（材料加工工程专业论文）短纤维增强热塑性塑料纤维取向测量边缘提取方法.pdf

摘要 在注塑制品生产中，为了增强制品的性能，最常用的方法就是在聚合物基 中添加短纤维如玻璃纤维、碳纤维( 等) 。纤维的存在将最终影响到制品的弹性模 量、拉伸强度、熟传导、导电性能以及光学性质等。纤维的尺寸是变化的，典型 的注塑用短纤维的直径o 0 1 0 0 2 r a m ，长径比为l o 5 0 ，单位体积含有1 0 ，0 0 0 m m 3 个取向的纤维。 在注塑充填中，悬浮在熔体中的纤维由于受到变形流场的作用，将沿一定 方向取向，并且取向会随着不同的位置和不同的时刻而发生变化。最终固化到制 品中纤维取向处于一个复杂状态，从而导致力学性能的各向异性。因此，理解、 测量纤维的取向行为，进而了解最终制品的性能具有非常重要的意义。 流动诱导的纤维取向的描述主要有两种方法，一是基于取向概率分布函数， 它给出了纤维沿所有方向取向概率，但需要巨大的计算量；另一种是基于取向分 布函数的矩( 即取向张量) 来描述取向行为，通过求解取向张量的演化方程得到 制件的取向分布。 本论文针对短纤维增强塑料，首先利用j e f f e r y 单纤维的动力学方程，解析研 究了单个纤维在简单剪切流和拉伸流场中纤维的运动轨迹和取向行为，并主要采 用取向张量的方法研究流动诱导的纤维取向，通过对纤维取向行为的理论研究， 采用取向概率分布函数与取向矢量的内积构造取向张量，并讨论了取向分布函数 和取向张量之间的关系。在此基础上，重点研究了二阶取向张量和四阶取向张量 的性质，分析了不同取向状态下，取向张量的特征值，不变量的性质和特点。为 下一步和图象处理结果相结合打下理论基础， 同时，本文初步讨论了数字图象处理技术在纤维图象上( 取向测量中) 的应 用。首先进行纤维图象增强处理。纤维图象增强主要采用灰度变换、图象平滑、 图象锐化等方法。灰度变换调整改变纤维图象的灰度，突出了感兴趣的区域。采 用有效的图象平滑方法对纤维图象进行平滑降噪处理，消除图象数字化和传输时 所混入的噪声，提高了图象的视觉效果。利用图象锐化处理突出纤维的边缘信息， 加强纤维的轮廓特征，以便于一些基本特征的提取，比较各种图象锐化方法处理 纤维图象时的结果。 在图象分割处理方面，对各种图象分割方法进行了较详细的综述，指出现有 方法的实现原理与特点，着重研究了纤维图象的c a n n y 边缘分割方法，并有效地 实现纤维的边缘提取。 关键词：短纤维增强纤维取向分布函数取向张量图象增强边缘检测 a b s t r a c t ac o m m o np r a c t i c ei ni n j e c t i o nm o l d i n gi sr e i n f o r c i n gt h ep o l y m e rm a t r i x w i t h s h o r tf i b e r s ，t h ep u r p o s eb e i n gt oi m p r o v et h em e c h a n i c a lp r o p e r t i e so ft h e m a t e r i a l p r o p e r t i e sa r ea f f e c t e db yt h ep r e s e n c eo ft h ef i b e r si n c l u d et h ee l a s t i c m o d u l u s ，t h et e n s i l es t r e n g t h , a n dt h et h e r m a la n de l e c t r i c a lc o n d u c t i v i t i e s t h es i z e o ff i b e rv a r i e s u s u a l l yt h et y p i c a li n j e c t i o nm o l d e ds h o r t - f i b e rd i m e n s i o ni sa b o u tt e n t ot w e n t ym i c r o n si nr a d i u sa n dt e nt of i 衄i na s p e c tr a t i o t h e r ea a b o u tr o u g h l y 1 0 ，0 0 0f i b e rp e rc u b i cm i l l i m e t e ro r i e n t e di nv a r i o u sd i r e c t i o n d u r i n gt h e 询e c t i o nm o l d i n gf i l l i n gp r o c e s s , t h es u s p e n d e df i b e r so