（基础数学专业论文）weighted+sharing+with+unicity+of+meromorphic+functions.pdf

a b s t r a c t t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si m p r o v e ss o m er e s u l t sf r o m ”c m ”s h a r et o w e i g h t e d ”s h a r e ，s e e 1 ，2 , 3 ，4 i nt h es e c o n dc h a p t e lw e h a v et r e a t e daq u e s t i o n d u et oi l a h i r i ，a n dw eh a v eg i v e na na n s w e rf o ri ta n di nt h es a m e c h a p t e rw e h a v ed o n es o m ei m p r o v e m e n t sf o rs o m er e s u l t sd u et oh x y i ，m o z a w a ，h u e d a ，i l a h i r ia n do t h e ra u t h o r s i nt h et h i r dc h a p t e r , w eh a v ep r o v e ds o m e t h e o r e m sw h i c ha r ei m p r o v e m e n ts o m er e s u l t sd u et oh x y i ，i l a h i r i ，g b r o s c ha n do t h e ra u t h o r s w h i l et h ef o r t h c h a p t e r h a v ed e a l t p r o b l e m m e r o m o r p h i c f u n c t i o n ss h a r eo n es e ta n d p r o v e d s o m er e s u l t sw h i c ha r e i m p r o v e m e n t r e s u l t sd u et of r a n ka n d r e i n d e r s ，f a n ga n dh u a a n do t h e ra u t h o r s k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，s h a r i n gv a l u e ，u n i q u e n e s st h e o r y 摘要 本文的主要的目的是将有关“c m ”分担的一些结果改进为( 权) 分担 ( 见 1 ，2 ，3 ，4 ) ，在第二章，我们研究了i l a h i f i 的个问题，并对其 作了回答，此外，我们还改进了h x y i ，m o z a w a ，h u e d a ，i l a h r i 等人的 一些结果。 在第三章我们证明了几个定理，它们分别是对h x y i ，i l a d i r i ，g b r o s c h 等人的一些结果的改进。 在第四章，我们研究了具有一个分担值集的亚纯函授唯一性问题，证明 了一些结果，它们分别是对f r a n k ，r e i n d e r s ，方明亮和陈怀惠等人结果的 改进。 关键词：亚纯函数，公共值，唯一性定理。 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：工：盆么强幺卅日 期： 兰竺! 掣每彳 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：型生导师签名：l 盔蓝场扛日期：工型! 写厶 a c k n o w l e d g e m e n t 1w i s ht oe x p r e s sm yv e r yd e e pg r a t i t u d et om ys u p e r v i s o rp r o f e s s o r h o n gx u ny 1w h od e v o t e ds om u c ho fh i st a l e n t ，t i m ea n de f f o r t p r o v i d i n gv a l u a b l es u g g e s t i o n sa n dc o n s t r u c t i v ec o m m e n t s t h a n k sa r ed u et ot h ed e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e m s c i e n c ea ts h a n d o n gu n i v e r s i t y f i n a l l yt h a n k sa r ed e v o t e dt oa l lf r i e n d sa n dc o l l e a g u e sa n dt oa l l p e o p l ew h oc o n t r i b u t e di naw a y o ra n o t h e rt ot h i sw o r k t h a m i rc s h n a w e ra l z a h a r y , t h ec o l l e g eo fm a t h e m a t i c sa n d s y s t e ms c i e n c e s ， s h a n d o n gu n i v e r s i t y , s h a n d o n gp r o v i n c e ， j i n a nc i t y2 5 0 1 0 0 ， p r c h i n a i n t r o d u c t i o n i nt h i st h e s i sw ed e a