩阵环鸭( ，) 是半- c l e a n 的( 见命题3 2 6 ) ( d 对于每个正整数以2 ，一般环，是半- c l e a n 的当且仅当，上的所有甩刀上三角( 下三 角) 矩阵环丁是半c l e a n 的c 见命题3 2 7 ) 1 3 基本定义和常用符号 为方便起见，下面给出文中涉及的一些概念和定义： ( 1 ) 称环r 为正则环，如果任意的元素a r ，存在b r ，使得a = a b a ( 2 ) 环尺的一个元素x 称为单位正则的，如果存在u u 似) ，使得x = 泓环尺称为单 位正则环，如果r 的每个元素都是单位正则的( 见文献【6 】) ( 3 ) 设彳是环r 的理想，称r 是幂等元模彳可被提升的，如果垤r a ，孑2 = i ，存在 矿= p r ，使得i = 虿( 见文献【1 】) ( 4 ) 环尺称为e x c h a n g e 环，如果下面两个等价条件成立： 坛r ，存在p 2 = p x r ，使得1 一p ( 1 一x ) r ； 垤r ，存在p 2 = 口r x ，使得1 一p r ( i 一曲( 见文献【4 】) ( 5 ) 如果环r 没有多于一项的环分解，则称r 是不可分解的( 见文献【l 】) ( 6 ) 设s ( 尺) 是由中心幂等元生成的r 的所有真理想的非空集合，理想尸s 俾) 称为r 的 一个p i e r c e 理想，如果p 是集合s 似) 中的极大元素( 关于包含关系) 如果p 是r 的p i e r c e 理想，则商环剐尸称为r 的p i e r c es t a l k ( 见文献【3 】) f 7 ) 如果环尺的每个元都可以写成n 个单位的和，则称尺为n g o o d 环( 见文献【1 0 】) ( 8 ) 称环r 的幂等元p 是左半中心幂等元，如果对于任意的x r ，有伽= x e ( 见文献 【2 5 】) ( 9 ) 称环尺的幂等元p 是右半中心幂等元，如果对于任意的z r ，有e , x e = 既( 见文献 【2 4 】) ( 1 0 ) 称环r 的幂等元e 是中心幂等元，如果对于任意的x r ，有膨= 蹦( 见文献【1 】) ( 1 1 ) 称环r 为2 素环，如果r 的每个幂零元都包含在r 的素根中( 见文献 2 6 】) ( 1 2 ) 称环r 满足( s i ) 条件，如果对于任意的口，b r ，由a b = 0 可推出a r b = 0 ( 见文献 【2 7 】) ( 1 3 ) 称环r 是左( 右) d u o ，如果r 的每个左( 右) 理想是双边的( 见文献【1 5 】) 6 南京航空航天大学硕士学位论文 ( 1 4 ) 称环r 是约化的，如果r 不包含非零的幂零元( 见文献【2 7 】) ( 1 5 ) 设，是一般环，对任意p ，q i ，定义，中的运算”+ ”如下： p q = p + q + p q ， 则( ，) 是一个幺半群，且有单位元0 ，我们记( ，) 的单位群为 q = q ( d = 幻，i p 幸g = 0 = q 幸p ，p 毋 ( 见文献【1 8 】) ( 1 6 ) 称r 是b o o l e a n 环，如果对于每个工r ，有z = x 2 下面给出本文中常用的符号： ( 1 ) 尺表示有单位元的结合环，所有的足模都是幺模 ( 2 ) u ( r ) 表示r 的所有单位的集合 ( 3 ) i d ( r ) 表示尺的所有幂等元的集合 ( 4 ) ( r ) 表示r 的j a c o b s o n 根 ( 5 ) n o ( r ) 表示r 的1 1 i l 根 ( d 坂似) 表示r 的刀甩矩阵环 ( 7 ) r 【x 】 表示尺上的形式幂级数环 ( 8 ) 尺l x l 表示灭上的多项式环 ( 9 ) 局 【x ，缈】 表示j i c 上的左斜幂级数环 ( 1 0 ) b 卜，驴】 表示尺上的右斜幂级数环 ( 1 1 ) ，表示一般环，即有单位元或者没有单位元的环 ( 1 2 ) z ( p ) = 仁l 肌，万z ，g c d ( p ，刀) = 1 ) ，其中z 是整数环，p 是素数 7 c l e a n 环的推广 第二章广义n c l e a n 环 作为e x c h a n g e 环的一类和单位正则环的推广，c l e a n 环有很好的应用价值，近年来，倍受 数学工作者的重视，并得到了多方面的推广在文献【5 】中，x i a og s 和t o n gw t 定义了n - c l e a n 环环r 中的一个元素x 称为n - c l e a n 的，如果x = e + u l + “2 + + “。，其中e i a ( r ) ， 甜1 ，“2 ，“。