r i e n ti n r e s p o n s et ot h ek i n e m a t i c so ft h ef l o w t h eo r i e n t a t i o ns t a t eo ff i b e r sc h a n g e sw i t h t i m ea n dp o s i t i o n c o n s e q u e n t l y , t h ef i n a lm i c m s t r n c t u r eo ft h es o l i d i f i e dc o m p o s i t e i sc o m p l e x a n dt h em e c h a n i c a lp r o p e r t i e so ft h em a t e r i a la r ea n i s o t r o p i c f i b e r o r i e n t a t i o nc a ns i g n i f i c a n t l ya f f e c tt h em e c h a n i c a lp r o p e r l yo fp a r t s ，w h i c he i t h e r m a d ep a r t sd e v e l o p i n ga n i s o t r o p i cp r o p e r t yo rd e v e l o pr e s i d u a ls t r e s sd u et ow h i c h s o l i d i f i e di nt h ep a r t sc a u s ep a r t st ow a r pd e f o r m a t i o n f i b e ro r i e n t a t i o ni st h em a i n p r o p e r t i e so ft h ep a r t s m i c r o s t r u c t u r e d u et ot h er o l eo ft h em i c r o s t r u c t u r ei n d e t e r m i n i n gt h em e c h a n i c a lp r o p e r t i e so fc o m p o s i t ep r o d u c t , i ti sv e r ys i g n i f i c a n tt o c a t c ho ra n dp r e d i c tt h eo r i e n t e db e h a v i o ro f f i b e r si n d e e dt oc o n t r o li t f o rp r e d i c t i n gf l o wi n d u c e da l i g n m e n t ，w ec o u l du s et w od i f f e r e n tm e t h o d s t h e f i s to n ei sb a s e do nu s i n gaf i b e rd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n , w h c hp r o v i d e st h ep r o b a b i l i t y o fo r i e n t i n gp a r t i c l ei nc e r t a i nd i r e c t i o na n di sc o m p u t a t i o n a l l yi n t e n s i v e as e c o n d a p p r o a c hi sb a s e do nu s i n gt h em o m e n t so ft h eo r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ( o r i e n t a t i o nt e n s o r ) w ec a ng e tt h ef i b e ro r i e n t a t i o ni nt h ep a r t sb ys o l v i n gt h e e v o l u t i o ne q u a t i o no ft h ef i b e ro r i e n t a t i o nt e n s o r t h i sa p p r o a c hr e q u i r e sac l o s u r e m o d e ls i n c et h ee q u a t i o ng o v e r n i n gt h es e c o n dm o m e n to f t h