lt h ep r o b l e mo fu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，t h et e r m m e r o m o r p h i c ”w i l la l w a y sm e a nm o r o m o r p h i ci nt h ec o m p l e xp l a n e i n t h i sw o r ki s u s e dt h ei d e aw e i g h ts h a r ew h i c ha r ei m p r o v e m e n ts o m ek n o w nr e s u l t ss e e 1 ，2 ，3 ， 4 1 f o rs t a n d a r dn o t a t i o n sa n dd e f i n i t i o n so fv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r y w er e f e r 1 2 】 o rf 2 7 h o w e v e r ，i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ep r e s e n tak n o w l e d g et on e v a n l i n n at h e o r y o fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n si nt h ec o m p l e xa n a l y s i sa n ds o m ed e f i n i t i o n s ，l e m n m sa n d t h e o r e m sw h i c ha r ek n o w n ，s e e 1 2 】o r 【2 7 】 f o rt h es e c o n d c h a p t e ra n d t h i r da n df o u r t ha r ea s s i g n m e n tf o ri m p r o v ek n o w nr e s u l t s r e s p e c t i v e l y w es t a t et h ed e t a i l si nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s c h a p t e rt w o ：t h i sc h a p t e r ，w eh a v ed i v i d e di n t ot w os e c t i o n sw h i c h a r et h ef o l l o w i n g ： s e c t i o no n e ：i nt h i ss e c t i o nh a sd e a l ti n v e s t i g a t i n gaq u e s t i o no fi l a h i r if 1 5 f o rt w o m e r o m o r p h i ef u n c t i o n ss h a r i n g ( 1 ，1 ) i nf a c th eh a sp r o v e dt h ef o l l o w i n g t h e o r e m b l e t ，gs h a r e ( 1 ，2 ) t h e no n e o ft h ef o l l o w i n gc a s e sh o l d s ： ( i ) t o ) 2 ( n ，) + 2 ( ) + n 2 ( r ，g ) + 2 ( n ；) + s ( r ) ； ( i i ) f i9 ；( i i i ) g 耋1 t h e o r e mc l e tf ，gs h a r e ( 1 , 2 ) a r t do ( 0 ，1 ，。) b eac o m p l e xn u m b e r t h e no n e o ft h ef o l l o w i n gc a s e sh o l d s ： ( i ) 2 t ( r ) 2 ( n ，) + 2 ( n ) + 2 ( r ，g ) + 飓( r ，；) + x 2 ( r ，o ) + s ( r ) ， w h e r e n 2 ( r ，o ) = 1 a x n 2 b ，击) ，2 ( n 击) ) ； ( i i ) ，三9 ；( i i i ) f g 兰l ；( i v ) 7 1 1 一；1 三2 ；( v ) f + g 兰2 ；( v i ) g ( a 一，) 兰n 2 ；( v i i ) ，陋一9 ) 三( 1 2 ， t h ec a s e ( i v ) m a yo c c u ri fo = ；，c a s e ( v ) m a yo c c u ri fo = 2a n dc a s e s ( v i ) a n d ( v i i ) m a yo c c u r i f 口= 一u ，一u 2 ，w h e r e u i s 氆n o l l r e a lc u b i cr o o to fu n i t y i nh i sp a p e r ，h eh a sa s k e dt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n i si tp o s s i b l et or e l a xs h a r i n g ( 1 , 2 ) t os h a r i n g ( 1 ，1 ) i nt h e o r e mba n dt h e o r e mc ? w eh a v eg i v e na na n s w e rf o rt h i sq u e s t i o nb yt h ef o l l o w i n g ，( s e e 【l 】) ： t h e o r e m 2 1 1 s u p p o s e ，a n d9s h a r e ( 1 ，1 ) i f ，9a n d1 g l ，t h e n 1 m ( r ，击) + t ( r ，) s n 2 ( n ，) + 9 2 ( n ，) + n 2 ( 瑚) + n 2 ( 。