u 俾) 称环尺为n - c l e a n 环，如果尺中的每个元素都是n - c l e a n 的n - c l e a n 环 实际上是c l e a n 环和( s ，n ) 环的推广而在文献【1 6 】中，z h a n gh b 和t o n gw - t 对c l e a n 环和( s ，2 ) - 环同样作了一定的推广，定义了广义c l e a n 环环r 的一个元素x 称为广义c l e a n 的，如果 x = w + u ，其中w 是单位正则的，u u ( r ) 称环r 为广义c l e a n 环，如果r 的每个元素都 是广义c l e a n 的并将c l e a n 环和( s ，2 ) 环的一些性质扩展到广义c l e a n 环上，研究了广义c l e a n 环的基本性质 在这一章，我们继续对广义c l e a n 环和n - c l e a n 环做进一步的推广，引入一类新的环广义 n - c l e a n 环首先定义广义n - c l e a n 环，称环r 为广义n - c l e a n 环，给定正整数n ，如果对于任意 的x r ，有z = w + z l + “2 + + “。，其中w 是单位正则的，l f l ，“2 ，u 。u 似) 其次我 们将广义c l e a n 环和n - c l e a n 环的性质推广到广义n - c l e a n 环上，主要讨论广义n - c l e a n 环的一些 基本性质以及矩阵扩张和多项式扩张 2 1 广义n c l e a n 环及其基本性质 这一节，我们主要是将广义c l e a n 环和n - c l e a n 环进行推广，定义广义n - c l e a n 环并说明广 义c l e a n 环和n - c l e a n 环是广义n - c l e a n 环，但广义n - c l e a n 环不一定是广义c l e a n 环最后讨论 广义n - c l e a n 环的基本性质 首先给出广义n - c l e a n 环的定义 定义2 1 1 设玎是正整数，环尺的一个元素x 称为广义n - c l e a n 的，如果 x 2 w + u l + u 2 + + “n ， 其中w 是单位正则的，u l ，“2 ，u 。u ( r ) 环r 称为广义n - c l e a n 环，如果足的每个元素都是广义n - c l e a n 的 注：( 1 ) 由于幂等元是单位正则元，所以n - c l e a n 环一定是广义n - c l e a n 环 ( 2 ) 广义c l e a n 环可以看作是广义1 - c l e a n 环，所以广义c l e a n 环也是广义n - c l e a n 环 ( 3 ) 广义n - c l e a n 环不一定是广义c l e a n 环，下面给出例子： 例2 上2 设，是域，r = ( ； ，则r c 石，= ( ；主 c z ，兰( ；：j 嚣驾) ，由文献t 7 ，c 定 理1 1 ) 和文献【1 5 】( 例3 2 ) 可知r x 】是2 - c l e a n 环，所以r x 】是广义n - c l e a n 环而文献【1 6 】( 命题 8 南京航空航天大学硕士学位论文 2 1 0 ) 证明了交换环上的多项式环r x 】不是广义c l e a n 环 由上面的定义可知，广义n - c l e a n 环是n - c l e a n 环和广义c l e a n 环的推广，而广义c l e a n 环和 n - c l e a n 环是c l e a n 环和( s 柚- 环的推广，所以广义n - c l e a n 环可以看作是c l e a n 环和( s ，1 1 ) 环的推 广下面的例子说明存在是广义n - c l e a n 环而不是c l e a n 环的环，也存在是广义n - c l e a n 环而不是 ( s 柚环的环 例：( 1 ) 设r = z ( 7 ) g ，其中g 是3 阶循环群，由文献 2 2 n - - j 知尺不是c l e a n 环，而由文献 【1 5 】( 推论2 8 和例2 9 ) 可知r 是n - c l e a n 环，进而是广义n - c l e a n 环即对于正整数1 ，r 是广 义n - c l e a n 环而不是c l e a n 环 ( 2 ) 设r = z ( 2 ) g ，其中g 是3 阶循环群，由文献【1 5 】( 命题2 7 和推论2 2 ) n - j 失l lr 是n - c l e a n 的，所以是广义n - c l e a n 的但尺不是( s ，2 ) 环 ( 3 ) 设尺是b o o l e a n 环( 有两个以上的元素) ，由文献【1 5 】可知，r 是n - c l e a n 环，所以r 是 广义n - c l e a n 环但是在b o o l e a n 环中，1 + 1 = 0 ，且只有0 