eo r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o n f u n c t i o ni n v o l v e sa nu n c l o s e df o u r t ho r d e rt e n s o r f o rt h es h o nf i b e rr e i n f o r c e dc o m p o s i t e s t h em o t i o no f a s i n g l ef i b e rw a s s t u d i e dn a l y t i c a l l yi ns i m p l es h e a rf l o wa n de x t e n s i o n a lf l o w w i t hj e f f e r yd y n a m i c s e q u a t i o n b e s i d e s ，o r i e n t a t i o nt e n s o ri sm a i n l yu s e di nt h i sd i s s e r t a t i o nt os t u d yt h e f i b e ro r i e n t a t i o n w ec o n s t r u c tt h eo r i e n t a t i o nt e n s o ru s i n gt h ei n n e rp r o d u c to f o r i e n t a t i o nv e c t o ra n df i b e ri g r i b u d o nf u n c t i o nb ys t u d y i n gt h ef i b e ro n e n t a t i o n b e h a v i o r b a s e d0 1 1t h i s ，t h ep r o p e r t yo f t h es e c o n da n df o u r t ho r d e rt e n s o r , a n dt h e e i g e n v a l u e sa n di n v a r i a n t so f o r i e n t a t i o nt e n s o rw h i c h u n d e rd i f f e r e n to r i e n t a t i o n s t a t e sa r ed i s c u s s e d t h i s p a p e rm a i n l yd i s c u s s e dt h ed i 百t a lj l 】蛆g ep r o c e s s i n g t e c h n i q u e si n a p p l i c a t i o no ff i b e ri m a g e f i r s , t op r o c e s st h ef i b e ri m a g es oa st oe n h a n c et h e q u a l i t yo ft h ei m a g e ，t h ea i mo fe n h a n c i n gt h ef i b e ri m a g ei st og i v ep r o m i n e n c et o t h ew h o l ea n dp o r a o nf e a t u r eo ft h ef i b e ri m a g ea n di m p r o v et h ee f f e c to fv i s i o na n d t h ef e a t u r eo f r e c o g n i t i o n t h em e t h o do fe n h a n c i n gt h ef i b e ri m a g ei n c l u d eg r a y ，一 s c a l e t r a n s f o r m a t i o n , i m a g es m o o t h i n g a n d i m a g es h a r p e n i n g e t c g r a y - s c a l et r a n s f o r m a t i o na d j u s tt h eg r a y - s c a l eo ft h ef i b e r si m a g ea n dg i v e p r o m i n e n c et ot h ei n t e r e s t e da l g a t h em e t h o do fi m a g es m o o t h i n gt op r o c e s st h e f i b e ri m a g ec