；) + 丙， 2 ( ，占) + s ( r ) t h er e s u l th o l d st r u ei ft h er o l e so fga n df & r ei n t e r c h a n g e dw i t ho n ea n o t h e r w es e et h a tt h e o r e m2 ，1 1i m p r o v e st h e o r e mb t h e o r e m 2 1 2 s u p p o s e ，a n dgs h a r e ( 1 1 ) ，a n do ( 0 ，1 ，。o ) b e ac o m p l e xn u m b e r i ft h ep o s s i b i l i t i e s ( i i ) ，( i i i ) ，( i v ) ，( v ) ( v i ) ，( v i i ) ) o ft h e o r e mcd on o to c c u r ，t h e n m ( r ，击) + 2 t 0 ( r ) 2 ( n ，) + n 2 ( r ， ) + 飓( n9 ) 十2 ( n ；) + 2 ( n ) + ， 2 ( n 击) + s ( r ) ， w h e r et 0 ( r ) = m 。z t ( r ，) + t ( r g ) ，t ( r ，) ) a n d 2 ( r ，n ) = , n a x n 2 ( r ，击) ，胁( n 击) ) t h er e s u l th o l d st r u ei ft h er o l e so fga n dfa r ei n t e r c h a n g e dw i t ho n ea n o t h e r w es e et h a tt h e o r e m2 12i m p r o v e st h e o r e m c i nh l sp a p e ra l s oh a sp r o v e dt h ef o l l o w i n g t h e o r e m e l e t ，gs h a r e ( 1 ，2 ) i f f o rs o f t i ec o m p l e xn u m b e r n ( 0 ，1 ，。，；，2 ，一，一u 2 ) d 2 ( o ，) + 5 2 ( c c ，) + 6 2 ( o ，g ) + 如( o o ，9 ) + m i n 5 2 ( a ，) ，6 2 ( a ，g ) ) 3 t h e n f i9o r ，g 1 w eh a v ep r o v e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t ，w h i c hi so ni m p r o v e m e n tt h e o r e me t h e o r e m 2 1 3 【1 1 l e t ，gs h a r e ( 1 ，1 ) i f f o rs o m ec o m p l e xn u m b e r n ( 0 ，1 ，。o ，i l ，2 ，一w ，一u 2 ) s u c ht h a t d 2 ( o ，) + 5 2 ( o c ，) + 6 2 ( o 9 ) + 6 2 ( o o ，g ) + m i n 6 2 ( a ，) ，5 2 ( a g ) ) + d 3 ， t h e ne i t h e r ，5go r ，g ；1 ， w h e r e 恕挈堂坚坦也旃型业业龀 a l s o ，i l a h i r i 1 5 h a sp r o v e dt h ef o l l o w i n gr e s u l tw h i c h i sa ni m p r o v e m e n to fr e s u l t s o fo z a w a 2 1 】a n du e d a 2 2 t h e o r e m f l e t ，gs h a r e ( 1 ，2 ) ，( 0 ，1 ) a n d ( ，1 ) i f2 5 2 ( 0 ，f ) + 2 6 2 ( o o ，f ) + m i n 6 2 ( a ，) ，6 2 ( a ，9 ) ) 3 ， f o rs o m ec o m p l e xn u m b e rn ( 0 ，l ，。o ) ，t h e ne i t h e r ，兰go rf gi1 i np a p e r 【1 】w eh a v ep r o v e dt h ef o l l o w i n gt h e o r e mw h i c hi sa l li m p r o v e m e n tt t m o r e m f t h e o r e m 2 1 4 l e t ，gs h a r e ( i ，1 ) ，( o ，1 ) a n d ( 。，1 ) i f f o rs o m ec o m p l e x n u l l l b e r a ( 0 ，1 ，o 。) 2 6 2 ( 0 ，) + 2 6 2 ( o o ，) + m i n h ( a ，) ，5 2 ( a ，9 ) ) + d 3 ， t h e n ，3go r ，g l ，w h e r edi si nt h e o r e m2 13 a sa na p p l i c a t i o no ft h e o r e m 2 1 1 ，w eh a v ep r o v e dt h ef o l l o w i n gt h e o r e mw h i r l li s a ni m p r o v e m e n tt h et h e o r e mo f y i 2 4 】 t h e o r e m 2 1 5 【1 】l e ts = f n + 6 ，a + 乩，d + 乩，一1 ) ，w h e r e 礼9 ，= e x p ( 2 ，r i n ) ，oa n d6 ( 0 ) a r ec o n s t a n t s i fe f ( s ，2 ) = 岛( s ，2 ) ，t h e ne i t h e r ，一。