和1 可以写成单位的和，所以r 不 是( s 柚环 ( 4 ) 设r l = z ( 7 ) g ，其中g 是3 阶循环群，文献【1 7 】中，y e 证b ：j tr l 是( s ，2 ) 一环但不是c l e a n 环设r 2 = z 2o z 2 ，n r 2 不是( s ，2 ) - 环，因为r 2 的每个元素是幂等元，所以r 2 是c l e a n 环 令r = r l0 r 2 ，因为r 的同态象尺l 不是c l e a n 的，r 2 不是( s ，2 ) 一环，所以r 既不是c l e a n 环也不是( s ，2 ) 一环而因为r l 是( s ，2 ) - 环，r 2 是c l e a n 环，所以r 是广义c l e a n 环，因此r 是广 义n - c l e a n 的 下面的引理见文献【2 l 】中的定理2 2 引理2 1 j 1 2 1 1 环r 是单位正则环当且仅当环r 的任一元素可以写成r 的一个单位和一个 幂等元的乘积 由此引理，我们可以将定义2 1 1 中的单位正则元重新改写，得到下面的结论 推论2 1 4 设刀是正整数，环r 是广义n - c l e a n 环当且仅当比r ，有 工2 e u o + “l + u 2 + + “h ， 其中p i a ( r ) ，u 0 ) “l ，“2 ，“。u ( 尺) 这个结论在证明广义n - c l e a n 环的相关性质中经常用到 我们现在并不确定广义n - c l e a n 环是否是n - c l e a n 环，但有下面有趣的结论 命题2 1 5 设刀是正整数，如果p 是中心幂等元，则广义n - c l e a n 环是( n + 1 ) - c l e a n 环 证明设尺是广义n - c l e a n 环，则坛r ，有 x 2 e u o + “l + u 2 + + “n ， 其中g i a ( r ) ，u o ) “l ，“2 ，“。u 俾) 令f = 1 一e ， ，= 鲥o - ( 1 0 ，由于p 是中心幂 等元，则厂也是r 的中心幂等元，令1 ，= u 0 1 p 一( 1 一d ，有 9 c l e a n 环的推广 w = ( e u o - ( 1 - e ) ) ( u 0 1 e - ( 1 - e ) ) = 1 = v i v ， 所以 x = f + v + u 1 + + “ ， 其中厂是r 的中心幂等元，1 ，“l ，一，u 。u 俾) 因此，环r 是( n + 1 ) - - c l e a n 环 当以= l 时，我们有推论 推论2 1 6 如果e 是中心幂等元，则广义c l e a n 环是2 - c l e a n 环 下面我们将n - c l e a n 环和广义c l e a n 环的性质推广到广义n - c l e a n 环上，讨论广义n - c l e a n 环 的一些相关类似的基本性质 命题2 1 7 广义n - c l e a n 环有下面的性质， ( 1 ) 广义n - c l e a n 环的同态象是广义n - c l e a n 环 ( 2 ) 环他) 拓，的直积r = n 埘r 是广义n - c l e a n 环当且仅当每个辟是广义n - c l e a n 环 证明( 1 ) 如果尺是广义n - c l e a n 环，aqr ，且存在9 ：rjr 是满同态，则有r 7 兰r a ， 下面证明尺彳是广义n - c l e a n 环 设垤r a ，z r ，且有 x 2 e u o + t t z + + 其中e 2 = e ，“i ，一，u 。u ( r ) ，进而有 i = e u o + 瓯+ + 瓦， 显然虿2 = 虿r a ，u o ，u l ，玩【，( 刈a ) ，所以r a 是广义n - c l e a n 环 ( 2 ) 如果r = i i 据，r 是广义n - c l e a n 环，由于r i 是r 的同态象，所以由( 1 ) 易知每个r 是广 义n - c l e a n 环 反过来，如果r 是广义n - c l e a n 环，设搬兀起，置，则有x = ( x l ，艺，) ，其中x i r f o ，) 因为 而2 e i u j o + u n + u 1 2 + + u r n 其中岛尉俾j ) ，u 舭，u 加，u ( r ) 所以 x = ( q “l o ，e 2 u 2 0 ) ) + 0 l l ，“2 1 ，) + + ( “l 。，u 2 ，) ， 其中( e l ，p 2 ，) i a ( h f e ，r f ) ，( “1 0 ，“2 0 ，) ，( “l l ，“2 i ，) ，( “l 。，u 2 。，) u ( n k ，r f ) 从而r = h f e ，墨是广义n - c l e