a ne l i m i n a t et h en o i s e st h a tc a u s e db yd i g i t a lp r o c e s sa n dt r a n s m i s s i o n a n di m p r o v et h ee f f e c to f v i s i o n t h em e t h o do f i m a g es h a r p e n i n gg i v ep r o m i n e n c et o t h ee d g ei n f o r m a t i o no f t h ef i b e r si m a g ea n ds t r e n g t h e nt h ef e a t u r eo f c o n t o u rs oa st o t h ee x t r a c t i o no fb a s i cf e a t u r e ，a tl a s tb yc o m p a r i s o nt h er e s u l t st h a tw e r ep r o c e s s e d b ys o m ek i n d so fm e t h o do fi m a g es h a r p e n i n gc a ng e tw h i c hm e t h o di ss u i tf o rt h i s t y p eo ff i b e r si m a g e s e c o n d l y , t h e r ei sas u r v e ya b o u ti m a g es e g m e n t a t i o nm e t h o di n c l u d i n gt h e f i b e r s i m a g es e g m e n t a t i o nm e t h o d ，t h es u r v e y i n d i c a t et h ep r i n c i p l ea n dt h e c h a r a c t e r i s t i co ft h es e g m e n t a t i o nm e t h o d s i nt h i sp a p e r , t h ee m p h a s i si st h ec a n n y a p p l i c a t i o no fm a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y t o g r a y - s c a l et i b e t si m a g e u s i n gt h i s m e a t h e dt op r o c e s st h ef i b e ri m a g ed e t e c t k c y w o r d s ：s h o r tf i b e rr e i n f o r c e d ， f i b e ro r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ， o r i e n t a t i o nt e n s o r ，i m a g ee n h a n c e ，e d g ed e t e c t i o n 绪论 第一章绪论 1 1 纤维图象处理( 取向测量) 的意义 短纤维复合材料是一种重要的工程材料。其加工过程简单，加工费用 低廉，在工业范围得到广泛应用。在模压、注射等成型工艺中，树脂从熔 融状态到固定状态，短纤维的取向要发生变化，如在制品的某些部位短纤 维主要沿固定方向取向，则复合材料将呈现局部各项异性特性【l 】，或在固 化制品中形成残余应力而产生翘曲。对纤维增强塑料溶( 熔) 体流动以及增 强纤维的取向进行分析，预测成型过程中溶( 熔) 体充填流动模式、压力场、 温度场和速度场的动态变化，预测最终制件中的纤维取向分布，不仅可以 为产品设计、模具设计和优化工艺参数提供重要的依据，还可以建立成型 工艺条件与最终制件中的纤维取向之间的定量关系。从而通过设计和控制 成型过程，就能获得所需性能的纤维增强制件。 国际上对纤维增强聚合物中纤维取向的问题已有较多的研究1 2 1 。 j e f f e r y i3 】分析解决了浸没在粘性流体中单根纤维的运动情况，其后，h a n d ( 1 9 6 2 ) ，b a t c h e l o r ( 1 9 7 1 ) ，a d v a n i 和t u c k e r ( 1 9 8 4 ) ，d i n h 和a m s t r o n g ( 1 9 8 4 ) ，l i p s c o n b e t a l ( 1 9 8 8 ) ，r a n g a n t h a r 和a d v a n i1 4 1 ( 1 9 9 3 ) 都不同 程度的发展了定量描述加工条件和纤维取向的理论。