三 ( 9 一n ) ，w h e r et “= 1o r ( ，一o ) ( g a ) is ，w h e r es “= b 2 ” s e c o n ds e c t i o n f o rt h es e c o n ds e c t i o no ft h es e c o n dc h a p t e rh a sd e a l tt h et h e o r e i no f g f r a n ka n dm r e i n d e r s 【8 s u c ht t i e yh a v ep r o v e dt h ef o l l o w i n g t h e o r e mh l e tn 1 1b ea ni n t e g e ra n dc 0 、1ac o m p l e xn u m b e r ，t h e nt h e p o l y n o m i a lp d e f i n e db y p ( w ) = 垒掣”“一n m 一2 ) w n - l + 兰堕i 旦”n 一。一c ，f + ) h a so n l ys i m p l ez e r o sa n d i f a n dga r et w on o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s s a t i s f y i n g 研( s ) = 岛( s ) ，w h e r es = f ：j p ( ) = o ) ，t h e n ，= - - g i nt h i ss e c t i o n ，w eh a v ep r o v et h ef o l l o w i n gb yu s i n gt h e w e i g h t “s h a r i n g t h e o r e m2 2 1 l e ts = ( ：尸( ) = o ) ，w h e r e p ( ) i s g i v e nb y ( ) a n d ，g1 ) e n o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ( i ) i f e y ( s ，2 ) = 岛( s ，2 ) ，t h e n ，兰g w h e nn2 i i ( i i ) i f 研( 只1 ) = 岛( s ，1 ) ，t h e n ，兰gw h e nn 1 3 c h a p t e rt h r e e f o rt h et h i r dc h a p t e rw ea l s oh a v e f i r s ts e c t i o n ：w eh a v ep r o v e d $ o l n cr e s u l t sw h i c h t h e o r e m 4 】a n dl a h i r i 1 6 i n1 9 9 5 ，y i 2 5 】p r o v e dt h ef o l l o w i n g ： d i v i d e di n t ot w os e c t i o n s a r ei m p r o v e m e n tr e s u l t so fy i 【2 5 t h e o r e m a l e t ，a n dgb et w o d i s t i n c tn o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s s h a r i n g 0 1 ，。c m ，a n dl e ta ( 0 ，1 ) b eaf i n i t ec o m p l e xn u m b e r i f ( r ，万1 ) 玑，) + 跳，) ， 3 t h e noi sap i c a r de x c e p t i o n mv a l u eo f ，a n d a n d 夕s a t i s f y o n eo f 油el o l l o w i n 篮t l i r e e r e l a t i o n s ： ( t ) ( ，一o ) ( 9 + n 1 ) ；a ( 1 o ) ： ( i i ) f4 - ( a 一1 ) g in ； ( i i i ) f ；a g i n1 9 9 5 ，y ia n d y a n g 2 7 ，t h e o r e m51 3 p r o v e dt h ef o l l o w i l l gt 1 1 e o r e m s ： t h e o r e m b l e t ，a n d9b et w od i s t i n c tn o r l c o n s t a n tn l e r o n l o r p l l i cf u j l c t i o n s s h a r i 如g 0 ，l ，。c m i f ，i sn o taf r a c t i o n a ll i n e a rt r a n s f o r m a t i o n ( m s b i u s t r a n s f o r m a t i o i l1o f 9 ，t h e n f o ra n yn ( 0 ，l ，。