h a n d 提出把变形率张 量与应力张量联系起来，l i p s e o n b 把这个结论应用到连续方程中。b a t c h e l o r 则利用了弱体理论计算了沿轴向受拉的纤维取向后的应力状态。d i n h 和 a m s t r o n g 将b a t c h e l o r 的理论用于任意流场的纤维取向。f o l g a rt u c k e r ， r a n g a n t h a r 和a d v a n i t ”考虑纤维之间的相互作用，通过引入散度形式到 j e f f e r y 方程中，建立了纤维取向模型。s h a q f e nf r e d r i c k e n1 6 1 还用弱体理论 计算完全取向和随机取向悬浮液的粘度，取得了一定进展。 在这些纤维取向问题的研究过程中，都是通过预测的方法，来为产品 设计、模具设计和优化工艺参数提供依据，但是，预测的准确性、可靠度， 尚缺乏相对准确的检验依据。 绪论 因此，本课题旨在找到一种纤维取向的测量方法，表征出纤维取向结 构。通过预测结果与实验结果相比较，一方面检验预测结果的准确性，另 一方面也为产品的性能提供数字依据。而这，对于下一步进行产品设计、 模具设计和优化工艺参数也是至关重要的。 通常做法是，首先通过显微镜获取组织切片的纤维图象，对其进行预处理， 以提高图象的质量，由于我们只是对图象中的某些特定目标感兴趣，通过分 割处理把这些目标提取出来，以便后续的分析研究。 1 2 本论文的主要工作 1 1 通过对纤维取向行为的理论研究，重点讨论了取向分布函数和取向张量对取 向行为的描述理论，利用控制体积概念建立了取向分布函数演化方程，以及 采用取向概率分布函数与取向矢量的内积构造取向张量，并讨论了取向分布 函数和取向张量之间的关系； 2 1 重点研究了二阶取向张量和四阶取向张量的性质，分析了不同取向状态，包 括各向同性取向、平面各向异性取向、单轴取向、轴对称取向等，取向张量 的特征值，不变量的性质和特点； 3 ) 讨论了数字图象处理技术在纤维图象上( 边缘提取中) 的应用。首先进行纤维 图象增强处理。纤维图象增强的主要目的是改善纤维图象的质量，突出纤维 图象的整体或局部特征，提高纤维的视觉效果和识别特征。纤维图象增强主 要采用灰度变换、图象平滑、图象锐化等方法。灰度变换调整改变纤维图象 的灰度，突出了感兴趣的区域。采用有效的图象平滑方法对纤维图象进行平 滑降噪处理，消除图象数字化和传输时所混入的噪声，提高了图象的视觉效 果。利用图象锐化处理突出纤维的边缘信息，加强纤维的轮廓特征，以便于 一些基本特征的提取，比较各种图象锐化方法处理纤维图象时的结果。在图 象分割处理方面，对各种图象分割方法进行了较详细的综述，指出现有方法 的实现原理与特点，着重研究了纤维图象的c a n n y 边缘分割方法，并有效地 实现纤维的边缘提取。 纤维取向状态的描述方法 第二章纤维取向状态的描述方法 在早期对取向分布预测的研究中，己经提出了许多取向的定量描述方法。对 于短纤维增强复合材料有两种最为常用的方法来描述其取向状态。第一种方法是 基于取向分布函数，这种方法给出了纤维沿某一方向取向的可能性；第二种方法 是基于取向分布函数的矩，这也是本文所主要采用的方法。 2 1 单根纤维取向的描述 x 1 图2 1 纤维取向矢量 x 2 叩s i n 掣8c o s 口t 纤维取向状态的描述方法 ( 2 1 ) 由于纤维无法区分头和尾，即其方向可以任意给定。所以存在关系p 哼- p 或 者是0 专石一口和庐j 石+ 。这里强调的是，这种性质只适合于刚性的纤维，如 果是可弯曲和易变形的纤维则有不同的描述方式口”。球形颗粒的几何形状经常会 用水力学影响因子来描述阎 五：宰 ( 2 2 ) a 2 + 1 、7 这里口。是长径比。当a = l 时代表长纤维，即无穷大的长径比；当五一l 则表示圆 盘；当五= o 时表示球体。在本文中只考虑刚性的纤维。纤维和流体的密度视为 相同( 浮力可以忽略) 。流体看作是不可压缩的。 纤维的运动可以用质心的速度来表示( 如图2 2 所示) 。从图中我们可以看 出，因为刚性纤维的内部不可能有沿取向方向的相对速度，所以旋转矢量p 5 嘲 和取向矢量p 互相垂直。 图2 2 ：纤维旋转矢量p 5 和取向矢量p 互相垂直 p ；是单独依靠流体的运动而造成的其中纤维粒子的运动，它由j e f f e r y 3 于 1 9 2 2 年得出。悬浮于牛顿流体中的单一刚性椭球粒子，在纤维存在相互影响阱l 和无滑移边界条件下，其运动方程为 纤维取向状态的描述方法 p ；= 一国p + a ( ，p 一，：p p p ) ( 2 3 ) 这里彩和y 分别是涡度张量和速度梯度张量。