o ) ( i ) 0 ( n 声) = n o ( r , 步) + s ( _ ，) ，( r 1 专) = _ o ( r ) 专) + s ( t ，) ， t h es a m ei d e n t i t i e sh o l df o r9 ； ( z i ) ( 3 ( 一石) = s ( r ，) ，川3 ( n 善i ) = s ( r ，) ： ( i i i ) 丁( n ，) = 丙( r ，争) + n o ( r ) 十s ( n ，) ，t ( t 9 ) = ( r ，专) + 炳( r ) + s ( t ，) n o ( r ) = 砜( r ) 十s ( r ，) ， ( 如) r ( n 门= ( r ，；) + s ( n ，) ， t ( _ 9 ) = ( 杀i ) + s ( r ，) ； ( ”) ? ( r - ，) + ? ( t 9 ) = ( r ， ) + ( n 南) + ( r ，) + n o ( r ) + s ( r ，n ( 优) n ( r ，南) = ( r 南) + 跳n w h e r e 炳( n 步) ( _ 0 ( r ，步) ) d e n o t e s t t l e c 。u n t i n gf u n c t i o nc o r r e s p o n d i n gt 0t j l e tz e r o s o f ，a r en o tz e r o so f ，a n d ，一1 ( i g n o r i n g m u l t i p l i c i t i e s ) a 1 1 dn o ( r ) ( 矾( r ) ) i s “。o ”。1 “g 组“c 1 ”。ez e r o so f ，一9t h a ta r e l l o tz e r o so f g ，g 一1a n d ：( i g n o r i n g m u l t i p l i c i t i e s ) n o wo n em a ya s kt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n ：i si t r e a l l yi m p 。s s i b l et or e l a xi na n yw a v t h en a t u r eo f s h a r i n go fa n yo n eo f0 ，1 ，a n do oi nt h ea b o v et h e o r e m s ? b yu s i n gt h ei d e aw e i g h t e ds h a r i n g ，w eh a v ea n s w e r e d h i sq u e s t i o na n d o b t a i n e dt h c f o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e m 3 1 1 2 j l e t ，a n d9b et w od i s t i n c tn o n c o n s t a n tm e r o m o r d h i c f u l l c t i o n s 8 h ”i n g ( a l ，1 ) ，( 啦，o 。) a n d ( 0 3 ，。) ，w h e r e o l ，0 2 ，a 3 ： 3 ， t h e naa n d 。a r ep i c a r de x c e p t i o n a lv a l u e so f ，1 一aa n do 。a r ep i c a r de x c e p t i o n a l v a l u e so f 9 ，a n d ( ，一o ) ( 9 + o 一1 ) o ( 1 一a ) b yt h e o r e m3 1 5 ，w ei m m e d i a t e l yo b t m nt h ef o l l o w i n gc o r o l l a r y , w h i c hi s a ni m p r o v e m e n to ft h e o r e m e c o r o l l a r y ，l e t f a n d g b et w od i s t i n c tn o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s s h a r i n g ( a 1 1 ) ，( a 2 ，。) a n d ( a 3 ，。c ) w h e r e ( a l ，a 2 ，a 3 ) = o ，1 ，。) i f a ( 0 ，1 ) i sa f i n i t ec o m p l e x n m n b e rs u c ht h a t 5 2 ) ( a f ) 0a n dd 1 1 ( f ) 0 ，t h e nt h ec o n c l u s i o n so ft h e o r e me s t i i lh o l d s e c o n ds e c t i o n f o rt h es e c o n ds e c t i o no ft h e c h a p t e rt h r e e w eh a sp r o v e ds o l n er e s l l l t s w h i c ha r ei m p r o v e m e n tr e s u l t so fb r o s c h 6 1 i nf a c t ，i n1 9 8 9h ep r o v e dt h ef o l l o w i n g t h e o r e ma l e tia n dgb et w on o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss u c ht h a tf a n d9s h a r e0 、i ，o 。c ma n dl e t8a n dbb et w of i n i t e c o m p l e xn m n b e r ss u c ht i m t n ，b 凳 o ，1 i f ，= o 铮g = b ，t h e nfi s am 6 b i u st r a n s f o r m a t i o n ( f r a c t i o n a ll i n e a r t r a n s f o r m a t i o n ) o f9 n o wo n em a ya s kt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n ：i si t r e a l l yi m p o s s i b l et or e l a xi na n yw a y t h en a t u r eo fs h a r i n go fa n yo n eo f0a n d1i nt h et h e o r e ma ? w eh a v ea n s w e rt h i sq u e s t i o na n dh a v ee x t e n d e dt h e o r e ma b yt h ef o l l o w i n gt h e o r e m ： 6 t h e o r e m 3 2 1 【3 】l e t ，a n dgb 、t w o 1 1 0 n c o l l ：- ；t a n t l l l e r o u | o t p h i cf u n c t i o n s s a r i s f y i i i ga tl e a s to n eo ft h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n s ： ( i ) ja n dgs h a r e ( 0 ，1 ) ，( 1 ，o c ) a n d ( ，o c ) ( i i ) ，a n dgs h a r e ( 1 ，1 ) ，( 0 ，) a n d ( o 。：) ( t “) fa n dgs h a r e ( o o ，1 ) ，( 0 ，o o ) a n d ( l ，) 。) l e taa n dbb et w of i n i t ec o m p l e xn u m b e r ss u c ht h a ta 仨 0 ，1 ) i f f = a 幸争g = b ， t h e n ，i sam s b i u st r a n s f o r m a t i o no f9 m o r e o v e rfa n d9s a r i s f ye x a c t l yo n eo ft h e f o l l o w i n gr e l a t i o n s ： ( 0 兰吼( i i ) f g 兰l ；( i i i ) f 兰暑9 ；( 伯) ，+ 9 三1 ：( 1 。 + 石1 三1 ：( v i ) f 兰r a - 了1 9 + 告等；( ”t t ) = i b 雨1 - - a ；+ r a - 习b ：；( v i i ) 三0 9 ；( 。z ) ，= 一；9 + o ；( 工) ；= 一g ，+ f o r ，r o v et h e o r e m3 2 1 w eh a v ee x t e n d e d s o l u er e s u l t sl r o m ”c m s h a r et o ”w e i g h t 1 s h a r e f o rt h ef o u r t hc h a p t e r w ei n v e s t i g a t i v et h ep r o b l e mt fg r o s s 【2 j i n1 9 7 6 ，g r o s s ( 1 1 p o s e dt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n q u e s t i o n 4 i d o e st h e r ee x i s taf i n i t es e tss u c ht h a t ，f o ra n yp a i ro fn o n c o n s t a n t e n t i r ef l m c t i o n s ，a n d9 ，e ( s ，) = e ( s ，9 ) i m p l i e sf5 9 7 i fs u c haf i n i t es e te x i s t s an a t u r a lp r o b l e mi st i l ef o l l o w i n g q u e s t i o n 4 2 w h a ti st h es m a l l e s tc a r d i n a l i t yf o rs l l c haf i n i t es e t ? 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w eh a v ea n s w e r e dt h i sq u e s t i o na n dh a v ep r o v e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t sw h i c hi s a l l i m p r o v e m e n tt h ea b o v er e s u l t ss e em t h e o r e m4 1 l e ts = f w c ：a w “一n ( n 一1 ) w 2 + 2 n ( n 一2 ) b ”一( 乱一1 ) ( 7 l 一2 ) b 2 = o ) ，s “c h t h a tc = 尘等兰，c 掣 o ，1 ，一1 ，2 ， ，c 2 一( 1 + 1 0a n d n26a n dl e t ，a n d9b e t w ol l o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss u c ht h a t 地产 e ( o ，) + e ( 。，) + e ( b ，) a n d 羔q 产 e ( o ，9 ) + o ( 。，9 ) 十o ( 6 ，9 ) - i f e ( s ，2 ) = 马( s ，2 ) ，t h e n ，5 9 - t h e