在实际应用中，由于流体中存 在大量的纤维，即使是拥有今天强大的计算机处理系统，仍然不可能去计算每一 个纤维粒子的取向，于是我们只能采用一种统计平均的方法来描述很多纤维的取 向状态。在这种方法中，采用了一种体积单元。我们认为这一体积单元宏观上足 够大可以容纳很多纤维，微观上又足够小，以至于其中的纤维有均一的取向状态。 有两种方法可以描述这一体积单元中的纤维取向状态。第一种方法是基于纤 维分布函数妒( 椤，奶，这一函数描述了纤维粒子在某一方向上取向的比例；第二种 方法是基于空间统一的平均取向状态，即取向张量。 2 2 纤维分布函数及其演化方程 纤维分布函数v ( o ，痧) 或者妒( p ) 表示在一个小区域中某一取向状态的纤维的 比例。例如，1 0 的纤维沿着同一方向取向，贝1 g ( p ) 就是0 1 。既然每一个纤维 粒子必然沿某一方向取向，则分布函数在整个区域中的积分等于l ，也就是分 布函数必须满足如下的关系1 4 1 i | y ( 口，# ) s h 1 0 o d d = n v ( p ) 勿= 1 ( 2 4 ) 式2 4 就是分布函数的归一化性质1 2 卯。因为不能区分纤维的头和尾，可以得到 相应的对称性质 g ( p ) = g ( - p ) 或y ( 口，矿) = ( ：r - o d r + 刃( 2 5 ) 取向分布函数包含了纤维取向的完整信息。 纤维粒子运动中所受到的力取决于熔体的性质，流场，和悬浮在熔体中纤维 粒子本身的特性。这些力可分为三部分：静水压力，粒子之间的相互影响( 布朗 运动，粒子间的亲和力) ，外力作用( 例如电磁力) 。 在静水压力下，纤维粒子取向矢量与速度矢量的偏离产生了一个不平衡力 ( 如图2 2 ) 。这表明作用在纤维粒子上的力产生了一个力矩，造成了旋转。因此 纤维的取向会受到流场的影响1 2 。 在一个小的控制体积内，速度梯度张量可以用来描述流场 2 5 】 纤维取向状态的描述方法 址隧u2,1甜2,2封i2,3 v + v “r ，2 t 一 和 护半 y 和国分别是对称和反对称张量。 图2 3 纤维取向的平衡 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 假设在一个区域中的小的控制体积内，如图2 3 所示，在边界的旋转通量 p 5 必须和取向随时间的改变平衡。流过边界的通量可以表示为 f u x = 一( p 4 y ) 缸= 一v ，( p 5 矿) 咖 ( 2 9 ) ” 上式用到了散度定i 里 2 6 1 ，这里表面梯度在单位圆中定义为 纤维取向状态的描述方法 v ，= 参= 品+ 勺丽1 丽0 c 2 加， 控制体中纤维取向随时间的& 变可以表示为告明( p ) d 矿。因此可以得到平霜 方程， 一( p 5 ”蒜= 昙眇( p ) d 矿 ( 2 1 1 ) 运用散度定理，可以得到【1 5 】 鲁一言( 咖) ( 2 1 1 2 ) 式2 1 2 就是f 。k k 昏p l a i l k 方程( 2 1 o 罟是物质导数，未是球坐标下的特殊导数， p 6 是纤维粒子的旋转矢量，它主要依赖于流体运动造成的纤维粒子的对流运动， 和纤维之间的相互影响。 仅仅由流体运动产生的口1 如前所述可以表示为 p ；= - - ( 0 p + 五p p - r ：p p p ) ( 2 1 3 ) 如果考虑纤维粒子问的相互影响，有多种模型可供选择。纤维粒子间作用所 产生的旋转为( p 5 一p ；) 。本论文中采用如下的假设 ( ，5 一p j ) ( p ) = 一d r 掣 ( 2 1 4 ) 。 力 d 。是考虑纤维之间相互影响之后的扩散系数。由此可以得到7 ，2 _ 7 】 p 5 = 一m p + 丑( ，p 一，：p p p ) 一d r 掣 ( 2 1 5 ) 在文献中可以看到，可以用多种方法得到旋转扩散系数( d r ) 。在本文中只 采用了其中的一种。即f o l g a r a n d t u c k e r 5 2 研所给出的模型， 珐，( 力压万 ( 2 1 6 ) 其中，c 。( 扔是无量纲的粒子与粒子之间的影响因子。这一因子取决于悬浮溶液 的体积百分比，是由经验值得到。纤维的体积百分比以2 詈2v v + f ，。这里。如 分别是纤维，溶剂和悬浮溶液的体积。f o l g a ra n dt u c k e r 关系式可以得到当v u = 0 纤维取向状态的描述方法 时，由纤维粒子间相互影响所造成的旋转为0 将( 2 1 5 ) 式中p a 代入( 2 1 2 ) 式中，并将方程沿球坐标系展开可以得到7 矧 詈= 喀警+ 。m d r ：目詈+ 臻c o t 口望0 0 一万o y l f 叮1 , - 1v 翌r ：曼+ ( 竿v 丝：e r e 9 ) ) 一击茜 掣v 些7z 幽+ c 竿v 蟛叫圳，卿! ! ， ( 2 1 7 ) 式中_ e = s i n o c o s # ，s i n o s i n # ，c o s # l ，e o = c o s o c o s ，c o s o s i n # , - s i n o ， ，= - s i n 矿，c o s # , 0 ，珐是旋转扩散系数。式2 1 7 的解表示分布函数随时间的 变化，它给出的是准确和完整的溶液中纤维取向预测。大多数情况下不能得到( 式 2 1 7 ) 的解析解。既使采用数值方法来解这一控制方程，对每一个纤维粒子来说 也需要数天的时间。 2 3 取向张量 第二种描述纤维取向的方法是平均取向张量 6 1 。n 个数b i ：i = l n 的平均值， = 硒，p ，矿( p ) 咖= fp ，p ，缈( 目，s i n 甜a 彤 ( 2 1 9 ) 2 f 2 2 妒 2 1(sin 0 c o ss i no s i n q c o s 缈s i n o c o s o c o s o 嘞n 矿= ! f |s i n 2 心n 2 妒s i n 胁s “n 缈p ( 删) s i n o a o a # 【 c o s 20 j 纤维取向状态的描述方法 知= = - n p , p j p * p i 驴 ( p ) d p = jl ，p p i p ，妒( 口，妒) s i n 6 h 6 t 缈( 2 2 0 ) 可以看出来实际上存在着无穷多的高阶取向张量。卞面以平面拉伸为例，说 明取向张量与取向分布函数之间的关系，对于平面拉伸流， ，= 瞄斗c 。再= x 2 ( 7 1 1 ) 2 + 2 ( y 2 2 ) 2 鳓c 。 1 ) 鲁= 喀等+ 品眇( s i l l 妒c o s 觑l + s i n 2 觑：一c o s ：妣j - s i n c o s 力，2 2 ) 】 ( 2 2 2 ) 进一步简化为， 鲁瑙c 。等+ 品州咖嘲 - 2 喝等+ 南例删) = 2 托i 塑o # 2 + 舌s i n 2 矽业o # + 2 舌c o s 2 如 假设处于稳态条件，即华= o ，可以得到， - ) l 孚：一s i 丁n 2 妒百a 矿一c o s 2 # 吵 ( 2 2 4 ) a 22 c ，a c 1 7 。7 如果假定g l ，取向分布函数为， 矿 ) ：三+ u e o s 2 # ( 2 2 5 ) 二7 r 匝l i 茜而咖：，学一c o s z 矿 将上式代入，我们可以得到 0 = - - 8 c ，c o s 2 矿一2 “s i n 2 2 妒+ 竺型+ 2 u c o s 2 2 妒 f 2 2 6 ) 陀2 7 ) 这里“是很小的值，q 1 ，所以型可以保留，比较剩余的三个量， 石 0 2 s i n 2 2 矿 2 ，o 2 c o s 2 2 并矢 表示纤维粒子之间的影响，它可以写为 ：j ( p 5 一p ；) p 矿( p ) s i n 甜a 彤 ( 2 4 4 ) 运用式2 1 4 中的旋转扩散模型可以得到 = ( 一d r 等p s i n 倒a 彤( 2 4 5 ) 将2 1 3 和2 1 4 式代入2 4 1 式，并利用( 2 4 2 2 4 5 ) 式可以得到最终的方程为 鲁一( r 口+ 口矽) + 2 0 a + a z - 2 y ：爿) + 2 d a a 3 4 )( 2 4 6 ) 这里巩为旋转扩散系数。2 4 6 式的解表示了二阶纤维取向张量的演化过程， 方程是速度和时间的函数。方程式中包含了a 和a ，所以这里四阶张量( a ) 和 二阶张量( 口) 的关系必须给出，这种关系就是所谓的闭合近似理论。 2 4 纤维的取向状态分析 有两种方法表示平均取向状态。 第一种方法是二阶纤维取向张量三个特征值的所有可能组合 3 3 】。 二阶纤维取向张量是对称的= 口它具有三个正交的特征向量，亭( 1 ) ， 零( 2 ) ，葶( 3 ) ，以及三个对应的特征值a o ) ，反2 ) ，3 ) 。特征向量定义了张量的主 轴，特征值为对应的主值，特征值表示沿其相应的特征向量方向上纤维数量的多 1 5 纤维取向状态的描述方法 少，如果张量旋转到主轴方向，那么张量就成为对角张量。 在这样的情况下，任意的二阶取向张量的方向可以由它的主轴定义，而与主 轴相对应的取向状态可以由两个主值a ( 1 ) ，a ( 2 ) 完全描述。的对角分量的值必 须处于【o ，1 】之间，如果选择特征值满足a ( 1 ) a ( 2 ) a ( 3 ) 。那么所有可能的取向 状态只可能出现在图2 6 中黑色的阴影部分，如果没有这个限制，那么取向状态 可以出现在阴影较轻的部分。因为特征值的编号是任意的，所以a 0 ) a ( 2 ) 口( 3 ) 的限制并没有损失一般性。那么所有的问